esercitazioni di algebra e geometria - lezione...
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1 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Terminiamo gli esercizi dellrsquoultima lezione (LUCIDI)
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC (LUCIDI)
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN r2 b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
2 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
3 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
4 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa
+ + = + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste 13 isin Kmn tale che + 13 = 13 + = dove
13 e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice isin Kmn tale che + = 13 = +
Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
5 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa
+ = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip (LUCIDI)
6 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) + ∙ = ∙ + ∙ (da dimostrare) 2) ∙ + = ∙ + ∙ (da dimostrare) 3) ∙ ∙ = ∙ ∙ (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione (LUCIDI)
7 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq
= (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e isin Kpp
= (da dimostrare)
Siano isin Kpm e isin Kmm
= (da dimostrare)
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
2 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
3 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
4 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa
+ + = + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste 13 isin Kmn tale che + 13 = 13 + = dove
13 e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice isin Kmn tale che + = 13 = +
Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
5 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa
+ = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip (LUCIDI)
6 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) + ∙ = ∙ + ∙ (da dimostrare) 2) ∙ + = ∙ + ∙ (da dimostrare) 3) ∙ ∙ = ∙ ∙ (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione (LUCIDI)
7 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq
= (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e isin Kpp
= (da dimostrare)
Siano isin Kpm e isin Kmm
= (da dimostrare)
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
3 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
4 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa
+ + = + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste 13 isin Kmn tale che + 13 = 13 + = dove
13 e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice isin Kmn tale che + = 13 = +
Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
5 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa
+ = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip (LUCIDI)
6 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) + ∙ = ∙ + ∙ (da dimostrare) 2) ∙ + = ∙ + ∙ (da dimostrare) 3) ∙ ∙ = ∙ ∙ (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione (LUCIDI)
7 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq
= (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e isin Kpp
= (da dimostrare)
Siano isin Kpm e isin Kmm
= (da dimostrare)
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
4 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa
+ + = + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste 13 isin Kmn tale che + 13 = 13 + = dove
13 e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice isin Kmn tale che + = 13 = +
Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
5 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa
+ = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip (LUCIDI)
6 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) + ∙ = ∙ + ∙ (da dimostrare) 2) ∙ + = ∙ + ∙ (da dimostrare) 3) ∙ ∙ = ∙ ∙ (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione (LUCIDI)
7 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq
= (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e isin Kpp
= (da dimostrare)
Siano isin Kpm e isin Kmm
= (da dimostrare)
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
5 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa
+ = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip (LUCIDI)
6 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) + ∙ = ∙ + ∙ (da dimostrare) 2) ∙ + = ∙ + ∙ (da dimostrare) 3) ∙ ∙ = ∙ ∙ (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione (LUCIDI)
7 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq
= (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e isin Kpp
= (da dimostrare)
Siano isin Kpm e isin Kmm
= (da dimostrare)
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
6 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) + ∙ = ∙ + ∙ (da dimostrare) 2) ∙ + = ∙ + ∙ (da dimostrare) 3) ∙ ∙ = ∙ ∙ (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione (LUCIDI)
7 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq
= (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e isin Kpp
= (da dimostrare)
Siano isin Kpm e isin Kmm
= (da dimostrare)
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
7 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq
= (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)
3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e isin Kpp
= (da dimostrare)
Siano isin Kpm e isin Kmm
= (da dimostrare)
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
8 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale
che = =
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
9 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di la si indica con
oppure una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
10 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi (LUCIDI)
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Proprietagrave delle trasposte
Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le
seguenti relazioni
1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)
Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave
uguale alla matrice +
a) hanno lo stesso numero di righe
b) lo stesso numero di colonne e
c) le stesse entrate
Infatti
isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte
isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm
(abbiamo dimostrato a) e b))
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
12 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Resta da dimostrare che abbiano le stesse
entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in
posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo
stesso elemento che si trova in posizione (ij)
nella matrice +
Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale
allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji
Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma
delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji
lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L
13 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011
Esercizi da svolgere
1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula
2) Si eseguano quando possibile le seguenti
operazioni con le matrici
A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici
Si verifichi che
a) t(EL)= tL tE
b) t(EL)ne tE tL
c) tL= L