esercizi funzioni in piu variabili con soluzione
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Esercizi sul calcolo differenziale con due variabili
(ricavati dai temi d’esame di Matematica Finanziaria - codice 6008)
1. Si consideri la funzione di due variabili:
f (x1, x2) = −x21 − x22 +1
5x1x2 + 1
(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).
(b) Si individui in quale punto x∗ =∙x∗1x∗2
¸esso è nullo.
2. Si consideri la funzione di due variabili:
f (x1, x2) = −x21 +1
5x1x2 − x2
(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).
(b) Si individui in quale punto x∗ =∙x∗1x∗2
¸esso è nullo.
3. Si consideri la funzione di due variabili:
f (x1, x2) = e−4x21−x22
(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).
(b) Si individui in quale punto x∗ =∙x∗1x∗2
¸esso è nullo.
4. Si consideri la funzione di due variabili:
f (x1, x2) =¡x1 − 2x21
¢e−x1 +
¡x2 − 3x22
¢e−x2
(a) Se ne calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).
(b) Si indichino le coordinate x =
⎡⎣ x1
x2
⎤⎦ dei quattro punti stazionari per f .
5. Si consideri la funzione f : R2→ R:
f (x1, x2) = e−(x1−b1)2−(x2−b2)2
con b1, b2 ∈ R.
(a) Si calcoli il gradiente ∇f (x1, x2) di f .
(b) Si individui l’unico punto x∗ =∙x∗1x∗2
¸stazionario per f , e si determini il valore di f in esso.
6. Si consideri la funzione f : R2 → R, definita nel primo quadrante del piano cartesiano (semiassiesclusi) da:
f (x1, x2) = x1x2 (3− lnx1 − lnx2)
(a) Si calcoli il gradiente ∇f (x1, x2).(b) Dopo aver verificato che f ammette infiniti punti stazionari, si individuino le coordinate del
punto stazionario x∗ =∙x∗1x∗2
¸tale che x∗1 = 2.
7. Si consideri la funzione f : R2 → R:
f (x1, x2) =¡x31 − x21
¢ ¡x22 − x2
¢definita sul quadrato aperto (prodotto di intervalli aperti):
Q =
½∙x1x2
¸: 0 < x1 < 1 e 0 < x2 < 1
¾(a) Calcolare il gradiente ∇f (x1, x2).(b) Individuare l’unico punto stazionario x∗ per f in Q.
Soluzioni degli esercizi sul calcolo differenziale con due variabili
(ricavati dai temi d’esame di Matematica Finanziaria - codice 6008)
1. Si ha:
∇f (x1, x2) =∙−2x1 +
1
5x2
1
5x1 − 2x2
¸Il punto x∗ risolve il sistema d’equazioni:⎧⎪⎨⎪⎩
−2x1 +1
5x2 = 0
1
5x1 − 2x2 = 0
ed è:
x∗ =
∙x∗1x∗2
¸=
∙00
¸
2. Si ha:
∇f (x1, x2) =∙−2x1 +
1
5x2
1
5x1 − 1
¸Il punto x∗ risolve il sistema d’equazioni:⎧⎪⎨⎪⎩
−2x1 +1
5x2 = 0
1
5x1 − 1 = 0
ed è:
x∗ =
∙x∗1x∗2
¸=
∙550
¸
3. Si ha:∇f (x1, x2) =
h−8x1e−4x
21−x22 −2x2e−4x
21−x22
iIl punto x∗ risolve il sistema d’equazioni:(
−8x1e−4x21−x22 = 0
−2x2e−4x21−x22 = 0
ed è:
x∗ =
∙x∗1x∗2
¸=
∙00
¸
4. Si ha:∇f (x1, x2) =
£e−x1
£2x21 − 5x1 + 1
¤e−x2
£3x22 − 7x2 + 1
¤ ¤I punti stazionari hanno coordinate:
x1 =
⎡⎢⎢⎢⎣5−√17
4
7−√37
6
⎤⎥⎥⎥⎦ x2 =
⎡⎢⎢⎢⎣5−√17
4
7 +√37
6
⎤⎥⎥⎥⎦
x3 =
⎡⎢⎢⎢⎣5 +√17
4
7−√37
6
⎤⎥⎥⎥⎦ x4 =
⎡⎢⎢⎢⎣5 +√17
4
7 +√37
6
⎤⎥⎥⎥⎦
5. Si ha:∇f (x1, x2) = f (x1, x2)
£−2 (x1 − b1) −2 (x2 − b2)
¤Il gradiente s’annulla in:
x∗ =
∙b1b2
¸e si ha:
f (x∗) = 1
6. Si ha:∇f (x1, x2) =
£x2 (2− lnx1 − lnx2) x1 (2− lnx1 − lnx2)
¤con le condizioni x1 > 0 e x2 > 0.
Annullando il gradiente si trova l’equazione in x∗1, x∗2 che caratterizza gli infiniti punti stazionari:
lnx∗1 + lnx∗2 − 2 = 0
Imponendo x∗1 = 2 si ottienex∗2 = e
2−ln 2 = e2/2
e dunque
x∗ =
∙2e2/2
¸
7. Il gradiente richiesto è:
∇f (x1, x2) =£ ¡3x21 − 2x1
¢ ¡x22 − x2
¢ ¡x31 − x21
¢(2x2 − 1)
¤L’unico punto stazionario x∗ per f nel quadrato aperto Q è:∙
x∗1x∗2
¸=
∙2/31/2
¸