Esercizi: Teoria degli insiemi

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 1 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizi 1

Quali dei seguenti insiemi sono vuoti?

(a) A = {x ∈ N : x e pari e dispari };(b) A = {x : x ∈ N e x e un numero primo minore stretto di 2}(c) A = {x : x e un numero naturale multiplo di 7 e di 5}(d) A = {x : x ∈ Z e x 6= x + 1}(e) A = {x ∈ Z : x2 = 25}(f) A = {x ∈ Z : x2 = −25}

(g) A = {x ∈ N : x2 = 25}(h) A = {x ∈ Z : 3x = 25}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 13

Esercizio 2

Per i seguenti insiemi calcolare A ∪ B, A ∩ B, A− B

A = {1,2,a}, B = {a,b,12}.

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Esercizio 3

Verificare le leggi di De Morgan sui seguenti insiemi:

A = {x ∈ N : x e pari e divisibile per 16},

B = {x ∈ N : x e pari e divisibile per 40}.

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Esercizio 4

Dati gli insiemi

A = {a,e, i ,o,u}, B = {b, c,d ,e}, C = {f ,g,h}.

Determinare se esiste l’insieme X tale che

(a) X = A ∪ B ∪ C;(b) X − A = B;(c) B ∪ X = B;(d) C ∪ X = B;(e) A∪B∪C∪X = {x : x e una lettera dell’alfabeto italiano }.

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Esercizio 4

Dati gli insiemi

A = {a,e, i ,o,u}, B = {b, c,d ,e}, C = {f ,g,h}.

Determinare se esiste l’insieme X tale che

(a) X = A ∪ B ∪ C;(b) X − A = B;(c) B ∪ X = B;(d) C ∪ X = B;(e) A∪B∪C∪X = {x : x e una lettera dell’alfabeto italiano }.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 5 / 13

Esercizio 4

Dati gli insiemi

A = {a,e, i ,o,u}, B = {b, c,d ,e}, C = {f ,g,h}.

Determinare se esiste l’insieme X tale che

(a) X = A ∪ B ∪ C;(b) X − A = B;(c) B ∪ X = B;(d) C ∪ X = B;(e) A∪B∪C∪X = {x : x e una lettera dell’alfabeto italiano }.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 5 / 13

Esercizio 4

Dati gli insiemi

A = {a,e, i ,o,u}, B = {b, c,d ,e}, C = {f ,g,h}.

Determinare se esiste l’insieme X tale che

(a) X = A ∪ B ∪ C;(b) X − A = B;(c) B ∪ X = B;(d) C ∪ X = B;(e) A∪B∪C∪X = {x : x e una lettera dell’alfabeto italiano }.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 5 / 13

Esercizio 4

Dati gli insiemi

A = {a,e, i ,o,u}, B = {b, c,d ,e}, C = {f ,g,h}.

Determinare se esiste l’insieme X tale che

(a) X = A ∪ B ∪ C;(b) X − A = B;(c) B ∪ X = B;(d) C ∪ X = B;(e) A∪B∪C∪X = {x : x e una lettera dell’alfabeto italiano }.

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Esercizio 5

Siano A e B due insiemi. Provare con un esempio che

A ∩ (B − A) = ∅.

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Eserizio 6

Dati gli insiemi A e B

A = {t ∈ R : 0 < t < 3},B =

{12,32,52

}stabilre quale tra le seguenti affermazioni e vera:

A e B sono inconfrontabili rispetto all’inclusione;A ⊆ B;B ⊆ A.

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Eserizio 6

Dati gli insiemi A e B

A = {t ∈ R : 0 < t < 3},B =

{12,32,52

}stabilre quale tra le seguenti affermazioni e vera:

A e B sono inconfrontabili rispetto all’inclusione;A ⊆ B;B ⊆ A.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 7 / 13

Eserizio 6

Dati gli insiemi A e B

A = {t ∈ R : 0 < t < 3},B =

{12,32,52

}stabilre quale tra le seguenti affermazioni e vera:

A e B sono inconfrontabili rispetto all’inclusione;A ⊆ B;B ⊆ A.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 7 / 13

Esercizio 7

Visualizzare sulla retta reale i seguenti insiemi:

M = {x ∈ R : x + 7 < 12}, L = {x ∈ R : x = 3(x + 3)− x}

P = {x ∈ R : 3x − 5 ≥ x + 7}, Q = {y ∈ R : |y − 1| ≤ 2}

S = {u ∈ R : u2 = 10}, T = {x ∈ R : t2 > 9}

U = {x ∈ R : x2 < 16}, V = {t ∈ R : 2t + 3 = 2(t − 1)}

Y = {x ∈ R : x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)}

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Esercizio 7

Visualizzare sulla retta reale i seguenti insiemi:

M = {x ∈ R : x + 7 < 12}, L = {x ∈ R : x = 3(x + 3)− x}

P = {x ∈ R : 3x − 5 ≥ x + 7}, Q = {y ∈ R : |y − 1| ≤ 2}

S = {u ∈ R : u2 = 10}, T = {x ∈ R : t2 > 9}

U = {x ∈ R : x2 < 16}, V = {t ∈ R : 2t + 3 = 2(t − 1)}

Y = {x ∈ R : x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 8 / 13

Esercizio 7

Visualizzare sulla retta reale i seguenti insiemi:

M = {x ∈ R : x + 7 < 12}, L = {x ∈ R : x = 3(x + 3)− x}

P = {x ∈ R : 3x − 5 ≥ x + 7}, Q = {y ∈ R : |y − 1| ≤ 2}

S = {u ∈ R : u2 = 10}, T = {x ∈ R : t2 > 9}

U = {x ∈ R : x2 < 16}, V = {t ∈ R : 2t + 3 = 2(t − 1)}

Y = {x ∈ R : x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 8 / 13

Esercizio 7

Visualizzare sulla retta reale i seguenti insiemi:

M = {x ∈ R : x + 7 < 12}, L = {x ∈ R : x = 3(x + 3)− x}

P = {x ∈ R : 3x − 5 ≥ x + 7}, Q = {y ∈ R : |y − 1| ≤ 2}

S = {u ∈ R : u2 = 10}, T = {x ∈ R : t2 > 9}

U = {x ∈ R : x2 < 16}, V = {t ∈ R : 2t + 3 = 2(t − 1)}

Y = {x ∈ R : x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 8 / 13

Esercizio 7

Visualizzare sulla retta reale i seguenti insiemi:

M = {x ∈ R : x + 7 < 12}, L = {x ∈ R : x = 3(x + 3)− x}

P = {x ∈ R : 3x − 5 ≥ x + 7}, Q = {y ∈ R : |y − 1| ≤ 2}

S = {u ∈ R : u2 = 10}, T = {x ∈ R : t2 > 9}

U = {x ∈ R : x2 < 16}, V = {t ∈ R : 2t + 3 = 2(t − 1)}

Y = {x ∈ R : x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 8 / 13

Esercizio 8

In un piano sono dati due punti P e Q. Sia A l’insieme di tutte le retteper P e sia B l’insieme di tutte le rette per Q. Descrivere l’insiemeA ∩ B, distinguendo i casi P = Q e P 6= Q.

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Esercizio 9

Descrivere per elencazione ciascuno dei seguenti insiemi:

A = {x ∈ N : 3 ≤ 2x + 1 ≤ 16}, B = {x ∈ N : x2 − 5x + 4 = 0}.

Quale relazione vale tra le seguenti: A ⊆ B o B ⊆ A?

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Esercizio 9

Descrivere per elencazione ciascuno dei seguenti insiemi:

A = {x ∈ N : 3 ≤ 2x + 1 ≤ 16}, B = {x ∈ N : x2 − 5x + 4 = 0}.

Quale relazione vale tra le seguenti: A ⊆ B o B ⊆ A?

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 10 / 13

Esercizio 10

Descrivere per elencazione ciscuno dei seguenti insiemi:

A = {x ∈ R : (x2−1)2 = 0} B = {x ∈ R : (x−1)3−2(x−1)2 +(x−1) = 0}

C = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 3} D =

{u ∈ R :

u2 − 4u2 + 1

}E = {t ∈ R : t2 ≤ 0}

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Esercizio 10

Descrivere per elencazione ciscuno dei seguenti insiemi:

A = {x ∈ R : (x2−1)2 = 0} B = {x ∈ R : (x−1)3−2(x−1)2 +(x−1) = 0}

C = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 3} D =

{u ∈ R :

u2 − 4u2 + 1

}E = {t ∈ R : t2 ≤ 0}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 11 / 13

Esercizio 10

Descrivere per elencazione ciscuno dei seguenti insiemi:

A = {x ∈ R : (x2−1)2 = 0} B = {x ∈ R : (x−1)3−2(x−1)2 +(x−1) = 0}

C = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 3} D =

{u ∈ R :

u2 − 4u2 + 1

}E = {t ∈ R : t2 ≤ 0}

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Esercizio 11

Quale delle seguenti affermazioni sono vere?

−1 ∈ {x ∈ R : x2 = 1}, 0 6∈ {x ∈ R : x2 6= 1}, 0 ∈ {x ∈ R : x2 ≤ 1}

1 ∈ {x ∈ R : x2 < 1}, {x ∈ R : x2 ≤ 1} ⊆ {x ∈ R : x2 ≤ 4}

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Esercizio 11

Quale delle seguenti affermazioni sono vere?

−1 ∈ {x ∈ R : x2 = 1}, 0 6∈ {x ∈ R : x2 6= 1}, 0 ∈ {x ∈ R : x2 ≤ 1}

1 ∈ {x ∈ R : x2 < 1}, {x ∈ R : x2 ≤ 1} ⊆ {x ∈ R : x2 ≤ 4}

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Esercizio 12

Quale dei seguenti sottoinsiemi di N sono vuoti?

A = {n ∈ N : n = n − 3}, B = {n ∈ N : n = 2n − 3}

C =

{n ∈ N :

1n + 2

∈ N}, D =

{n ∈ N :

n2∈ N

}

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Esercizio 12

Quale dei seguenti sottoinsiemi di N sono vuoti?

A = {n ∈ N : n = n − 3}, B = {n ∈ N : n = 2n − 3}

C =

{n ∈ N :

1n + 2

∈ N}, D =

{n ∈ N :

n2∈ N

}

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 13