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1. Esercizi sui Vettori
Fisica Generale A
http://campus.cib.unibo.it/2456/
September 17, 2010
Esercizio 1
• Due vettori, di norma, rispettivamente e , posti con l’origine coincidente, formano tra loro un angolo di rad.
• Trovare la norma del vettore: .
• Trovare inoltre l’angolo compreso tra i vettori e (espresso in radianti).
=6
10
c = a b
a c
2Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
c = c = a b = a b( )2
= a b( )i a b( ) =
= a ia a ib b ia + b ib = a2
+ b2
2 a b cos =
= 4 + 9 12cos1.88495 = 13 12 0.309012( ) = 13+ 3.70814 =
= 4.08756
Esercizio 1 (II)
• Abbiamo, innanzitutto:
• Per quanto riguarda la norma, si ha:
3
c
c
=6
103.14159 = 1.88495 rad
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 1 (III)
• Per quanto riguarda l’angolo , per la definizione di prodotto scalare, si ha:
per cui:
4
cos =a c
a c=a a b( )a c
=a2
a b
a c=a2
a b cos
a c=
=a b cos
c=2 3 0.309012( )
4.08756= 0.7161
= arccos 0.7161( ) = 0.773 rad
a c = a c cos
c
c
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 2
• Due vettori, di norma, rispettivamente e , posti con l’origine coincidente, formano tra loro un angolo di rad.
• Trovare la norma del vettore: .
• Trovare inoltre l’angolo compreso tra i vettori e (espresso in radianti).
=6
10
c = a + b
a c
5Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 2 (II)
• Abbiamo, innanzitutto:
• Per quanto riguarda la norma, si ha:
6
c = c = a + b = a + b( )2
= a + b( )i a + b( ) =
= a ia + a ib + b ia + b ib = a2
+ b2
+ 2 a b cos =
= 4 + 9 +12cos1.88495 = 13+12 0.309012( ) = 13 3.70814 =
= 3.04825
=6
103.14159 = 1.88495 rad
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
c
Esercizio 2 (III)
• Per quanto riguarda l’angolo , per la definizione di prodotto scalare, si ha:
per cui:
7
cos =a c
a c=a a + b( )a c
=a2
+ a b
a c=a2
+ a b cos
a c=
=a + b cos
c=2 + 3 0.309012( )
3.04825= 0.35199
= arccos 0.35199( ) = 1.21 rad
a c = a c cos
c
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 3
• In un piano sono fissati due assi cartesiani ortogonali x e y ( di versori rispettivamente e ).
• Dati i due vettori:
• Determinare la norma e l’angolo formato con il versore della somma e della differenza dei due vettori e .
8
ı ˆ
a = 2ı + ˆ
b = 5ı 7 ˆ
ı
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 3 (II)
• Possiamo innanzitutto calcolare la somma e la differenza vettoriale nella rappresentazione cartesiana:
• Possiamo quindi calcolare le norme:
• Per quanto riguarda gli angoli, abbiamo:
9
ˆ
ˆ
a b
a + b
a = 2ı + ˆ
b = 5ı 7 ˆ
a + b = 3ı 6 ˆ
a b = 7ı + 8 ˆ
a + b = 32+ 6
2= 45 = 6.71
a b = 72+ 8
2= 113 = 10.63
tan =a + b( )
y
a + b( )x
=6
3= 2
tan =a b( )
y
a b( )x
=8
7=8
7
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 3 (III)
• Da cui:
• Occorre a questo punto precauzione nello scegliere, tra le due soluzioni, quella corretta (ci sono 2 angoli, nel primo giro, con la stessa tangente, vedi figura).
• Nel caso della somma, la componente x è positiva mentre la componente y è negativa (vedi figura). Avremo perciò:
• Nel caso della differenza, la componente x è negativa mentre la componente y è positiva. Avremo perciò:
10
tan = 2
tan =8
7
=arctan( 2) = 1.11rad
+ arctan( 2) = 2.03rad
=arctan 8 7( ) = 0.85rad
+ arctan 8 7( ) = 2.29rad
= 1.11rad
= 2.29rad
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
ˆ
ˆ
a b
a + b
Esercizio 4
• Fissata una terna cartesiana ortogonale xyz e dati i due vettori:
determinare, nella rappresentazione cartesiana, i vettori:
• Determinare inoltre, per tali vettori, la norma e i 3 angoli formati con gli assi cartesiani.
11
a = 11ı 7 ˆ + 9k
b = 14ı + 5ˆ k
a + b
a b
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 4 (II)
• I vettori somma e differenza, nella rappresentazione cartesiana, si trovano semplicemente sommando e sottraendo le componenti:
• Le norme si calcolano direttamente dalle componenti:
12
a = 11ı 7 ˆ + 9k
b = 14ı + 5ˆ k
a + b = 25ı 2 ˆ + 8k
a b = 3ı 12 ˆ +10k
a + b = a + b( )x
2
+ a + b( )y
2
+ a + b( )z
2
= 625+ 4 + 64 = 693 = 26.3
a b = a b( )x
2
+ a b( )y
2
+ a b( )z
2
= 9 +144 +100 = 253 = 15.9
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 4 (III)
• Per quanto riguarda i 3 angoli osserviamo che per un vettore generico (vedi figura) si ha:
• Questi 3 coseni prendono il nome di coseni direttori. Essi non sono tra loro indipendenti in quanto sono legati dalla relazione:
13
v
v
vx= v i ı = v cos
vy= v i ˆ = v cos
vz= v i k = v cos
cos =vx
v
cos =
vy
v
cos =vz
v
cos2
+ cos2
+ cos2
= 1
cos2
+ cos2
+ cos2
=vx
2
v
2+
vy
2
v
2+vz
2
v
2=
vx
2+ v
y
2+ v
z
2
v
2= 1
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 4 (IV)
• Nei nostri due casi le uguaglianze:
si scrivono:
14
cos+=a + b( )
x
a + b, cos
+=a + b( )
y
a + b, cos
+=a + b( )
z
a + b
cos =a b( )
x
a b, cos =
a b( )y
a b, cos =
a b( )z
a b
cos =v
x
v
, cos =
vy
v
, cos =v
z
v
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 4 (V)
• Poiché:
• Si ha:
15
+= arccos
25
26.3= 0.32rad
+= arccos
2
26.3= 1.65rad
+= arccos
8
26.3= 1.26rad
= arccos3
15.9= 1.76rad
= arccos12
15.9= 2.43rad
= arccos10
15.9= 0.89rad
a + b = 25ı 2 ˆ + 8k
a b = 3ı 12 ˆ +10k,a + b = 26.3
a b = 15.9
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 5
• Sia fissata una terna cartesiana ortogonale xyz e siano dati i due vettori:
• Determinare il prodotto scalare .
• Determinare, la norma e gli angoli formati con gli assi cartesiani del prodotto vettoriale: .
16
a = 11ı 7 ˆ + 9k
b = 14ı + 5ˆ k
a b
a ib
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 5 (II)
• Per quanto riguarda il prodotto scalare:
• Per quanto riguarda il prodotto vettoriale:
• La sua norma è:
17
a = 11ı 7 ˆ + 9k
b = 14ı + 5ˆ k
a ib = 11 14 7 5+ 9 1( ) = 110
a b = 382+137
2+153
2= 208.9
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
a b = det
ı ˆ k
11 7 9
14 5 1
=
= ı det7 9
5 1ˆdet
11 9
14 1+ k det
11 7
14 5=
= 7 45( ) ı 11 126( ) ˆ + 55+ 98( ) k = 38ı +137 ˆ +153k
Esercizio 5 (III)
• Calcoliamo gli angoli utilizzando i coseni direttori:
18
cos =a b( )
x
a b, cos =
a b( )y
a b, cos =
a b( )z
a b
= arccos38
208.9= 1.75rad
= arccos137
208.9= 0.856rad
= arccos153
208.9= 0.749rad
a b = 38ı +137 ˆ +153k
a b = 208.9
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 6
• Calcolare il volume del parallelepipedo che ha per spigoli i 3 segmenti AB, AC e AD, dove le coordinate dei punti A, B, C e D, rispetto a una terna ortogonale prefissata sono (in centimetri):
19
A 28,35, 16( ), B 43,62, 24( ), C 13,47,18( ), D 30,26, 22( )
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
Esercizio 6 (II)
• Abbiamo:
20
A 28,35, 16( ), B 43,62, 24( ), C 13,47,18( ), D 30,26, 22( )
B A = 15 ı + 27 ˆ 8 k
C A = 41 ı +12 ˆ + 34 k
D A = 2 ı 9 ˆ 6 k
Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori
B A( ) C A( )i D A( ) = det15 27 8
41 12 34
2 9 6
=
= 15det12 34
9 627det
41 34
2 68det
41 12
2 9=
= 15 72 + 306( ) 27 246 68( ) 8 369 24( ) == 15 234 27 178 8 345 = 4056
V = B A( ) C A( )i D A( ) = 4056 cm3
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Domenico Galli Dipartimento di Fisica
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica