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2. Esercizi di Cinematica
Fisica Generale A
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September 17, 2010
Esercizio 1
• Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una guida rettilinea.
• Al tempo t = 0 il punto materiale si trova in quiete.
• Il punto materiale accelera con accelerazione:
• Trovare la velocità istantanea raggiunta e lo spazio percorso dopo:
• = 775.
a t( ) = kt
2, con k =
+1
1000m s
4
2 +1
100s
2DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 1 (II)
• La velocità raggiunta si trova integrando l’accelerazione:
• Lo spazio percorso si trova integrando la velocità:
• Nel nostro caso:
v t( ) = a t( )d t
0
t
= kt2d t
0
t
= kt
3
30
t
= kt
3
3
s t( ) = v t( )d t
0
t
= kt
3
3d t
0
t
= kt
4
120
t
= kt
4
12
k =+1
1000m s
4=
775+1
1000m s
4= 0.776m s
4
t =2 +1
100s =
2 775+1
100s = 15.51s
3DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 1 (III)
• Da cui:
v = kt3
3= 0.776
15.513
3= 965m s
s = kt4
12= 0.776
15.514
12= 3740m
4DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 2
• Un punto materiale è vincolato a una guida circolare di raggio r = 3 m, su cui può scorrere senza attrito.
• Esso si muove secondo la legge oraria:
con:
• Calcolare la componente tangenziale e la componente normale dell’accelerazione dopo 1 s.
• = 384.
s t( ) = kt
3
k =+1
200m/s
3
5DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 2 (II)
• Le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione si scrivono:
• Troviamo le derivate di s:
• Nel nostro caso:
at= s
an=s2
r
s t( ) = kt3
s t( ) = 3kt2
s t( ) = 6kt
k =+1
200m/s
3= 1.925m/s
3
6DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 2 (III)
• Avremo perciò:
att( ) = s t( ) = 6kt
ant( ) =
s2t( )r
=9k
2t4
r
att( ) = 6 1.925 1= 11.6m s
2
ant( ) =
9 1.925214
3= 11.1m s
2
7DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 3
• Un punto materiale viene lanciato dalla superficie terrestre con velocità v0 = 100 m/s, a un angolo di rispetto alla verticale.
• Calcolare il raggio di curvatura del punto materiale subito dopo il lancio.
• = 239.
=9
100°
v0
8DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 3 (II)
• Come per tutti i corpi liberi in prossimità della superficie terrestre, l’accelerazione ha norma g = 9.81 m/s2 ed è diretta lungo la verticale, verso il centro della terra (vedi figura).
• L’accelerazione si può pertanto scomporre in due componenti ortogonali: la componente tangenziale at, con la stessa direzione della velocità e la componente normale an, con direzione perpendicolare alla velocità.
• La componente normale è legata al raggio di curvatura dalla relazione:
• Conoscendo an si può quindi calcolare il raggio di curvatura.
v0
a = g
at= g cos
an= g sin
an=v2
9DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 3 (III)
• Nel nostro caso abbiamo:
= 9
100° = 9
100239° = 21.51°
an= g sin = 9.81 sin 21.51°( ) = 3.60m s
2
=v
2
an
=100 100
3.60= 2780m
10
v0
a = g
at= g cos
an= g sin
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 4
• Un punto materiale si muove in un piano seguendo la legge oraria:
• Trovare il raggio di curvatura della traiettoria nei due seguenti casi: – La norma dell’accelerazione è costante: a = 2k.
– La norma dell’accelerazione cresce con il tempo, secondo la legge:
s t( ) = kt2 , con k = 0.25m s2
a t( ) = 2k 1+t
T
4
, con T = 7s
11DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 4 (II)
• Nella sua espressione intrinseca, l’accelerazione si può scrivere come:
• Essendo i versori e perpendicolari tra loro, si ha:
• Da questa relazione possiamo ricavare il raggio di curvatura:
a = st̂ +s2
n̂
a2= a ia = st̂ +
s2
n̂ i st̂ +s
2
n̂ = s2t̂ i t̂
1
+s
4
2n̂i n̂
1
+ 2ss
2
n̂i t̂
0
=
= s2+
s4
2
a2s2=s4
2=
s2
a2s2
12DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 4 (III)
• Nel nostro esercizio, abbiamo:
• Nel primo caso l’accelerazione è costante (a = 2k) e avremo:
• Poiché raggio di curvatura è infinito, la traiettoria è rettilinea.
s t( ) = kt2, con k = 0.25m s
2
s t( ) = 2kt
s t( ) = 2k
=s
2
a2
s2=
4k2t
2
a2
4k2
=4k
2t
2
a2
4k2
a 2k
13DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 4 (IV)
• Nel secondo caso la norma dell’accelerazione aumenta col tempo secondo la legge:
• Avremo:
• Poiché il raggio di curvatura è costante, la traiettoria è circolare.
a t( ) = 2k 1+t
T
4
, con T = 7s
=4k
2t2
a24k
2
=4k
2t2
4k21 +
t
T
4
4k2
=4k
2t2
2 kt2
T2
= 2kT2cost
14DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 4 (V)
• Il raggio di curvatura è dato da:
k = 0.25m s2
T = 7s
= 2kT2= 2 0.25
m
s2
49 s2= 24.5m
15DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 5
• Un punto materiale si muove in un piano.
• A partire da un certo istante i moduli della velocità e dell’accelerazione diminuiscono con il tempo secondo le leggi:
• Trovare: – la legge oraria.
– la forma della traiettoria per tutti i valori ammissibili di k.
v t( ) =L
t + T, a t( ) =
kL
t + T( )2
16DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 5 (II)
• Troviamo innanzitutto la legge oraria:
s t( ) = v t( ) =L
t + T
s t( ) = s t( )d t
0
t
=L
t + Td t
0
t
= L ln t + T( )0
t
= L ln t + T( ) L lnT =
= L lnt + T
T= L ln 1+
t
T
s t( ) = L ln 1+t
T
17DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 5 (III)
• Troviamo ora la traiettoria. Ricordiamo dall’esercizio 4 che:
• In questo esercizio:
=s2
a2s2
s t( ) = v t( ) =L
t + Ts t( ) =
dv
d t=
L
t + T( )2
a t( ) =kL
t + T( )2
=s2
a2s2
=
L2
t + T( )2
k2L2
t + T( )4
L2
t + T( )4
=L
k21
18DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 5 (IV)
• Come si vede, per il raggio di curvatura risulterebbe immaginario, per cui non si ha né una traiettoria, né un moto reale.
• Per si ha:
il raggio di curvatura è infinito, e la traiettoria è rettilinea.
• Per il raggio di curvatura è costante e finito e la traiettoria è circolare.
=L
k21
k 1,1 k
21< 0
k = ±1
=L
k2
1k ±1
k 1,1
19DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 6
• Un punto materiale A si muove di moto rettilineo uniforme, con velocità di norma v = v0 = 3.0 m/s, lungo la retta y = d, con d = 30 m.
• Un secondo punto materiale B parte dall’origine, con velocità nulla e accelerazione costante, di norma a = a0 = 0.40 m/s2, nello stesso istante in cui il punto materiale A attraversa l’asse y.
• Per quale angolo i due punti materiali collidono?
v
a
20DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 6 (II)
• Per quanto riguarda il punto A, si ha:
• Per quanto riguarda il punto B si ha invece:
vA
t( ) = v0ı̂
rA
t( ) rA
0( )d ˆ
= v d t
0
t
= v0ı̂ d t
0
t
= v0ı̂ d t
0
t
= v0tı̂
rA
t( ) = v0tı̂ + d ˆ
vBt( ) v
B0( )0
= aBt( )d t
0
t
= a0ı̂ sin d t
0
t
+ a0ˆcos d t
0
t
=
= a0ı̂ sin d t
0
t
+ a0ˆcos d t
0
t
=
= a0ı̂ sin + ˆcos( )t
a
Bt( ) = a
0ı̂ sin + a
0ˆcos
21
v
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 6 (III)
• La collisione si verifica se e soltanto se esiste un istante t in cui:
vB
t( ) = a0ı̂ sin + ˆcos( )t
rB
t( ) rB
0( )0
= vB
t( )d t
0
t
= a0ı̂ sin + ˆcos( )t d t
0
t
= a0ı̂ sin + ˆcos( ) t d t
0
t
=
= a0ı̂ sin + ˆcos( )
t2
20
t
=1
2a
0ı̂ sin + ˆcos( )t2
rB
t( ) =1
2a
0ı̂ sin + ˆcos( )t2
rA
t( ) = rB
t( )
v0tı̂ + d ˆ =
1
2a
0ı̂ sin + ˆcos( )t2
22
v
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 6 (IV)
• Questo sistema di equazioni deve essere risolto nelle incognite t e :
v0tı̂ + d ˆ =
1
2a
0ı̂ sin + ˆcos( )t2
v0t =
1
2a
0t
2sin
d =1
2a
0t
2cos
v0t =
1
2a
0t
2 sin
t = 0
t =2v
0
a0sin
d =1
2a
0t
2 cos
d = 0 (impossibile)
d =1
2a
0cos
2v0
a0sin
2
sin2=
2v0
2
a0d
cos
23
v
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 6 (V)
sin2=
2v0
2
a0d
cos 1 cos2=
2v0
2
a0d
cos
cos2+
2v0
2
a0d
cos 1= 0 cos =v
0
2
a0d±
v0
2
a0d
2
+1
cos =32
0.4 30±
32
0.4 30
2
+1 = 0.75 ± 0.752+1 = 0.75 ± 1.5625
cos = 0.75 ±1.25 =0.5
2 impossibile, cos 1,1( )
cos = 0.5 = 60° =3
rad
24
v
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 7
• L’equazione parametrica del moto di un punto materiale P si scrive:
• Determinare l’equazione della traiettoria y = y(x).
• Determinare inoltre la legge oraria s = s(t) con le condizioni iniziali t0 = 0 s, s0 = 1 m.
P t( ) O =t2
2ı̂ + 2 t
2ˆ
25DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 7 (II)
• Per componenti, le equazioni parametriche del moto si scrivono:
• Per trovare l’equazione della traiettoria bisogna eliminare il tempo dalle due equazioni:
• Si tratta dell’equazione di una retta di coefficiente angolare .
P t( ) O =t2
2ı̂ + 2 t
2ˆ
x t( ) =t2
2
y t( ) = 2 t2
x t( ) =t2
2t2= 2x
y x( ) = 2 t2= 2 2x
s0,s( )
s0
s
26DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 7 (III)
• Per trovare la legge oraria, dobbiamo trovare il percorso s lungo la traiettoria in funzione del tempo t.
• In generale, essendo le traiettorie delle curve, si può scrivere:
dove, l’integrale di linea rappresenta la lunghezza della spezzata mostrata in figura, quando la lunghezza dei segmentini, di lunghezza si, tende a 0 (e dunque la spezzata approssima la curva (s0, s)).
• Come si vede nella seconda figura,
s s0= d s
s0
,s( )
s0,s( )
s0
s
si= x
i( )2
+ yi( )2
d s = d x( )2
+ d y( )2
27
si
xi
yi
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 7 (IV)
• Nel nostro caso:
• Per cui:
• Occorre ora sostituire a s0 e t0 le condizioni iniziali.
x t( ) =t
2
2
y t( ) = 2 t2
d x
d t= t
d y
d t= 2 2 t
d x = t d t
d y = 2 2 t d t
d s = d x( )2
+ d y( )2
= t d t( )2
+ 2 2 t d t( )2
= t2+ 8t
2d t = 3t d t
s t( ) s0= d s
s0,s( )
= 3td t
t0
t
=3
2t2
t0
t
=3
2t2 3
2t0
2
s t( ) =3
2t2 3
2t0
2+ s
0
28DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
si
xi
yi
Esercizio 7 (V)
s t( ) =3
2t23
2t0
2+ s
0
s t( ) =3
2t23
202+1
s t( ) =3
2t2+1
29DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
s0,s( )
s0
s
Esercizio 8
• Un punto materiale P si muove, in un piano cartesiano Oxy su di una traiettoria di equazione:
con legge oraria:
• Se all’istante t0 = 0 s il punto materiale si trova nel punto A(5, 1), determinare, in funzione del tempo, il vettore posizionale:
y x( ) =
1
5x
s t( ) = 3t
2+ t +1
r = r t( ) = P t( ) O
30DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 8 (II)
• Dalla legge oraria:
troviamo, sostituendo:
• Dalla figura, si vede che:
• Dall’equazione della traiettoria troviamo:
• Da queste:
y =1
5x
A 5,1( ) P t( )
x t( )
y t( )
s t( ) = 3t
2+ t +1
s
0= s t
0( ) = s 0( ) = 1 s t( ) s
0= 3t
2+ t
s t( ) s
0= P t( ) A = x t( ) x
0
2
+ y t( ) y0
2
y t( ) = 1
5x t( )
y0= 1
5x0
s t( ) s0= x t( ) x
0
2
+ y t( ) y0
2
=
= x t( ) x0
2
+1
25x t( ) x
0
2
31DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 8 (III)
• Infine:
s t( ) s0=
26
25x t( ) x
0
2
=26
5x t( ) x
0
x t( ) x0=
5
26
s t( ) s0
y t( ) y0=
1
5x t( )
1
5x
0=
1
5x t( ) x
0=
1
26
s t( ) s0
x t( ) =5
26
s t( ) s0
+ x0=
5
26
s t( ) 1 + 5 =5
26
3t2+ t + 5
y t( ) =1
26
s t( ) s0
+ y0=
1
26
s t( ) 1 +1=1
26
3t2+ t +1
r t( ) = x t( ) ı̂ + y t( ) ˆ =3t2+ t + 26
26
5ı̂ + ˆ( )
32DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
y =1
5x
A 5,1( ) P t( )
x t( )
y t( )
Esercizio 9
• Il vettore posizionale di un punto materiale P è dato, in funzione del tempo, da:
• Determinare la legge oraria s = s(t) con le condizioni iniziali:
P t( ) O = r t( ) =t3
3ı̂ +
t2
2
+1 ˆ + t + 2( ) k̂
t0= 0s
s0= 0m
33DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 9 (II)
• L’esercizio è analogo all’esercizio 7, ma in questo caso il moto avviene in 3 dimensioni, per cui si ha (vedi figura):
• Dalle equazioni parametriche si ricava:
x
s
y
z
si= x
i( )2
+ yi( )2
+ zi( )2
d s = d x( )2
+ d y( )2
+ d z( )2
x t( ) =t
3
3
y t( ) =t
2
2
+1
z t( ) = t + 2
d x
d t= t
2
d y
d t= 2 t
d z
d t= 1
d x = t2d t
d y = 2 t d t
d z = d t
d s = d x( )2
+ d y( )2
+ d z( )2
= t2d t( )
2
+ 2 td t( )2
+ d t( )2
=
= d t t4+ 2t
2+1 = t
2+1( )d t
34DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
s0,s( )
s0
s
si
xi
yi
Esercizio 9 (III)
• Integrando:
s t( ) s0= d s
s0,s( )
= t2+1( )d t
t0
t
=t3
3+ t
t0
t
=t3
3+ t
t0
3
3t0
s t( ) =t3
3+ t
t0
3
3t0+ s
0=t3
3+ t
35DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
s0,s( )
s0
s
Esercizio 10
• Un punto materiale viene lanciato in direzione orizzontale da un’altezza h0 rispetto al suolo, con velocità v0.
• Trascurando la resistenza dell’aria si calcoli: – Le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione del punto materiale, in un
generico punto di altezza h;
– Lo spazio s percorso dal punto dall’istante del lancio a quello in cui tocca il suolo.
36DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 10 (II)
• Il punto materiale è soggetto all’accelerazione di gravità, costante, diretta lungo la verticale e con verso in basso:
• Integrando e scegliendo, per semplicità, t0 = 0, si ha:
• Integrando nuovamente: v0
at
an
a
a t( ) = gk̂
v t( ) v0= v t( ) v
0ı̂ = a t( )d t =
t0
t
gk̂ d t =t0
t
gk̂ d t =t0
t
gk̂ t t0
( )
v t( ) = v0ı̂ g t t
0( ) k̂ = v
0ı̂ gtk̂
r t( ) r0= v t( )d tt0
t
= v0ı̂ gtk̂( )d t
t0
t
= v0ı̂ d tt0
t
gk̂ td tt0
t
=
= v0ı̂ t
t0
t
gk̂t2
2t0
t
= v0t ı̂
gt2
2k̂
37DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 10 (III)
• Per rispondere alla domanda, occorre scrivere a e v in funzione di z. a è costante, mentre, per quanto riguarda v si ha:
r t( ) r0= r t( ) h
0k̂ = v
0t ı̂
1
2gt2k̂
r t( ) = v0t ı̂ + h
0
1
2gt2 k̂
r t( ) = v0t ı̂ + h
0
1
2gt2 k̂
x t( ) = v0t
z t( ) = h0
1
2gt2 t =
2
gh0z
v t( ) = v0ı̂ gtk̂ = v
0ı̂ g
2
gh0z t( ) k̂
v z( ) = v0ı̂ 2g h
0z k̂
38DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
v0
at
an
a
Esercizio 10 (IV)
• I componenti tangenziale e normale dell’accelerazione si possono scrivere come:
• Avremo dunque:
at= aiv̂( )v̂ componente di a nella direzione v̂( )
an= a aiv̂( )v̂ essendo a
n+ a
t= a a
n= a a
t( )
at= aiv̂ =
aiv
v
=
gk̂i v0ı̂ 2g h
0z k̂( )
v0ı̂ 2g h
0z k̂
=g 2g h
0z
v0
2+ 2g h
0z
at= aiv̂( )v̂ = aiv̂( )
v
v
=g 2g h
0z
v0
2+ 2g h
0z
v0ı̂ 2g h
0z k̂
v0
2+ 2g h
0z
=
=
g 2g h0z v
0ı̂ 2g h
0z k̂( )
v0
2+ 2g h
0z
39DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
v0
at
an
a
Esercizio 10 (V)
at=
g 2g h0
z v0ı̂ 2g h
0z k̂( )
v0
2+ 2g h
0z
an= a a
t= gk̂
g 2g h0
z v0ı̂ 2g h
0z k̂( )
v0
2+ 2g h
0z
=
=gk̂ v
0
2+ 2g h
0z( ) g 2g h
0z v
0ı̂ + g 2g h
0z 2g h
0z k̂
v0
2+ 2g h
0z
=
=gv
0
2k̂ g 2g h0
z v0ı̂
v0
2+ 2g h
0z
an= a
n=
gv0
2( )2
+ g 2g h0
z v0( )
2
v0
2+ 2g h
0z
40DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
v0
at
an
a
Esercizio 10 (VI)
• La seconda domanda chiede la lunghezza della traiettoria. Iniziamo scrivendone l’equazione:
an= a
n=
gv0
2( )2
+ g 2g h0z v
0( )2
v0
2+ 2g h
0z
=
gv0v0
2+ 2g h
0z( )
2
v0
2+ 2g h
0z
=
=gv
0v0
2+ 2g h
0z
v0
2+ 2g h
0z
=gv
0
v0
2+ 2g h
0z
r t( ) = v0t ı̂ + h
0
1
2gt2 k̂
x t( ) = v0t t =
x
v0
z t( ) = h0
1
2gt2
z = h0
1
2gt2 = h
0
1
2gx
v0
2
= h0
g
2v0
2x2
41
v0
at
an
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 10 (VII)
• Potremo scrivere:
• L’ascissa xC del punto in cui P raggiunge il suolo si ottiene da:
z = h0
g
2v0
2x2
dz
dx=
gx
v0
2
d s = d x( )2
+ d z( )2
= d x( )2
+ d xd z
d x
2
= 1+d z
d x
2
d x =
= 1+gx
v0
2
2
d x = 1+g 2
v0
4x2 d x
z = h0
g
2v0
2x2
z = 0
h0
g
2v0
2x2 = 0
xC=
2v0
2h0
g= v
0
2h0
g
42
v0
at
an
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 10 (VIII)
• Si ha perciò:
• Ricordando che:
• Si ha:
s = d s = 1+d z
d x
2
d x
0
xC
= 1+g 2
v0
4x2
d x
0
v0
2h0
g
1+ b2x
2d x =
1
2x 1+ b
2x
2+
1
2bln bx + 1+ b
2x
2+ C
s = 1+g 2
v0
4x2 d x
0
v0
2h0
g
=1
2x 1+
g 2
v0
4x2 +
v0
2
2glng
v0
2x + 1+
g 2
v0
4x2
0
v0
2h0
g
43
v0
at
an
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 10 (IX)
s =1
2x 1+
g 2
v0
4x2 +
v0
2
2glng
v0
2x + 1+
g 2
v0
4x2
0
v0
2h0
g
=
=1
2v0
2h0
g1+g 2
v0
4v0
22h
0
g+v0
2
2glng
v0
2v0
2h0
g+ 1+
g 2
v0
4v0
22h
0
g
v0
2
2gln 1 =
=1
2v0
2h0
g1+2gh
0
v0
2+v0
2
2gln
2gh0
v0
+ 1+2gh
0
v0
2
s =1
2v0
2h0
g1+2gh
0
v0
2+v0
2
2gln
2gh0
v0
+ 1+2gh
0
v0
2
44
v0
at
an
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 11
• Un dardo viene lanciato orizzontalmente nella direzione del centro di un bersaglio, alla velocità di 10 m/s.
• Dopo 0.19 s essa si conficca nel punto Q, sotto il centro P.
• Quanto vale la distanza PQ?
• Quanto dista il lanciatore dal bersaglio?
45DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 11 (II)
• Le equazioni parametriche del moto si scrivono:
• All’istante t = 0.19 s si ha:
• Avremo perciò:
v0 P
Q
r t( ) = v0t ı̂
1
2gt2ˆ
r 0.19s( ) = 10m s 0.19s ı̂1
29.81m s
2
0.192s
2ˆ =
= 1.9m ı̂ 0.177m ˆ
46DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 12
• Un punto materiale si muove lungo una guida circolare di raggio pari a r = 3.64 m, di moto uniformemente accelerato.
• In un certo istante t1, l’accelerazione del punto materiale forma un angolo = 22.0º con la direzione radiale e la velocità del punto materiale ha norma pari a 17.4 m/s. – Di quanto aumenta, in mezzo secondo la norma della velocità?
– Quanto vale la norma dell’accelerazione?
v
a
47DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 12 (II)
• Ricordando l’espressione intrinseca dell’accelerazione:
si capisce che l’aumento della norma della velocità ( ) dipende soltanto dalla componente tangenziale dell’accelerazione.
• Noi conosciamo la componente normale dell’accelerazione (perché conosciamo la velocità e il raggio) e la sua inclinazione rispetto al raggio; da questi dati possiamo calcolare la componente tangenziale dell’accelerazione.
• La componente normale dell’accelerazione vale:
a = att̂ + a
nn̂ = st̂ +
s2
n̂
sdt
ant1
( ) =s2
=17.4m s( )
2
3.64m=302.76 m
2s2
3.64m
= 83.18 m s2
48
v
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
Esercizio 12 (III)
• Sappiamo inoltre che:
• L’aumento in 0.5 s della norma della velocità sarà, essendo costante la componente tangenziale dell’accelerazione:
an= acos
at= asin
a =an
cos
at=an
cossin = a
ntan
at= a
nt1
( ) tan t1
( ) = 83.18m s2tan22° = 83.18m s
20.40 = 33.6m s
2
a t1
( ) =ant1
( )cos t
1( )
=83.18m s
2
cos22°=83.18m s
2
0.927= 89.7m s
2
v = s t = att = 33.6m s
20.5 s = 16.8m s
49
v
a
DOMENICO GALLI – Fisica Generale A – E 2. Esercizi di Cinematica
http://campus.cib.unibo.it/2457/
Domenico Galli Dipartimento di Fisica
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica