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Probabilidad
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Probabilidad. 2
Experimento Aleatorio
EL trmino experimento aleatorio se utiliza en lateora de la probabilidad para referirse a un procesocuyo resultado no es conocido de antemano concerteza.
Suma de valores en el lanzamiento de 2 dados.
-
Probabilidad. 3
Ejemplos
Nmero de piezas defectuosas en unamuestra de 100 piezas.
Nmero de llamadas a una centralitatelefnica en un da.
Energa elctrica consumida en Madriddurante un periodo de tiempo.
-
Probabilidad. 4
Espacio MuestralConjunto formado por todos los posiblesresultados de un experimento aleatorio.
DISCRETOS: Lanzamiento de un DADO: S = {1,2,3,4,5,6} Piezas defectuosas en una muestra de 100
S = {0,1,2,...,100} Llamadas a una centralita durante un da
S = {0,1,2,3,...,}CONTINUOS:
Energa consumida en Madrid: S={[0, )}
-
Probabilidad. 5
SucesoCualquier subconjunto del espacio muestral.
Obtener un nmero par al lanzar un dado
A = {2,4,6}
Observar menos de 5 piezas defectuosas enuna muestra de 100: B = {0,1,2,3,4,5}
Tener ms de 50 llamadas de telfono en unahora : C = {51,52,...,}
Tener una demanda de energa elctrica entre300 Mwh y 400 Mwh : D =(300,400)
-
Probabilidad. 6
Operaciones
Sean A y B dos subconjuntos de S
UninA B = {x : (x A) o (x B)}
Interseccin
A B = {x : (x A) y (x B)}
Complementario
= {x : x A}A
-
Probabilidad. 7
A BA B
A
-
Probabilidad. 8
Propiedades
==
==
==
==
BA
BA
CABACBA
CABACBA
CBACBA
CBACBA
ABBA
ABBA
SCA,B
BA
BA :Morgan de Leyes
)()()(
)()()(:vaDistributi
)()(
)()(:Asociativa
:aConmutativ
muestral espacioun de y sucesos tresDados
-
Probabilidad. 9
Axiomas de Probabilidad
U
K
n
i
n
i ii
ji
n
APAP
jiAA
A,A,A
P(S)
P(A)
11
21
)()(
cuando cumplen que
, sucesos de secuencia una Para.3
1.2
10.1
:satisfacey SA suceso cada a P(A) valoresasigna
adprobabilid defuncin una S, muestral espacioun Dado
= ==
=
=
-
Probabilidad. 10
Problema fundamental Dado un espacio muestral discreto con resultados
A1, A2, ..., An , el experimento aleatorio quedacaracterizado si asignamos un valor P(Ai) nonegativo a cada resultado Ai que verifique
P(A1)+P( A2)+ ...+P(An)=1.
Ejemplo. Se lanza dos veces una moneda.
{XX,XC,CX,CC}
Se asigna probabilidad 1/4 a cada uno de los cuatroresultados.
Es una asignacin correcta?
-
Probabilidad. 11
Propiedades elementales
)()1()(
)()()(
, sucesos Para.5
).()()()(
,, racualesquie sucesos dos Para.4
. entonces Si.3
).(1)(.2
.0)(.1
211
1
1 11
21
nn
n
i
n
ijkji
n
jk
n
i
n
i
n
ijjii
n
ii
n
AAAPAAAP
AAPAPAP
S,...,A,AAn
BAPBPAPBAP
SBA
P(B)P(A)BA
APAP
P
++
+=
+=
=
=
+= > >
= = >=
LL
U
-
Probabilidad. 12
Asignacin de probabilidades
1. Clsica (Laplace): Equiprobabilidad
2. Frecuencialista (von Mises, 1931)
3. Subjetiva
-
Probabilidad. 13
Clsica: sucesos equiprobables
Sea un experimento con un nmero finito deresultados excluyentes y equiprobables, laprobabilidad del suceso A es
donde N es el nmero de resultados posiblesdel experimento y N(A) el nmero deresultados favorables al suceso A.
,)(
)(N
ANAP =
-
Probabilidad. 14
Ejemplos (equiprobabilidad)
Lanzamiento de una moneda. S={C,X}
Lanzamiento de un dado. S={1,2,3,4,5,6}
Extraccin de una de las 40 cartas de labaraja, S={1 Oros,2 Oros,...., Rey Bastos}
2
1)( =CP
.2
1
6
3)"(" ==parNmeroP
.4
1
40
10)( ==BastosP
-
Probabilidad. 15
Lanzamiento de dos dados
1 2 3 4 5 61 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
P(suma 7) = 6/36 = 1/6
2 Dado
1er Dado
-
Probabilidad. 16
Urna: 2 Negras y 3 Blancas
Se extraen dos bolas al azar, una detrs de otra, sinreposicin.
P(1 Blanca y 2 Negra) = 6/20 = 3/10
B1 B2 B3 N1 N2B1 B2,B1 B3,B1 N1,B1 N2,B1B2 B1,B2 B3,B2 N1,B2 N2,B2B3 B1,B3 B2,B3 N1,B3 N2,B3N1 B1,N1 B2,N1 B3,N1 N2,N1N2 B1,N2 B2,N2 B3,N2 N1,N2
1 Bola
2 B
ola
-
Probabilidad. 17
Urna: 2 Negras y 3 Blancas
Se extraen dos bolas al azar, una detrs de otra, conreposicin.
P(1 Blanca y 2 Negra) = 6/25
B1 B2 B3 N1 N2B1 B1,B1 B2,B1 B3,B1 N1,B1 N2,B1B2 B1,B2 B2,B2 B3,B2 N1,B2 N2,B2B3 B1,B3 B2,B3 B3,B3 N1,B3 N2,B3N1 B1,N1 B2,N1 B3,N1 N1,N1 N2,N1N2 B1,N2 B2,N2 B3,N2 N1,N2 N2,N2
1 Bola
2
B
o
l
a
-
Probabilidad. 18
SIN REEMPLAZAMIENTO CON REEMPLAZAMIENTO
Primera extraccin Primera Extraccin1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)2 (1,2) (3,2) (4,2) (5,2) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)3 (1,3) (2,3) (4,3) (5,3) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)4 (1,4) (2,4) (3,4) (5,4) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
Nmero = 20 Nmero = 25
Primera extraccin Primera extraccin1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 1 (1,1)2 (1,2) 2 (1,2) (2,2)3 (1,3) (2,3) 3 (1,3) (2,3) (3,3)4 (1,4) (2,4) (3,4) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
Nmero = 10 Nmero = 15
IMPORTA
EL ORDEN
NO IMPORTA
EL ORDEN
Combinatoria: 5 objetos tomados de dos en dos
-
Probabilidad. 19
+
r
rn
r
n
nrn
n r
1
ORDEN EL
IMPORTA NO
)!(
!
ORDENEL
IMPORTAIENTOREEMPLAZAM
CON
IENTOREEMPLAZAM
SIN
Combinatoria: Nmero posible dereordenaciones de n objetos tomados de r en r
-
Probabilidad. 20
La primitiva. Se eligen 6 nmeros distintos del 1 al 49,ambos inclusive.
Probabilidad de acertar los 6.
Probabilidad de acertar 5.
Probabilidad de acertar 4.
Probabilidad de no acertar ninguno.
Probabilidad de que salga un nmero concreto, porejemplo el nmero 1.
1 - 6 - 21 - 29 - 33 -43
-
Probabilidad. 21
1224,049
6
6
49
5
48
1) el Salga(
44,0816.983.13
454.096.6
6
49
6
43
(Ninguno)00097,0816.983.13
545.13
6
49
2
43
4
6
4)(Acertar
000018,0816.983.13
258
6
49
1
43
5
6
5)(Acertar 000000072,0816.983.13
1
6
49
1 6)Acertar (
==
=
==
===
=
==
===
=
P
PP
PP
Primitiva
-
Probabilidad. 22
En una estacin de metro hay 5 pasajeros esperando a untren con 10 vagones, si cada pasajero elige un vagn al azar,cul es la probabilidad de que todos elijan un vagndiferente?
3024.010
678910)()( 5 === N
ANAP
De un lote con 100 piezas se toman al azar 10, si todas laspiezas elegidas son buenas se acepta el lote y se rechaza encaso contrario. Cul es la probabilidad de aceptar un lotecon 10 piezas defectuosas?
330.09199100
818990
!100
!90
!80
!90)()(
!10!80
!90
10
90)(;
!90!10
!100
10
100
====
=
==
=
LL
N
ANAP
ANN
-
Probabilidad. 23
CumpleaosProbabilidad de que en un grupo de r = 25 personashaya al menos dos con el mismo cumpleaos.
1 2 ... 365 A1 A2 ... Ar
r
578.025,1
365
)1365(1)-365(365 )(
ia"coincidenc ninguna haya No "
===
+==
) AP(r- P(A) ) AP(
rAP
A
r
L
-
Probabilidad. 24
Probabilidad y Frecuencia Relativa
La probabilidad P(A) de un suceso A es ellmite
dnde nA es el nmero de veces que haocurrido A al repetir el experimento n vecesen idnticas condiciones.
n
nlimAP An
=)(
-
Probabilidad. 25
Frecuencia relativa de caras
0,00
0,50
1,00
0 50 100 150 200
N de lanzamiento
N
d
e
C
a
r
a
s
/
N
d
e
L
a
n
z
a
m
i
e
n
t
o
s
-
Probabilidad. 26Total sorteos 1.380 (2000 - 104; 2001 - 74)
-
Probabilidad. 27
-
Probabilidad. 28
Mujeres Hombres(M) (H)
Fumadores(F)
No Fumadores(N)
0,31
TOTAL
TOTAL 1,000,51 0,49
0,30
0,70
0,12 0,18
0,39
==
===
22,055,0
12,0)|(
40,045,0
18,0)|(
30,0)(
MFP
HFP
FP
Probabilidad Condicionada
-
Probabilidad. 29
Probabilidad Condicionada
Definicin. Sea B un suceso con probabilidaddistinta de cero, se define probabilidad delsuceso A dado B a:
.)(
)()|(
BP
BAPBAP
=
-
Probabilidad. 30
Utilidad
Actualizar probabilidad del suceso A enfuncin de la informacin disponible I
P(A|I) = P(AI)/P(I) Clculo de la interseccin de sucesos
P(A B) = P(A|B)P(B) Clculo de probabilidad de un suceso
)()|()()|(
))()(()(
BPBAPBPBAP
BABAPAP
+==
-
Probabilidad. 31
Ejemplo Urna
Probabilidad de 1 Blanca y 2 Negra
Sin reemplazamiento:
P(B1 N2) = P(B1) P(N2| B1)
= (3/5)(2/4) = 3/10
Con reemplazamiento:
P(B1 N2) = P(B1) P(N2| B1)
= (3/5)(2/5) = 6/25
-
Probabilidad. 32
CumpleaosProbabilidad de que en un grupo de r = 25 personashaya al menos dos con el mismo cumpleaos.
1 2 ... 365 A1 A2 ... Ar
r
578.025,1
365
1365
365
2365
365
13651
)|()|()|()
"r en iacoincidenc ninguna haya No "
121213121
===
+==
=
) BP(r)- P(B ) BP(
r
AAABPAABPABP P(B) P(B
B
rrr
rrr
r
L
LL
-
Probabilidad. 33
Ejemplo
Urna U1 Urna U2
Se elige una urna al azar y se extrae una bola: P(Blanca) ?
425.040
17
2
1
4
1
2
1
5
3
)2()2|()1()1|()(
==+=+= UPUBPUPUBPBP
-
Probabilidad. 34
Ejemplo (cont.)
Urna U1 Urna U2
Se toma al azar una bola de U1 y se mete en U2. Se extraeuna bola de U2: P(Blanca) ?
32.025
8
5
2
5
1
5
3
5
2
)1()1|()1()1|()(
==+=+= NPNBPBPBBPBP
-
Probabilidad. 35
IndependenciaSi el conocimiento de la ocurrencia de un suceso B cambia
la probabilidad de que ocurra otro A, se dice que A y B son
dependientes, en ese caso P(A|B) P(A).
Cuando el suceso A es independiente de B, la ocurrencia de
B no cambia la probabilidad de A, es decir P(A|B) = P(A).
Como P(A|B) = P(AB)/P(B),
A y B son independientes P(AB) = P(A) P(B)
-
Probabilidad. 36
Lanzamiento de dos monedasS = {CC, CX, XC,XX}
Hiptesis:
Monedas equilibradas: P(C) = P(X)
Independientes
P (CC) = P(C) P(C) = (1/2)(1/2) = 1/4
P (CX) = P(C) P(X) = (1/2)(1/2) = 1/4
P (XC) = P(X) P(C) = (1/2)(1/2) = 1/4
P (XX) = P(X) P(X) = (1/2)(1/2) = 1/4
-
Probabilidad. 37
Tres sucesos A, B y C son independientes si
P(A B C) = P(A) P(B) P(C)
P(A B) = P(A) P(B)
P(A C) = P(A) P(C)
P(B C) = P(B) P(C)
Los sucesos A1 , A2 , ..., An son independientes sicualquier subconjunto Ai1, Ai2, ..., Aik, cumple
P(Ai1Ai2... Aik) = P(Ai1)P( Ai2)...P(Aik)
Independencia (3 o ms sucesos)
-
Probabilidad. 38
Probabilidad Total
B1 B2 B3B4 B5
B6B9 B10
B7 B8
A
SBBB
jiBB
SB,...,B,BB
n
ji
jn
==
L21
21
,
:
Particin.
[ ][ ]
)()|()()|()()|()(
)()()(
)()()(
)(
)()(
2211
21
21
21
nn
n
n
n
BPBAPBPBAPBPBAPAP
BAPBAPBAP
BABABAP
BBBAP
SAPAP
LLL
L
++=+++==
==
-
Probabilidad. 39
Teorema de Bayes
.
:cualquier para
entonces ,0con sucesocualquier
seay 21 para ,0 que tal
espacio delparticin una Sea
1
21
=
=
>=>
n
jjj
iii
i
j
n
))P(BP(A|B
))P(BP(A|B|A)P(B
B
P(A)
A,...,n,j)P(B
S,...,B,BB
-
Probabilidad. 40
Ejemplo (Bayes)M-1
5 % D
M-2
20 % D
M-3
10 % D
ALMACN
200 p/h 100 p/h 100 p/h
El porcentaje de piezas defectuosas fabricadas por tresmquinas es 5%, 20% y 10%. La primera fabrica 200 piezaspor hora y las otras dos 100 piezas por hora. Todas las piezas
fabricadas se llevan a un almacn. Al final del da se tomauna pieza del almacn y es defectuosa, cul es la
probabilidad de que proceda de M-1?
-
Probabilidad. 41
1)|()|()|(
25.025.010.025.020.05.005.0
25.010.0
)()|()()|()()|(
)()|()|(
50.025.010.025.020.05.005.0
25.020.0
)()|()()|()()|(
)()|()|(
25.025.010.025.020.05.005.0
5.005.0
)()|()()|()()|(
)()|()|(
321
332211
333
332211
222
332211
111
=++
=++=
++=
=++=
++=
=++=
++=
DMPDMPDMP
MPMDPMPMDPMPMDP
MPMDPDMP
MPMDPMPMDPMPMDP
MPMDPDMP
MPMDPMPMDPMPMDP
MPMDPDMP
-
Probabilidad. 42
Si una persona es portadora del virus A, un anlisis desangre lo detecta el 99% de las veces. Sin embargo, el testtambin proporciona falsos positivos, indicando lapresencia del virus en el 3% de personas sanas. Si slo 5 decada 1000 personas tienen el virus, cul es la probabilidadde que una persona tenga el virus realmente si el anlisis hadado positivo?
142.0995.003.0005.099.0
005.099.0
)()|()()|(
)()|(
)(
)()|(
positivo" es anlisis El"SVirus" elTener "
=+=
+==
==
VPVSPVPVSP
VPVSP
SP
SVPSVP
V
-
Probabilidad. 43
Ejemplo Virus(Aplicado a 1.000.000 personas)
SANOS ENFERMOS TotalNEGATIVO 965.150 50 965.200POSITIVO 29.850 4.950 34.800
Total 995.000 5.000 1.000.000
Entre los 34.800 que han dado positivo, slo4.950 tienen el virus
P(V|S) = 4.950/34.800 = 0.142
ProbabilidadExperimento AleatorioEjemplosEspacio MuestralSucesoOperacionesPropiedadesAxiomas de ProbabilidadProblema fundamentalPropiedades elementalesAsignacin de probabilidadesClsica: sucesos equiprobablesEjemplos (equiprobabilidad)Lanzamiento de dos dadosUrna: 2 Negras y 3 BlancasUrna: 2 Negras y 3 BlancasCumpleaosProbabilidad y Frecuencia RelativaProbabilidad CondicionadaUtilidadEjemplo UrnaCumpleaosEjemploEjemplo (cont.)IndependenciaLanzamiento de dos monedasProbabilidad TotalTeorema de BayesEjemplo (Bayes)Ejemplo Virus (Aplicado a 1.000.000 personas)