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Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas

2.2: Resumen numérico

Medidas de localización. Medidas de dispersión. Medidas de forma.

Lecturas recomendadas:

• Capítulos 2 a 6 del libro de Peña y Romo (1997)• Capítulos 3 a 7 del libro de Portilla (2004)


MEDIDAS DESCRIPTIVAS

¿Para qué nos sirven?

¿Se pueden calcular todas con todo tipo de variables?

¿Cuáles son las más adecuadas en cada caso?

¿De qué forma podemos sacar partido a nuestra calculadora?


Medidas de localización

Existen tres medidas comunes: la moda, la mediana y la media.

Una muestra del número de años en el ayuntamiento de los últimos 24 alcaldes de Madrid

3 1 1 1 1 1 2 17 6 13 8 3 2 1 12 1 1 7 3 2 12 6


La moda

Clase Frecuencia1 102 43 34 05 06 27 28 19 0

10 011 012 113 1

y mayor... 0

Es el valormás frecuente

Puede haber más de una moda: bimodal-trimodal-plurimodal

¿Podemos calcular la moda con datos cualitativos?

¿Tiene sentido esta definición con datos continuos?


La moda con datos (continuos) agrupados

Tenemos una clase modal

¿Qué hacemos si las clases son de distintas anchuras?

Ingresos y Derechos liquidados

(millones de PTAS)

Frecuencia absoluta

≤ 30 0

(30,45] 2

(45,60] 9

(60,75] 9

(75,90] 10

(90,105] 3

(105,120] 3

> 120 0

Total 60


Un valor exacta para la moda con datos agrupados

Ingresos de ayuntamientos de Madrid (millones de PTAS)

0

2

4

6

8

10

12

15 37,5 52,5 67,5 82,5 97,5 112,5 >120

Ingresos

El centro del intervalo modal

La moda


La mediana

Es la observación que ocupa el lugar central.

5 3 11 21 7 5 2 1 3

¿Qué valor toma la mediana?

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Tenemos en cuenta también los que se repiten.

3. La mediana, es el “CENTRO FÍSICO”

¿Cómo cambia el cálculo si N es par o impar?

¿Podemos calcular la mediana para datos cualitativos?


3 1 1 1 1 1 2 17 6 13 8 3 2 1 12 1 1 7 3 2 12 6

1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 3 33 6 6 7 7 8 12 13

La mediana es ½*(2+2)=2

Los alcaldes


x i n i N i f i F i

1 10 10 0,41666667 0,416666672 4 14 0,16666667 0,583333333 3 17 0,125 0,708333334 0 17 0 0,708333335 0 17 0 0,708333336 2 19 0,08333333 0,791666677 2 21 0,08333333 0,8758 1 22 0,04166667 0,916666679 0 22 0 0,91666667

10 0 22 0 0,9166666711 0 22 0 0,9166666712 1 23 0,04166667 0,9583333313 1 24 0,04166667 1

y mayor... 0 24 0 1

Mediana<0,5>0,5

La mediana a través de la tabla de frecuencias (datos discretos)


La mediana con datos agrupados

Ingresos ni Ni fi Fi

≤ 30 0 0 0 0

(30,45] 2 2 0,05555556 0,05555556

(45,60] 9 11 0,25 0,30555556

(60,75] 9 20 0,25 0,55555556

(75,90] 10 30 0,27777778 0,83333333

(90,105] 3 33 0,08333333 0,91666667

(105,120] 3 36 0,08333333 1

> 120 0 36 0 1

Total 36 1

Intervalo mediano


Frecuencias relativas acumuladas de los ingresos de ayuntamientos

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

15 37,5 52,5 67,5 82,5 97,5 112,5 >120

Ingresos

0,5

La mediana

Un valor exacta para la mediana con datos agrupados


Una fórmula para calcular la mediana con datos agrupados

donde el intervalo mediano es (ai-1,ai] de tamaño li = ai-ai-1

¿Cuál es el valor de la mediana de los ingresos de ayuntamientos?


La media

La media o media aritmética es el promedio de todos los datos de la muestra.

Para los alcaldes, la suma de los datos es:

3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 17 + 6 + 13 + 8 + 3 + 2 + 1 + 12 + 1 + 1 + 7 + 3 + 2 + 12 + 6 = 86

Luego, la media es 86/24 ≈ 3,583 años.

¿Podemos calcular la media para datos cualitativos?


La media a través de la tabla de frecuencias (datos discretos)

xi ni ni * xi

1 10 102 4 83 3 94 0 05 0 06 2 127 2 148 1 89 0 0

10 0 011 0 012 1 1213 1 13

y mayor … 0 0Total 24 86 3,58333333


La fórmula


La media con datos agrupados

Ingresos xi ni xi*ni

<= 30 22,5 0 0(30,45] 37,5 2 75(45,60] 52,5 9 472,5(60,75] 67,5 9 607,5(75,90] 82,5 10 825(90,105] 97,5 3 292,5(105,120] 112,5 3 337,5> 120 127,5 0 0Total 36 2610 72,5

Es la misma fórmula pero usando la marca de clase.


La moda, mediana y media para datos asimétricos


Otros puntos de la distribución: mínimo, máximo y cuartiles

Ordenando los datos, el mínimo y máximo son fáciles de calcular.

1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 3 33 6 6 7 7 8 12 13

¿Y los cuartiles?

1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 3 33 6 6 7 7 8 12 13

3er cuartil = (6+6)/2 2º cuartil = mediana = (2+2)/2

1er cuartil = (1+1)/2


Cálculo de cuartiles

Tenemos el siguiente conjunto de datos:

47 52 52 57 63 64 69 7172 72 78 81 81 86 91

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Calculamos c2 , que ocupa la posición correspondiente a la “mitad”,

¿con qué parámetro visto ya coincide este segundo cuartil?

3. Ahora calculamos, la “mitad” de la primera parte: c1 .

4. Y la “mitad” de la segunda parte: c3 .


47 47

52 52

52 52

57 57

63 63

64 64

69 69

71 71 71

72 72

72 72

78 78

81 81

81 81

86 86

91 91

c2 = 71

c1 = 60

c3 = 79,5


Representación gráfica de los datos con los cuartiles

1. Los cálculos:Primer cuartil: 60Segundo cuartil: 71Tercer cuartil: 79,5Media aritmética: 69,07

2. Hay datos que pueden provenir de observaciones “mal tomadas”: datos atípicos.

Para detectarlas, calculamos:LI=c1-1,5(c3-c1)

LS=c3+1,5(c3-c1)

Box-and-Whisker Plot

47 57 67 77 87 97


Ejercicio

Construir un diagrama de caja para el siguiente conjunto de datos.

35 45 45 55 57 62 64 64

64 65 73 74 74 76 78 80

82 84 86 92 92 92 93 94

97 112 116 116 123 123 124 128

140 143 173 214 255 277

estadística aplicada a las ciencias políticas 2.2: resumen numérico medidas de localización....

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