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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeExemplos de v. a. contínuas: Erlang, Hiperexponencial, Gamma, Weibull, Normal, ChiSquare, Uniforme, Lognormal, Pareto
Aula passadaDistribuição da soma, máximo e mínimo de v.a. discretasV.A. Contínua: função distribuição, função densidade V. A. Exponencial, Hypoexponencial
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Variável Aleatória Hypoexponencial
Exp1
Exp2
Exp3
Exp4
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Variável Aleatória Erlang
Exp Exp Exp Exp
r = número de estágios
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Variável Aleatória Erlang
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Variável Aleatória Erlang
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Variável Aleatória Hyperexponencial
p1p2p3p4
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Parâmetros de CDF's
Uma distribuição pode ser deslocada e reescalonada por uma transformação do tipo: y = (x-mu)/sigma, correspondendo a uma mudança de origem e unidade
Os parâmetros location e scale são usados para fazer esta transformação (ex: normal)
Location: fornece o posicionamento da distribuição com relação ao eixo das abcissasScale: define a amplitude da distribuição
Algumas distribuições podem ter a sua forma alterada através do parâmetro shape que define a forma da distribuição (ex: gamma, weibull)
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Variável Aleatória Gamma
Modela a soma de exponenciais onde o número de estágios é contínuo
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Variável Aleatória Gamma
alpha (shape), lambda (scale)
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Variável Aleatória Gamma
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Variável Aleatória Weibull - 1
É usada para descrever tempo para falha devido a fadiga de um componente
Também tem sido usada para modelar um usuário acessando a web (tempo em ON e intervalo entre requisições)
Assume diversas formas variando-se os parâmetros lambda(scale) e alpha(shape)
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Variável Aleatória Weibull - 2
Esta forma possui um parâmetro a mais, o theta (location)
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Variável Aleatória Weibull
Efeito do parâmetro alpha (shape)
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Variável Aleatória Weibull
Efeito do parâmetro lambda (scale)
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Variável Aleatória Weibull
Efeito do parâmetro theta (location)
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Variável Aleatória Weibull: Exemplo
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Variável Aleatória Gaussiana ou Normal
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Variável Aleatória Normal x Teorema do Limite Central
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Variável Aleatória Normal
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Variável Aleatória Normal Padrão
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Variável Aleatória Normal: exemplo
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Variável Aleatória Chi-Square
É a distribuição da soma do quadrado de variáveis aleatórias com distribuição Normal (0,1).
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Variável Aleatória Chi-square
Graus de liberdade (degrees of fredom) – n
Não existe somente uma distribuição Chi-square, existe uma família indexada pelo parâmetro n
A distribuição Chi-square com nn graus de liberdade é a distribuição da soma do quadrado de n v.a. Normal(0,1).
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Variável Aleatória Uniforme
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Variável Aleatória Uniforme (função densidade)
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Variável Aleatória Uniforme (função distribuição)
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Variável Aleatória Uniforme (função distribuição)
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Variável Aleatória Lognormal Seja Y v.a. normal e Y = ln(X)
X é v.a. lognormal com parâmetros mu e sigma
Exemplo: tempo de reparo, tempo de vida de componentes de um sistema
O produto de n variáveis lognormais é uma variável lognormal:
X =X 1∗X 2∗⋯X n
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Variável Aleatória Pareto
Tem sido usada para modelar: Tamanho de arquivo web armazenado em provedores Tempo em OFF de uma fonte web (tempo que o usuário está pensando) Tamanho de uma rajada FTPTempo de CPU consumido por um processoTamando de reservatórios de petróleo
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Variável Aleatória Pareto
K é o menor valor que v.a. pode assumir.
alpha é o parâmetro shape
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Variável Aleatória Pareto
K = 1, é o menor valor que v.a. pode assumir
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Princípio de Pareto
Para diversos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos provém de 20% das causas
Exemplo: 80% das vendas provém de 20% dos clientes
80% das vendas
20% dos clientes
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Princípio de Pareto
Não existe uma relação de 1 para 1 entre a causa e o efeito
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Princípio de Pareto: por que é importante ?
É importante saber que a maioria dos resultados vêem de uma minoria:
20% dos trabalhadores contribuem para 80% dos resultados
20% dos bugs contribuem para 80% dos crashes
20% dos usuários contribuem para 80% das vendas
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Cauda Longa (Heavy Tail)
Uma distribuição possui cauda longa com parâmetro 0<p<=2, se existe uma constante k tal que para um valor grande de x:
1−F X x
k
x p
onde f(x) ~ g(x) significa que f(x)=g(x)(1+e(x)), com
lim x∞ e x=0
uma distribuição de cauda longa possui variância infinita e para p<=1, média infinita
~
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Teste para cauda longa
Teste para a cauda longa: plotar a distribuição complementar em escala log-log e procurar por uma relação linear com coeficiente p
Para a v.a. Pareto, temos:
1−F X x=kxp
Para a v.a. Exponencial temos: 1−F X x=e− x
1−F X xk
x p~
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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial
1−F X x=kx
A distribuição complementar da v.a. Pareto obedece a uma Lei de Potência
Para k=1,=1, temos log 1 / xPara k=1,=2, temos log 1 / x2
Para v.a. Exponencial, temos:
1−FY y=e− x , Para=1, temos log e−x
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Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial