estructuras algebraicas trabajo final …demetrio/monografias/materias/ea/36... · medida...

Estructuras AlgebraicasTrabajo Final

Representaciones lineales degrupos finitos

Lavie, Julieta

Sosa, Nicolas

Profesor: Dr. Stojanoff, DemetrioFacultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

1

INDICE 2

Indice

1. Introduccion 4

2. Preliminares 52.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Generalidades sobre representaciones lineales 103.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Subrepresentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4. Representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5. Producto tensorial de dos representaciones . . . . . . . . . . . . . 14

4. Teorıa de caracteres 154.1. El caracter de una representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. El lema de Schur. Primeras aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . 174.3. Relaciones de ortogonalidad de los caracteres . . . . . . . . . . . 194.4. Descomposicion de la representacion regular . . . . . . . . . . . . 234.5. Numero de representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . 244.6. La descomposicion canonica de una representacion . . . . . . . . 27

5. Complementos 295.1. Grupos conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2. Producto de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6. Extension a los grupos compactos 316.1. Grupos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2. Medida invariante sobre un grupo compacto . . . . . . . . . . . . 316.3. Representaciones lineales de grupos compactos . . . . . . . . . . 32

7. Algunos ejemplos 347.1. El grupo cıclico Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.2. EL grupo C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.3. El grupo diedral Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.3.1. Realizaciones de Dn como grupo de desplazamientos delespacio de tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.3.2. Representaciones irreducibles del grupo Dn (n ≥, par) . . 357.3.3. Representaciones irreducibles del grupo Dn(n impar) . . . 36

7.4. El grupo Dnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.5. El grupo D∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.5.1. Realizaciones de D∞ como grupo de desplazamientos delespacio de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

INDICE 3

7.5.2. Representaciones irreducibles del grupo D∞ . . . . . . . . 387.6. El grupo D∞h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1 INTRODUCCION 4

1. Introduccion

La nocion de grupo fue introducida por E. Galois hacia 1829, si bien estaimplıcita en obras de Lagrange y Gauss. Su importancia no fue reconocidadurante un largo perıodo, hasta que Felix Klein le dio un lugar fundamentalen su interpretacion de la geometrıa no euclideana. A fines del siglo XIX, lateorıa de grupos finitos inicia un vigoroso desarrollo a traves de los trabajos deFrobenius y Burnside, y ma adelante de Schur.

Un problema fundamental de la teoıa es determinar todas la representacio-nes de dimension finita de un grupo dado G, sobre un cuerpo algebraicamentecerrado K. Este problema no solo es interesante en sı mismo y por sus aplicacio-nes en otros campos, sino que es importante para entender la estructura internadel grupo G. Las posibles soluciones de estos problemas se encuadran en doscasos radicalmente diferentes: cuando la caracterıstica del cuerpo es cero o nodivide al orden del grupo G, y cuando la caracterıstica de K divide al orden deG.

En el primer caso, toda representacion es completamente reducible, esto es,es suma directa de representaciones irreducibles; donde la cantidad de represen-taciones irreducibles es igual a la cantidad de clases de conjugacion del grupo Gy las dimensiones de las representaciones irreducibles dividen al orden del grupo.Sin embargo, el problema de describir explıcitamente todas las representacionesirreducibles del grupo fijo G es mucho mas complicado en cada caso particular.

En el segundo caso, es decir, cuando la caracterıstica del cuerpo divide alorden del grupo, hay representaciones que no son completamente reducibles yla teorıa es mucho mas difıcil.

En este trabajo nos concentraremos en exponer el primer caso.

2 PRELIMINARES 5

2. Preliminares

2.1. Grupos

Definicion 2.1. Un grupo es un conjunto G junto con una operacion binaria

· : G×G→ G

que satisface las siguientes tres condiciones:

a · (b · c) = (a · b) · c; ∀a, b, c ∈ G (asociatividad)

Existe un elemento 1 ∈ G tal que a · 1 = 1a = a; ∀a ∈ G (existecia de unelemento identidad)

∀a ∈ G existe un b ∈ G tal que a · b = b · a = 1 (existe un inverso paracada uno de los elementos de G)

Ademas, se dice abeliano si cumple que:

a · b = b · a; ∀a, b ∈ G

Proposicion 2.1. Sea G un grupo.

I) La identidad 1 de G es unica.

II) El inverso b de a ∈ G es unico. Lo denotamos como a−1.

III) (a−1)−1 = a;∀a ∈ G y (a · b)−1 = b−1 · a−1; ∀a, b ∈ G.

IV) Si a, b ∈ G las ecuaciones a ·x = b, y · a = b cada una tiene solucion unicaen G.

V) Si a, b, c ∈ G, entonces a · b = a · c implica que b = c y a · b = c · b implicaque a = c

Definicion 2.2. El orden de G, denotado | G |, es el cardinal del grupo G.

Definicion 2.3. Dado dos conjuntos A,B con dos operaciones ◦A, ◦B de cadaconjunto respectivamente, un morfismo (o tambien llamado homomorfismo)es una funcion φ : A→ B que verifica: dados a1, a2 ∈ A,φ(a1 ◦A a2) = φ(a1) ◦B φ(a2)

2.2. Matrices

Definicion 2.4. La formula de Leibniz para el determinante de una matriz cua-drada T de orden n es:

det(A) =∑σ∈Pn

sgn(σ)

n∏i=1

ai,σi .

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones σ del conjunto{1, 2, . . . , n}. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ)es la signatura de σ, esto es +1 si la permutacion es par y −1 si es impar.

2 PRELIMINARES 6

Definicion 2.5. Dada una matriz de m× n

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

La traza de A es el escalar

Tr(A) =∑i

aii

Definicion 2.6. Dos matrices A,B ∈ Cn×n son semejantes si existe P ∈ Cn×ncon det(P ) 6= 0 tal que B = P−1AP

2.3. Espacios vectoriales

Definicion 2.7. Un endomorfismo es una aplicacion lineal de un espacio vec-torial V en sı mismo.

Definicion 2.8. Un isomorfismo es una aplicacion lineal biyectiva entre dosespacios vectoriales.

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los numeros complejos, ysea GL(V ) el grupo de isomorfismos de V . Un elemento T de GL(V ) es, pordefinicion, una aplicaion lineal de V en V que admite inversa T−1, tambienlineal. Si V admite una base finita (ei) de n elementos, toda aplicacion linealT : V → V se representa por una matriz cuadrada (tij) de orden n. Los coe-ficientes tij son numeros complejos; se calculan expresando T (ej) en la base(ei):

T (ej) =∑i

tijei

Decir que T es un isomorfismo equivale a decir que el determinantedet(T ) = det(tij) de T es no nulo. En efecto:

T es isomorfismo ⇒ ∃W : V → V / T ◦W = W ◦ T = IdDada una base E = {ei}ni=1 [T ◦W ]E = [T ]E .[W ]E = [id]E = Iy [W ◦ T ]E = [W ]E .[T ]E = [id]E = ILuego, [T ]E [W ]E = I ⇒ det([T ]E .[W ]E) = det(I)det([T ]E).det([W ]E) = 1det([T ]E) = 1

det([W ]E) 6= 0

Por lo tanto, det(T ) es no nulo.

Supongamos ahora que det(T ) 6= 0 ⇒ [T ]B tiene inversa, cualquiera seala base B.Luego, ∃W ; [W ]B .[T ]B = [id]B = [W ◦ T ]By [T ]B .[W ]B = [id]B = [T ◦W ]BPor lo tanto, W ◦ T = T ◦W = I ⇒ T es isomorfismo.

2 PRELIMINARES 7

Identificamos ası al grupo GL(V ) como el grupo de matrices cuadradas inverti-bles de orden n.

Ahora, sea A un endomorfismo, cuya matriz, en una base (ei) de V es (aij).Definimos entonces, la Tr(A) como la suma de los valores propios de A (contadoscon su multiplicidad). Esta no depende de la base (ei) elegida.

En efecto, dada la matriz A, existen bases tales que llevan la matriz A a suforma canonica de Jordan. Como las matrices cambio de base son semejantes,no afecta a la base. Luego, en su base de Jordan, la matriz A quedarıa

A =

A11 0 · · · 00 A22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Ann

con cada

Aii =

λik 1 0 · · · 00 λik 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · λik

y donde cada k representa la multiplicidad de ese valor propio λi.Con esto, vemos que la Tr(A) es la suma de los valores propios de A, indepen-dientemente de la base (ei) que elijamos.

Definicion 2.9. Un subespacio invariante del endomorfismo A es un subes-pacio vectorial que se transforma en sı mismo mediante A. Es decir, W ⊂ V essubespacio invariante si A(W ) ⊂W .

Definicion 2.10. Sea V un espacio vectorial, W y W ′ subespacios de V . Se diceque V es suma directa de W y W ′ si todo x ∈ V se puede escribir de maneraunica en la forma x = w + w′, w ∈Wy w′ ∈W ′

Es equivalente decir que W ∩W ′ = 0 y dim(V ) = dim(W ) + dim(W ′); seescribe entonces V = W ⊕W ′, y se dice que W ′ es suplementario de W en V .La aplicacion p que hace corresponder a cada x ∈W su componente w en W sellama proyector de V sobre W (asociado a la descomposicion V = W ⊕W ′); laimagen de p es W , y p(x) = x si x ∈ W ; recıprocamente, si p es un endomor-fismo de V que verifica estas propiedades, inmediatamente se prueba que V essuma directa de W y del nucleo W ′ de p (el conjunto de los x tales que px = 0).Se establece ası una correspondencia biyectiva entre los proyectores de V sobreW y los suplementarios de W en V .

2 PRELIMINARES 8

Definicion 2.11. Una transformacion bilineal es una funcion β : V ×W → Utal que

β(λ.v + u,w) = λβ(v, w) + β(u,w)

β(v, λ.w + x) = λβ(v, w) + β(v, x)

∀v, u ∈ V ;w, x ∈ w, x ∈W ;λ ∈ K

Una forma bilineal es una transformacion lineal β : V ×W → K. Una formabilineal se dice simetrica (respectivamente alternante) si β(v, w) = β(w, v)(β(v, w) = −β(w, v)respectivamente)para todo v ∈ V,w ∈W .

Ademas de la operacion suma directa (que tiene las propiedades formales deuna adicion), existe una “multiplicacion”: el producto tensorial, llamado a vecesproducto de Kronecker. Se define de la siguiente manera:

Definicion 2.12. Sean V1 y V2 espacios vectoriales sobre K. Se llama productotensorial de V1 y V2 a un K espacio vectorial V1 ⊗ V2 provisto de una aplicaion(x1, x2) 7→ x1.x2 de V1 × V2 en V1 ⊗ V2 la cual es universal; es decir, para todaaplicacion bilineal β : V1 ⊗ V2 → W , siendo W un K espacio vectorial, existeuna unica aplicacion lineal

ϕ : V1 ⊗ V2 →W

x1.x2 7→ β(x1, x2)

tal que el siguiente diagrama resulta conmutativo

V1 × V2

%%

// V1 ⊗ V2∃!ϕ��W

Se demuestra que tal espacio existe y esta determinado salvo isomorfismos.Es facil ver que

dim(V1 ⊗ V2) = dim(V1).dim(V2)

2.4. Espacios compactos

Definicion 2.13. Un espacio se dice que es compacto por punto lımite si cadasubconjunto infinito de χ tiene un punto lımite.

Definicion 2.14. Sea (χ, τ) un espacio topologico y K ⊂ χ un subconjunto.Diremos que K es sucecionalmente compacto si dada una sucesion {xn}n en K,existe una subsucesion {xnk}k convergente a un punto en K.

2 PRELIMINARES 9

Teorema 2.1. (Borel-Lesbesgue)

Sea (χ, τ) un espacio metrico y K ⊂ χ. Las siguientes condiciones son equi-valentes:

1) K es compacto.

2) K es compacto por puntos lımite.

3) K es sucesionalmente compacto.

Definicion 2.15. El grupo de Lorentz es isomorfo al grupo de transformacioneslineales que deja invariante la metrica del espacio de Minkowski. Matematica-mente esta formado por cualquier matriz que satisfaga la relacion:

Λ00 Λ10 Λ20 Λ30Λ01 Λ11 Λ21 Λ31Λ02 Λ12 Λ22 Λ32Λ03 Λ13 Λ23 Λ33

.

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Λ00 Λ10 Λ20 Λ30Λ01 Λ11 Λ21 Λ31Λ02 Λ12 Λ22 Λ32Λ03 Λ13 Λ23 Λ33

=

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Teorema 2.2. (Haar)

En todo grupo topologico compacto G, existe una unica medida de proba-bilidad de Borel m, regular, la cual es invariante bajo translaciones izquierdas(derechas), en el sentido de que:

1.∫Gfdm =

∫G

(Lsf)dms ∈ G, f ∈ C(G)

2.∫Gfdm =

∫G

(Rsf)dms ∈ G, f ∈ C(G), y satisface que

3.∫Gf(x)dm(x) =

∫Gf(x−1dmf ∈ C(G)

3 GENERALIDADES SOBRE REPRESENTACIONES LINEALES 10

3. Generalidades sobre representaciones lineales

En lo que sigue consideraremos el espacio vectorial V sobre el cuerpo C delos numeros complejos.

3.1. Definiciones

Definicion 3.1. Sea G un grupo finito. Una representacion lineal de G en Ves un homomorfismo ρ del grupo G en el grupo GL(V ). En otros terminos, atodo elemento s de G se le asocia un elemento ρ(s) de GL(V ) de modo que

ρ(st) = ρ(s) ◦ ρ(t), ∀s, t ∈ G

Es claro que si 1 es el elemento neutro de G se tiene que

ρ(1) = 1 ρ(s−1) = ρ(s)−1

Nota.Frecuentemente se escribe ρs en lugar de ρ(s).

Definicion 3.2. Dada ρ, se dice que V es un espacio de representacion deG (o representacion de G) y su dimension es el grado de la representacion

Sea V de dimension finita1 y sea n su dimension. Sea (ei) una base de V , ysea Rs la matriz de ρs respecto a esta base. Entonces,

det(Rs) 6= 0, Rst = Rs.Rt, s, t ∈ G.

Si rij(s) son los coeficientes de la matriz Rs, la segunda formula se escribe

rik(s) =∑j

rij(s).rjk(t)

Recıprocamente, si disponemos de matrices invertibles Rs = (rij(s)) queverifican las identidades anteriores tenemos una representacion lineal ρ de G enV ; es lo que se llama dar una representacion “en forma matricial”.

Definicion 3.3. Sean ρ y ρ′ representaciones lineales de un grupo G en espa-cios vectoriales V y V ′ respectivamente. Se dice que estas representaciones sonisomorfas (o semejantes) si existe un isomorfismo lineal τ : V → V ′ quetransforma ρ en ρ′, es decir, que verifica la identidad

τ.ρ(s) = ρ′(s).τ ∀s ∈ G1Considerar esto no es una restriccion molesta, ya que en la mayoria de las aplicaciones in-

teresa el comportamiento de un numero finito de elementos xi de V . Ademas, se puede hallarsiempre una subrepresentacion de V (que definiremos mas adelante en 1.3), de dimension fini-ta, que contenga a los xi: basta tomar el subespacio vectorial generado por los transformadosρs(xi) de los xi.


Si ρ y ρ′ se dan en forma matricial por Rs y R′s respectivamente, el isomor-fismo se traduce en una matriz invertible T tal que

T.Rs = R′s.T, ∀s ∈ G,

o, equivalentemente, tal que

R′s = T.Rs.T−1.

De esta manera, dos representaciones isomorfas se pueden identificar; en parti-cular, tienen el mismo grado. Es claro que si tenemos una representacion ρ dadaen forma matricial con respecto a dos bases distintas de V R(s) y R′(s), estasrepresentaciones en forma matricial resultan isomorfas, siendo τ el isomorfismodado por el cambio de base.

3.2. Ejemplos

a) Supongamos que G es el grupo de permutaciones de un conjunto X y V elespacio vectorial de aplicaciones de X en C; si f ∈ V y s ∈ G, definimos ρsfpor la formula

ρsf(x) = f(s−1x)

(ρsf es la “transformada” de f por s). Esta claro que ρsf depende lineal-mente de f , y que ρs es un automorfismo de V ; ademas, ρst = ρs.ρt; se hadefinido ası una representacion lineal de G en V .

b) Una representacion de grado 1 de un grupo G no es mas que un morfismoρ : G → C?, donde C? es el grupo multiplicativo de los complejos no nulos.Estas representaciones se denominan caracteres multiplicativos. Como G tie-ne orden finito, todos sus elementos son de orden finito, luego las imagenesρ(s) de ρ deben ser raıces de la unidad; en particular |ρ(s)| = 1. Si tomamosρ(s) = 1 ∀s ∈ G, se obtiene una representacion de G llamada representacionunidad

Por ejemplo, sea Zn el grupo aditivo de los restos de la division por n en Z,y consideremos la siguiente representacion: sea w ∈ C? una raız n-esima dela unidad,

ρ : Zn → C?,

ρ(x) = wx, ∀x ∈ ZnEn particular, si w1 y w2 son raıces n-esimas de la unidad tal que w1 6= w2,entonces ρw1

6= ρw2. En efecto, si ρ1, ρ2 : G → C? son dos representaciones,

entonces ρ1 ∼= ρ2 ⇔ ρ1 = ρ2

Demostracion.

⇒) Si ρ1 ∼= ρ2, entonces ∃λ ∈ C tal que ρ1(x).λ = λ.ρ2(x), pero esto implicaque ρ1 = ρ2.


⇐) Como ρ1 = ρ2, si tomamos λ = 1, resulta que ρ1(x),1 = 1.ρ2(x) entoncesρ1 ∼= ρ2

c) Sea n el orden de G y sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo C dedimension n; sea (et)t∈G una base de V indicada por los elementos de G.Definamos la siguiente representacion: si s ∈ G, sea ρ(s) el endomorfismode V que transforma et en est; es claro que resulta una representacion linealde G. Esta representacion se llama la representacion regular de G. Comoes = ρs(e1), los transformados de e1 forman una base de V . Recıprocamente,si ρ′ es una representacion de G para la cual existe un vector w tal que{ρ′s(w)}s∈G sea una base de W ; entonces W es isomorfa a la representacionregular vıa el isomortfirmo:

τ : V →W,

τ(es) = ρ′s(w), ∀ ∈ G

3.3. Subrepresentaciones

Definicion 3.4. Sea ρ : G → GL(V ) una representacion lineal, y sea W unsubespacio vectorial de V . Supongamos que W es invariante por las operacionesde G, es decir, que si x ∈ W , entonces ρs(x) ∈ W , ∀s ∈ G. La restriccion ρWsde ρs a W es entonces un automorfismo de W , y ciertamente ρWst = ρWs .ρ

Wt .

Ası ρW : G→ GL(W ) es una representacion lineal de G en W ; se dice que Wes una subrepresentacion de V .

Ejemplo: Sea V una representacion regular de G [como en 3.2 en el ejem-plo c)], y sea W el subespacio de dimension 1 de V generado por el elementox =

∑s∈G es. Como ρs(x) = x, ∀s ∈ G, W es una subrepresentacion de V ,

isomorfa a la representacion unidad.

Teorema 3.1. Sea ρ : G → GL(V ) una representacion lineal de G en V ,y sea W un subespacio vectorial de V invariante por G. Entonces existe unsuplementario W o de W en V que es invariante por G

Demostracion. Sea n el orden de G. Sabemos que existes un subespacio V ′ enV que es suplemteraio de W . Sea π el proyector de V sobre W tal que V ′ es sunucleo. Es claro que V = W ⊕ V ′ pero no necesariamente V ′ es invariante porG. Para encontrar un suplementario invariante por G, tomemos el promedio πo

de las transformadas de π por los elementos de G:

πo =1

n

∑t∈G

ρt.π.ρ−1t

Como π manda V en W y ρt deja invariante W para todo t ∈ G, entonces πo

manda V en W : por otro lado, si x ∈W , ρ−1t x ∈W , de donde


πρ−1t x = ρ−1t x, ρtπρ−1t x = x, y πox = x. Ası que πo es un proyector de V sobre

W , al cual corresponde un cierto suplementario W o de W . Por otra parte ocurreque ρs.π

o = πo.ρs para todo s ∈ G. En efecto, al calcular ρs.πo.ρ−1s se halla:

ρs.πo.ρ−1s =

1

n

∑t∈G

ρs.ρt.π.ρ−1t .ρ−1s =

1

n

∑t∈G

ρst.π.ρ−1st = πo

Finalmente si x ∈ W o y s ∈ G, πox = 0, de donde πo.ρsx = ρs.πox = 0; es

decir, ρsx ∈W o, y por tanto W o es invariante por G.

Observacion: Manteniendo las notaciones y las hipotesis del teorema ante-rior, sea x ∈ V , y sean w y wo sus proyecciones sobre W y W o respectivamente.Entonces ρsx = ρs(w + wo) = ρsw + ρsw

o; como W y W o son invariantes porG, ρsw ∈ W y ρsw

o ∈ W o, y por tanto ρsw y ρswo son las proyeciones de

ρsx. Deducimos de ello que las representaciones W y W o son suficientes paraconocer la representacion de V . Se dice que la representacion V es suma directade las representaciones W y W o y se escribe V = W ⊕W o. Un elemento de Vse identifica a un par (w,wo), w ∈ W , wo ∈ W o. Si W y W o se dan en formamatricial por Rs y Ros, la forma matricial de W ⊕W o es(

Rs 00 Ros

)Del mismo modo se define la suma directa de un numero finito de representa-ciones.

3.4. Representaciones irreducibles

Definicion 3.5. Una representacion lineal ρ : G→ GL(V ) se dice irreducible siV 6= 0 y ningun subespacio de V es invariante por G, excepto, claro esta, 0 yV .

Debido al teorema 3.1, esta segunda condicion equivale a decir que V no essuma directa de dos subrepresentaciones (salvo la descomposicon trivialV = 0⊕ V ).Toda representacion de grado 1 es evidentemente irreducible. Mas adelante vere-mos que todo grupo no conmutativo posee al menos una representacion irreduci-ble de grado ≥ 2. La suma directa de representaciones irreducibles da cualquierrepresentacion. En otros terminos:

Teorema 3.2. Toda representacion es suma directa de representaciones irre-ducibles.

Demostracion. Sea V una representacion lineal de G. Se razona por induccionsobre dim(V ) Si dim(V ) = 0, el teorema es evidente (0 es suma directa de la fa-milia vacıa de representaciones irreducibles). Si dim(V ) ≥ 1 y V es irreducible,tambien es cierto el teorema. En otro caso, debido al teorema 1 podemos descom-poner V en suma dorecta V ′⊕V ′′, con dim(V ′) < dim(V ) y dim(V ′′) < dim(V ).


Por induccion, V ′ y V ′′ son suma directa de representaciones irreducibles y portanto lo mismo le ocurre a V .

Nota. Sea V una representacion y sea V = W1⊕ ...⊕Wk una descomposicionde V en suma directa de representaciones irreducibles. Podemos preguntarnossi esta descomposicion es unica. El caso es que ρs = 1 para todo s muestra queno es ası (pues los Wi son rectas y un espacio vectorial descompone de muchasmaneras en suma directa de rectas). Sin embargo, en el no 4.3 veremos que elnumero de las Wi isomorfas a una representacion irreducible dada no dependede la descomposicion elegida.

Observacion: Usando el lema de Zorn2 , es facil ver que toda representacionde G de dimension infinita es suma directa de representaciones irreduciblese.

3.5. Producto tensorial de dos representaciones

Definicion 3.6. Sean ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) representacioneslineales de un grupo G. Si s ∈ G, se define ρs ∈ GL(V1 ⊗ V2) por la condicion

ρs(x1.x2) = ρ1s(x1).ρ2s(x2), x1 ∈ V1, x2 ∈ V2

Se escribeρs = ρ1s ⊗ ρ2s

Las ρs definen una representacion lineal de G en V1 ⊗ V2 llamada productotensorial de las representaciones dadas.

La traduccion matricial de esta definicion es inmediata: sea (ei1) una basede V1 y ri1j1(s) la matriz de ρ1s en esta base; analogamente definimos (ei2) yri2j2(s). Las formmulas

ρ1s =∑i1

ri1j1(s).ei1, ρ2s =∑i2

ri2j2(s).ei2

implican que

ρs(ej1.ej2) =∑i1,i2

ri1j1(s).ri2j2(s).ei1.ei2

La matriz de ρs es, pues, el producto tensorial de las matrices de ρ1s y ρ2s.El producto tensorial de dos representaciones irredusibles no es, en general,irreducible; su descomposicion en suma directa de representaciones irreduciblesse puede determinar mediante la teorıa de caracteres (que veremos en 4.3).

2Lema de Zorn: Si en un conjunto preordenado toda cadena tiene cota superior, entonceshay en el conjunto al menos un elemento maximal.

4 TEORIA DE CARACTERES 15

4. Teorıa de caracteres

4.1. El caracter de una representacion

Definicion 4.1. Sea ρ : G→ GL(V ) una representacion lineal de un grupo finitoG en el espacio vectorial V . Dado s ∈ G, pongamos

χρ(s) = Tr(ρs).

Se obtiene ası una aplicacion χρ definida en G, a valores complejos, llamadacaracter de la representacion ρ; la importancia de esta aplicaion provienedel hecho que caracteriza la representacion conciderada.

Proposicion 4.1. Si χ es el caracter de una representacion ρ de grado n,entonces:

I) χ(1) = n

II) χ(s−1) = χ(s)

III) χ(tst−1) = χ(s), cualesquiera sean s, t ∈ G

Demostracion. I) Como ρ es una representacion, vale que ρ(1) = 1,∀ρ. Ademas,como V es un espacio vectorial de dimension finita n, tenemos que

Id =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

∈ Cn×n

Ahora bien, χρ(1) = Tr(ρs(1)) = Tr(1) = Tr(Id) = n. De esta forma,queda demostrado I.

II) Al ser G de orden finito y ρ una representacion, tenemos que ρs es deorden finito ∀s ∈ G. Luego sus autovalores λ1, λ2, · · · , λn son raıces de launidad de modulo 1.Entonces

χ(s) = Tr(ρs) =∑i

λi =∗1∑i

λ−1i = Tr(ρ(s)−1) =∗2 Tr(ρ(s−1)) = χ(s−1)

donde

=∗1 es porque la matriz es unitaria

=∗2 es porque la representacion cumple que ρ(s)−1 = ρ(s−1)

De esta forma, queda demostrado II.

III) Llamemos u = ts y v = t−1. Entonces,χ(tst−1) = χ(uv) = Tr(ρuv) =1

∗ Tr(ρuρv) =2∗ Tr(ρvρu) = Tr(ρvu) =

χ(vu) = χ(t−1ts) = χ(s) donde


=1∗ por propiedades de la representacion

=2∗ por la propiedad conmutativa de la traza Tr(ab) = Tr(ba) ∀a, b

endomorfismos de v.De esta forma, queda demostrado III.

Definicion 4.2. Una aplicacion f definida en G es una funcion central sicumple que f(uv) = f(vu) ∀u, v ∈ G.

Observacion: Equivalentemente, f es una funcion central si verifica quef(t−1st) = f(s).Mas adelante, veremos que toda funcion central es una combi-nacion lineal de caracteres.

Proposicion 4.2. Sean ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) dos representa-ciones lineales de G, y sean χ1 y χ2 sus caracteres. Entonces

1. El caracter χ de la representacion suma directa V1 ⊕ V2 es igual a χ1 + χ2.

2. El caracter ψ de la representacion producto tensorial V1⊗V2 es igual a χ1.χ2

Demostracion. I) Expresemos ρ1 y ρ2 en forma matricial: R1s y R2

s, respec-tivamente. La forma matricial de la representancion V1 ⊕ V2 es

Rs =

(R1s 0

0 R2s

)de donde Tr(Rs) = Tr(R1

s) + Tr(R2s), es decir, χ(s) = χ1(s) + χ2(s).

De esta forma, queda demostrado I.

II) Utilizando notaciones del no 2.5, tenemos:

χ1(s) =∑i1

ri1i1(s)

y

χ2(s) =∑i2

ri2i2(s)

Ası, resulta que

ψ(s) =∑i1,i2

ri1i1(s).ri2i2(s) = χ1(s).χ2(s)

De esta forma, queda demostrado II.


4.2. El lema de Schur. Primeras aplicaciones.

Proposicion 4.3. Sean ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) dos represen-taciones irreducibles de G y sea f una aplicacion lineal f : V1 → V2 tal queρ2s ◦ f = f ◦ ρ1s, ∀s ∈ G. Entonces:

I) Si ρ1 y ρ2 no son isomorfos, f = 0

II) Si V1 = V2 y ρ1 = ρ2, f es una homotecia (lo que es lo mismo, un multiploescalar de I).

Demostracion. I) caso f = 0⇒ veamos que se cumple lo pedido:

1. trivialmente, al tener ρ1 y ρ2 no isomorfos, f = 0

2. consideremos V1 = V2 y ρ1 = ρ2, ⇒ f = o.I

caso f 6= 0. Consideremos el nucleo de f , W1 = {x ∈ V1/f(x) = 0}Dado x ∈ W1, f ◦ ρ1s(x) = ρ2s ◦ f(x) = 0, con lo cual, ρ1s(x) ∈ W1, ypor lo tanto, W1 es estable por G. Como V1 es irreducible, W1 = V1 oW1 = 0. Sin embargo, como f 6= 0, no queda otra que W1 = 0. Ahorabien, consideremos la iumagen de f ,W2 = {w ∈W1/∃x ∈ V1/f(x) = w} Entonces, considerando w ∈W2,

ρ2s ◦ f(x) = f ◦ ρ1s(x)⇒ ρ2s ◦ w = f ◦ ρ1s(x)

De esta manera, resulta que ρ2s(w) = f(ρ1Sx), con lo cualρs(w) ∈ Imf , entonces ρ2s es invariante por G. Como V2 es irreduci-ble, W2 es 0 o es V2. Sin embargo, como f 6= 0, esto implica queW2 6= 0⇒W2 = V2 Con todo esto, f termina resultando un isomorfismode V1 sobre V2.De esta manera, queda demostrado I mediante el contrarecıproco.

II) Supongamos que V1 = V2 y ρ1 = ρ2 y sea λ un valor propio de f (sabemosque existe al menos uno, pues el cuerpo de los escalares es el cuerpo delos complejos) Consideremos f ′ = f − λ. Como λ es un valor propio def , el nucleo de f ′ es 6= 0; por otra parte, sabemos que ρ2s ◦ f ′ = f ′ ◦ ρ1s,con lo cual, usando el mismo argumento que en la primera parte de lademostracion anterior, llegamos a la conclusion de que f ′ = 0, entonces0 = f − λ, con lo cual, f = λ

Conservemos las hipotesis de ser V1 y V2 irreducibles y sea g el orden delgrupo G.


Corolario 4.1. Sea h una aplicacion lineal de V1 en V2 y pongamos

ho =1

g

∑t∈G

(ρ2t )−1.h.ρ1t

Entonces:

a) Si ρ1 y ρ2 no son isomorfas entonces ho = 0

b) Si V1 = V2, ρ1 = ρ2 entonces ho es una es una homotecia de razon 1nTr(h),

donde n = dim(V1)

Demostracion. Para poder demostrar esto, veamos que se verifica ρ2s.ho = h2.ρ1s.

En efecto:

(ρ2s)−1.ho.ρ1s =

1

g

∑t∈G

(ρ2s)−1.(ρ2t )

−1.h.ρ1t .ρ1s =

1

g

∑t∈G

(ρ2st)−1.h.ρ1st = ho

Luego, caemos en las hipotesis de la proposicion anterior si consideremos a ho

como f , en el caso 1, obtenemos ho = 0. Ahora, si consideramos ho = λ, comoen el caso 2, siendo λ un escalar, tenemos

Tr(ho) =1

g

∑t∈G

Tr[(ρ1t )−1.h.ρ1t ] = Tr(h)

y como Tr(λ) = n.λ, concluimos que λ = 1nTr(h).

De esta manera, queda demostrado II.

Explicitamos ahora el corolario 1 en el supuesto que ρ1 y ρ2 se dan en formamatricial :

ρ1t = [ri1j1(t)], ρ2t = [ri2j2(t)]

La aplicacion lineal h esta definida por una matriz (xi2i1) y ho por (xoi2i1)Por definicion de ho

xoi2i1 =1

g

∑t,j1,j2

ri2j2(t−1).xj2j1 .rj1i1(t)

Ahora, el segundo miembro es una forma lineal en xj2j1 ; en el caso 1, estaforma se anula para todo sistema de valores xj2j1 ; por tanto sus coeficientes sonnulos; ası,

Corolario 4.2. En el caso 1, tenemos que

1

g

∑t∈G

ri2j2(t−1).rj1i1(t) = 0

cualesquiera que sean i1, i2, j1, j2.


En el caso 2, ho = λ; es decir, xoi2i1 = λ.δi2i1 , (siendo δi2i1 el sımbolo deKronecker), donde

λ =1

nTr(h) =

1

n

∑δj2j1xj2j1

por tanto,

1

g

∑t,j1,j2

ri2j2(t−1).xj2j1 .rj1i1(t) =1

n

∑j1j2

δi2i1 .δj2j1 .xj2j1

Si igualamos los coeficientes de xj2j1 , obtendremos:

Corolario 4.3. En el caso 2,

1

g

∑t∈G

ri2j2(t−1).rj1i1(t) =1

nδi2i1 .δj2j1 =

{1n si i1 = i2 y j1 = j20 en otro caso

Nota: Vimos anteriormente que podemos elegir convenientemente una base(ei2) de tal manera que las matrices [ri2j2(t)] sean unitarias.

Entonces ri2j2(t−1) = rj2i2(t) y los corolarios 3.2 y 3.3 se expresan comorelaciones de ortogonalidad para el producto escalar definido a continuacion.

4.3. Relaciones de ortogonalidad de los caracteres

Introduzcamos una notacion: si ϕ y ψ son funciones a valores complejos,definidas en G, pondremos

〈ϕ | ψ〉 =1

g

∑t∈G

ϕ(t).ψ(t)

donde g es el orden del grupo G.Esta expresion es un producto escalar con las siguientes propiedades: es se-

milinial en ϕ, lineal en ψ y 〈ϕ | ϕ〉 > 0,∀ϕ 6= 0.En efecto, sean a, b ∈ C; φ, ϕ y ψ, funciones a valores complejos.

〈aϕ+ ψ | φ〉 =1

g

∑t∈G

(aϕ+ ψ)(t).φ(t) =1

g

∑t∈G

((aϕ(t) + ψ(t)).φ(t) =

=1

g

∑t∈G

aϕ(t).φ(t) +1

g

∑t∈G

ψ(t).φ(t) = a 〈ϕ | φ〉+ 〈ψ | φ〉

〈ϕ | aψ + φ〉 =1

g

∑t∈G

ϕ(t).(aψ + φ)(t) =1

g

∑t∈G

ϕ(t).(aψ(t) + φ(t)) =

=1

g

∑t∈G

ϕ(t).aψ(t) +1

g

∑t∈G

ϕ(t).φ(t) = a 〈ϕ | ψ〉+ 〈ϕ | φ〉


Luego, probamos la semilinealidad y la linealidad, trivialmente se ve que〈ϕ | ϕ〉 > 0,∀ϕ 6= 0.

Teorema 4.1. 1) si x es el caracter de una representacion irreducible,〈χ | χ〉 = 1 (En otros terminos, χ tiene “longitud 1”)

2) Si χ y χ′ son los caracteres de dos representaciones irreducibles no isomorfas,entonces 〈χ | χ′〉 = 0 (es decir, χ y χ′ son ortogonales)

Demostracion. 1) Sea ρ : G→ GL(V ) la representacion irreducible cuyo caracteres χ, y sea n su grado. Entonces,

〈χ | χ〉 =1

g

∑t∈G

χ(t).χ(t)

Ahora, como χ es el caracter de una representacion, vale que χ(t) = χ(t−1),∀t ∈ G, con lo cual queda:

1

g

∑t∈G

χ(t−1).χ(t)

Ahora bien, si tomamos a ρ en forma matricial ρt = [rij(t)], tenemos queχ(t) =

∑i rii(t), y, por lo tanto

〈χ | χ〉 =1

g

∑t,i,j

rii(t−1).rii(t)

Ahora, usando el corolario 3.3 anterior, resulta:

si i 6= j,1

g

∑t∈G

rii(t−1).rjj(t) = 0

si i = j,1

g

∑t∈G

rii(t−1).rjj(t) =

1

n

con i = 1, . . . , n. Como el ındice i toma n valores, resulta que 〈χ | χ〉 = 1

2) sean ρ1 : G→ GL(V ); ρ2 : G→ GL(V ) con representaciones irreducibles χ1

y χ2 respectivamente, ambas de grado n, entonces:

〈χ1 | χ2〉 =1

g

∑t∈G

χ1(t).χ2(t) =1

g

∑t∈G

χ1(t−1).χ2(t)

Nuevamente, tomemmos la forma matricial de ambas: χ1(t) =∑i r

1ii(t) y

χ2(t) =∑j r

2jj(t) para ρ1t = [r1ij(t)] y ρ2t = [r2ij(t)] respectivamente. Enton-

ces:1

g

∑t∈G

∑ij

r1ii(t−1).r2jj(t)


pero, por el corolario 3.2, resulta que

1

g

∑t∈G

∑ij

r1ii(t−1).r2jj(t) = 0

por lo cual 〈χ1 | χ2〉 = 0

Teorema 4.2. Sea V una representacion lineal de G, de caracter ϕ, y descom-pongamos V en suma directa de representaciones irreducibles

V = W1 ⊕W2 ⊕ . . .⊕Wk

Entonces, si W es una representacion irreducible de caracter χ, el numero delas Wi isomorfas a W es igual al producto escalar 〈ϕ | χ〉.

Demostracion. Sea χi el caracter de Wi. Debido a la proposicion 3.2, podemosescribir a ϕ = χ1 ⊕ χ2 ⊕ . . .⊕ χk, por lo tanto,

〈ϕ | χ〉 = 〈χ1 | χ〉+ . . .+ 〈χk | χ〉

con lo cual, resulta que, por el teorema anterior:

〈χi | χ〉 = 1 si Wi es isomorfo a W

〈χi | χ〉 = 0 si Wi no es isomorfo a W

Observacion: Como el producto escalar antes definido es independiente de ladescomposicion en suma directa de representaciones irreducibles, tenemos queel numero de representaciones irreducibles de Wi isomorfas a W no depende dela descomposicion elegida. A este numero se lo llama multiplicidad de W en V ,o numero de veces que W esta en V .De esta manera, se adquiere un sentido de “unicidad” en la descomposicion ensuma directa de representaciones irreducibles. Mas adelante volveremos a tratareste punto.

Corolario 4.4. Dos representaciones del mismo caracter son isomorfas.

Demostracion. Supongamos que no lo son. SeaW una representacion irreduciblede caracter ϕ, y sean V1 y V2 representaciones con el mismo caracter α. Ahora:

Descomponemos a V1 = Y1 ⊕ Y2 ⊕ . . . ⊕ Yn donde Yi, i = 1, . . . n, sonirreducibles.

Descomponemos a V2 = Z1 ⊕ Z2 ⊕ . . . ⊕ Zl donde Zj , j =, . . . l, son irre-ducibles.

Y consideremos γi el caracter de Yi y ψj el caracter de Zj , luego, por la propo-sicion 3.2, tenemos que:


α = γ1 + γ2 + . . .+ γn

α = ψ1 + ψ2 + . . .+ ψl

Entonces, resulta que:

〈ϕ | α〉 = 〈ϕ | γ1〉+ . . .+ 〈ϕ | γn〉

〈ϕ | α〉 = 〈ϕ | ψ1〉+ . . .+ 〈ϕ | ψl〉

De esta forma, sean:

i1, i2, . . . , in0 los indices de los Yim tales que Yim ≈W , con m = 1, . . . , n0

j1, j2, . . . , jl0 los indices de los Zjk tales que Zjk ≈W , con k = 1, . . . , l0

Con lo cual, colcluirıamos que:

〈ϕ | α〉 = n0

〈ϕ | α〉 = l0

Sin embargo, si n0 6= l0 llegamos a una contradiccion con el corolario 1.

Estos resultados permiten reducir el estudio de las representaciones al de loscaracteres. Si χ1, . . . , χh son los caracteres de las representaciones irreducibles deG y W1, . . . ,Wh son sus correspondientes representaciones, toda representacionV es isomorfa a una suma directa

V = m1W1 ⊕ . . .⊕mhWh, mi ∈ Z+

El caracter ϕ de V es igual a m1χ1 + . . . + mhχh, y mi = 〈ϕ | χi〉[Estose aplica notablemente al producto tensorial Wi ⊗Wj de dos representacionesirreducibles, y demuestra que el producto χi.χj =

∑mkijχk, donde los mk

ij sonenteros ≥ 0]. Las relaciones de ortogonalidad entre los χi implican

〈ϕ | ϕ〉 =

h∑i=1

m2i

de donde:

Teorema 4.3. Si ϕ es el caracter de una representacion V , 〈ϕ | ϕ〉 es un enteroy 〈ϕ | ϕ〉 = 1 si y solo si V es irreducible.

En efecto, 〈ϕ | ϕ〉 =∑hi=1m

2i = 1 si y solo si solo 1 de los mi es igual a 1 y

los demas iguales a 0 (porque los mi ∈ Z+, es decir, si y solo si V es isomorfa auna de las Wi -por el teorema 3.2-).

De esta forma, obtenemos un criterio de irreducibilidad muy comodo.


4.4. Descomposicion de la representacion regular

Sea R la representacion regular de G. Recordemos que esta representacionadmite una base (et)t∈G tal que ρs.et = est. Si s 6= 1, s.t 6= t ∀t ∈ G, y porlo tanto, los terminos de la diagonal de la matriz de ρs son nulos; en particular,Tr(ρs) = 0. Por otra parte, si s = 1, Tr(ρs) = Tr(1) = dim(R) = g.

Proposicion 4.4. El caracter ϕ de la representacion regular viene dado por lassiguientes formulas:

ϕ(1) = g, siendo g el orden de G

ϕ(s) = 0 si s 6= 1

Demostracion. Por lo de arriba.

Corolario 4.5. Cada representacion irreducible Wi esta contenida en la repre-sentacion regular un numero de veces igual a su grado ni.

Demostracion. Sea R la representacion regular y sea ϕ su caracter. Sea Wi unarepresentacion irreducible de caracter χi. Ahora, descompongamos a R en sumadirecta de reprsentaciones irreducibles:

R = V1 ⊕ V2 ⊕ . . .⊕ Vk

Ahora bien, la cantidad de representaciones isomorfas a Wi es igual a 〈ϕ | χi〉.Por otro lado

〈ϕ | χi〉 =1

g.∑s∈G

ϕ(s).χi(s) =1

g.g.χi(1) = χi(1) = ni

Corolario 4.6. Los grados ni verifican la relacion

h∑i=1

n2i = g

En efecto, por el corolario anterior tenemos que ϕ =∑i

ni.χi Luego, eva-

luamos a ambos miembros de la igualdad en 1 y resulta:

en el lado izquierdo, ϕ(1) = g

en el lado derecho,∑i

ni.χi(1) =∑i

ni.ni

De esta forma, se verifica la igualdad que querıamos.


Nota

1) Este resultado se puede usar cuando se buscan las representaciones irreduci-bles deG: supongamos construidas representaciones irreducibles no siomorfasdos a dos, de grados n1, n2, . . . , nk; a fin de que sean todas las representa-ciones irreducibles de G (salvo isomorfismos) es necesario y suficiente quen21 + n22 + . . .+ n2k = g

2) Tambien se ve, en otras aplicaciones del tema, que los grados ni son divisoresdel orden g de G.

4.5. Numero de representaciones irreducibles

Recordemos que una aplicacion f definida en G se llama central sif(tst−1) = f(s) cualesquiera sean s, t ∈ G

Proposicion 4.5. Sea f una funcion central definida en G, y ρ : G→ GL(V )una representacion lineal de G. Sea ρt el endomorfismo de V definido por laformula:

ρf =∑t∈G

f(t).ρt

Si V es irreducible, de grado n, y de caracter χ, entonces, ρt es una homoteciade razon λ, donde

λ =1

n

∑t∈G

f(t).χ(t) =g

n

⟨f | χ

⟩Demostracion. Calculemos ρ−1s .ρf .ρs:

ρ−1s .ρf .ρs =∑t∈G

f(t).ρ−1s .ρt.ρs =∑t∈G

f(t).ρs−1ts

Y poniendo u = s−1ts, resulta

ρ−1s .ρf .ρs =∑u∈G

f(sus−1).ρu =∑u∈G

f(u).ρu = ρf

De modo que ρf .ρs = ρs.ρf . Con esto, caemos en las hipotesis de la proposicion3 y, usando la segunda parte, tenemos que ρf es una homotecia de razon λ. Latraza de λ es n.λ; y la de ρf es∑

t∈Gf(t).T r(ρt) =

∑t∈G

f(t).χ(t)

de donde

λ =1

n

∑t∈G

f(t).χ(t) =g

n

⟨f | χ

⟩


Introduzcamos ahora el espacio vectorial H de las funciones centrales deG. Los caracteres χ1, χ2, . . . , χj de las representaciones irreducibles de G sonelementos de H.

Teorema 4.4. Los caracteres χ1, χ2, . . . , χh forman una base ortonormal de H.

Demostracion. Por el teorema 3.1 sabemos que los caracteres χ1, . . . , χ2 formanun sistema ortonormal con repecto al producto interno que se definio antes.Luego, falta solo demostrar que este sistema es completo.Supongamos que existe una funcion f ∈ H que es ortonormal a χj , ∀j = 1, . . . , ky demostremos que debe ser nula.Sea ρ una representacion de G, y sea ρf definido por:

ρf =∑t∈G

f(t).ρt

La proposicion anterior muestra que ρf es nula si V es irreducible; si V no esirreducible, descomponiendolo en suma directa de irreducibles se deduce que ρfes nula sobre V .Apliquemos este resultado a la representacion regular R y calculemos la imagendel vector e1 de la base por ρf :

ρfe1 =∑t∈G

f(t)ρte1 =∑t∈G

f(t)et

Como ρf es nula sobre R, esta igualdad implica que f(t) = 0, ∀t ∈ G; es decirque f es nula y entonces {χ1, . . . , χk} es un sistema ortonormal.

Ahora, recordemos que dos elementos t y t′ de G se dicen conjugados si existes ∈ G tal que t′ = sts−1

Observacion: Esta es una relacion de equivalencia.

Demostracion. Debemos ver que se cumplen las propiedades de reflexividadtransitividad y simetrıa

Reflexividad: sea t ∈ G y tomamos el neutro 1 ∈ G; entonces, por serel neutro, vale que 1−1 = 1. Entonces, escribimos a t = 1t1. Luego, esreflexiva.

Simetrıa: tomemos un t ∈ G tal que t es conjugado con t′. Entonces,∃s ∈ G / t′ = sts−1. Ahora bien, multiplicamos a ambos miembros pors−1 a izquierda y s a derecha. Entonces,

t′ = sts−1 ⇒ s−1t′s = s−1sts−1s⇒ s−1t′s = t

Luego, t′ es conjugado con t. Por lo tanto, se cumple la simetrıa.


Transitividad: sean t conjugado con t′ y t′ conjugado con t′′. Quiero verque t es conjugado con t′′.Como t es conjugado con t′, entonces, ∃s1 ∈ G tal que t′ = s1ts

−11 y t′ es

conjugado con t′′, ∃s2 tal que t′′ = s2ts−12 . Reemplazando, resulta que

t′′ = s2s1ts−11 s−12

Ahora, llamamos α = s2s1, α ∈ G y γ = s−11 s−12 , γ ∈ G. Faltarıa ver queαγ = 1. Entonces:

αγ = s2s1s−11 s−12 ⇒ s21s−12 ⇒ 1

Luego, vale la transitividad.

Nota. Esta relacion divide a G en clases.

Teorema 4.5. El numero de representaciones irreducibles de G (salvo isomor-fismos) es igual al numero de clases.

Demostracion. Sean C1, . . . , Ck las clases de G. Una funcion f definida en G escentral si y solo si es constante en cada una de las clases C1, . . . , Ck y, por tanto,una tal funcion esta determinada por k valores λ1, . . . , λk, que se pueden elegirarbitrariamente. Resulta de ello que la dimension del espacio H de funcionescentrales es igual a k. Por otra parte, esta dimension es igual, por el teorema3.4, al numero de representaciones irreducibles de G (salvo isomorfismos)

Indiquemos rapidamente otra consecuencia del teorema 4.4:Sea s ∈ G, cs el numero de elementos de la clase de s y fs la funcion igual a

1 sobre esta clase e igual a 0 en el suplementario. Como esta funcion es central,por el teorema 4.4 tendremos:

fs =

h∑i=1

xiχi donde xi = 〈χi | fs〉 = csg χi(s)

Ası pues, para todo t ∈ G,

fs(t) =csg

h∑i=1

χi(s).χi(t)

Si explicitamos resultan las formulas siguientes:

Para t = s:

h∑i=1

χi(s)χi(s) =g

cs

para t no conjugado de s:

h∑i=1

χi(s).χ(t) = 0


4.6. La descomposicion canonica de una representacion

Sea ρ : G → GL(V ) una representacion lineal de G. Definiremos una des-composicion en suma directa de V , menos “fina” que la descomposicion enrepresentaciones irreducibles, pero con la ventaja de ser unica.

Sean χ1, χ2, . . . , χh los caracteres de las representaciones irreduciblesW1,W2, . . . ,Wh de G, y sean n1, n2, . . . , nh sus respectivos grados. Supongamosque V = U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Um es una descomposicion de V en suma directa derepresentaciones irreducibles. Para i = 1, 2, . . . , h, designemos por Vi a la sumadirecta de aquellas representaciones entre las U1, U2, . . . , Um que son isomorfasa Wi. Reordenamos los conjuntos U de la siguiente manera:

V = Ua11 ⊕ Ua12 ⊕ . . .⊕ Ua1k1 ⊕ Ua21 ⊕ . . .⊕ Ua2k2 ⊕ . . .⊕ Uah1 ⊕ . . .⊕ Uahkh

siendo los primeros a1k1 los isomormos a W1, los segundos a2k2 isomorfos a W2 yasi sucesivamente. De esta forma, es claro que

V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . .⊕ Vh

En otros terminos, hemos descompuesto a V en suma directa de representa-ciones irreducibles y luego hemos reagrupado las isomorfas.

Esta es la descomposicion canonica anunciada.

Teorema 4.6. 1. La descomposicion V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . .⊕ Vh no depende de ladescomposicion en representaciones irreducibles elegidas inicialmente

2. El proyector pi de V sobre Vi asociado a esta descomposicion lo da la formula

pi =nig

∑t∈G

χi(t).ρt.

Demostracion. 2. Pongamos

qi =nig

∑t∈G

χi(t).ρt

Debido a la proposicion 3.5, la restriccion de qi a una representacion irre-ducible W de caracter χ y grado n es una homotecia de razon ni

n 〈χi | χ〉;es decir, vale 0 si χ 6= χi y 1 si χ = χi. Dicho de otra manera, qi es laidentidad sobre cualquier representacion irreducible isomorfa a Wi y nulosobre las restantes. Por definicion de las Vi, resulta que qi es la identidadsobre Vi y en nulo sobre las Vj , j 6= i. Si descomponemos un elementox ∈ V en sus componentes xi ∈ Vi:

x = x1 + x2 + . . .+ xh

entonces qi(x) = qi(x1) + . . . + qi(xh) = xi. por tanto, qi es igual alproyector pi de V sobre Vi. Luego, concluimos que pi = qi


1. Tomamos a Vi como las proyecciones de V por los proyectores pi

Ahora, la descomposicion de una representacion V se puede hacer en dosetapas: primero se determina la descomposicion canoninca V = V1⊕ . . .⊕Vh, locual se realiza sin dificultades mediante las formulas que expresan los proyectorespi. Despues, si es necesario, se elige una descomposicion de Vi en suma directade representaciones ireducibles, todas isomorfas a Wi:

Vi = Wi ⊕ . . .⊕Wi

Esta ultima descomposicion se puede efectuar en general de infinitas maneras(es tan arbitraria como la eleccion de una base en un espacio vectorial, lo cualveremos en la nota 2 mas abajo).

Ejemplo: Sea G el grupo {1, s}, con s2 = 1. Este grupo admite dos represen-taciones irreducibles, ambas de grado 1, W+ y W−, correspondientes a ρs = +1,y ρs = −1 respectivamente. La descomposicion canoninca de una representacionV es de la forma V = V +⊕V −; la componente V + esta formada por los elemen-tos x ∈ V simetricos (ρs(x) = x), y V − por los elementos x ∈ V antisimetricos(ρs(x) = −x). Los proyectores correspondientes son:

p+(x) =x+ ρs(x)

2, p−(x) =

x− ρs(x)

2

Descomponer los espacios V + y V − en componentes irreducibles significa tansolo descomponer en suma directa de rectas.

Nota 1. Sea x ∈ Vi y V (x) el subespacio vectorial de V generado por los ele-mentos ρs(x), x ∈ G; V (x) es una subrepresentacion de Vi; al descomponerla enrepresentaciones irreducibles, hallamos la representacion Wi un cierto numerode veces (digamos m). El entero m (m depende de x) no es necesariamente iguala 1 (en otras palabras, no siempre es cierto que x “se transforma como Wi”);solo se puede demostrar que m es menor o igual a la dimension ni de Wi.

Nota 2. Sea Hi el espacio vectorial de aplicaciones lineales h de Wi en Vi (oen V , el lo mismo) que verifican la relacion ρsh = hρs. Sea h1, h2, . . . , hk unabase de Hi y formemos la suma directa Wi ⊕ . . . ⊕Wi de k copias de Wi. Elsistema (h1, h2, . . . , hk) define una aplicacion lineal h de Wi⊕ . . .⊕Wi en Vi; sepuede ver que es un isomorfismo (de representaciones) y que todo isomorfismose obtiene ası. En otros terminos, las descomposiciones de Vi en suma directa derepresentaciones irreducibles (que equivalen a los isomorfismos de Wi⊕ . . .⊕Wi

sobre Vi) se corresponden con las bases del espacio vectorial Hi.

5 COMPLEMENTOS 29

5. Complementos

5.1. Grupos conmutativos

Se dice que un grupoG es conmutativo si s.t = t.s cualesquiera que sean s, t ∈G. Las representaciones lineales de estos grupos son particularmente simples.

Teorema 5.1. Si G es conmutativo, todas las representaciones irreducibles deG son de grado 1.

Demostracion. Sea ρ : G → GL(V ) una representacion irreducible de G, y seat ∈ G. Como s.t = t.s,∀s ∈ G,

ρsρt = ρtρs

Segun el lema de Schur, ρt es una homotecia. Esto se aplica para todo t ∈ Gy por tanto cualquier subespacio vectorial de V es estable por G; esto implicaque dim(V ) = 1 por ser irreducible en V .

Nota: El recıproco del teorema anterior tambien es cierto: si todas las repre-sentaciones irreducibles de G son de dimension 1, G es conmutativo.

Demostracion. Sea g el orden de G. Entonces, g =

h∑i1

n2i , donde los ni designan

los grados de las representaciones irreducibles; como aquı los ni son iguales a1, deducimos que el numero de representaciones irreducibles es g. Pero se sabeque este numero es igual al numero h de clases de G. Por tanto, h = g, lo cualsolo es posible si G es conmutativo.

5.2. Producto de dos grupos

Sean G1 y G2 dos grupos, y sea G1 × G2 su producto, es decir, el conjuntode pares (s1, s2), s1 ∈ G1, s2 ∈ G2. La operacion

(s1, s2)(t1, t2) = (s1.s2, t1.t2)

define una estructura de grupo enG1×G2; aG1×G2, provisto de esta estructura,se le llama grupo producto de G1 y G2. Si el orden de G1 es g1 y el de G2 es g2,el orden de G1 ×G2 es g1.g2. El grupo G1 se identifica al subgrupo de G1 ×G2

cuyos elementos son de la forma (s1, 1), s1 ∈ G1; analogamente, G2 se identificaa un subgrupo de G1 × G2; hechas estas identificaciones, se observa que cadaelemento de G1 conmuta con todo elemento de G2. Recıprocamente, sean G1 yG2 subgrupos de un grupo G tales que

1. Todo elemento s ∈ G se escribe de manera unica en la forma s = s1.s2,s1 ∈ G1 y s1 ∈ G2.

2. Si s1 ∈ G1 y s2 ∈ G2, entonces s1.s2 = s2.s1

5 COMPLEMENTOS 30

En estas condiciones, el producto de dos elementos s = s1.s2, t = t1.t2 sepuede escribir s.t = s1.s2.t1.t2 = (s1.t1).(s2.t2). Resulta de ello que la correspon-dencia que asigna a (s1, s2) ∈ G1×G2 el elemento s1.s2 de G es un isomorfismode G1 × G2 sobre G. En este caso se dice tambien que G es el producto (o elproducto directo) de los subgrupos G1 y G2.

Sean ρ1 : G1 → GL(V1) y ρ2 : G2 → GL(V2) representaciones lineales de G1

y G2 respectivamente. Se define una representacion lineal ρ1 ⊗ ρ2 de G1 × G2

en V1 ⊗ V2 por el siguiente procedimiento:

ρ1 ⊗ ρ2(s1, s2) = ρ1(s1)⊗ ρ2(s2)

. A esta representacion se la llama tambien producto tensorial de las represen-taciones ρ1 y ρ2; si χi es el caracter de ρi(i = 1, 2), el caracter χ de ρ1 ⊗ ρ2 loda la formula

χ(s1, s2) = χ1(s1).χ2(s2)

Teorema 5.2. 1. Si ρ1 y ρ2 son irreducibles, ρ1 ⊗ ρ2 es una representacionirreducible de G1 ×G2

2. Toda representacion irreducible de G1×G2 es isomorfa a una representacionρ1 ⊗ ρ2, donde ρi es una representacion irreducible de Gi(i = 1, 2).

Demostracion. 1. Si ρ1 y ρ2 son irreducibles, entonces, por algo visto anterior-mente, tenemos

1

g1

∑s1

|χ1(s1)|2 = 1,1

g2

∑s2

|χ2(s2)|2 = 1

Multiplicando ambas igualdades, tendremos

1

g

∑s1,s2

|χ(s1, s2)|2 = 1,

con lo cual muestra que ρ1 ⊗ ρ2 es irreducible por el teorema 4.3

2. Para esto, basta probar que toda funcion central f definida en G1 × G2 yortogonal a los caracteres de la forma χ1(s1).χ2(s2) es nula. Supongamos,entonces, que ∑

s1,s2

f(s1, s2).χ1(s1).χ2(s2) = 0.

Si ponemos g(s1) =∑s2

f(s1, s2).χ2(s2), la igualdad anterior se puede escribir

∑s1

g(s1)χ1(s1) = 0,∀χ1.

Como g es una funcion central, resulta que g = 0,∀χ2; y por el mismoargumento f(s1, s2) = 0.

El teorema anterior reduce enteramente el estudio de las representaciones deG1 ×G2 al de las representaciones de G1 y de G2.

6 EXTENSION A LOS GRUPOS COMPACTOS 31

6. Extension a los grupos compactos

6.1. Grupos compactos

Llamamos grupo topologico a un grupo G provisto de una topologia tal queel producto s.t y el inverso s−1 son continuos. Un tal grupo se dice compactosi su topologıa es la de un espacio compacto, es decir, si verifica el teorema deBorel-Lesbesgue. Por ejemplo, el grupo de rotaciones alrededor de un punto delespacio euclıdeo de dimension 2(o 3, . . .) posee una topologıa natural por la cuales un grupo compacto; sus subgrupos cerrados son tambien grupos compactos.

Como ejemplos de grupos no compactos podemos citar el grupo de trans-laciones x → x + a, y el grupo de aplicaciones lineales que dejan invariantela forma cuadratica x2 + y2 + z2 − t2 (grupo de Lorentz); las representacioneslineales de estos grupos gozan de propiedades distintas de las del caso compacto.

6.2. Medida invariante sobre un grupo compacto

En el estudio de las representaciones lineales de un grupo finito G, de or-den g, hemos usado ampliamente de la operacion medida sobre G, que hacecorresponder a una funcion f definida en G el elemento

f0 =1

g

∑t∈G

f(t)

(f puede tomar valores complejos o, mas general, en un espacio vectorial.) Unaoperacion analoga existe para los grupos compactos; en este caso se trata, enlugar de una suma finita, de una integral∫

G

f(t)dt

con respecto a una medida dt sobre G. De manera precisa, se puede demostrarque existe una unica medida dt sobre G tal que:

1.∫Gf(t)dt =

∫Gf(ts)dt, para toda funcion f y todo s ∈ G (es decir, dt es

invariante por translaciones a derecha)

2.∫Gdt = 1 (la masa total de dt es igual a 1).

Se demuestra ademas que dt es invariante por translaciones a la izquierda,es decir,

1∫Gf(t)dt =

∫Gf(st)dt

La medida dt es la medida invariante (o medida de Haar) del grupo G. Heaquı dos ejemplos.

1. Si G es finito de orden g, la medida dt es aquella que asigna a cada elementot ∈ G una masa igual a 1

g .


2. Sea G el grupo C∞ de rotaciones del plano; si representamos los elementost ∈ G en la forma t = eiα (α determinado modulo 2π), la medida invariantees 1

2πdα; se introduce el factor 12π para asegurar la condicion 2

6.3. Representaciones lineales de grupos compactos

Sea G un grupo compacto y V un espacio vectorial de dimension finita sobreel cuerpo de los numeros complejos. Una representacion lineal de G en V esun homomorfismo continuo ρ : G → GL(V ); esta condicion equivale a decirque ρsx es funcion continua de (s, x) ∈ G× V . Del mismo modo se definen lasrepresentaciones lineales de G en un espacio de Hilbert; se demuestra que unarepresentacion de este genero es suma directa de representaciones de dimensionfinita, a las cuales nos restringiremos.

Casi todas las propiedades de las representaciones de grupos finitos se ex-tienden a los grupos compactos; basta sustituir las expresiones

1

g

∑t∈G

. . .

por ∫G

. . . dt.

Por ejemplo, el producto escalar 〈ϕ | ψ〉 de dos funciones ϕ y ψ se escribira

〈ϕ | ψ〉 =

∫G

ϕ(t).ψ(t)dt

De forma precisa tenemos:

a) Los teoremas 3.1,3.2,4.1,4.2,4.3 son validos sin cambio, ası como sus demos-traciones. Tambien lo son las proposiciones 4.1,4.2,4.3

b) En 4.4, se define la representacion regular R como el espacio de Hilbert defunciones de G de cuadrado integrable, donde la operacion de G es (ρsf)(t) =f(s−1t); si G no es finito, esta representacion es de dimension infinita, y nose puede hablar, por tanto, de su caracter. Por consiguiente, la proposicion4.4 carece de sentido. Sin embargo, aun es cierto que toda representacionirreducible Wi esta contenida en R tantas veces como indica su grado.

c) La proposicion 4.5 y el teorema 4.4 son validos sin cambio. (en el teorema4.4, H es el espacio de Hilbert de funciones centrales de cuadrado integrable)

d) El teorema 4.5 es cierto (pero carece de interes) aunque G no sea finito:existen infinitas clases y una infinidad de representaciones irreducibles.

e) El teorema 4.6 es valido sin cambio, ası como su demostracion. En particular,todo x ∈ V se descompone en x =

∑pix, donde pix se calcula por la formula

pix = ni

∫G

χi(t)ρtxdt.


f) Los teoremas 9 y 10 son validos sin cambio, ası como sus demostraciones. Aeste proposito, digamos que la medida invariante del grupo producto G1×G2

es el producto ds1.ds2 de las medidas invariantes de G1 y G2.

7 ALGUNOS EJEMPLOS 34

7. Algunos ejemplos

7.1. El grupo cıclico Cn

Es el grupo de orden n formado por las potencias 1, r, r2, . . . , rn−1 de unelemento r tal que rn = 1. Puede realizarse como el grupo de rotaciones 2kπ

n , 0 ≤k ≤ n− 1, alrededor de un eje. Es un grupo conmutativo.

Segun el teorema 9 , las representaciones irreducibles de Cn son de grado1. Una tal representacion asocia a un r un numero complejo χ(r) = w, y a

rk el elemento χ(rk) = wk; como rn = 1,wn = 1 y por tanto w = e2πihn , h =

0, 1, . . . , n− 1. Existen, pues, n representaciones irreducibles de grado 1, cuyoscaracteres χ0, . . . , χn−1 los describe la siguiente formula:

χh(rk) = e2πihkn

Por ejemplo, la tabla de caracteres irreducibles para n = 3 es la siguiente:

1 r r2

χ0 1 1 1χ1 1 w w2

χ2 1 w2 w

7.2. EL grupo C∞

Es el grupo de rotaciones del plano Si rα es la rotacion de angulo α (deter-minado modulo 2π), la medida invariante de C∞ es 1

2πdα. Las representacionesirreducibles de C∞ son de grado 1. Se puede ver facilmente que la descripcioncompleta de las mismas es la siguiente:

χn(rα) = einα

con un n arbitratrio.Las relaciones de ortogonalidad de los caracteres se expresan en este caso

por las conocidas formulas

1

2π

∫ 2π

0

e−inα.eimαdα = δnm,

y el teorema 4.4 manifiesta de nuevo el desarrollo de una funcion periodica enserie de Fourier.

7.3. El grupo diedral Dn

Es el grupo de rotaciones y simetrıas del plano que dejan invariante unpolıgono regular de n vertices. Contiene n rotaciones, que forman un subgrupoisomorfo a Cn y n simetrıas; su orden es 2n. Si r designa la rotacion de angulo2πn y si s es una simetrıa cualquiera, se verifican las siguientes relaciones:

rn = 1, s2 = 1, srs = r−1.


Todo elemento de Dn se escribe de manera unica en la forma rk, 0 ≤ k ≤n − 1( si pertenece a Cn) o en la forma srk, o ≤ k ≤ n − 1( si no pertenece aCn) La relacion srs = r−1 implica que srks = r−k y por tanto (srk)2 = 1.

7.3.1. Realizaciones de Dn como grupo de desplazamientos del espa-cio de tres dimensiones.

Existen varias realizaciones:

a) La realizacion usual (llamada tradicionalmente Dn). En ella se toman porrotaciones las rotaciones alrededor del eje Oz, y por simetrıas las simetrıasalrededor de n rectas en el plano Oxy, siendo π

n el angulo entre dos conse-cutivas.

b) La realizacion mediante el grupo Cnv: en lugar de simetrıas respecto de rectasdel plano Oxy se toman simetrıas respecto a planos que pasan por el eje Oz.

7.3.2. Representaciones irreducibles del grupo Dn (n ≥, par)

Se obtienen 4 representaciones irreducibles de grado 1 haciendo corresponder±1 a r y s de todas las maneras posibles. Sus caracteres ψ1, ψ2, ψ3, ψ4 los da latabla

rk srk

ψ1 1 1ψ2 1 -1ψ3 (−1)k (−1)k

ψ4 (−1)k (−1)k+1

Pasemos a las representaciones de grado 2. Sea w = e2πin y h un entero

arbitrario. Se define una representacion ρh de Dn poniendo:

ρh(rk) =

(whk 0

0 w−hk

); ρh(srk) =

(0 w−hk

whk 0

)Un calculo directo muestra efectivamente que ρh es una representacion. Esta

claro que solo depende de la clase h modulo n; como ρh y ρn−h son isomorfas,podemos suponer que 0 ≤ h ≤ n

2 . Los casos extremos h = 0 y h = n2 carecen

de interes: las representaciones correspondientes son reducibles. En cambio, si0 < h < n

2 , ρh es irreducible: del hecho que wh 6= w−h deducimos que las

unicas rectas invariantes por ρh(s) son los ejes de coordenadas, los cuales noson estables por ρh(s). El mismo argumento prueba que estas representacionesson dos a dos no isomorfas. La formula siguiente da el caracter de χh:

χh(rk) = whk + w−hk = 2 cos

(2πhk

n

)χh(srk) = 0.


Las representaciones irreducibles de grado 1 y 2 que hemos construido sontodas las representaciones irreducibles de Dn(salvo isomorfismos). En efecto, lasuma de los cuadrados de los respectivos grados es

4 · 1 +(n

2− 1)· 4 = 2n

y 2n es el orden de Dn.

Ejemplo: Existen 4 representaciones de grado 1 deD6, con caracteres ψ1, ψ2, ψ3, ψ4

y 2 representaciones irreducibles de grado 2, con caracteres χ1 y χ2.

7.3.3. Representaciones irreducibles del grupo Dn(n impar)

Existen dos representaciones de grado 1, cuyos caracteres ψ1 y ψ2 son:

rk srk

ψ1 1 1ψ2 1 −1

Por otra parte, se definen representaciones ρh por las mismas formulas delcaso en que n es par. Si 0 < h < n

2 obtenemos representaciones irreducibles, dosa dos no isomorfas (por ser n impar, la condicion h < n

2 equivale a h ≤ n−12 ).

Las formulas que expresan los caracteres son las mismas.Estas son las unicas representaciones de Dn, n impar. En efecto, la suma de

cuadrados de los respectivos grados es

2 · 1 +

(n− 1

2

)· 4 = 2n

y 2n es el orden de Dn.

7.4. El grupo Dnh

Es el producto Dn × I, donde I es el grupo de orden 2 {1, i}, con i2 = 1.Es un grupo de orden 4n. Si realizamos Dn de manera habitual como grupode rotaciones y simetrıas del espacio de dimension 3, podemos realizar Dnh

como el grupo engendrado por Dn y la simetrıa central i respecto al origen; enesta realizacion, Dnh se interpreta como el grupo de desplazamientos que dejaninvariante un polıgono de n vertices del plano Oxy.

Debido al teorema las representaciones irreducibles de Dnh son los productostensoriales de las representaciones irreducibles de Dn y de I. Ahora bien, Iadmite dos representaciones irreducibles, ambas de grado 1, cuyos caracteres gy u son:

1 ig 1 1u 1 −


Resulta de ello que el numero de representaciones irreducibles de Dnh es eldoble del numero de representaciones irreducibles de Dn. De modo preciso, todocaracter irreducible χ de Dn define dos caracteres irreducibles χg y χu de Dnh,segun la tabla:

x ixχg χ(x) χ(x)χu χ(x) −χ(x)

(siendo x un elemento de Dn).Por ejemplo, el caracter χ1 de Dn da los caracteres χ1g y χ1u:

rk srk irk isrk

χ1g 2 cos(2πkn

)0 2 cos

(2πkn

)0

χ1u 2 cos(2πkn

)0 −2 cos

(2πkn

)0

Se procede analogamente con los demas caracteres de Dn.

7.5. El grupo D∞

Es el grupo de las rotaciones y simetrıas del plano que dejan invariante elorigen. Contiene el grupo C∞ de rotaciones rα; si s es una simetrıa cualquiera,se verifican las siguientes relaciones:

s2 = 1, srαs = r−α.

Todo elemento de D∞ se escribe de manera unica en la forma rα(si pertenecea C∞) o en la forma srα( si no pertenece a C∞); como espacio topologico, D∞ esla union disjunta de dos circunferencias. La medida invariante de D∞ es 1

4πdα.Por tanto, la formula que da la media de una funcion f es la siguiente:∫

G

f(t)dt =1

4π

∫ 2π

0

f(rα)dα+1

4π

∫ 2π

0

f(srα)dα.

En particular, los proyectores pi del 4.6 tandran aquı la siguiente forma:

pix =ni4π

∫ 2π

0

χi(rα)ρrα(x)dα+ni4π

∫ 2π

0

χi(srαρsrα(x)dα.

7.5.1. Realizaciones de D∞ como grupo de desplazamientos del es-pacio de dimension 3

Existen 2 realizaciones:

a) La ususal, se toman las rotaciones alrededor del eje Oz y las simetrıas res-pecto a las rectas del plano Oxy que pasan por O.

b) La realizacion mediante el grupo C∞v : en lugar de simetrıas respecto a rectasde Oxy, se toman las simetrıas respecto a los planos que pasan por el eje Oz.


7.5.2. Representaciones irreducibles del grupo D∞

Se construyen como las de Dn. Hay dos representaciones de grado 1, decaracteres ψ1 y ψ2, dados por la tabla:

rα srαψ1 1 1ψ2 1 −1

Existe una sucesion de representaciones irreducibles ρh de grado 2 (h =1, 2, . . .), definidas por las formulas:

ρh(rα) =

(eihα 0

0 e−ihα

), ρh(srα) =

(0 e−ihα

eihα 0

).

Sus caracteres χ1, χ2, . . . toman los valores siguientes:

χh(rα) = 2 cos(hα), χh(srα) = 0

7.6. El grupo D∞h

Es el producto D∞ × I; lo podemos realizar como el grupo engendrado porD∞ y la simetrıa i respecto del origen. Sus elementos se escriben de maneraunica en una de las cuatro formas:

rα; srα; irα; isrα.

Como espacio topologico es la union disjunta de cuatro circunferencias. Lamedida invariante de D∞h es 1

8πdα; por tanto, la formula que da la media∫Gf(t)dt de una funcion f definida en D∞h es la siguiente:

∫G

f(t)dt =1

8π

∫ 2π

0

f(rα)dα+1

8π

∫ 2π

0

f(srα)dα+1

8π

∫ 2π

0

f(irα)dα+1

8π

∫ 2π

0

f(isrα)dα.

Tal como ocurrıa con el grupo Dnh, las representaciones irreducibles de D∞h

son el desdoblamiento de las representaciones de D∞. Todo caracter χ de D∞nos da dos caracteres χg y χu de D∞h . Por ejemplo, el caracter χ3 de D∞ da:

rα srα irα isrαχ3g 2 cos(3α) 0 2 cos(3α) 0χ3u 2 cos(3α) 0 −2 cos(3α) 0

REFERENCIAS 39

Referencias

[1] J. P. Serre, Representaciones lineales de los grupos finitos.

[2] W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra, Una aproximacion atraves de la teorıa de modulos.

[3] Tesis de licenciatura del Dr. Gaston Andres Garcıa, Representa-ciones de los grupos simetricos.

[4] Notas de Juan Martın Mombelli (FAMAF), Grupos finitos y susrepresentaciones.

[5] Wikipedia

[6] Trabajo de Edwin A. Lopez Romo, La medida de Haar en Grupostopologicos Compactos.

estructuras algebraicas trabajo final …demetrio/monografias/materias/ea/36... · medida...

Documents