estymacja przedzialowa wybranych parametrÓw … · wprowadzenie przedziały ufno´sci dla...
TRANSCRIPT
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWAWYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
Agnieszka Rossa
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Szkic wykładu
1 Wprowadzenie
2 Przedziały ufnosci dla sredniej
3 Przedział ufnosci dla frakcji
4 Przedział ufnosci dla wariancji
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przedziałem ufnosci nazywamy przedział losowy,o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-bienstwem, ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacja bedziemy siezajmowac sa: srednia, wariancja i frakcja.
Z przedziałem ufnosci zwiazany jest poziom ufnosci1− α, okreslajacy prawdopodobienstwo tego, ze przedziałufnosci rzeczywiscie zawiera interesujacy nas parametr.
Krance przedziału ufnosci – wyznaczone na podstawiekonkretnej realizacji próby losowej – dostarczaja ocenyprzedziałowej nieznanego parametru.
W przeciwienstwie do oceny przedziałowej, mozliwa jesttez ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przedziałem ufnosci nazywamy przedział losowy,o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-bienstwem, ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacja bedziemy siezajmowac sa: srednia, wariancja i frakcja.
Z przedziałem ufnosci zwiazany jest poziom ufnosci1− α, okreslajacy prawdopodobienstwo tego, ze przedziałufnosci rzeczywiscie zawiera interesujacy nas parametr.
Krance przedziału ufnosci – wyznaczone na podstawiekonkretnej realizacji próby losowej – dostarczaja ocenyprzedziałowej nieznanego parametru.
W przeciwienstwie do oceny przedziałowej, mozliwa jesttez ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przedziałem ufnosci nazywamy przedział losowy,o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-bienstwem, ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacja bedziemy siezajmowac sa: srednia, wariancja i frakcja.
Z przedziałem ufnosci zwiazany jest poziom ufnosci1− α, okreslajacy prawdopodobienstwo tego, ze przedziałufnosci rzeczywiscie zawiera interesujacy nas parametr.
Krance przedziału ufnosci – wyznaczone na podstawiekonkretnej realizacji próby losowej – dostarczaja ocenyprzedziałowej nieznanego parametru.
W przeciwienstwie do oceny przedziałowej, mozliwa jesttez ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przedziałem ufnosci nazywamy przedział losowy,o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-bienstwem, ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacja bedziemy siezajmowac sa: srednia, wariancja i frakcja.
Z przedziałem ufnosci zwiazany jest poziom ufnosci1− α, okreslajacy prawdopodobienstwo tego, ze przedziałufnosci rzeczywiscie zawiera interesujacy nas parametr.
Krance przedziału ufnosci – wyznaczone na podstawiekonkretnej realizacji próby losowej – dostarczaja ocenyprzedziałowej nieznanego parametru.
W przeciwienstwie do oceny przedziałowej, mozliwa jesttez ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przedziałem ufnosci nazywamy przedział losowy,o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-bienstwem, ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacja bedziemy siezajmowac sa: srednia, wariancja i frakcja.
Z przedziałem ufnosci zwiazany jest poziom ufnosci1− α, okreslajacy prawdopodobienstwo tego, ze przedziałufnosci rzeczywiscie zawiera interesujacy nas parametr.
Krance przedziału ufnosci – wyznaczone na podstawiekonkretnej realizacji próby losowej – dostarczaja ocenyprzedziałowej nieznanego parametru.
W przeciwienstwie do oceny przedziałowej, mozliwa jesttez ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.
Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.
Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.
Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwazan
Przykładowo, mówiac, ze srednia w populacji – oszaco-wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocenepunktowa tego parametru.Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-tosc odbiega od rzeczywistej sredniej populacji. Z tego po-wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.Przypuscmy, ze do estymacji wykorzystalismy przedziałufnosci skonstruowany dla zadanego 1− α. Np. 95-pro-centowy przedział [9,11] informuje, ze mozemy miec 95%ufnosci, iz w tym przedziale znajduje sie srednia populacji.Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wiecej informacjio mozliwej wartosci parametru populacji, niz estymacjapunktowa. Uwzglednia bowiem wielkosc błedu estymacjidla zadanego poziomu ufnosci.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla sredniej, gdy dysponujemy duza próba
W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.
Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[
X − uασ√n
; X + uασ√n
],
gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α2 rozkładu N(0,1),
σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.Jesli nie znamy parametru σ, zastepujemy go odchyleniemstandardowym S z próby.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla sredniej, gdy dysponujemy duza próba
W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.
Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[
X − uασ√n
; X + uασ√n
],
gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α2 rozkładu N(0,1),
σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.Jesli nie znamy parametru σ, zastepujemy go odchyleniemstandardowym S z próby.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla sredniej, gdy dysponujemy duza próba
W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[
X − uασ√n
; X + uασ√n
],
gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α2 rozkładu N(0,1),
σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.
Jesli nie znamy parametru σ, zastepujemy go odchyleniemstandardowym S z próby.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla sredniej, gdy dysponujemy duza próba
W wykładzie ”Podstawy wnioskowania – czesc I” wyzna-czony był przedział ufnosci dla sredniej µ cechy X w po-pulacji w przypadku, gdy dysponujemy duza próba.Teoretycznie zakłada sie tu, ze liczebnosc próby dazy donieskonczonosci. W praktyce przyjmuje sie, ze próba po-winna liczyc co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.Przy tym załozeniu przedział ufnosci dla parametru µ, dlazadanego poziomu ufnosci 1− α, ma postac:[
X − uασ√n
; X + uασ√n
],
gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α2 rozkładu N(0,1),
σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.Jesli nie znamy parametru σ, zastepujemy go odchyleniemstandardowym S z próby.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 1
W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja-ce na celu oszacowanie sredniego, dziennego zapotrzebo-wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkoscsprzedazy w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych,otrzymujac srednia dzienna sprzedaz równa 100 litrów,przy odchyleniu standardowym 15 litrów.
Oszacowac przedziałowo srednia, dzienna sprzedaz mlekaw tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufnosci 0,95.Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α
2 = 0,975 rozkładuN(0,1) wynosi 1,96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiajacdane z próby do wzoru na przedział ufnosci:[
100− 1,9615√50
; 100 + 1,9615√50
],
otrzymujemy ocene przedziałowa: [96 (l); 104 (l)].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 1
W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja-ce na celu oszacowanie sredniego, dziennego zapotrzebo-wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkoscsprzedazy w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych,otrzymujac srednia dzienna sprzedaz równa 100 litrów,przy odchyleniu standardowym 15 litrów.Oszacowac przedziałowo srednia, dzienna sprzedaz mlekaw tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufnosci 0,95.
Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α2 = 0,975 rozkładu
N(0,1) wynosi 1,96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiajacdane z próby do wzoru na przedział ufnosci:[
100− 1,9615√50
; 100 + 1,9615√50
],
otrzymujemy ocene przedziałowa: [96 (l); 104 (l)].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 1
W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja-ce na celu oszacowanie sredniego, dziennego zapotrzebo-wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkoscsprzedazy w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych,otrzymujac srednia dzienna sprzedaz równa 100 litrów,przy odchyleniu standardowym 15 litrów.Oszacowac przedziałowo srednia, dzienna sprzedaz mlekaw tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufnosci 0,95.Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α
2 = 0,975 rozkładuN(0,1) wynosi 1,96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiajacdane z próby do wzoru na przedział ufnosci:[
100− 1,9615√50
; 100 + 1,9615√50
],
otrzymujemy ocene przedziałowa: [96 (l); 104 (l)].Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla sredniej, gdy cecha ma rozkład normalny
Istnieje jeszcze inna formuła okreslajaca przedział ufnoscidla sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzonaprzy pewnych załozeniach dotyczacych tej cechy.
Załózmy, ze badana cecha ma rozkład normalny (czegonie wymagalismy w przypadku poprzedniego modelu) oraznie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy.Przy tych załozeniach – niezaleznie od liczebnosci n próbylosowej – przedział ufnosci dla sredniej µ okreslony dlazadanego poziomu ufnosci 1− α ma postac:[
X − tαS√
n − 1; X + tα
S√n − 1
],
gdzie tα oznacza kwantyl rzedu 1− α2 rozkładu Studenta
o k = n − 1 stopniach swobody (wielkosci tα sa stablico-wane – zob. nastepny slajd).
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla sredniej, gdy cecha ma rozkład normalny
Istnieje jeszcze inna formuła okreslajaca przedział ufnoscidla sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzonaprzy pewnych załozeniach dotyczacych tej cechy.Załózmy, ze badana cecha ma rozkład normalny (czegonie wymagalismy w przypadku poprzedniego modelu) oraznie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy.
Przy tych załozeniach – niezaleznie od liczebnosci n próbylosowej – przedział ufnosci dla sredniej µ okreslony dlazadanego poziomu ufnosci 1− α ma postac:[
X − tαS√
n − 1; X + tα
S√n − 1
],
gdzie tα oznacza kwantyl rzedu 1− α2 rozkładu Studenta
o k = n − 1 stopniach swobody (wielkosci tα sa stablico-wane – zob. nastepny slajd).
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla sredniej, gdy cecha ma rozkład normalny
Istnieje jeszcze inna formuła okreslajaca przedział ufnoscidla sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzonaprzy pewnych załozeniach dotyczacych tej cechy.Załózmy, ze badana cecha ma rozkład normalny (czegonie wymagalismy w przypadku poprzedniego modelu) oraznie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy.Przy tych załozeniach – niezaleznie od liczebnosci n próbylosowej – przedział ufnosci dla sredniej µ okreslony dlazadanego poziomu ufnosci 1− α ma postac:[
X − tαS√
n − 1; X + tα
S√n − 1
],
gdzie tα oznacza kwantyl rzedu 1− α2 rozkładu Studenta
o k = n − 1 stopniach swobody (wielkosci tα sa stablico-wane – zob. nastepny slajd).
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Fragment tablicy kwantyli rozkładu Studenta
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 2
Kierownictwo banku chce oszacowac sredni czas obsługiklienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,ze sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-wo, ze czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie nor-malnym.
Oszacowac przedziałowo sredni czas obsługi klientów,przyjmujac poziom ufnosci 0,98.Rozwiazanie. Kwantyl tα z rozkładu Studenta o 19 stop-niach swobody wynosi 2,539 - zob.poprzedni slajd. Stad:[
15− 2,5395√19
; 15 + 2,5395√19
].
Otrzymalismy ocene przedziałowa: [12,1(min); 17,9(min)].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 2
Kierownictwo banku chce oszacowac sredni czas obsługiklienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,ze sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-wo, ze czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie nor-malnym.Oszacowac przedziałowo sredni czas obsługi klientów,przyjmujac poziom ufnosci 0,98.
Rozwiazanie. Kwantyl tα z rozkładu Studenta o 19 stop-niach swobody wynosi 2,539 - zob.poprzedni slajd. Stad:[
15− 2,5395√19
; 15 + 2,5395√19
].
Otrzymalismy ocene przedziałowa: [12,1(min); 17,9(min)].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 2
Kierownictwo banku chce oszacowac sredni czas obsługiklienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,ze sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-wo, ze czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie nor-malnym.Oszacowac przedziałowo sredni czas obsługi klientów,przyjmujac poziom ufnosci 0,98.Rozwiazanie. Kwantyl tα z rozkładu Studenta o 19 stop-niach swobody wynosi 2,539 - zob.poprzedni slajd. Stad:[
15− 2,5395√19
; 15 + 2,5395√19
].
Otrzymalismy ocene przedziałowa: [12,1(min); 17,9(min)].Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.
Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.
Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).
Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.
W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Załózmy, ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartos-ci (warianty). Taka ceche okresla sie czesto mianemcechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płec.Przypuscmy, ze interesuje nas jeden z dwóch wariantówcechy X . Niech p oznacza udział elementów populacjiposiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobietw pewnej zbiorowosci osób.Parametr p okresla sie mianem frakcji elementów wyróz-nionych (w skrócie – frakcji lub wskaznika struktury).Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wy-brany wariant cechy X wartosc 1, natomiast pozostałymelementom – wartosc 0.W ten sposób zdefiniowalismy zmienna losowa o rozkła-dzie zero-jedynkowym z parametrem p.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Zauwazymy, ze parametr p równy jest tez sredniejarytmetycznej z zer i jedynek, składajacych sie na takokreslona zbiorowosc.
Np. w zbiorowosci liczacej 10 elementów mozemy otrzy-mac nastepujacy ciag zer i jedynek:
1,0,1,0,1,1,1,0,1,0
Liczba m jedynek w tym ciagu wynosi:
m = 6,
co daje udział jedynek równy: mn = 6
10 = 0,6.Łatwo sprawdzic, ze m
n jest srednia arytmetycznaz podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn m
n
(1− m
n
)równy jest wariancji w tym zbiorze.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Zauwazymy, ze parametr p równy jest tez sredniejarytmetycznej z zer i jedynek, składajacych sie na takokreslona zbiorowosc.Np. w zbiorowosci liczacej 10 elementów mozemy otrzy-mac nastepujacy ciag zer i jedynek:
1,0,1,0,1,1,1,0,1,0
Liczba m jedynek w tym ciagu wynosi:
m = 6,
co daje udział jedynek równy: mn = 6
10 = 0,6.
Łatwo sprawdzic, ze mn jest srednia arytmetyczna
z podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn mn
(1− m
n
)równy jest wariancji w tym zbiorze.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Zauwazymy, ze parametr p równy jest tez sredniejarytmetycznej z zer i jedynek, składajacych sie na takokreslona zbiorowosc.Np. w zbiorowosci liczacej 10 elementów mozemy otrzy-mac nastepujacy ciag zer i jedynek:
1,0,1,0,1,1,1,0,1,0
Liczba m jedynek w tym ciagu wynosi:
m = 6,
co daje udział jedynek równy: mn = 6
10 = 0,6.Łatwo sprawdzic, ze m
n jest srednia arytmetycznaz podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn m
n
(1− m
n
)równy jest wariancji w tym zbiorze.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru p moznawiec sprowadzic do zagadnienia estymacji sredniej w po-pulacji. Korzysta sie tu z tw. granicznych. Warunkiem jestwiec dysponowanie dostatecznie duza próba (n ≥ 100).
Przyjmujac p jako odpowiednik sredniej w populacji,mn jako odpowiednik sredniej arytmetycznej z próby orazmn
(1− m
n
)jako odpowiednik wariancji S2 z próby,
otrzymujemy nastepujacy przedział ufnosci dla frakcji p:mn− uα
√mn
(1− m
n
)n
;mn
+ uα
√mn
(1− m
n
)n
,gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α
2 rozkładu normalnegostandaryzowanego N(0,1) – zob. nastepny slajd.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla frakcji
Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru p moznawiec sprowadzic do zagadnienia estymacji sredniej w po-pulacji. Korzysta sie tu z tw. granicznych. Warunkiem jestwiec dysponowanie dostatecznie duza próba (n ≥ 100).
Przyjmujac p jako odpowiednik sredniej w populacji,mn jako odpowiednik sredniej arytmetycznej z próby orazmn
(1− m
n
)jako odpowiednik wariancji S2 z próby,
otrzymujemy nastepujacy przedział ufnosci dla frakcji p:mn− uα
√mn
(1− m
n
)n
;mn
+ uα
√mn
(1− m
n
)n
,gdzie uα jest kwantylem rzedu 1− α
2 rozkładu normalnegostandaryzowanego N(0,1) – zob. nastepny slajd.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 3
Producent nowego leku interesuje sie, dla jakiej czescichorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadanolosowa próbe 150 pacjentów, którym podano nowy lek,stwierdzajac, ze w 110 przypadkach wyleczył z choroby.
Oszacowac przedziałowo odsetek chorych, którzy zostalibyskutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmujac 1− α = 0,9.
Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α2 = 0,95 rozkładu
N(0,1) wynosi 1,64 (poprzedni slajd). Mamy wiec:110150− 1,64
√110150
(1− 110
150
)150
;110150
+ 1,64
√110150
(1− 110
150
)150
,co daje ocene przedziałowa: [0,67; 0,79] lub [67%; 79%].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 3
Producent nowego leku interesuje sie, dla jakiej czescichorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadanolosowa próbe 150 pacjentów, którym podano nowy lek,stwierdzajac, ze w 110 przypadkach wyleczył z choroby.
Oszacowac przedziałowo odsetek chorych, którzy zostalibyskutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmujac 1− α = 0,9.
Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α2 = 0,95 rozkładu
N(0,1) wynosi 1,64 (poprzedni slajd). Mamy wiec:110150− 1,64
√110150
(1− 110
150
)150
;110150
+ 1,64
√110150
(1− 110
150
)150
,co daje ocene przedziałowa: [0,67; 0,79] lub [67%; 79%].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 3
Producent nowego leku interesuje sie, dla jakiej czescichorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadanolosowa próbe 150 pacjentów, którym podano nowy lek,stwierdzajac, ze w 110 przypadkach wyleczył z choroby.
Oszacowac przedziałowo odsetek chorych, którzy zostalibyskutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmujac 1− α = 0,9.
Rozwiazanie. Kwantyl uα rzedu 1− α2 = 0,95 rozkładu
N(0,1) wynosi 1,64 (poprzedni slajd). Mamy wiec:110150− 1,64
√110150
(1− 110
150
)150
;110150
+ 1,64
√110150
(1− 110
150
)150
,co daje ocene przedziałowa: [0,67; 0,79] lub [67%; 79%].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.
W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2
σ2
ma rozkład chi-kwadrat o k =n−1 stopniach swobody.W zapisie nS2
σ2 symbol S2 oznacza wariancje z próby, czylizmienna losowa postaci:
S2 =1n
n∑i=1
(Xi − X
)2.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.
Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2
σ2
ma rozkład chi-kwadrat o k =n−1 stopniach swobody.W zapisie nS2
σ2 symbol S2 oznacza wariancje z próby, czylizmienna losowa postaci:
S2 =1n
n∑i=1
(Xi − X
)2.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2
σ2
ma rozkład chi-kwadrat o k =n−1 stopniach swobody.
W zapisie nS2
σ2 symbol S2 oznacza wariancje z próby, czylizmienna losowa postaci:
S2 =1n
n∑i=1
(Xi − X
)2.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancjazjawiska σ2 (wzglednie odchylenie standardowe σ), np.w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-nosc procesu.W celu wyznaczenia przedziału ufnosci dla wariancji ko-rzysta sie z nastepujacego twierdzenia.Jesli próba prosta X1,. . . ,Xn pochodzi z populacji o roz-kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=nS2
σ2
ma rozkład chi-kwadrat o k =n−1 stopniach swobody.W zapisie nS2
σ2 symbol S2 oznacza wariancje z próby, czylizmienna losowa postaci:
S2 =1n
n∑i=1
(Xi − X
)2.
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
Niech c1 oraz c2 oznaczaja kwantyle rzedu odpowiednio α2
i 1− α2 rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nastepne slajdy).
Dla zadanego poziomu ufnosci 1− α zachodzi równosc:
P (c1 ≤ Z ≤ c2) = 1− α,gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrato k = n − 1 stopniach swobody.Podstawiamy w miejsce Z wyrazenie nS2
σ2 . Po prostychprzekształceniach otrzymujemy:
P(
nS2
c2≤ σ2 ≤ nS2
c1
)= 1− α.
Stad przedział ufnosci dla wariancji σ2 ma postac:[nS2
c2;
nS2
c1
].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
Niech c1 oraz c2 oznaczaja kwantyle rzedu odpowiednio α2
i 1− α2 rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nastepne slajdy).Dla zadanego poziomu ufnosci 1− α zachodzi równosc:
P (c1 ≤ Z ≤ c2) = 1− α,gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrato k = n − 1 stopniach swobody.
Podstawiamy w miejsce Z wyrazenie nS2
σ2 . Po prostychprzekształceniach otrzymujemy:
P(
nS2
c2≤ σ2 ≤ nS2
c1
)= 1− α.
Stad przedział ufnosci dla wariancji σ2 ma postac:[nS2
c2;
nS2
c1
].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
Niech c1 oraz c2 oznaczaja kwantyle rzedu odpowiednio α2
i 1− α2 rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nastepne slajdy).Dla zadanego poziomu ufnosci 1− α zachodzi równosc:
P (c1 ≤ Z ≤ c2) = 1− α,gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrato k = n − 1 stopniach swobody.Podstawiamy w miejsce Z wyrazenie nS2
σ2 . Po prostychprzekształceniach otrzymujemy:
P(
nS2
c2≤ σ2 ≤ nS2
c1
)= 1− α.
Stad przedział ufnosci dla wariancji σ2 ma postac:[nS2
c2;
nS2
c1
].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przedział ufnosci dla wariancji
Niech c1 oraz c2 oznaczaja kwantyle rzedu odpowiednio α2
i 1− α2 rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nastepne slajdy).Dla zadanego poziomu ufnosci 1− α zachodzi równosc:
P (c1 ≤ Z ≤ c2) = 1− α,gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrato k = n − 1 stopniach swobody.Podstawiamy w miejsce Z wyrazenie nS2
σ2 . Po prostychprzekształceniach otrzymujemy:
P(
nS2
c2≤ σ2 ≤ nS2
c1
)= 1− α.
Stad przedział ufnosci dla wariancji σ2 ma postac:[nS2
c2;
nS2
c1
].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat – c.d.
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low ResolutionAgnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 4
Wrócmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-wym nie powinien miec duzej wariancji. W przeciwnymprzypadku kolejka ma tendencje do rozrastania sie.
Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-cowac przedziałowo wariancje czasu obsługi klientów przyokienku kasowym, przyjmujac 1− α = 0,9.Rozwiazanie. Kwantyle c1 i c2 rozkładu chi-kwadrat o 19stopniach swobody sa równe c1 = 10,117, c2 = 30,144(por. poprzednie slajdy). Mamy:[
20 · 52
30,144;
20 · 52
10,117
].
co daje ocene przedziałowa wariancji:[16,6(min)2; 49,4(min)2
].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 4
Wrócmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-wym nie powinien miec duzej wariancji. W przeciwnymprzypadku kolejka ma tendencje do rozrastania sie.Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-cowac przedziałowo wariancje czasu obsługi klientów przyokienku kasowym, przyjmujac 1− α = 0,9.
Rozwiazanie. Kwantyle c1 i c2 rozkładu chi-kwadrat o 19stopniach swobody sa równe c1 = 10,117, c2 = 30,144(por. poprzednie slajdy). Mamy:[
20 · 52
30,144;
20 · 52
10,117
].
co daje ocene przedziałowa wariancji:[16,6(min)2; 49,4(min)2
].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
WprowadzeniePrzedziały ufnosci dla sredniej
Przedział ufnosci dla frakcjiPrzedział ufnosci dla wariancji
Przykład 4
Wrócmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-wym nie powinien miec duzej wariancji. W przeciwnymprzypadku kolejka ma tendencje do rozrastania sie.Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-cowac przedziałowo wariancje czasu obsługi klientów przyokienku kasowym, przyjmujac 1− α = 0,9.Rozwiazanie. Kwantyle c1 i c2 rozkładu chi-kwadrat o 19stopniach swobody sa równe c1 = 10,117, c2 = 30,144(por. poprzednie slajdy). Mamy:[
20 · 52
30,144;
20 · 52
10,117
].
co daje ocene przedziałowa wariancji:[16,6(min)2; 49,4(min)2
].
Agnieszka Rossa ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI