etf_zbirka zadaci oe2 2014

Универзитет ,,Св. Кирил и Методиј” - Скопје

Факултет за електротехника и информациски технологии

Д-р Марија Кацарска

ОДБРАНИ РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ОД ОСНОВИ НА ЕЛЕКТРОТЕХНИКА 2

Електромагнетизам и

Електрични кола со простопериодични напони и струи

Скопје, 2014

Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2

1

1. Био-Саваров закон

Заклучоците до кои дошле Био-Савар и Лаплас се следните:

- ако повеќе струјни кола истовремено создаваат магнетно поле, магнетната индукција во некоја точка е векторски збир на магнетните индукции од секое коло поединечно,

- секој елемент од едно струјно коло создава свое магнетно поле, така што магнетната индукција е векторски збир од сите елементарни индукции,

- елементарната магнетна индукција во точката P која ја создава елементот на колото dl со струја I (како на сликата) може да се одреди како:

0 02

[ ]

4

I dl rdB

πr

(1)

Релацијата (1) ја дава магнетната индукција одредена со правец и насока (векторот dl да се поклопи со векторот r0 по правило на десната рака) и со интензитет одреден како:

02

sinθT

4

I dldB

πr

(2)

Релацијата (2) може да се напише и во друг облик ако се спореди должината на отсечката AC од следната слика:

αAC r d

πcos( θ) sin θ

2AC dl dl

α sinθr d dl (3)

Ако релацијата (3) се замени во релацијата (2) ќе се добие уште еден израз за интензитетот на магнетната индукција:

0 αT

4

I ddB

πr

(4)

Релацијата (2) најчесто се применува за решавање на проблеми со кружна симетрија (кружни кола), додека релацијата (4) се применува за проблеми со праволиниски кола.

Сите проблеми ги разгледуваме во линеарни, хомогени магнетни средини со констанатна магнетна пермеабилност, најчесто во воздух.

P

A

C

r

d dl

dl

P 0r

I

dB

•

•


2

Задача 1.1. Да се одреди векторот на магнетна индукција која што постои околу праволиниски неограничено долг спроводник низ кој што тече временски константна струја со јачина I, на растојание a од него. Средината е воздух.

0=410-7 H/m ; a=10 cm ; I=500 A

Решение:

Целиот спроводник се дели на бесконечно многу мали делови со должина dl. Бидејќи низ секој од нив тече струја тие претставуваат елементарни струјни елементи. Секој од тие струјни елементи во точката P создава вектор на магнетна индукција со интензитет:

0 α

4

I ddB

πr

. (1.1.1)

Ако во претходната релација се замени за:

cosα

ar , (1.1.2)

за интензитетот на векторот ќе се добие: 0 αcosα

4

I ddB

πa

. (1.1.3)

Бидејќи правците и насоките на сите елементарни индукции dB кои ги создаваат сите струјни елементи dl се поклопуваат, резултантната магнетна индукција во точката P ќе има ист правец и насока како векторот dB и интензитет:

22

0 0 0 0

22

cos sin 24 4 4 2

I I I IB d

a a a a

. (1.1.4)

0 T2

IB

a

(1.1.5)

310 TB

Максималните вредности кои што може да ги достигне магнетната индукција (со електро-магнети) е од редот на десетина тесли.

Задача 1.2. Дадено е коло во вид на квадрат. Низ него тече струја I во дадената насока. Да се одреди векторот на магнетна индукција во средината на квадратното коло, ако околната средина е воздух.

0=410-7 H/m

a=10 cm

I=50 A

Решение:

Секоја страна од квадратот во точката О создава вектор на магнетна индукција со ист интензитет, правец и насока. Резултантниот вектор на магнетна индукција во точката О ќе биде збир од четири исти вектори (по еден за секоја страна).

Значи, доволно е да се одреди магнетната индукција само од една страна на квадратот. За таа цел страната на квадратот со должина a замислено ја делиме на бесконечно многу струјни

P

a

I

r d

X B

dl

a

0 I X B


3

елементи со должина dl. Секој од нив во центарот на квдратот ќе создава вектор на магнетна индукција dB1 со интензитет:

01

α

4

μ I ddB

πr

, (1.2.1)

2cosα

ar . (1.2.2)

Со замена на равенката (1.2.2) во (1.2.1) се добива:

0 01

α cosα α2cosα

4 2

μ I d μ I ddB

πa πa

(1.2.3)

Со собирање на сите овие вектори се доби-ва резултантниот вектор на магнетна индукција во центарот на квадратот само од едната страна B1:

44

0 01

44

cos sin2 2

I IB d

a a

01

2

2

IB

a

. (1.2.4)

Вкупната магнетна индукција во точката О е: 14B B

, (1.2.5)

со интензитет: 014 2 2 T

IB B

a

(1.2.6)

За конкретните вредности интензитетот на магнетната индукција во точката О е:

6564 10 TB

Задача 1.3. Да се одреди векторот на магнетна индукција која што ја создава кружен спроводник со радиус R ако низ него тече струја I, во центарот на спроводникот. Средината е воздух.

0=410-7 H/m ; I=50 A ; R=2 cm

Решение:

Ако замислиме дека спроводникот е составен од бесконечно многу струјни елементи со должина dl и дека низ секој од нив тече струја I, магнетната индукција што секој струен елемент ја создава во центарот на кружниот спроводник ќе е:

02

sinθ

4

I dldB

πr

. (1.3.1)

=/2 ; r=R=const

R O

I

0a/2

I

r d

a /4

X 1

B

dl

R O

I

dl • B

Nikolovi

Highlight


4

02

l

4

μ I ddB

πR

. (1.3.2)

Резултантната магнетна индукција во центарот на кружниот спроводник се добива со собирање на сите овие бесконечно многу вектори:

220 0 0 0

2 2004 4 2

RRI I I IB dl l

R R R d

. (1.3.3)

Па интензитетот на векторот на магнетна индукција во центарот на кружниот спроводник е:

0

2

IB

R

. (1.3.4)

За конкретните вредности интензитетот на магнетната индукција во точката О е:

415.7 10 TB

Задача 1.4. Околу квадратно коло со страна a низ кое тече струја I1 во дадена насока, опишано е кружно струјно коло со радиус R. Колкава струја и во која насока треба да тече во кружното коло, за резултантната магнетна индукција во центарот на системот да биде нула. Струјата I1 на квадратното коло е со јачина од 3.14 A. Средината е воздух.

Решение:

Резултантната магнетна индукција во центарот на системот е збир од два вектора, векторот на магнетната индукција од квад-ратното коло - B1 и векторот на магнетната индукција од кружното коло - B2. Од условот на задачата истата треба да биде еднаква на нула.

За резултантниот вектор да биде нула треба магнетните индукции кои што ги создаваат двата извора да бидат еднакви меѓу себе по правец и интензитет, но спротивни по насока. Од тука заклучуваме дека струјата I2 низ кружното коло треба да има спротивна насока од струјата I1 низ квадратното коло, а

интензитетите на векторите на магнетна индукција од двете кола треба да се еднакви.

1 2 0B B B

2 1B B .

Квадратното коло во центарот на системот создава магнетната индукција со интензитет:

0 11

2 2 IB

a

, (1.4.1)

додека кружното коло во центарот на системот создава магнетна индукција со интензитет:

0 22 2

IB

R

. (1.4.2)

За системот е исполнето дека 2

2R a , па магнетната индукција од кружното коло во

центарот на системот ќе биде:

0 22

2

IB

a

. (1.4.3)

R

O

a

I2

I1

• 2

B 1

B X


5

Со изедначување на равенките (1.4.1) и (1.4.3) се добива решението за јачината на струјата I2 која што тече низ каружното коло:

1 2B B 0 1 0 22 2

2

I I

a a

12

44 A

II

Задача 1.5. Неограничен праволиниски спроводник и кружен спроводник лежат во иста рамнина. Низ праволинискиот спроводник тече струја I2 во дадената насока, а низ кружниот струја I1. Да се одреди насоката на струјата I1 и растојанието x така што магнетната индукција во центарот на кружниот спроводник ќе биде нула. Средината е воздух.

0=410-7 H/m ; I1=1.5 A ; I2=10 A ; R=4.5 cm

Решение:

Резултантната магнетна индукција во центарот на кругот е збир од два вектора, векторот на магнетната индукција од кружниот спроводник - B1 и векторот на магнетната индукција од праволинискиот спроводник - B2. Од условот на задачата истата треба да биде еднаква на нула.

За резултантниот вектор да биде нула треба магнетните индукции кои ги создаваат двата извора да бидат еднакви меѓу себе по правец и интензитет, но спротивни по насока. Од тука заклучуваме дека струјата I1 низ кружниот спроводник треба да има спротивна насока од струјата I2 низ праволинискиот спроводник.

1 2 0B B B

2 1B B .

Кружниот спроводник во центарот на кругот создава магнетна индукција со интензитет:

0 11 2

IB

R

, (1.5.1)

додека праволинискиот спроводник во центарот на кругот создава магнетната индукција:

0 22 2

IB

x

. (1.5.2)

Со изедначување на равенките (1.5.1) и (1.5.2) се добива решението за растојанието x на центарот на кругот од праволинискиот спроводник:

1 2B B 0 1 0 2

2 2

I I

R x

2

1

9.56 cmRI

xI

Задача 1.6. Да се одреди векторот на магнетна индукција во точките на осовината на кружен прстен ако низ него тече струја I. Радиусот на кружниот прстен е R, а околната средината е воздух.

Решение:

Ако замислиме дека кружниот прстен е составен од бесконечно многу струјни елементи со должина dl и дека низ секој од нив тече струја I, магнетната индукција што секој струен елемент ја создава во точката P која што лежи на оската на кружниот прстен ќе е:

R

O

I1 I2

x

1

B 2

B • X

RP

I


6

01 2

sinθ

4

I dldB

πr

(1.6.1)

=/2 ; r=R=const

01 24

μ I dldB

πR

. (1.6.2)

Бидејќи сите вектори од сите бесконечно многу струјни елементи ќе се вектори со различен правец и со ист интензитет, ќе се разложат на проекции во xOy координатниот систем. При тоа ќе се добие дека збирот од сите компоненти по y оската ќе е еднаков на нула, а резултантниот вектор ќе е векторот добиен како збир на сите проекции по x оската.

cos 0y y ydB dB B dB , (1.6.3)

20 0

2 20

sin sinsin 2

4 4

R

x x x

I IdB dB B dB dl R

d d

, (1.6.4)

02

sin2x

IRB B

d

. (1.6.5)

За интензитетот на векторот на магнетната индукција во точката P да се изрази со зададените величини во горната равенка ќе се замени за:

2 2sinR

d x Rd

, (1.6.6)

по што конечниот израз за интензитетот на векторот на магнетната индукција во точката P ќе е:

2 2

0 0 03 3/ 22 2 2 22 2

sinT

2 22

IR IR IRB

x R x Rx R

. (1.6.7)

Задача 1.7. Две кружни намотки со исти радиуси R и со иста струја I во иста насока,

поставени се на меѓусебно растојание a, така што нивните рамнини се паралелни. Секоја од нив има по N навивки. Да се одреди векторот на магнетната индукција во средината на било која од нив ако системот се наоѓа во воздух.

0=410-7 H/m ; I=20 A

N=200 навивки ; R=10 cm

а=5 cm

R O

I dI

x

B

1

dl

1

dl

1

dB

2

dB

xdB

ydB

ydB

P

2

dl

aR

X I X I


7

Решение:

Магнетната индукција која што една кружна контура ја создава во нејзиниот центар, според (1.5.1) е:

0

2

IB

R

, (1.7.1)

така што кружната намотка со N навивки во нејзиниот центар ќе создава вектор на магнетна индукција со правец и насока по x оската и интензитет:

0 11 2

NIB

R

. (1.7.2)

Векторот на магнетна индукција која што намотката 2 го создава во центарот на намотката 1 е со правец и насока на x оската, според (1.6.7), и со интензитет:

2

02 3/ 22 22

x

IRB

a R

. (1.7.3)

Векторот на резултантната магнетна индукција во центарот на намотката 1 е со правец и насока на x оската и со интензитет:

2

01 2 3/ 22 2

1

2x

NI RB B B

R a R

. (1.7.4)

За конкретните вредности интензитетот на магнетната индукција ќе е:

0, 427 TB

Задача 1.8. Да се определи векторот на магнетна индукција во точката P по оската на соленоидот со N рамномерно намотани навивки низ кои тече струја со јачина I. Соленоидот е со кружен напречен пресек со радиус a, должината му е b а целиот систем се наоѓа во воздух.

0=410-7 H/m ; I=50 A

N=1000 навивки ; a=2 cm

b=20 cm

Решение:

dB

I a

PB

r

x1

23

bc

x dx

I

N

a

b

I1 2

Ra

1B

2xB

x

X I X


8

Одбираме точка P која што лежи на оската на соленоидот, но е надвор од него. Ако навивките низ кои што тече струјата рамномерно се намотани по должината на соленоидот, тогаш на должината b постои т.н. "струен плашт" со струја NI , а на елементот dx струен плашт NI

dxb

. Целиот соленоид, по должината b, ќе се замисли дека е составен од бесконечно многу

елементарни струјни плаштови со должина dx.

Од решението на задачата 1.6 (релација 1.6.5) следи дека струјата која што тече низ една кружна навивка во точката P создава вектор на магнетната индукција со интензитет:

02

sin2

IB a

r

, (1.8.1)

а елементарниот струен плашт со должина dx во истата точка ќе создава вектор на магнетна индукција со правец и насока по x оската и интензитет:

02

sin2

a NIdB dx

r b

. (1.8.2)

За интензитетот на векторот на магнетната индукција во точката P да се изрази со зададените величини во горниот израз ќе се замени за:

22

2sin

sin

a ar

r

, (1.8.3)

по што ќе се добие:

230 0

2

sinsin sin

2 2

aNI NIdB dx dx

b a ab

. (1.8.4)

За изразот да биде само со една променлива во релацијата c x

ctga

ќе се диференцира и

левата и десната страна и ќе се добие дека: 2 2sin sin

d dx adx d

a

.

Кога тој резултат ќе се замени во изразот (1.8.4) ќе се добие:

0 sin2

NIdB d

b

. (1.8.5)

Конечниот израз за интензитетот на векторот на магнетна индукција во избраната точка ќе се добие со собирање на сите бесконечно многу вектори dB и за интензитетот ќе следи:

2

1

0 01 2sin cos cos

2 2

NI NIB dB d

b b

, (1.8.6)

Бидејќи е 2=–3 и cos2= – cos3 изразот (1.8.6) ќе ја добие следната форма:

01 3cos cos

2

NIB

b

. (1.8.7)


9

Важни се следните два посебни случаи на точки по оската на соленоидот:

1. Ако точката се наоѓа во средината на соленоидот кога е исполнето 1=3 и кога важи:

1 3 2 2 22

2cos cos4

4

bb

a bba

, (1.8.8)

за интензитетот на векторот на магнетната индукција ќе се добие:

0 0

2 2 2 2

2

2 4 4

NI NIbB

b a b a b

. (1.8.9)

2. Ако точката се наоѓа во центарот на соленоидот за кој е исполнето дека ba тогаш тој

е долг и тенок соленоид и магнетната индукција во најголемиот дел од неговата внатрешност ќе биде со интензитет:

0 NIB

b

. (1.8.10)


10

2. Електромагнетна сила и момент

Кога спроводник низ којшто тече струја се наоѓа во туѓо магнетно поле врз него дејствува механичка сила којашто зависи од интензитетот и насоката на струјата, должината на спроводникот и векторот на магнетна индукција на туѓото магнетно поле. Силата се пресметува како:

NF I l B

, (1)

каде што I и l се на спроводникот, а Bсе однесува на туѓото магнетно поле. Правецот и

насоката на силата се добива кога векторот на должината на спроводникот l

(којшто секогаш е насочен во насоката на течење на струјата низ спроводникот) според правилото на десна рака се

врти така што ќе се поклопи со векторот на магнетна индукција B

на туѓото магнетно поле по покусиот пат (или помалиот агол меѓу нив).

На спроводник со елементарна должина dl низ којшто тече струја I ќе дејствува

елементарна сила dF

којашто се пресметува како:

dF I dl B

. (2)

Ако во простор со магнетно поле се донесе спроводник којшто образува рамно коло низ коешто тече електрична струја, врз колото ќе дејствува момент којшто ќе тежнее да го заврти колото како резултат на спрег од сили:

NmM m B

, (3)

M е аксијален вектор и тежнее да го заврти колото сè додека векторот на магнетниот момент

на колото m

не се поклопи со векторот на магнетна индукција B

на туѓото магнетно поле.

Магнетниот момент за едно електрично коло има правец нормален на рамнината во којашто лежи колото, а насоката му се одредува според правилото на десната рака во насока на струјата којашто тече низ него:

2Amm I S

. (4)


11

Задача 2.1. Спроводник со облик и димензии претставени на сликата се наоѓа во хомогено магнетно поле со магнетна индукција B. Магнетните силови линии се нормални на рамнината во која лежи спроводникот. Низ спроводникот тече струја I. Да се одреди силата , која тежи да го помести спроводникот, ако тој е изработен од крута жица.

B = 1.2 T c = 20cm

ca

3

I = 25 A

b

b

b b

F I b B

F I b B

F F

Двете сили Fb се поништуваат бидејќи колото е круто. Силите Fa ги разложуваме на две компоненти. Јасно дека Fh – компонентите се поништуваат.

v aF F cos aF I a B IaB

a vF 2F cos 2F

F 2IaBcos

c c 3cos

c2a 223

2

3 cF 2IBa 3IaB 3I B IcB

2 3

F I c B 25 20 10 1,2 6N

Задача 2.2. Даден е многу долг праволиниски спроводник со струја I и правоаголна

контура со струја I1. Положбата на колото и димензиите се дадени на сликата. Средината е воздух. Да се определи силата која дејствува на правоаголникот, по интензитет, правец и насока, ако истиот е направен од крут материјал.

I = 20 A I1 = 4 A a = 50cm b = 9cm c = 1cm

I

Fb

c

B b

Fh

Fv

a

Fv

Fh

F

Fb'

F F

a

a

F3

I

I1

dF4 F4

b x

F1

B1

F2

B2

dxc

dF3


12

Заради симетрија јасно е дека резултантните сили F3 и F4 се еднакви и со спротивен смер па се поништуваат.

3 4 3 41 x 1 xdF I dx B ; dF I dx B dF dF

1 1 1F I a B ; 01

IB

2 c

o 1

1 1 o

I I I aF I a

2 c 2 c

2 1 2F I a B ;

o2

IB

2 c b

o 1

2

I I aF

2 c b

o 11 2

I I a 1 1F F F

2 c c b

Резултантната сила е:

4o 1I I a bF 7.2 10 N

2 c c b

, и има насока на F1 .

Задача 2.3. Струјна контура во вид на рамностран трапез со струја I2 чија насока е

дадена, лежи во иста рамнина со неограничен праволиниски спроводник со струја I1 со дадена насока. Да се определи резултантната сила која дејствува на контурата.

1 2 1 1F I l B

o 11

IB

2 a

o 1 2 11

I I lF

2 a

2 2 2 2F I l B

o 12

IB

2 a b

o 1 2 2

2

I I lF

2 a b

Поради симетрија на спроводниците со должини l3 и l4, врз кои што ќе дејствуваат силите F3 и F4, вертикалните компоненти на dF4 ќе се поништат со соодветните вертикални компоненти од dF3.

o 1 o 1 24 42 x x 4 2 4 x 4

I I IdF I dl B ; B dF I dl B dl

2 x 2 x

o 1 24h 4 4v 4 4h 4

I I sindF dF sin ; dF dF cos dF dl

2 x

I1 F3 F3v

F3h

Fl1

F1

B F2

l2

I2

a b

F4 F4v 4dF

4dlF4h


13

4

o 1 24h

dxdl

cosI I sin dx

dF2 x cos

a bo 1 2 o 1 2

4h

a

3h 4h

1 2 3h 4h

o 1 2 1 2

I I dx I I a bF tg tg ln

2 x 2 a

F F

F F F F F

I I l l a bF 2tg ln

2 a a b a

Задача 2.4. Паралелно со долг полуцилиндричен спроводник чиј напречен пресек е во облик на половина тело и кружен прстен се наоѓа тенок спроводник. Попречниот пресек на системот и неговите димензии се дадени на сликата. Дебелината на цилиндричниот спроводник е знатно помала од неговиот радиус. Ако низ спроводниците тече иста струја I, но со спротивен смер, да се одреди силата која дејствува на на полуцилиндерот по единица должина. Средината е воздух.

Силата која дејствува на спроводникот 2, што се наоѓа во магнетното поле создадено од спроводникот по закон за акција и реакција, е иста со силата која што дејствува на спроводникот 1, кој се наоѓа во магнетно поле од спроводникот 2. Тоа значи дека F1=F2=F.

Ние ја бараме силата која што дејствува на спроводникот 1. Елементот dl може да се смета како бесконачно долг тенок спроводник со струја dI. Силата која дејствува на тој спроводник по единица должина е:

o

o

o 2

dF dI l B

dF dl 1 B

I I IdI dL ad d

a aI

B2 a

I IdF d

2 a

IdF d

2 a

2 2 2 22o o o o

2 2 2 2

2

I I I I NdF dF cos cos d ; F dF cos d 2

2 a 2 a 2 a a m

dL=ad

I

F2

dF’

dF

B

I

d

(1)

a

(2)

a b

I2

4dl

dx x

I1


14

Задача 2.5. Доводникот и одводникот до рачката на раставувачот за големи струи, го сочинуваат доста долгиот праволиниски двожичен вод, во кој растојанието меѓу спроводниците е d. Да се пресмета силата која дејствува на рачката од раставувачот кога низ неа тече струја I. Посебно да се пресмета таа сила за струја на куса врста.

Iks = 10000 A d = 15 cm a = 1 cm

И доводниот и одводниот спроводник во точките од рачката создаваат магнетно поле.

Доводниот вод (истото важи и за одводот), создава во точките од рачката магнетно поле,

кое што е еднакво на 12 од магнетното поле кое што го создава бесконечен долг праволиниски

спроводник (ова не е тешко да се докаже).

2o o o

x x x

d a 2 2 2d ao o o

x a

a

2o

I I I dx dxB ; dF Idx B

4 x 4 d x 4 x d x

I I I1 1 d a aF dF dx ln x ln d x | ln ln

4 x d x 4 4 a d a

I d aF ln 52.7 N

2 a

Задача 2.6. Паралелно со долга метална лента 1 се протега тенок спроводник 2.

Попречниот пресек на системот и димензиите се дадени на сликата. Дебелината на лентата е занемарливо мала во однос на нејзината широчина “2b” и нормалното растојание “a” од спроводникот до лентата. Ако низ лентата и спроводникот течат исти струи но со спротивен смер, да се одреди силата која дејствува на спроводникот со единица должина.

d

2a I

dFdx

Bd-x

x

I

x

y

x

B

dB

φ

dB’ dBy

F

dB’x

φ

dy’

dy

y

a

dBx


15

Елементот dy може да се смета како бесконечно долг праволиниски спроводник со струја.

Ако I

dI dy2b

тогаш магнетната индукција која потекнува од овој елемент е:

2 2o o o

2 2

dI I Idy dydB ; r a y dB

2 r 2 r 2b 4 b a y

.

Елементот dy’ кој е симетричен на dy во однос на x – оската , создава магнетна индукција dB’, јасно е дека dBx и dB’

x компонентите се поништуваат, а dBy и dB’y компонентите

алгебарски се собираат

b bo

y y 2 22 2b b

bo o oy b

2' o

Iaa dydB dBcos dB B dBcos

4 b a ba bI I Iy b b

B B arctg | 2 arctg arctg4 b a 4 b a 2 b a

I b NF I 1 B arctg

2 b a m

Проверка за единиците:

22

2 2 2

V sekAH A A V sek Wsek NAF

m m m m m m

Задача 2.7. Соленоид на кој се намотани N навивки, се наоѓа во хомогено магнетно поле

со индукција B. Оската на соленоидот и правецот на полето зафаќаат агол 6 . Напречниот

пресек на соленоидот е S, а струјата низ него I. Соленоидот може да се врти околу оската ОО1. Да се одреди моментот кој тежи да го заврти соленоидот околу оската.

B = 0.6 T N = 250 S = 5cm2

I = 4 A

6

M m B

m I N S

M NI S B

M NISBsin 0.15 Nm

B

I • ОО1

m


16

Задача 2.8. Струјно коло со облик на рамностран триаголник со страна “a”, може да се врти околу оската ОО1 во хомогено магнетно поле со индукција B. Струјата во колото е I . Положбата на колото и магнетното поле се дадени на сликата. Да се најде моментот кој дејствува на ова коло.

I = 10 A B = 1 T a = 8 cm

3

2

22 3

a 3M m B M m B sin ; m S I I3 4

a 3 3 3M I B a I B 24 10 Nm

4 2 8

•

O1 O

a I

m

M

B

m


17

3. Амперов закон

Циркулацијата по затворена крива линија на векторот на магнетната индукција B

кој

потекнува од кола со струја I е еднаква на o I ако затворената крива линија и колата се

зафаќаат како соседните карики од еден ланец.

o

l

l

Bdl I

Bdlcos B,dl Io

Усвојуваме произволна насока на обиколување на линијата “l” и во таа насока ја

претпоставуваме и насоката на векторот на магнетната индукција "B"

. Струите ги земаме со знак “+” ако нивната насока се поклопува со насоката на напредување на десната завојница вртена во насока на циркулацијата по затворената крива “l”.

Ако “B” го добиеме со “+” добро сме ја претпоставиле насоката на “B”, ако пак е со знак “-“ тогаш B е во спротивна насока.

Задача 3.1. Да се определи интезитетот на магнетната индукција внатре и надвор од бесконечно долг праволиниски спроводник со кружен пресек и радиус R=1cm ако низ него тече струја I=50A. Да се нацрта график на зависноста на магнетната индукција во функција од растојанието r.

Усвојуваме произволна насока на обиколување на “l” и во таа насока го претпоставуваме и B.

1

2 o

l

2 ro

2 o 2

0

o2

r R

B dl I

IB dl I B

2 r

8B T

r

1

1

1 o 21l

22

2

2 r 2o

1 210

5o1 1 o2

1

0 r R

IB dl I ; J

R

IrI J r

R

IrB dl

R

IrB B 0,8 10 r T

2 R

2B

dl

r

RI •

1B

dl

r

R1

I

•


18

Задача 3.2. Два долги праволиниски спроводници со струи I1 и I2 во спротивни насоки, поставени се многу блиску паралелно еден до друг. Да се определи векторот на магнетната индукција во точката А на големо растојание r од спроводниците.

o

l

2 r

o

0

o 2 1

2 1o

Bdl I

Bdl I

B2 r I I

I IB

2 r

Со позитивна насока е струјата чија насока се поклопува со насоката нанапредување на десната завојница, ако истата ја вртиме по произволно избрана насока на циркулација по кривата “l”.

Задача 3.3. Да се определи магнетната индукција во било која точка во торусот околу кој густо се намотани N навивки низ кои тече струја I.

a r b

o

l

o

l

2 r

o

0

o

o

Bdl I

Bdl NI

Bdl NI

B 2 r NI

NIB

2 r

Ако напречниот пресек на торусот е занемарливо мал во однос на должината на неговата

средна линија, тогаш е исполнето 2a2b2r=l и е: oNIB

l

Задача 3.4. Даден е шуплив спроводник со радиуси R1 и R2. Низ него тече струја I. Да се определи распределбата на магнетната индукција во сите точки внатре и надвор од спроводникот, ако тој е многу долг.

1

0

l

0

0 r R

B dl 0

B 0

r

a

b

B

I

I

I

R1 R2

I.

(3.3.1)

(3.3.2)

B

B

dl

dl A

r

I1

I2

•


19

1

1

1 2

1 o

l

2 r

r ;1 o 2 20 2 1

2 21 o 2 2

2 1

2 2

o1 2 2

2 1

R r R

B dl I

IB dl I J

R R

IB 2 r r R

R R

r RIB

2 r R R

2

2 o

l

o2 o 2

r R

B dl I

IB 2 r I B

2 r

Задача 3.5. Даден е коаксијален кабел со радиус R1 на внатрешен спроводник, а R2 и R3

на надворешниот спроводник. Низ него тече струја I. Да се определи распределбата на магнетната индукција во сите точки внатре и надвор од кабелот, ако тој е многу долг.

1

1

1 o

l

21 o 2

o1 2

1

r R

B dl I

IB 2 r r

R

IrB

2 R

1 2

2 o

l

2 o

o2

R r R

B dl I

B 2 r I

IB

2 r

2 3

2 22

3 o 2 2l 3 2

2 2o 2o

3 2 23 2

R r R

I r RB dl I

R R

I r RIB

2 r 2 r R R

3

4 o

l

4

r R

B dl I 0

B 0

I 0

.

r

R2

R1

dl

I 1B

•

r

r

r R1

R3

R2

I

I

•


20

Задача 3.6. Даден е долг ексцентрично шуплив спроводник со радиус R1 и радиус на шуплината R2. Низ него тече струја со густина Ј. Да се определи магнетната индукција во точките P, M и N во спроводникот кои што лежат на линијата која што поминува низ оските на спроводникот О и на шуплината О1. Точката Р се наоѓа во спроводникот, додека точките М и N се наоѓаат во шуплината.

а) Решавањето на проблемот е со примена на методата на суперпозиција на магнетни полиња од два извори – спроводникот со центар во точката О и спроводникот со центар во точката О1 низ кои што течат струи со иста густина но со спротивни насоки. На тој начин на местото на шуплината во спроводникот се добива дека нема да тече струја. За точката P со примена на методата на суперпозиција се добива:

3

21 o 3

l

2 R2

1 o 3

0

2 o 31 3 o 3 1

B dl I ; I J R

B dl J R

JRB 2 R J R B

2

J

3

2

2 o

l

22

2 R d

22 o 2

0

22 3 o 2

2o

23

B dl I

I J R

B dl J R

B 2 R d J R

JRB

2 R d

2o 2

1 2 p 1 2 33

J RB B B B B B R

2 R d

Магнетното поле во спроводникот е нехомогено.

б) за точките M и N со примена на методата на суперпозиција се добива:

M:

2 o

l

2 o2 o 2

B dl I

JbB 2 b J b B

2

J

N

M a b O

R2 2B

2B

O O

R1

R

d

J .

P. M. .N

R

J .

O

R1

R3 B

P

1

O O R2 R

d

J

P

2B


21

N:

2 o

l

2 o2 o 2

B dl I

JaB 2 a J a B

2

M:

1 o

l

2 o1 o 1

B dl I

J d bB 2 d b J d b B

2

N:

1 o

l

2 o1 o 1

B dl I

J d aB 2 d a J d a B

2

1 2B B B

M: o oM 1 2

J JdB B B b d b

2 2

N: o oN 1 2

J JdB B B a d a

2 2

Магнетното поле во шуплината е хомогено.

Задача 3.7. Околу неограничен спроводник со струја I во означената насока, замислена е контура како на сликата. Да се определи циркулацијата на векторот на магнетната индукција во произволна насока по замислената контура.

Циркулацијата на векторот на магнетната индукција се определува со примена на Амперовиот закон, со тоа што се забележува дека замислената линија е составена од 6 дела од кои деловите 1, 3 и 5 се одбрани така да се совпаѓаат со делови од линии на магнетното поле по чија што должина

векторите на магнетната индукција и векторот d lќе се во

ист правец и со иста насока (покажано на делот 3), додека деловите 2, 4 и 6 се одбрани така да по целата должина

векторите на магнетната индукција и векторот d lќе се

нормални меѓу себе (покажано на делот 6).

o

l

B dl I

o

1

IB

2 3a

;

o

3

IB

2 2a

; o

5

IB

2 a

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

l l l l l l l

0 0 0 0 0 01 2 3 4 5 6

l l l l l l

o o o1 1 3 3 5 5

Bdl B dl B dl B dl B dl B dl B dl

B dl cos 0 B dl cos90 B dl cos 0 B dl cos90 B dl cos 0 B dl cos90

2 3a 2 2aI I I 2B l B l B l

6 a 2 4 a 4 2 a

o o oo

I I IaI

4 2 4 4

. .

R

O N M Od-

d+b

J • 1B 1B

6

a 3a

2a

I

+

5

4

3 2

13

Bdl

6B dl


22

Задача 3.8. Низ голема, тенка, бакарна плоча тече струја со подолжна густина Ј1. Плочата се наоѓа во воздух. Да се определи магнетната индукција во просторот околу плочата.

Струјата во ваков бакарен спроводник практично формира голем рамен струен ремен. Линиите на магнетната индукција се прави паралелни со рамнината на плочата, нормални на правецот на векторот на подолжната густина на струјата Ј1.

Ако го примениме Амперовиот закон за правоаголна контура P1 P2 P3 P4 P1 која што лежи во рамнина нормална на плочата, се добива :

o

l

B dl I

1 2 2 3 3 4 4 1

o

P P P P P P P P

1 2 3 4 o 1 1 2

1 2 o 1 1 2

o 1

Bdlcos0 Bdlcos Bdlcos0 Bdlcos I2 2

B P P B P P J P P

2BP P J P P

JB

2

1 2 3 4/ P P P P

Магнетното поле околу плочата е хомогено.

Задача 3.9. На сликата се прикажани две тенки паралелни бакарни плочи во воздух со струи со иста подолжна густина Јl , а со спротивни насоки. Да се определи магнетната индукција во околината на овие плочи, ако површината им е многу поголема во однос на нивнато растојание.

o l1 2 1 2

p 1 2 o l

M N 1 2

JB B B ; B B

2B B B J

B B B B 0

B

B

P1

P4

P2

P3

J1

lJ

lJ 1B 2B 1B 2B

N •

1B 2B

lJ lJ

P •

M •

2 1


23

4. Магнетен флукс

Ако рамна површина со површина S, ограничена со некоја крива линија, се наоѓа во магнено поле со магнетна индукција B, тогаш флуксот на векторот на магнетната индукција низ површината S е наречен магнетен флукс или флукс на вектори на магнетна индукција:

Wbs

BdS

. (1)

Oдбираме произволно насока на обиколување по кривата линија и нормалата на површината ја одредуваме според правилото на десната рака (ако прстите од десната рака се поставени во насоката на обиколување тогаш палецот ги дава правецот и насоката на нормалата на површината).

Магнетниот флукс е скаларна величина.

На елементарна површина одговара елементарен флукс d B dS

.

Ако под симболот S подразбираме елементарна површина која што ја пребришал некој спроводник при своето движење, тогаш под симболот Ф ќе подразбираме флукс низ пребришаната површина. Доколку во спроводникот тече струја тогаш насоката на обиколување по S ја одбираме во насоката на течење на струјата низ спроводникот кога тој се наоѓа во крајната положба т.е одкога ја пребришал површината.

Законот за конзервација на флуксот гласи: флуксот на векторот на магнетната индукција низ било која просторно затворена површина е нула, т.е. магнетното поле е безизворно.

0sBdS

. (2)

Од овa следува дека флуксот низ некоја површина не зависи од обликот на површината, туку од контурата на која што се наслонува таа површина.

Работата која што ја вршат електромагнетните сили при движењето на еден спроводник или на струјно коло може да се изрази и преку магнетниот флукс:

FdA I d I (3)

FdA F dl I I d

Nd

F I Idl dl

(4)

MdA M d I d Nmd

M Id

(5)


24

Задача 4.1. За следните положби на кружното коло кое се наоѓа во хомогено магнетно поле со индукција B , да се одреди магнетниот флукс низ површината на тоа коло ако системот се наоѓа во воздух.

Решение:

а) 0 2cos 0s sBdS B dS B S B R

.

б) cos coss sBdS B dS B S

.

в) cos 02s s

BdS B dS

.

Задача 4.2. Да се одреди магнетниот флукс низ правоаголна контура со положба и димензии дадени на сликата, кој што потекнува од неограничен праволиниски спроводник низ

којшто тече струја I. Системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Замислуваме дека правоаголната контура е составена од елементарни површини. Флуксот низ елементарната dS површина (одбрана паралелна со неограничениот спроводник бидејќи само во точки на исто растојание од спроводникот векторот на магнетна индукција којшто го создава струјата I е константен по правец, насока и интензитет) ќе е:

cosx x xd B dS B dS B dS

. (4.2.1)

Ако интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка на елементарна

површина е ист и се менува според функцијата o

2x

IB

x

, а елементарната површина е

dS c dx , тогаш вкупниот магнетен флукс низ површината на правоаголната контура е:

ln2 2

a bo o

S a

Ic Icdx a bBdS

x a

. (4.2.2)

ln Wb2

oIc a b

a

. (4.2.3)

Задача 4.3. Двоспроводна линија составена од два паралелно поставени многу долги спроводници обележени како 1 и 2 и правоаголна контура лежат во иста рамнина во меѓусебна положба дадена на сликата. Да се оодреди магнетниот флукс низ контурата, ако низ линијата тече струја I и системот се наоѓа во воздух.

B

B

n

B

n

B

R

B

B

n

+

dx x

a

n

xB

dS

I

c +

x 0 b


25

0=410-7 H/m

a=20 cm

b=10 cm

c=20 cm

l=1 m

I=50 A

Решение:

Секој од спроводниците во двоспроводната линија создава свое магнетно поле во

просторот со соодветни вектори на магнетна индукција 1xB

и 2xB

. Решението на проблемот ќе

го добиеме со примена на суперпозицијата на магнетните флуксеви коишто ги создаваат секој од спроводниците во двоспроводната линија поединечно.

1 2 . (4.3.1)

Правоаголната контура ја замислуваме составена од елементарни површини. Флуксот низ елементарната површина dS l dx од секој од спроводниците ќе е:

0 o1 1 1 cos 0

2x x

Id B dS B dS l dx

x

. (4.3.2)

0 o

2 2 2 cos 02x x

Id B dS B dS l dx

a b c x

. (4.3.3)

Вкупниот магнетен флукс низ површината на правоаголната контура ќе е:

1 2 2 2

a b a bo o

S S a a

d a b c xIl Ildxd d

x a b c x

,

ln ln2

oIl a b a b c a b

a a b c a

. (4.3.4)

7ln 81 10 Wb2

oa b b cIl

a c

. (4.3.5)

Задача 4.4. Правоаголна контура со страни a и b лежи во иста рамнина со неограничено долг праволиниски спроводник, како што е покажано на сликата. Да се одреди флуксот на

векторот на магнетната индукција низ контурата, ако низ спроводникот тече струја I во означената насока и системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Замислуваме дека правоаголната контура е составена од елементарни површини. Ако интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка на елементарна површина е ист и се менува според

функцијата o

2x

IB

x


x a b

dx

c x

l

I I

1xB

2xB

n +

dS

1 2

a

I

b

m


26

dS b dx тогаш флуксот низ елементарната површина поставена од десната страна на спроводникот ќе е:

0 ocos02x x

Id B dS B dS b dx

x

. (4.4.1)

Вкупниот магнетен флукс низ површината на правоаголната контура ќе е составен од магнентниот флукс низ делот од правоаголникот од левата страна со страници m и b, флуксот низ делот на правоаголникот од десната страна со страници m и b (тие два флукса се еднакви но со спротивен знак и ќе дадат резултантен флукс еднаков на нула) и од флуксот низ преостанатиот дел од правоаголникот од десната страна кој што е обоен портокалово и ќе го претставува вкупниот флукс низ правоаголната површина:

0 0 0 0

cos cos 0 cos 02 2 2

m m a m m m a mo o o

x x x

S m m

Ib Ib Ib dxd B dS B dS B dS dx dx

x x x

0 ln Wb2 2

a mo o

m

Ib Ibdx a m

x m

(4.4.2)

Задача 4.5. Да се одреди магнетниот флукс низ правоаголна контура ABCD со страни a и b кој потекнува од магнетното поле што го создава неограничен праволиниски спроводник низ кој тече струја I во означената насока. Meѓусебната положба на спроводникот и контурата е дадена на сликата. Праволинискиот спроводник е паралелен со рамнината во која што лежи правоаголната контура. Средината е воздух.

Решение:

Замислуваме дека правоаголната контура е составена од елементарни површини dS b dx . Интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка од просторот се менува според функцијата

o

2x

IB

x

. Векторот на магнетната индукција

и нормалата на елементарната површина по должината на целата правоаголна површина меѓу себе зафаќаат различен агол, а и интензитетот на векторот на магнетната индукција се менува за секоја елементарна површина. Заради математичката сложеност на решавањето на ваквиот проблем ќе го искористиме сознанието од законот за конзервација на флуксот дека магнетниот флукс е ист низ површини наслонети на иста

xB

n

dx

a

xB

I

b

+

x 0

m m

n

dS

x

• B

d

xB

d1

yI

• C

A •

x

• B’

D • C’ •

b

a


27

контура, па на контурата ABCD покрај правоаголната површина S1 ќе наслониме уште една површина S2 = AB’C’D+CC’B’B’+CDC’+BAB’ и ќе го одредиме магнетниот флукс низ просторно затворената површина S= S1+S2 (која што по дефиниција има нормали насочени нанадвор од неа). Поврѓината AB’C’D лежи во иста рамнина со праволинискиот спроводник.

1 21 2 0x x xs S S

B dS B dS B dS

1 2 . (4.5.1)

Значи ако го одредиме флуксот низ површината S2 всушност сме го одредиле магнетниот флукс низ бараната површина S1. Магнетниот флукс низ површината S2 е:

' ' ' ' ' '2

02 cos 0 cos cos cos

2 2 2x x x x x

s AB C D CC B B CDC BAB

B dS B dS B dS B dS B dS

1

' '

1ln2 2

d

o ox

dAB C D

I Ib dB dS b dx

x d

, каде 2 21 2 cosd a d ad . (4.5.2)


1 11 2 ln Wb

2o I b d

d

. (4.5.3)

Задача 4.6. Правоаголна контура со страни a и b и неограничено долг праволиниски спроводник се наоѓаат во положба дадена на сликата. Праволинискиот спроводник е паралелен со рамнината во која што лежи правоаголната контура. Страните со должина b на правоаголната контура се на растојанија c и d (c<d) од неограничениот спроводник. Да се одреди флуксот на векторот на магнетната индукција низ контурата, ако низ спроводникот тече струја I во означената насока и системот се наоѓа во воздух.

'

2n

+ I

d

c

d

iv

2n

"

2n

1n

n

'''

2n

xB

x

B

xB

xB

•

Решение:

Замислуваме дека правоаголната контура е составена од елементарни површини dS b dx . Интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка од просторот се

менува според функцијата o

2x

IB

x

. Векторот на магнетната индукција и нормалата на

елементарната површина по должината на целата правоаголна површина меѓу себе зафаќаат различен агол, а и интензитетот на векторот на магнетната индукција се менува за секоја елементарна површина. Заради математичката сложеност на решавањето на ваквиот проблем ќе го искористиме сознанието од законот за конзервација на флуксот дека магнетниот флукс е ист низ површини наслонети на иста контура, па на контурата ABCD покрај правоаголната површина S1 ќе наслониме уште една површина S2 составена од четири дела: S21, S22, S23, S24. Секоја од површините има нормала насочена нанадвор (бидејќи се дел од просторно затворена површина). Ќе го одредиме магнетниот флукс низ просторно затворената површина S=S1+S2 (која што по дефиниција има нормали насочени нанадвор од неа):

·

a

d

c

I b

n


28

1 21 2 0x x xs S S

B dS B dS B dS

. (4.6.1)

Значи ако го одредиме флуксот низ површината S2 всушност сме го одредиле магнетниот флукс низ бараната површина S1. Магнетниот флукс низ површината S2 е:

21 22 23 24

1 cos cos cos cos 02 2 2x x x x

S S S S

B dS B dS B dS B dS 1 2 ,

22

2 ln2 2

do o

x

S c

I Ib dB dS b dx

x c

. (4.6.2)


11 2 ln Wb

2oI b d

c

. (4.6.3)

Задача 4.7. По должината на осовината на дрвен прстен со страни b, покажан на сликата во пресек, поминува неограниченo долг праволиниски спроводник низ којшто тече струја I во означената насока. Да се определи магнетниот флукс низ еден замислен напречен пресек од прстенот. Системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Еден замислен пресек од дрвениот прстен е квадрат со страни b кој што лежи во иста рамнина со праволинискиот спроводник. Замислуваме дека квадратот е составена од елементарни површини. Флуксот низ елементарната dS површина ќе е:

0cos 0x x xd B dS B dS B dS

. (4.7.1)

Ако интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка на елементарна површина е ист и се менува според функцијата

o

2x

IB

x


dS b dx , тогаш вкупниот магнетен флукс низ површината на квадратот е:

ln2 2

a bo o

S a

Ib Ibdx a bBdS

x a

,

ln Wb2oIb a b

a

. (4.7.2)

Задача 4.8. Даден е соленоид со должина b=50 cm и кружен напречен пресек со површина S=3 cm2. Тој содржи N=500 навивки низ кои што тече струја I=10 A во обележената насока. Да се одреди магнетниот флукс низ средната навивка на соленоидот. Средината секаде во системот има магнетна пермеабилност 0.

b

dx x x

dS

+

a b

I

n

xB

I

N

a

b

b

a b

I


29

Решение:

Средната навивка од соленоидната намотка е кружен спроводник со полупречник а кој е:

2 0,977S

S a a cm

. (4.8.1)

Бидејќи a«b можеме да сметаме дека соленоидот е многу долг и тенок и во неговата внатрешност магнетното поле ќе е хомогено. Во внатрешноста, векторот на магнетната

индукција има интензитет o NIB

b

, тогаш вкупниот магнетен флукс низ површината на

средната навивка е:

0 6cos 0 3,77 10 Wbo

S S S

NIBdS BdS B dS B S S

b

, (4.8.2)

Задача 4.9. Правоаголна контура со страни a и b и многу долг праволиниски спроводник се наоѓаат во положба дадена на Слика 4.9а. Праволинискиот спроводник лежи во иста рамнината со правоаголната контура. Страните со должина b на правоаголната контура се на растојанија c и d (c < d) од неограничениот спроводник. Да се одреди флуксот на векторот на магнетната индукција низ контурата, ако истата ја третираме како да е составена од две триаголни контури со површини S1 и S2. Низ спроводникот тече струја I во означената насока и системот се наоѓа во воздух.

а) б)

Решение:

Замислуваме дека правоаголната контура е составена од две триаголни површини S1 и S2. Ако го најдеме магнетниот флукс низ секоја од триаголните површини вкупниот магнетен флукс низ целата правоаголна површина ќе е збир од поединечните флуксеви:

1 2 . (4.9.1)

2

1

l

I

a b

B

nI

b

N

a

S

+

dx x

a

x 0

b

I

l

+

y

dS1

xB

n


30

Секоја од триаголните површини ја замислуваме составена од елементарни површини dS y dx . Бидејќи тие се многу мали можеме да ги сметаме за правоаголни површини чија

што страна y се менува по триаголната површина. Интензитетот на векторот на магнетната

индукција во секоја точка од просторот се менува според функцијата o

2x

IB

x

. Според тоа

магнетните флуксеви низ секоја триаголна површина ќе ги пресметаме посебно.

Магнетниот флукс 1 ќе се добие како што е покажано на Слика 4.9б:

0 o1 1 1 cos 0

2x x

Id B dS B dS y dx

x

. (4.9.2)

каде што е исполнето y l ly x a

x a b b

. (4.9.3)

Ако релацијата (4.9.3) се замени во релацијата (4.9.2) за флуксот низ елементарната површина 1dS ќе се добие:

o1 2

x a dxId l

b x

. (4.9.4)

Според тоа вкупниот магнетен флукс низ триаголната површина 1S ќе е:

1

1 1 ln2 2 2 2

a b a b a bo o o o

S a a a

x a dxIl Il Il Ildx a bd dx a b a

b x b b x b a

,

1 ln Wb2

oIl a bb a

b a

. (4.9.5)

Магнетниот флукс 2 ќе се добие како што е покажано на сликата подолу:

0 o2 2 2 cos 0

2x x

Id B dS B dS y dx

x

. (4.9.6)

каде што е исполнето

y l ly a b x

a b x b b

. (4.9.7)

Ако релацијата (4.9.7) се замени во релацијата (4.9.6) за флуксот низ елементар-ната површина 2dS ќе се добие:

o2 2

a b x dxId l

b x

. (4.9.8)

Според тоа вкупниот магнетен флукс низ триаголната површина 2S ќе е:

2

2 2 2 2 2

a b a b a bo o o

S a a a

a b x dxIl Il Ildxd a b dx

b x b x b

,

2 ln Wb2

oIl a ba b b

b a

. (4.9.9)

dx x

a

x 0

b

I

l +

y

dS2

xB

n


31


1 2 ln Wb2

oIl a b

a

. (4.9.10)

Задача 4.10. Дадени се два многу долги праволиниски спроводници на меѓусебно растојание а1=5 cm, со струи I1=20 A и I2=40 A во означените насоки. Да се одреди работата која што треба да ја изврши надворешна механичка сила по единица должина на спроводникот за едниот спроводник со стална брзина да го помести на растојание а2=5 cm. Системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Надворешната механичка сила ќе изврши работа

meh meh mehdA F dx F dx

за да го помести спроводникот за

растојание dx . Притоа ќе ја совладува електромагнетната сила со која што магнетното поле кое што го создава струјата I1 која

што тече низ првиот спроводник meh eF F

. Бидејќи можеме

да ја пресметаме електромагнетната сила која што дејствува врз спроводникот, резултатот ќе го добиеме со замена на механичката со електромагнентната сила во изразот за работата:

cosmeh meh e e edA F dx F dx F dx F dx

. (4.10.1)

Ако интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка на патот по кој се движи спроводникот се

менува според функцијата o 11 2x

IB

x

, силата со која што тоа

магнентно поле дејствува врз спроводникот ќе е:

2 1e xF I l B

1 2

2 1 N2o

e x

I I lF I lB

x

. (4.10.2)

Со замена на изразот (4.10.2) во изразот (4.10.1) за работата која што ја извршила надворешната механичка сила на должина од 1 m на спроводникот ќе се добие следниот израз:

2

1

41 2 1 2 2

1

ln 2,576 10 J2 2

a

o om e

a

I I l I I l adxA F dx

x a

. (4.10.3)

I1

а1 а2

I2 I2

I1

а1 а2

I2 I2

dx x x

• 1xB

eF

mehF


32

Задача 4.11. Многу долг праволиниски спроводник со струја I1 во означената насока и спроводна правоаголна контура со струја I2 во означената насока лежат во иста рамнина. Да се одреди силата која дејствува врз контурата, по правец, насока и интензитет. Системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Примерот е ист со задачата 2.2 така што и решението ќе биде исто, но ќе го добиеме со помош на изразите за работата која би ја извршила силата која што дејствува врз правоаголната контура ако истата би ја поместила за растојание da во десно (да ја оддалечи од спроводникот), т.е кога 0da :

2dA Fda I d . (4.11.1)

Флуксот на магнетното поле од долгиот спроводник низ правоаголната контура е:

1 ln Wb2oI l a b

a

. (4.11.2)

Според изразот (4.11.1) силата која што ќе дејствува врз контурата ќе е:

12 2 2

1

2o

a a bI ldF I I

a bda aa

,

1 2 1 22

N2 2

o oabI I l I I l b

Fa b a a b a

. (4.11.3)

Знакот минус во изразот покажува дека силата ќе дејствува во насока спротивна од претпоставената, т.е. ќе ја лизга контурата во истата рамнина во насока да ја приближи кон спроводникот.

a

I1

l

b

I2

F


33

5. Електромагнетна индукција

Во секој спроводник кој што се наоѓа во временски променливо магнетно поле или пак се движи во временски константно магнетно поле се појавува електромагнетна индукција и индуцирана електромоторна сила. Се разликуваат два вида на електромагнетна индукција:

ДИНАМИЧКА ИНДУКЦИЈА - индуцираната електромоторна сила (ЕМС) се јавува како последица на промената со текот на времето на магнетниот флукс низ површината која што ја затвора спроводна контура која што се движи во временски константно магнетно поле или како последица на пребришаниот магнетен флукс при движење на некој спроводник:

Vd

edt

или Ve

dt

(1)

Овие релации ја определуваат индуцираната ЕМС по интензитет, правец и насока. Правецот й е по должината на спроводникот, а насоката зависи од знакот на прирастот на

магнетниот флукс d, односно од знакот на флуксот низ пребришаната површина.

Индуцираната ЕМС може да се изрази и со брзината со која се движи спроводникот:

de dl v B

- ако во магнетно поле со вектор на магнетна индукција B

, со брзина v

се движи спроводник со должина dl

.

e l v B

- ако во хомогено магнетно поле со вектор на магнетна индукција B

, со

брзина v

се движи прав спроводник со должина l

.

СТАТИЧКА ИНДУКЦИЈА - индуцираната електромоторна сила (ИЕМС) се јавува во спроводници и спроводни затворени контури кои што се наоѓаат во временски променливо магнетно поле:

de

dt

, бидејќи d dB S

следи

dBe S

dt

(2)

СЛОЖЕНА ИНДУКЦИЈА - индуцираната електромоторна сила (ИЕМС) се јавува во спроводници и спроводни затворени контури кои што се движат во временски променливо магнетно поле:

Vv td de

dt dt

(3)

Како последица на индуцираната ЕМС во затворените спроводни контури за временски интервал t протекува количина електрицитет:

2 1 CqR R

(4)

каде што 1 е флуксот низ контурата пред почетокот, а 2 на крајот на интервалот t. Отпорноста на спроводната контура е R.


34

Задача 5.1. Кружна навивка со радиус a=5 cm рамномерно се врти околу дијаметарот со n=50 вртежи во секунда. Навивката се наоѓа во хомогено магнетно поле со вектор на магнетна индукција со интензитет B=0,8 T, со правец нормален на оската на вртењето. Да се одреди индуцираната ЕМС во навивката. Средината е воздух.

Решение:

Индуцираната ЕМС се пресметува со изразот:

de

dt

. (5.1.1)

Ако во претходната релација се замени за:

cosB S BS

и 2;t S a ,

за електромоторната сила индуцирана во кружната навивка ќе се добие:

2 sin ; 2d

e B a t ndt

. (5.1.2)

2 22 sin 2 1,974 sin 314 Ve B a n nt t . (5.1.3)

Доколку во почетокот на движењето (во t=0) аголот меѓу векторите B

и S

бил , а не

0, ЕМС ќе е:

2 22 sin 2 1,974 sin 314 Ve B a n nt t .

За индуцираната ЕМС се добива дека е во иста насока со насоката која што е одбрана за обиколување низ контурата за одредување на флуксот низ истата.

Задача 5.2. Струјна контура со правоаголен облик, со страни b и l, лежи во иста рамнина со неограничено долг праволиниски спроводник. Најмалото растојание меѓу спроводникот и контурата е a. Да се одреди моментната вредност на индуцираната ЕМС во струјната контура, ако во неограничениот спроводник тече временски променлива струја која се менува по синусоидален закон m( ) sin Ai t I t . Средината е воздух.

Решение:

Индуцираната ЕМС се пресметува со

изразот: d

edt

. (5.3.1)

a

+

e

B

n

+ •

B

•

• B

a

xB

i

l

e

+ X

X n

dS

xdx x

a b


35

Ако правоаголната контура се подели на бесконечно многу елементарни правоаголни површини со страни dx и l , флуксот на векторот на магнетна индукција низ секоја од нив ќе биде:

0cos 0x x xd B dS B dS B dS

и 0 ;2x

iB dS l dx

x

.

Вкупниот флукс низ целата правоаголна контура ќе е:

0 0 ln2 2

a b

a

il ildx a b

x a

, ако се замени за m( ) sini t I t ќе се добие:

0mI ln sin

2

l a bt Wb

a

. (5.3.2)

Ако погорните изрази се заменат во релацијата (5.2.1) за електромоторната сила индуцирана во кружната навивка ќе се добие:

0mln I cos cos

2 m

ld a be t E t V

dt a

. (5.3.3)

Знакот "–" значи дека индуцираната ЕМС има насока спротивна од насоката која што е одбрана за обиколување низ контурата за одредување на флуксот низ истата.

Задача 5.3. Праволиниски спроводник со должина l=50 cm лежи во иста рамнина со неограничен долг праволиниски спроводник низ кој што тече струја со јачина I=300 A во дадената насока. Спроводникот со должина l се врти околу точката О со аголна брзина 4 r / sec . Да се одреди

индуцираната ЕМС во овој спроводник кога тој се наоѓа во положба кога аголот / 4 . Средината е воздух.

Решение:

Ако праволинискиот спроводник се подели на бесконечно многу мали делови со должина dl, индуцираната ЕМС во секој од нив ќе биде:

sin cos2x r x r x rde dl v B dl v B dl v B

. (5.4.1)

Ако во горната релација се замени за

0 ; ; ; cos ;2r x

IB v x dl dx r x

r

за индуцираната ЕМС во елементот со должина dl ќе се добие:

de x 0

2

I

x

cos

dx

. (5.4.2)

Електромоторната сила индуцирана по должината на целиот спроводник со должина l е:

dl

xv

O

I

e

rB

X

xdx

x0

l

x

r

O

I


36

0

0

0 0 00 0 0,55

2 cos 2 cos 2 cos

x l

x

I I Ile dx x l x mV

. (5.4.3)

Знакот "–" значи дека индуцираната ЕМС има насока спротивна од насоката одбрана за

векторот dl

.

Задача 5.4. Даден е метален диск со радиус R1=4 cm кој што се наоѓа во хомогено магнетно поле со вектор на магнетна индукција со интензитет B=0,8 T. Дискот се врти со постојана брзина со n=3000 вртежи во минута околу осовина со радиус R2=2 mm која е паралелна со векторите на магнетна индукција. Да се одреди отклонот на волтметарот кој што е приклучен меѓу било која точка од периферијата на дискот и осовината на дискот. Средината е воздух.

Решение:

Ако се замисли дека дискот е составен од спроводници кои поврзуваат точка на осовината и точка на периферијата на дискот и дека еден од нив е поделен на бесконечно многу мали делови со должина dr, тогаш индуцираната ЕМС во секој од малите делови ќе биде:

sin cos2

de dr v B dr v B dr v B

. (5.4.4)

Ако во горната релација се замени за 2

и60

nv r

, за индуцираната ЕМС во елементот со

должина dr ќе се добие: 2

60

nBde v B dr r dr

. (5.4.5)

Електромоторната сила индуцирана по должината на целиот спроводник меѓу оската и периферијата на дискот ќе е:

1

2

2 21 22 2

60 60 2

R

R

R RnB nBe r dr

. (5.4.6)

2 21 2

198 mV60

nB R RU e

. (5.4.7)

Знакот "–" значи дека индуцираната ЕМС има насока спротивна од насоката одбрана за векторот dr

.

Задача 5.5. Тенок диск од бакар со дијаметар d сместен е во центарот на долг соленоид со должина l и дијаметар d1, при што е исполнет условот ld1>d . Соленоидот има N густо и

рамномерно намотани навивки. Дискот ротира со аголна брзина околу оска која што се поклопува со оската на соленоидот. Да се одреди електромоторната сила индуцирана меѓу центарот на дискот и точка на периферијата на дискот, ако во навивките на соленоидот постои струја со јачина I. Средината е воздух.

dr

v

R1

e

R2

B

X V

R1

R2

V


37

Решение:

Дискот е составен од спроводници кои што ги поврзуваат центарот на дискот и точка на периферијата на дискот (како во задача 5.4). Нека замислиме дека секој од спроводниците е поделен на бесконечно многу мали делови со должина dx, тогаш индуцираната ЕМС во секој од малите делови ќе е:

sin cos 02

de dx v B dx v B B x dx

. (5.5.1)

Електромоторната сила индуцирана по должината на целиот спроводник меѓу центарот и периферијата на дискот ќе е:

/ 2/ 2 2 2

0 02 8

dd x de B x dx B B . (5.5.2)

Бидејќи дискот се врти во внатрешноста на долг и тенок соленоид, тој се наоѓа во хомогено магнетно поле со вектори на магнетна индукција со интензитет

0NIB

l

. Ако ова се замени во изразот (5.2.2) за индуцираната ЕМС ќе се добие:

20 V

8

NI de

l

. (5.5.3)

Индуцираната ЕМС има насока иста како насоката одбрана за векторот dx

.

Задача 5.6. Две паралелни метални шини со занемарливи отпорности, поставени се во

хомогено магнетно поле, така што векторот на магнетната индукција B

е нормален на рамнината што ја образуваат шините. Растојанието меѓу шините е b. На едниот крај шините се соединети со спроводник со отпорност R. По шините се лизга спроводник со постојана линиска брзина v, со напречен пресек S, должина l и специфична отпорност . Да се одреди јачината и насоката на струјата во спроводникот кој што се лизга, како и електромагнетната сила која што дејствува на тој спроводник кога системот се наоѓа во воздух.

0=410-7 H/m ; B=1,2 T ; R=0,33 ; b=60 cm ; S=4 mm2 ; v=50 cm/sec ; =360 53 ; =0,12 mm2/m

Решение:

B F

bv

X

I

R

e

B

BI

N

d1

l

•

d

•

v

B

•

x

d/2 e

x dx

0


38

Струјата која што ќе тече во системот спроводници кои образуваат затворено електрично

коло ќе е последица на ИЕМС во спроводникот кој што се лизга и ќе е со јачина e

eI

R .

Вкупната отпорност во системот е:

eR 0,36l

RS

. (5.6.1)

Електромоторната сила индуцирана по должината на спроводникот кој што се лизга ќе е:

sin cos sin2 2

e l v B lvB lvB bvB

, (5.6.2)

бидејќи sinb l . Со замена на (5.6.1) и (5.6.2) во изразот за јачината на струјата, ќе се добие:

e e

1 AR R

e bvBI . (5.6.3)

Електромагнетната сила која што ќе дејствува на спроводникот кој што се лизга ќе е:

sin 1,2 N2

F I l B F IlB IlB

, (5.6.4)

Индуцираната ЕМС постои само во спроводникот кој што се движи, но не и во спроводниците на шините затоа што станува збор за динамичка електромагнетна индукција.

Задача 5.7. Многу долг прволиниски спроводник низ кој што тече струја со јачина I1 лежи во иста рамнина со две паралелни метални шини од едната страна поврзани со отпорник

со отпорност R. Растојанието меѓу шините е b. По шините рамномерно се лизга, со стална брзина v, напречно поставен спроводник AB. Да се одреди јачината и насоката на струјата I2 која што ќе протече во на овој начин формираното електрично коло како последица на индуцираната електромоторна сила во спроводникот кој што се лизга, ако системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Индуцираната ЕМС се пресметува со изразот:

d

edt

, (5.7.1)

каде што за формираната правоаголна контура од спроводници е исполнето:

x xd B dS B dS

. (5.7.2)

Флуксот на векторите на магнетна индукција низ формираната правоаголна контура во почетната положба (според решението на задачата 4.2) е:

0 1 00 ln

2

I l a b

a

. (5.7.3)

После некое време t спроводникот AB поминал растојание vt и магнетниот флукс низ контурата ќе е:

xB

I1

l0

I2

X

X n

a b

l0-vt

e

v+

R

B A


39

0 1 0 ln2

I l vt a b

a

. (5.7.4)

Кога (5.7.4) ќе се замени во (5.7.1) за индуцираната ЕМС ќе се добие:

0 1 ln2

I vd a be

dt a

. (5.7.5)

Ова е едноставен пример на генератор на ЕМС, бидејќи индуцираната електромоторна сила во спроводникот кој што се движи ќе претставува генератор на ЕМС во формираниот затворен систем од спроводници.

Јачината на струјата која што ќе тече низ образуваната правоаголна контура ќе е:

0 12 ln A

2

I ve a bI

R R a

.

За индуцираната ЕМС се добива дека е во иста насока со насоката која што е одбрана за обиколување низ формираната правоаголна контура за одредување на магнетниот флукс низ истата, а во истата насока е и струјата која што тече низ неа I2.

Задача 5.8. Електрично коло составено е од генератор со временски константна ЕМС Е0,

отпорник со отпорност R=5 , две паралелно поставени шини на меѓусебно растојание l=1 m и напречно поставен спроводник кој што може да се лизга по шините. Системот е поставен во хомогено магнетно поле со вектори на магнетна индукција нормални на рамнината на колото и со интензитет B=0,2 T. За спроводникот преку конец и макара закачен е тег кој што дејствува со сила G=1 N врз спроводникот. Во моментот на затворање на прекинувачот П тегот мирува, а струјата која што ќе протече во колото ќе е со јачина I0=10 А. Да се одреди максималната брзина на подигње на тегот ако системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Кога прекинувачот П ќе се затвори во колото ќе протече струја со јачина 00

EI

R од

каде што ќе се добие дека 0 0 50 VE I R , а магнетната сила (влијание на туѓото магнетно

поле) која што ќе дејствува врз спроводникот кој што може да се лизга, во тој момент ќе е:

0 0 0 0 sin 2 N2

F I l B F I lB

.

Бидејќи 0F G тегот ќе се подига сè додека двете сили не се изедначат по интензитет,

1 NF G IlB . Ова е пример на едноставен мотор. Од тој момент движењето на

спроводникот ќе е рамномерно праволиниско и во колото ќе тече струја со јачина

5 AG

IlB

, која што пак од друга страна ќе е:

I

eR l v

G

B

E0 +

P


40

0 25 VE e

I eR

, а од max max max 125 m / sec

ee l v B lv B v

lB

Задача 5.9. Многу долг прволиниски спроводник низ кој што тече струја со јачина I во дадената насока и правоаголна контура со страни a и b се наоѓаат во положба претставена на сликата. Страните на контурата со должина b се паралелни со неограничениот спроводник. Растојанието меѓу праволинискиот спроводник и рамнината во која што лежи контурата е c. Отпорноста на правоаголната контура е R. Контурата се завртува за агол /2 околу страната со должина b во означената насока и се поставува во положба како што е покажано на сликата. Да се одреди протечената количина електрицитет низ правоаголната контура, како и насоката во која што ќе протече, ако системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Количината електрицитет која што ќе протече низ контурата се пресметува со изразот:

2 1;qR

, (5.9.1)

каде што за магнетниот флукс во почетната положба Φ1 и за флуксот во крајната положба Φ2 низ контурата ќе е исполнето (според решението на задачата 4.2):

2 2

01 ln

2

Ib a c

c

(5.9.2)

02 ln

2

Ib c a

c

. (5.9.3)

Кога изразите за магнентните флуксеви Φ1 и Φ2 ќе се заменат во релацијата (5.9.1) за вкупната протечена количина електрицитет низ правоаголната контура ќе се добие:

2 20 0

2 2ln ln ln C

2 2

Ib Ibc a a c c aq

R c c R a c

.

Протечената количина електриците е во спротивна насока од насоката која што е одбрана за обиколување низ правоаголната контура за одредување на магнентниот флукс низ неа.

xB

q

• I

c

a +

n

xB

q

c

a +

n

b

2 2a c

• I

c 2 2a c

+ n xB

b a

• I

c a

b


41

Задача 5.10. Правоаголна контура со страни a и b и електрична отпорност R поставена е

паралелно со два бесконечно долги прволиниски спроводници низ кои што течат струи со јачини I1 и I2 во дадената насока. Страните b на правоаголната контура се паралелни со долгите спроводници. Спроводниците се оддалечени на растојанија c и d од поблиската страна на контурата со должина b. Да се одреди протечената количина електрицитет низ парвоаголната контура, ако спроводникот со струја I2 се премести од положба (1) во положба (2). Системот се наоѓа во воздух.

Решение:


' ' ' " " '1 2 1 2 2 2; ; ;k p

p k k pqR R

каде што p е магнетниот флукс низ правоаголната контура пред промената, а k е

магнетниот флукс после промената. '1 е флуксот низ правоаголната контура од долгиот

спроводник со струја I1, а флуксевите '2 и "

2 се флуксевите низ контурата од долгиот

спроводник со струја I2 кога тој е во положба (1) и (2) соодветно.

За магнетните флуксеви '2 и "

2 ќе се пресмета (според решението на задачата 4.2):

' 0 22 ln

2

I b d a

d

. (5.10.1)

2 2

" 0 22 ln

2

I b a d

d

.

(5.10.2)

Кога ќе се замени во релацијата за вкупната протечена количина електрицитет низ правоаголната контура ќе се добие:

" ' 2 20 2 0 22 2

2 2ln ln ln C

2 2

I b I bd a a d d aq

R R d d R a d

.

2xB

x (1) I2

a

b

d

n

2xB

n

2 2a d

x I2

a

b

d (2) n

x (1)

• I1

I2

x I2

a

b

c

d

(2) d


42

Задача 5.11. Струјана контура AOC чија што отпорност е R=0,04 лежи во иста рамнина со неограничено долг праволиниски спроводник низ кој што тече струја со јачина I во дадената насока. Да се одреди количината електрицитет која што ќе протече низ струјната контура за време на преодниот режим, ако струјата во неограничениот спроводник се промени за I=200 А. Страната AC од контурата има должина l=80 cm и е паралелна со неограничениот спроводник. Системот се наоѓа во воздух.

Решение:


2 1qR R

(5.11.1)

каде што за почетниот флукс 1 и за крајниот флукс 2 низ струјната контура ќе се пресмета:

0; ; ;2x x x

Iy xd B dS B dS dS y dx B

l a x

и кога ќе се замени ќе е :

0

2

Id

x

l

xa 0

2

Ildx dx

a

.

Вкупниот магнетен флукс низ целата струјна контура пред промената на струјата ќе е:

0 0 01

02 2 2

aIl Il Ildx a

a a

, а соодветно после промената ќе е: 0

2 2

I I l

.

02 1 2

I l

. (5.11.2)

Кога (5.11.2) ќе се замени во релацијата (5.11.1) за вкупната протечена количина електрицитет во преодниот процес низ струјната контура ќе се добие:

0 C2

l Iq

R

.

Протечената количина електрицитет е во спротивна насока од насоката која што е одбрана за обиколување низ контурата за одредување на магнетниот флукс низ истата.

Задача 5.12. Струјано коло образувано од изолиран спроводник со подолжна отпорност rl свиткано е во облик на бројот осум и поставено е во хомогено магнетно поле кое што е нормално на рамнината во која што лежи колото. Колкава количина електрицитет ќе протече низ струјното коло и во која насока, ако интензитетот на векторот на магнетна индукција опадне од B на B? Системот се наоѓа во воздух.

0 = 410-7 H/m B =2 T B=1 T rl = 0,1 /m a1 = 25 cm a2 = 5 cm

n

xB

I

l q

+

X

X

dS

x dx x

a

y

y O

A

C

a2a1 ++


43

Решение:


k pqR R

, (5.12.1)

каде што почетниот магнетен флукс p и крајниот магнетен флукс k низ струјното коло ќе

добијат како збир од флуксевите низ секоја од површините S1 и S2 кои што ги затвора струјната контура како:

2 21 2 1 2p B a a , (5.12.2)

' ' ' 2 21 2 1 2k B a a , (5.12.3)

а за вкупната промена на магнетниот флукс низ струјното коло ќе се добие:

' 2 21 2k p B B a a . (5.12.4)

Вкупната отпорност на спроводникот од кој што е изработено колото ќе е:

1 22 2 lR a a r . (5.12.5)

Кога (5.12.4) и (5.12.5) ќе се заменат во релацијата за вкупната протечена количина електрицитет низ струјното коло (5.12.1) ќе се добие:

' 2 2 '1 2 1 2

1 2

1 C2 2l l

B B a a B B a aq

a a r r

. (5.12.6)

Протечената количина електриците е во иста насока со насоката која што е одбрана за обиколување низ контурата за одредување на магнетниот флукс низ струјното коло.

a2a1 +

q

+

1n

2n

X•

• B


44

6. Магнетна енергија и електромагнетна индуктивност

Во целиот простор во кој што постои магнетно поле тоа поседува магнетна енергија.

Во елементарен волумен од просторот dV во кој што постои магнетно поле постои и магнетна енергија одредена со изразот:

2

0

1J

2m

BdW w dV dV

, (1)

каде што mw е густината на магнетната енергија одредена како:

23

0

1J/m

2m

Bw

. (2)

Магнетното поле ќе поседува вкупна магнетна енергија:

2

0

1J

2m

V V

BW dW

, (3)

Магнетната енергија која што постои во просторот околу некое спроводно коло низ кое што тече струја I може да се одреди со помош на флуксот низ површината на колото со изразот:

1J

2mW I , (4)

додека пак флуксот низ површината која што ја затвора колото и кој што се јавува како последица на струјата која што тече низ тоа коло е пропорционален со струјата:

WbLI . (5)

Коефициентот на пропорционалност L се нарекува индуктивност на спроводното коло и зависи од геометриските особини на колото и од магнетните карактеристики на средината во која што се наоѓа истото. Индуктивноста на колото е позитивна и поголема од нула со единица во SI системот 1H. Со замена на изразот (5) во изразот (4) за магнетната енергија на магнетно поле кое што го создава струја I која што тече низ спроводно коло се добива следниот израз:

21J

2mW LI . (6)

Доколку струјата во колото се промени за dI тогаш и магнетната енергија ќе се промени за mdW LI dI .

Ако две спроводни кола низ кои што течат струи 1I и 2I се наоѓаат блиску едно до

друго, тогаш флуксот низ секое од нив е последица од двете магнетни полиња кои што постојат во просторот (сопственото и туѓото), т.е. од постоењето на двете струи.

1 11 21 11 1 1 21 21 2 1 1 1 21 2; ;L I L I L I L I (7)

2 22 12 22 2 2 12 12 1 2 2 2 12 1; ;L I L I L I L I (8)

каде што 12 21L L е коефициент на меѓусебна индуктивност на двете кола кој што зависи само

од геометриските особини на двете кола, нивната взаемна положба и од магнетните својства на средината во која што се наоѓаат колата. Овој коефициент може да е и позитивен и негативен. Може да се пресмета и како:

12 21 1 2 HL L k L L (9)


45

каде што 1k е коефициент на индуктивна спрега за двете кола.

Вкупната магнетна енергија во просторот околу двете кола може да се пресмета како:

2 211 1 12 2 22 2 1 1 12 1 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2mW I I I L I L I I L I (10)

Енергијата 12 12 2 12 1 21 2 12 1 2

1 1

2 2mW I I I L I I се нарекува меѓусебна или взаемна

магнетна енергија на двете кола. Таа е последица од меѓусебното влијание на магнетните полиња од двете кола едно врз друго.

Задача 6.1. Да се одреди магнетната енергија, сопствената индуктивност и ЕМС на самоиндукција во торусна намотка од N густо намотани навивки низ кои што тече струја I. Торусното јадро е направено од материјал со магнетна пермеабилност 0, и има внатрешен радиус R1, надворешен радиус R2 и висина h. Околната средина е воздух.

Решение:

Магнетната енергија во елементарен волумен на торусната намотка се пресметува како:

2

0

1

2m

BdW dV

. (6.1.1)

Ако во претходната релација се замени за магнетната индукција В во торусот според

(3.3.1): 0

2

NIB

r

и за елементарен волумен во торусот 2dV r h dr , и се соберат сите

енергии во сите бесконечно многу елементарни волумени на торусната намотка, за магнетната енергија во истата ќе се добие:

2 2 20

2 20

1 1

2 4 2m m

V V

N IW dW dV

r

0

20

2 2

24

N I

2r2 r

2 2

1 1

2 20

4

R R

R R

N I h drh dr

r

,

2 20 2

1

ln J4m

N I h RW

R

. (6.1.2)

Бидејќи мегнетната енергија може да се пресмета и преку флуксот на векторот на магнетната индукција низ сите навивки на торусната намотка, од тој израз ќе се одреди сопствената индуктивност на торусната намотка како:

22

21 1

2 2m

m s s

WW I L I L

I ,

20 2

1

ln H2s

N h RL

R

. (6.1.3)

Ако струјата која што тече низ торусната намотка е временски константна како што е зададено во задачата во намотката не е можно да се индуцира електромоторна сила на самоиндукција, заради тоа што магнетниот флукс низ неа не е временски променлив. Но, ако струјата која што тече низ намотката е временски променлива и се менува како m( ) sini t I t ,

за електромоторната сила на самоиндукција во торусната намотка ќе се добие:

I

N

n

B

h

dr R1 R2 r

r

dS

•

• +


46

2 2m0 0 m2 2

1 1

sinln ln cos cos V

2 2 m

d I tN h N hIR Rdie L t E t

dt R dt R

(6.1.4)

За индуцираната ЕМС на самоиндукција се добива дека е во спротивна насока од насоката на течење на струјата i низ торусната намотка.

Задача 6.2. На сликата е прикажан многу долг шуплив праволиниски спроводник од

алуминиум. Внатрешниот радиус на спроводникот е a, а надворешниот радиус на спроводникот е b. Во спроводникот постои временски константна струја со јачина I, рамномерно распределена по напречниот пресек на спроводникот. Да се одреди магнетната енергија на полето во внатрешноста на спроводникот и внатрешниот коефициент на сопствена индуктивност на спроводникот, ако тој е со должина l. Околната средина е воздух.

Решение:

Според Амперовиот закон, векторот на магнетна индукција во просторот внатре во праволинискиот спроводник, за секој радиус r меѓу a и b , ќе се менува како:

2 200

2 22 2r

I r aIa r b B

r r b a

, (6.2.1)

така што магнетната енергија во секој елементарен волумен dV ќе се пресмета како:

2

0 0

1 1

2 2m

BdW dV

20

22 2 2

22

I r a2 2r 22 2

2b a

r

22 2 20

22 24

I l r adr l dr

r b a

.

Вкупната магнетна енергија на магнетното поле внатре во спроводникот ќе е:

22 22

022 24

b

m m

V a

r aI lW dW dr

rb a

,

2 22 40

2 2 22 2

3ln J

4 4m

a bI l a bW

a b ab a

. (6.2.2)

Бидејќи мегнетната енергија може да се пресмета и преку индуктивноста на спроводникот, од тој израз ќе се одреди и внатрешниот коефициент на сопствената индуктивност на спроводникот како:

2 242 0

22 2 22 2

321ln H

2 2 4m

m s s

a bW l a bW L I L

I a b ab a

.

a b

• I


47

Задача 6.3. Да се одреди магнетната енергија во коаксијален кабел низ кој што тече струја со јачина I. Радиусот на внатрешниот спроводник на кабелот е R1, радиусот на слојот на изолација е R2, а должината на кабелот е l. Да се претпостави дека секаде во системот е =0 и да се занемари дебелината на надворешниот спроводник на кабелот. Да се одреди и индуктивноста на кабелот.

Решение:

Според Амперовиот закон, векторот на магнетна индукција во целиот простор во системот ќе се менува како:

0 01 10

2 2rI

r R Br r

I

21R 2r 0

212

I r

R

, (6.3.1)

01 2 2 2

IR r R B

r

, (6.3.2)

2 3 0r R B од 0I I I . (6.3.3)

Вкупната магнетна енергија на магнетното поле внатре во коаксијалниот кабел ќе е збир од магнетната енергија во просторот на внатрешниот спроводник W1 и енергијата на магнетното поле во изолациониот материјал W2:

1 2

2 21 2

1 20 0

1 1

2 2m

V V

B BW W W dV dV

. (6.3.4)

1 12 2 2 2 230 0 0

1 2 4 4 40 1 10 0 1

12

2 4 4 4

R RI r I l I l

W rl dr r drR R R

4

1R

20

4 16

I l

. (6.3.5)

2 2

1 1

2 2 2 20 0 0 2

2 2 20 1

12 ln

2 4 4 4

R R

R R

I I l I l RdrW rl dr

r r R

. (6.3.6)

20 2

1 21

1ln J

4 4m

I l RW W W

R

. (6.3.7)

Бидејќи мегнетната енергија може да се пресмета и преку индуктивноста на спроводникот, од тој израз ќе се одреди и коефициентот на сопствената индуктивност на коаксиалниот кабел како:

2 0 22

1

21 1ln H

2 2 4m

m s s

W l RW L I L

I R

. (6.3.8)

R1

R2

I

I


48

Задача 6.4. Двожичен вод низ кој што тече струја со јачина I во дадената насока и со растојание меѓу спроводниците d и правоаголна контура со страни a и b се наоѓаат во положба претставена на сликата. Страните на контурата со должина b се паралелни со спроводниците на водот. Растојанието меѓу рамнината на водот и рамнината во која што лежи контурата е c. Да се одреди коефициентот на меѓусебната индуктивност меѓу двожичниот вод и правоаголната контура, ако системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Коефициентот на меѓусебната индуктивност и меѓусебниот флукс меѓу двожичниот вод и правоаголната контура се пресметуваат преку изразите:

1212 12 1 1';L

I

, (6.4.1)

каде што за флуксот низ правоаголната контура Φ1 од првиот спроводник од двожичниот вод и за флуксот Φ1’ од вториот спроводник на двожичниот вод е исполнето (според решението на задачата 4.2):

2 2

01 ln

2

Ib a c

c

, (6.4.2)

2 20

1' 2 2ln

2

Ib d c

d a c

. (6.4.3)

Кога флуксевите Φ1 и Φ1’ ќе се заменат во релацијата (6.4.1) за вкупниот флукс низ правоаголната контура ќе се добие:

2 2 2 20

12 1 1' 2 2ln ln

2

Ib a c d c

c d a c

. (6.4.4)

Со замена на изразот за меѓусебниот магнетен флукс во изразот за коефициентот на меѓусебната индуктивност меѓу двожичниот вод и правоаголната контура ќе се добие:

2 2 2 2

01212 22 2

ln H4

a c d cbL

I c d a c

. (6.4.5)

(1’)

2 2d c

1'n

1'B

2 2d a c

c

x I

b

d

n

а

(1)

2 2a c

• I

c 2 2a c

1n

1B

nb а

• I

c

a

(1)

x I

b

d

(2)

(1’)


49

Задача 6.5. На многу долг соленоид со должина l намотани се N навивки низ кои што тече временски константна струја со јачина I1 во дадената насока. Низ мала рамна кружна контура со радиус a тече временски константна струја со јачина I2 во дадената насока. За колку ќе се зголеми магнетната енергија во системот ако кружната контура од бесконечност се внесе во внатрешноста на соленоидот, така што оските на соленоидот и на контурата да зафаќаат агол . Да се одреди механичкиот момент кој што дејствува врз контурата кога таа се наоѓа во назначената положба.

Решение:

Магнетната енергија во системот пред внесувањето на кружната контура во соленоидот е

1 1 2mW W W , а потоа ќе е 2 1 2 12mW W W W . Промена на енергијата во системот ќе настане

заради индуктивната спрега меѓу соленоидната намотка и кружната контура и ќе биде еднаква на вкупната разлика на енергиите:

2 1 12 12 1 2 21 2 1 12 1 2

1 1

2 2m mW W W W L I I L I I L I I . (6.5.1)

За да се одреди магнетната енергија која што е последица на меѓусебната индуктивна спрега на соленоидната намотка и на кружното коло треба да се одреди коефициентот на меѓусебна индуктивност меѓу двата спроводника како:

12 1 212

1 1 1

1B SL

I I I

0 1N I

2

2 0 coscos

N aa

l l

, (6.5.2)

20

12 1 2 12 1 2

cosJ

N aL I I W I I

l

. (6.5.3)

Моментот кој што дејствува врз кружното коло се пресметува како:

2 0 12 1 2 1 2sin sin Nm

NIM m B m B I a

l

. (6.5.4)

Задача 6.6. На торусно јадро изработено од материјал со магнетна пермеабилност 0, чиј

што напречен пресек и димензии се дадени на сликата, рамномерно и густо се намотани N навивки. Неограничено долг праволиниски спроводник поминува низ шуплината на торусот и поставен е така што со оската на торусот зафаќа агол . Да се одреди коефициентот на меѓусебна индуктивност меѓу неограничениот спроводник и торусната намотка. Димензиите на напречниот пресек на торусот не се занемарливи во однос на неговиот внатрешен полупречник a.

2n

1B

I1

l

a

X I2

N

h

dr r r

dS

•

• +

a

b

y (1)

(2)


50

Решение:

Коефициентот на меѓусебната индуктивност меѓу двата спроводника се пресметува како:

12 2112 21

1 2

L LI I

, (6.6.1)

каде што со (1) е означен долгиот спроводник, а со (2) торусната намотка.

Неограничено долгиот спроводник некаде во бесконечноста се затвора, така што може да се смета дека тој формира затворена контура. Ако се претпостави дека низ торусната намотка тече струја I2, тогаш низ површината која што ја затвора долгиот спроводник ќе постои флукс на векторите на магнетна индукција од торусната намотка, но само во оној дел од површината каде што постои магнетното поле. Тој дел од површината се совпаѓа со еден напречен пресек на торусната намотка. Заклучуваме дека во овој случај флуксот кој што го бараме всушност е флукс низ еден напречен пресек на торусната намотка од сопственото магнетно поле.

Меѓусебниот флукс кој што магнетното поле од торусната намотка со вектор на магнетна

индукција со инетнзитет 0 22 2

NIB

r

го создава низ површината која што ја затвора

неограничениот спроводник ќе се одреди како:

1 1

0 2 0 221 2 2 ln Wb

2 2

b

S S a

NI NI h bB dS B dS h dr

r a

. (6.6.2)

Ако изразот за флуксот Ф21 се замени во изразот (6.6.1) за коефициентот на меѓусебна индуктивност ќе се добие:

02121 12

2

ln H2

Nh bL L

I a

. (6.6.3)

Задача 6.7. Да се одреди коефициентот на меѓусебна индуктивност меѓу торусна намотка со рамномерно и густо намотани N навивки на јадро изработено од материјал со магнетна пермеабилност 0 чиј што напречен пресек и димензии се дадени на сликата, и правоаголна контура со страни c и d и отпорност R. Меѓусебната положба на торусот и контурата прикажана е на сликата. Системот се наоѓа во воздух.

(2)

(1)

a

b

h

N

rr

dr

y

c

d


51

Решение:

Коефициентот на меѓусебната индуктивност меѓу двата спроводника се пресметува како:

1212

1

LI

. (6.7.1)

Ако се претпостави дека низ торусната намотка тече струја I1, тогаш низ површината на правоаголната контура ќе постои флукс на векторите на магнетна индукција од торусната намотка, но само во оној дел од површината каде што постои магнетното поле. Тој дел од површината се совпаѓа со еден напречен пресек на торусната намотка. Заклучуваме дека во овој случај флуксот кој што го бараме всушност е флукс низ еден напречен пресек на торусната намотка од сопственото магнетно поле.

Меѓусебниот флукс кој што магнетното поле од торусната намотка со вектор на магнетна

индукција со инетнзитет 0 11 2

NIB

r

го создава низ површината на правоаголната контура ќе

се одреди како:

2 2

0 112 1 1 2

b

S S a

NIB dS B dS y dr

r

, (6.7.2)

каде што е исполнето: ;y r h

dS y dr y rh b b

, па за флуксот ќе се

добие:

0 112 2

NI

r

h

rb 0 1 Wb

2

b

a

NI hdr b a

b

. (6.7.3)

Ако изразот за флуксот Ф21 се замени во изразот (6.7.1) за коефициентот на меѓусебна индуктивност ќе се добие:

01212

1

H2

NhL b a

I b

. (6.7.4)

Задача 6.8. На торусно јадро изработено од материјал со магнетна пермеабилност 0, со радиуси a и b и висина h, рамномерно и густо, една преку друга, се намотани две намотки со број на навивки N1 и N2 и соодветни отпорности R1 и R2. Намотките меѓусебно се поврзани како што е покажано на сликата и приклучени се на генератор со временски константна ЕМС E и внатрешна отпорност R. Да се одреди магнетната енергија во системот. Да се одреди количината електрицитет која што ќе протече низ колото од моментот кога преклопката П ќе се префрли од положба 1 во положба 2 до настапување на стационарна состојба во системот.

Решение:

Магнетната енергија во системот пред префрлање на преклопката во положба 2 се пресметува како:

2 21 12 2

1 1

2 2mW L I L II L I , (6.8.1)

R

N1 n

1B

h

N2 R2

R1

b

a I

2B

E +

П

2 1


52

каде што ќе се замени за:

2 20 1 0 2 0 1 2

1 2 121 2

; ln ; ln ; ln2 2 2

N h N h N N hE b b bI L L L

R R R a a a

,

20 1 2 1 2

2 1

ln 1 J2 2 2m

N N hI N NbW

a N N

. (6.8.2)

Со префрлањето на преклопката во положба 2 генераторот се исклучува од колото и во колото настапува преоден процес во кој енергијата на магнетното поле ќе се трансформира во топлина. На крајот кога ќе заврши преодниот процес и ќе настапи стационарна состојба во колото нема да тече струја низ намотките.

Протечената количина електрицитет низ колото во текот на преодниот процес ќе се добие како:

2 1

1 2e

qR R R

, (6.8.3)

каде што за почетниот флукс 1 и за крајниот флукс 2 низ торусните намотки ќе се

пресмета:

2 1 11 21 22 12 1 21 2 12

22 20 1 1 2 2 0 1 2

1 12 2

0 ;

22 ln ln

2 2

L I L I L I L I

N N N N h N N hIb bL I L I L I I

a a

2

0 1 21

1 2 1 2

ln C2

N N hI bq

R R R R a

(6.8.4)

Задача 6.9. На торусно јадро изработено од материјал со магнетна пермеабилност 0, со правоаголен напречен пресек (радиуси a и b и висина h), рамномерно и густо е намотана намотка со N навивки и електрична отпорност R. Намотката е приклучена на генератор со временски константна ЕМС E. Во еден момент ЕМС на генераторот постанува E=0. Да се одреди топлотната енергија која што ќе се развие во отпорноста R. Да се одреди и количината електрицитет која што ќе протече низ колото од наведениот момент до настапување на стационарна состојба во системот.

Решение:

Ако магнетната енергија во системот пред промената е Wm1 после промената ќе е:

2 1 1 2m m T T m mW W W W W W , (6.9.1)

каде што пред промената во колото ќе биде исполнето:

0;2

NIEI B

R r

,

h

R

a b

N

E

+

r


53

2 2 2 2 22 0 0

1 2 20 0

1 12 ln

2 2 4 4

b

m

V a

N I N I h bW B dV rh dr

r a

. (6.9.2)

По промената во колото ќе биде исполнето:

20 0 0 0mE I B W od

Целата енергија која што ја поседувало магнетното поле ќе се претвори во топлина во текот на преодниот процес на гаснење на струјата низ торусната намотка:

2 220

1

1ln J

4 2T m

N I h bW W LI

a

. (6.9.3)

Протечената количина електрицитет низ колото во текот на преодниот процес ќе се добие како:

2 1qR R

, (6.9.4)

каде што за почетниот флукс 1 и за крајниот флукс 2 низ торусната намотка ќе се пресмета

дека:

20

2 10 ; ln2S

N h bN B dS LI I

a

,

2

01 ln C2

N hI bq

R R a

. (6.9.5)

Задача 6.10. Рамна недеформабилна контура означена со (2) на сликата, под дејство на надворешни сили пренесена е од простор во кој нема магнетно поле (просторот се наоѓа во бесконечност) во близината на наполно идентична контура (означена со (1) на сликата) при што

е извршена работа A=5 mJ. Во текот на овој процес во контурите се одржуваат временски константни струи I1=3 A и I2=4 A. Ако енергијата на магнетното поле на двете контури е Wm=20 mJ кога тие се наоѓаат блиску една до друга, да се одредат сопствените индуктивности на контурите L1 и L2 и нивната меѓусебна индуктивност L12. Системот се наоѓа во воздух.

Решение:

Работата која што ќе ја извршат надворешните сили за пренесување на контурата (2) од бесконечност во положбата дадена на сликата и при тоа по целиот пат ќе ги совладуваат магнетните сили на магнетното поле од струјата I1 кои што ќе се спротивставуваат на

движењето, ќе е еднаква на работата која што би ја извршиле магнентите сили ако би ја пренесувале истата контура, но во спротивна насока, од положбата на сликата до простор каде што нема магнетно поле. Работата која што би ја извршиле магнентите сили ако би ја пренесувале истата контура се пресметува со помош на вкупната промена на флуксот низ контурата (2) како:

2 12 2 12 1 2A I I L I I , (6.10.1)

каде што за вкупната промена на флуксот е заменето како:

22 12 22 22 12 22 12 12 1; ; ;k p k p L I ,

(1) (2)

I2 I1

• 1B X

X1B2n

(1) (2)

I2 I1


54

па за меѓусебната индуктивност меѓу контурите ќе се добие:

121 2

0, 416 mHA

LI I

. (6.10.2)

Вкупната магнетна енергија во системот претставен на сликата се пресметува како:

2 2 2 21 1 12 1 2 2 2 1 1 2 1 2 12 1 2

1 1 1; ;

2 2 2mW L I L I I L I L I I A L L A L I I , (6.10.3)

од каде што за сопствените индуктивности на контурите ќе се добие:

1 2 2 21 2

2 1,2 mHmW AL L

I I

. (6.10.4)

Задача 6.11. Долг соленоид со N’ навивки по единица должина и кружен напречен пресек со радиус a означен е како (k1). Низ соленоидот е воспоставена константна струја I1 во означената насока која во внатрешноста на соленоидот создава магнетното што се смета за хомогено, а надвор од соленоидот магнетното поле се занемарува. На слика 1 се прикажани два случаи кога во средината на соленоидната намотка е поставена кружна контура (k2) со радиус b<a (во положби 1а и 1б). Слично, на слика 2 се прикажани два случаи кога кружна контура (k3) со радиус c>a е поставена околу средината на соленоидната намотка (во положби 2а и 2б).

а) Да се определи меѓусебната индуктивност меѓу соленоидната намотка и кружната контура k2 во двете нејзини положби прикажани на слика 1а и 1б. Потоа, да се определи меѓусебната индуктивност на соленоидната намотка и кружната контура k3 исто така во двете нејзини положби на слика 2а и 2б.

б) Да се определи колкава количина електрицитет ќе протече низ контурата k2 заради промената на нејзината положба од 1а во 1б, ако истата има вкупна отпорност R2. Потоа, да се определи колкава количина електрицитет ќе протече низ контурата k3 заради промената на нејзината положба од 2а во 2б, ако истата има вкупна отпорност R3.

в) Ако во контурата k2 тече струја I2 во произволна насока да се определи за колку ќе се промени меѓусебната енергија на магнетното поле во системот од слика 1 поради промена на положбата на контурата k2 од 1а во 1б. Слично, ако во контурата k3 тече струја I3 во произволна насока да се определи за колку ќе се промени меѓусебната енергија на магнетното поле во системот од слика 2 поради промена на положбата на контурата k3 од 2а во 2б.

1a 1б

2а 2б

а I1

N'

(k2)

b I1

N'

(k2)

b а

(k1) (k1)

а I1

N' (k3)

c I1

N' (k3)

а c (k1) (k1)


55

Решение:

Според Амперовиот закон во внатрешноста на секој од соленоидите струјата I1 ќе создава магнетно поле со константен интезитет на векторот на магнетната индукција

1Bсо правец и

насока дадени на сликите, а изразен преку бројот на навивки по единица должина како:

0 11 0 1

NIB N I

l

. (6.11.1)

а) За положбите 1а и 1б на кружните контури во соленоидот сите барани параметри се пресметуваат на следниот начин:

1а

0 21 21212 1 2 0

1 1 1

1cos 0 H

aa aB S

L B S N bI I I

. (6.11.2)

12 12 2 12 1 2

12 J

2a a a

mW I L I I . (6.11.3)

1б

2 21 21212 1 2 0 0

1 1 1

1 2cos cos H

4 4 2

bb bB S

L B S N b N bI I I

. (6.11.4)

12 12 2 12 1 2

12 J

2b b b

mW I L I I . (6.11.5)

2 212 12 1 2 12 1 2 0 1 2 0 1 2

2 21 J

2 2ab a b

mW L I I L I I N I b I N I I b

. (6.11.6)

22 12 122 1 0 1

2 2 2

1 2 C

2

a bL Lq I N I b

R R R . (6.11.7)

I1

N'

(k2)

bа

(k1)

1B 2n

а I1

N'

(k2)

b

(k1)

1B

2n


56

б) За положбите 2а и 2б на кружните контури во соленоидот сите барани параметри се пресметуваат на следниот начин:

2а – бидејќи сите линии на магнетното поле од струјата I1 поминуваат во внатрешноста на соленоидот, а надвор од него се затвораат далеку од истиот, нема да има магнетно поле во целиот простор во кој што се наоѓа кружната контура k3. Како последица на тоа нема да има

магнетен флукс низ целата површина 23S c која што ја затвора контурата k3, туку тој ќе

постои само низ оној дел кој што се наоѓа во магнетно поле, а тоа е делот кој што се поклопува

со еден напречен пресек на соленоидот со површина 23aS a .

0 213 1 313 1 3 0

1 1 1

1cos 0 H

aa aB S

L B S N aI I I

. (6.11.8)

13 13 3 13 1 3

12 J

2a a a

mW I L I I . (6.11.9)

2б – бидејќи сите линии на магнетното поле од струјата I1 поминуваат во внатрешноста на соленоидот, а надвор од него се затвораат далеку од истиот, нема да има магнетно поле во целиот простор во кој што се наоѓа кружната контура k3. Како последица на тоа нема да има

магнетен флукс низ целата површина ' 23S c која што ја затвора контурата k3, туку тој ќе

постои само низ оној дел кој што се наоѓа во магнетно поле, а тоа е делот кој што се поклопува

со еден напречен пресек на соленоидот со површина ' 23 3 3cos

4b aS S S a

.

'' 213 1 3

13 1 3 1 3 1 3 0 131 1 1 1 1

1 1 1cos H

4

bb b a aB S

L B S B S B S N a LI I I I I

. (6.11.10)

13 13 3 13 1 3 13 1 3 13

12 J

2b b b a a

m mW I L I I L I I W . (6.11.11)

13 13 1 3 13 1 3 0 Jab a bmW L I I L I I . (6.11.12)

3 13 133 1

3 3

0 Ca bL L

q IR R

. (6.11.13)

1B

3n

I1

N' (k3)

а c (k1)

а I1

N' (k3)

c

(k1)

1B

3n


57

7. Воопштен Амперов закон

Воопштениот Амперов закон за јачината на векторите на магнетно поле во линеарни и хомогени магнетни средини се дефинира како:

l

Hdl I

за B H . (1)

Во SI системот единицата за јачината на векторот на магнетното поле H е A/m .

Граничните услови кои што ги исполнуваат векторите на магнетната индукција и на магнетното поле на разделна површина меѓу две линеарни и хомогени магнетни средини се:

1 2n nB B , (2)

1 2t tH H , (3)

Задача 7.1. Многу долг праволиниски спроводник со непозната струја I се наоѓа во хомогена средина. Јачината на векторот на магнетното поле во точката М е H0=220 А/m. Ако истиот спроводник со истата струја се постави во хетерогена средина со релативни пермеабилности r1=1, r2=2 и r3=4, распоредени како што е покажано на сликата, да се одреди јачината на векторот на магнетното поле во истата точка М.

Решение:

Кога средината околу спроводникот со струја I е хомогена, според Воопштениот Амперов закон изразот за јачината на векторот на магнетното поле H0 во целиот простор се пресметува како:

l

Hdl I

0 2H r I 0 2

IH

r .

Јачината на векторот на магнетното поле во точката М е: 0 2

IH

R , а од тука

јачината на струјата која што тече низ спроводникот се добива како:

0 2I H R . (7.1.1)

Кога средината околу спроводникот со струја I ќе е хетерогена, според Воопштениот Амперов закон се пресметува изразот за јачината на векторот на магнетната индукција, која според граничните услови се менува според ист закон во целиот простор (B1= B2= B3= B), како:

l

Hdl I

1 1 2 2 3 3H l H l H l I 1 2 3

2 2 2

2 4 4

B r B r B rI

,

0

1 2 3

1 1 1

2 2r r r

IB

r

0 02 8

11

HB

. (7.1.2)

Јачината на векторот на магнетното поле во точката М во овој случај е:

• I µ2

µ1

µ3

/2

/2

• МR


58

0 01

1 0 1

16320 A/m

11 r

HBH

. (7.1.3)

Задача 7.2. Низ коаксијален кабел со голема должина l тече временски константна струја со јачина I, и тоа низ внатрешниот спроводник во една насока, а низ надворешниот во спротивната. Просторот меѓу спроводниците е исполнет со два вида на изолатори како што е покажано на сликата. Да се одреди магнетната енергија акумулирана во просторот меѓу спроводниците, ако дебелината на надворешниот спроводник може да се занемари. Кабелот се наоѓа во воздух.

1=20

I=50 A

l=10 km

R1=2 mm

R2=20 mm

R3=30 mm

Решение:

Според Воопштениот Амперовт закон и граничните услови за тангенцијалните компоненти на векторите на јачина на магнетното поле, векторот на јаќина на магнетното поле во просторот внатре во коаксијалниот кабел, за секој радиус r меѓу R1 и R3 , ќе се менува како:

1 3 1 0

A

2 ml

IR r R Hdl I H H H

r

, (7.2.1)

така што магнетната енергија во целиот простор меѓу спроводниците на коаксијалниот кабел ќе се пресмета како:

1 2

2 21 2 1 0

1 1

2 2m

V V

W W W H dV H dV . (7.2.2)

2 2

1 1

2 220 0 2

1 0 21

12 2 ln

2 2 22

R R

R R

I l I l RI drW rl dr

r Rr

. (7.2.3)

3 3

2 2

2 220 0 3

2 0 22

12 ln

2 4 42

R R

R R

I l I l RI drW rl dr

r Rr

. (7.2.4)

230 32

1 21 2

1ln ln 0, 2 10 J

2 2m

I l RRW W W

R R

. (7.2.5)

Задача 7.3. Во коаксијален кабел со внатрешен

полупречник a, надворешен полупречник b и должина l тече струја со јачина I во означената насока. Дебелината на надворешниот спроводник на кабелот може да се занемари. Просторот меѓу надворешниот и внатрешниот спроводник делумно е исполнет со воздух, а делумно со материја со магнетна пермеабилност , како што е покажано на сликата. Да се одреди:

а) интензитетот на векторот на магнетната индукција и

R1• I

R3

µ0

µ1

R2

X I

a

• I

b

µ0 X I

µ


59

јачината на магнетното поле во коаксијалниот кабел во функција од растојанието, б) коефициентот на надворешната сопствена индуктивност во просторот меѓу

спроводниците на кабелот по единица должина. Решение:

а) Според Воопштениот Амперов закон, векторот на магнетна индукција во целиот простор меѓу спроводниците на кабелот (B1= B0= B) ќе се менува како:

l

a r b Hdl I

1 1 0 2H l H l I 0

2 32

4 4

B r Br I

,

0

1 3 2IB

r

0

2T

1 3

IB

r

, (7.3.1)

а векторот на јачина на магнетното поле во истиот простор ќе се менува како:

1

0

2 A

m1 3

B IH

r

, (7.3.2)

00

00

2 A

m1 3

B IH

r

. (7.3.3)

б) Вкупната магнетна енергија на магнетното поле во просторот меѓу спроводниците на коаксијалниот кабел ќе е збир од магнетната енергија во воздушниот простор W0 и енергијата на магнетното поле во изолациониот материјал W1:

1 2

2 21 0 1 0 0

1 1

2 2m

V V

W W W H dV H dV . (7.3.4)

2 2 2

1 2 2 2

2 2

0 0 0

1 4 12 ln

2 41 3 1 3 1 3

b b

a a

I I l dr I l bW rl dr

r ar

,

2 2 2

0 2 2 2

2 20 0 0

0 0 0

1 4 3 3 32 ln

2 41 3 1 3 1 3

b b

a a

I I l dr I l bW rl dr

r ar

,

2 2

1 0 20

00

1 3ln ln J

1 31 3m

I l b I l bW W W

a a

. (7.3.5)

Бидејќи мегнетната енергија може да се пресмета и преку индуктивноста на кабелот, од тој израз ќе се одреди и коефициентот на сопствената надворешна индуктивност на кабелот како:


60

22

0

21 2ln H

2 1 3m

m e e

W l bW L I L

I a

, (7.3.6)

или коефициентот на сопствената надворешна индуктивност по единица должина на кабелот како:

0

2 Hln

m1 3eL b

Ll a

. (7.3.7)

Задача 7.4. Торусно јадро има правоаголен напречен пресек со радиуси а и b и висина h.

Половина од јадрото е изработено од материјал со пермеабилност 1, а другата половина е од материјал со пермеабилност 2. На торусот рамномерно и густо е намотана намотка со N навивки низ кои тече струја I. Да се изведе изразот за јачината на магнетното поле и на магнетната индукција во торусното јадро. Кои услови важат за наведените вектори на граничната површина меѓу двата материјали? Да се определи и магнетната енергија локализирана во просторот со пермеабилност 1.

Решение:

Според граничните услови, нормалните компоненти на векторите на магнетната индукција на разделната површини меѓу двете средини во внатрешноста на торусот ќе бидат еднакви (B1n= B2n B1= B2= B). Бидејќи полето има само нормални компоненти на разделната површина, во целиот простор во внатрешноста на торусот векторот на магнетната индукција се менува по ист закон, но векторите на јачината на магнетното поле се различни во двата простори (H1≠ H2).

Според Воопштениот Амперов закон, векторот на магнетна индукција во целиот простор меѓу спроводниците на кабелот ќе се менува како:

l

a r b Hdl I

1 1 2 2H l H l I 1 2

2 2

2 2

B r B rI

,

1 2

1 1 NIB

r

1 2

T1 1

NIB

r

, (7.4.1)

1

2a

b

N

h

a

b

1

2 a

b

N

h

a

b

I

r

2B

1B


61

а векторот на јачина на магнетното поле во истиот простор ќе се менува како:

11

11 2

A

m1 1

B NIH

r

, (7.4.2)

22

21 2

A

m1 1

B NIH

r

. (7.4.3)

Магнетна енергија на магнетното поле локализирана во просторот со пермеабилност 1. ќе е W1:

1

21 1 1

1

2 V

W H dV . (7.4.4)

2 2

1 2

2 21

1 2

1 1

2 21 1

N IW

r

2 2 2 2

2 2

1 11 2 1 2

2 ln J1 1 1 1

b b

a a

N I h dr N I h brh dr

r a

.

(7.4.5)


62

8. Простопериодични напони и струи - вовед

Задача 8.1. Напонот приклучен на некое електрично коло се менува по синусен закон. Неговата максимална вредност е Um=10 V со фреквенција f=25 Hz. Во кој момент од време напонот има вредност:

а) 5 V ,

б) 10 V .

Решение:

Ако напонот се менува по синусен закон неговата функција е:

( ) sin , 2mu t U t f , решението ќе е:

а)

5

110sin sin 2

2 6t t t

ft

6

,

2 1sec

6 12

Tt t

T .

b) 2

10 10sin sin 12

t t t t

T

sec

2 4

Tt .

Задача 8.2. Да се одреди моментната вредност на синусоидална ЕМС за t = 0,00166 s, ако нејзината максимална вредност е Em = 180 V , а фреквенцијата е f = 50 Hz.

Решение:

( ) sin , 2 314 r / secme t E t f ,

1( ) 180sin 314 0,00166 ( ) 180sin 180 90 V

6 2e t e t

.

Задача 8.3. Струјата во електрично коло се менува по синусен закон со амплитуда Im=2 A и со фреквенција f = 50 Hz. Да се напишат моментните вредности на струјата во вид на синусна функција, земајќи дека почетокот од кој што се регистрира времето во системот е во точките О1, О2, О3, и О4.

Решение:

Почеток во О1: 1 m( ) I sin 2sin 2 2sin 314 Ai t t ft t .

t • •

O4 •

O3

T/6

i1 i2 i3 i4

O1 •

O2


63

Почеток во О2: 2 m m( ) I cos I sin 2sin 314 A2 2

i t t t t

.

Почеток во О3: 3 m( ) I sin 2sin Ai t t t .

Почеток во О4: 4 m

1( ) I sin 2sin 2 2sin

6 6 3

Ti t t t f t

f

4

4( ) 2sin A

3i t t

.

Задача 8.4. Да се одреди временскиот интервал меѓу напоните 1 1( ) sin12mu t U t

V и 2 2( ) sin6mu t U t

V, ако фреквенцијата им е f = 50 Hz.

Решение:

Напоните графички можат да се претстават на следниот начин:

Почетната фаза на напонот 1u е 1 12

, а на напонот 2u е 2 6

. Соодветно општиот

облик на нивните функции ќе биде:

1 1 1( ) sinmu t U t и 1 1 1( ) sinmu t U t .

Фазната разлика меѓу напоните ќе е:

1 2 12 6 12 6 4

.

Временскиот интервал е:

1 14 2,5 msec4 8 8 400

t tf f

.

Напонот 1u претходи пред напонот 2u за /4.

Задача 8.5. Низ еден спроводник тече временски константна струја со јачина I = 50 A. Колкава ќе биде амплитудата на простопериодична струја, која ако се пропушти низ истиот спроводник за една периода од време ќе предизвика иста количина топлина како и временски константната стрија, кога би течела истото време.

t •

x

u

O • •

u1 u2


64

Решение:

2TKA RI T ,

2 2 2 2 2

0 0 0

1 cos 2sin

2 2

T T T

T m m m

t TA Ri dt R I t dt RI dt RI

,

2 2 2 70,5 A2TK T m m

TA A RI T RI I I .

Задача 8.6. Даден е изразот за електромоторна сила како 1 1 1( ) sinme t E t . Да се

одреди изразот за електромоторната сила 2e која што има иста фреквенција и амплитуда како

1e , но:

а) фазната разлика меѓу 1e и 2e е 080 ,

б) временското поместување меѓу 1e и 2e е 310 sec3

t .

Em1 = 282 V 1 = –200 = 314 rad/s

Решение:

а) 2 2 2( ) sinme t E t ,

0 0 01 2 2 1 20 80 60

3

,

2 ( ) 282sin 314 V3

e t t

.

b) 2 2 2( ) sinme t E t ,

1 21 2 2 1 0,872 radt t t

,

2 ( ) 282sin 314 0,872 Ve t t .

Задача 8.7. Моментните вредности на на две на ред врзани ЕМС се: 1( ) 57sin 314e t t V

и 2 ( ) 113sin 314e t t V. Условните позитивни референтни насоки им се дадени на сликата. Да

се одреди моментната вредност на вкупната ЕМС во гранката. Да се најдат ефективните вредности на сите ЕМС и да се нацрта принципски фазорски дијаграм за напоните.

Решение:

Напонот меѓу точките А и В на гранката, според условните позитивни насоки ќе е:

1 2( ) ( ) ( ) 57sin 314 113sin 314 170sin 314 Ve t e t e t t t t .

( ) 170sin 314 Ve t t .

Секоја простопериодична функција со облик ( ) sinme t E t графички може да се

претстави со вртлив вектор-фазор во фазорската рамнина на следниот начин:

+ +e2e1

BA


65

;2mE

E E E

Ефективните вредности на сите ЕМС и нивните фазори ќе се:

1 21 1 1 2 2 2

57 11340 V ; 0 ; 80 V ; 0

2 2 2 2m mE E

E E E E E E

170120 V ; 0

2 2mE

E E E

Задача 8.8. Во јазолот А влегуваат (со условни позитивни референтни насоки) две простопериодични струи со фреквенција f = 50 Hz. Моментните вредности им се:

1( ) 6sin6

i t t

А и 2 ( ) 8sin

3i t t

А. Да се одредат почетните фази на струите и

да се одреди максималната и ефективната вредност на струјата која што излегува од јазолот. Да се одреди почетната фаза на таа струја и изразот за нејзината моментна вредност. Да се нацрта принципски фазорски дијаграм за струите.

Решение:

Првиот закон на Кирхоф за јазелот А, според условните позитивни насоки ќе е:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )i t i t i t i t i t i t ,

1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) sin sin 6sin 8sin6 3m mi t i t i t I t I t t t

Изразот кој што треба да се реши не е едноставен за решавање. Потребна е примена на сложени тригонометриски операции. Но познато е дека општиот облик на струјата мора да ја

задоволува функцијата ( ) sin Ami t I t . Бидејќи сите простопериодични функции

имаат иста кружна фреквенција, за одредување на моментната вредност на струјата доволно е да се одреди нејзината ефективна вредност и нејзината почетна фаза. Тоа ќе се направи графички, со примена на Првиот закон на Кирхоф за јазолот А но со фазорите кои што ги претставуваат соодветните струи. За таа цел ќе се одредат почетните фази и ефективните вредности на струите 1i и 2i како:

1 1 1 1 1 1

6: ; 6 ; A ; / 6

6 2mi I I I I

.

2 2 2 2 2 2

8: ; 8 ; A ; / 3

3 2mi I I I I

.

Ефективната вредност и почетната фаза на струјата која што влегува во јазолот ќе се добијат од триаголникот кој што се добива со собирање на фазорите за струите 1i и 2i како:

f.o.E

E1 E2

i1

i2

i

A

f.o.

E


66

2 21 2 1 2 1 2 1 2

102 cos ;

2I I I I I I I I ,

2 10 AmI I ,

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sin0,4275 0,403 rad

cos cosm m

m m

I Itg

I I

.

Струјата ќе има моментна вредност: ( ) sin 10sin 0, 403 Ami t I t t .

Задача 8.9. Графички (со фазорски претставници) да се одреди струјата на генераторот врзан во колото дадено на сликата, ако моментните вредности на струите во гранките се:

1( ) 10sin4

i t t

А, 2 ( ) 20sin

2i t t

А и 3

3( ) 5sin

4i t t

А.

Решение:

Првиот закон на Кирхоф за јазелот А, според условните позитивни насоки ќе е:

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )i t i t i t i t i t i t i t i t .

Со примена на Првиот закон на Кирхоф, но со фазорите кои што ги претставуваат соодветните струи ќе се добие фазорот за струјата на генераторот (фазорите кои што ги претставуваат соодветните струи се собираат со надоврзување според Првиот закон на Кирхоф, на ист начин како што се собираат повеќе од два вектори).

1 2 3I I I I

f.o.

I1

I2

I3I

f.o.

I1

2

I2

I

1

i(t)

i3i1 i2

f.o.

I1

2

I2

1 I3 3


67

Задача 8.10. Изразот за моментната вредност на струјата во колото дадено на сликата е

( ) 2 2 sini t t А, а изразот за моментната моќност е

( ) 10 10cos 2p t t W. Да се одреди отпорноста на отпорникот R.

Решение:

Според Омовиот закон напонот на приклучоците на отпорникот, а со тоа и на генераторот е ( ) ( ) sin sinm mu t Ri t RI t U t , ако струјата е со зададениот облик

( ) sinmi t I t .

Со замена на изразите во изразот за моментната моќност ќе се добие равенка од која што ќе се одреди бараната отпорност на отпорникот:

2

2 2 1 cos 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin 8 4 1 cos 2

2

tp t u t i t R i t R t R R t

10 1 cos 2 4 1 cos 2 2,5t R t R

Струјата и напонот на приклучоците на отпорникот се во фаза, бидејќи тој е елемент кој не внесува фазна разлика меѓу струјата и напонот на неговите приклучоци. Временските функции на струјата и напонот ќе се претставени како:

Простопериодичните функции можат да се претстават со фазори кои ќе имаат облик:

0I I и 0RU RI RI ,

Задача 8.11. Во колото дадено на сликата изразот за моментната вредност на струјата е ( ) 5sin 628i t t А, а

индуктивноста на индуктивниот елемент е 0,01L H. Да се

одреди напонот на генераторот u(t).

Решение:

Aко струјата во колото е со зададениот облик ( ) sinmi t I t тогаш напонот на

генераторот, кој што е еднаков со напонот на приклучоците на индуктивниот елемент, ќе е:

( ) cos 31,4cos 628 31,4sin 628 sin2 2m m

diu t L LI t t t U t

dt

Струјата и напонот на приклучоците на индуктивниот елемент не се во фаза, бидејќи тој е

елемент кој внесува фазна разлика меѓу напонот и струјата на неговите приклучоци од 2

.

f.o. I UR=RI

t O •

uR

i

+ u(t)

i(t) +

L

+ u(t)

i(t) +

R


68

Струјата заостанува зад напонот на индуктивниот елемент за 2

. Временските функции на

струјата и напонот ќе се претставени како:


0I I и 2LU LI ,

Задача 8.12. Во колото дадено на сликата изразот за моментната моќност е ( ) 600sin 314p t t W, а амплитудата на

струјата која што тече во него е 10mI А, а Да се одреди

индуктивноста на индуктивниот елемент L.

Решение:

Напонот на приклучоците на индуктивниот елемент, а со тоа и на генераторот е

( ) cosm

diu t L LI t

dt , ако струјата е со зададениот облик ( ) sinmi t I t .

Со замена на изразите во изразот за моментната моќност ќе се добие равенка од која што ќе се одреди бараната индуктивност:

2 sin 2 2( ) ( ) ( ) cos sin

2mm m

tp t u t i t LI t I t LI

2

600sin 314 sin 2 22

mLIt t

23140 ; ; 600 76,4 mH

2 2mLI

L

Задача 8.13. Во колото дадено на сликата изразот за моментната вредност на напонот на генераторот е

( ) 120sin 314u t t V, а капацитивноста на кондензаторот е

42C F. Да се одредат оптовареноста на кондензаторот u(t), струјата која што тече во колото i(t), моментната моќност на кондензаторот p(t) и енергијата на кондензаторот We(t).

f.o.I

U L

/2

t O •

uL

i

+ u(t)

i(t) +

L

+ u(t)

i(t) +

C


69

Решение:

Aко напонот на генераторот во колото е со зададениот облик ( ) sinmu t U t тогаш

количината електрицитет на кондензаторот ќе е ( ) ( ) sinmq t Cu t CU t , а струјата која

што ќе тече во колото ќе е ( ) cos sin2m m

dq dui t C CU t CU t

dt dt

.

Со замена на изразите за струјата и напонот во изразот за моментната моќност ќе се

добие: 2 sin 2( ) ( ) ( ) sin cos sin 2

2 2m

m mm m

U Itp t u t i t U t CU t CU t

, а енергијата

во кондензаторот ќе е:

2 2

2 2 21 1 1 cos 2( ) ( ) sin 1 cos 2

2 2 2 2 4m m

e m

CU CUtW t Cu t CU t t

Струјата и напонот на приклучоците на индуктивниот елемент не се во фаза, бидејќи тој е

елемент кој внесува фазна разлика меѓу струјата и напонот на неговите приклучоци од 2

.

Струјата му претходи на напонот на кондензаторот за 2

. Временските функции на струјата и

напонот ќе се претставени како:


0U U и 2CI CU ,

f.o.U

I C

/2

t O •

uiC


70

9. Електрични кола со R, L и C редно врзани елементи

Задача 9.1. Да се одреди изразот за моментната вредност на струјата ( )i t во RLC колото

дадено на сликата по затворање на прекинувачот П и настапување на стационарна состојба, ако

напонот на генераторот е sinmu t U t V.

Решение:

Според Кирхофовиот закон за напони сумата од напоните на сите елементи во колото ќе е нула:

0L C Ru u u u

0di q

u L Ridt C

sinm

di qL Ri u U t

dt C

Во стационарниот режим струјата во колото мора да е со простопериодичен облик:

sin sinm mi t I t I t , каде што е фазната разлика меѓу напонот

на генераторот приклучен во колото и струјата која што тече низ него. Значи дека е доволно да се одредат само амплитудата (или ефективната вредност) и почетната фаза на струјата.

Со заменување на изразот за струјата во равенката за напоните ќе се добие:

sin sin sin sin2 2

mm m m

ILI t t RI t U t

C

Ако секој од напоните се претстави со фазор и истата равенка се напише со фазорите на секој од напоните ќе се добие:

2 2

ILI RI U

C

.

Секој од фазорите ќе се претстави во фазорската рамнина и ќе се нацрта принципски фазорски дијаграм за напоните:

UR

U UC

U L

U L – UC

f.o.O

A

B •

+u(t)

i(t)

R CL

П

UR

U

UC

U L

f.o.

I – ·

–+/2


71

Забелешка: кога се цртаат фазорските дијаграми се почнува со цртање на фазорскиот дијаграм за струите, па врз основа на струите се црта фазорскиот дијаграм за напоните (знаеме како се однесува напонот на секој R, L или C елемент во однос на струјата на неговите приклучоци). Со фазорскиот дијаграм за струите се претставува Првиот закон на Кирхоф за јазол во електричното коло во фазорски домен, а со фазорскиот дијаграм за напоните се претставува Вториот закон на Кирхоф за контура во електричното коло во фазорски домен. Конкретново коло не е разгрането коло (тоа е едноставно сериско коло со една контура во која што тече иста струја), затоа фазорскиот дијаграм почнува да се црта така што прво се нанесува фазорот за струјата во колото (го претставува фазорскиот дијаграм за струи) па потоа се црта фазорскиот дијаграм за напоните според Вториот закон на Кирхов за конкретното коло.

Од триаголникот ОАВ на фазорскиот дијаграм за напоните во колото следи дека:

2

2 2

22

1

1

URI L I U I

CR L

C

и

1 1L L

C Ctg arctgR R

,

каде што: LX L е индуктивна отпорност или реактанса на индуктивниот елемент, а

1

CXC

е капацитивна отпорност или реактанса на кондензаторот.

Следи дека за целата редна врска вкупната реактивна отпорност или реактансата ќе е:

1L CX X X L

C

. Во зависност од карактерот на колото вкупната реактанса во

колото може да е 0X . За 0X е претежно индуктивна, а за 0X е претежно

капацитивна.

Се дефинира и модул на импеданса на колото како:

22 2 21U

Z R L R XI C

,

и модул на адмитанса во колото како: 2 2

1 1S

IY

U Z R X

.

Откога се одредени двата параметри (амплитудата и почетната фаза) на струјата во колото може да се напише бараното решение како:

sin sinm mi t I t I t , каде што е 2 2

m mm

U UI

Z R X

и

Xarctg

R или

2 2sin AmU X

i t t arctgRR X

.

Според нацртаниот фазорски дијаграм може да се заклучи дека колото е со претежно индуктивен карактер, бидејќи струјата заостанува зад напонот, т.е. 0X и 0 .


72

Задача 9.2. На краевите на коло со редно врзани R и L елементи приклучен е простопериодичен напон со ефективна вредност U и фреквенција f. Да се одреди:

а) ефективната вредност на струјата во колото, б) фазната разлика меѓу приклучениот напон и струјата во колото, в) ефективната и максималната вредност на напонот на краевите на индуктивниот

елемент, г) колкава би била ефективната и максималната вредност

на напонот на кондензатор кој во колото би бил приклучен на местото на индуктивниот елемент?

R = 5 ; L = 35 mH U = 127 V ; C = 290 F ; f = 50 Hz Решение:

Простопериодичниот напон во колото ќе има облик ( ) sin 2 sinmu t U t U t , ако

претпоставиме дека почетната фаза му е нула (бидејќи не е дадена почетна фаза на ниту една простопериодична величина, за една можеме да претпоставиме вредност нула ). Тогаш струјата

во колото ќе е ( ) sin 2 sinmi t I t I t . Бараните параметри ќе се:

а) 2 2L2 314 r/s ; X 11 ; 12,1Lf L Z R X .

Битно е да се забележи дека LZ R X .

Струјата ќе има ефективна вредност: 10,5 AU

IZ

.

б) Фазната разлика меѓу напонот и струјата во колото и почетната фаза на струјата ќе се:

0 065,5 0 65,5LXarctg

R .

Ако се нацртаат фазорите на напонот и струјата во колото ќе се забележи дека струјата заостанува зад напонот што е основна карактеристика на претежно индуктивно коло.

в) Напонот на краевите на индуктивниот елемент ќе има ефективна и максимална вредност:

115,5 VL LU X I LI , max 2 162,9 VL LU U .

г) Кога индуктивниот елемент ќе се замени со кондензатор параметрите во колото ќе се:

2 2C

1X 11 ; 12,1CZ R X

C .


IZ

.

0 065,5 0 65,5CXarctg

R .

115,5 VC C

IU X I

C , max 2 162,9 VC CU U .

f.o.

I

U

f.o.

I

U

U L

UR

+ u(t)

i(t)R L

+ u(t)

i(t)R C


73

Ако се нацртаат фазорите на напонот и струјата во колото ќе се забележи дека струјата претходи пред напонот што е основна карактеристика на претежно капацитивно коло.

Задача 9.3. Ако краевите на импедансата Z се приклучени на простопериодичен напон со ефективна вредност U, ефективната вредност на струјата е I а фазната разлика меѓу приклучениот напон и струјата во колото е . Да се одреди активната и реактивната отпорност на импедансата Z.

U = 100 V ; I = 10 A ; = /6; Решение:

2 2; 10U

U ZI Z R XI

.

06

, од каде што заклучуваме дека импедансата е претежно

индуктивна со LX X .

13

6 3L

L

Xtg tg R X

R

.

Со решавање на равенките се добива бараното решение 8,56R и 5LX .

Задача 9.4. Фреквенцијата на простопериодичниот напон со ефективна вредност U =125 V кој што е приклучен кон калем може да се менува. При f1 =50 Hz струјата низ калемот има ефективна вредност од I1 = 5 A, а при f2 = 100 Hz струјата се намалува на I2 = 2,5 A. Да се одредат отпорноста и индуктивноста на калемот

Решение:

При фреквенција f1 напонот на краевите на калемот има ефективна вредност 1 1U Z I , а

при фреквенција f2 тој има ефективна вредност 2 2U Z I . Следи дека импедансата на калемот

при секоја од фреквенциите ќе има различен модул.

При f1: 221 1

1

UZ R L

I од каде следи:

222

121

2U

R f LI

.

При f2: 222 2

2

UZ R L

I од каде следи:

222

222

2U

R f LI

.

Со решавање на системот од две равенки со две непознати се добиваат бараните решенија како: 7R и 76 mHL .

f.o.

I

U

UC

UR

f.o.

I

U

+ u(t)

i(t)Z


74

Задача 9.5. Отпорник со отпорност R, индуктивен елемент со индуктивност L и кондензатор со променлива капацитивност врзани се на ред и приклучени се на простопериодичен напон со ефективна вредност U и фреквенција f. Да се одреди капацитетот на кондензаторот C така што ефективната вредност на напонот меѓу точките A и B да биде U1.

U = 230 V ; U1 = 250 V R = 5 ; L = 5 H f = 50 Hz ; = 314 r/s

Решение:

221 1U Z I I R L и

22 1

U ZI I R LC

,

1

1

U UI

Z Z

1

2 222 1

U U

R LR L

C

26 μFC .

+u(t)

i(t)

R

C

L• • A B


75

10. Комплексни претставници на простопериодични величини

Задача 10.1. Комплексната форма на напонот приклучен на некое електрично коло е

100 173 VU j . Да се напише тригонометриската, експоненцијалната и моментната

вредност на напонот.

Решение:

Ако напонот се менува по синусен закон неговата функција е:

( ) sin 2 sinmu t U t U t , решението ќе е:

2 2100 173 200 VU , 173

100 3arctg

.

cos sin 200cos 200sin3 3

U U j j .

3200jjU Ue e

, ( ) Im 2 2 sinj j tu t Ue e U t .

( ) 200 2 sin V3

u t t

.

Задача 10.2. Да се соберат комплексните величини 1 4I j и 2 1 4I j и на

резултатот да му се даде експоненцијална форма.

Решение:

1 2 4 1 4 5 5I I I j j j ,

2 25 5 5 2I , 5

5 4arctg

.

45 2jjI Ie e

.

Задача 10.3. Да се помножат комплексните величини 3 4 AI j и 4 8Z j и

на резултатот да му се даде експоненцијална форма.

Решение:

3 4 4 8 12 24 16 32 20 40 VU I Z j j j j j ,

jU Ue , 2 220 40 44,7 VU , 040 40116 40

20 20arctg arctg

.

Вистинската почетна фаза на простопериодичната величина се пресметува според положбата на комплексниот број во комплексната рамнина:

- ако бројот е во I квадрант аголот е , - ако бројот е во II квадрант аголот е – , - ако бројот е во III квадрант аголот е + , - ако бројот е во IV квадрант аголот е 2- или најчесто – .

0116 4044,7 Vj jU Ue e .


76

Задача 10.4. Комплексните претставници на напонот и струјата на приклучоците на

некоја импеданса се 80 60 VU j и 4 10 AI j . Да се одреди импедансата на

колото и фазната разлика меѓу напонот и струјата низ истата.

Решение:

80 60

4 10

jUZ

I j

,

060

2 2 378080 60 100jarctgj jU Ue e e ,

010

2 2 11244 10 10,7j arctg

j jI Ie e e

,

0

0 0 0

0

3737 112 75

112

100 1009,29

10,710,7

jj j

j

U eZ e e

I e

,

0 09, 29 cos 75 sin 75 2,41 8,97Z j j ,

0 0 0 037 112 75 75 .

Задача 10.5. Коло со редно врзани елементи R, L и C се напојува со простопериодичен напон со фреквенција f. Да се одреди комплексната импеданса на колото.

f = 50 Hz ; = 314 r/s R = 500 ; L = 1 H C = 1 F

Решение:

1L CZ R jX R j X X R j L

C

,

500 2870 CZ j R jX , следи дека колото може да

се еквивалентира со сериска врска само на два елемента на следниот начин:

Задача 10.6. Три потрошувачи врзани се во колото дадено на сликата. На краевите А и В приклучен е простопериодичен напон со фреквенција f. При оваа фреквенција импедансите во

колото се 1 10 27,5Z j , 2 10 25Z j и 3 10 15Z j , а изразот за струјата

низ првиот потрошувач има комплексен претставник 1 6 8 AI j . Да се одреди:

а) комплексниот израз за напонот ABU ,

б) фазната разлика меѓу напонот ABU и струјата низ третиот потрошувач 3I .

I2+

UAB

Z1I1 I3

Z3

Z2

•

•

A

B

C

+u , f

R C L

+ u , f

R′ X′C


77

Решение:

а) AB 1eU Z I , 2 31

2 3

31 22e

Z ZZ Z j

Z Z

, AB 1 362 116 VeU Z I j .

б) AB 3 0AB

1162 18

362arctg ,

CB AB 1 13

3 3

82 20111,8 2,4 A

10 15

U U Z I jI j

Z Z j

,

03

2, 42 11,5

11,8arctg 0

AB 3 6,5

Задача 10.7. За колото претставено на сликата да се одредат ефективните и моментните вредности на струите во сите гранки, ако колото се напојува со простопериодичен напон со ефективна вредност U = 1000 V и фреквенција f = 50 Hz.

R1 = 100 R2 = 8,56 X2 = 61,85

Решение:

Нека претпоставиме дека напонот на генераторот има почетна фаза нула, 0jU Ue U .

Според претпоставените насоки струите во гранките ќе бидат:

1 11

UI YU

Z , 2 2

2

UI Y U

Z , 1 2 1 2

e

UI I I Y Y U YU

Z ,

1 11 1 1 2 2

1 1 1 1

1 10,01 S

R XY G jB j

Z Z Z R ,

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

10,0022 0,016 S

R X R XY G jB j j j

Z Z Z R X R X

,

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 e eY Y Y G jB G jB G G j B B G jB ,

2 22 2 2 2

1 2 2 2 2

10,012 0,016 S

R XY j j

R R X R X

.

1 11

10 AU

I YUR

01 10 2 sin 314 0 Ai t t ,

0822 2 16 AjI Y U e 0

2 16 2 sin 314 82 Ai t t ,

0521 2 20 AjI I I YU e 020 2 sin 314 52 Ai t t .

I2 +

U

I I1

R1

R2

X2


78

Задача 10.8. Да се одредат покажувањата на амперметарот и волтметарот приклучени во колото дадено на сликата, ако се познати:

R1 = 4 ; R3 = 20

X1 = 4 ; X2 = 12

X4 = 10 ; X = 2

E = 24 V

Решение:

Нека претпоставиме дека напонот на генераторот има почетна фаза нула, 0jE Ee E .

Волтметарот ќе ја покажува ефективната вредност на напонот AB 1 1 2 2U R I jX I , a

амперметарот ќе ја покажува ефективната вредност на струјата 34 2

3 4

RI I

R jX

.

За да се одредат бараните струја и напон треба да се одредат струите 1I и 2I во колото.

1 24

1 24e

Z ZE Z I jX I

Z Z

, 1 1 1 4 4Z R jX j ,

3 424 2

3 4

4 4R jX

Z jX jR jX

, 1 24

1 24

2e

Z ZZ jX

Z Z

,

2412 A

2e

EI

Z

Бидејќи е исполнето 1 24Z Z за струите 1I и 2I ќе се добие: 1 2 6 A2

II I .

Бараните напон и струја ќе имаат комплексни претставници:

AB 1 1 2 2 24 72 VU R I jX I j и 34 2

3 4

4,8 2,4 AR

I I jR jX

, додека

инструментите ќе покажуваат напон од 2 2AB 24 72 76 VVU U и струја од

2 24 4,8 2,4 5,37 AAI I .

Задача 10.9. За колото дадено на сликата позната е импедансата 1 50 40Z j .

Комплексната вредност на импедансата 2Z треба да се

одреди така што фазната разлика меѓу струите низ импедансите 2Z и 1Z ќе биде /2, а ефективните

вредности на струите ќе бидат еднакви.

Решение:

Нека претпоставиме дека напонот на генераторот има почетна фаза нула, 0jU Ue U .

Струите во гранките ќе се: 1 11 1

1 1

j jU UI e I e

Z Z , 2 2

2 22 2

j jU UI e I e

Z Z .

Од условот дека 1 2I I и 2 1 2

ќе се добие:

I1I2

I4

I

+

R1

R3 А

VX2

X1

X

E, f

X4

B AO

I2I1 +

U, f Z1 Z2


79

1 21 2

U UI I

Z Z 1 2Z Z .

2 1 2 1 2 1 2

2 1 2

.

12 1/ 2 / 22 2 1 1 1

jj j jZ Z e Z e Z e e jZ 2 40 50Z j .

Задача 10.10. Познати се сите параметри за колото дадено на сликата. Да се одредат ефективните вредности на приклучениот напон U и на напонот UAB, ако волтметарот покажува напон UV = 100 V.

R1 = 10 ; R2 = 20

R3 = 20 ; C1 = 50 F

L2 = 10 mH ; UV = 100 V

f = 50 Hz

Решение:

Нека претпоставиме дека струјата низ генераторот има почетна фаза нула:

0 V

2

5 AR

j UI Ie I . Напонот на генераторот е eU Z I .

2 2 22 3 2 3 2 3

1 2 1 2 2 22 21 3 2 13 2 3 2

1 1e

j L R L R L RZ R j R R R j

C R j L CR L R L

,

34 12eZ j ; 170 60 VeU Z I j ; 2 2170 60 180,28 VU .

2 2 22 3 2 3

AB AB 2 2 22 23 2 3 2

120 40 VL R L R

U Z I R j I jR L R L

.

2 2AB 120 40 127 VU

Задача 10.11. Во колото прикажано на сликата познати се 1 60 VE , 2 20 40 VE j ,

1 3 4Z j , 2 8 6Z j и 3 2 4Z j . Со помош на Кирхофовите правила да се

одредат комплексните изрази за струите во колото. Да се одреди и комплексниот израз за напонот меѓу точките А и В.

I2+

Е1

Z1

I1 I3

Z3

Z2

B

А

Z1 Z2

+

Е2I II

U+

R1

R3

B

A

O

V I

R2

L2 C1


80

Решение:

Кирхофов закон за струи: 1 2 3 0I I I .

Кирхофов закон за напони: 1 1 1 3 32 0E Z I Z I и 2 2 2 3 32 0E Z I Z I .

Ако равенките се преуредат ќе се добие систем од две равенки кој всушност е систем равенки напишан според методата на контурни струи со контурни струи во насоки како што се одбрани на сликата:

1 3 1 3 2 12Z Z I Z I E 11 12I II IZ I Z I E

3 1 2 3 2 22Z I Z Z I E 21 22I II IIZ I Z I E

Решението на системот равенки ќе ги даде бараните струи:

1 2,01 3,88 AI j , 2 1,9 0,6 AI j и 3 1 2 0,1 3, 28 AI I I j .

Додека пак напонот меѓу точките А и В ќе е AB 3 3 13, 22 6,18 VU Z I j .

Задача 10.12. Во колото дадено на сликата да се одредат комплексните претставници на сите струи во сите гранки.

Z1= 1 ; Z 2= j ; Z 3= –j ; Z 4= 1 ; Is= j A ; U= 1 V

Решение:

Бараните струи ќе се најдат со примена на методата на контурни струи според насоки на струите кои се одбрани на сликата:

11 12 13I II III IZ I Z I Z I E 1 2 2 0I IIZ Z I Z I U

21 22 23I II III IIZ I Z I Z I E 2 2 3 4 4 0I II IIIZ I Z Z Z I Z I

31 32 33I II III IIIZ I Z I Z I E III sI I

Со решавање на двете равенки се добиваат контурните струи во првите две контури, а потоа од нив се добиваат сите струи во сите гранки во колото:

0

0

26 34

26 34

4 2 2 51 1 A

5 5 5

2 1 51 A

5 5 5

jI II I

jI II II

j I jI I j e

jI I j I j e

,

1

4 2A

5 5II I j

, 2

2 1A

5 5I III I I j

, 3

2 1A

5 5III I j

,

4

2 4A

5 5II sI I I j

.

I3+

U

Z1

I1 I2

Z2

Z3

Is I II

I4

Z4III


81

Задача 10.13. Во колото дадено на сликата комплексниот претставник на напонот меѓу точките А и В при отворен прекинувач е AB 10 VU . Да се одредат струите низ импедансите

4Z и 2Z при затворен прекинувач.

Z1= (2+j2) ; Z 2=(2– j2) ; Z 3= 2 ; Z 4= (1+j2)

Решение:

Бараните струи ќе се најдат со примена на Тевененовата теорема за колото меѓу точките А и В. Еквивалентното коло кое ќе се добие за решавање ќе е како на следната слика:

Параметрите на еквивалентниот Тевененов генератор ќе се добијат на следниот начин:

1. ЕМС на еквивалентниот Тевененов генератор ќе е еднаква со напонот AB 10 VU кога

прекинувачот е отворен.

2. Еквивалентната внатрешна импеданса на Тевененовиот генератор меѓу точките А и В ќе е:

2 31

2 3T

2 31

2 3

1

Z ZZ

Z ZZ

Z ZZ

Z Z

според колото:

Откога ќе се затвори прекинувачот струјата низ импедансата 4Z ќе е:

T4

T 4

2,5 2,5 AE

I jZ Z

, а бидејќи импедансите 4Z и 2Z се паралелно врзани и

имаат ист напон, струјата која што тече низ импедансата 2Z ќе е:

44 4 2 2 2 4

2

1, 25 2,5 AZ

Z I Z I I I jZ

.

+

U

Z1

Z4 Is Z3Z2

П

B

A

I4

+

ЕТ

ZТ

Z4

A

B

•

•

Z1

Z3Z2

B

A


82

Задача 10.14. Во колото дадено на сликата да се одреди комплексниот претставник на струјата 2I . Да се одреди и напонот меѓу точките А и В ABU .

Z1 = 6

Z 2 = – j4

Z 3 = ј2

Е 1 = 20 V

Е 2 = j5 V Решение:

Бараната струја ќе се најде со примена на Тевененовата теорема за колото меѓу точките А и В. Еквивалентното коло кое ќе се добие за решавање ќе е како на следната слика:


1. ЕМС на генераторот ќе е еднаква со напонот меѓу точките А и В кога гранката со реалниот напонски генератор 2E е исклучена.

1T 3 3

1 3

2 6 VE

E Z I Z jZ Z


2. Еквивалентната внатрешна импеданса на Тевененовиот генератор меѓу точките А и В ќе е:

1 3T

1 3

0,6 1,8Z Z

Z jZ Z


Струјата низ импедансата 2Z ќе е: T 22

T 2

0,19 0,96 AE E

I jZ Z

.

Комплексниот претставник на напонот меѓу точките А и В во оригиналното коло ќе е:

AB 2 2 2 3,85 5,77 VU E Z I j . Важно е да се забележи дека AB TU E .

Z1

Z3

A

B

•

•

+ I

Е1

I2

+

ЕT

ZТ Z2

A

B

•

•

+

Е2

Z1

Z3

A

B

•

•

Z1

Z3

A

B

+

Е1

Z2

+

Е2

I2


83

Задача 10.15. Во колото дадено на сликата да се одреди ефективната вредност на струјата која што ја покажува амперметарот. Ефективните вредности на електромоторните сили се еднакви и електромоторната сила Е2 фазно претходи во однос на електромоторната сила Е1 за агол .

X1 = X3 = 40 ; X2 = 20 ; XL = 40 ; R = 200 ; E1 = E2 = 200 V ; = 360 14’

Решение:

Нека претпоставиме дека електромоторната сила Е1 има почетна фаза нула, тогаш

комплексните претставници на двете ЕМС ќе се 01 1 VjE E e и 2 2 VjE E e .

Струјата која што ја покажува амперметарот ќе се најде со примена на Тевененовата теорема за колото меѓу точките А и В. Еквивалентното коло кое ќе се добие за решавање ќе е како на следната слика:


1. ЕМС на генераторот ќе е еднаква со напонот меѓу точките А и В кога гранката во која што е поврзан амперметарот е исклучена, од следното коло:

2 1T 3 2 1 1 3 1

3 1

24 8 VL L

E EE jX I jX I jX jX j

R j X X R j X X

.

2. Еквивалентната внатрешна импеданса на Тевененовиот генератор меѓу точките А и В според следното коло ќе е:

+

ЕТ

ZТ

A

B

•

•

IА

А

XL XLR

E1 E2

+ + RX2

X3X1

I2I1

BА

А

XL XLR

E1 E2

+ + RX2

X3X1

BА

XL XLR RX2

X3X1

BА


84

3T 2

3

2 16 100L

L

R jX jXZ jX j

R jX jX

.

Струјата низ амперметарот ќе е: 099,17T

T

0,25 A0

jEI e

Z

, а нејзината ефективна

вредност ја покажува амперметарот - A 0,25 AI .

Задача 10.16. Во колото дадено на сликата да се одреди струјата I. Ефективните вредности на електромоторните сили се еднакви и електромоторната сила Е2 фазно доцни во однос на електромоторната сила Е1 за агол /3.

X1 = X4 = 260 ; X3 = 300 ; R2 = 450 ; R3 = 173 ; R5 = 150 E1 = E2 = 10 V

Решение:

Нека претпоставиме дека електромоторната сила Е1 има почетна фаза нула, тогаш

комплексните претставници на двете ЕМС ќе се 01 1 VjE E e и 3

2 2 Vj

E E e

.

Бараната струја ќе се најде со примена на Тевененовата теорема за колото меѓу точките А и В. Еквивалентното коло кое ќе се добие за решавање ќе е како на следната слика:


1. ЕМС на генераторот ќе е еднаква со напонот меѓу точките А и В кога гранката во која што се поврзани R3 и X3 е исклучена, од следното коло:

0601 2T 2 1 4 2 2 4

2 1 5 4

7,5 13 15 VjE EE R I jX I R jX j e

R jX R jX

.

E1 E2

+ +R5X1

X4

X3

B

R3

R2

I А

E1 E2

+ +R5X1

X4

B

R2

I1

А

I2

I +

ЕT

ZТ

A

B

•

•

X3

R3


85

2. Еквивалентната внатрешна импеданса на Тевененовиот генератор меѓу точките А и В според следното коло ќе е:

2 1 5 4T

2 1 5 4

225 260R jX R jX

Z jR jX R jX

.

Струјата низ гранката во која што се поврзани R3 и X3 ќе е:

065T

T 3 3

0,037 AjEI e

Z R jX

.


Z1 = 5 ; Z 2 = 2 ; Z 3 = j2 ; Z 4 = –j2 ; Z 5 = 4 ; Е1 = 50 V ; Е2 = j50 V

Решение:

Бараните струи ќе се најдат со примена на методата на независни потенцијали на јазлите според насоки на струите кои се одбрани на сликата:

11 10 12 20 IY U Y U I 10 20 1 11 3 5 5

1 1 1 1U U Y E

Z Z Z Z

21 10 22 20 IIY U Y U I 10 20 2 25 2 4 5

1 1 1 1U U Y E

Z Z Z Z

Со решавање на двете равенки се добиваат потенцијалите на двата јазли, а потоа од нив се добиваат сите струи во сите гранки во колото:

10 20 10

10 20 20

0, 45 0,5 0,25 10 7,55 23,51 V

0,25 0,75 0,5 25 19,85 27,08 V

j U U U j

U j U j U j

,

1 101

1

E UI

Z

, 2 20

22

E UI

Z

, 10

33

UI

Z , 20

44

UI

Z , 10 20

55

U UI

Z

.

R5X1 X4

B

R2

А

I5+

Z1

I1 I3

Z3

Z5

E2 I4

Z4

Z2

I2 +

E1

0

1 2


86


R1 = X1 = R2 = 5

X2 = X3 = 10

1( ) 100 2 sin Ve t t

2 ( ) 200 2 sin Ve t t

Решение:

Бараните струи ќе се најдат со примена на методата на независни потенцијали на јазлите според насоки на струите кои се одбрани на сликата:

11 10 12 20 IY U Y U I 10 1 100 VU E ; 2 200 VE

21 10 22 20 IIY U Y U I

21 20

3 3 2 2 2

1 1 1 1 EE U

jX jX R jX jX

Со решавање на равенкaта се добива напонот меѓу двата јазли, а потоа се добиваат сите струи во сите гранки во колото според претпоставените насоки:

20 50 VU j ,

101

1 1

10 1 AU

I jR jX

, 20 22

2

5 20 AU E

I jjX

,

10 203

3

5 10 AU U

I jjX

, 20

42

10 AU

I jR

, 5 1 3 5 AI I I .

Задача 10.19. Во колото дадено на сликата да се одредат комплексните претставници на сите струи во сите гранки. Да се напишат и изразите за моментните вредности на сите струи.

R = 5 ; X 1 = X 2 = 5 ;

X C = 10 ; Е1 = 10 ej0 V ;

Е2 = 10 ej V; Is = (1–j1) A

= 314 r/s

Решение:

Бараните струи ќе се најдат со примена на методата на независни потенцијали на јазлите според насоки на струите кои се одбрани на сликата.

11 10 IY U I 1 210 S

1 2 1 2

1 1 1

C

E Ej U I

R jX jX X R jX jX

Со решавање на равенкaта се добива напонот меѓу двата јазли, а потоа се добиваат сите струи во сите гранки во колото:

E1

+

R

1

O

XC

X1

X2

E2

+

Is I2

I3 I1

+

R2

21

0

I4

R1

X1

X3

E1

I1I5

I3

+ E2

I2

X2


87

10 4 8 VU j , 0S 2sin 314 45 Ai t t ,

0261,861 101

1

2 AjE UI e

R jX

0

1 2sin 314 261,86 Ai t t ,

01202 102

2

3, 2 AjE UI e

jX

0

2 3, 2 2 sin 314 120 Ai t t ,

0153,5103 0,9 Aj

C

UI e

jX 0

3 0,9 2 sin 314 153,5 Ai t t .

Задача 10.20. Во колото прикажано на сликата познати се 1 10 5 VE j ,

1 50 350Z j , 2 300 200Z j , 3 200 300Z j , 4 200 1600Z j и

5 200 400Z j . При затворен прекинувач П1 комплексната струја низ првиот приемник е

1 10 mAI . Да се одреди струјата 1I по отворањето на прекинувачот П1 и затворањето на

прекинувачот П2.

Решение:

Ако го примениме принципот на суперпозиција на рамнотежни состојби во колото и за двата генератори, се забележува дека струјата 1I е последица на дејствувањето само на

генераторот 5E . На оваа струја ќе и ја додадеме струјата 1I која низ првиот приемник ќе ја

дава само генераторот 1E , одредена според следното коло:

1 11

1 4 52 3

4 51

4 52 3

4 5

10 30 mAe

E EI j

Z Z Z ZZ Z

Z ZZ

Z ZZ Z

Z Z

,

5 11 1( ) 1( ) 1 1 30 AE EI I I I I j .

+

Z1

I′1

Z2

Z3

Z4E1

E5

+

Z5

П2 П1

+

Z1

I″1

Z2

Z3

Z4E1

Z5

П2П1


88

Задача 10.21. Три потрошувачи врзани се во колото дадено на сликата и приклучени се на простопериодичен напон со ефективна вредност U. Познати се комплексните импедансите

на двата приемника 1 5 10Z j и

2 10 25Z j , додека третиот приемник има

омски карактер и не е познат, 3 3Z R . Да се одреди

R3 така што струјата I2 фазно ќе заостанува од напонот U за агол /2.

Решение:

2 31

2 3 1 2 1 3 2 31

2 3

e

U Z ZU UI

Z ZZ Z Z Z Z Z ZZZ Z

,

2 332 1

2 3

U Z ZZI I

Z Z

3

1 2 1 3 2 3 2 3

Z

Z Z Z Z Z Z Z Z

1 21 2

3

U UZ Z ZZ Z

Z

.

За струјата I2 фазно да заостанува од напонот U за /2, импедансата Z′ треба да е чисто индуктивна:

1 21 2

3 3 3

200 22515 35

Z ZZ Z Z j R jX

Z R R

3

20015 0R

R

3 13.33R .

Задача 10.22. Во колото на сликата да се одреди при која вредност на отпорноста на отпорникот R струјата I1 фазно ќе заостанува од напонот U за четвртина периода.

Комплексните импедансите на двата приемника се 1 1 7Z j и 2 2 11Z j .

Решение:

1

1 1 2 2 12

1

e

U Z RU UI

Z RZ Z Z Z R Z RZZ R

,

1

11

U Z RRI I

Z R

1 2 2 1 1

R

Z Z Z R Z R Z R

1 21 2

U UZ Z ZZ Z

R

.

Z2

R Z1 +

U

I I1

Z1

Z3 Z2 +

U

I1 I2 I3


89

За струјата I1 фазно да заостанува од напонот U за четвртина периода, т.е. фазната разлика меѓу напонот и струјата да е +/2, импедансата Z′ треба да е чисто индуктивна:

1 21 2

75 253 18

Z ZZ Z Z j R jX

R R R

75

3 0RR

,

25R .

Задача 10.23. Во дадениот Винтстонов мост познати се сите импеданси. Да се најде условот кој треба да го исполнуваат модулите и аргументите на импедансите за мостот да е во рамнотежа.

Решение:

Мостот е во рамнотежа кога е исполнето AB 0U и 5 0I . Од ова следи:

1 3I I и 2 4I I .

1 31 3

EI I

Z Z

, 2 4

2 4

EI I

Z Z

,

AB 2 2 1 1 1 1 2 20U Z I Z I Z I Z I 1 21 3 2 4

E EZ Z

Z Z Z Z

.

1 2Z Z 1 4 1 2Z Z Z Z 2 3Z Z 1 4 2 3Z Z Z Z ,

31 4 21 4 2 3

jj j jZ e Z e Z e Z e 2 31 4

1 4 2 3jjZ Z e Z Z e ,

1 4 2 3Z Z Z Z и 1 4 2 3 .

А

DC

B

+E

I2

Z5

I5 Z1

I1

Z4

I4

I3

Z3

Z2


90

11. Моќност во електрични кола со простопериодични струи

Задача 11.1. На краевите на коло со редно врзани R и L елементи приклучен е простопериодичен напон со ефективна вредност U и фреквенција f. Да се одреди:

а) ефективната и моментната вредност на струјата во колото, б) факторот на моќност cos на колото, в) активната, реактивната и привидната моќност во колото. R = 26 ; L = 0,041 H U = 220 V ; f = 50 Hz

Решение:

Простопериодичниот напон во колото ќе има облик ( ) sin 2 sinmu t U t U t , ако

претпоставиме дека почетната фаза му е нула (бидејќи не е дадена почетна фаза на ниту една простопериодична величина, за една можеме да претпоставиме вредност нула ). Тогаш струјата

во колото ќе е ( ) sin 2 sinmi t I t I t . Бараните параметри ќе се:

а) 2 2L2 314 r/s ; X 12,87 ; 29Lf L Z R X .


IZ

.

Фазната разлика меѓу напонот и струјата во колото и почетната фаза на струјата ќе се:

0 026 20 0 26 20LXarctg

R .

Струјата ќе има момантна вредност: 0( ) 7,6 2 sin 314 26 20 Ai t t .

б) Факторот на моќност во колото ќе е: cos 0,896R

Z .

в) Активната моќност на генераторот истовремено е и моќноста на отпорникот, со единица W:

2cos 1498 WP UI RI .

Реактивната моќност на генераторот истовремено е и реактивна моќност на индуктивниот

елемент, со единица VAr: 2sin 740 VArLQ UI X I .

Привидната моќност во колото е, со единица VA: 2 2 1670,8 VAS P Q .

Комплексната моќност во колото е: 1498 740 VAS P jQ j .

Задача 11.2. За колото дадено на сликата да се одреди:

а) ефективните вредности на струите во гранките на колото, б) активната, реактивната и привидната

моќност на првата и на втората гранка, в) вкупната активна, реактивна и привидна

моќност во колото. Познати се следните параметри за колото:

R1= X2 = 5 ; R2 = X1 = 12 ; U = 130 V ;

+ u(t)

i(t)R L

I2

+

U X2

R2 I1

X1

R1 I


91

Решение:

а) Струите во гранките ќе имаат ефективни вредности:

1 2 21 1 1

10 AU U

IZ R X

и 2 2 22 2 2

10 AU U

IZ R X

.

б) Активната моќност на гранката истовремено е и моќноста на отпорникот во истата:

21 1 1 1 1cos 500 WP UI R I и 2

2 2 2 2 2cos 1200 WP UI R I .

Реактивната моќност на гранката истовремено е и реактивна моќност на индуктивниот елемент поврзан во истата:

21 1 1 1 1sin 1200 VArQ UI X I и 2

2 2 2 2 2sin 500 VArQ UI X I .

Привидната и комплексната моќност во секоја од гранките на колото се:

2 21 1 1 1300 VAS P Q , 1 1 1 500 1200 VAS P jQ j .

2 22 2 2 1300 VAS P Q , 2 2 2 1200 500 VAS P jQ j .

в) Вкупната моќност е збир од моќностите на поединечните гранки, без разлика дали е тоа активната, реактивната или комплексната моќност. Само за привидната моќност тоа не е точно:

1 2 1700 WP P P , 1 2 1700 VArQ Q Q ,

1 2 1700 1700 VAS S S P jQ j , 2 21 22400 VA S S +SS P Q .

Задача 11.3. Приемник со модул на импедансата Z приклучен е на простопериодичен напон со ефективна вредност U. Познати се активната моќност и факторот на моќност на приемникот. Да се одреди комплексниот претставник на напонот на генераторот, привидната и реактивната моќност на приемникот.

Z = 5 ; P = 10 W ; cos = 0,5; Решение:

0605j jZ Ze e од 0arccos 0,5 60 . Бидејќи косинусната функција е парна

функција ќе одбереме импедансата да е претежно индуктивна со 00 .

2cos cos 2 AP UI ZI I . Ако претпоставиме дека: 0 2 AjI Ie ,

напонот на генераторот ќе е: 06010 Vj j jU Z I Ze I Ue e .

Комплексната моќност ќе е: 0* 6020 VAj j jS U I UIe Se e , S P jQ .

Реактивната моќност на приемникот ќе е: 2 2 10 3 VArQ S P .

10 10 3 VAS j .

+ U

I Z


92

Задача 11.4. За колото дадено на сликата да се одредат условите при кои што во потрошувачот ќе се развие максимална активна моќност и истата да се одреди.

Решение:

Нека претпоставиме дека импедансата на потрошувачот е p p pZ R jX , а внатрешната

импеданса на генераторот е g g gZ R jX .

Струјата која што ќе тече во колото има ефективна вредност:

2 2

g p g p

EI

R R X X

.

Активната моќност која што се развива на потрошувачот е:

2

22 2

pp

g p g p

R EP R I

R R X X

.

Бидејќи активната моќност зависи од двата параметра на импедансата на потрошувачот (активната и реактивната отпорност) условот за максимална активна моќност ќе се испита за секој од нив поединечно.

Ако .pR const активната моќност на pR е максимална ако е исполнето:

p gX X (0.0.1)

Во тој случај е:

2

max 2

p

g p

R EP

R R

.

Ако пак .pR const погорниот израз е максимален за:

p gR R (0.0.2)

Соединувајќи ги изразите (0.0.1) и (0.0.2) ќе се добие условот кој што треба да го исполнува импедансата на потрошувачот за во неа да се развива максимална активна моќност:

p p g gR jX R jX

*p gZ Z (0.0.3)

Во тој случај максималната активна моќност која што ќе ја добие потрошувачот од генераторот ќе е:

max

2

max 4 g

EP

R

Во овој случај извршено е прилагодување на потрошувачот кон генераторот за тој да добива максимална активна моќност од генераторот.

I

+

Е

Zg

Zp


93

Задача 11.5. За колото дадено на сликата да се одреди максималната активна моќност која што се развива на потрошувачот. Познати се следните параметри за колото:

Rg = 50

Xg = 200

U = 24 V

Решение:

Нека претпоставиме дека: 0 24 VjU Ue

Ако импедансата на потрошувачот е p p pZ R jX , а внатрешната импеданса на

генераторот е g g gZ R jX , според условот за максимална активна моќност од изразот

(0.0.3) ќе е:

gpZ Z p p g gR jX R jX 50p gR R и 200p gX X .

Струјата која што ќе тече во колото ќе е:

0, 24 A2g p g g p p g

U U UI

Z Z R jX R jX R

.


22

max 2,88 W4p

p

UP R I

R .

Задача 11.6. Да се одреди импедансата 2Z во колото дадено на сликата така што

активната моќност која што се развива на неа да е максималната. Да се одреди и таа моќност. Познати се следните параметри за колото:

1 10 10 VE j

2 1 AsI j

1 5 3Z j

3 5Z

Решение:

Бидејќи условот за прилагодување на потрошувач кон генератор е изведен за еден потрошувач поврзан на ден реален напонски генератор, со примена на Тевененовата теорема за колото меѓу точките А и В ќе се одреди бараната импеданса. Еквивалентното коло кое ќе се добие за решавање ќе е како на сликата:

U+

Rg

Xg

I

Zg

Rp

Xp

Zp

Is

+

Е1

Z1

Z2

Z3

B

А

I

+

ЕТ

ZТ

Z2

A

B

•

•


94

ЕМС на Тевененовиот генератор ќе е еднаква со напонот меѓу точките А и В кога гранката со импедансата 2Z е исклучена, како на сликата:

T 1 1 23 11 VsE E Z I j

Според условот за максимална активна моќност од изразот (0.0.3) ќе е: 2 TZ Z

Бидејќи еквивалентната импеданса на Тевененовиот генератор за колото е:

T 1 5 3Z Z j 2 5 3Z j .

Струјата која што ќе тече во еквивалентното коло ќе е: T

T 2

2,3 1,1 AE

I jZ Z

со

ефективна вредност: 6,5 2,55 AI .


2max 2 32,5 WP R I .

Задача 11.7. Да се одреди импедансата Z во колото дадено на сликата така што

активната моќност која што се развива на неа да е максималната. Да се одреди и таа моќност. Познати се следните параметри за колото:

R1 = XL= R2 = 5

R3 = XC = 10 030100 VjE e

04510 AjI e

Решение:

Бидејќи условот за прилагодување на потрошувач кон генератор е изведен за еден потрошувач поврзан на ден реален напонски генератор, со примена на Тевененовата теорема за колото меѓу точките А и В ќе се одреди бараната импеданса. Еквивалентното коло кое ќе се добие за решавање ќе е како на следната слика:

I

+

ЕТ

ZТ

Z

A

B

•

•

Е+

R1

Z

I

R2

XL

R3 XC

Is

+

Е1

Z1 Z3

A

B

•

•


95

ЕМС на Тевененовиот генератор ќе е еднаква со напонот меѓу точките А и В кога гранката импедансата Z е исклучена, според колото на следната слика:

0453 3 100 VjE R I e ,

03,431

1 2

8,94 Aj

L

EI e

R R jX

,

025T 1 1 3 2 1 3 37,06 Vj

LE E R I E R jX I E e .

Според условот за максимална активна моќност од изразот (0.0.3) ќе е: TZ Z

Еквивалентната импеданса на Тевененовиот генератор се добива според шемата:

1 2T 3

1 2

13 9LC

L

R R jXZ R jX j

R R jX

.

Импедансата Z ќе е: T 13 9Z Z j R jX .

Струјата која што ќе тече низ импедансата Z ќе е: T T

T 2

E EI

Z Z R

.


T

22

max 26, 41 W4

EP RI

R .

Задача 11.8. Каков елемент треба паралелно да се поврза со генераторот во колото дадено на сликата за во него факторот на моќност да стане cos 1 . Познати се сите параметри за

колото.

Решение:

Нека претпоставиме дека напонот на генераторот е: 0 VjU Ue .

Е+

R1

I1R2

XL

R3 XC

+

Е3

A

B

+

U L

RI

R1

R2

XL

R3 XC

A

B


96

Струјата која што ќе тече во колото може да се разложи на активна и реактивна компонента:

a r22

cos sinU R j LU

I I jI I IR j L R L

За во колото факторот на моќност да стане cos 1 треба напонот на генераторот и

струјата која што ќе тече низ него да се во фаза. Во ова коло со претежно индуктивна импеданса фазната разлика меѓу напонот и струјата низ генераторот не се во фаза. Заради тоа паралелно со генераторот ќе поврземе кондензатор со капацитет C кој што ќе биде одбран така што струјата која што ќе тече низ него ќе биде со иста ефективна вредност со реактивната компонента на струјата rI која што во овој случај ќе тече низ импедансата потрошувачот.

Новото коло и фазорскиот дијаграм за струите е дадено на следната слика:

C a r C aI I I I I I , r C 0I I , C rI I .

Бидејќи r 22

sinLU

I IR L

и CI CU со изедначување на ефективните

вредности на струите ќе се добие бараната капацитивност на кондензаторот кој што ќе треба паралелно да се поврзе со генераторот за во колото факторот на моќност да стане cos 1 .

C rI I C U

LU

22R L

22F

LC

R L

.

Задача 11.9. Факторот на моќност на претежно индуктивен приемник е cos 0,865 .

Ефективната вредност на струјата во приемникот е I, а ефективната вредност на напонот на краевите на приемникот е U. Да се одреди:

а) капацитивноста на кондензаторот C кој што треба да се поврзе паралелно со приемникот за факторот на моќност на приемникот да стане cos 1 ,

б) комплексниот израз за моќност на генераторот кога приемникот има фактор на моќност cos 1 .

I = 24 A

U = 380 V

f = 50 Hz

f.o.

I

U

I r

Ia

f.o.

I

U

I r

Ia

IC

+

U L

R I

C

+

UXL

R I


97

Решение:

a) Го анализираме колото кога не е поврзан кондензаторот во него и ги одредуваме параметрите на претежно индуктивната импеданса:

2 2cos

L

R R

Z R X

, 15,83

UZ

I , cos 13,7R Z .

2 2 1 cos 7,95L

UX Z R

I .

Откога ќе се поврзе кондензаторот во колото колото ќе биде како на следната слика:

Вкупната импеданса на новото коло ќе е Z со параметри:

L C

L C

R jX jXZ R jX

R j X X

.

За да биде постигнато cos 1 треба 0 , т.е. Z R а 0X . Или пак преку

активната и реактивната компонента на струјата ако се изрази ќе биде:

C a r C aI I I I I I , r C 0I I , C rI I .

Бидејќи r 2 2sin L

L

X UI I

R X

и C

C

UI

X со изедначување на ефективните вредности

на струите ќе се добие бараната капацитивност на кондензаторот кој што ќе треба паралелно да се поврзе со генераторот за во колото факторот на моќност да стане cos 1 .

C rI I 2 2

L

C L

X UU

X R X

2 2L

CL

R XX

X

22101μF

LC

R L

.

б) Комплексната моќност на генераторот е:

a cos 7888,8 VAS P jQ P UI UI .

Задача 11.10. За колото дадено на сликата познати се следните податоци:

100 VE , 50 Hzf и за импедансите е познато:

за 1Z : 1 300 WP , 1 100 VArQ и дека е

претежно капацитивна,

за 2Z : 2 500 WP , 2 700 VArQ и дека е

претежно индуктивна.

Да се одреди капацитивноста на кондензаторот C кој што треба да се поврзе паралелно со генераторот за вкупниот фактор на моќност на приемниците во колото да стане cos 1

+

UXL

R

I

C

I′ IC

I +

E

Z1

Z2


98

Решение:

Го анализираме колото кога не е поврзан кондензаторот во него и ги одрeдуваме моќноста на генераторот и струјата која што тече низ него:

1 1 1CZ R jX 1 300 100 VAS j .

2 2 2LZ R jX 2 500 700 VAS j .

Вкупната комплексна моќност на двата приемника е иста со онаа на генераторот, па е:

1 2 1 2 1 2800 600 VAS S S j P P j Q Q P jQ .

Од изразот за моќноста S EI се добива струјата во колото 1 8 6 AI j .

Откога ќе се поврзе кондензаторот во колото колото ќе биде како на следната слика:

Вкупната комплексна моќност на новото коло ќе е S :

C CS S S P jQ jQ P jQ .

За да биде постигнато cos 1P

S

треба 0 , т.е. S P а 0CQ Q Q .

CQ Q 2

2 2C C

C

EQ X I CE

X 2 600CE Q ,

2191μF

QC

E .

Или пак преку активната и реактивната компонента на струјата ако се изрази ќе биде:

a r8 6I j I I , C a r C aI I I I I I , r C 0I I , C rI I .

Бидејќи CI CE со изедначување на ефективните вредности на струите ќе се добие

бараната капацитивност на кондензаторот кој што ќе треба паралелно да се поврзе со генераторот за во колото факторот на моќност да стане cos 1 .

C rI I r 6191μF

314 100

IC

E

.

I +

E

IC Z1

Z2C


99

12. Фазна резонанција и антирезонанција

Задача 12.1. Отпорник со отпорност R, индуктивен елемент со индуктивност L и кондензатор со капацитивност C врзани се редно и приклучени се на простопериодичен напон со ефективна вредност U и променлива фреквенција. Да се одреди:

а) фреквенцијата f0 при која што настапува фазна резонанција во колото, б) комплексните изрази за струјата во колото и напоните на краевите на елементите за

резонантната фреквенција f0 и за фреквенциите f1 и f2, в) да се нацртаат принципски фазорски дијаграми за сите три фреквенции.

R = 100 ; L = 0,4 H C = 10 F ; U = 24 V f1 = 50 Hz ; f2 = 100 Hz

Решение:

За во електрично коло да настапи фазна резонанција треба напонот на генераторот во колото и струјата која што тече низ него да се во фаза. Последица од ова е дека вкупната импеданса во колото ќе биде чисто реална.

0 e eZ R e

e

cos 1R

Z .

Вкупната импеданса во ова коло е: e e e e

1Z R j L j R jX R

C

e 0X .

Од e 0X ќе се добие фреквенцијата при која што во колото настапува фазна

резонанција.

e 00

10X L

C

0

1

LC 0

0

179,6 Hz

2 2f

LC

.

Нека претпоставиме дека: 0 24 VjU Ue . Струјата и напоните во колото за сите

фреквенции ќе се добијат како:

– фреквенција 0f :

0 100Z R , 0 200LX L , 0

1200CX

C ,

00

0, 24 AU

IZ

,

0 0 24 VRU RI ,

0 0 0 48 VLU j LI j ,

0 00

148 VCU j I j

C .

+u

i

R C L

f.o. I

U=UR

UC

UL


100

– фреквенција 1 0f f :

1 11

1100 192,8Z R j L j

C

, импедансата е претежно капацитивна,

11

0,05 0,098 AU

I jZ

,

1 1 5 9,8 VRU RI j ,

1 1 1 12,3 6,28 VLU j LI j ,

1 1

1

131,16 15,9 VCU j I j

C .

– фреквенција 2 0f f :

2 22

1100 92, 2Z R j L j

C

, импедансата е претежно индуктивна,

22

0,13 0,12 AU

I jZ

,

2 2 13 12 VRU RI j ,

2 2 2 30,1 32,6 VLU j LI j ,

2 2

2

119 20,6 VCU j I j

C .

Задача 12.2. Електрично коло со редно врзани RLC елементи приклучено е на простопериодичен напон со ефективна вредност U и променлива фреквенција. Кога фреквенцијата на генераторот е f1 или f2 ефективната вредност на струјата е I’, а при резонантната фреквенција струјата е I. Да се одредат параметрите на колото R, L и C.

U = 200 V ; I = 5 A ; I’ = 4 A f1 = 50 Hz ; f2 = 100 Hz

Решение:

При фазна резонанција во колото е исполнето:

0 Z R 40U

RI

.

При f1: 2

21

1

12

2

UI

R f Lf C

.

f.o.

I2

U UC2

UR2

UL2

f.o.

I1

U

UC1

UR1

UL1

+u

i

R C L


101

При f2: 2

22

2

12

2

UI

R f Lf C

95,5 mHL и 53μFC .

Задача 12.3. Отпорник со отпорност R1 = 4 , индуктивен елемент со индуктивност L = 796 H и кондензатор со капацитивност C=39,8 F врзани се во коло како на сликата и приклучени се на простопериодичен напон со ефективна вредност U = 36 V и фреквенција f = 800 Hz. За која вредност на отпорноста на отпорникот R2 во колото ќе настапи фазна резонанција. При резонантен режим во колото да се одредат сите струи во сите гранки и да се нацрта принципски фазорски дијаграм.

Решение:

Кога во електричното коло ќе настапи фазна резонанција ќе бидат исполнети следните услови:

0 e e1

UZ R

I e 0X , 1 1 4X L ;

15CX

C .

Вкупната импеданса во ова коло е:

2

e 1 1 e e e2

C

C

R jXZ R jX R jX R

R jX

2 22 2 2

e 1 1 1 12 2 2 22 2 2

C C C

C C C

R jX R X R XZ R jX R j X

R jX R X R X

,

e 0X

22

1 2 22

0C

C

R XX

R X

2 10R .

2

2e e 1 2 2

2

6C

C

R XZ R R

R X

Нека претпоставиме дека: 0 36 VjU Ue . Струите во колото ќе се добијат како:

1e

6 AU

IR

,

2 1

2

1, 2 2,4 AC

C

jXI I j

R jX

,

3 1 2 4,8 2, 4 AI I I j

Задача 12.4. Електрично коло со паралелно врзани RLC елементи приклучено е на простопериодичен напон со ефективна вредност U и променлива фреквенција. Да се одреди:

а) фреквенцијата f0 при која што настапува фазна антирезонанција во колото, б) комплексните изрази за импедансата и за сите струи во колото, в) да се нацрта принципски фазорски дијаграм.

f.o.

I1

U

UR1

UL1

UR2

I2

I3

+

UI1

R2 C

I3I2

R1 L1


102

R = 50 ; L = 0,02 H C = 2 F ; U = 100 V

Решение:

Кога во електрично коло напонот на генераторот во колото и струјата која што тече низ него се во фаза, во колото настапува фазна резонанција. Често пати ако RLC елементите се врзани паралелно оваа резонанција се нарекува антирезонанција. При тоа е исполнето:

0 e e e eY G jB G e 0B .

а) Вкупната адмитанса во ова коло е: e e e

1 1Y j C j G jB

R L

e 0B .

Од e 0B ќе се добие фреквенцијата при која што во колото настапува фазна

антирезонанција.

e 00

10B C

L

0

1

LC 0

0

1796 Hz

2 2f

LC

.

б) Ако претпоставиме дека: 0 100 VjU Ue , адмитансата и струите во колото се:

e

10,02 SY

R , e e 2 AI Y U G U , в)

2 AR

UI I

R ,

0 1 ACI j CU j ,

0

11 ALI U j

j L .

Задача 12.5. Во колото дадено на сликата познати се сите параметри. Колкава треба да биде фреквенцијата на генераторот приклучен во колото за во истото да настапи фазна антирезонанција. При овој режим на работа да се одредат сите струи во сите гранки во колото.

R1 = 200 ; L1 = 20 mH

R2 = 300 ; C2 = 2 F

U = 100 V

Решение:

Ако претпоставиме дека: 0 100 VjU Ue , адмитансaта и струите во колото се:

1 11 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 R LY G jB j

R j L R L R L

,

2 22 2 2

2 22 2 22 2 2 2

2 2 2

11

1 1 1R C

Y G jB jR j R R

C C C

,

f.o.U I=IR

IL

IC

I2

+

UC2

R2 I1

L1

R1

I

IR IL IC I

U R L C

+


103

e 1 2 e eY Y Y G jB .

Кога во електрично коло напонот на генераторот во колото и струјата која што тече низ него се во фаза, во колото настапува фазна резонанција. При тоа е исполнето:

0 e e e eY G jB G e 0B .

Резонантната фреквенција се добива како:

2 1e 1 2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 1

01

C LB B B

C R R L

2 11

20

2 11 22

2

13050 r/s

LR

CLL C RC

.

0 3000 r/s 0 485 Hzf .

1 2e e 1 2 2 2 2

21 12 2 2

2

0.0071 S1

R RY G G G

R L RC

.

11 0 1

0, 46 0,14 AU

I jR j L

, 2

20 2

0, 25 0,14 A1

UI j

R jC

,

1 2 e 0,71 AI I I G U .

Задача 12.6. Колото на сликата е во режим на фазна антирезонанција. Да се одреди реактансата XL. Познати се следните параметри на колото:

I1 = 10 A

I2 = 5 A

XC = 40

Решение:

При фазна антирезонанција во колото е исполнето:

0 cos 1 sin 0 . Според тоа вкупната реактивна моќност

во колото ќе е: sin 0Q UI , 2 21 2 0L CQ X I X I 2 2

1 2L CX I X I 10LX .

+U

R2

R1 XL

XCI1

I2

R


104

13. Електрични кола со индуктивно спрегнати елементи

Задача 13.1. Две намотки со индуктивности L1 и L2 густо се намотани една преку друга на исто јадро од неферомагнетен материјал, како што е покажано на сликата. Меѓусебната индуктивност на двете намотки е L12. Да се одреди еквивалентната индуктивност Le на овие намотки меѓу точките 1 и 4.

Решение:

Кога во зададеното коло меѓу точките 1 и 4 ќе се поврзе генератор на простопериодичен напон, електричната шема за колото ќе е како на следната слика:

Според еквивалентната електрична шема за колото ќе се добие бараната индуктивност:

0u 1 21 2 12 0di di di di

u L L L Ldt dt dt dt

, 1 12 22 0di

u L L Ldt

,

0e

diu L

dt 1 12 22eL L L L .

Задача 13.2. Две намотки со индуктивности L1 и L2 густо се намотани една преку друга на исто јадро од неферомагнетен материјал, како што е покажано на сликата. Меѓусебната индуктивност на двете намотки е L12. Да се одреди еквивалентната индуктивност Le на овие намотки меѓу точките а и b.

+

u Le i

•

•

1

4

+

u

L1

i •

•

1

4 L2

L12

•

•

4

3

1

2 L12

L1 L2

b

a

L12L1 L2


105

Решение:

Кога во зададеното коло меѓу точките а и b ќе се поврзе генератор на простопериодичен напон, електричната шема за колото ќе е како на следната слика:

Според еквивалентната електрична шема за колото ќе се добие бараната индуктивност:

1 2i i i 1 2di didi

dt dt dt (13.2.1)

1 21 21 0

di diu L L

dt dt (13.2.2)

2 12 12 0

di diu L L

dt dt (13.2.3)

Со решавање на системот равенки напишани според Кирхофовите закони ќе се добие:

12

21 2

1 12 2

02

L L L diu

L L L dt

, 0e

diu L

dt 12

21 2

1 12 22e

L L LL

L L L

.

Задача 13.3. Низ две индуктивно спрегнати намотки тече простопериодична струја со ефективна вредност I . Ако се познати сите параметри на колото да се одредат ABU , BCU ,

ACU , ACX и ACL за случаите дадени на сликите под а) и б).

Решение:

а)

Нека претпоставиме дека: 0 AjI Ie , тогаш бараните напони ќе се:

AB 1 1 12( )U R j L I j L I ,

AB 1 1 12U R j X X I ,

BC 2 2 12( )U R j L I j L I ,

BC 2 2 12U R j X X I ,

AC AB BC AC ACU U U R jX I ,

AC 1 2 1 12 22U R R j X X X I ,

AC 1 12 2 AC2X X X X L ,

AC 1 12 22L L L L .

+

u Le i

•

•

a

b

i1 i2

L1 L2

•

• i

+

u

•

•

a

b

L12

B• CA

R1 L1 L2 R2

I

• •

L12

f.o.I UR1

UL1

UL21 UR2

UL2

UL12 UAC

UAB

UBC


106

б)

Нека претпоставиме дека: 0 AjI Ie , тогаш бараните напони ќе се:

AB 1 1 12( )U R j L I j L I ,

AB 1 1 12U R j X X I ,

BC 2 2 12( )U R j L I j L I ,

BC 2 2 12U R j X X I ,

AC AB BC AC ACU U U R jX I ,

AC 1 2 1 12 22U R R j X X X I ,

AC 1 12 2 AC2X X X X L ,

AC 1 12 22L L L L .

Задача 13.4. За колото претставено на сликата да се одреди комплексниот претставник на напонот меѓу точките 2 и 2′. Познати се следните параметри за колото:

R1 = R2 = 3

L1 = L2 = 4

L12 = 2

U = 10 V

Решение:

Нека претпоставиме дека: 0 10 VjU Ue ,

тогаш струјата низ примарната намотка и бараниот напон:

22' 1 1 12( )U R j L I j L I и 1 1( )U R j L I ,

1 1

(1, 2 1,6) AU

I jR j L

,

10 18'22' 12 (13,2 2,4) 13,4 VjU U j L I j e .

Задача 13.5. За колото претставено на сликата да се одреди комплексниот израз за напонот меѓу точките А и B, ако се познати параметрите U, R1, L1, R2 и L12.

B• CA

R1 L1 L2 R2

I

• •

L12

+

U L1 L2L12

• • I1

R1 R2

• A

• B

+

L2

R2

I

L1

R1

•

•

L12

• 2′

1 •

1′ •

• 2

f.o.I UR1

UL1 UL21

UR2

UL2

UL12 UAC

UAB


107

Решение:

Ако во едната од две индуктивно спрегнати намотки не тече струја, тогаш во неа напонот од индуктивната спрега има повисок потенцијал кај точката, ако во намотката во која што тече струја истата влегува во точката: AB 12 1U j L I .

Нека претпоставиме дека: 0 VjU Ue , тогаш струјата низ примарната намотка е:

1 1 1 1 0U R I j L I 11 1

UI

R j L

.

1 1AB 12 1 12 2 2

1 1

( )

( )

U R j LU j L I j L

R L

2

1 12 1 12AB 2 2 2 2

1 1 1 1( ) ( )

L L R LU U j

R L R L

.

Задача 13.6. За колото претставено на сликата да се одреди еквивалентната комплексна импеданса меѓу точките А и В, ако за колото се познати следните параметри: L1, L3, R1, R3, и L13.

Решение:

За колото ќе се напишат равенките според Кирхофовите закони и со нивно решавање ќе се добие

бараната импеданса како: AB1

UZ

I .

1 2 3I I I ,

1 1 1 13 3 0U R j L I j L I ,

3 3 3 13 1 0R j L I j L I 133 1

3 3

j LI I

R j L

.

13

2 2

1 1 13 3

LU R j L I

R j L

од каде се добива 13

2 2

AB 1 11 3 3

LUZ R j L

I R j L

.

Задача 13.7. Да се одреди напонот меѓу точките А и В - ABU во колото дадено на

сликата. Познати се следните параметри за колото:

1 100 VE 0135

2 40 VjE e

1 2 1 10R R X

3 30R

12 2X

Решение:

Во изразот за напонот AB 12 1 2 2U jX I R I ќе се заменат изразите за струите:

04511

1 1

5 5 5 2 AjEI j e

R jX

,

013522

2 3

1 AjEI e

R R

, и ќе се добие:

+ L1

R1

L3

R3

•

•

L13

A •

B •

U

I1

I2

I3

•

I2

+

X2 R2

X1

R1

•

L12

I1

E1

R3

+ E2

• A B•


108

0 0 0 0 090 45 135 135 135 0AB 2 5 2 10 10 10 20cos135 10 2 10 2 Aj j j j j jU e e e e e e .

Задача 13.8. За колото претставено на сликата да се одредат комплексните претставници на струите во сите гранки и на еквивалентната импеданса во однос на генераторот, ако за колото се познати следните параметри: L1, L2, R1, R2, L12 и U. Да се одреди еквивалентната импеданса во колото ако е L12=0.

Решение:

Нека претпоставиме дека: 0 VjU Ue , еквивалентната импеданса ќе е e

UZ

I .

За колото ќе се напишат равенките според Кирхофовите закони и со нивно решавање ќе се добие еквивалентната импеданса.

1 2I I I ,

1 1 1 12 2U R j L I j L I 1 1 12 2U Z I jX I ,

2 2 2 12 1U R j L I j L I 2 2 12 1U Z I jX I ,

12

2 121 2

1 2

Z jXI U

Z Z X

,

12

1 122 2

1 2

Z jXI U

Z Z X

,

12

1 2 122

1 2 e

2Z Z j X UI U

Z Z X Z

.

12

21 2

e1 2 122

Z Z XUZ

I Z Z j X

. Ако е 12 0L импедансата ќе е: 1 2

e1 2

Z ZZ

Z Z

.

Задача 13.9. Во колото дадено на сликата да се одреди комплексната импеданса Z така

што напонот меѓу точките А и В, AB 0U , а струјата низ реактансата 3X ќе има ефективна

вредност 3 5 AI . Да се одредат комплексните претставници за струите во сите гранки и за

напонот на генераторот, ако се познати следните параметри за колото:

1 1 2 5R X X

3 4X

23 2X

Решение:

Нека претпоставиме дека: 03 3 5 AjI I e , тогаш бараната импеданса ќе се добие од

равенките според Кирхофовиот закон за напони напишани за секоја од двете контури во колото:

•

I2

+

U

L2

R2I1

L1

R1

I

•

L12

• I2

+

UX3

I3

X2

Z

•

L23

R1 X1

I1

• B

A •


109

AB 2 2 23 3 0U jX I jX I 232 3

2

2 AjX

I IjX

, што се заменува во следниот израз:

2 2 23 3 3 3 23 2Z jX I jX I jX I jX I 2 5 2 2 5 4 5 2 2Z j j j j ,

8Z j , 01 2 3 7 AjI I I e .

За напонот на генераторот ќе се добие: 1 1 1 2 (35 51) VU R jX I Z I j

etf_zbirka zadaci oe2 2014

Documents