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EVT and COPULAE:Essential Riskmanagement Tools or Just
Fads?
Paul Embrechts
ETH Zurich and London School of Economics
www.math.ethz.ch/finance/
ICBI Risk Management 2003
Geneva, December 4, 2003
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts)
Contents
A. Introduction
B. Modeling Distributions: Extreme Value Theory and Copulae
C. Quantifying Regulatory Capital for Operational Risk
D. Conclusions
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 1
A. Introduction
Three statements:
• The Bell curve is wrong? (Private Banker)
• Did you use EVT as a tool in relationship to operational risk?
(Moody’s Analytical Framework for Operational Risk Management
of Banks)
• Basel II for credit risk only uses the Gaussian copula (Dilip Madan)
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 2
Early warning and tools:
• 1997: P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch. ModellingExtremal Events for Insurance and Finance. Springer.
• 1988: P. Embrechts, A. McNeil, D. Straumann. Correlation
and dependence in risk management: properties and pitfalls.
(dependence = copula)
• 2004: P. Embrechts, R. Frey, A. McNeil. Stochastic Methods forQuantitative Risk Management. (Book project)
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 3
B. Modeling Distributions:
Extreme Value Theory and Copulae
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 4
Some statements on extremes and correlation
• “A natural consequence of the existence of a lender of last resort isthat there will be some sort of allocation of burden of risk of extremeoutcomes. Thus, central banks are led to provide what essentially amountsto catastrophic insurance coverage. . . From the point of view of therisk manager, inappropriate use of the normal distribution can leadto an understatement of risk, which must be balanced against thesignificant advantage of simplification. From the central bank’s corner, theconsequences are even more serious because we often need to concentrateon the left tail of the distribution in formulating lender-of-last-resort policies.Improving the characterization of the distribution of extreme values is ofparamount importance”
(Alan Greenspan, Joint Central Bank Research Conference, 1995)
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 5
Some statements on extremes and correlation
• “Extreme, synchronized rises and falls in financial markets occurinfrequently but they do occur. The problem with the models is thatthey did not assign a high enough chance of occurrence to the scenario inwhich many things go wrong at the same time - the “perfect storm”scenario”
(Business Week, September 1998)
• “Regulators have criticised LTCM and banks for not “stress-testing”risk models against extreme market movements. . . The markets have beenthrough the financial equivalent of several Hurricane Andrews hitting Floridaall at once. Is the appropriate response to accept that it was mere badluck to run into such a rare event - or to get new forecasting models thatassume more storms in the future?”
(The Economist, October 1998, after the LTCM rescue)
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 6
Some statements on extremes and correlation
• “. . . The trading floor is quiet. But this masks their attempt at pickingup the pieces with a new fund, JWM Partners. Now, Mr. Meriwether ispreaching new gospel: World financial markets are bound to hit extremeturbulences again. . . Mr. Meriwether’s crew, once bitten, also is bettingon more liquid securities: “With globalisation increasing, you’ll see morecrises,” he says. “Our whole focus is on the extremes now - what’s theworst that can happen to you in any situation - because we never wantto go through that again.”
(John Meriwether, The Wall Street Journal, 21/8/2000)
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 7
Some statements on extremes and correlation
• “Over the last number of years, regulators have encouraged financialentities to use portfolio theory to produce dynamic measures of risk. VaR,the product of portfolio theory, is used for short-run day-to-day profit andloss exposures. Now is the time to encourage the BIS and other regulatorybodies to support studies on stress test and concentration methodologies.Planning for crises is more important than VaR analysis. And such newmethodologies are the correct response to recent crises in the financialindustry”
(Myron Scholes, American Economic Review, May 2000)
• “Someone told me that the bell curve is wrong”
(Banker, private communication, 1999)
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Correlation confusion: in words
• “Among nine big economies, stock market correlations have averagedaround 0.5 since the 1960s. In other words, for every 1 per cent rise (orfall) in, say, American share prices, share prices in the other markets willtypically rise (fall) by 0.5 per cent”
(The Economist, 8th November 1997)
• “A correlation of 0.5 does not indicate that a return from stock-marketA will be 50% of stockmarket B’s return, or vice-versa. . . A correlationof 0.5 shows that 50% of the time the return of stockmarket A will bepositively correlated with the return of stockmarket B, and 50% of the timeit will not”
(The Economist (letter), 22nd November 1997)
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Correlation confusion: in a picture
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Messages from the methodological frontier
• Static case (time fixed)
D d = 1: Classical Extreme Value Theory (EVT)
Peaks-over-threshold method (POT)D d ≥ 2: Multivariate Extreme Value Theory (MEVT)
Copulae
• Dynamic case
D Extremes of stochastic processes in d > 1, only in rather special
cases (Gaussian, Markov, ...)
D Non-BSM models: Levy driven price processes, incompleteness
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 11
Some examples
Ê EVT - POT
Ë MEVT
Ì Copulae
and their risk management consequences
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 12
Example 1: EVT - POT
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
5010
015
020
025
0
Danish Fire Data
Time
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 13
Example 1: EVT - POT
• Notation: Mn = max(X1, . . . , Xn), Xi ∼ F ,
Fu(x) = P(X − u ≤ x|X > u)
• Fisher-Tippet theorem: Let (Xn) be a sequence of iid rvs. If there existnorming constants cn > 0, dn ∈ R and some non-degenerate df H such that
c−1n (Mn − dn) d−→ H, then H belongs to the Frechet (ξ > 0), Weibull (ξ < 0)
or Gumbel (ξ = 0) type of distributions
• Balkema-de Haan-Pickands result: For every ξ ∈ R, F ∈ MDA(Hξ) if andonly if
limu↑xF
sup0<x<xF−u
|Fu(x)−Gξ,β(u)(x)| = 0
for some positive function β and where Gξ,β(u) is the generalized Paretodistribution (GPD)
• Tail estimation: F (x) = P(X > x) ≈ Nun Gξ,β(x− u), x ≥ u .
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 14
Example 1: EVT - POT
• For (ξ > 0),
F ∈ MDA(Hξ) ⇐⇒ F (x) = x−1/ξL(x)
with L slowly varying. This means that for x > 0,
F (tx)F (t)
=P(X > tx)P(X > t)
−→ x−1/ξ, t →∞ .
• A graphical device for checking the above condition:
plot log(Fn(x)) versus log(x)
where Fn is the empirical distribution function of (X1, . . . , Xn) and
check for
(ultimate) linearity
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 15
Example 1: EVT - POT
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10 50 100
0.00
005
0.00
050
0.00
500
0.05
000
x (on log scale)
1-F
(x)
(on
log
scal
e)
99
95
99
95
99
95
p Quantile ES99.00% 27.28 58.2499.90% 94.33 191.5399.99% 304.90 610.13
EVT software: EVIS (www.math.ethz.ch/∼mcneil)
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 16
Example 1: EVT - POT
• Modeling of Operational Risk (Basel II)
pooled operational losses
1992 1994 1996 1998 2000 2002
010
2030
40
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 17
Example 2: MEVT
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USD/DEM
US
D/J
PY
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US Dollar from February 1986 up to the end of December 1998
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 18
Example 2: MEVT
• Suppose that the d-dimensional random vector X has a regularly
varying tail distribution, i.e., the tail behaviour of X is characterised
by a tail index α and the limit
P( ‖X‖ > tx,X/‖X‖ ∈ ·)P(‖X‖ > t)
v−→ x−α P(Θ ∈ ·),
where x > 0, t →∞, exists. The distribution function of Θ is the
spectral distribution of X
• Estimator:
P(Θ ∈ S) =1kn
n∑i=1
εxi/‖x‖kn,n(V (S))
where V (S) = {x ∈ Sd−1+ : x/‖x‖ ∈ S} .
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 19
Example 2: MEVT
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spec
tral d
ensit
y esti
mat
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0 Pi/2 Pi 3Pi/2 2Pi
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 20
Example 3: COPULAE
d risks X1, . . . , Xd with continuous marginal distribution functions
F1, . . . , Fd
• Given the joint law FX(x) = P(X1 ≤ x1, . . . , Xd ≤ xd), there
exists a unique function C on [0, 1]d so that
FX(x) = C(F1(x1), . . . , Fd(xd))
(a copula C is a df on [0, 1]d with uniform margins)
• Given only F1, . . . , Fd and any copula C,
C(F1(x1), . . . , Fd(xd))
yields a joint model with the prescribed margins
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 21
Why are copulae useful
• Pedagogical: “Thinking beyond linear correlation”
• Stress testing: dependence: joint extremes, spillover,
contagion, . . .
• Worst case analysis under incomplete information:
given: • Xi ∼ Fi, i = 1, . . . , d, marginal 1-period risks
• Ψ(X): a financial position
• ∆: a one-period risk or pricing measure
task: find min∆(Ψ(X)) and max ∆(Ψ(X)) under the
above constraints
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 22
Simulation study
We consider m = 10000 companies. All losses given default are one
unit; total loss is number of defaulting companies. Set π = 0.005and ρ = 0.038, these being values corresponding to a homogeneous
group of “medium” credit quality in the KMV/CreditMetrics
Gaussian approach. We set ν = 10 in the t-model and perform
100000 simulations to determine the loss distribution.
The risk is compared by comparing high quantiles of the loss
distributions (the so-called Value-at-Risk approach to measuring risk)
Results Min 25% Med Mean 75% 90% 95% Max
Gauss 1 28 43 49.8 64 90 109 331
t 0 1 9 49.9 42 132 235 3238
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 23
Many questions remain to be studied
• statistical fitting
• high-dimensional copulae
• dynamic modeling
• stylized facts on copulae
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 24
Risk management consequences
• First Fundamental Theorem of Integrated Risk Management(1FTIRM): For elliptically distributed risk vectors, classical IRM
tools like VaR, Markowitz portfolio approach, work fine
Recall:
D Y in Rd is spherical if Y d= UY for all orthogonal matrices U
D X = AY + b, A ∈ Rd×d, b ∈ Rd is called elliptical
D Let Z ∼ Nd(0,Σ), W ≥ 0, independent of Z, then
X = µ + WZ
is elliptical (multivariate normal variance-mixtures)
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 25
Risk management consequences
• If one takes
W =√
ν/V , V ∼ χ2ν, then X is multivariate tν
W normal inverse Gaussian, then X is generalized hyperbolic
• 2FTIRM: (much more important!)
For non-elliptically distributed risk vectors, 1FTIRM breaks down:
- VaR is typically non-subadditive
- risk capital allocation is non-consistent
- portfolio optimization is risk-measure dependent
- correlation based methods are insufficient
• A(n early) stylized fact:
In practice, portfolio risk factors typically are non-elliptical
Question: are these deviations relevant, important?
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 26
Some common fallacies
(often appearing in disguise!)
• Fallacy 1: Marginal distributions and their correlation matrix
uniquely determine the joint distribution
True for elliptical families, wrong in general (copulae)
• Fallacy 2: Given two one-period risks X1, X2, VaR(X1 + X2) is
maximal for the case where the correlation ρ(X1, X2) is maximal
True for elliptical families, wrong in general (non-coherence of
VaR)
• Fallacy 3: Small correlation ρ(X1, X2) implies that X1 and X2
are close to being independent
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 27
An example concerning fallacy 3
• Two country risks X1 and X2
- Z ∼ N(0, 1), U ∼ UNIF({−1,+1}), P(U = −1) = 1/2 = P (U = 1)U stands for an economic stress generator, independent of Z
- As a consequence:
X1 = Z ∼ N(0, 1) , X2 = UZ ∼ N(0, 1)
- Moreover:
Cov(X1, X2) = E(X1X2) = E(UZ2) = E(U)E(Z2) = 0
Hence ρ(X1, X2) = 0 .- However, X1 and X2 are strongly dependent: with 50% probability
comonotone, with 50% countermonotone- Also note that X1 + X2 = Z(1 + U) is not normally distributed
• This Example can be made much more realistic
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 28
C. Quantifying Regulatory Capital for
Operational Risk
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 29
The New Accord (Basel II)
• 1988: Basel Accord (Basel I): minimum capital requirements
against credit risk. One standardised approach
• 1996: Amendment to Basel I: market risk.
• 1999: First Consultative Paper on the New Accord (Basel II).
• to date: CP3: Third Consultative Paper on the
New Basel Capital Accord. (www.bis.org/bcbs/bcbscp3.htmcp3)
• end of 2003 (?): Revision of CP3
• end of 2006 (?): full implementation of Basel II ([10])
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 30
What’s new?
• Rationale for the New Accord: More flexibility and risk sensitivity
• Structure of the New Accord: Three-pillar framework:
Ê Pillar 1: minimal capital requirements (risk measurement)
Ë Pillar 2: supervisory review of capital adequacy
Ì Pillar 3: public disclosure
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What’s new? (cont’d)
• Two options for the measurement of credit risk:
D Standard approach
D Internal rating based approach (IRB)
• Pillar 1 sets out the minimum capital requirements:
total amount of capital
risk-weighted assets≥ 8%
• MRC (minimum regulatory capital)def= 8% of risk-weighted assets
• Explicit treatment of operational risk (the risk of losses resultingfrom inadequate or failed internal processes, people and systems,or external events)
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What’s new? (cont’d)
• Notation: COP: capital charge for operational risk
• Target: COP ≈ 12% of MRC
• Estimated total losses in the US (2001): $50b
• Some examples
D 1977: Credit Suisse Chiasso-affair
D 1995: Nick Leeson/Barings Bank, £1.3b
D 2001: Enron (largest US bankruptcy so far)
D 2003: Banque Cantonale de Vaudoise, KBV Winterthur
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Risk measurement methods for OP risks
Pillar 1 regulatory minimal capital requirements for operational risk:
Three distinct approaches:
Ê Basic Indicator Approach
Ë Standardised Approach
Ì Advanced Measurement Approaches (AMA)
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Basic Indicator Approach
• Capital charge:
CBIAOP = α×GI
• CBIAOP : capital charge under the Basic Indicator Approach
• GI: average annual gross income over the previous three years
• α = 15% (set by the Committee)
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Standardised Approach
• Similar to the BIA, but on the level of each business line:
CSAOP =
8∑i=1
βi ×GIi
βi ∈ [12%, 18%], i = 1, 2, . . . , 8.
• 8 business lines:
Corporate finance Payment & Settlement
Trading & sales Agency Services
Retail banking Asset management
Commercial banking Retail brokerage
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Advanced Measurement Approaches (AMA)
• Allows banks to use their internally generated risk estimates
• Preconditions: Bank must meet qualitative and quantitative
standards before using the AMA
• Risk mitigation via insurance allowed
• AMA1: Internal measurement approach
• AMA2: Loss distribution approach
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Internal Measurement Approach
• Capital charge:
C IMAOP =
8∑i=1
7∑k=1
γik eik
eik: expected loss for business line i, risk type k
γik: scaling factor
• 7 loss types: Internal fraud
External fraud
Employment practices and workplace safety
Clients, products & business practices
Damage to physical assets
Business disruption and system failures
Execution, delivery & process management
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Loss Distribution Approach
• For each business line/risk type cell (i, k) one models
LT+1i,k : OP risk loss for business line/risk type cell (i, k) over
the period [T, T + 1].
Lti,k =
Nti,k∑
`=1
X`i,k
COPi,k = g(Lt+1
i,k ) =
F←Lt+1(α) = VaRα(Lt+1)
ESα(Lt+1) = E[Lt+1|Lt+1 > VaRα(Lt+1)]
COP =∑i,k
g(Lt+1i,k ) (perfect correlation)
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Some datatype 1
1992 1994 1996 1998 2000 2002
010
2030
40
type 2
1992 1994 1996 1998 2000 2002
05
1015
20
type 3
1992 1994 1996 1998 2000 2002
02
46
8
pooled operational losses
1992 1994 1996 1998 2000 2002
010
2030
40
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Modelling issues
• Stylized facts about OP risk losses
D Loss occurrence times are irregularly spaced in time
(selection bias, economic cycles, regulation, management interactions,. . . )
D Loss amounts show extremes
• Large losses are of main concern!
• Repetitive vs non-repetitive losses
• Warning flag: Are observations in line with modeling assumptions?
• Example: “iid” assumption implies
D NO structural changes in the data as time evolves
D Irrelevance of which loss is denoted X1, which one X2,. . .
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The Problem
• In-sample estimation of VaRα(Lt+1) (α large) impossible!
• Estimation of the (far-) tail of Lt via subcategories:
L =N∑
`=1
Y` , 1− FY (x) ∼ x−αh(x) , x →∞
Ü 1− FL(x) ∼ E[N ]x−αh(x) , x →∞
• Standard actuarial techniques:
D Approximation (translated gamma/lognormal)
D Inversion methods (FFT)
D Recursive methods (Panjer)
D Simulation
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How accurate are VaR-estimates?
• Assumptions:
D (Lm) iid ∼ F
D For some ξ, β and u large (Gξ,β: GPD):
Fu(x) := P(L− u ≤ x|L > u) = Gξ,β(u)(x)
• Tail- and quantile estimate:
1− FL(x) =Nu
n
(1 + ξ
x− u
β
)−1/ξ
, x > u.
VaRα = qα = u− β
ξ
(1−
( Nu
n(1− α)
)ξ ) (1)
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How accurate are VaR-estimates? (cont’d)
• Idea: Comparison of estimated quantiles with the corresponding
theoretical ones by means of a simulation study ([9]).
• Simulation procedure:
Ê Choose F and fix α0 < α < 1, Nu (# of data points above u)
Ë Calculate u = qα0 and the true value of the quantile qα
Ì Sample Nu independent points of F above u by the rejection method. Recordthe total number n of sampled points this requires
Í Estimate ξ, β by fitting the GPD to the Nu exceedances over u by means ofMLE.
Î Determine qα according to (1)
Ï Repeat N times the above to arrive at estimates of Bias(qα) and SE(qα)
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How accurate are VaR-estimates? (cont’d)
• Accuracy of the quantile estimate expressed in terms of bias and
standard error:
Bias(qα) = E[qα − qα], SE(qα) = E[(qα − qα)2
]1/2
Bias =1N
N∑j=1
qjα − qα SE =
( 1N
N∑j=1
(qjα − qα)2
)1/2
• Ideally, Bias AND SE small
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Example: Pareto distribution with θ = 2
u = F←(xq) α Goodness of VaRα
0.99 A minimum number of 100 exceedances(corresponding to 333 observations) is requiredto ensure accuracy wrt bias and standard error.
q = 0.70.999 A minimum number of 200 exceedances
(corresponding to 667 observations) is requiredto ensure accuracy wrt bias and standard error.
0.99 Full accuracy can be achieved with the minimumnumber 25 of exceedances (corresponding to 250observations).
q = 0.90.999 A minimum number of 100 exceedances
(corresponding to 1000 observations) is requiredto ensure accuracy wrt bias and standard error.
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Example: Pareto distribution with θ = 1
u = F←(xq) α Goodness of VaRα
0.99 For all number of exceedances up to 200(corresponding to a minimum of 667 observations)the VaR estimates fail to meet the accuracycriteria.
q = 0.70.999 For all number of exceedances up to 200
(corresponding to a minimum of 667 observations)the VaR estimates fail to meet the accuracycriteria.
0.99 A minimum number of 100 exceedances(corresponding to 1000 observations) is requiredto ensure accuracy wrt bias and standard error.
q = 0.90.999 A minimum number of 200 exceedances
(corresponding to 2000 observations) is requiredto ensure accuracy wrt bias and standard error.
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How accurate are VaR-estimates? (cont’d)
• Minimum number of observations increases as the tails become
thicker ([9]).
• Large number of observations necessary to achieve targeted
accuracy.
• Remember: The simulation study was done under idealistic
assumptions. OP risk losses, however, typically do NOT fulfil
these assumptions.
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Conclusions
• OP risk 6=market risk, credit risk
• “Multiplicative structure” of OP risk losses ([8])
S × T ×M (Selection-Training-Monitoring)
• Actuarial methods (including EVT) aiming to derive capital charges
are of limited use due to
D lack of data
D inconsistency of the data with the modeling assumptions
• OP risk loss databases must grow
• Sharing/pooling internal operational risk data?
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Conclusions (cont’d)
• Choice of risk measure?
• Heavy-tailed ruin estimation for general risk processes ([7])
• Alternatives?
D Insurance. Example: FIORI, Swiss Re (Financial Institution
Operating Risk Insurance)
D Securitization / Capital market products
• OP risk charges can not be based on statistical modeling alone
I Pillar 2 (overall OP risk management such as analysis of causes,
prevention, . . . ) more important than Pillar 1
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References
[1] Basel Committee on Banking Supervision. The New Basel Capital Accord.April 2003. BIS, Basel, Switzerland, www.bis.org/bcbs
[2] Various papers on www.math.ethz.ch/∼embrechts
[3] Embrechts, P., Furrer, H.J., and Kaufmann, R. (2003). Quantifying RegulatoryCapital for Operational Risk. To appear in Derivatives Use, Trading andRegulation. Also available on www.bis.org/bcbs/cp3comments.htm
[4] Embrechts, P., Frey, R., and McNeil, A. (2004). Stochastic Methods forQuantitative Risk Management. To appear.
[5] Embrechts, P., Kaufmann, R., and Samorodnitsky, G. (2002). Ruin theoryrevisited: stochastic models for operational risk. Submitted.
[6] Embrechts, P., Kluppelberg, C., and Mikosch, T. (1997). Modelling ExtremalEvents for Insurance and Finance. Springer, Berlin.
c©2003 RiskLab (Paul Embrechts) 51
[7] Embrechts, P., and Samorodnitsky, G. (2003). Ruin problem and how faststochastic processes mix. Annals of Applied Probability, Vol. 13, 1-36.
[8] Geiger, H. (2000). Regulating and Supervising Operational Risk for Banks.Working paper, University of Zurich.
[9] McNeil, A. J., and Saladin, T. (1997). The peaks over thresholds methodfor estimating high quantiles of loss distributions. Proceedings of XXVIIthInternational ASTIN Colloquium, Cairns, Australia, 23-43.
[10] The Economist (2003). Blockage in Basel. Vol. 369, No 8344, October 2003.
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D. Conclusions
• Questions in Quantitative Risk Management are directly concerned
with extremes and dependence
• EVT (stochastic theory of extremal events) and Copulae (joint
distributions) are canonical tools
• These tools should not be used blindly
• Always check necessary conditions
• They are essential Risk Management tools
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