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Exercices résolus de mathématiques.

ANA 39

EXANA390 – EXANA399

http://www.matheux.c.la

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Nicole Berckmans – Jan Frans Broeck

Fabienne Zoetard

Octobre 2014

http://www.matheux.c.la/



EXANA390 – EPL, UCL, LLN, juillet 2014 série 2.

2

1 Soit : , une fonction continue telle que et . Démontrer

qu'il existe un nombre réel , tel que

2 Calculer la primitive suivante :

ln 1

3 Etudier la limite à l'origine de la foncti

f a b a f a f b b

c a b f c c

x dx

2 2

2

3 4

on

sin sin

pour un paramètre fixe tel que cos 0.

4 La région du premier quadrant délimitée par le graphique de l'équation 2

et l'axe des , en tournant autour de l'axe des , engendre

x a af x

x

a a

x y y

y x

un solide de révolution.

Etablir l'intégrale du volume de ce solide (Il n'est pas demandé de calculer cette

intégrale).

Solution proposée par Nicole Berckmans



1 Soit : , :

0 est continue car l'est. De plus

0

En vertu du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue, on peut dire

qu'il existe , tel que g

g a b x g x f x x

g a f a ag f

g b f b b

c a b c

2

2

2

2 22 2

2 2 2

2

2 2

20

0 c'est-à-dire

' 1

2 ln 1 On choisit : 2ln 1 '

1

1 1.ln 1 2 .ln 1 2 2

1 1 1

.ln 1 2 2arctan

sin sin 03 lim

0x

Hospital

f c c

f x f x x

I x dx xg x x g x

x

x xI x x dx x x dx dx

x x x

x x x x k

x a a

x

0 0

00

00

2sin cos sin 2 2 sin 2lim lim

2 2 0

sin 2 2lim

2Si sin 2 0 alors n'existe pas car

sin 2 2lim

2

Si sin 2 0 alors n'existe pas, vu un raisonnement analog

x x

xx

xx

x a x a x a aL

x x

x a

xa L

x a

x

a L

2 2 2

2 22

20 0 0

ue.

Si sin 2 2sin cos 0 alors sin 0 car dans l'énoncé on précise que cos 0

Donc , sin sin et sin 0

sin 0 sin sinDès lors : lim lim lim 1

4 Cette question est HOR

x x x

a a a a a

a k x k x a

x x x

x x x

S MATIERE et a finalement été annulée.

Compléments par Jacques Collot



La question 4 est hors matière. Pour ceux que cela pourrait intéresser, voici une méthode

qui permet de répondre à la question. Cette méthode ne fait PAS partie de la matière à

connaître pour l'examen.

3 4

Méthode des tubes

Soit la courbe 2 . Cette courbe coupe l'axe des en 0 et 2.

est représentée à la Fig 3. Considérons la surface sombre d'épaisseur infiniment

petite , située à une dist

x y y y y y

dy

C

C

ance de l'axe des et de côtés parallèles à l'axe des .

Comme est infiniment petit, on peut assimiler cette surface à un rectangle de hauteur

et de longueur . Si on fait tourner ce rectangle au

y x x

dy dy

x tour de l'axe des , il va engendrer un

volume semblable à un tube. Le volume de ce tube peut être approximé par un parallélépipède

rectangle de hauteur , de longueur 2 (longueur de la circonférence

x

x y

3 4 3 4

23 4

0

) et d'épaisseur .(Fig 4)

2 . .

Or 2 2 2

Le volume engendré par la courbe peut être considéré comme une somme infinie de tubes :

642 2

15

dy

dV y x dy

x y y dV y y y dy

V y y y dy

C

25 octobre 2014




2

2

On considère la fonction définie par

2

1

1 Etudier les variations de et tracer sa courbe représentative . On précisera

le domaine de définition de , les éventuelles asymptotes, les domain

x

x

f

f

ef x x

e

f

f

C

es de

croissance et de décroissance et les extréma éventuels (on n'étudiera pas la

concavité ni les points d'inflexion).

2 En déduire que l'équation 0 admet un racine unique 3 / 2,2 .

3 Démontrer que le

f x

point 0,1 est un centre de symétrie pour la courbe .

4 Calculer l'aire du domaine délimité par , la droite d'équation 2,

l'axe et la droite d'équation 1.

f

f

I

y x

y x

C

A C


2 2

2 2

2

1 Dom . est continue sur son domaine, il n'y a donc pas d'asymptote verticale.

lim 2

2 2car lim lim . 2

11 1

En + , on a une asymptote oblique d'équation 2

x

x x

x xx x

x

f f

f x

e e

e e

e

y

2

2

2

2

22

22

car

2lim 2 lim 2 0

1

En - , on a une asymptote oblique d'équation car

2lim lim 0

1

01

2 ' 0 et s'annule pour 0 ' 01

1

Tangente horizontale en 0

x

xx x

x

xx x

x

x

x

ef x x

e

y x

ef x x

e

ef x x f

ef

3 33 3

3 3

4

,1

3 2 3 30 car 2 8 3

2 1 2 2 1

22 0.

1

3En vertu du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur , 2

2

3on peut affirmer qu'il existe α ,2 tel que

2

e ef e

e e

fe

0. Cette racine est unique car

sur cet intervalle est strictement décroissante ' 0 .

f

f f



2

2 2

2

2

3 0,1 est centre de symétrie pour la courbe.

1: La fonction 1 est un fonction impaire

2 21 1

1 1En effet :

21 1

1

On montre assez f

x

x x

x

x

I

Démonstration g x f x g x g x

eg x x x

e e

eg x f x x

e

2

2

2

2

acilement que .

2 : Soient : , et ' ,

Si est centre de symétrie alors : ' 2

2,

1' 0,2 2

2' ,

1

2car

x

x

x

x

g x g x

Démonstration M x f x M x f x

I M M I

eM x x

eM M I

eM x x

e

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 1 12

1 1 1 . 1

1 12 2

1 1

x x x x x x

x x x x

x x

x x

e e e e e ex x

e e e e

e e

e e



2 211 1

202 20 0

22 2 2

2

2 24 2 2 2 ln 1

1 1

22 ln 1 0 ln 2 ln ln 1 ln 2 ln

1

x xx

x x

e eA x x dx dx x e

e e

ee e e

e

25 octobre 2014




Les ingénieurs de Louvain-la-Neuve ont mis au point une nouvelle centrale à la kryptonite.

Ils ont établi un modèle décrivant la puissance (en GWatts) que peut fournir la centrale

en fonction de la

W

1

200

température (en °C) et de la pression (en bars) utilisées :

où = est un paramètre constant.

Pour fonctionner correctement, la centrale doit cependant satisfaire à des contraintes de

te

aT

T P

eW

P

a

mpérature et pression minimales :

La température doit être supérieure à 0°C : 0

La pression doit atteindre une valeur minimale dépendant de la température

1204 pour 0 200

4

1pour 200

2

L

T

P T T

P T

'objectif de ce problème est de déterminer les valeurs de température et pression fournissant

la plus grande puissance, dans les limites fixées par les contraintes de fonctionnement de

la centrale.

1 Démontrez que, pour une température fixée 0, la puissance est une

fonction strictement décroissante de la pression. En déduire la valeur de pression

à choisir, en fonction de la température, pour maxim

T W

iser la puissance.

2 Réécrire le modèle décrivant la puissance en fonction seulement de la

température , sous l'hypothèse du choix de pression obtenu au point 1 .

Aide : Séparer la fonction en 2 partie

W

T

s selon que 0 200 ou 200.

3 Déterminez les valeurs de et qui maximisent la puissance sous les

contraintes de fonctionnement.

T T

T P W


2

1 Si alors 0

Donc il faut chosir minimum pour que soit maximum.

1Si 0 200 alors 204

4

1Si 200 alors

2

1Rem : si 200 alors

2

aT aTe dW eW

P dP P

P W

T P T

T P

T P



3

2

200

3 3

2 2

1 42 Si 0 200 alors 204

4 204

4 1 2204 2 204 1

204 2 204 204

2 2 1042 2 .204 1 .

100204 204

0 104 200

0

Si 200 2 et 2

aT

aT aT

T

aT

aT aT

eT P T W

T

dW e ea T a T

dT T T T

e e TaT a

T T

T

dW

dT

W

dWT W T e ae

dT

. est une fonction décroissante.W

0 104 2003

2 0.4 20 0.28, 104 0.24, 200 0.74

51

Donc est maximum pour 200 et 1 / 2 bars

T

W T Min Max

W W Wee

W T P

25 octobre 2014



EXANA393 – EPL, UCL, LLN, septembre 2014.

31

41

2

1

1 Soit 2 fonctions et à valeurs dans l'intervalle 0,1 , telles que lim 1.

Démontrer que lim lim 1

2 Calculer les deux intégrales suivantes :

a1

1b

1

3 Soit une fon

x

x x

x

f g f x g x

f x g x

xdx

x

dxe

f

ction continue sur dont le tableau de variation est donné par le tableau

suivant :

1 2

3

0 1

Déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

0, 1, 2.

Justifier.

x

f

f x f x f x

Solution proposée par Louis François



1 Le produit de 2 réels positifs, inférieurs à 1 est plus petit que chacun de ses facteurs.

Donc pour tout : . 1 et . 1.

Or lim . 1 et lim 1 1.

Donc en vertu du théorème du sandwic

x x

x f x g x f x f x g x g x

f x g x

3 31

4 41

34

4

2

12

1

lim 1h :

lim 1

2 a 0 car est impaire sur 1,11 1

1Rem : ln 1

1 4

ln

1b . Soit

12

1

L'intégrale devient :

1 1

1

x

x

x

x

f x

g x

x xdx

x x

xdx x k

x

x t

dtdx

tdx e te

x t e

x t e

dt

t t t

2 2 2

11 1

2

2

ln ln 11

1 12 ln 1 1 ln 1 2 ln

1

e e e

ee e

dx t tt

ee

e e

25 octobre 2014




2

On considère la fonction définie par

1

2 ln

1 Etudier les variation de et tracer sa courbe représentative . On précisera le

domaine de définition de , les éventuelles asymptotes, les domaines

f

f

f xx x

f

f

C

de corissance

et de décroissance et les extrema éventuels (on n'étudiera pas la concavité ni les

points d'inflexion).

2 Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses

et le

fA C

2s droites d'équation et , avec

3 En déduire lime

e

e

e

x e x e e

A


2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2 22

2

ln 01 Dom :

2 ln 0 2 ln 2

est continue sur ,

1lim

0

1lim

0

1 1 1' . 2 ln . . 2 ln .

2 2 ln2 ln

ln ln 2...

x e

x e

x xf e x e

x x

f e e

f AV x e

f AV x e

f x x x xxxx x

x x

3

2 2 2

2

2

2 2

2 2

2 ln

ln 1ln ln 2 0 a pour racines

ln 2

Le signe de ' est le signe de ln ln 2 0 sur le domaine mais est

hors domaine car 2 2.

1' 0 avec min : ,

min

x x

x x ex x

x x e

f x x e

x e e e

f ee

f



2

ln

2

lnln ln

2 21 11

1

2 On pose : ln12 ln

ln

1

ln2 arcsin arcsin42 22

12

3 lim arcsin14 2 4 4

e

x e

dxdt

xx dx x tx e tx

x t

dtdt t

t t

A

A

A

25 octobre 2014




Roger va rejoindre sa petite amie Mirka qui habite dans la vallée voisine. Le trajet jusqu'au

point de rendez-vous est constitué de 10 km de montée régulière à 10% suivis de 10 km de

descente régulière

3

à 10%. Roger démarre à 11h40 et voudrait arriver précisément à midi,

l'heure de rendez-vous. La consommation de sa voiture peut être calculée par la formule

suivante :

1 , l / 100 km100

pour une

pC v

1

2

vitesse km/h supposée constante sur une pente (exprimée en pourcents)

supposée constante. Roger roule à vitess constante sur le premier tronçon du trajet, et

une vitesse sur le second. L'obje

v p

v

v

ctif de cette question est de déterminer le choix

optimal de ces vitesses pour minimiser la consommation tout en arrivant exactement à

l'heure.

1 Exprimez la consommation totale en fonction des vitesses v

1 2

1 2

2 1

et .

2 Exprimez le lien entre et nécessaire pour assurer l'heure d'arrivée exacte.

3 Substituez en fonction de dans l'expression de la consommation pour

obtenir uen expression dépendant de

v

v v

v v

v

1

1 2

seulement.

4 Déterminez les valeurs optimales de et minimisant la consommation.v v




3 3

1 2 1 2

1 2

1 2

3 31 1 12 1 1

2 1 1 1 1

1

112

1

3 1 11

1 11 1

1 , 1.1 0.9

10 10 12 . ; 20' Unités : km, heure

3

10 1 10 30 30 303 1.1 0.9

3 3 30 30

0

4 30300

30

30 30 301 1 305 1.1

2 302

C v v v v

e v t t tv v

v v vv C v v

v v v v v

v

vvv

v

v vdC v

dv vv v

3

2

43 3 3 311

2 4

11 11 1

3

3

11

1

1 1 1

1 2

1

0.930

30 .301 30 900 11.1 0.9 1.1 0.9

302 230 30 30

1 301.1 0.9

302

11 30 30 121 3 600 30

9 30 30 81 2 3

30 5050 km/h 7.5 km/h

20

vv

vv vv v

vv

dCv

dv v v

v v

v

1

30 50

/ 0

min

dC dv

C

25 octobre 2014



EXANA396 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2014.

2 2

Rechercher l'ensemble des fonctions , définies et dérivables sur 0; , vérifiant

les deux conditions suivantes :

1. pour tout réel strictement positif,

. ' ,

2. pour tout nombre réel stricte

x

f x

x

x f x f x x e

ment positif,

g ,

si est une fonction définie sur le même intervalle.

f xx

x

g x

2 2

2 2 2

2

2

2

On a donc à partir de la deuxième condition :

. . '

On remplace dans la première condition :

. ' .

. '

'

1avec

2

1. 0;

2

On vérifie fac

x

x

x

x

x

x g x f x g x x g x f x

x g x x g x x g x x e

x g x x e

g x e

g x e C C

f x C x xe x

2 2 2 2

ilement que :

1 1. . ' .

2 2

x x xx C x xe C x xe x e

12 novembre 2014



EXANA397- EPL, UCL, LLN, juillet 2014 série 1.

1 2 0

1log

Soient ln et avec \ 1log

1. Représenter graphiquement ces deux fonctions.

2. Que doit valoir le paramètre afin que la surface déterminée par le contour

résultant de l'int

x

a

a

axf x ax f ae

a

1 2ersection des courbes et soit égale à 1?f x f x

Solution proposée par Fabienne Zoetard



2

2 1

1 2

Transformons d'abord

1 lnlog

log ln. lnlnlog log

ln

et sont donc symétriques par rapport à l'axe des . Elles se coupent sur l'axe des .

Calculons les racine

x

aa

a a

f

axx axax af x x x ax f x

ee e

a

f f x x

1

1/

0

2 2 2

2

0 A rejeter car hors domaine.

s de : ln 0 1ln 0 1

La surface cherchée sera donc égale à 2 ln .

Calculons d'abord ln .

1ln '

1ln . ln

2 2 2'

2

a

x

f x axax ax x

a

S S x ax dx

I x ax dx

u ax ux x xx

I ax dx axx

v x v

2

1/ 1/2 2 2

2 20 00

0

4

Pour calculer , notons d'abord que ln n'est pas défini en 0.

1 1Calculons donc 2 lim ln 2 ln1 lim ln

2 4 2 2 4

La limite v

a a

b bb

xx C

S ax x

x x bS ax ab

a a

2

Hospital 2

0 0 0 0

2 3

2 2

1.

lnaut lim ln lim lim lim 0

2 42

1 1 2Par conséquent : . Nous devons avoir 1 1

2 2 2

b b b b

ab ab abab b

b b

S S aa a

13 novembre 2014



EXANA398 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014.

La fonction , appelée tangente hyperbolique, est définie par

Déterminer le domaine de définition de la fonction , ses éventuelles asymptotes ainsi

que les éventuels extrema et point

x x

x x

th

e eth x

e e

th

s d'inflexion de son graphe. Sur base des résultats

obtenus, esquisser le graphe de .th x

Nous reprenons la solution proposée par l’université : Prof. Eric J.M. DELHEZ et Prof.

Vincent DENOEL. http://www.facsa.ulg.ac.be/upload/docs/attachment/pdf/2014-

08/admissionanalyse_ju14.pdf


http://www.facsa.ulg.ac.be/upload/docs/attachment/pdf/2014-08/admissionanalyse_ju14.pdf



20 novembre 2014



EXANA399 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2014.

1

20

0 1 2 3

2

On considère les intégrales

,1

a Calculer , , et .

b Montrer que

, 2

où est une fonction de à déterminer.

n

n

n n

xI dx n

x

I I I I

I f n I n

f n n

Nous reprenons la solution proposée par l’université : Prof. Eric J.M. DELHEZ et Prof.

Vincent DENOEL. http://www.facsa.ulg.ac.be/upload/docs/attachment/pdf/2014-

08/admissionanalyse_ju14.pdf





20 novembre 2014


exalg020 – mons, questions-types, 2000-2001 · 2020-02-14 · - ana 39 - 2 - exana390 – epl,...

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