examen de septiembre de 2010 - universidade de...
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Análisisdecircuitos.Examendeseptiembrede2010
EnriqueSánchez.Dpto.TeoríadelaSeñalyComunicaciones.ETSIT‐Vigo.IngenieríaTécnicadeTelecomunicación
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Examendeseptiembrede2010
Soluciones
Análisisdecircuitos
IngenieríaTécnicadeTelecomunicaciónPrimercurso
Añoacadémico2009‐10
EnriqueSánchezDepartamentodeTeoríadelaSeñalyComunicaciones
EscuelaTécnicaSuperiordeIngenierosdeTelecomunicaciónUNIVERSIDADDEVIGO
correoelectrónico:[email protected]
Sitiosweb:http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/index.html
http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/acGDAF.html
http://www.tsc.uvigo.es
http://www.teleco.uvigo.es
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PROBLEMA1
a. Enelcircuitodelafigura,enelquelafuenteindependienteescontinuade
valor VG, no se producen más cambios después de la apertura delinterruptor.
b. HalladlosvaloresdevC,iC,vLeiLparat=0‐,t=0+yt=∞(1.2puntos).c. Hallad las ecuaciones diferenciales que rigen la evolución de vC(t) e iL(t)
parat≥0s(0.8puntos).d. La fuente independiente continua es sustituida por otra variable con el
tiempo,vG(t), la fuentedependienteesdejadaencircuitoabierto (entregauna corriente nula) y el interruptor permanece cerrado. En estascondiciones,halladlafuncióndetransferenciaparat≥0s,estandoaquélladefinidacomo
€
H(s)=V0(s)VG(s)
siendoVO(s)yVG(s),respectivamente,lastransformadasdeLaplacedevO(t)yvG(t).Sielcircuitosecomportacomounfiltro,¿aquétipocorresponde?(1.2puntos).
e. Enlascondicionesdelapartadoanterior,obtenedlaexpresióntemporalenrégimenpermanentedevO(t)parat≥0s(0.8puntos)sabiendoquevG(t)ylafuncióndetransferenciadelcircuitoson
€
vG(t)= 3cos 2 ×103 (rad/s)t + 45 °[ ] V H(s)=2×106
s2 + 3×103s + 2×106
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PROBLEMA1,apartadoaPara t = 0‐ s, el circuito está en régimen permanente continuo, con lo que la
corrienteenlacapacidadylatensiónenlainductanciasonnulas.Esdecir,
€
iC(0− )= 0 A vL(0
− )= 0 V
Además,secumplenlasrelacionesqueseindicanseguidamente.
€
VG =[iL(0− )+ iC(0
− )]R + vL(0− )+ riL(0
− ) ⇒ iL(0−)=
VGR + r
€
vC(0− )= vL(0
− )+ riL(0− ) ⇒ vC(0
− )=rVGR + r
Parat=0+s,hademantenerselacontinuidaddelatensiónenlacapacidadydelacorrienteenlainductancia,conloque
€
vC(0+ )= vC(0
− )=rVGR + r
⇒ iL(0+)= iL(0
− )=VGR + r
Además,secumplenlasrelaciones
€
vL(0+ )= vC(0
+ )− riL(0+ )=0 V ⇒ iC(0
+ )= − iL(0− )= −
VGR + r
Ent=∞selcircuitoestáenrégimenpermanentecontinuo,locualsignificaquela capacidad y la inductancia son, respectivamente, un circuito abierto y uncortocircuito.Esdecir,
€
iC(∞)= 0 A vL(∞)= 0 V
Además,
€
iL(∞)= − iC(∞)= 0 A vC(∞)= vL(∞)+ riL(∞)= 0 V
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PROBLEMA1,apartadobEnelcircuito,parat≥0sseverificanlassiguientesecuaciones:
€
iL(t)+ iC(t)= 0
€
vC(t)= vL(t)+ riL(t)
(1a)
(1b)
Lasrelacionesfuncionalescorrespondientesalosdoselementosreactivosson
€
iC(t)=CdvC(t)dt
vL(t)= LdiL(t)dt
Sustituyendolaprimeraen(1a)ylasegundayelresultadoen(1b),seobtiene
€
iL(t)= −CdvC(t)dt
€
LCd2vC(t)dt2
+ rCdvC(t)dt
+ vC(t)= 0
(2)
(3a)
Sustituyendo la primera relación funcional en (1a) y la segunda en (1b), seobtiene
€
LCd2iL(t)dt2
+ rCdiL(t)dt
+ iL(t)= 0 (3b)
Lasexpresiones(3)sonlasecuacionesdiferencialesbuscadas.
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PROBLEMA1,apartadoc
Sustituyendo L y C por sus correspondientes impedancias de Laplace (sL y1/(sC),respectivamente)yaplicandoanálisispornudos,seobtiene
€
VG(s)− VC(s)R
= VC(s) sC+1
sL + R
⇒ VC(s)=
VG(s)R
1R
+ sC+1
sL + R
VO(s)=VC(s)RsL + R
⇒VO(s)VG(s)
=
1LC
s2 +1RC
+RL
s +
2LC
La respuesta en frecuencia del circuito se obtiene a partir del módulo de sufuncióndetransferencia,llegándoseaque
€
H(s)=VO(s)VG(s)
⇒ H(jω) = H(s)s=jω
=
1LC
2LC
−ω2
2
+1RC
+RL
ω
2
ω→ 0 rad/s ⇒ H(jω)→ 12
ω intermedia ⇒ valor finito de H(jω)
ω→∞ rad/s ⇒ H(jω)→ 0
Luegoelcircuitosecomportacomounfiltropasobajo.
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PROBLEMA1,apartadod
Puesto que se pregunta por el comportamiento en régimen permanente, seprescindedelaconsideracióndelrégimentransitorio.
Porunlado,setiene
€
vG(t)= Acos(ωpt + ϕ)= 3cos 2 ×103 (rad/s)t + 45 °[ ] V ⇒
A = 3Vωp = 2 ×103 rad/s
ϕ = 45 °
Porotro,
€
H(jω) =2×106
(2×106 −ω2)2 + 9×106ω2θ(jω)= − arctg 3×103ω
2×106 −ω2
Enconsecuencia,larespuestabuscadaes
€
vO(t)= AH(jω)ω=ωp
cos[ωpt + ϕ + θ(jω)]= 2 cos 2 ×103(rad/s)t − 45 °[ ] V
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PROBLEMA2
Elcircuitodelafigura,encuyarepresentaciónsehautilizadonotaciónfasorial,
funcionaenrégimensinusoidalpermanenteaunafrecuenciaangularω.
a. Escribid un sistema algebraico de cuatro ecuaciones a partir del cual seaposibledeterminar losvaloresdeIG,Ia,IbeIc.Noobtengáis losvaloresdeestosfasores(0.8puntos).
b. Suponiendoconocidoelvalorde Ia,obtened la tensiónenCcy lapotenciacompleja en la misma capacidad. No desarrolléis los cálculos; basta condejarlosindicados(0.4puntos).
c. Obtenedlosparámetrosdeimpedanciadelcuadripoloabcd;enloposible,agrupadimpedanciassindesarrollarloscálculoshastaobtenerexpresionesfinales.¿Puedesersimétricoestecuadripolo?(0.6puntos).
d. Suponiendoqueloselementosdelcircuitotienenlosvaloresindicadosmásabajo,calculadelequivalentedeThéveninenbornasdeLa(0.6puntos).
€
vG(t) = VAC cos(ωt + ϕ) RG = 0.5 Ω CG =1µF LG = 2 µH
VAC =1 V ω = 1 Mrad/s ϕ = 0 ° La =1µH
M = 0.5 µH Rb = 0.5 Ω Cb = 0.2 µF Lb = 5 µH
a = 4 Rc =16 Ω Cc = 5 µF Lc = 0.2 µH
e. Suponiendo que los elementos del circuito tienen los valores indicados másabajo,obtenedlaexpresióntemporalde lapotenciaen laramadeLa. Utilizad aproximaciones matemáticas razonables y agrupaciones de impedanciassiemprequeseaposible(0.6puntos).
€
vG(t)= VDC + VAC cos(ωt + ϕ)
€
VDC =1 V RG =0.5Ω CG =1µF LG =2µHVAC =1 V ω =1Mrad/s ϕ=0 ° La =1µHM =0.5µH Rb =0.5Ω Cb =0.2µF Lb =5µHa =4 Rc =16Ω Cc =5µF Lc =0.2µH
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PROBLEMA2,apartadoa
Reflejandoimpedancias,seobtiene
€
VG = IG jωLG +(ωM)2
jωLb +1
jωCb+ Rb
+ RG + jωLa
− Ia jωLa
0 = − IGjωLa + Ia jωLa +1
jωCG+
Rc +1
jωCc+ jωLc
a 2
0 = IGjωM + Ib jωLb +1
jωCb+ Rb
Ia = − aIc
PROBLEMA2,apartadob
€
Ic = −Iaa
VCc =IcjωCc
= j IaaωCc
SCc =VCcIc
*
2= − j
Ia2
2a2ωCc
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PROBLEMA2,apartadoc
Utilizandolanomenclatura
€
IG = I1 Ia = − I2 Zbref =(ωM)2
Rb + jωLb +1
jωCb
Zcref =
Rc + jωLc +1
jωCca 2
yaplicandoanálisispormallas,setiene
€
V1 = I1(jωLG + Zbref + RG + jωLa )+ I2jωLa V2 = I1jωLa + I2 jωLa +1
jωCG+ Zcref
(1)
Lasecuacionesquedefinenlosparámetrosdeimpedanciason
€
V1 = I1z11 + I2z12 V2 = I1z21 + I2z22 (2)
Comparando término a término (1) y (2) se obtienen los parámetros deimpedanciabuscados,queson
€
z11 = jωLG + Zbref + RG + jωLa z12 = jωLa
z21 = jωLa z22 = jωLa +1
jωCG+ Zcref
Para que sea simétrico, el cuadripolo ha de ser recíproco. Esto exige que secumplaquez12=z21.Estacondiciónsecumplesiempre.Además,hadecumplirsequez11=z22.Estacondiciónpuededarseconunaadecuadaseleccióndelosvaloresdeloselementospasivos.
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PROBLEMA2,apartadod
Sustituyendolosdatosdelproblemaenlasecuaciones(1)delapartadoanteriorseobtienelatensióndelgeneradorequivalentedeThévenin.
€
1= IG(1+ j3)− Ia j0= − IGj+ Ia
⇒IG =
12+ j3
A
Ia =j
2+ j3A
VTh =(IG − Ia )jωLa =5− j13
V
AlsustituirLaporuncortocircuito,todalacorrientesuministradaporlafuentecirculapordichocortocircuito,conloquelacorrientedeNortones
€
IN =VG
jωLG + Zbref + RG=
11+ j2
A
conloquelaimpedanciaequivalentedeThévenines
€
ZTh =VThIN
=7+ j913
Ω
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PROBLEMA2,apartadoe
Como puede observarse, la excitación tiene dos componentes, con lo que, deacuerdo con el principio de superposición, también habrá dos componentes en lacorrienteylatensióndesalida.Esdecir,
€
iLa(t)= IDC + i AC(t)= IDC + IAC cos(ωt + θ)vLa(t)= VLaDC + vLaAC(t)= VLaDC + VLaAC cos(ωt + γ)
pLa(t)= iLa(t)vLa(t)
Componentecontinua
Para la componente continua (vG(t) = VDC), las capacidades y las inductanciasson,respectivamente,circuitosabiertosycortocircuitos,conloqueelcircuitoquedareducido a la fuente en serie con la resistencia RG (los primarios de lostransformadoressoncortocircuitos).Enconsecuencia,
€
IDC =VDCRG
=2 A VLaDC =0 V, porque La es un cortocircuito
Componentesinusoidal
Para la componente sinusoidal (VG = VAejφ = 1 V) hay que utilizar las dosprimerasecuacionesdelapartadoa.Teniendoencuentaquelosdatoscoincidenconlosdelapartadod,sellegaalmismoresultadoconrespectoalacorriente.Esdecir,
€
IAC = IG − Ia =1− j2+ j3
A = IACejθ =
2613
e−j168.69 A ⇒ i AC(t)=Re IACejωt{ } =
2613
cos(ωt −168.69 °) A
VLaAC = IACjωLa =1+ j2+ j3
V = VLaACejγ =
2613
e−j78.69 V ⇒ vLaAC(t)=Re VLaACejωt{ } =
2613
cos(ωt −78.69 °) V
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PROBLEMA3
Elcircuitodelafigura,encuyarepresentaciónsehautilizadonotaciónfasorial,funcionaenrégimensinusoidalpermanente.
Lasvariacionesdelaamplitudylafaseconlafrecuenciaangulardelafunciónde
transferencia,H(jω) = VO(jω)/VG(jω),sonlasrepresentadasenlafiguraquesigue.
a. Hallad la frecuenciaangularpara laque laentraday la salidadel circuito
tienenlamismafase(0.5puntos).b. Como puede observarse en las figuras del enunciado, el circuito se
comportacomounfiltropasobajo.Halladlabandadepasodedichofiltro(0.5puntos).
c. Explicad cualitativamente por qué la fase de la función de transferenciatiendea0°parafrecuenciasmuybajas(0.5puntos).
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d. Suponiendo que la fuente de tensión está caracterizada por la funciónperiódica representada en la figura que sigue, obtened su desarrollo enseriedeFourierexpresadoennotacióntrigonométrica(0.75puntos).
e. Suponiendoquelaexcitaciónesdelaformaindicadaenlafiguraquesigue,
obtenedsutransformadadeFourier(0.75puntos).
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PROBLEMA3,apartadoa
Silaentradaylasalidaestánenfase,estosignificaquelafasedelafuncióndetransferenciaesnula.
Buscando esa condición en la figura que muestra la variación de la fase seobservaquenoexisteningúnvalordeestamagnitud(exceptoeltrivial,ω0=0rad/s)queseanulo,conloquenohayningunafrecuenciaparalaquesecumplalacondiciónindicada.
PROBLEMA3,apartadob
La frecuencia de corte, que marca el límite superior de la banda de paso, esaquellaqueverificaloqueseindicaacontinuación.
€
H(jω)max
= 0.33
ω =ωc ⇒ H(jω) =H(jω)
max
2= 0.24
Enlafiguraquemuestralavariacióndelmódulodelafuncióndetransferenciacon la frecuencia angular puede observarse que la frecuencia para la que dichomódulotieneelvalorindicadoesωc=0.3Mrad/s.Luegolabandadepasoes
€
BW = 0 − 0.3Mrad/s
PROBLEMA3,apartadoc
Para frecuencias muy bajas, la inductancia y la capacidad se comportan,respectivamente, comouncortocircuitoyuncircuitoabierto, con loqueel circuitoquedareducidoalafuenteyunconjuntoderesistencias.Éstasnointroducenningúndesfase.Enconsecuencia, lasalidatenderáaestarenfaseconlafuente;esdecir, lafasedelafuncióndetransferenciatiendeacero.
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PROBLEMA3,apartadod
LaseriedeFourierseobtienecomoseindicaacontinuación.
€
av = 0 Vak = 0 V
por ser una función con simetría impar
€
bk =4T
vG(t)sen2kπtT
dt =
4T
vG(t)sen2kπtT
dt +
4T
vG(t)sen2kπtT
dt =3T/8
4T/8∫T/82T/8∫0
T/2∫
= −2Vlowkπ
cos 2kπtT
T/8
2T/8
+ −2Vhighkπ
cos 2kπtT
3T/8
4T/8
= −2kπ
cos kπ2
− cos
kπ4
+ 2 cos kπ( ) − cos 3kπ4
€
Ak = bk ϕk = 90 °
€
vG(t)= av + Ak cos2kπtT
−ϕk
k=1
∞
∑
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PROBLEMA3,apartadoe
AplicandoladefinicióndetransformadadeFourier,setiene
€
A(ω)= vG(t)cos(ωt)−∞∞∫ dt = −Vlow cos(ωt)dtT/4
T/2∫ = −Vlowω
sen(ωt)[ ]T/4T/2
= −Vlowω
sen ωT2
− sen
ωT4
B(ω)= vG(t)sen(ωt)−∞∞∫ dt = Vhighsen(ωt)dt3T/4
T∫ = −Vhighω
cos(ωt)[ ]3T/4T
= −Vhighω
cos ωT( ) − cos 3ωT4
F(ω)= A(ω)− jB(ω)