7/24/2019 exercicios_capitulo1

http://slidepdf.com/reader/full/exercicioscapitulo1 1/3

Capítulo 1 - Coordenadas e cálculo vectorial

1 - Determine as coordenadas cartesianas do ponto de coordenadas cilíndricas:(ρ,φ,z ) = (2, π/3, 1).

2 - Determine as coordenadas cartesianas do ponto de coordenadas esféricas:(r,θ,φ) = (2, π/3, π/2).

3 - Determine as coordenadas cilíndricas do ponto de coordenadas cartesianas:(x,y,z ) = (

√ 2,−√ 2, 2).

4 - Determine as coordenadas esféricas do ponto de coordenadas cartesianas:(x,y,z ) = (

√ 2, 0,−√ 2).

5 - Escreva as componentes cartesianas dos vectores unitários associados às coorde-nadas cilíndricas.

6 - Escreva as componentes cartesianas dos vectores unitários associados às coorde-nadas esféricas.

7 - Escreva o vector posição na base das coordenadas cilíndricas e esféricas.

8 - Escreva o vector v  =  xz i + yz  j + xy k na base das coordenadas cilíndricas eesféricas.

9 - Escreva o vector  v   =   z i + 2x j + y k na base das coordenadas cilíndricas eesféricas.

10 - Determine o ângulo entre duas diagonais de duas faces adjacentes dum cubo.

11 - Determine o ângulo entre as diagonais de dois vértices opostos dum cubo.

12  - Um vectorA, cujo módulo é 10, faz ângulos iguais com os eixos das coordenadascartesianas. Determine Ax, Ay, Az e esse ângulo.

13 - Os vértices de um triânguloA,B eC são dados pelos pontos (−

1, 0, 2), (0, 1, 0)

e (1,−1, 0), respectivamente. Determine o pontoD tal que a figuraABCD sejaum paralelogramo.

14 - Determine o coseno do ângulo entre os vectoresA = 3i+ 4 j+k e B = i- j+k.

15 - Dois vectores A e B são dados por A  = 2 i + 4 j + 6k e B  = 3i − 3 j − 5 k.Determine os produtos escalar e vectorial A ·B e A×B.

1

7/24/2019 exercicios_capitulo1

http://slidepdf.com/reader/full/exercicioscapitulo1 2/3

16 - Dados três vectoresP = 3 i+ 2 j−k, Q = −6 i−4 j+ 2k, R = i−2 j−k, achedois vectores que são perpendiculares e dois que são paralelos ou antiparalelos.

17 - Encontre um vector  A  que é perpendicular aos vectores  U   = 2 i  +   j −  k  eV = i

− j + k e a sua norma.

18 - Os vértices de um paralelogramo ABCD são (1, 0, 0), (2, -1, 0), (0, -1, 1), e (-1, 0, 1).Calcule as àreas do triângulo ABC e do triângulo BCD. Estas áreas são iguais?

19 - Um vértice de um paralelipípedo está na origem. Os outros 3 vértices estão em(3, 0, 0), (0, 0, 2), e (0, 3, 1). Todos os comprimentos estão em centímetros. Cal-cule o volume do paralelipípedo usando o produto escalar triplo.

20 - Dados 3 vectores A,B e C,

A   =   i + j,

B   =   j + k,

C   =   i− k.

(a) Determine o produto escalar triplo,A·(B×C). Reparando queA = B+ C,apresente uma interpretação geométrica para o resultado do produto escalartriplo.

(b) Determine A× (B×C).

21 - Três vectores A, B e C são dados por A = 3 i− 2 j+ 2k,  B = 6 i+ 4 j− 2k eC =

−3 i−

2 j−

4k . Determine os valores de (A×B)

×C e A

×(B

×C).

O que pode concluir?

Soluções

1 -   (x,y,z ) = (1,√ 

3, 1).

2 -   (x,y,z ) = (0,

√ 3, 1).

3 -   (ρ,φ,z ) = (2,−π/4, 2).

4 -   (r,θ,φ) = (2,−π/4, 0).

5 -   i = cosφ eρ − sinφ eφ,  j = sin φ eρ + cos φ eφ, k = ez.

6 -   i = sin θ cos φ er + cos θ cos φ eθ − sinφ eφ, j = sin θ sin φ er + cos θ sin φ eθ + cos φ eφ,k = cos θ er − sin θ eθ.

2

7/24/2019 exercicios_capitulo1

http://slidepdf.com/reader/full/exercicioscapitulo1 3/3

7  - cilíndricas:  r = ρ eρ + z ez ,esféricas:  r = r er.

8  - cilíndricas:  v = ρz eρ + ρ2 sin φ cosφ ez,esféricas: v = r2 cos θ sin2 θ(1+sin φ cosφ) er+r2 sin θ[1−sin2 θ(1+sin φ cosφ)] eθ.

9  - cilíndricas:  v = (z  + 2ρ sinφ)cos φ eρ + (2ρcos2

φ− z  sin φ) eφ + ρ sin φ ez,esféricas:  v = r sin θ[cos θ(sin φ + cos φ) + sin θ sin(2φ)] er + r[cos2 θ(sin φ +cos φ) + sin(2θ) sin(2φ)/2− sinφ] eθ + r[2 sin θ cos2 φ− cos θ sinφ] eφ.

10 -   cos ϕ = 1/2 ⇒  ϕ = 60◦.

11 -   cos ϕ = 1/3.

12 -   Ax = Ay  = Az  = 10/√ 

3, cos ϕ = 1/√ 

3.

13 -   (2, 0,−2).

14 -   cos ϕ = 0 ⇒  ϕ = 90◦.

15 -  A ·B = −36, A×B = −2i + 28 j− 18 k.16  - antiparalelos:  Q = −2P, perpendiculares:  P ·R = Q ·R = 0.

17 -  A = −3 ( j + k), A = 3√ 

2.

18  - Área =   1

2 − i+ j− 2k =

√ 6/2.

19 - 18 cm3.

20  - (a) A · (B× C) = 0, porque A está no mesmo plano de B e C, mas B × C éperpendicular a esse plano, (b) A× (B×C) = −i + j + 2 k.

21 -   (A×B) ×C  = 36 i + 24 j − 30k, A× (B×C) = −24 i − 56 j + 62 k. Oproduto externo não é associativo.

3