explotación de imágenes aéreas y espaciales con fines...

Miguel Ángel Manso Callejo

Explotación de imágenes aéreas y espaciales con fines cartográficos

Realce radio-métrico y espacial.


Realce de Imagen: Índice (1/3)

– Definiciones.– Cuantificación.– Muestreo.– Histograma.– Brillo y contraste.– Negativo de una imagen.– Compresión del rango dinámico.– Transformaciones del histograma.– Introducción a los sistemas lineales.– Respuesta impulsiva: convolución.



– Filtros.– Filtro paso bajo.– Filtro gausiano.– Filtro paso alto.– Filtro de mediana.– Filtro de máximo y mínimo.– Filtro de realce de relieve.– Filtros detectores de bordes: Robert,

Prewitt,Lineales, Sobel, Freeman, Kirsh.– Filtros normalizados paso alto.



– Transformada de Fourier.– Propiedades de la Transformada.– Transformada Discreta de Fourier.– Relaciones Análisis de TF. y TDF.– Filtrado en el dominio de la frecuencia.– Filtros Paso Bajo. Ideal y Butterworth.– Filtros Paso Alto. Ideal y Butterworth.– Filtrado de ruido coherente.


Imagen

Definiciones


Imagen (Definiciones)

• Imagen continua:– Función continua de variable continua.– {I(x,y) ,x ,y} ε R

• Imagen discreta:– Función continua de variable discreta.– I(n,m) ε R, n,m ε E

• Imagen digital:– Función discreta de variable discreta.– {I(m,n),m,n} ε E


Imagen (Definiciones)

• Imagen digital monocroma:– Cada píxel I(m,n) (m = 0,...,M-1, n=0,...,N-1) es un valor

numérico, almacenado como un número entero o en punto flotante (real o complejo).

• Imagen digital en color:– Cada píxel I(m,n) es un conjunto de tres valores, que

representan intensidades de luz roja, verde y azul.

• Imagen digital multibanda:– Cada píxel es un vector de n componentes. Se puede

considerar como n imágenes monocromas, que se denominan bandas.


Muestreo

Resolución de una imagen


Imagen (resolución)

• Muestreo:– Proceso por el cual una imagen continua se

convierte en discreta. Para ello se han de tomar muestras equiespaciadas en ambas direcciones.

• Resolución:– Número de píxeles en horizontal y vertical.

• Resolución espacial – Distancia que representa cada pixel.


Muestreo

• Teorema del muestreo:– Intervalo de muestreo debe ser menor

que el inverso del doble de la frecuencia máxima de la imagen. ∆x <= 1/2W

∆x

∆y

y

x


Ejemplo de muestreo

OriginalMitad frecuencia

Cuarto de frecuencia


Frecuencia de muestreo original


Frecuencia de muestreo mitad


Frecuencia de muestreo cuarto


Cuantificación

Agrupación de los niveles de luminosidad de una imagen


Imagen (Cuantificación)

• Cuantificación:– Proceso por el cual el valor real asociado a un

pixel se transforma en un valor entero.– Proceso por el cual una imagen discreta se

convierte en digital.

• Tipos de cuantificación:– Lineal,– Exponencial.– Logarítmicos.– Optimos.


Cuantificación

Uniforme

No uniforme


Problemas de la cuantificación

• Computacionalmente:– La reducción del número de niveles produce una

pérdida de información.• Desde el punto de vista humano:

– Más de 64 niveles de gris pasan desapercibidos para el ojo humano.

– Si se reducen demasiado aparecen falsos contornos en la escena.

– La capacidad para distinguir dos niveles de luminosidad depende del nivel medio y del tipo de escena.


Ejemplos cuantificación lineal256 niveles 64 niveles

16 niveles 8 niveles


Imagen cuantificada a 8 bits




Ejemplos cuantificación no lineales

Original

Exponencial

Logarítmico


Histogramas

Transformaciones del histograma.


Histograma

• Histograma de una imagen digital:– Frecuencia absoluta de aparición de los niveles

de luminosidad dentro de la imagen.– hI(i)= Número de elementos de I iguales a i, i=

0,....,P-1– Se puede ver como la función de distribución de

probabilidad.

• Histograma bidimensional:– Matriz de valores que computa la relación de los

niveles de luminosidad entre dos imágenes.


Histograma

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Brillo y Contraste

• Brillo:– Se define como la intensidad media de los

píxeles de la imagen. Mayor intensidad media mayor brillo.

• Contraste:– Se entiende como la distribución de los

niveles de gris en la imagen. Más distribuidos más contraste.


Negativo de una imagen

• Se define matemáticamente como:Neg(x,y) = (L-1) - Pos(x,y) ; L= número max niveles


Compresión del rango dinámico

• El objetivo es comprimir el rango dinámico de los niveles de luminosidad.Se pueden utilizar formas logarítmicas o raices:

s = c *log(1+|r|) s’ = c * (|r|)1/2

Sin comprimir Compresión logarítmica Compresión Raiz


Compresión Logarítmica


Compresión por raiz


Modificación del histograma.

• Objetivo:– Hacer más fácilmente visible al ojo humano la

información presente en la imagen, aumentando el rango dinámico (total o parcialmente) de la misma.

– Proporciona una imagen I’ a partir de una imagen I, de la forma I’(x,y)=f(I(x,y))

– También se utiliza para la corrección de alinealidades del sensor : por ejemplo corrección gamma.


Extensión del histograma

• Sea una imagen monobanda I, si se estima que la información útil se encuentra en el rango de valores de luminosidad [a,b] se puede aplicar el operador de amplitud caracterizado por f definido como: m si x < a

f(x) = M si x> b m+(x-a)(M-m)/(b-a) si a<=x<=b

Mm

a b


Ejercicio de expansión lineal

– Sea una imagen con el siguiente histograma numérico:

– Calcule el resultado de la transformación lineal del histograma.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15H(i) 0 0 0 5 5 10 15 60 60 40 30 10 5 0 0 0

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15H(i)


Transformación lineal con umbralización

• Se trata de tomar el histograma de la imagen, definir uno o dos umbrales (superior y/o inferior), definir entre el mínimo o umbral inferior, y el máximo o umbral superior una transformación lineal como la anterior.

Mm

a b


Ejercicio de expansión lineal saturada

– Sea una imagen con el siguiente histograma numérico:

– Calcule el resultado de la transformación lineal saturando hasta el 4 y desde el 12.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15H(i) 0 0 0 5 5 10 15 60 60 40 30 10 5 0 0 0

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15H(i)


Ecualización de histograma.

• Esta técnica para realce de imágenes consiste en hallar f no decreciente tal que Hi’(z) = kz (recta). Esta técnica se denomina ecualización de histograma, porque da lugar (teóricamente) a una imagen con una distribución uniforme de niveles.

• Se define la ecualización con la siguiente expresión:

• A= T/N• T= nº total de pixeles• N= nº intervalos• Bi= intervalo asignado a los• píxeles con valor i.

Σi -1

k =1Hk + ---Hi

2A

Bi = int


Ejercicio Ecualización

• Dado el siguiente histograma numérico calcular el histograma de la ecualización del mismo:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9H(i) 5 5 10 15 60 60 40 30 10 5

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

H’(i)


Ejemplo ecualización de histograma

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A=24

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A= 24


Sistemas lineales.

Introducción a los sistemas lineales, causales e invariantes.


Sistema Lineal,Causal e Invariante

• Linealidad:– x1[n] --> y1[n],– x2[n] --> y2[n] – entonces a*x1[n] + b*x2[n] --> a*y1[n] + b*y2[n]

• Causalidad:– si x[n] = 0 n<0 entonces y[n]=0 n<0

• Invarianza:– x[n] --> y[n]– x[n-N] --> y[n-N]


Respuesta impulsiva:

• Se denomina respuesta impulsiva de un sistema a la salida de este ante una entrada de forma impulso de amplitud unitario y duración un instante (píxel).

• H[n] = y[n] para x[n] = δ[n]• y[n] = x[n] * h[n] siendo * la operación

convolución.X[n]

H[n]Y[n]


Convolución

• Convolución discreta en 1 dimensión:

• Convolución discreta en 2 dimensiones

N-1 M-1

i’=0 j’=0(x*h)[i,j] = Σ Σ x[i’,j’]h[i-i’,j-j’]

y[i]= x[i]*h[i] = Σ jx[i] h[i-j]


Ejercicio de convolución

– Sean las señales x[n] y h[n], las siguientes calcule la convolución de las mismas.

0 1 2 3 4 5 x[n] 0 1 2 3 4 5 h[n]

121


Convolución

Imagen inicialImagen filtrada

Σ *C

Núcleo del filtro

Matriz deproductos

Sumador


Filtros espaciales

• Filtros Lineales:– Paso Bajo ( Media ):

• Generalización de imagen.– Filtro Paso alto:

• Extracción de áreas con cambios abruptos.– Filtro extractor de bordes:

• Extracción de áreas con cambios graduales.– Filtros detectores de líneas:

• Extraen líneas según distintas direcciones.


Filtro paso bajo

• La matriz de filtro estandar es:1 1 11 1 11 1 1

1/9

•Un filto paso bajo normalizado que puede utilizarse es el que se define de la siguiente forma:

1 a 1a a2 a1 a 1

1

a + 20 <= a <= 9


Ejemplo aplicación FPB normalizado

Sin filtrar Filtrada


Filtro gausiano

• La expresión del filtro es la siguiente:

Gσ (x,y) = 1

( 2 π σ2)1/2e

x2 + y2

2σ2

Un filtro de 3 * 3 con σ = 1 tendría el siguiente núcleo

0.1467 0.2420 0.14670.2420 0.399 0.24200.1467 0.2420 0.1467


Ejemplo imagen filtrada Gaus



Filtro paso alto

• La definición es sencilla:Img PA = Img original - Img PB

• Ejemplos de diseño máscara paso alto son:-1 -1 -1-1 9*k-1 -1-1 -1 -1

1k>=1

9

0 -a 0-a b -a0 -a 0

1 b> 4*ac = b -4*ac


Ejemplo filtro paso alto



Filtros espaciales:

• Filtros No Lineales:– Suavizadores ( Mediana ):

• Eliminar ruido aleatorio (sal, pimienta).– Filtro de Moda

• Rellenar huecos en áreas (vector --> raster).– Máximo.– Mínimo.


Filtro de mediana

• Útil para eliminar ruido sin difuminar la imagen. Válido para ruido impulsivo, aunque provoca pérdida de resolución.

• Algorítmo:– Se toman los calores de los píxeles encerrados en la

ventana y se les ordena, el valor central de esta ordenación es el que se asigna al pixel central de la imagen filtrada

3 4 5 7 1 24 3 0 4 3 45 1 4 5 6 57 3 6 4 2 26 4 5 4 3 4


Ejemplo filtro mediana



Filtro de máximo y mínimo

• Filtro de máximo:– Este filtro compara el valor del pixel con

el de los vecinos y asigna el máximo.

• Filtro de mínimo:– Este filtro compara el valor del pixel con

el de los vecinos y asigna el mínimo.


Filtro de realce en relieve

• Objetivo: Hacer que la imagen aparezca como si estuviera hecha en piedra.

• Como construir la ventana:Dimensiones n*n siendo n impar.Los pesos deben ser asimétricos (+ - )

alrededor del centro.La suma de los pesos debe ser 0La suma de los pesos centrales debe ser 0


Ejemplos filtrado en relieve-1 0 00 0 00 0 1

1 4 -23 0 -32 -4 -1



Filtros detectores de bordes

• Un borde o discontinuidad es:– Transición o cambio significativo

intesidad, amplitud, color o textura sobre la imagen.

• Detección de bordes.– Pasa por encontrar aquellos puntos en los

que la segunda derivada se hacen 0. Para imágenes se trabaja con gradientes (1ª derivada) y Laplacianos (2ª derivada)


Ventana de Robert

• Se basa en la aproximación de la derivada por diferencias entre píxeles vecinos.

• Las máscaras detectoras de bordes horizontales, verticales, 45º y -45º son:

0 0 00 1 -10 0 0

0 0 00 1 00 -1 0

0 0 00 1 00 0 -1

0 0 00 1 0-1 0 0


Ventana Prewitt

• Las máscaras sugeridas por Prewitt son:

-1 -1 -10 0 01 1 1

-1 0 1-1 0 1-1 0 1

1 1 10 0 0-1 -1 -1

1 0 -11 0 -11 0 -1

0 1 1-1 0 1-1 -1 0

0 -1 -11 0 -11 1 0

-1 -1 0-1 0 10 1 1

1 1 01 0 -10 -1 -1

N

S

NE

SO

E

O

SE

NO


Ejemplo filtro Prewitt SE



Ventanas lineales detectoras de bordes

0 0 0-1 0 10 0 0

0 1 00 0 00 -1 0

•Dos máscaras lineales detectoras de bordes son:


Ventanas de Sobel

• Se trata de filtros no lineales detectores de bordes que producen un efecto de suavización

-1 -2 -10 0 0 1 2 1

-1 0 1-2 0 2-1 0 1


Ejemplo filtro sobel

Vertical

Horizontal

Suma


Máscara normalizada filtros paso alto

• Existe la siguiente máscara normalizada para los filtros paso altos entre los que se incluyen los detectores de bordes:

1 -b 1-b b2 -b1 -b 1

1

b + 2


Máscaras de Freeman

-1 -1 -11 -2 11 1 1

-1 1 1-1 -2 1-1 1 1

1 1 11 -2 1-1 -1 -1

1 1 -11 -2 -11 1 -1

1 1 1-1 -2 1-1 -1 1

1 -1 -11 -2 -11 1 1

-1 -1 1-1 -2 11 1 1

1 1 11 -2 -11 -1 -1

•Son máscaras similares a las de Prewitt con todos losvalores distintos de 0 y el central -2


Máscaras de Kirsh

-3 -3 -3-3 0 -35 5 5

-3 -3 5-3 0 5-3 -3 5

5 5 5-3 0 -3-3 -3 -3

5 -3 -35 0 -35 -3 -3

-3 5 5-3 0 5-3 -3 -3

-3 -3 -35 0 -35 5 -3

-3 -3 -3-3 0 5-3 5 5

5 5 -35 0 -3-3 -3 -3


Laplaciano

• La máscara del operador laplaciano para ser aplicada mediante convolución es la siguiente:

0 -1 0-1 4 -10 -1 0


Ejemplo uso filtro Laplaciano


Análisis de Fourier.

Análisis de imágenes no periódicas.


Transformada de Fourier

• Se define la transformada de Fourier (TF) de la imagen continua x como la imagen continua X=F(x)

• La transformada inversa como x= F-1(X)

X(w1,w2) = X(x1,x2) exp[ -j(w1 x1+w2 x2)] dx1dx2

x(x1,x2) = 1/ 4π 2 X(w1,w2) exp[ j(w1x1,w2 x2)] dw1 dw2


Propiedades de la TF

• Linealidad.• Escalado:

– x(ax1,bx2) --> 1/|ab| X(w1/a,w2/b)• Desplazamiento:

– x(x1-a,x2-b) --> X(W1,w2)e -j(w1a+w2b)

• Convolución:– F(x*y) = F(x) F(y)


Transformada Discreta de Fourier

• La transformada de Fourier en el dominio discreto se puede expresar de la siguiente forma:


Relaciones fundamentales del análisis de Fourier


Ejemplo transformada de Fourier


Equivalencias dominio espacial-espectral

X[t]H[t]

Y[t]

X[t]H

Y[t]FFT FFT-1

producto

X Y


Filtrado paso Bajo Ideal

Y(u,v) = H(u,v) X(u,v)

1 si D(u,v)<=DoH(u,v) =

0 si D(u,v)>Do

D(u,v) = (u2 + v2)1/2

Do : Frecuencia de Corte

H(u,v)

v

u

H(u,v)

D(u,v)Do0

1


Resultado filtro Paso bajo ideal (Fourier)


Filtro Paso Bajo de Butterworth


1H(u,v) = ------------

1+[D(u,v)/Do]2n

D(u,v) = (u2 + v2)1/2

n : orden del filtroDo : Frecuencia de Corte

1 2 3

H(u,v)

D(u,v)/Do

10.50


Filtrado paso Alto Ideal


0 si D(u,v)<=DoH(u,v) =

1 si D(u,v)>Do

D(u,v) = (u2 + v2)1/2

Do : Frecuencia de Corte

H(u,v)

v

u

H(u,v)

D(u,v)Do0

1


Resultado Filtro Paso alto ideal (Fourier)


Filtro Paso Alto de Butterworth


1H(u,v) = ------------

1+[Do/D(u,v)]2n

D(u,v) = (u2 + v2)1/2

n : orden del filtroDo : Frecuencia de Corte

H(u,v)

Do/D(u,v)1 2 3

10.50


Ruido coherente

Eliminación mediante máscaras del ruido coherente.


Ruido coherente en una imagen.

• Situaciones:– El número de periodos exacto a lo largo

de la imagen:• Espectro 2 deltas.

– El número de periodos no exacto:• Espectro son 2 líneas horizontales y 2

verticales.


Eliminación del ruido coherente

X[t]H

Y[t]FFT FFT-1

producto

X Y

HH, se construye con una imagen fondo 1a la que se le añaden líneas y puntos 0, según las frecuencias etc.


Ejemplo de imagen con ruido coherente


Espectro antes y después de eliminar el ruido


Imagen sin ruido periódico

explotación de imágenes aéreas y espaciales con fines...

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