exponencial e logaritmos
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EXPONENCIAISEXPONENCIAIS
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Forma: f(x) = ax
(a > 1) →→→→ função crescente
(0 < a < 1) →→→→ função decrescente
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
ax > ay
x > y x < y
a > 1 0 < a < 1
Exemplos
a) 2x+3 > 32
2x+3 > 25
x + 3 > 5
x > 2
b) (0,1)x+3 > 0,01
(0,1)x+3 > (0,1)2
x + 3 < 2
x < - 1
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UFSC 2011
GABARITO: 05
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LOGARITMOS LOGARITMOS
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LOGARITIMOS LOGARITIMOS
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m C
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LOGARITIMOS LOGARITIMOS
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m
02) Assinale V para as verdadeiras e F para as Falsas
( ) ( UFSC – 06 ) Se 16x = 9 e log32 = y, então x.y é igual a 1/2.
V
( ) ( UFSC – 2010 ) O valor de 3log
81 9
é igual a 9.
V
03) ( UDESC – 2013 ) Se log3 (x – y) = 5 e log5 (x + y) = 3, então log2(3x – 8y) é igual a:
a) 9b) 4 + log25 c) 8d) 2 + log210e) 10
E
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LOGARITIMOS LOGARITIMOS
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m E
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E
D
LOGARITIMOS LOGARITIMOS
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1 log A Am = m
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loga ba = b
log5 3� 5 = 3
1 + log2 6� 2 = 21.2
log2 6= 2.6 = 12
log3 5� 9 = (32)
log3 53
log3 5 2
= = 52 = 25
1 – log15 3� 15 = log15 3
151
15 =
15
3 = 5
CONSEQUÊNCIACONSEQUÊNCIA
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LOGARITMOS LOGARITMOS -- PROPRIEDADES PROPRIEDADES
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
A
E
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
( UFPR – 2012 ) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostosanualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log 2(1,06) = 0,084. )
Aproximadamente 12 anos
C
( UEL – 2010 ) Uma universidade tem 5000 alunos e uma estimativa de crescimento do número de alunos de 10% ao ano. Com base nessas informações, o tempo previsto para que a população estudantil da universidade ultrapasse 10000 alunos é deDados: log 2 = 0, 30; log 1,1 = 0, 04
a) 6 anos.b) 7 anos.c) 8 anos.d) 9 anos.e) 10 anos.
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B
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LOGARITMOS LOGARITMOS –– MUDANMUDANÇÇA DE BASE A DE BASE
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE
BlogAlog
Alogc
cB =
( UEL ) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log 23 é:
Resposta: 1,6
VERDADEIRO
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE
BlogAlog
Alogc
cB =
Blogk1
Blog 2)
Blog
1Alog 1)
AA
AB
k =
=
Com as condições de existência estabelecidas, prove que:
Se log 2 x + log 4 x = 1, então x é igual a:
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE
BlogAlog
Alogc
cB =
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE
BlogAlog
Alogc
cB =
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LOGARITIMOS DECIMAISLOGARITIMOS DECIMAIS ……
log 1 =
log 10 =
log 100 =
log 1000 =
0
1
2
3
log 8 log 1 < < log 10
0 < log 8 < 1
log 8 = 0,…..
característicamantissa
log 83 log 10 < < log 100
1 < log 83 < 2
log 83 = 1,…..
característicamantissa
log 458 log 100 < < log 1000
2 < log 458 < 3
log 458 = 2,…..
característicamantissa
log 54 =
log 5421 =
1,….
3,…
log 124580 =
Para N > 1; log N = c + mPara N > 1; log N = c + m
característica(parte inteira)
mantissa(decimal)
5,…
CaracterCaracter íísticastica = = nnººdede algarismosalgarismos –– 11(parte (parte inteirainteira ))
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LOGARITIMOS DECIMAISLOGARITIMOS DECIMAIS ……
log 1 =
log 10 =
log 100 =
log 1000 =
0
1
2
3
log 54 =
log 5421 =
1,….
3,…
log 124580 =
Para N > 1; log N = c + mPara N > 1; log N = c + m
característica(parte inteira)
mantissa(decimal)
5,…
CaracterCaracter íísticastica = = nnººdede algarismosalgarismos –– 11(parte (parte inteirainteira ))
Sabendo que log 2 = 0,301 e quex = 230, podemos afirmar que:
x = 230
log x = log 2 30
log x = 30 log 2
log x = 30 . 0,301
log x = 9,03
x = 109,03
109 < x < 1010
1 000 000 000 < x < 10 000 000 000
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FUNFUNÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA
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FUNFUNÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA
x
y
0
–1
1
2
1 2 4
–2
y = f(x) = log 2 x
24
12
01
–11/2
–21/4
y = log2 xx
D = R+* e Im = R
→→→→ função é crescente
Forma: y = f(x) = log a x
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x
y
0
–1
1
2
1 2 4
–2
–24
–12
01
11/2
21/4
y = log1/2 xx
→→→→ função é decrescente
FUNFUNÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA
D = R+* e Im = RForma: y = f(x) = log a x
y = f(x) = log 1/2 x
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Função Logarítmica - Resumo
x
y
01
D = R+* e Im = R
y = loga x
y = loga x
a > 1
0 < a < 1
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FUNFUNÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICA y = TMICA y = loglog aa xx
d
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da
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UDESC UDESC –– 2012.22012.2
B
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EQUAEQUAÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE
BlogAlog
Alogc
cB =
EQUAEQUAÇÇÕES LOGARÕES LOGAR ÍÍTMICASTMICAS
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LOGARITIMOS LEMBRANDOLOGARITIMOS LEMBRANDO ……
log B A = x ↔↔↔↔ A = B x
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
log B 1 = 0 log A A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
log C (A.B) = log c A + log c B
log C (A/B) = log c A – log c B
log C Am = m.log c A
log A Am = m
MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE
BlogAlog
Alogc
cB =
EQUAEQUAÇÇÕES LOGARÕES LOGAR ÍÍTMICASTMICAS
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a= 3/2 b = 1/2
3 minutos
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INEQUAINEQUAÇÇÃO LOGARÃO LOGAR ÍÍTMICATMICA
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B
A
( UFPR – 2012 ) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centí metros num determinado lago, utiliza- se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:
Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?
a) 150 lumens b) 15 lumens c) 10 lumensd) 1,5 lumens e) 1 lúmen
D