exponentielles fonctions exponentielles en terminale st2s auteur : philippe angot (version adaptée)

FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

EN TERMINALE ST2SEN TERMINALE ST2Sauteur : Philippe Angot (version adaptée)auteur : Philippe Angot (version adaptée)

DES SUITES GDES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS ÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES

I - INTRODUCTIONI - INTRODUCTION


Certains problèmes, liés aux suites géométriques, ne peuvent pas être résolus à l’aide des suites géométriques …..


La population d’un village diminue de 5% par an.Un agent de recensement passé dans le village le 15 janvier 2003 a compté 5230 habitants.Combien comptera-t-il d’habitants lorsqu’il repassera le 15 juin 2005 ?

On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000 € sur un livret rapportant 3,5% d’intérêts (composés) par an.De quelle somme pourra-t-on disposer le 1er mars 2008 ?

Par exemple:


Une interpolation linéaire est possible,

mais elle donne dans la plupart des cas une approximation trop éloignée du résultat exact.


-1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5

En rouge : les points représentant les valeurs des termes de d’indices impairs calculés par interpolation linéaire à partir des termes de rangs pairs qui l’encadrent.

En noir: les points représentant les valeurs exactes des termes de la suite.

L’erreur commisedevient rapidementimportante


II – CONSTRUCTION II – CONSTRUCTION D’UNE FONCTION D’UNE FONCTION EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE


Les fonctions exponentielles sont présentées comme le prolongement des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive

La démarche est expérimentale.

Elle consiste à compléter le nuage de points représentant les puissances entières d’un réel strictement positif q


L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie.

Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

Théorème 1:Théorème 1:Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes

consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si

b est la moyenne arithmétique de a et de c

(c’est-à-dire ) 2

a cb


L’algorithme de construction des points est basé sur le principe de dichotomie.

Il s’appuie sur les deux résultats suivants :

Théorème 2:Théorème 2:Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre, trois termes

consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si

b est la moyenne géométrique de a et de c

(c’est-à-dire ) b ac


1 2 3 4 5O

u0

u1

u2

u3

u4

u5

Considérons 3 points « consécutifs » de la représentation graphique d’une suite géométrique:

-pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses des deux points qui l’entourent

-pour ordonnée, la moyenne géométrique des ordonnées des deux points qui l’entourent

Le point « du milieu » admet :

Illustration:


Exemple:

Construction de la fonction à partir de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5

: 1,5xx

Outils: tableur et grapheur


1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1ère étape:Points à abscisses entières


2ème étape: Points à abscisses de la forme 1

2n


2ème étape:

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9


3ème étape: Points à abscisses de la forme et 1

4n 3

4n


3ème étape:

1 2 3 4 5O

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9


Sachant que , on peut compléter le

graphique en partant de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison .

11,5

1,5

nn

1

1,5

On utilise le même processus dichotomique pour obtenir un nombre croissant de points


-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On peut répéter le processus« à l’infini » pour obtenir un nombre de plus en plus important de points


-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

Cet ensemble de points suggère la courbe d’une fonction.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5O

1

2

3

4

5

6

7

8

On admet que cette fonction existe et est unique

C’est la fonction ou fonction exponentiellede base 1,5

: 1,5xx


III – PROPRIIII – PROPRIÉTÉSÉTÉS DES DES FONCTIONS FONCTIONS

EXPONENTIELLESEXPONENTIELLES


Pour tout réel q strictement positif, la fonction exponentielle de base q est la fonction : xx q

Les propriétés suivantes sont admises :

Les fonctions sont définies et dérivables sur R. : xx q

Pour tout réel x, est strictement positif . xq

Pour tous réels x et y, x y x yq q q

Pour tout réel x, 1x

xq

q


Remarques:Remarques:

L’expression de la dérivée des fonctions exponentielles,

l’allure des courbes ainsi que leur comportement à

l’infini ne font pas partie des objectifs du programme. On

constatera le sens de variation à partir d’études

expérimentales. L’étude du cas q = e n’est pas au

programme.

xq

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