Курс лекций по теории электрической связи(ТЭС)

Часть 1.Часть 2.

Автор: к.т.н.,доц. кафедры ТОРС Петров О.А.

Самара, 2008 г.

1

ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС ПО ТЭСЛЕКЦИЯ 1. ЧАСТЬ 1ВВЕДЕНИЕ. СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

Предмет и круг задач теории электрической связи (ТЭС). Понятия информации, сообщения, сигнала, канала и системы связи. Структурные схемы систем передачи непрерывных и дискретных сообщений. Основные преобразования сигналов в системах электрической связи. Сущность и цели операций кодирования, модуляции, декодирования и демодуляции. Основные характеристики систем связи.

Список литературы1. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В, Финк Л.М. Теория передачи сигналов. – М.:

Радио и связь, 1986 г.2. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Коржик В.И., Назаров М.В. Теория электрической связи /

Под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 1998 г.3. Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. – М.: Связь, 1973.4. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. – Сборник задач и

упражнений. – М.: Радио и связь, 1990.5. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория передачи сигналов в задачах. – М.: Связь, 1978.6. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Радио и связь, 1988.Теория электрической связи (ТЭС) включает в себя следующие разделы:1. Теория сигналов и случайных процессов.2. Теория модуляции и детектирования.3. Статистическая теория связи.4. Теория информации.5. Теория кодирования.

ОпределенияИнформация – совокупность сведений о событии или явлении. Её можно передавать и хранить в виде сообщений.Сообщение – совокупность знаков и символов, отображающих информацию. Сообщения могут быть непрерывными (в виде непрерывных функций) и дискретными (в виде дискретной последовательности символов (букв и знаков)).Сигнал – физический процесс, используемый для передачи сообщений. Математически сигнал представляется в виде функции времени. Для него можно задать длительность cT ,полосу частот шириной cF и динамический диапазон c max min/D P P , где maxP и minP –максимальная и минимальная мощности сигнала. Произведение этих трёх параметров определяет объём сигнала.Система связи – совокупность технических средств, обеспечивающих передачу сообщений от источника к получателю (потребителю).Канал – совокупность технических средств и физическая среда, которые используются для передачи сигналов между двумя точками системы связи.Помеха – любое воздействие на сигнал, которое его искажает и ухудшает верность воспроизведения сообщений в приёмнике. Помехи по физической природе можно разделить на атмосферные, индустриальные, межканальные, внутренние шумы аппаратуры и др. По характеру воздействия их разделяют на узкополосные, импульсные и флуктуационные.Физическая система – совокупность физических объектов, между которыми существуют определённые взаимодействия. Каждый объект физической системы имеет хотя бы один вход и один выход. Связь между входом и выходом задаётся системным оператором T , связывающий входное воздействие вх ( )tu и выходной отклик или реакцию системы вых ( )tu :

2

вых вх( ) ( )t tu T u .Система связи является физической системой.На рисунках 1 и 2 представлены структурные схемы одноканальной аналоговой и

цифровой систем связи.

Рис. 1. Структурная схема одноканальной аналоговой системы связи.

Рис. 2. Структурная схема цифровой системы связи.

Объединение источника непрерывных сообщений с АЦП можно рассматривать как источник дискретных сообщений. Элементами дискретных сообщений являются символы ia .

При передаче дискретных сообщений каждый элемент сообщения кодируется в последовательность кодовых символов, которую называют кодовой комбинацией.

Код – совокупность всевозможных кодовых комбинаций.Кодирование – преобразование сообщения в последовательность кодовых символов.

Декодирование – процедура обратная кодированию, восстанавливает из принятых кодовых символов переданное сообщение.

Кодовые символы выбираются из некоторого алфавита. Общее число символов в алфавите называют объёмом алфавита или основанием кода.

Если кодовые символы выбираются из алфавита, состоящего из символов 0 и 1, то код называют двоичным кодом или кодом по основанию 2. Из-за своей простоты двоичные коды наиболее часто используются для кодирования сообщений.

Модем

( ) ( ) ( )iz t s t n t

( )iu tib

Линия связи

Модуля-тор

(цифровой)АЦП

ˆ( )a t

( )a t

Источник помех

ИС Кодерia

Кодек

ibДемоду-

лятор(цифровой)

ЦАП Декодер

ˆia

ПС

( )b t

ˆ( )b t

Передатчик Приёмник( ) ( ) ( )z t s t n t ( )u t( )b t ˆ( )b t

Линия связиДемодуля-

торМодуляторПреобразователь

сообщений в сигнал

Преобразователь сигнала в

сообщение

ˆ( )a t( )a tИсточник

помехПолучатель сообщений

Источниксообщений

3

Рис. 3. Дискретные сообщения и сигналы в цифровой системе связи.

Кодирование может быть примитивным, помехоустойчивым и экономным.При примитивном кодировании осуществляется преобразование кода. Оно

используется для согласования входов и выходов различных устройств систем связи. Например, если система связи предназначена для передачи двоичных символов, то для передачи текста необходимо каждую букву заменить последовательностью двоичных символов, т.е. закодировать его кодовыми комбинациями двоичного примитивного кода.

При помехоустойчивом кодировании к кодовым комбинациям примитивного кода добавляют специальные символы, которые называют проверочными символами. Проверочные символы дают возможность обнаружить и исправить ошибки в кодовых комбинациях, поэтому помехоустойчивое кодирование называют также кодированием,исправляющим ошибки.

При экономном кодировании из сообщений устраняется избыточность, обусловленная часто повторяющимися символами и зависимостью символов в сообщениях.В результате устранения избыточности сообщения становятся более короткими, т.е. происходит сжатие сообщений. Сжатие бывает без потери информации и с потерей информации. В последнем случае информация восстанавливается не полностью, а приближённо, с некоторой заданной точностью, но при этом достигается большая степень сжатия.

Модуляция – это изменение одного или нескольких параметров несущего сигнала(переносчика, несущей) по закону модулирующего (первичного) сигнала. Если в качестве переносчика выбрать гармоническое колебание, то модуляция может быть амплитудной (АМ), частотной (ЧМ) и фазовой (ФМ).

Если в качестве переносчика выбрать периодическую последовательность импульсов, параметрами которых являются амплитуда, ширина и временное положение импульса в периоде, то в зависимости от выбранного параметра модуляция может быть амплитудно-импульсной (АИМ), широтно-импульсной (ШИМ) и время-импульсной (ВИМ).

1 21a (21)1 2(10101)b кодовые комбинации

rb первичный модулирующий сигнал( )b t

t

101 101 01(26)0 2

ˆ (110 0)b 0 (21)1 2

ˆ (10101)b

0 26a (26)0 2(11010)b

1 0010 111 01

tсигнал на выходе модулятора

T( )u t

tсигнал на входе приёмника( )z t

сигнал на выходе демодулятораˆ( )b t

t

rb 0принятые кодовые комбинации

1 21a 0ˆ 24a принятые символы сообщения

символы передаваемого сообщения

0

4

Устройство, осуществляющее модуляцию, называют модулятором. В зависимости от вида модулирующего сигнала модуляторы бывают аналоговыми и цифровыми. При цифровой передаче в качестве модулирующего колебания выступает первичный цифровой сигнал. Демодуляция – процедура обратная модуляции, процесс восстановления из принятого сигнала модулирующего сигнала.

В цифровых системах связи модулятор и демодулятор объединяют в одно устройство –модем, а кодер и декодер – в кодек.

Сигнал на входе приёмника можно представить в виде суммы( ) ( ) ( )z t s t n t , (1)

где ( )s t – полезный сигнал на входе приёмника, ( )n t – аддитивная помеха.Сигнал ( )s t является некоторым функциональным преобразованием сигнала ( )u t :

( ) [ ( )]s t u t T . (2)Примером функционального преобразования может служить преобразование вида

( ) [ ( )] ( ) ( )s t u t t u t T , (3)где ( )t – мультипликативная помеха (меняющийся во времени коэффициент передачи канала).

В результате искажений и воздействия помех наблюдаемый сигнал ( )z t на входе приёмника может существенно отличаться от переданного. Задачей приёмного устройства является принятие решения о том, какое сообщение было передано путём анализа принятого сигнала с учётом всех сведений об источнике сообщений, способов кодирования, модуляции и свойств канала. Поиск решения осуществляется по заданному правилу.

Одной из основных задач теории связи является отыскание такого правила принятия решения, при котором решение о переданном сообщении было бы наиболее достоверным.

Основные характеристики систем связиПомехоустойчивость системы связи – способность системы связи противостоять

вредному воздействию искажений и помех.При передаче непрерывных сообщений помехоустойчивость обычно оценивается

средним квадратом ошибки, а при передаче дискретных сообщений – вероятностью ошибки символа принятого сообщения.

Помехоустойчивость зависит от различимости передаваемых сигналов, от отношения сигнал-помеха и выбранного способа приёма. Чем сильнее сигналы на передаче отличаются друг от друга (большая различимость сигналов) и чем больше отношение сигнал–помеха, тем выше будет помехоустойчивость.

Другим показателем является скорость передачи информации иR . Количество информации обычно измеряется в битах, поэтому скорость передачи информации измеряется числом бит в единицу времени.

Бит – это количество информации, содержащееся в двоичном символе, принимающем с равной вероятностью значения 0 и 1. В данном случае бит не следует путать с двоичным символом. Максимальное количество информации, которое может содержаться в одном двоичном символе равно одному биту.

Пропускная способность C канала связи – это максимальная скорость передачи информации по каналу. Если иR C , то можно построить такую систему связи, в которой информация от источника будет полностью доходить до получателя, т.е. все сообщения будут приняты без ошибок. Если иR C , то в канале связи возникнут потери информации и до получателя она дойдёт не полностью, т.е. сообщения будут приняты с ошибками.

5

ЛЕКЦИЯ 2Поля и векторные пространства. Определения нормы, расстояния и скалярного

произведения в пространствах Евклида, Гильберта и Хэмминга, их физический смысл. Базисы и ортогональные разложения в пространстве сигналов (обобщённые ряды Фурье).

Числовое поле FЧисловое поле 0 1 1( ) , ,..., qq a a a F – это совокупность из q элементов (чисел), для

которых однозначно заданы операции сложения (+), вычитания (–), умножения () и деления(÷).

Элементы любого поля должны удовлетворять следующим условиям:1) существует единственный нулевой элемент поля 0F такой, что 0 a a

(нейтральный по сложению) и 0 0a , где aF ;существует единственный единичный элемент поля 1F такой, что 1 a a

(нейтральный по умножению), где aF ;2) если ,i ja a F , то i j ka a a F (свойство замкнутости по сложению) и

i j ra a a F (свойство замкнутости по умножению);3) i j j ia a a a , i j j ia a a a (коммутативность);4) ( ) ( )i j k i j ka a a a a a , ( ) ( )i j k i j ka a a a a a (ассоциативность);5) ( )i j k i k j ka a a a a a a , (дистрибутивность);6) обратный элемент по сложению ( )ia F находится из уравнения ( ) 0i ia a ;обратный элемент по умножению 1

ia F находится из уравнения 1 1i ia a .Примеры полей: – множество вещественных чисел, – множество комплексных

чисел, – множество рациональных чисел. Эти поля содержат бесконечное число элементов ( q ). Множество натуральных и целых чисел полями не являются.

Поле и расширение поляЕсли некоторое поле 2F содержит в своём составе элементы другого поля 1F , причём

все свойства элементов этого поля сохраняются в 2F , то 1F называют основным полем, а 2F– расширенным полем или расширением поля 1F . Например, поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел.

Поле комплексных чисел Комплексное число – это число, представленное в виде

c a jb , , a b ,где Re[ ]a c – действительная часть комплексного числа Im[ ]b c – мнимая часть комплексного числа, 1j – мнимая единица.

Формула Эйлера: e cos( ) sin( )j j .

Показательная форма комплексного числа: e jc c , где 2 2c a b – модуль комплексного числа, arg( ) atan2( , )c a b – аргумент комплексного числа.

Комплексно-сопряжённое число *

e jc a jb c .Свойства модуля:

1) 1 2 1 2c c c c ; 2) 11

2 2

ccc c

;

3) *2c c c ; 4) 2 2 22 22Re 2 cos x yx yx y y y yx x x

.

6

Поле с конечным числом элементовСуществуют поля, содержащие конечное число элементов ( q ). Такие поля

называются полями Галуа и обозначаются ( )qGF . Для существования поля Галуа число его элементов должно быть равным mq p , где p – простое число, 0m – целое число.

Если 1m , то поле Галуа является простым. В простом поле арифметические операции выполняются по модулю простого числа p : ( ) modk i ja a a p , ( ) modr i ja a a p , где moda p означает остаток от деления a на p (не путать с абсолютной величиной).

Свойства операции mod1) ( ) mod (( mod ) ( mod )) moda b c a c b c c ;2) ( )mod (( mod ) ( mod )) moda b c a c b c c ;3) ( )mod( ) ( mod )a b c b b a c .Отметим, что если p будет составным числом, то операция умножения будет

неоднозначной и, следовательно, поле Галуа с таким числом элементов не существует. Доказательство. Если 1 2p p p , то при 1 ( )ia p q GF и 2 ( )ja p q GF

1 2mod mod 0i ja a p p p p , что возможно, если либо 0ia , либо 0ja . Т.к. 1 0ia p и

2 0ja p , то в поле существует два нулевых элемента, что противоречит условию 1 для элементов поля.

Пример: (2) 0,1GF – поле Галуа с наименьшим числом элементов.

Если 1m , то поле ( )mpGF является расширением простого поля ( )pGF . Элементыполя ( )mpGF можно рассматривать как многочлены 1

1 1 0( ) ...mma x a x a x a степени

1m с коэффициентами из ( )pGF . Для задания операций умножения и деления используется неприводимый многочлен ( )mp x степени m . Неприводимый многочлен – это многочлен, который нельзя разложить на произведение многочленов меньшей степени. При сложении (вычитании) многочленов коэффициенты при одинаковых степенях складываются (вычитаются). Умножение и деление элементов (многочленов) расширенного поля выполняются по модулю этого неприводимого многочлена: ( ) ( ) ( ) mod ( )k i j ma x a x a x p x .

Векторное пространство nFНабор 0 1 1( , ,..., )na a a из n элементов называют -мернымn вектором и обозначают a .

Элементы вектора также называют координатами.Векторное пространство nF – это совокупность -мерныхn векторов с элементами из

поля F , для которых заданы операции умножение на скаляр и сложение векторов:1) 0 1 1, ,..., n

na a a a F , – скаляр (число);

2) 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1, ,..., , ,..., , ,..., nn n n na a a b b b a b a b a b a b F .

Нулевой вектор n0 F – это вектор, состоящий из нулевых элементов поля F .Если векторное пространство дополнить операцией умножения векторов, то векторное

пространство становится расширенным полем.

Пространство Евклида ( n или n )Если в качестве элементов векторов выбраны элементы поля действительных чисел

или поля комплексных чисел , то векторное пространство, в этом случае, называют евклидовым пространством и обозначают n или n .

Евклидово пространство является нормированным и метрическим пространством.

Числовое полеF

q q

( )qGF, ,

Векторное пространствоnF

n n

2L, , ( )n n n qGF

7

Норма – это длина вектора:1

2

0| |

n

ii

a

a . (4)

Свойства нормы:1) 0a ; 2) a a ; 3) a b a b .Метрика – это расстояние между двумя векторами, которое находится как норма

разности векторов:1

2

0( , ) | |

n

i ii

d a b

a b a b . (5)

Свойства метрики:1) ( , ) 0d a b и ( , ) 0d a b , если a b ; 2) ( , ) ( , )d da b b a ;3) ( , ) ( , ) ( , )d d d a b a z b z (неравенство треугольника).Скалярное произведение – это проекция одного вектора на другой в пространстве

векторов:

1 *

0, cos( )

n

i ii

a b

a b a b , (6)

где – угол между векторами.Если ( , ) 0a b , то векторы a и b называют ортогональными векторами.Если ( , ) a b a b , то векторы a и b называют коллинеарными векторами.

Неравенство Буняковского–Шварца , a b a b . (7)

Знак равенства выполняется при b a , где – скаляр.

Пространство ГильбертаЕсли n , то конечномерное пространство Евклида становится бесконечномерным

пространством Гильберта 2 ( / 2, / 2)T TL , элементами которого являются непрерывные функции аргумента t , интегрируемые в квадрате на интервале / 2; / 2t T T .

Норма в Гильбертовом пространстве равна/ 2 / 2

* 2

/ 2 / 2

( ) ( ) ( )T T

T T

x t x t dt x t dt

x . (8)

Метрика в пространстве Гильберта равна/ 2

2

/ 2

( , ) ( ) ( )T

T

d x t y t dt

x y x y . (9)

Скалярное произведение определяется выражением/ 2

*

/ 2

( , ) ( ) ( )T

T

x t y t dt

x y . (10)

Пространство ХэммингаЕсли в качестве элементов векторов выбраны элементы поля Галуа ( )qGF , то

векторное пространство, в этом случае, становится пространством Хэмминга.В качестве нормы используется вес вектора ( ) x , который равен числу ненулевых

элементов вектора.В качестве метрики используется расстояние по Хэммингу между векторами, которое

равно ( , ) ( )d x y x y .

8

Линейная независимость векторовСовокупность векторов 0 1 1, ,..., n

n a a a F является линейно-независимой, если их линейная комбинация

0 0 1 1 1 1... n n a a a 0 или 1

0

n

i ii

a 0 (11)

для любых i F , одновременно не равных нулю. Т.е. ни один из векторов ia не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Иначе, если 1

0

n

i ii

a 0 , то любой из векторов можно выразить в виде линейной

комбинации остальных векторов:0 1 0 1 2 0 2 1 0 1( / ) ( / ) ... ( / )n n a a a a . (12)

Базис векторного пространстваСовокупность из n линейно-независимых векторов 0 1 1, ,..., n

n a a a F называют базисом векторного пространства, потому что любой вектор пространства можно выразить с помощью их линейной комбинации, т.е. если nb F , то

1

0

n

i ii

c

b a . (13)

Пример: 3n , 0 (1, 2,3)a , 1 (2,1,3)a и 2 (3, 2,1)a . Выразим вектор (2,3,1)b :

0 1 2(2,3,1) 1 ( 1) 1 b a a a .

Ортогональный базис векторного пространстваВ любом векторном пространстве конечномерном или бесконечномерном можно

выбрать линейно-независимые ортонормированные векторы iψ такие, что

1, ,( , ) 0, ,i j i ji ji j ψ ψ (14)

где k – символ Кронекера. Пример: 3n , 0 (1,0,0)ψ , 1 (0,1,0)ψ и 2 (0,0,1)ψ .Ортонормированные векторы можно использовать в качестве ортогонального базиса,

т.е. рассматривать их как оси новой системы координат.Переход от линейно-независимых векторов к ортонормированным векторам можно

осуществить с помощью ортогонализации Грамма–Шмидта.

Обобщённый ряд Фурье или разложение вектора по ортонормированному базисуОбобщённый ряд Фурье – это представление любого вектора x в виде линейной

комбинации ортонормированных векторов iψ :1

0

n

k kk

c

x ψ , (15)

где ( , )k kc x ψ (16)– коэффициенты обобщённого ряда Фурье.

В пространстве Гильберта обобщённый ряд Фурье будет следующим

0( ) ( )k k

kx t c t

, (17)

где / 2 *

/ 2

, ( ) ( )T

kk kT

c x t t dt

x ψ . (18)

Разложение в обобщённый ряд Фурье позволяет характеризовать сигналысовокупностью коэффициентов kc .

9

ЛЕКЦИЯ 3МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХКлассификация сообщений, сигналов и помех. Временное и спектральное представления сигналов в системах связи. Спектры периодических и непериодических сигналов. Ряд Фурье, интеграл Фурье и преобразования Фурье. Примеры спектров различных видов сигналов и сообщений. Энергия и средняя мощность сигналов. Равенство Парсеваля.

Классификация сообщений, сигналов и помехСообщения, сигналы и помехи в ТЭС математически представляют некоторой

функцией ( )x t . Функция ( )x t – это закон, согласно которому каждому значению независимой переменной t ставится в соответствие единственное значение x . Функция может быть задана: 1) аналитически – в виде математической формулы, например,

( ) 10cos(2 1000 / 4)x t t – гармоническое колебание, где 10 – амплитуда, 1000 – частота, / 4 – начальная фаза; 2) таблично; 3) графически. Если сигнал описывает изменение во

времени напряжения на некотором сопротивлении, то функция, описывающая такой сигнал, будет иметь размерность вольт.

Детерминированные и случайные сигналыДетерминированные сигналы – это сигналы, мгновенные значения которых известны

достоверно в любой момент времени. Если мгновенные значения сигнала случайные, то такой сигнал является случайным. Случайные сигналы называют ещё случайными процессами. Примером детерминированного сигнала является гармоническое колебание из предыдущего примера.

Периодические и непериодические сигналыСигнал называют периодическим по времени, если существует такое постоянное

0 0T , для которого

0( ) ( )x t T x t ( )t . (19)Наименьшее значение 0T , для которого выполняется это условие, называют периодом

сигнала T . Сигналы, не удовлетворяющие условию (19), называют непериодическими.

Дискретные и непрерывные сигналыСигнал называют дискретным по времени, если он принимает

свои значения только в заданные моменты (рис.4,а) или интервалы времени (рис.4,б).

Сигнал называют дискретным или квантованным по уровню(по напряжению), если он принимает свои значения из некоторого заданного конечного множества уровней (рис.4,в).

Иначе, если сигнал непрерывный и по времени, и по уровню, то такой сигнал называют аналоговым сигналом.

Цифровой сигналЦифровой сигнал – это сигнал, используемый для передачи

потока цифровых данных, обычно двоичных символов или бит.Цифровой сигнал дискретный по времени и по уровню (рис.4,г).

( )x t

t

( )x t

t

( )x t

t

( )x t

t

1 0 1 1 0 1

Рис. 4.

a)

б)

в)

г)

10

Спектральное представление сигналов в системах связиСпектры периодических сигналов. Ряд ФурьеПериодическую функцию ( )x t , с периодом T можно разложить в ряд Фурье по

ортогональным функциям 1cos(2 )f kt и 1sin(2 )f kt (гармоники частоты 1kf ):

0 1 10

( ) cos 2 sin 2k kk

x t a a f kt b f kt

, (20)

где 1 1/f T – частота первой гармоники,/ 2

0/ 2

1 ( )T

T

a x t dtT

, / 2

1/ 2

2 ( ) cos 2T

kT

a x t f kt dtT

, / 2

1/ 2

2 ( )sin 2T

kT

b x t f kt dtT

. (21)

Ортогональность функций выполняется на интервале времени / 2; / 2T T :/ 2 / 2

1 1 1 1/ 2 / 2

cos(2 )cos(2 ) sin(2 )sin(2 )2

T T

k lT T

Tf kt f lt dt f kt f lt dt

,/ 2

1 1/ 2

cos(2 )sin(2 ) 0T

T

f kt f lt dt

.

Совокупность коэффициентов ряда Фурье { , }k ka b называют спектром периодического сигнала.

Свойства коэффициентов ряда Фурье:1) k ka a (чётные); 2) k kb b (нечётные).Ряд Фурье (20) можно записать в другой форме

10

( ) cos 2k kk

x t A f kt

, (22)

где 0 0| |A a , 2 2k k kA a b , arctg /k k kb a .

Согласно (22) сигнал ( )x t можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами кратными основной частоте 1f , с амплитудами kA и начальными фазами k .

Совокупность амплитуд kA ( 0,1, 2,...k ) образуют амплитудный спектр сигнала, а совокупность фаз k – фазовый спектр сигнала. Спектр периодического сигнала дискретный или линейчатый. kA и kопределены только на положительных частотах.

Рис. 5. Амплитудный спектр периодического сигнала для ряда Фурье с действительными коэффициентами.

Комплексный ряд ФурьеРяд Фурье (22) можно представить и в комплексной форме, если воспользоваться

представлением cos( ) (e e ) / 2jx jxx :

12( ) e j f ktk

kx t C

, (23)

где kC – комплексная амплитуда,

1

/ 22

/ 2

1 ( ) eT

j f ktk

T

C x t dtT

. (24)

Совокупность kC образует амплитудный спектр, а arg( )k kC – фазовый спектр.

Рис. 6. Амплитудный спектр периодического сигнала для ряда Фурье с комплексными коэффициентами.f

kC

02f 1f3f 2f 3f1f 4f 5f5f 4f

kA

0 1f 2f 3f 4f 5f f

11

Свойства комплексной амплитуды:

1) *1 1

2 2( ) ( )k k k k k kC a jb a jb C ;2) связь с действительными коэффициентами ряда Фурье:

0 0C a , 2

k kk

a jbC , при 0k ; 0 0| |C A , 1

2k kC A ; (25)

3) амплитудный и фазовый спектры являются двусторонними по частоте.

Спектр непериодических сигналов. Преобразования ФурьеРазложение в ряд Фурье непериодической функции можно получить, если в ряде (23)

T или 1 0f . Тогда вместо ряда Фурье получим интеграл Фурье, а вместо коэффициентов ряда – функцию от частоты ( )xS f . Формулы, связывающие ( )x t и ( )xS f

друг с другом, называют преобразованиями Фурье:2( ) ( ) e j f t

xx t S f df

(обратное преобразование Фурье), (26)

2( ) ( )e j f txS f x t dt

(прямое преобразование Фурье). (27)

Функцию ( )xS f называют спектральной плотностью сигнала. Если сигнал имеет размерность напряжения вольт (В), то размерность спектральной плотности будет (В/Гц).

Модуль ( )xS f – амплитудный спектр, а arg ( ) ( )x xS f f – фазовый спектр сигнала.

Свойства преобразования Фурье:1) если сигнал ( )x t – вещественный (не комплексный), то амплитудный спектр ( )xS f

– чётная функция частоты, а фазовый спектр ( )f – нечётная функция частоты;2) если сигнал ( )x t – вещественная и чётная функция, то ( )xS f – вещественная;

3) 1 21 2( ) ( ) ( ) ( )x xa x t b x t a S f b S f (преобразование Фурье – линейное преобразование);

4) 020( ) ( ) e j f t

xx t t S f (спектр сигнала, задержанного на величину 0t );

5) 1( )| | x

fx a t Sa a

(масштабирование сигнала во времени – сжатие или растяжение);

6) 1k x

kC ST T

(связь со спектром периодического сигнала (преобразование 1 периода));

7) 0( ) ( ) cos(2 )u t x t f t , 1 10 02 2( ) ( ) ( )u x xS f S f f S f f ;

8) 0( ) ( )sin(2 )u t x t f t , 1 10 02 2( ) ( ) ( )u x xj jS f S f f S f f ;

9) 02( ) ( ) e j f tu t x t , 0( ) ( )u xS f S f f ;10) свёртка двух сигналов:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t x t g t g x t d x g t d

, ( ) ( ) ( )u x gS f S f S f .

12

t

( )t1

– 0 Рис. 7.

Дельта-функция ДиракаЧасто, при описании различных сигналов и их математических преобразований,

используется дельта-функция Дирака

, 0,( ) 0, 0.tt t

Свойства дельта-функции:

1) площадь дельта-функции равна единице: ( ) 1t dt

;

2) отсчётное свойство: 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t t ;

3) фильтрующее свойство: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t t dt x t t t dt x t

;

4) 1( ) ( )| |

at ta

; 5) ( ) 1S f , откуда 2( ) e cos(2 )j ftt df ft df

.

Спектральная плотность периодических сигналовСпектральную плотность периодических сигналов невозможно непосредственно найти

по формуле прямого преобразования Фурье, т.к. периодические сигналы имеют бесконечную длительность. Но её можно получить, если использовать дельта-функцию Дирака. Для этого разложим периодический сигнал в комплексный ряд Фурье

12( ) e j f ktk

kx t C

.

Тогда

12 ( )2( ) ( ) e e j kf f tj f tx k

kS f x t dt C dt

или 1( ) ( )x kk

S f C f kf

. (28)

Спектральная плотность периодического сигнала состоит из последовательностидельта-импульсов с комплексной амплитудой kC , следующих друг за другом с интерваломравным частоте первой гармоники.

Также можно показать, что

1( ) ( )x kk

S f C f kf

. (29)

2 2

1( ) ( )x kk

S f C f kf

. (30)

Вывод: преобразования Фурье по сравнению с рядом Фурье являются более общимипреобразованиями, поскольку их можно применять как для периодических, так и для непериодических сигналов.

13

Примеры математических моделей сигналов и их спектров1) ( ) ( )x t A t , ( )xS f A ;

2) ( )x t A , ( ) ( )xS f A f ;

3) 0( ) cos(2 )x t A f t – гармоническое колебание, 0 0( ) ( ) ( )2 2xA AS f f f f f ;

4) ( )x t – одиночный прямоугольный импульс, sin( )( )xfS f A

f

;

Вывод: чем шире во времени импульс, тем уже его спектр и наоборот.

5) ( )u t – отрезок гармонического колебания, радиоимпульс:

0( ) ( )cos(2 )u t x t f t , 1 10 02 2( ) ( ) ( )u x xS f S f f S f f ;

Энергия и средняя мощность сигналовК энергетическим характеристикам сигналов относят энергию и мощность сигнала. От

них зависит качество и дальность связи, стоимость и сложность приёмных и передающих устройств, а также другие, не менее важные характеристики систем связи. Для удобства в ТЭС принято, что сопротивление нагрузки нормируется и равно 1 Ом.

Энергию и мощность сигнала, длительность которого равна T и действующего на интервале времени ( / 2; / 2)T T , находят по следующим формулам:

/ 22

/ 2

( )T

xT

E x t dt

,/ 2

2

/ 2

1 ( )T

xT

P x t dtT

. (31)

Энергия имеет размерность 2В с/1 Ом = Вт с = Дж , а мощность – 2В /1 Ом = Вт .Если длительность сигнала T , то

f

( )xS f

t

( )x t

A

0 0

A

f

( )xS f

t

( )x t

A

0 0

A

A/2A/2

f

( )xS f

t

( )x t

A

0 0 0f0f

f

( )xS f

t

( )x t

A

2

2 1

1

2

3

2

3

A

00

f

( )uS f

0 0f0ft

( )u t

A

2 0

2

14

2 ( )xE x t dt

,/ 2

2

/ 2

1lim ( )T

x TT

P x t dtT

. (32)

Физические сигналы, существующие в природе, теоретически ограничены и по времени, и по частоте, поэтому они имеют конечную энергию xE и мощность 0xP .

Рассмотрим некоторые математические модели сигналов. Первая модель – это одиночный прямоугольный импульс, который не является физическим сигналом, поскольку спектр его неограничен по частоте. Вторая модель – периодический сигнал. Он также не является физическим сигналом, т.к. он неограничен во времени.

Хотя рассмотренные модели сигналов в природе не существуют, но они являются удобной математической заменой реальных физических сигналов. Преимуществом их использования является то, что над ними легче производить математические преобразования.

Равенство ПарсеваляРавенство Парсеваля для сигналов с конечной энергией и периодических сигналов:

22 ( ) ( )x xE x t dt S f df

,/ 2

22

/ 2

1 ( )T

x kkT

P x t dt CT

. (33)

Обобщённое равенство Парсеваля**( ) ( ) ( ) ( )yxx t y t dt S f S f df

. (34)

15

ЛЕКЦИЯ 4Аналитический сигнал. Преобразования Гильберта. Квазигармоническое и комплексное представления узкополосных сигналов и его применения в технике связи. Огибающая, фаза, мгновенная частота, квадратурные компоненты сигнала. Сопряженный сигнал.

Обобщением действительных функций являются комплексные функции.Аналитический сигнал – это комплексный сигнал, который равен

( ) ( ) ( )u t u t ju t , (35)где ( )u t – исходный действительный сигнал, ( )u t – преобразование Гильберта от ( )u t .

Преобразования Гильберта (ПГ) – это пара линейных обратимых преобразований

1 ( )( ) ( ) uu t u t dt

H (прямое), (36)

1 1 ( )( ) ( ) uu t u t dt

H (обратное). (37)

Преобразование Гильберта можно реализовать линейным фильтром с ИХ1( )g

( ), (38)

которая соответствует передаточной функции2( ) ( ) e sign( )j fK f g d j f

, (39)

где sign( )f – знак f , т.е. , при 0,sign( ) | |

0, при 0.

x xx xx

Рис. 8. Преобразователь Гильберта.

Спектр сигнала на выходе ПГ равен( ) ( ) ( ) sign( ) ( )u u uS f K f S f j f S f . (40)

При подаче на вход этого фильтра сигнала ( )u t , на выходе получим сопряжённый по Гильберту сигнал ( )u t . Т.к. ИХ ПГ ( )g существует при 0 и имеет бесконечную длительность, то такой фильтр физически нереализуемый. Для его реализации необходимо ограничить ИХ по времени, а интегрирование выполнять с задержкой входного сигнала.

Свойства аналитического сигнала:1. Спектр аналитического сигнала содержит только положительные частоты:

2 ( ), 0;

( ) ( ) ( ) (0), 0;0, 0;

u

u u u u

S f f

S f S f jS f S ff

0, 0;

( ) (0), 0;

2 ( ), 0.u

u

u

fS f S f

S f f

(41)

2. Сигналы ( )u t и ( )u t ортогональные:2*

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sign( ) 0u u uu t u t dt S f S f df j S f f df

, (42)

где 2

( ) sign( )uS f f – нечётная функция, а интеграл по симметричным пределам от нечётной функции равен нулю.

( )u t

( )uS fПГ

( )u t

( )uS f

( ) 1/( )g

( ) sign( )K f j f

16

3. Над аналитическими сигналами просто выполнить преобразование частоты и фазы:0 0( )( ) ( )e j ts t u t . (43)

Для получения действительного сигнала следует выполнить последовательность шагов: 0 0( )( ) ( ) ( ) ( )e ( ) Re ( )j tu t u t s t u t s t s t . (44)

В результате преобразований получим сигнал0 0 0 0( ) ( )cos( ) ( )sin( )s t u t t u t t . (45)

Рис. 9. Амплитудный спектр аналитического и действительного сигналов, а также сдвиг их спектров по частоте.

4. ПГ от косинуса и синуса:[cos(2 )] sin(2 ) sign( )ft ft f H . (46)

[sin(2 )] cos(2 ) sign( )ft ft f H . (47)

5. Скалярное произведение двух сигналов:

( ) ( ) ( ) ( )u t t dt u t t dt

. (48)

( ) ( ) ( ) ( )u t t dt u t t dt

. (49)

Ортогональность в усиленном смыслеСигналы ( )u t и ( )v t ортогональны в усиленном смысле, если

( ) ( ) 0u t v t dt

и ( ) ( ) 0u t v t dt

. (50)

Если сигналы ортогональны в усиленном смысле, то ортогональность сигналов сохранится также при произвольном фазовом сдвиге одного из сигналов. Например, если

( ) ( ) cos( ) ( )sin( )u t u t u t ,

то ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) sin( ) ( ) ( ) 0u t t dt u t v t dt u t v t dt

. (51)

Полосовой сигналСигнал, занимающий некоторую полосу частот от minf до maxf , называют полосовым.

Узкополосный сигналСигнал ( )u t можно считать узкополосным, если ширина его спектра с max minf f f

во много раз меньше центральной частоты спектра сигнала 0 max min( ) / 2f f f , т.е. 0f f или с 0/ 1f f . Если это условие не выполняется, то сигнал является широкополосным.

Рис. 10. Амплитудный спектр узкополосного сигнала.

( )uS f

( )sS f

f 0

0 f0f

( )uS f

( )sS ff 0

0 f0f 0f

( )uS f

0f0minf maxf f

f

0f

с max minf f f

0 max min( ) / 2f f f

17

Квазигармоническое представление узкополосного сигналаУзкополосный сигнал можно представить в виде квазигармонического сигнала:

0( ) ( )cos( ( ))u t A t t t , (52)где ( )A t – мгновенная амплитуда сигнала или огибающая сигнала, ( )t – мгновенная фаза сигнала, 0f – центральная частота спектра сигнала. ( )A t и ( )t медленно меняющиеся во времени сигналы по сравнению с изменением функции 0cos( )t .

Представление узкополосного сигнала через квадратурные компоненты:0 0( ) ( ) cos( ) ( )sin( )u t x t t y t t , (53)

где ( ) ( ) cos( ( ))x t A t t и ( ) ( )sin( ( ))y t A t t – квадратурные компоненты.Связь квадратурных компонент с огибающей и фазой:

2 2( ) ( ) ( ) 0A t x t y t , ( ) arctg( ( ) / ( ))t y t x t . (54)Полная фаза и мгновенная частота:

0 0( ) ( ) arctg( ( ) / ( ))t t t t y t x t , (55)

0 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

d t y t x t x t y ttdt x t y t

. (56)

Представление узкополосного сигнала в комплексной формеПреобразование Гильберта узкополосного сигнала выполняется достаточно просто:

0 0( ) ( ) cos( ( )) ( ) sin( ( ))u t A t t t A t t t H H . (57)

0 0( ) ( ) sin( ( )) ( )cos( ( ))u t A t t t A t t t H H . (58)Это эквивалентно задержке сигнала ( )u t на время 0 01/(4 )t f : 0( ) ( )u t u t t , что

соответствует фазовому сдвигу на / 2 . Устройство, которое на своём выходе выдаёт сопряжённые по Гильберту сигналы, называется квадратурным расчепителем.

Рис. 11. Квадратурный расчепитель узкополосного сигнала (фазорасчепитель).

С учётом сказанного, узкополосный сигнал можно представить в комплексной форме:0 0( ( ))( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ej t t j tu t u t ju t A t A t , (59)

где( )( ) ( ) e ( ) ( )j tA t A t x t jy t (60)

– комплексная амплитуда или низкочастотный эквивалент узкополосного сигнала.Узкополосный сигнал полностью определяется его квадратурными компонентами

( )x t и ( )y t , поскольку 0 0( ) Re ( ) ( ) cos( ) ( )sin( )u t u t x t t y t t . (61)

Поэтому, чтобы выполнить фильтрацию или другое преобразование над узкополоснымсигналом, достаточно это преобразование применить к его квадратурным компонентам.Обработку квадратурных компонент выполнить гораздо проще, чем узкополосного сигнала.

( )u t

ПГ

( )u t

( )u t

18

ЛЕКЦИЯ 5Дискретное представление сигналов. Дискретизация функций непрерывного аргумента

и ее применения в технике связи. Теорема Котельникова для сигналов с финитным спектром. Восстановление непрерывного сигнала по его отсчетам. Погрешности при восстановлении реальных сигналов и их причины. Квантование отсчётов по уровню и кодирование. Структурные схемы АЦП и ЦАП.

Для цифровой обработки аналоговых сигналов современные системы цифровой связи содержат в своём составе аналогово-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи (АЦП и ЦАП). Цифровые сигналы имеют ряд преимуществ перед аналоговыми сигналами, а именно,их удобно хранить (современные микросхемы памяти имеют малые размеры, а их ёмкость существенно превосходит магнитные носители информации), над ними легко производить различные преобразования или цифровую обработку (цифровая фильтрация, сжатие их до меньшего размера без потери и с потерей информации и др.), они более устойчивы к воздействию помех (для защиты от ошибок можно использовать помехоустойчивое кодирование).

Основной операцией аналогово-цифрового преобразования является дискретизация по времени – это представление непрерывной функции последовательностью её мгновенных значений или отсчётов. Устройство, выполняющее дискретизацию, называют дискретизатором.

Для точного представления непрерывного сигнала ( )x t на некотором интервале времени необходимо знать отсчёты этого сигнала во всех точках внутри интервала. Теоретически число таких отсчётов равно бесконечности. Но для функций, имеющих финитный (конечный) спектр, число необходимых отсчётов можно существенно сократить.

Теорема Котельникова. Любой сигнал, спектр которого сосредоточен в полосе частотс с( ; )f F F , а за пределами этой полосы спектр его равен нулю, можно полностью

восстановить по его отсчётам, взятым через интервал времени с1/(2 )t F .Интервал времени t называют интервалом дискретизации, а величину, д 1/f t –

частотой дискретизации.

Идеальная дискретизацияПри идеальной дискретизации некоторого сигнала ( )x t дискретизированный по

времени сигнал д ( )x t получается в результате перемножения исходного сигнала ( )x t нарешётчатую функцию р ( )x t , состоящую из последовательности дельта-импульсов, следующих друг за другом с постоянным интервалом времени t :

д р( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk k

x t x t x t x t t k t x t k t

. (62)

где ( )kx x k t – отсчёт сигнала ( )x t в момент времени t k t .Найдём спектральную плотность дискретизированного сигнала. Произведение двух

функций во временной области соответствует свёртке их спектральных плотностей в частотной области. Поэтому

д р( ) ( ) ( )x x xS f S S f d

. (63)

Поскольку р ( )x t – периодическая функция с периодом равным t , то

р д д д( ) ( ) ( )x kk k

S f C f k f f f k f

(64)

ид д д( ) ( )x x

kS f f S f k f

. (65)

19

Следовательно, спектр дискретизированного сигнала – периодический и состоит из сдвинутых относительно друг друга на величину дf спектров исходного сигнала.

Рис. 12.

Из сказанного следует, что для восстановления непрерывного сигнала ( )x t достаточно сигнал д ( )x t пропустить через ФНЧ (аналоговый) с коэффициентом передачи 0K t в полосе с с[ ; ]f F F и частотой среза ср с д с[ ; ]f F f F . На выходе фильтра получимполностью восстановленный сигнал ( )x t . Этот фильтр называют фильтром-восстановителем (ФВ).

Восстановленный сигнал ( )x t на выходе фильтра-восстановителя можно найти как результат свёртки импульсной характеристики фильтра-восстановителя ( )g и входного сигнала д ( )x t :

д( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kk k

x t g x t d x g t k t d x g t k t

.

Если в качестве фильтра-восстановителя используется идеальный ФНЧ с ИХ срsin(2 )

( )f

g t

, то восстановленный сигнал на его выходе будет равен

срд ср

ср

sin(2 ( ))( ) ( ) ( ) (2 )

2 ( )kk

f t k tx t x t g t f t x

f t k t

, (66)

В случае, если ср д / 2f f ( д с2f F ), то получим разложение сигнала ( )x t в ряд по

ортогональным базисным функциям д

д

sin( ( ))( ) ( )

( )kf t k t

t g t k tf t k t

, который называют

рядом Котельникова:д

д

sin( ( ))( ) ( )

( )k k kk k

f t k tx t x t x

f t k t

. (67)

( )x t

р ( )x t

д ( )x t

t

t

t f0

д( )xS f

дf д2 fдfд2 f

дf

f

0

р( )xS f

f

0 дf д2 fдfд2 f0 t

0 t

сFсF

( )xS f

сFсF

20

Погрешности дискретизации и восстановления сигнала1. Неверный выбор дf . Если сигнал имеет более широкий спектр, чем значение д / 2f ,

то при дискретизации произойдёт наложение спектров. Это приведёт к искажению спектра исходного сигнала и, следовательно, полностью восстановить сигнал по его отсчётам становится невозможным.

Рис. 13. Наложение спектров дискретизированного сигнала при д с2f F .

Для устранения этого недостатка можно: 1) увеличивать дf до требуемого значения по теореме Котельникова; 2) перед дискретизацией пропустить такой сигнал через ФНЧ с частотой среза ср д / 2f f . Использование ФНЧ позволяет устранить наложение спектров, но это также приводит к искажению входного сигнала ( )x t .

Если обозначить ( )x t – сигнал на выходе такого фильтра, то абсолютную и относительную ошибку восстановления сигнала можно найти по формулам

в

2 2 2( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 | ( ) |x xF

E x t x t x t x t dt S f df

, (68)

с

2 2

0

| ( ) | | ( ) |xx x

x F

E S f df S f dfE

. (69)

2. Неидеальность ФНЧ. Идеальный ФНЧ физически реализовать невозможно, поскольку его ИХ имеет бесконечную длительность. Физически реализуемые ФНЧ, например фильтры Баттерворта и Чебышева, имеют неравномерную АЧХ в полосе пропускания и некоторую полосу расфильтровки. Если полосу расфильтровки можно учестьвыбором дf , то неравномерность АЧХ практически устранить невозможно.

3. Ограничение сигнала во времени. Если дf выбрана правильно и для восстановления выбран идеальный ФНЧ, то восстановленный после дискретизации сигнал будет иметь бесконечную длительность.

Если сигнал рассматривать на интервале времени длительностью сT , то число отсчётов, входящих в рассматриваемый интервал, равно c д c/N T t f T . Тогда восстановленный сигнал на этом интервале можно представить приближённо в виде усечённого ряда Котельникова

1д

0 д

sin ( )( ) ( )

( )

N

N kk

f t k tx t x t x

f t k t

. (70)

Погрешность восстановления сигнала в этом случае можно рассчитать по формуле

с

2 2

0

( ) ( ) ( ) ( )T

x N NE x t x t x t x t dt , (71)

Число отсчётов, достаточных для восстановления сигнала с помощью ряда Котельникова, численно равно базе сигнала.

База сигнала – это произведение c c2B F T , где cF – ширина спектра сигнала, cT –длительность сигнала. Сигналы с базой порядка единицы являются простыми сигналами. Сложные сигналы имеют базу во много раз большую единицы ( 1B ). Примером простого сигнала является одиночный прямоугольный импульс, отрезок гармонического колебания и другие сигнальные импульсы. К сложным сигналам относят составные сигналы, состоящие из простых сигналов, широкополосные сигналы и др.

f0

д( )xS f

дf д2 fдfд2 f

21

Другие способы дискретизации. Дискретизация “выборка-хранение”На практике наиболее популярным способом дискретизации является дискретизация

“выборка-хранение”. При этом способе дискретизации дискретизированный сигнал получается в результате свёртки одиночного прямоугольного импульса единичной высоты

( )tf t и длительности t с сигналом, полученным в результате идеальной дискретизации:

д р( ) ( )*[ ( ) ( )] ( )t k tk

x t f t x t x t x f t k t

, (72)

где знак “* ” обозначент свёртку сигналов, а 1, 0 ;

( )0, иначе.t

t tf t

Свёртка сигналов во временной области соответствует произведению их спектров.

Поэтому спектральная плотность сигнала, полученного при дискретизации “выборка-хранение”, равна

д д д( ) ( ) ( )tx f x

kS f S f f S f k f

, (73)

где2 2

0

sin( )( ) ( ) e e et

tj f t j f t j f t

f tf tS f f t dt dtf

. (74)

Если выполняются условия теоремы Котельникова, то

д дsin( )( ) ( )x x

k

f tS f S f k ff t

. (75)

Следовательно, с увеличением частоты спектр дискретизированного сигнала убываетпо закону sin( ) /x x . Убывание спектра позволяет ослабить требования к реализации фильтра-восстановителя, т.к. в этом случае проще подавить частотные составляющие сигнала за пределами срf .

Недостатком этого способа дискретизации является неравномерное ослабление спектра исходного сигнала, что приводит к возникновению искажений при его восстановлении. Для компенсации искажений используют фильтр-восстановитель с АЧХ,обратной амплитудно-частотному спектру импульса ( )tf t .

Рис. 14.

( )x t

д ( )x tt

t f0

д( )xS f

дf д2 fдfд2 f

0 f

0 t

( )xS f

сFсF

сFсF

22

Квантование отсчётов по уровню и кодирование. Цифровой сигналПосле дискретизации каждый отсчёт ( )kx x k t квантуют по уровню. Для этого

выбирается конечное множество уровней ( )ikx , где 0,1,.., 1i L , L – общее число уровней

квантования, обычно 2nL , и каждый отсчёт дискретизированного сигнала заменяется ближайшим к нему уровнем. Разница между отсчётом и выбранным уровнем квантования определяет ошибку квантования ( )i

k k kx x , а сигнал разности д кв( ) ( ) ( )t x t x t является шумом квантования. На следующем рисунке показаны примеры квантования сигнала на 4 уровня.

Рис. 15. Примеры квантования сигнала на L = 4 уровня.

Если мгновенные значения сигнала случайные, равномерно распределённые на интервале max min( ; )x x , то мощность шума квантования можно рассчитать по формуле

2ш.кв ( ) /12P x .

Каждому уровню квантования сопоставляют определённое число, обычно равное номеру уровня квантования i , и каждый отсчёт заменяется соответствующим ему номером уровня квантования. Номер уровня квантования кодируется в последовательность из

2log L n двоичных символов ,0 ,1 , 1( , ,..., )k k k k nb b b b (номер уровня в двоичной системе счисления). Эти двоичные символы и выдаются на выходе АЦП. Двоичные символы kbобразуют цифровой сигнал ( )b t , представляющий собой последовательность биполярных прямоугольных импульсов длительности /T t n .

Структурные схемы АЦП и ЦАП

Рис. 16. Структурная схема АЦП.

Рис. 17. Структурная схема ЦАП.

t

minxx

maxx11

10

01

00

( )x t

max minx xxL

ФНЧ(фильтр-восстано-

витель)

Импульсно-кодовый демодуляторд ( )x t ( )b t( )x t

kbФормиро-ватель

импульсов

Декодер уровней

квантования

( )ikx

ФНЧ Дискретиза-тор

Квантователь по уровню

Кодер уровней квантования

Импульсно-кодовый модулятор (ИКМ)( )x t

д ( )x t ( )b t( )x tkbkx ( )i

kx

23

ЛЕКЦИЯ 6ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДУЛЯЦИИ И ДЕТЕКТИРОВАНИЯМодуляция. Особенности преобразований сигналов и их спектров в нелинейных и параметрических цепях. Аппроксимация ВАХ. Методы расчета спектров сигналов на выходе нелинейной цепи (методы кратных углов, угла отсечки, трех ординат). Умножение частоты. Преобразование частоты квазигармонических сигналов в нелинейных и параметрических цепях, его применения в технике связи.

Для согласования источника сообщений с каналом используют модуляцию.Модуляция – изменение одного или нескольких параметров несущего сигнала

(переносчика, несущей) по закону модулирующего (первичного) сигнала.В качестве несущего сигнала выбирается такой сигнал, который с наименьшими

затратами смог бы донести сообщение до получателя.Чаще всего в качестве несущего сигнала используют гармоническое колебание

нес ( ) cos( )u t U t . У такой несущей можно изменять 3 свободных параметра: , ,U .Устройство, выполняющее модуляцию, называется модулятором. На приёмной

стороне производится операция обратная модуляции – демодуляция или детектирование.Устройство, выполняющее детектирование называется детектором.

Одной из основных задач модуляции является перенос спектра первичного сигнала на заданную высокую частоту. Эту операцию называют транспонированием спектра сигнала.

Линейные системы с постоянными параметрами не могут транспонировать спектр сигнала. Для линейной системы с постоянными параметрами справедлив принцип суперпозиции:

1) 1 2 1 2T[ ( ) ( )] T[ ( )] T[ ( )]u t u t u t u t , 2) T[ ( )] T[ ( )]u t u t ,где T[ ] – оператор преобразования, – константа.

Поэтому, любой гармонический сигнал, прошедший через линейную систему, сохраняет и свою форму, и форму своего спектра. Для транспонирования спектра сигнала, умножения частоты и других подобных операций используют нелинейные системы, в которых выходной сигнал связан с входным сигналом нелинейной зависимостью

вых вх( ) ( ),u t f u t t . Если нелинейная функция ( , )f x t не зависит от времени, ( , ) ( )f x t f x , то такую систему называют безинерционной нелинейной системой.

Нелинейные системы обладают большими возможностями для обогащения спектра сигнала. В качестве нелинейных элементов (НЭ) можно использовать полупроводниковые диоды, биполярные и полевые транзисторы. НЭ описываются вольтамперной характеристикой (ВАХ), для которой входным воздействием является напряжение, а выходным – ток.

Сопротивление постоянному току нелинейного элемента определяется по ВАХ при подаче на его вход постоянного напряжения 0U : 0 0/R U I . Если выбрать рабочую точку

р р( , )U I на ВАХ и задать приращение напряжения u , то можно найти дифференциальное сопротивление нелинейного элемента

р

диф / /u U

R du di u i

.

Иногда удобнее пользоваться дифференциальной крутизной

рдиф диф1/ /

u US R di du

,

которая является тангенсом угла наклона касательной в рабочей точке.

24

Рис. 18. Вольтамперная характеристика НЭ.

Аппроксимация ВАХДля удобства расчётов реальную ВАХ заменяют приближённой и более простой при

математическом описании кривой. Такую замену называют аппроксимацией. Сществуют различные способы аппроксимации.

Полиномиальная (степенная) аппроксимацияЭтот способ основан на разложении нелинейной ВАХ в ряд Тейлора в окрестности

рабочей точки:2

0 1 р 2 р р( ) ( ) ... ( )nni a a u U a u U a u U .

Чем больше степень полинома, тем точнее будет расчёт тока, но резко возрастает сложность вычислений. Полином с малой степенью хорошо описывает небольшой участок ВАХ. Поэтому полиномиальную аппроксимацию обычно используют при слабых входных сигналах. При сильных сигналах, когда сигнал изменяется в большом диапазоне, резко возрастает погрешность аппроксимации и падает точность результатов.

Кусочно-линейная аппроксимацияПри таком способе аппроксимации ВАХ приближённо заменяется ломаной линией,

состоящей из двух отрезков прямой линии:отс

отс отс

0, ,( ), ,

u Ui

S u U u U

где отсU – напряжение отсечки, S – крутизна линейного участка ВАХ.

Этот способ аппроксимации используется при сильном входном сигнале.

Показательная (экспоненциальная) аппроксимацияПри показательной аппроксимации ВАХ НЭ описывается следующей зависимостью

e 1a ui I ,где I и a – заданные константы.

Показательную аппроксимацию обычно используют для описания ВАХ диода.

u , В

i , мА

рI

рU

0

25

Расчёт спектров тока на выходе нелинейного элементаМетод кратных угловМетод кратных углов используется при полиномиальной аппрокисмации ВАХ НЭ.Если на вход НЭ подаётся напряжение

см 1( ) cos( )mu t E U t ,то для простоты расчётов удобно выбрать в качестве рабочей точки р смU E .

Следовательно, ВАХ будет аппроксимироваться полиномом2

0 1 см 2 см см( ) ( ) ... ( )nni a a u E a u E a u E .

Подставив в этот полином вместо u входное напряжение ( )u t и используя формулы кратных углов

2 1 cos 2cos2

, 3 3cos cos3cos

4

, 4 3 4cos 2 cos 4cos8

,

5 10cos 5cos3 cos5cos16

и т.д.,

непосредственно получим разложение тока в ряд Фурье0 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1( ) cos( ) cos(2 ) cos(3 ) ... cos( )n ni t I I t I t I t I n t

или

10

( ) cos( )n

k kk

i t I k t

,

где2 4

0 0 2 41 3 ...2 8m mI a a U a U , 3 5

1 1 3 53 5 ...4 8m m mI aU a U a U ,

2 42 2 4

1 1 ...2 8m mI a U a U , 3 5

3 3 51 5 ...4 16m mI a U a U и т.д.

Если амплитуда входного напряжения мала, то ВАХ достаточно аппроксимировать полиномом 2 степени относительно рабочей точки:

20 1 см 2 см( ) ( )i a a u E a u E .

Тогда0 1 1 1 2 1 2cos( ) cos(2 )i I I t I t ,

где2

0 0 212 mI a a U , 1 1 mI aU , 2

2 212 mI a U .

Аналогично можно рассчитать ток на выходе НЭ при подаче на его вход суммы двух и более гармонических колебаний различных частот. При этом в спектре тока будут содержаться комбинационные частоты к 1 1 2 2 3 3| ... |f n f n f n f , где in – любые целые числа. Порядок комбинационной частоты находится по формуле 1 2 3| | | | | | ...N n n n .

Метод угла отсечкиМетод угла отсечки используется при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ, когда

линейный участок ВАХ нелинейного элемента заменяется прямой линией, а остальная часть заменяется горизонтальной прямой совпадающей с осью абсцисс.

ВАХ НЭ при кусочно-линейной аппроксимацииотс

отс отс

0, ,( ), ,

u Ui

S u U u U

где отсU – напряжение отсечки, S – крутизна линейного участка ВАХ.

26

Рис. 19. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ НЭ.

При подаче на вход гармонического напряжения см 1cos( )mu E U t , на выходе НЭ будут действовать периодические импульсы тока, повторяющие входное гармоническое колебание в течение отрезка времени длительностью 2 . Из графика можно определить угол отсечки :

отс см cosmU E U .Откуда

отс смcosm

U EU

, 0 .

Разложив в ряд Фурье выходной пульсирующий ток ( ( )i t –чётная, 0kb ), получим

0 11

( ) cos( )kk

i t a a kt

, 10

( ) cos( )k kk

i t I kt

где

( )k m ka SU , | ( ) |k m kI SU

01( ) (sin cos )

– коэффициент Берга 2 рода для постоянной составляющей,

11( ) ( sin cos )

– коэффициент Берга 2 рода для 1-й гармоники,

2

2 sin( ) cos( ) cos( )sin( )( )( 1)k

k k kk k

– коэффициенты Берга 2 рода при 1k .

Максимальное значение тока равно max см отс( ) (1 cos( ))m mi S E U U SU . Тогда спектральные составляющие тока на выходе можно выразить через максимальное значение тока по формуле

max | ( ) |k kI i ,

где ( )( )1 cos( )

kk

– коэффициенты Берга 1 рода.

При 0 , ток на выходе НЭ равен нулю, а при – см отс mE U U и сигнал полностью попадает на линейный участок ВАХ (линейный режим работы НЭ).

Если требуется максимизировать амплитуду -йn гармоники тока nI на выходе НЭ относительно , то оптимальным значением угла отсечки является

оптmax

/ , при ;2 , при .3

mn U consti const

n

Условие maxi const применяют для выходных каскадов передатчика.

u , В

,мАi

отсUmU

1t

0 0 1tсмE( )u t

( )i t

maxi

27

Метод трёх ординатВ методе трёх ординат приближённо рассчитывают амплитуды первых трёх гармоник

тока на выходе: 0 1 2, ,I I I . При этом полагают, что

0 1 1 2 1( ) cos( ) cos(2 )i t a a t a t .На ВАХ при 1 0, / 2,t определяют три ординаты a , b и c , которые задают

систему линейных уравнений0 1 2A a a a , при 1 0t ;

0 2B a a , при 1 / 2t ;

0 1 2C a a a , при 1t .Решение этой системы следующее:

0 | 2 | / 4I A B C ,

1 | | / 2I A C ,

2 | 2 | / 4I A B C .Расчитанные амплитуды гармоник тока будут достаточно точными, если ВАХ хорошо

аппроксимируется полиномом второй степени.

Умножение частотыУмножение частоты это операция, при которой частота входного гармонического

колебания увеличивается в целое число раз. Умножение частоты используется для получения колебаний кратных частот от задающего генератора (например, кварцевого генератора) в системах синхронизации, от вспомогательного генератора – гетеродина в модуляторах и демодуляторах, и др.

Рис. 20. Структурная схема умножителя частоты.

Если подать на НЭ гармоническое колебание некоторой частоты вх 1( ) cosmu t U t , тона выходе получим ток

10

( ) cos( )k kk

i t I k t

.

Полосовой фильтр (ПФ) выделяет гармоническое колебание нужной кратности. Если в качестве ПФ используют резонансный LC-контур, то его резонансная частота равна

рез 11

2f n f

LC .

На резонансной частоте сопротивление LC-контура будет максимальным:резR Q ,

где /L C – характеристическое сопротивление контура, Q – добротность колебательного контура.

Поскольку это не идеальный полосовой фильтр, то добротность контура зависит от активного сопротивления катушки индуктивности r :

/Q r .Входное сопротивление контура рез /(1 )Z R j , где рез рез( / / )Q f f f f –

обобщённая расстройка. При 1Q , рез рез2 ( ) /Q f f f и рез рез| | / 0,5 /( )Z R f f .Если LC-контур настроен на -юn гармонику, то амплитуда напряжения и само

напряжение на выходе резонансного контура будут равнывых резnU I R , вых рез( ) cos( )n n nu t I R t .

НЭ ПФвх ( )u t ( )i t

вых ( )u t

BC

u

i

/ 2

1t

0( )u t

A

28

Преобразование частоты квазигармонических сигналов в нелинейных и параметрических цепях

Используя НЭ можно выполнить преобразование частоты квазигармонических сигналов. Для этого на его вход необходимо подать сумму входного квазигармонического сигнала вх 1 1( ) ( ) cos( )u t U t t и сигнала г г г г( ) cos( )u t U t – гармоническое колебание заданной частоты, которое получают на выходе вспомогательного генератора – гетеродина:

см 1 1 г г г( ) ( )cos( ) cos( )u t E U t t U t .На выходе НЭ будет действовать ток, содержащий гармоники частоты входного

сигнала 1 и сигнала гетеродина г , а также комбинационные частоты к 1 1 2 г| |n n .Настроив ПФ на частоту п 1 г| | или п 1 г , на выходе ПФ получим

преобразованный сигнал вых п п( ) ( )cos( )u t kU t t .Преобразователь частоты производит транспонирование спектра узкополосного

сигнала.Пример. Если 2

см( )i u E= - , то

2 21 1 г 1 г 1 г

1 1( ) ( ) ( )cos 2 2 ( ) cos ( )2 2

i t U t U t t U t U t

2 2г 1 г 1 г г г г г

1 1( ) cos ( ) cos 2 22 2

U t U t U U t .

Рис. 21. Спектры сигналов до и после преобразования частоты.

вх,0 ( )S f

fгf1f

г2 f12 f п г 1f f f г 1f fгf f

ток,0 ( )S f

пf0 f

вых,0 ( )S f

29

ЛЕКЦИЯ 7Амплитудная модуляция (АМ) гармонических колебаний и её разновидности - балансная АМ (БАМ), АМ с одной боковой полосой (АМ ОБП). Спектры сигналов АМ при модуляции несущего колебания моногармоническим сигналом и случайным процессом. Особенности модуляции двоичными сигналами. Распределение мощности в АМ сигнале. Схемы модуляторов на нелинейных и параметрических элементах. Статическая модуляционная характеристика.

В общем виде сигнал АМ можно представить в виде произведения огибающей ( ) 0U t и высокочастотной гармонической несущей:

АМ 0 0( ) ( ) cos( )u t U t t ,где 0 – частота несущей, 0 – начальная фаза несущей.

Обычная АМ. При обычной АМ( ) ( )mU t U k x t

и АМ 0 0( ) ( ( )) cos( )mu t U k x t t ,где k – постоянный коэффициент, ( )x t – модулирующий сигнал, mU – амплитуда несущей.

При нормировании модулирующего сигнала max( ) ( ) / | ( ) |b t x t x t

АМ 0 0( ) 1 ( ) cos( )mu t U m b t t ,

где max| ( ) |

m m

k x tUmU U

– индекс амплитудной модуляции, 0 1m .

При 1m возникает перемодуляция, в результате чего невозможно будет восстановить в приёмнике модулирующий сигнал без искажений.

При моногармоническом (однотональном) модулирующем сигнале ( ) cos( )x t U t ( ) cos( )b t t ,

АМ 0 0( ) (1 cos( ))cos( )mu t U m t t

0 0 0 0 0 0cos( ) cos(( ) ) cos(( ) )2 2m m

mU m U mU t t t ,

где 2 F .

Рис. 22. АМ сигнал при моногармоническом модулирующем сигнале.

Спектр АМ сигнала при модуляции одним тоном изображен на следующем рисунке.

Рис. 23. Спектры сигналов до и после АМ при модуляции одним тоном.

Если модулирующий сигнал имеет более сложную форму, то его спектр равен

0АМ 0 0 0 0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e2

jm m x xS f U f f U f f kS f f kS f f .

t

( )U tАМ ( )u t

UmU

( )xS f

2U

fF

АМ ( )S f

f0f F 0f F0f0 0F

2U

2mU

4mU m

4mU m

2mU

4mU m

4mU m

30

Рис. 24. Спектры сигналов до и после АМ при произвольном модулирующем сигнале.

Ширина спектра АМ сигнала равна удвоенному значению верхней частоты спектра модулирующего сигнала: АМ 2f F .

Найдём среднюю мощность АМ сигнала при однотональной модуляции:/ 2 / 2

2 2 2 2АМ АМ 0 0

/ 2 / 2

1 1lim ( ) lim (1 cos( )) cos ( )T T

mT TT T

P u t dt U m t t dtT T

/ 2 2 2 2 2

2нес полезн.

/ 2

1lim (1 cos( ))2 2 2 2

Tm m m

TT

U U U mm t dt P PT

.

Здесь учтено, что при 0 0f / 2

0/ 2

1lim cos(2 ) 0T

TT

f t dtT

.

Доля мощности полезной составляющей АМ сигнала относительно средней мощности всего АМ сигнала составляет

2

2несполезн.

2 2АМ

нес нес

22

2

m PP mmP mP P

,

а относительно средней мощности несущей2

2несполезн.

нес нес

22

m PP mP P

.

Максимальное значение индекса модуляции равно 1m . Поэтомуполезн. АМ/ 1/ 3 0,33 33%P P , нес АМ/ 2 / 3 0,66 66%P P

полезн. нес/ 0,5 50%P P .Следовательно, максимальная доля мощности полезного сигнала (двух боковых полос в

спектре) составляет всего лишь 33% от мощности АМ сигнала. На практике, чтобы не возникла перемодуляция, значения 0,5...0,7m . Поэтому мощность передатчика АМ сигнала используется неэффективно. Также к недостаткам АМ можно отнести то, что при отсутствии модулирующего сигнала передатчик расходует мощность на излучение несущей.

Поскольку основная часть (66%) мощности АМ сигнала приходится на несущую, то для большей эффективности формируют АМ сигнал с подавленной несущей Такой вид модуляции называется балансной амплитудной модуляцией (БАМ).

Балансная АМ. При балансной АМ( ) ( )U t k x t

и БАМ 0 0 0 0( ) ( )cos( ) ( ) cos( )mu t k x t t U mb t t .Сигнал БАМ формируется путём простого перемножения сигнала и несущей.Сигнал однотональной балансной АМ имеет следующий вид

БАМ 0 0 0 0 0 0( ) cos( ) cos( ) cos(( ) ) cos(( ) )2 2m m

mU m U mu t U m t t t t .

Спектр сигнала БАМ такой же, как и спектр АМ сигнала, только в спектре БАМ отсутствует составляющая несущей.

( )xS f

fF0F

АМ ( )S f

f0f F 0f F0f0

2mU

2mU

31

АМ с одной боковой полосойДля более эффективного использования полосы частот подавляют одну из боковых

полос, поскольку они несут одну и ту же информацию. При этом ширина полосы частот такого сигнала становится в два раза меньше полосы частот АМ сигнала. Такой вид модуляции называют АМ с одной боковой полосой (АМ ОБП). Сигнал АМ с ОБП равен

ОБП 0 0 0 0 0 0( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )sin( )2mku t U t x t t x t t .

При однотональном модулирующем сигнале

ОБП 0 0 0 0( ) cos( ) cos(( ) )2

mm

mUu t U t t

или ОБП 0 0 0 0( ) 1 cos( ) cos( ) sin( )sin( )2 2mm mu t U t t t t

.

Огибающая такого сигнала нелинейно зависит от модулирующего сигнала:2 2 2

2( ) 1 cos( ) sin ( ) 1 cos( )2 4 4m mm m mU t U t t U m t

.

Для более эффективного использования мощности передатчика можно частично или полностью подавить несущую в сигнале АМ с ОБП.

Формирование сигнала АМСформировать сигнал АМ можно путём подачи на нелинейный элемент суммы

модулирующего сигнала и гармонической несущей: см 0( ) ( ) cosmu t E x t U t . Если нелинейный элемент аппроксимируется полиномом 2 степени 2

0 1 2i a a u a u ( р 0U ), то ток на его выходе будет равен

2 2

2 2 20 1 см 2 1 2 см 0 0( ) ( ( )) ( ) 2 ( ( )) cos cos 2

2 2m m

ma U a Ui t a a E x t a x t U a a E x t t t .

Если на выходе такого НЭ фильтром выделить полосу частот 0 в 0 в( ; )f f F f F , то напряжение на выходе фильтра будет равно

вых н 1 2 см 2 0( ) 2 2 ( ) cosmu t U R a a E a x t t .При 1 2 см 22 2 ( ) 1 ( )a a E a x t mb t получим АМ ( )u t .Для выбора рабочей точки на ВАХ и определения динамического диапазона входного

сигнала рассчитывают статическую (СМХ) и динамическую (ДМХ) модуляционные характеристики: СМХ – это зависимость 1 см( )I f E при ( ) 0x t , ДМХ – это зависимость индекса модуляции от амплитуды модулирующего сигнала, ( )m f U , при ( ) cosx t U t .

Для ВАХ аппроксимированной полиномом второй степени СМХ и ДМХ линейные и

равны 1 1 2 см2mI U a a E и 2

1 2 см

22am U

a a E

.

32

ЛЕКЦИЯ 8Детектирование сигналов АМ в нелинейных и параметрических цепях. Схемы детекторов на нелинейных элементах. Характеристика детектирования. Линейный и квадратичный детекторы. Нелинейные искажения. Синхронный детектор.

Операция детектирования АМ сигнала состоит в получении на выходе детектора низкочастотного модулирующего сигнала.

Детектирование АМ сигнала можно осуществить с помощью нелинейного элемента, на выходе которого поставлен фильтр нижних частот. При сильном входном сигнале можно использовать кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ. При слабом входном сигнале используют аппроксимацию полиномом 2 степени.

Зависимость тока постоянной составляющей 0I на НЭ детектора от модулируемого параметра несущей называют характеристикой детектирования (ХД): для АМ 0 ( )mI f U . Чтобы не было нелинейных искажений, стараются выбрать рабочую точку на линейном участке ХД.

Коллекторный детекторВ качестве НЭ используется транзистор, в цепи коллектора которого устанавливают

нагрузку в виде параллельной RC-цепи. Комплексное сопротивление этой нагрузки равно н

н н

( )1

RZj R C

. Модуль комплексного сопротивления равен н2

н н

( )1 ( )

RZR C

.

Чтобы эта цепочка выполняла роль ФНЧ, должны выполняться неравенства

н0 н н

1 1RC C .

Если на входе транзистора подать напряжение вх 0( ) ( ) cos( )u t U t t с достаточно большой амплитудой, то его ВАХ можно аппроксимировать двумя отрезками ломаной линии (кусочно-линейная аппроксимация). При см отсE U угол отсечки / 2 . При таком выборе при отсутствии входного сигнала ток НЭ равен нулю. Низкочастотная составляющая тока на выходе транзистора будет равна нч 0( ) ( ) ( / 2) ( ) /i t SU t SU t . Напряжение в нагрузке коллекторной цепи равно нч нч н н( ) ( ) ( ) /u t i t R SU t R . При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ напряжение на выходе детектора повторяет форму модулирующего сигнала вых нч дет( ) ( ) ( )u t u t k U t , поэтому такой детектор является линейным детектором.

Рис. 25. Ток на выходе диода и напряжение на выходе детектора при сильном входном сигнале.

Поскольку коллекторный детектор – линейный детектор, то и характеристика детектирования 0 0 ( / 2) /m mI SU SU также линейная.

t

вых( ), ( )i t u t

0

33

Квадратичное детектированиеЕсли сигнал на входе НЭ слабый, то ВАХ НЭ аппроксимируют полиномом 2 степени:

20 1 2i a a u a u . При подаче на его вход вх 0( ) ( ) cos( )u t U t t ( см 0E ), на выходе получим

ток, содержащий низкочастотную составляющую 22нч 0( ) ( )

2ai t a U t и составляющие 1 и 2

гармоник тока частоты несущей. Далее на выходе ФНЧ выделяется низкочастотная

составляющая 22вых нч нч н 0 н( ) ( ) ( ) ( )

2au t u t i t R a U t R

.

Рис. 26. Ток на выходе диода и напряжение на выходе детектора при слабом входном сигнале.

Т.к. выходное напряжение детектора пропорционально квадрату амплитуды входного сигнала, то такой детектор называют квадратичным детектором. В квадратичном детекторе возникают нелинейные искажения амплитуды сигнала, но при слабом сигнале они проявляются слабо.

Диодный детекторДиодный детектор образован последовательным соединением диода и RC-цепи,

которая выполняет роль ФНЧ. Будем считать, что диод имеет кусочно-линейную аппроксимацию с отс 0U :

0, 0,, 0.

ui Su u

При этом сопротивление нагрузки нR должно во много раз превышать сопротивление диода в прямом направлении, или н 1R S . Если подать на вход диодного детектора немодулированный сигнал вх 0( ) cosmu t U t и поскольку конденсатор заряжается гораздо быстрее, чем разряжается, то на выходе получим сигнал, имеющий пилообразную форму с малой высотой зубцов. Средний уровень выходного напряжения будет близким к амплитуде входного сигнала. Согласно электрической схеме выходное напряжение является напряжением смещения для входного сигнала, но приложенное к диоду в обратном направлении. Тогда см выхE U , отс см выхcos ( ) / /m mU E U U U .

Коэффициент передачи диодного детекторадет вых / cosmk U U .

Угол отсечки находят из соотношениявых 0 н 0 н( )mU I R SU R ,

откуда получим трансцендентное уравнениедет нcos ( / )(sin cos )k SR

или нtan /( )SR .При н 1SR , вых mU U и корень уравнения близок к нулю. При малых

3tan / 3 . Тогда

3дет нcos 3 /( )k SR .

t 0

вых( ), ( )i t u t

34

Синхронный детекторВ синхронном детекторе перемножают входной АМ сигнал с сигналом гетеродина,

частота которого равна частоте несущей.Если входной АМ сигнал равен

вх 0 0( ) ( ) cos( )u t U t t ,то на выходе перемножителя будет действовать сигнал

1 1вых вх 0 г г 0 0 г 02 2( ) ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )cos(2 )u t u t t U t U t t .

Далее на выходе перемножителя с помощью ФНЧ выделяют полезную низкочастотную составляющую:

1вых г 0 дет2( ) cos( ) ( ) ( )u t U t k U t .

При г 0 2 коэффициент передачи детектора максимален. При г 0 / 2 коэффициент передачи детектора равен нулю.

В синхронном детекторе важно знать не только частоту несущей принимаемого АМ сигнала, но и начальную фазу несущей. Поэтому гетеродин должен работать синхронно с точностью до начальной фазы принимаемого модулированного сигнала. Такой детектор называют синхронным или когерентным линейным детектором.

35

ЛЕКЦИЯ 9Угловая (частотная и фазовая) модуляция сигналов (УМ). Особенности спектров сигналов УМ при малых и больших индексах. Оценка эффективной ширины спектра. Различия в спектрах сигналов ЧМ и ФМ. Спектры при модуляции случайным двоичным сигналом.

Частотную и фазовую модуляцию называют ещё и угловой модуляцией, поскольку передаваемый сигнал изменяет аргумент или текущее значение фазового угла несущей.

УМ 0 0( ) cos( ( )) cos( ( ))m mu t U t t U t ,где mU – амплитуда, 0 – частота, 0 , ( )t и ( )t – начальная, мгновенная и полная фаза сигнала, которые зависят от модулирующего сигнала и вида модуляции.

Фазовая модуляцияПри фазовой модуляции модулирующий сигнал ( )x t изменяет фазу несущей, поэтому

мгновенная фаза сигнала и сам ФМ сигнал равны( ) ( ) ( )t k x t b t ,

ФМ 0 0 0 0( ) cos( ( )) cos( ( ))m mu t U t k x t U t b t ,где k – некоторый постоянный коэффициент, max| ( ) |k x t – максимальное отклонение фазы или девиация фазы.

При однотональном модулирующем сигнале сигнал ФМ равенФМ 0 0( ) cos( cos( ) )mu t U t m t ,

где max| ( ) |m k x t – индекс фазовой модуляции.

Рис. 27. Сигнал ФМ при модуляции одним тоном.

Частотная модуляцияПри частотной модуляции модулирующий сигнал ( )x t изменяет частоту несущей. При

этом мгновенная частота сигнала равна0 0( ) ( ) ( )t k x t b t .

Максимальное отклонение частоты max| ( ) |k x t называется девиацией частоты.Полная фаза равна

1 1 0 1 1 00 0

( ) ( ) ( )t t

t t dt t k x t dt .

Следовательно,

ЧМ 0 1 1 0 0 1 1 00 0

( ) cos ( ) cos ( )t t

m mu t U t k x t dt U t b t dt

.

При однотональном модулирующем сигнале ( ) cos( )x t U t

ЧМ 0 0( ) cos sin( )mu t U t m t ,где /m – индекс частотной модуляции при тональном модулирующем сигнале.

t

0

ФМ ( )u t

36

Рис. 28. Сигнал ЧМ при модуляции одним тоном.

Спектр сигналов с угловой модуляциейРассмотрим случай однотональной модуляции, когда ( ) sin( )x t U t :

УМ 0 0 0 0 0 0( ) cos( sin( ) ) cos( sin( ))cos( ) sin( sin( ))sin( )m m mu t U t m t U m t t U m t t .При малых индексах модуляции 1m , cos( sin( )) 1m t , sin( sin( )) sin( )m t m t и

УМ 0 0 0 0( ) cos( ) sin( )sin( )m mu t U t mU t t

0 0 0 0 0 0cos( ) cos(( ) ) cos(( ) )2 2

m mm

mU mUU t t t .

Т.е. спектр сигналов угловой модуляции при малых индексах модуляции совпадает со спектром АМ, но боковые сдвинуты по фазе относительно друг друга на .

Точное выражение для спектра сигнала УМ при однотональной модуляции можно получить, если воспользоваться разложением в ряд Фурье следующей комплексной экспоненты

sin( )e ( ) ejm x jkxk

kJ m

,

где ( )kJ m – функция Бесселя -гоk порядка.Тогда

0 0 0 0( sin( ) ) ( )УМ ( ) Re e Re ( ) ej t m t j t k t

m m kk

u t U U J m

или УМ 0 0( ) ( ) cos ( )m kk

u t U J m k t

.

Известно, что ( ) ( 1) ( )kk kJ m J m , поэтому начальные фазы спектральных

составляющих с частотами 0 k и 0 k совпадают, если k – чётное, и противоположные по знаку при нечётных k .

Рис. 29. Спектр сигнала УМ при модуляции одним тоном.

Ширина спектра сигнала УМ при однотональном модулирующем сигнале зависит от того, как быстро будут убывать коэффициенты ( )kJ m с ростом k .

При фиксированном m можно пренебречь всеми спектральными компонентами с 1k m . Поэтому ширину спектра сигнала угловой модуляции можно оценить выражением

c 2( 1)f m F .При больших индексах модуляции

f 0

УМ| ( ) |S f

0f

10m =

t

0

ЧМ ( )u t

37

c 2 2f mF f ,где /(2 )f – девиация частоты.

Для ЧМ девиация частоты f kU пропорциональна амплитуде модулирующего сигнала и не зависит от его частоты .

Для ФМ девиация частоты f kU пропорциональна и асмплитуде, и частоте модулирующего сигнала.

По сравнению с обычной АМ, для передачи сигнала ЧМ или ФМ требуется полоса частот в m раз большая. При этом такая широкополосность обеспечивает большую помехоустойчивость УМ, по сравнению с АМ.

Сигнал УМ имеет постоянную огибающую, что даёт возможность в передатчиках использовать усилители мощности с большим КПД (усилители класса С).

38

ЛЕКЦИЯ 10Методы формирования и детектирования сигналов угловой модуляции. Схемы частотных и фазовых модуляторов на управляемых реактивных элементах. Схемы частотных и фазовых детекторов. Синхронный детектор как универсальный элемент для детектирования сигналов с различными видами модуляции.

Балансная схема получения сигнала угловой модуляции. Сигнал угловой модуляции в общем виде можно представить так

УМ 0 0 0( ) cos( ( )) cos( ( ))cos( ) sin( ( ))sin( )m m mu t U t t U t t U t t ,

где ( ) ( )t k x t при ФМ и 1 10

( ) ( )t

t k x t dt при ЧМ.

Поэтому, чтобы получить сигнал угловой модуляции необходимо сформировать сигналы cos( ( ))t и sin( ( ))t , соответственно перемножить их на квадратурные несущие и затем сложить полученные сигналы. Всё это может выполнять балансный модулятор.

Получение сигнала угловой модуляции с помощью варикапаВарикап – диод с управляемой ёмкостью p-n перехода. В генераторе гармонических

колебаний на основе LC-контура (LC-генератор) частота генерируемого колебания зависит от элементов цепи L и C:

рез1LC

.

При подключении параллельно к ёмкости резонансного LC-контура варикапа, можно модулирующим сигналом изменять его ёмкость. Одновременно с этим будет изменяться резонансная частота колебательного контура, которая равна

рез*0

*

1 1( ( )) ( )1

L C С С t С tLCC

.

На графике зависимости генерируемой частоты от приложенного напряжения выбирают линейный участок, на котором и определяют рабочую точку. При этом зависимость частоты от приложенного напряжения будет линейной:

0( )u k u .Детектирование сигналов угловой модуляцииДля детектирования сигналов УМ, как и сигналов АМ, используется нелинейное

преобразование.Использование нелинейного элемента для детектирования ФМ сигналовЕсли ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется полиномом второй степени

20 1 2( )i u a a u a u

и на него подаётся сумма напряжений входного сигнала угловой модуляции ФМ ( )u t и гармонического сигнала г ( )u t от опорного генератора с частотой равной частоте несущей:

вх 0 г 0 г( ) cos( ( )) cos( )mu t U t t U t ,то из-за слагаемого ВАХ второй степени в токе будет присутствовать составляющая

2 г 0 0 г( ) 2 cos( ( )) cos( ) ...mi t a U U t t t

2 г 0 г 2 г гcos(2 ( ) ) cos( ( ) ) ...m ma U U t t a U U t .ФНЧ выделит НЧ составляющую тока

2 2нч 0 2 г 2 г г( ) 0,5 ( ) cos( ( ) )m mi t a a U U a U U t .

Выходное напряжение будет пропорционально току нч ( )i t . В дальнейшем, чтобы выделить мгновенную фазу, можно использовать нелинейный элемент с характеристикой

arccos( )y x .

39

Если ( )t мало, а г / 2 , то нч ( ) sin( ( )) ( )i t t t и этот ток будет создавать напряжение на нагрузке, пропорциональное мгновенной фазе сигнала ФМ.

Для детектирования ЧМ сигнала необходимо продифференцировать сигнал на выходе

фазового детектора, поскольку 0( ) ( )( ) d t d tt

dt dt

. Для этого можно использовать

дифференцирующую RC-цепь.При создании фазовых детекторов неизбежны трудности, связанные с требованием

жёсткой стабилизации фазы г колебаний опорного генератора.Синхронный детектор ФМСинхронный детектор – это преобразователь частоты, у которого c г .При синхронном детектировании входной сигнал УМ перемножается с сигналом

гетеродина приёмника г г 0 г( ) cos( )u t U t . При этом на выходе ФНЧ получим

гнч г( ) cos( ( ) )

2mU Uu t t .

Дальнейшие действия выполняются также как и в предыдущем пункте.Частотное детектирование с помощью расстроенного колебательного контураЧастотную модуляцию можно превратить в неглубокую АМ, подавая ЧМ сигнал на

линейный участок расстроенного LC-контура. На этом участке его АЧХ можно разложить в ряд Тейлора

0 0 0| ( ) | | ( ) | | ( ) | ( )K K K .Тогда, если 0( ) cos( )t t , то

0 0 0 0 0 0| ( , ) | | ( ( )) | | ( ) | | ( ) | ( ( ) ) | ( ) | | ( ) | cos( )K t K t K K t K K t ,а напряжение на выходе фильтра (при условии узкополосности сигнала) будет равно

вых 0 чм 0 0 чм( ) | ( , ) | ( ) | ( ) | | ( ) | cos( ) ( )u t K t u t K K t u t .Следовательно, сигнал на выходе расстроенного контура будет равен

вых 0( ) ( ) cos( ( ))mu t U k x t t t .

Рис. 30. Преобразование ЧМ в АМ с помощью расстроенного контура.

Далее, на выходе фильтра ставится обычный детектор АМ сигнала. Поскольку детектор АМ не чувствителен к изменению фазы модулированного сигнала, то на его выходе будет получен модулирующий сигнал.

( )K

t

0 t

0| ( , ) |K t

( ) cosx t t

40

ЛЕКЦИЯ 11Вероятностные характеристики случайных процессов.Случайные величины и их вероятностные характеристики: интегральная функция

распределения, плотность вероятности и их свойства. Совместное распределение вероятностей двух случайных величин. Условная плотность вероятности. Независимость совокупности случайных величин. Функциональные преобразования случайных величин. Основные числовые характеристики: мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции. Нормальный или гауссовский закон распределения случайных величин.

Теория вероятностей – это наука, изучающая закономерности в случайных событиях или явлениях. Числовой мерой достоверности случайного события является вероятность.

Вероятность появления некоторого события A в опыте (испытании, измерении) равна

( ) lim AN

NP AN

, (76)

где AN – число опытов, в которых событие A произошло, N – общее число опытов.Вероятность события может принимать значения от 0 (невозможное событие) до 1

(достоверное событие).Случайные величиныСлучайная величина (СВ) – это некоторая числовая величина, принимающая, в

зависимости от случая, свои значения с заданными вероятностями. Если вероятность СВ не равна единице, то её значение в конкретном опыте достоверно предсказать невозможно.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Дискретные СВ являются частным случаем непрерывной СВ, поэтому, в дальнейшем, ограничимся описанием свойств и характеристик непрерывных СВ.

Случайные величины или события обычно обозначают большими буквами (прописью), а конкретное её значение или реализацию случайной величины в опыте обозначают строчными буквами. Например, X – случайная величина, x – значение этой случайной величины.

Интегральная функция распределения и плотность вероятностиВажными характеристиками случайных величин являются интегральная функция

распределения (ИФР) и плотность вероятности (ПВ). ИФР и ПВ случайной величины X– это функции от неслучайного аргумента, которые равны

( ) ( ) ( )x

X XF x P X x w t dt

( x ) – ИФР, (77)

0

( )( )( ) lim XX x

dF xP x X x xw xx x

( x ) – ПВ. (78)

Если при написании ИФР или ПВ индекс, обозначающий случайную величину к которой они принадлежат, не указан, то принадлежность их к случайной величине определяют по обозначению аргумента.

Свойства интегральной функции распределения:1) 0 ( ) 1XF x ; 2) ( ) 0, ( ) 1X XF F ; 3) 1 2( ) ( )X XF x F x , если 1 2x x .

Свойства плотности вероятности:1) ( ) 0Xw x ;2) вероятность того, что СВ примет своё значение внутри заданного интервала, равна

2

1

1 2( ) ( )x

Xx

P x X x w x dx ; (79)

41

3) условие нормировки ПВ: ( ) 1Xw x dx

(вероятность достоверного события);

4) плотность вероятности дискретной СВ , 1, 2,...,kX x k n с ( )k kp P X x равна

1( ) ( )

n

X k kk

w x p x x

. (80)

Совместное распределение вероятностей двух случайных величинОбобщением распределения одной СВ является совместное распределение двух и более

СВ. Для их полного описания необходимо задать многомерную ИФР или многомерную ПВ.Рассмотрим совместное распределение двух СВ X и Y . Их совместная ПВ и ИФР по

определению равны

, ,( , ) ( , ) ( , )yx

X Y X YF x y P X x Y y w t v dtdv

, (81)

, 00

( , )( , ) limX Y xy

P x X x x y Y y yw x yx y

. (82)

Если известно распределение двух СВ, то распределение одной из них, например X , можно найти по формулам

, ,( ) ( , ) ( , )x

X X Y X YF x F x w t v dtdv

, ,( ) ( , )X X Yw x w x y dy

. (83)

Условная плотность вероятностиЕсли распределение вероятностей одной случайной величины в опыте зависит от того,

какое значение приняла в опыте другая случайная величина, то такие СВ являются зависимыми. Для выражения вероятностной зависимости СВ друг от друга в теории вероятностей вводятся условные плотности вероятности.

Совместную плотность вероятности двух СВ можно найти через условные плотности вероятности | ( | )Y Xw y x и | ( | )X Yw x y по известной формуле Байеса

, | |( , ) ( ) ( | ) ( ) ( | )X Y X Y X Y X Yw x y w x w y x w y w x y . (84)Откуда легко выразить условную плотность вероятности Y :

, ,|

,

( , ) ( , )( | )

( )( , )

X Y X YY X

XX Y

w x y w x yw y x

w x w x y dy

. (85)

Независимость совокупности случайных величинСлучайные величины 1 2, ,..., nX X X являются независимыми, если

1 2, ,..., 1 21

( , ,..., ) ( )n k

n

X X X n X kk

w x x x w x

. (86)

Если это условие не выполняется, то 1 2, ,..., nX X X являются зависимыми СВ.Функциональные преобразования случайных величинДовольно часто приходится решать задачи, в которых требуется найти распределение

случайной величины, полученной в результате функционального преобразования случайных величин с известным распределением.

Рассмотрим две типичные задачи функционального преобразования.Случай 1. ИФР или плотность вероятности X известны, а Y получена из X путём

функционального преобразования( )y f x .

Используя определение ИФР, находим ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( )Y x X xF y P Y y P f X y P X f y F f y , (87)

42

где ( 1) ( )xf y – обратная функция по отношению к ( )f x .Тогда

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y Y X x X x x X xd d d dxw y F y F f y w f y f y w f ydy dy dy dy

. (88)

Учитывая, что ( ) 0Yw y , получим

( 1)( ) ( )Y X xdxw y w f ydy

. (89)

Если обратная функция ( 1) ( )xx f y неоднозначная, т.е. при заданном y существует

несколько значений x : 1 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 2( ) ( ), ( ),..., ( )

nx x x n xf y x f y x f y x f y , то

( 1)1 2

1( ) ... ... ( )

k

n

Y k X xk

F y P X x X x X x F f y

(90)

и ( 1)

1( ) ( )

k

nk

Y X xk

dxw y w f ydy

. (91)

Пример. Значения X и Y связаны зависимостью 2y x .

2( ) ( ) ( )Y X XF y P Y y P X y P X y X y F y F y , (92)

1( ) ( )2Y Y X X

dw y F y w y w ydy y

, 0y . (93)

Случай 2. СВ Y связана с двумя СВ 1X и 2X функциональным преобразованием

1 2( , )y f x x .Аналогично случаю 1, находим

2

1

( 1)1 2 1 1 2 1

( ; )

( ) ( ) ( , ) , ( , )Y xx

F y P Y y P f X X y P X x X f x y

2 1 2 1 2

1

( 1) ( 1)1 1 2 1 1 1 1 | 1 1 1

( ; )

( , ) | ( ) ( , ) |x X X X xx

P X x P X f x y X x w x F f x y x dx

.

Плотность вероятности Y найдём как производную от ( )YF y по y :

1 2 1 2 2

( 1) ( 1)1 | 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( , ) | ( , )Y Y X X X x x

d dw y F y w x w f x y x f x y dxdy dy

.

С учётом неотрицательности ПВ, получим

1 2 2 2

( 1) ( 1), 1 1 1 1( ) , ( , ) ( , )Y X X x x

dw y w x f y x f y x dxdy

. (94)

Пример 1. Дано 1 2y x x . Тогда 2

( 1)1 2 1( , )xf x y x y x ,

2

( 1)1( , ) 1x

d f x ydy

и

1 2,( ) ( , )Y X Xw y w x y x dx

. (95)

Если 1X и 2X независимые СВ, то ПВ Y будет равна их свёртке

1 2( ) ( ) ( )Y X Xw y w x w y x dx

. (96)

Пример 2. Дано 1 2y x x . Тогда 2

( 1)1 2 1( , ) /xf x y x y x ,

2

( 1)1 1( , ) 1/x

d f x y xdy

и

1 2,1( ) ,Y X X

yw y w x dxx x

. (97)

43

Основные числовые характеристики случайных величинМода – значение случайной величины, при которой плотность вероятности достигает

своего максимума.Медиана – значение случайной величины, в которой площадь, ограниченная кривой

плотности вероятности, делится пополам.Математическое ожидание или статистическое среднее

( )X XM X X m x w x dx

. (98)

Дисперсия

22 2 2( ) ( )X X X XD X M X X m x m w x dx

, (99)

2 2XD X M X m , (100)

где X – среднеквадратическое отклонение случайной величины, которое определяет меру

разброса случайной величины около своего среднего значения, XX X m

–центрированная случайная величина.

Коэффициент корреляции

, ,{ } 1 ( ) ( ) ( , )X Y X Y X Y

X Y X Y

M X Y x m y m w x y dxdy

. (101)

Коэффициент корреляции является одним из показателей линейной зависимости СВ.Свойства коэффициента корреляции:1) ,1 1X Y ;2) если , 0X Y , то X и Y – некоррелированные СВ;3) если , 1X Y , то X и Y – линейно-зависимые СВ.Если Y aX b , то , sign( )X Y a . При этом , ( , ) ( ) ( )X Y Xw x y w x y ax b .Если СВ статистически независимые, то коэффициент корреляции равен , 0X Y , т.е.

из условия независимости СВ следует их некоррелированность. Наоборот не всегда справедливо.

Нормальный или гауссовский законЕсли X – нормальная (гауссовская) СВ с XM X m и 2

XD X , то2

2( )

2

2

1( ) e2

X

X

x m

X

X

w x

. (102)

Свойства:1) при 0X ( ) ( )X Xw x x m , а при X ( ) 0Xw x ;2) закон 3 : 3 3 | | 3 0,997X X X X X XP m X m P X m ;3) если две нормальные СВ некоррелированные, то они также независимые.Центральная предельная теорема теории вероятностей доказывает, что сумма

достаточно большого числа независимых СВ есть СВ, распределённая по нормальному (гауссовскому) закону. В частном случае, алгебраическая сумма 1 2Y X X двух независимых нормальных СВ 1X и 2X будет также распределена по нормальному закону с

1 2M Y M X M X и 1 2D Y D X D X . (103)

44

ЛЕКЦИЯ 12С л у ч а й н ы е процессы. Основные характеристики случайных процессов:

математическое ожидание и дисперсия случайных процессов. Корреляционная функция и коэффициент корреляции случайного процесса и их свойства. Взаимная корреляционная функция случайных процессов.

Случайные процессыСлучайный процесс – это случайная функция от неслучайной переменной времени t .

Он образуется множеством детерминированных (неслучайных) функций времени ( )ix t( 0,1,...,i ), которые называют реализациями случайного процесса ( )X t . Значение СП в некоторый момент времени является случайной величиной и называется сечением СП. Например, если ( )X t – случайный процесс, то ( )i iX X t – сечение случайного процесса в момент времени it .

Для полного описания случайного процесса необходимо задать совместное распределение всех его сечений.

На следующем рисунке 0X и 1X обозначают сечения СП ( )X t в моменты времени 0t и

1t , а функции 0 ( )x t , 1( )x t и 2 ( )x t – его выборочные реализации.

Рис. 31. Реализации случайного процесса и его сечения.

Случайные сигналы, к которым относятся помехи, шумы и другие сигналы случайного происхождения, в теории связи рассматриваются в виде случайных процессов.

Основные характеристики случайных процессовДля случайных процессов, как и для случайных величин, можно найти математическое

ожидание и дисперсию:

( ) ( ) ( ) ( , )X XM X t m t X t x w x t dx

, (104)

22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( , ) ( ) ( )X X X X XD X t t X t m t x m t w x t dx M X t m t

, (105)

( ) ( ) ( )XX t X t m t

– центрированный СП, ( )Xm t – регулярная составляющая СП.Корреляционная функция

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , )X X X XB t t X t X t x m t x m t w x x t t dx dx

. (106)

1 2 1 2 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )X XB t t X t X t X t X t B t t

, ( , ) ( , )X XB t t B t t . (107)Коэффициент корреляции

1 21 1

1 2

( , )( , )( ) ( )X

XX X

B t tt tt t

. (108)

Свойства коэффициента корреляции:1) 1 21 ( , ) 1X t t ;2) 1 2( , ) 0X t t , если сечения 1( )X t и 2( )X t некоррелированные;3) 1 2( , ) 1X t t , если сечения 1( )X t и 2( )X t линейно-зависимые.

1X0X( )X t

0 ( )x t

0t 1t

1( )x t

2 ( )x t t

45

Взаимная корреляционная функция различных случайных процессов ( )X t и ( )Y t

, 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , )X Y X Y X YB t t X t Y t M X t Y t x m t y m t w x y t t dxdy

. (109)

46

ЛЕКЦИЯ 13Стационарные и нестационарные случайные процессы. Корреляционная функция и

коэффициент корреляции стационарного случайного процесса и их свойства. Интервал корреляции. Эргодические случайные процессы. Гауссовские и марковские случайные процессы.

Стационарные и нестационарные случайные процессыСлучайные процессы можно разделить на два класса – стационарные и

нестационарные.Строго стационарными или стационарными в узком смысле называют такие

случайные процессы, плотность вероятности или интегральная функция распределения которых не зависит от произвольного временного сдвига. Если ( )X t – строго стационарный случайный процесс, то

1 2 1 2 1 2 1 2( , ,..., , , ,..., ) ( , ,..., , , ,..., )X n n X n nw x x x t t t w x x x t t t при любом . (110)Одномерная плотность вероятности стационарного СП ( , ) ( , ) ( )X X Xw x t w x t w x –

не зависит от времени, а двумерная плотность вероятности 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , )Xw x x t t w x x –зависит от разности моментов времени 2 1t t .

Стационарные в широком смысле случайные процессы характеризуются тем, что их математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени:

1) ( ) ( ) constXM X t X t m ;

2) 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) constX X XD X t X t m t M X t m ;

3) ( , ) ( ) ( ) ( )X XB t t X t X t B

.Строго стационарные СП стационарны и в широком смысле. Но наоборот не всегда

справедливо.Свойства корреляционной функции стационарного СП:1) ( ) ( )X XB B – чётная функция от ;

2) 2(0)X XX

B P – средняя мощность центрированного СП ( )X t

;

3) 2| ( ) | (0)X X XB B .Коэффициент корреляции стационарного СП: 2( ) ( ) /X X

XB , причём ( ) 1X .

Для чисто случайного процесса ( ) 0X при .Интервал корреляции (радиус корреляции). Интервал кор , для которого выполняется

одно из условий ( ) 0XB или ( ) 0X при кор , называют интервалом или радиусом корреляции СП. Сечения СП, отстоящие друг от друга на кор , можно считать некоррелированными.

Если непосредственно по форме корреляционной функции не удаётся найти кор , то для его определения можно использовать метод равновеликого прямоугольника:

прямоуг. кор0

(0) ( )X XS B B d

,

кор0 0

1 | ( ) | | ( ) |(0) X X

X

B d dB

. (111)

Нестационарные случайные процессы

Стационарныев широком смысле

Строго стационар-

ные

47

Рис. 32. Определение интервала корреляции методом равновеликого прямоугольника.

Для большого числа практических задач корреляционная функция является достаточно полной характеристикой стационарного случайного процесса. Раздел теории, который изучает свойства случайных процессов, определяемых моментами первых двух порядков, называют корреляционной теорией. В корреляционной теории не рассматриваются многомерные распределения, поэтому в рамках этой теории стационарны все случайные процессы, у которых среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит лишь от разности моментов времени.

Для полного описания стационарного в широком смысле случайного процесса достаточно задать математическое ожидание и корреляционную функцию.

Эргодические случайные процессыЭргодические случайные процессы – это процессы, для которых усреднение по

множеству его реализаций (статистическое усреднение) совпадает с результатом усреднения

по времени одной, достаточно длинной, реализации: / 2

/ 2

1( ) ( ) lim ( )T

TT

X t x t x t dtT

.

Необходимым условием эргодичности случайного процесса является его стационарность.

Основные характеристики эргодического СП находятся следующим образом:/ 2

/ 2

1( ) lim ( )T

X TT

m x t x t dtT

– постоянная составляющая ( )x t ,

/ 2

22 2

/ 2

1( ( ) ) lim ( )T

X X XTT

x t m x t m dtT

– средняя мощность переменной

составляющей ( ) ( ) ( )x t x t x t

,/ 2

/ 2

1( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )T

X TT

B x t x t x t x t dtT

. (112)

Усреднение по времени сделать значительно легче, чем выполнять усреднение по множеству реализаций, поскольку для его осуществления достаточно одной реализации случайного процесса.

Нормальные или гауссовские случайные процессыДля нормального или гауссовского случайного процесса совместная плотность

вероятности различных его сечений равна

T 1

1 2 1 21 1( , ,..., , , ,..., ) exp ( ) ( )

22X n n X Xn

w x x x t t t

x m A x mA

, (113)

гдеT

1 2( , ,..., )nx x xx – вектор сечений СП в моменты времени 1 2( , ,..., )nt t t ,T

,1 ,2 ,( , ,..., )X X X X nm m m m x – вектор математических ожиданий этих сечений,

1,1 1,2 1,

T 2,1 2,2 2,

,1 ,2 ,

...

...( )( ) ... ... ... ...

...

n

n

n n n n

r r rr r r

r r r

X XA x m x m – корреляционная матрица (симметричная),

элементы которой равны , ( , )i j X i jr B t t .

(0)XB( )XB

кор0

48

Свойство 1: гауссовский случайный процесс полностью определяется своим математическим ожиданием и корреляционной функцией.

Свойство 2: если сечения гауссовского СП попарно некоррелированные, то они также независимые, т.к. в этом случае 2

,diag( )X k A и

1 2 1 21

( , ,..., , , ,..., ) ( , )n

n n X k kk

w x x x t t t w x t

, (114)

где

2,

2,

( )

21 1 2

1 ,

1( , ) ... ( ,..., ,..., , ,..., ,..., ) e2

k X k

X k

x mn

X k k X k n k n ii X ki k

w x t w x x x t t t dx

(115)

– одномерная плотность вероятности сечения СП в момент времени kt .Стационарные гауссовские случайные процессыМатематическое ожидание стационарного гауссовского СП не зависит от времени, а

его корреляционная функция зависит от разности моментов времени. ПоэтомуT(1,1,...,1)X Xm m , , ( )i j X i jr B t t , 2

,k k Xr ,а корреляционная матрица A является симметричной и тёплицевой матрицей.

Следствие: стационарные в широком смысле гауссовские СП являются также строго стационарными.

Если сечения гауссовского СП попарно некоррелированные, то 2X n A I и

1 21

( , ,..., ) ( ) ( )n

nn X k X

kw x x x w x w x

. (116)

Марковские случайные процессыМарковский случайный процесс – это СП без последействия, т.е. его условная

(переходная) плотность вероятности зависит только от предыдущего состояния, в котором он находился ранее:

1 1 1 11 2 1 2 1 1

1 11 1

( , , , ) ( , , , )( , | , ,..., , ,...) ( , | , )( , )

( , , , )

k k k k k k k kk k k k k k k k k k

k kk k k k k

w x x t t w x x t tw x t x x t t w x t x tw x t

w x x t t dx

. (117)

Марковский СП полностью описывается двумерной ПВ 1 1( , , , )k k k kw x x t t .Совместная плотность вероятности различных сечений марковского СП равна

1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 1 11

( , ,..., , , ,..., ) ( , ) ( , | , ) ( , | , )... ( , ) ( , | , )k

X k k k k i i i ii

w x x x t t t w x t w x t x t w x t x t w x t w x t x t

.(118)

Для стационарного или однородного марковского СП условная плотность вероятности зависит только от разности 1k kt t :

1 1 1( , | , ) ( | , )k k k k k kw x t x t w x x . (119)Марковские случайные процессы часто используют для описания различных реальных

физических случайных процессов и сигналов.Примером марковского СП является винеровский случайный процесс, который

описывает хаотическое движение частиц жидкости или газа при отсутствии внешних

воздействий: 1 10

( ) ( )t

X t N t dt , где ( )N t – это СП с ( ) 0N t и 01 2 2 1( , ) ( )

2NNB t t t t .

Для винеровского СП ( ) 0X t и 01 2 1 2( , ) min( , )

2XNB t t t t .

49

ЛЕКЦИЯ 14Спектральная плотность мощности случайного процесса. Теорема Хинчина–Винера.

Эффективная ширина спектра случайного процесса и её связь с интервалом корреляции. Спектр и корреляционная функция белого шума.

При изучении детерминированных процессов часто применяют гармонический анализ – это ряды Фурье для периодических сигналов и преобразования Фурье для непериодических сигналов. Аналогично, преобразования Фурье можно применять и для анализа случайных процессов.

Спектральная плотность мощности случайного процессаОпределим спектральную плотность любой реализации случайного процесса ( )X t на

временном интервале длительностью T выражением/ 2

2,

/ 2

( ) ( ) eT

j f tX T

T

S f X t dt

, [В/Гц].

Тогда спектральная плотность мощности (СПМ) случайного процесса ( )X t равна2

,1( ) lim ( )X X TT

G f S fT

, [Вт/Гц]. (120)

Следует отметить, что СПМ не содержит информации о фазо-частотном спектре СП.Теорема Хинчина–Винера

Если случайный процесс не содержит регулярной составляющей, ( ) ( )X t X t

, то усреднённая по времени корреляционная функция и спектральная плотность мощности такого случайного процесса связаны друг с другом парой преобразований Фурье

2( ) ( ) e j fX XG f B d

[Вт/Гц], (121)

2( ) ( ) e j fX XB G f df

[Вт], (122)

где/ 2

/ 2

1( ) ( , ) lim ( , )T

X X XTT

B B t t B t t dtT

. (123)

Доказательство:

1 2

/ 2 / 22 2 ( )

,, , 1 2 1 2/ 2 / 2

1 1 1( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) eT T

j f t tX TX X T X TT T T

T T

G f S f S f S f X t X t dt dtT T T

/ 22 2

/ 2

1lim ( , ) e ( ) eT

j f j fX XT

T

B t t dt d B dT

.

Свойства:1) площадь фигуры, ограниченной ( )XG f , есть средняя мощность СП:

(0) ( )X X XP B G f df

; (124)

2) из свойства чётности корреляционной функции ( )XB следует, что

2

0

( ) Re ( ) e ( ) cos(2 ) 2 ( ) cos(2 )j fX X X XG f B d B f d B f d

(125)

– действительная и чётная функция частоты;3) из свойства чётности СПМ ( )XG следует, что

50

,00 0

( ) ( )cos(2 ) 2 ( ) cos(2 ) ( )cos(2 )X X X XB G f f df G f f df G f f df

, (126)

где ,0

2 ( ), 0,( )

0, 0X

X

G f fG f

f

– односторонняя СПМ (спектральная плотность мощности,

определённая на положительных частотах).Эффективная ширина спектра СП эF определяется как ширина полосы частот

,0 ( )XG f , в которой сосредоточенна основная часть мощности СП, например, 90…99%. Её можно найти из уравнения

э

,0 ,00 0

( ) ( ) (0)F

X X XG f df G f df B

, где 0,9...0,99 . (127)

Связь между кор и эF определяется соотношением

кор эF K , где K – константа порядка единицы для простых сигналов. Из этого соотношения следует, что

э кор/F K , т.е. чем уже корреляционная функция, тем шире энергетический спектр СП и наоборот. Рис. 33. Определение эффективной

ширины спектра СП.Белый шумБелый шум является распространённой и важной для теории связи моделью случайного

процесса. Он широко используется при описании различных моделей каналов связи с шумом. Его можно использовать для формирования случайных процессов с заданной корреляционной функцией или спектральной плотностью мощностью.

Белый шум – это случайный процесс с постоянной спектральной плотностью мощности на всех частотах. Шум назван белым, потому что такой же спектр имеет белый свет. Если ( )N t – белый шум, то ( ) 0N t и 0( ) / 2NG f N . Константа 0N – это односторонняя (заданная на положительных частотах) спектральная плотность мощности белого шума.

Корреляционная функция белого шума равна2 20 0( ) ( ) e e ( )

2 2j f j f

N NN NB G f df df

или 01 2 2 1( , ) ( )

2NNB t t t t . (128)

Из выражения для корреляционной функции белого шума следует, что его различные сечения некоррелированные, а интервал корреляции равен нулю.

Рис. 34. Энергетический спектр и корреляционная функция белого шума.

В природе белого шума в чистом виде не существует, т.к. его средняя мощность равна (0)X NP B . Он является математической идеализацией некоторого реального

физического процесса. Многие физические процессы можно приближённо считать белым шумом. Например, тепловой шум резисторов (дробовый шум), который имеет равномерный спектр до частот порядка 1210 Гц, математически можно описывать в виде белого шума.

Отметим, что кроме белого существуют также розовый и коричневый шум. Для розового шума СПМ в заданной полосе частот убывает с ростом частоты по закону

( ) 1/G f f . Розовый шум называют также фликкер-шумом от англ. flicker – мерцание. Он описывает медленные флуктуации электрических токов и напряжений. Для коричневого шума СПМ убывает по закону 2( ) 1/G f f .

0 / 2N

( )NB

f

( )NG f

0

0 / 2N

0

,0 ( )XG f

f 0эF

90% PX

51

ЛЕКЦИЯ 15Полосовой и узкополосный случайные процессы. Гауссовский узкополосный случайный

процесс: распределение огибающей и фазы при отсутствии и наличии регулярной составляющей (релеевское и райсовское распределения). Корреляционные функции испектральные плотности мощности квазибелого и узкополосного квазибелого шума. Представление случайных процессов с помощью рядов. Разложение в ряд Карунена–Лоэва.

Полосовой случайный процессСлучайный процесс, занимающий некоторую полосу частот от minf до maxf , называют

полосовым.Узкополосный случайный процессСлучайный процесс называется узкополосным, если его энергетический спектр

сосредоточен в относительно узкой полосе частот около некоторой частоты 0f . Если указанное условие не выполняется, то СП называют широкополосным.

Рис. 35. Энергетический спектр узкополосного СП.

Если f – ширина полосы частот СПМ случайного процесса, то условие узкополосности можно определить неравенством 0f f или 0/ 1f f .

Узкополосный СП можно представить в виде квазигармонического СП0 0 0( ) ( )cos( ( )) ( ) cos( ) ( )sin( )U t A t t t X t t Y t t , (129)

где2 2( ) ( ) ( )A t X t Y t – огибающая узкополосного СП, ( ) 0A t ,

( ) arctg( ( ) / ( ))t Y t X t – случайная фаза узкополосного СП,( ) ( )cos( ( ))X t A t t и ( ) ( )sin( ( ))Y t A t t – квадратурные компоненты СП.

Гауссовский узкополосный СПЕсли квадратурные компоненты узкополосного СП ( )X t и ( )Y t – независимые

гауссовские СП с равными дисперсиями 2 2 2X Y , то совместная плотность вероятности

любых его сечений равна2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2, 22 2

1 1 1( , ) ( ) ( ) e e e22 2

X Y X Yx m y m x m y m

X Y X Yw x y w x w y

, (130)

где X и Y – сечения СП ( )X t и ( )Y t .Мгновенные значения огибающей и фазы СП связаны со значениями квадратурных

компонент функциональными зависимостями (переход от декартовых координат к полярным):

2 2a x y , arctg( / )y x . (131)cos( )x a , sin( )y a . (132)

Известно, что при переходе к полярным координатам dxdy adad .

,0 ( )UG f

0f0 minf maxf f

fmax minf f f

0 max min( ) / 2f f f

( )UG f

0f0 minf maxf f

f

0f

52

Тогда

, , ,( , )( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin )( , )A X Y X Yx yw a w a a a w a aa

(133)

или2 2

2( cos ) ( sin )

2, 2( , ) e

2

X Ya m a m

Aaw a

, 0a , . (134)

Одномерная плотность вероятности огибающей и фазы гауссовского СП равны

,( ) ( , )A Aw a w a d

, ,0

( ) ( , )Aw w a da

. (135)

Некоторые частные законы распределения огибающей узкополосного гауссовского СП:1. При 0X Ym m закон распределения огибающей называется релеевским:

2

222( ) e

a

Aaw a

, 0a . (136)

При этом фаза имеет равномерное распределение:1

2 , при ,( )

0, иначе.w

(137)

2. Если Xm и Ym одновременно не равны нулю, то закон распределения огибающей называется райсовским или обобщённым релеевским:

2 2 2

2 2 2202 2( ) e

X Ya m m

A X Ya aw a I m m

, (138)

где cos( )0

1( ) e2

xI x d

– модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

В этом случае узкополосный СП можно представить в виде суммы

р 0 0 р( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) ( )sin( ) ( )U t U t u t X t t Y t t u t

, (139)где р 0 0 р 0 р( ) cos( ) sin( ) cos( )X Yu t m t m t a t – неслучайная или регулярная

составляющая СП с амплитудой 2 2р X Ya m m и начальной фазой р arctg( / )Y Xm m .

Квазибелый шумСлучайный процесс с равномерной СПМ в полосе частот ( ; )F F называется

квазибелым шумом.Квазибелый шум можно получить из белого шума, если последний пропустить через

идеальный ФНЧ с частотой среза срf F и коэффициентом передачи 0 1K . СПМ случайного процесса ( )X t на выходе такого фильтра равна

02 20 2 ,при | | ,( ) ( ) ( ) ( )2 0,иначе,

N

X Nf FNG f K f G f K f

(140)

а корреляционная функция20 0

0sin(2 ) sin(2 )( ) e

2 2 2

Fj f

XF

N N F FB df N FF

. (141)

Случайный процесс ( )X t является квазибелым шумом.

53

Рис. 36. Корреляционная функция и СПМ квазибелого шума.

Особенностью квазибелого шума является то, что его средняя мощность 0(0)X XP B N F не равна бесконечности как у белого шума, а сечения, отстоящие друг от

друга на интервал /(2 )k k F , где 1, 2,...k , некоррелированные, т.к. ( / 2 ) 0XB k F .Узкополосный квазибелый шумЭнергетический спектр узкополосного квазибелого шума представлен на следующем

рисунке.

Рис. 37. Энергетический спектр узкополосного квазибелого шума.

Узкополосный квазибелый шум ( )U t со спектральной плотностью мощности 0 / 2Nможно выразить через квадратурные компоненты ( )X t и ( )Y t :

0 0( ) ( ) cos( ) ( )sin( )U t X t t Y t t , (142)

где ( )X t и ( )Y t – независимые стационарные СП с ( ) ( ) ( ) ( ) 0X t Y t X t Y t , ( ) ( )X YB B и 0( ) ( )X YG f G f N в полосе частот [ ; ]F F .

Рис. 38. Энергетический спектр квадратурных компонент узкополосного квазибелого шума.

Корреляционная функция случайного процесса ( )U t равна~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

0 0( ) ( , ) ( , ) cos( ) ( )cos( )U U X XB B t t B t t B . (143)Поскольку ( , ) ( )U UB t t B , то квазибелый шум – стационарный СП.Спектральную плотность мощности узкополосного квазибелого шума можно выразить

через спектральную плотность мощности одной из его квадратурных компонент по формуле

0 01( ) ( ) ( )2U X XG f G f f G f f . (144)

Корреляционная функция ( )XB является огибающей корреляционной функции узкополосного квазибелого шума ( )UB .

Рис. 39. Корреляционная функция узкополосного квазибелого шума.

0N

( ), ( )X YG f G f

fF0

0f F 0f F f0

0 / 2N0 / 2N( )UG f

( )XG f

0 / 2N

f0F F0 12F

( )XB f0N F

( )UB f

0

( )XB f02N F

F

0f 0f

54

Представление СП с помощью рядовЛюбой СП процесс на интервале ( / 2; / 2)t T T можно разложить в обобщённый ряд

Фурье со случайными коэффициентами:

0( ) ( )k k

kX t t

, / 2

/ 2

( ) ( )T

k kT

v X t t dt

, (145)

где ( )k t – ортонормированные детерминированные функции, kv – случайные коэффициенты ряда.

Следовательно, для полного описания случайного процесса достаточно задать закон распределения всех случайных коэффициентов, полученных при его разложении в обобщённый ряд Фурье.

Для большинства случайных процессов, описывающих реальные физические процессы, с ростом номера k дисперсия коэффициентов ряда стремится к нулю. Поэтому такие случайные процессы описываются конечным числом случайных коэффициентов ряда.

Разложение в ряд Карунена–ЛоэваПредставление СП в виде обобщённого ряда Фурье с некоррелированными

коэффициентами называется каноническим разложением Карунена–Лоэва.Для некоррелированности коэффициентов ряда kv должно выполняться равенство

22 , ,

0, ,k

k i k k ik i

v vk i

где 2k kD v – дисперсия kv .Тогда

/ 2 / 2 / 2 / 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2/ 2 / 2 / 2 / 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )T T T T

k i k i X k iT T T T

v v X t X t t t dt dt B t t t t dt dt

. (146)

Следовательно, функции ( )k t должны удовлетворять интегральному уравнению/ 2

21 2 1 1 2

/ 2

( , ) ( ) ( )T

X k k kT

B t t t dt t

. (147)

Используя разложение Карунена–Лоэва, легко выразить математическое ожидание и корреляционную функцию через ортонормированные функции ряда:

,0

( ) ( )X X k kk

m t m t

, (148)

21 2 1 2

0( , ) ( ) ( )X k k k

kB t t t t

, (149)

где ,X k km M v .Условие некоррелированности коэффициентов значительно упрощает анализ

случайных процессов. Так, например, для гауссовского СП коэффициенты ряда будут не только некоррелированными и гауссовскими, но и независимыми.

Если случайным процессом является белый шум, то для разложения его в ряд Карунена–Лоэва на интервале (0; )T подойдут любые ортонормированные функций, например, гармонические функции ряда Фурье. Для разложения в ряд Карунена–Лоэва квазибелого шума подойдут базисные функции ряда Котельникова.

��

ЧАСТЬ 2 ЛЕКЦИЯ 1������� ���������������������������Каналы электросвязи. Их основные виды и классификация по различным признакам. Преобразования сигналов в непрерывных каналах. Основные характеристики непрерывных каналов во временной и частотной областях� импульсные характеристики, передаточные функции, АЧХ и ФЧХ. Основные модели каналов.

Канал ������� !��"#"$%!&'$��&%�($)�"�&*&+&'$��,-�($),���"�(.$&� �/#+�0"�-)/- $($),'&�&1!,/��2$3)�)��2-"�'�,2&�&�"$2.��-+&��,!,/.�/,��&*&4&(�0"�- �(,+/&'!.2 (&+!,�,2�

Классификация каналов по назначению систем связи� +,�&�&2��"& �" !,+!,'$!&- �&�"$2 ��-+& �,!,/. )$/-"�- !, "$/$*�!!.$�

"$/$1(,*!.$�+������1��$5,!&-�"$/$�&+&�!!.$� $($),'&),!!.%�"$/$2$"(&'$��&$&)(�Классификация каналов по среде распространения сигналов�+,�&�&2��"&�"(,� (��"(,!$!&-�&1!,/������6�)!�2 (��"(,!�"�$&/& �/&!&-2

��-+&� �,!,/. )$/-"�- !, �,!,/. (,)&���-+& 7� �"!&���.$ & )(�8 & (���)!�9 ��-+&7�,6$/#!.$���/���!!�:� "&'$��&$/&!&&��-+&���/!���)!.$��;"(,�".&)(�8�

Классификация каналов по диапазону длин волн и частот�$�# )&, ,+�! &� �/#+�$2.% ',�"�" ��/��!� )$/-" !, �/��.� 1(,!&'!.$ ',�"�".

��"�(.% �"/&',0"�- )(�1 �" )(�1, � <= (,+� >����/#�� � ',�"�"�9 f 1,(2�!&'$���1���/$6,!&- ��-+,!, )/&!, ��/!. ?c f � 1)$ @A <=c 2?� � ���(��"# ��$",� ���6�)!�2 (��"(,!�"�$� "� (,+)$/$!&$ (�&+��)-" & � )&, ,+�!� )/&! ��/! 7",6/&4, Ошибка! Источник ссылки не найден.8�

�,6/&4,<� �/,��&*&�,4&-�,!,/�� �)&, ,+�!,2)/&!��/!&',�"�"�Наименование волн Диапазон волн Наименование частот Диапазон частот�$�,�&/�2$"(��.$ <==�<=�2 ��;7�'$!#!&+�&$8 A�A=�B4�&/�2$"(��.$ 7��8 <=�<�2 �;7!&+�&$8 A=�A==�B4B$�"�2$"(��.$7��8 <===�<==2 �;7�($)!&$8 A==�A===�B4�$�,2$"(��.$7��8 <==�<=2 �;7�.���&$8 A�A=�B4�$"(��.$7C��8 <=�<2 ��;7�'$!#�.���&$8 A=�A==�B4�$4&2$"(��.$7C��8 <==�<=�2 C�;7�/#"(,�.���&$8 A==�A===�B4�,!"&2$"(��.$7C��8 <=�<�2 ��;7��$(%�.���&$8 A�A=BB4�&//&2$"(��.$7C��8 <=�<22 ��;7�(,9!$�.���&$8 A=�A==BB4�$4&2&//&2$"(��.$ <�=�<22 B>;71& $(�.���&$8 A==�A===BB4

�,)&���-+#���5$�"�/-$"�-� �2�5#0D/$�"(�2,1!&"!.%��/!�)&, ,+�!$',�"�"�"<== �B4 )� A= BB4� � (���)!.% "$/$*�!!.% /&!&-% ��-+& &� �/#+�0"�- D/$�"(&'$��&$��/$6,!&- � ',�"�",2& )� <�B4� �"�2� '"� !, 6�/$$ �.���&% ',�"�",% ($+�� ��+(,�",$"+,"�%,!&$&E�2� /&!&& 7�",!),("!.9�F�,!,/&2$$" �/��� (� ���,!&-=�A�A�G �B48���,��&,/#!.$ �,6$/& � ���6!. (� ���,"# ',�"�". )� )$�-"��� 2$1,1$(4� � ��/���!!�:� "&'$��&%/&!&-%&� �/#+�0"�-',�"�". �(-)�, <G<= B47)/&!.��/!<����<�A��=�@� 2�28�

Классификация каналов по входу и выходу<� �$ ($(.�!.$ 7 � �(��!-28 � D"� �,!,/.� �&1!,/. !, �%�)$ & �.%�)$ ��"�(.%

!$ ($(.�!.$&/&,!,/�1��.$�>(&2$(��,!,/��6(,+��,!!.9�.%�)�22�)�/-"�(,&�%�)�2)$2�)�/-"�(,�

H� �&��($"!.$ 7 � �(��!-28 � D"� �,!,/.� �&1!,/. !, �%�)$ & �.%�)$ ��"�(.%)&��($"!.$�>(&2$(��,!,/��6(,+��,!!.9�%�)�2��)$(,&�.%�)�2)$��)$(,�

A� �&��($"!�:!$ ($(.�!.$�

�I

Детерминированные и стохастические каналы��/& ,(,2$"(. �,!,/, !$ �/�',9!.$� "� ",��9 �,!,/ -�/-$"�- )$"$(2&!&(��,!!.2

�,!,/�2� ��/& %�"- 6. �)&! ,(,2$"( �,!,/, �/�',9!.9� "� ",��9 �,!,/ -�/-$"�-�"�%,�"&'$��&2�,!,/�2�

Каналы с постоянными или переменными параметрами�,!,/� ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&�D"��,!,/��"�/&���"�(�1�!$+,�&�&"�""�1���

�,��92�2$!"�($2$!&6./� �),!��%�)!�$��+)$9�"�&$���/&D"���/��&$!$�. �/!-$"�-�"�",��9�,!,/-�/-$"�-�,!,/�2� $($2$!!.2& ,(,2$"(,2&�

Стационарные и нестационарные стохастические каналы�"�%,�"&'$��&9 �,!,/ -�/-$"�- �",4&�!,(!.2� $�/& $1� �"�/&� !, ��"�-!!�$ ��

�($2$!& )$"$(2&!&(��,!!�$�%�)!�$ ��+)$9�"�&$ -�/-$"�- �",4&�!,(!.2 �/�',9!.2 (�4$���2���/&�"�/&�!$�",4&�!,($!�"�&�,!,/-�/-$"�-!$�",4&�!,(!.2�

Линейные и нелинейные каналы��-+#2$3)��%�)�2&�.%�)�2�,!,/,2,"$2,"&'$��&2�3!�� &�,"#+,�&�&2��"#0

7 8 J 7 8y t x t � 7<81)$ 7 8x t � D"� �%�)!�$ ��+)$9�"�&$ &/& �%�)!�9 �&1!,/� 7 8y t � �"�/&� �,!,/, !, �%�)!�$��+)$9�"�&$� J 7 8x t � � $(,"�(��6�+!,',05&9 ($�6(,+��,!&$�&1!,/,�

�&�� <� ��)$/#�&�"$2.�

� +,�&�&2��"&�" %,(,�"$(, ��-+&2$3)� �&1!,/,2&!,�%�)$& �.%�)$ �,!,/.2�1�"6."#/&!$9!.2&&!$/&!$9!.2&�

Линейный канал �)��/$"��(-$" (&!4& ��� $( �+&4&&�<8 J 7 8 J 7 8x t x t �1)$ � ��,/-(7'&�/�8K

H8 < H < HJ 7 8 7 8 J 7 8 J 7 8x t x t x t x t �

� $(,"�( J нелинейного�,!,/,!$�)��/$"��(-$" (&!4& ��� $( �+&4&9�Пример 1� J 7 8 7 8x t k x t �1)$ k � ��"�-!!.9��D**&4&$!"7 ,(,2$"(�,!,/,8�

<8 J 7 8 7 8 7 7 88 J 7 8x t k x t k x t x t �>(& < H7 8 7 8 7 8x t x t x t

H8 < H < H < H < HJ 7 8 7 8 J 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 J 7 8 J 7 8x t x t x t k x t k x t x t k x t k x t x t x t ��/$)��,"$/#!��D"�"�,!,//&!$9!.9�Пример 2� HJ 7 8 7 8x t k x t �>(& < H7 8 7 8 7 8x t x t x t

H H H< H < H < H < HJ 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 H 7 8 7 8 J 7 8 J 7 8x t x t k x t k x t k x t kx t x t x t x t ��/$)��,"$/#!��D"�"�,!,/!$/&!$9!.9�Импульсная характеристика линейного канала�&!$9!.$ )$"$(2&!&(��,!!.$ �,!,/. %,(,�"$(&+�0"�- &2 �/#�!�9 %,(,�"$(&�"&��9

7��8 7 � 8g t � ��"�(,- -�/-$"�- �"�/&��2 �,!,/, � 2�2$!" �($2$!& t !, )$/#",�&2 �/#�� �),!!.9!,$1��%�)�2�2$!"�($2$!& t �

�/-*&+&'$��&($,/&+�$2�9&2 �/#�!�9%,(,�"$(&�"&�&)�/3!��. �/!-"#�-��/��&$�7 � 8 =g t (& = �

>����/#�� �� +,�&�&" �" �($2$!&� "� � &�.�,$2.9 $0 �,!,/ -�/-$"�- �,!,/�2� $($2$!!.2& ,(,2$"(,2&� �/- �,!,/, � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2& 7 � 8 7 8g t g (&/06�2 t �

�� �,!,/, � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2& 2�3!� &+2$(&"# �"L2 �),'& !, $1� �%�)�)&!�'!�1�)$/#",:&2 �/#�,�>(&'L2��"�/&��2�,!,/,!,D"�")$/#",:&2 �/#�-�/-$"�-���

J 7 8x t 7 8y t

�M

�&�� H� �%$2,&+2$($!&-��/&!$9!�1��,!,/,�

��/& �2$�"� )$/#",:&2 �/#�, !, �%�) �,!,/, �),"# (�&+��/#!.9 �&1!,/ 7 8x t � "��"�/&��,!,/, 7 8y t !,D"�"�&1!,/2�3!�!,9"&� �2�5#0&!"$1(,/,�0,2$/-&/&��L("�&�

7 8 7 � 8 7 8y t g t x t d

� 7H8

�/-�,!,/,� ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&

7 8 7 8 7 8 7 8 7 8y t g x t d g t x d

� 7A8

�� �/#+�- ($�6(,+��,!&$ F�(#$ )/- 7 8y t � � ',�"�"!�9 �6/,�"& &!"$1(,/� ��L("�&���"�$"�"��$" (�&+�$)$!&$

7 8 7 8 7 8y xS f K f S f � 7G8

1)$ 7 8xS f & 7 8yS f � ($�6(,+��,!&-F�(#$ 7 8x t & 7 8y t �

H7 8 7 8N j fK f g d

7�8

�7',�"�"!,-8 $($),"�'!,-*�!�4&-�,!,/,�>$($),"�'!�0*�!�4&0�,!,/,2�3!� ($)�",�&"#��&)$ (�&+�$)$!&-

7 87 8 7 8 N j fK f K f � 7I8

1)$ 7 8K f � 2�)�/# ��2 /$��!�9 $($),"�'!�9 *�!�4&& &/& �;� �,!,/,�

OP7 7 887 8 QRSTUVN7 7 88

K ffK f

� ,(1�2$!"��2 /$��!�9 $($),"�'!�9*�!�4&&&/&F;��,!,/,�

Комплексные линейные каналыКомплексный линейный канал � D"� �,!,/� � &�.�,$2.9 ��2 /$��!�9 �� 7 � 8g t

7!$,!,/&"&'$���98��06�9)$9�"�&"$/#!.9�&1!,/ 7 8x t 2�3!� ($)�",�&"#��&)$,!,/&"&'$���1��&1!,/,

7 8 7 8 7 8x t x t j x t �1)$ 7 8x t � ($�6(,+��,!&$B&/#6$(",�"�&1!,/, 7 8x t � 7 8 VN 7 8x t x t �

�&1!,/.!,�%�)$&�.%�)$��2 /$��!�1��,!,/,��-+,!.&!"$1(,/�2�0,2$/-�

7 8 7 � 8 7 8y t g t x t d

� 7M8

;"�6. $($9"& �" ,!,/&"&'$���1� ($)�",�/$!&- � )$9�"�&"$/#!.2 �&1!,/,2�)��","�'!��+-"#�$5$�"�$!!�0',�"#�"��2 /$��!�1�,!,/&"&'$���1��&1!,/,�

Основные модели линейных непрерывных каналов без помехКаналы с постоянными параметрами1. Идеальный канал (неискажающий канал)�&1!,/!,�.%�)$D"�1��,!,/,(,�$!

+7 8 7 8s t u t � 7@81)$ 7 8u t � �&1!,/ !, �%�)$ �,!,/,� � ��D**&4&$!" $($),'& �&1!,/, � �,!,/$� + �+,)$(3�,���($2$!&�&1!,/,��,!,/$�

�/-!$&��,3,05$1��,!,/,+7 8 7 8g � 7W8

�,!,/7 8 7 8x t t

= t

7 8 7 8y t g t

= t

�@

+H7 8 N j fK f � 7<=8�&1!,/ !, �.%�)$ &)$,/#!�1� �,!,/, � "�'!��"#0)� ��"�-!!�1� ��D**&4&$!",

��"�(-$"�&1!,/!,�%�)$��,!,/)$9�"�&"$/#!.97!$��2 /$��!.98�)$"$(2&!&(��,!!.9��/$)��,"$/#!�� �;� &)$,/#!�1� �,!,/, )�/3!, 6."# ��"�-!!�9� 7 8K f const � ,

F;�)�/3!,6."#/&!$9!�9*�!�4&$9�"',�"�". +7 8 Hf f �2. Канал с фазовым сдвигом�/- � &�,!&- D"�9 2�)$/& !$�6%�)&2� $($9"& � ,!,/&"&'$���2� ($)�",�/$!&0

�&1!,/����&1!,/!,�.%�)$��-+,!��&1!,/�2!,�%�)$�/$)�05$9+,�&�&2��"#07 8 N 7 8js t u t 7<<8

&/& 7 8 VN 7 8 7 8 SXY7 8 7 8YZ[7 8s t s t u t u t � 7<H81)$ 7 8 7 8 7 8s t s t js t � ,!,/&"&'$���$ ($)�",�/$!&$�&1!,/, 7 8s t !, �.%�)$ �,!,/,�7 8 7 8 7 8u t u t ju t � ,!,/&"&'$���$ ($)�",�/$!&$�&1!,/, 7 8u t !,�%�)$�,!,/,� 7 8u t & 7 8s t �

($�6(,+��,!&$B&/#6$(",�" 7 8u t & 7 8s t � � �$/&'&!,*,+���1��)�&1,�&1!,/,��,!,/$��/-�,!,/,�*,+��.2�)�&1�2

7 8 N 7 8jg � 7<A87 8 N jK f � 7<G8

�,!,/��2 /$��!.9�)$"$(2&!&(��,!!.9�>(& $($),'$�+�� �/��!.%�&1!,/�� =7 8 7 8N j tu t A t *,+��.9�)�&12�3$"6."#�.+�,!

!$6�/#E�9 �($2$!!�9 +,)$(3��9 �&1!,/,� ��1), �<? f � >����/#�� ��2 /$��!,-

�1&6,05,- 7 8A t 2$)/$!!�2$!-$"�-���($2$!&�"�= = =7 87 8 7 8 7 8 N 7 8 N N 7 8 Nj t j t j js t u t A t A t u t �

1)$ = � *,+��.9�)�&1�3. Однолучевой канал с постоянными параметрами\",2�)$/# ($)�",�/-$"��6�9�6]$)&!$!&$ $(�.%)��%2�)$/$9��&1!,/!,�.%�)$�)!�/�'$��1��,!,/,(,�$!

+7 8 7 8s t u t 7<�8&/& + +7 8 VN 7 8 7 8 SXY7 8 7 8YZ[7 8s t s t u t u t � 7<I8

1)$ N j � ��2 /$��!.9��D**&4&$!" $($),'&�&1!,/,��,!,/$��,!,/ !,+.�,0" �)!�/�'$�.2 �,!,/�2� �"�2� '"� � "�'�� (&L2, (&%�)&" �)!,

+,)$(3,!!,-�� &-�&1!,/,���6�"�$!!.2��D**&4&$!"�2 $($),'&��/-D"�92�)$/&

+7 8 7 8g � 7<M8+H7 8 N N j fjK f � 7<@8

�,!,/��2 /$��!.9�)$"$(2&!&(��,!!.9�

Каналы с переменными параметрами4. Канал с частотным сдвигом спектра сигнала�&1!,/!,�.%�)$�,!,/,�',�"�"!.2�)�&1�2(,�$!

7 8 7 8 N j ts t u t � 7<W87 8 VN 7 8 7 8 SXY7 8 7 8YZ[7 8s t s t u t t u t t � 7H=8

1)$ 7 8u t & 7 8s t � ��2 /$��!.$,!,/&"&'$��&$�&1!,/.!,�%�)$&�.%�)$�,!,/,��/-�,!,/,�',�"�"!.2�)�&1�2

7 � 8 7 8 N j tg t � 7H<87 � 8 N j tK f t � 7HH8

�W

�,!,/��2 /$��!.9�)$"$(2&!&(��,!!.9��&1!,/. 2�1�" �/�'&"# )� �/!&"$/#!.9 ',�"�"!.9 �)�&1 (& �"�/�!$!&& ',�"�"

1$!$(,"�(�� $($),"'&�, & (&L2!&�, �" !�2&!,/#!.% +!,'$!&9 &/& (& )�&3$!&& $($),"'&�, & (&L2!&�, �"!��&"$/#!� )(�1 )(�1, �� ���(��"#0 v � � ($+�/#","$ '$1���+!&�,$")� /$(����&9',�"�"!.9�)�&1 = ?df f v c �

5. Однолучевой канал с замираниями сигнала� 6�/#E&!�"�$ ($,/#!.% �,!,/,% ��2 /$��!.9 ��D**&4&$!" $($),'& N j

2$!-$"�- �� �($2$!&� >�D"�2�� �6�65$!&$2 2�)$/& �)!�/�'$��1� �,!,/, 2�3$" �/�3&"#2�)$/#�)!�/�'$��1��,!,/,�+,2&(,!&-2&�)/-��"�(�9

+7 8 7 8 7 8s t t u t � 7HA8

+ + +7 8 VN 7 8 7 8 7 8 7 8 SXY7 7 88 7 8 YZ[7 7 88s t t u t t u t t u t t � 7HG8

1)$ 7 87 8 7 8 N j tt t � 2$!-05&9�-���($2$!&��2 /$��!.9��D**&4&$!" $($),'&�,!,/,�

+ � +,)$(3�,�&1!,/,��,!,/$� 7 8u t & 7 8s t � ��2 /$��!.$,!,/&"&'$��&$�&1!,/.!,�%�)$&�.%�)$�,!,/,�

�/-�)!�/�'$��1��,!,/,�+,2&(,!&-2&��& $($),"�'!,-*�!�4&-+,�&�-"�")��% $($2$!!.%�

+7 � 8 7 8 7 8g t t � 7H�8+H7 � 8 7 8 N j fK f t t � 7HI8

��/& ��D**&4&$!" $($),'& �,!,/, 7 8t � )$"$(2&!&(��,!!,- *�!�4&- �($2$!&� "��,!,/ )$"$(2&!&(��,!!.9� ��/& 7 8t � �/�',9!.9 (�4$��� "� �,!,/ -�/-$"�-�"�%,�"&'$��&2�

�+2$!$!&$ �� �($2$!& ��D**&4&$!", $($),'& �,!,/, 7 8t �.+.�,$" +,2&(,!&$�&1!,/,� � ($,/#!.% �,!,/,%� !, (&2$( (,)&��,!,/,%� 7 8t -�/-$"�- �/�',9!�9 *�!�4&$9�($2$!&&/&�/�',9!.2 (�4$���2�F&+&'$��,-�($),����"�(�9(,� (��"(,!-$"�-�&1!,/���/,6/-$"&(,��$&�,$"$1��,����($2$!&�",�&� (��"(,!�"�$���/&(,��$-!&$���($2$!&!$6�/#E�$� "� 2�3!� �'&","#� '"� � "�'�� (&L2, � (,+/&'!.2 "(,$�"�(&-2 &/& �"-2 (&%�)&" ^ �'��_� ���"�-5&9 &+ 6$���!$'!�1� '&�/, +,)$(3,!!.% �� &9 $($),!!�1��&1!,/,�&2$05&%(,+/&'!.$�/�',9!.$��D**&4&$!". $($),'&&+,)$(3�&�

+�7 8 7 8 7 7 88k kk

s t t u t t

� 7HM8

��/& $($),�,$2.9 �&1!,/ �+�� �/��!.9� "� $1� 2�3!� ($)�",�&"# ���,+&1,(2�!&'$���9*�(2$�2$)/$!!�2$!-05$9�-,2 /&"�)�9&*,+�9�

=7 8 7 8N j tu t A t � 7H@8��1),� (& +� +� +� + +�7 8 7 8 7 8 7 8k k k kt t t t &��/��&&�'"� +� S<?k f �

= + + � = +� = +�= +7 7 88 7 8 7 87 8+� + +� + +7 7 88 7 7 88 N 7 8 N N 7 8 Nk k kj t t j t j tj t

k ku t t A t t A t u t ��/$)��,"$/#!��

= + � 7 8+ +7 8 7 8 N 7 8 7 8 7 8kj t

kk

s t t u t t u t

� 7HW8

1)$ 7 8t � ��2 /$��!.9��D**&4&$!" $($),'&�,!,/,�= +� 7 8

= +� = +�7 8 7 8 N 7 8 SXY7 7 88 7 8 YZ[7 7 88kj tk k k k k

k k kt t t t j t t

� 7A=8

7 87 8 7 8 7 8 ` 7 8 ` N j tc st t j t t � 7A<8

1)$ 7 8c t & 7 8s t � ��,)(,"�(!.$ ��2 �!$!". 7 8t � ��"�(.$ ���"�-" &+ ��22. 6$���!$'!�6�/#E�1�'&�/,�/,6���(($/&(��,!!.%�/�',9!.%�$/&'&!��1(,!&'$!!.2&)&� $(�&-2&�

��1/,�!� 4$!"(,/#!�9 ($)$/#!�9 "$�($2$ "$�(&& �$(�-"!��"$9 2�3!� �'&","#� '"���,)(,"�(!.$��2 �!$!".&2$0"!�(2,/#!�$&/&1,��������$(,� ($)$/$!&$�$(�-"!��"&�

I=

B,��������$ (,� ($)$/$!&$ &2$$" )�, ,(,2$"(, � 2,"$2,"&'$���$ �3&),!&$ &)&� $(�&0� � ',�"!�2 �/�',$� ��1), =c sm m � H H

c s � "� 2�)�/# ��2 /$��!�1���D**&4&$!", 7 8t 6�)$"(,� ($)$/$! �($/$$����2�+,��!��,�/�',9!,-*,+,6�)$"&2$"#(,�!�2$(!�$(,� ($)$/$!&$��D"�2�/�',$�,!,/.&+,2&(,!&-!,+.�,0"релеевскими�

��/&�)&!&+ �)/�'$9 7 8k t ($�6/,),$"!,)��",/#!.2&�"� H H =c sm m �>(& H Hc s

2�)�/#��2 /$��!�1���D**&4&$!", 7 8t 6�)$"(,� ($)$/$! �(,9������2�+,��!���,�&$�,!,/.&+,2&(,!&-!,+.�,0"райсовскими�

�+,�&�&2��"&�"�"$ $!&&��,3$!&9� $�"(,�&1!,/,��,!,/$� +,2&(,!&-)$/-"�-!,селективные & неселективные по частоте� �$�$/$�"&�!.$ 71/,)�&$8 +,2&(,!&-%,(,�"$(&+�0"�- "$2� '"� ���",�/-05&$ � $�"(, �&1!,/,2$!-0"�- �� �($2$!&�)&!,�����)(�3!�� >(& D"�2 *�(2, �&1!,/, &+2$!-$"�- !$+!,'&"$/#!�� �$�$/$�"&�!.$ � ',�"�"$+,2&(,!&- ��+!&�,0"� $�/& ��$ +� S<?k f � >(& �$/$�"&�!.% +,2&(,!&-% (,+/&'!.$',�"�"!.$ ���",�/-05&$ � $�"(, �&1!,/, 2$!-0"�- �:(,+!�2�� �$/$�"&�!.$ +,2&(,!&-��5$�"�$!!�&��,3,0"*�(2��&1!,/,�

Скорость замираний���($2$!&+,�&�&"�"&!"$(�,/,��(($/-4&& ��( ��,)(,"�(!.%��2 �!$!" 7 8c t & 7 8s t &/&�"E&(&!.� $�"(,+,2&(,!&9 +,2 ��(<?f ��,/.$+!,'$!&-

��( ���"�$"�"��0"6.�"(.2+,2&(,!&-2�,6�/#E&$+!,'$!&-�2$)/$!!.2���)$/# �)!�/�'$��1� �,!,/, � +,2&(,!&-2& )��","�'!� %�(�E� � &�.�,$" 2!�1&$

�,!,/.(,)&���-+&�(,+/&'!.%)&, ,+�!,%��/!�6. Многолучевой канал с замираниями�!�1�/�'$��9 �,!,/ -�/-$"�- �6�65$!&$2 �)!�/�'$��1� �,!,/,� "�/#�� � 2$�"�

(&L2, (&%�)&"!$�)!,�,��22,+,)$(3,!!.%�� &9 $($),�,$2�1��&1!,/,�(,+/&'!.2&��D**&4&$!",2& $($),'&�

<

+�=

7 8 7 8 7 8L

l ll

s t t u t

� 7AH8

< <

+� +� +�= =

7 8 VN 7 8 7 8 7 8 7 8SXY7 7 88 7 8YZ[7 7 88L L

l l l l l l ll l

s t t u t t u t t u t t

� 7AA8

1)$ L � �65$$ '&�/� )$9�"��05&% /�'$9 � �,!,/$� 7 8l t � ��2 /$��!.9 ��D**&4&$!" $($),'& �&1!,/, :1�l /�',� +�l � +,)$(3�, �&1!,/, :1�l /�', � �,!,/$� 7 8u t & 7 8s t ���2 /$��!.$,!,/&"&'$��&$�&1!,/.!,�%�)$&�.%�)$�,!,/,�

�/-2!�1�/�'$��1��,!,/,<

+�=

7 � 8 7 8 7 8L

l ll

g t t

� 7AG8

+�<

H

=7 � 8 7 8 N l

Lj f

ll

K f t t

� 7A�8

��/& ��2 /$��!.$ ��D**&4&$!". $($),'& /�'$9 �/�',9!.$ (�4$��.� "� �,!,/�",!��&"�- �"�%,�"&'$��&2� �,�3$ �,� & � �)!�/�'$��2 �"�%,�"&'$���2 �,!,/$� 2�3!��'&","#� '"� ��,)(,"�(!.$ ��2 �!$!". ��2 /$��!.% ��D**&4&$!"�� $($),'& �!$+,�&�&2.$ �/�',9!.$ (�4$��.� 21!��$!!.$ +!,'$!&- ��"�(.% (,� ($)$/$!. �!�(2,/#!�2� &/& 1,��������2� +,��!�� �/- 2!�1�/�'$��1� �,!,/, ��/��&$

+� +� < SPQa ` ` <?l l f !$ �. �/!-$"�-� �D"�2� � ",��2 �,!,/$ ($�6/,),0" �$/$�"&�!.$ �',�"�"$+,2&(,!&-�

7. Канал с межсимвольной интерференцией�$3�&2��/#!,- &!"$(*$($!4&- 7���8 � D"� -�/$!&$� ��+!&�,05$$ (& $($),'$

)&��($"!.% ���65$!&9 � �,!,/,2 � �($2$!!.2 (,��$-!&$2 7)&� $(�&$98� �,��$-!&$�&1!,/����+!&�,$"��/�',$�"/&'&-%,(,�"$(&�"&��,!,/,�"&)$,/#!.%7(,�!�2$(!�9�;�

I<

& /&!$9!�9 F;� � �/��$ ',�"�" �&1!,/,8� '"� &2$$" 2$�"� � 6�/#E&!�"�$($,/#!.%�,!,/,%� F&+&'$��&2& (&'&!,2& ",��1� �"/&'&- � (���)!.% /&!&-% -�/-0"�-(,� ($)$/$!!.$($,�"&�!.$ ,(,2$"(.7L2���"&&&!)��"&�!��"&8�������2,"$(&,/#!,-���/!���)!,-&2�)��,-)&� $(�&&��(,)&��,!,/,%2!�1&%)&, ,+�!����/!�2!�1�/�'$��$(,� (��"(,!$!&$�&1!,/���

>(& $($),'$ )&��($"!.% ���65$!&9 ��($)�"��2 �&1!,/�� )/&"$/#!��"#0 T�($2$!!�$ (,��$-!&$ �&1!,/, (&��)&" � "�2�� '"� �"�/&�& �,!,/, !, �&1!,/.�")$/#!.%�&2��/��!,�/,).�,0"�-)(�1!,)(�1,�

�&�� A� �$3�&2��/#!,-&!"$(*$($!4&-�&1!,/������%/�'$��9�,!,/� 7 8 < 7 8 7 <8 7 8g T �

;&�/� ",�"��.%&!"$(�,/��� !, ��"�(.% (�&�%�)&"!,/�3$!&$ �&1!,/��� � ($)$/-$"�"!��&"$/#!�0 ,2-"#�,!,/,

�,! ?Q T &/& = ? <Q T T � 7AI81)$ �,! � )/&"$/#!��"#���,!,/,� =T � )/&"$/#!��"#�"�/&�,�,!,/,!,D/$2$!"�&1!,/,�

�,!,/.�����)/-��"�(.% =Q �!,+.�,0"каналами с памятью��&1!,/!,�.%�)$�,!,/,����2�3!� ($)�",�&"#��&)$��22.

= ��" �/$)7 8 7 8 7 8 7 8 7 8k rk

s t b s t kT s t s t s t

� 7AM8

1)$ 7 8rs t � �&1!,/ $($),�,$2�1� :1�rb �&2��/,)/&"$/#!��"#0 S 7 <8T Q T � ��" 7 8s t � �&1!,/��","�'!�9 ���� �6��/��/$!!.9 4$ �'��9 �&2��/��� $($),!!.% )� :1�rb �&2��/,�

�/$) 7 8s t � �&1!,/�����6��/��/$!!.94$ �'��9�&2��/�� $($),!!.% ��/$ :1�rb �&2��/,����(��"# $($),'& &!*�(2,4&& !, (-2�0 ��-+,!, � ",�"��.2 &!"$(�,/�2 T �

� ($)$/-05&2)/&"$/#!��"#�&1!,/,�")$/#!�1��&2��/,!, $($),'$���/&)/-��$/&'$!&-���(��"& $($),'& �2$!#E,$"�- )/&"$/#!��"# ",�"���1� &!"$(�,/,� "� D"� (&��)&" !$"�/#���(,�E&($!&0� $�"(,�&1!,/,�!�&��$/&'&�,$"�"!��&"$/#!�0 ,2-"#�,!,/,Q �

;$2 6�/#E$ �"!��&"$/#!,- ,2-"# �,!,/,� "$2 �/�3!$$ �. �/!&"# � "&2,/#!�0�6(,6�"�� �&1!,/, � (&L2!&�$� >(&'L2� � ��$/&'$!&$2 Q �/�3!��"# �6(,6�"�& (,�"L"D�� �!$!4&,/#!��

���� !,(-)� � �2$%,2&� -�/-$"�- �)!&2 &+ 1/,�!.% *,�"�(��� �1(,!&'&�,05&%���(��"# $($),'&&!*�(2,4&& �($,/#!.2�,!,/,2�

�,!

= 7 8u t

= 7 8s t

7 8u t

7 8s t

<=<<<==<

t

7 8g

t

t

t

T

=T

IH

ЛЕКЦИЯ 2Преобразования характеристик случайных сигналов в каналах связи и их звеньях. Формулы преобразования корреляционных функций и спектров в линейных звеньях. Преобразования функций распределения вероятностей сигналов и помех в нелинейных безынерционных звеньях канала связи.

>(& (�%�3)$!&& �/�',9!.% (�4$���� � �,!,/� 2�1�" &+2$!&"#�- !$ "�/#�� &%��(($/-4&�!!.$*�!�4&&&D!$(1$"&'$��&$� $�"(.�!�&�$(�-"!��"!.$%,(,�"$(&�"&�&�+,��!.(,� ($)$/$!&-&%21!��$!!.%+!,'$!&9��,&6�/$$',�"�($E,$2�9+,),'$9-�/-$"�-+,),', !,%�3)$!&- ��(($/-4&�!!�9 *�!�4&& & � $�"(,/#!�9 /�"!��"& 2�5!��"&�/�',9!�1� (�4$��,!,�.%�)$�,!,/,�

�,��2�"(&2 (�%�3)$!&$ �/�',9!�1� (�4$��, � /&!$9!�2� �,!,/� � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&� >��"# !, �%�) �,!,/, ��"� ,$" �",4&�!,(!.9 �/�',9!.9 (�4$�� 7 8X t �&+�$�"!�9��(($/-4&�!!�9*�!�4&$9&� $�"(,/#!�9 /�"!��"#02�5!��"&�

7 8 7 8 7 8XB X t X t � H7 8 7 8 N j fX XG f B d

�

�.%�)!�9�/�',9!.9 (�4$����-+,!��%�)!.2&!"$1(,/�2�0,2$/-

7 8 7 8 7 8Y t g X t d

� 7A@8

��(($/-4&�!!,-*�!�4&-�>!,�.%�)$�,!,/,(,�!,

< H < H < H7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8YB Y t Y t g g X t X t d d

< H < H < H < < <7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8X Xg g B d d g g t d B t dt

&/& 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8Y g X g XB R t B t dt R t B t dt

� 7AW8

1)$ 7 8 7 8 7 8gR g t g t dt

���(($/-4&�!!,-*�!�4&-���,!,/,�

��1),� $�"(,/#!,- /�"!��"#2�5!��"&�>!,$1��.%�)$(,�!,H

7 8 7 8 7 8Y XG f K f G f � 7G=8� /&!$9!.% �,!,/,% ��(($/-4&�!!,- *�!�4&- & D!$(1$"&'$��&9� $�"( �)!�+!,'!�

� ($)$/-0"�- ',�"�"!�9 %,(,�"$(&�"&��9 7 $($),"�'!�9 *�!�4&$98 �,!,/, &��(($/-4&�!!�9*�!�4&$9 (�4$��,!,$1��%�)$�

��/& �%�)!�9 �/�',9!.9 (�4$�� �",4&�!,(!.9� "� �/�',9!.9 (�4$�� !, �.%�)$/&!$9!�1� �,!,/, � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2& ",�3$ 6�)$" �",4&�!,(!.2� ��/& �,!,/ � $($2$!!.2& ,(,2$"(,2&�"��.%�)!�9�/�',9!.9 (�4$��6�)$"!$�",4&�!,(!.2�

�,%�3)$!&$ ��(($/-4&�!!�9 *�!�4&& & D!$(1$"&'$���1� � $�"(, !, �.%�)$!$/&!$9!.% �&�"$2 6�/$$ �/�3!,- +,),',� �/- � ($)$/$!&- D!$(1$"&'$���1� � $�"(,�/�',9!�1� (�4$��, &/& $1� ��(($/-4&�!!�9 *�!�4&& !, �.%�)$ !$/&!$9!�9 �&�"$2.!$)��","�'!� +!,"# "�/#�� ��(($/-4&�!!�0 *�!�4&0 !, $1� �%�)$� �$�6%�)&2� ",�3$&2$"#� � �(,9!$9 2$($� �.(,3$!&$ )/- )��2$(!�9 *�!�4&& (,� ($)$/$!&- �%�)!�1��/�',9!�1� (�4$��,� �& &'!.2 (&2$(�2 !$/&!$9!�9 �&�"$2. -�/-$"�- �&�"$2,���/0',05,-��$6-!$/&!$9!.9D/$2$!"�

>��"# &+�$�"!, %,(,�"$(&�"&�, 6$+.!$(4&�!!�1� !$/&!$9!�1� D/$2$!", 7 8y f x &)��2$(!,- *�!�4&- (,� ($)$/$!&- < H < H7 � � � 8Xw x x t t �/�',9!�1� (�4$��, 7 8X t !, �%�)$!$/&!$9!�1�D/$2$!",���1),��(($/-4&�!!,-*�!�4&-�/�',9!�1� (�4$��, 7 8Y t !,�.%�)$!$/&!$9!�1�D/$2$!",(,�!,

IA

< H < H < H < H < H < H7 � 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 � � � 8Y XB t t Y t Y t f x f x w x x t t dx dx

� 7G<8

��/& 7 8X t � �",4&�!,(!.9 �/�',9!.9 (�4$��� "��",4&�!,($! ",�3$& (�4$�� 7 8Y t!,�.%�)$!$/&!$9!�1�D/$2$!",��1���(($/-4&�!!,-*�!�4&-(,�!,

< H < H < H7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 � � 8Y XB Y t Y t f x f x w x x dx dx

� 7GH8

�,9)- ��(($/-4&�!!�0 *�!�4&0 �/�',9!�1� (�4$��, !, �.%�)$ !$/&!$9!�1�D/$2$!",� 2�3!�� &� �/#+�- "$�($2��&!'&!,��&!$(,� !,9"& D!$(1$"&'$��&9 � $�"( D"�1� (�4$��,�

� �65$2 �/�',$� )/- !,%�3)$!&- ��(($/-4&�!!�9 *�!�4&& (&%�)&"�- �.'&�/-"#)��9!.$&!"$1(,/.�\"�)��","�'!��/�3!,-+,),',���5$�"��0"�65&$2$"�).�.'&�/$!&-",�&%)��9!.%&!"$1(,/����)&!&+!&%�D"�2$"�)(,+/�3$!&-��(($/-4&�!!�9*�!�4&&�(-) ��("�1�!,/#!.2 �/&!�2,2�

� D"�2 2$"�)$ �.6&(,0" ������ !��"# !�(2&(��,!!.%�("�1�!,/#!.% �/&!�2��7 8nQ x ���"�(.$)�/3!.�)��/$"��(-"#�/$)�05$2���/��&0�("�1�!,/#!��"&�

<� (& K7 8 7 8 7 8 =� (& �X n m m nm nw x Q x Q x dx m n

� �,'$�"�$ �("�1�!,/#!.% �/&!�2�� 2�1�" �.�"� ,"# �/&!�2. \(2&",� �,11$(,�

;$6.E$�,&)(����2$(!�0 *�!�4&0 (,� ($)$/$!&- 2�3!� (,+/�3&"# � )��9!�9 (-) � D"&2

�("�1�!,/#!.2 �/&!�2,2

< H < H � < H= =

7 � � 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8X X X m n m nm n

w x x w x w x a Q x Q x

� 7GA8

1)$ � < H < H < H7 8 7 � � 8 7 8 7 8m n X m na w x x Q x Q x dx dx

�

>��/$(,+/�3$!&-)��2$(!�9 /�"!��"&�$(�-"!��"&�)��9!�9(-)& �)�",!���&$L�*�(2�/��.'&�/$!&-��(($/-4&�!!�9*�!�4&&� �/�'&2

�= =

7 8 7 8Y m n m nm n

B c c a

� 7GG8

1)$ 7 8 7 8 7 8n X nc f x w x Q x dx

� 7G�8

��2!�1&% (,�"&'$��&�,3!.%�/�',-% � 7 8 =m na (&m n �>�D"�2�

H

=7 8 7 8Y n n

nB c a

� 7GI8

1)$ < H < H < H7 8 7 � � 8 7 8 7 8n X n na w x x Q x Q x dx dx

� 7GM8

>(&2$(� �, �%�)$ �\ )$9�"��$" 1,�������&9 �> � =Xm � H <X � ��D**&4&$!"�2��(($/-4&& &)��2$(!�9 /�"!��"#0�$(�-"!��"&

H H H H< < H H < HH

H H< H < HH

=

< <7 � 8 N N 7 8 7 8H �H <

x x x x x x n

X n nn

w x x H x H xn

�

1)$ H H7 8

? H ? H7 8 7 <8 N Nn

n x xn n

dH xdx

� �/&!�2.\(2&",� 7 8 7 8n nQ x H x � 7 8 ? �nna n �

��1), H

=7 8

�

n

Y nn

B cn

�1)$ 7 8 7 8 7 8n X nc f x w x H x dx

�

IG

ЛЕКЦИЯ 3Аддитивные помехи в каналах связи. Их классификация, основные источники, характеристики и модели. Модель канала с АБГШ.

� /06�2 *&+&'$���2 �,!,/$ )$9�"��0" �2$%&� �!& �.+.�,0" !$�6(,"&2.$&+2$!$!&- $($),�,$2.% �&1!,/��� >�2$%& 2�1�" 6."# 2�/#"& /&�,"&�!.2& &,))&"&�!.2&� ��+)$9�"�&$ 2�/#"& /&�,"&�!.% �2$% !, �&1!,/ � &�.�,$"�- � $(,4&$9�2!�3$!&-� �, (&2$(� �/�',9!� 2$!-05&9�- �� �($2$!& ��D**&4&$!" $($),'& �,!,/,2�3!� (,��2,"(&�,"# �,� 2�/#"& /&�,"&�!�0 �2$%�� ��+)$9�"�&$ ,))&"&�!.% �2$% !,�&1!,/ � &�.�,$"�- � $(,4&$9 �/�3$!&-� �06.$ �&1!,/.� ��"�(.$ �2$�"$ � �/$+!.2�&1!,/�2 ��"� ,0"!,�%�) (&L2!&�,�2�3!�(,��2,"(&�,"#�,�,))&"&�!.$ �2$%&�

>�2$%&2�3!�(,+)$/&"#!,A��!��!.%�/,��,�*/��"�,4&�!!.$7(,� ($)$/L!!.$ ��($2$!& & ',�"�"$8� �+�� �/��!.$ 7���($)�"�'$!!.$ � ',�"�"$8 & &2 �/#�!.$7���($)�"�'$!!.$ ��($2$!&8�

Флуктуационные помехи� F/��"�,4&�!!.$ �2$%& &/& E�2 ($)�",�/-0" ��6�9�/�',9!.$ �"�/�!$!&- !$��"�(�9*&+&'$���9 �$/&'&!.�" ���$1� �($)!$1� +!,'$!&-��!&+,!&2,0")��","�'!�E&(���0 �/���',�"�"���2!�1�(,+ ($�.E,05�0E&(&!� �/��. (� ���,!&- (&L2!&�,�

��"�'!&��2 */��"�,4&�!!.% �2$% � D/$�"(&'$��&%4$ -% -�/-0"�- �/� (���)!&���.$ D/$2$!".� /,2 .� �!& 2�1�" 6."# ",�3$ �.+�,!. (,)&�&+/�'$!&$2��/!4,&)(�1&%���2&'$��&%�6]$�"���

�,&6�/$$(,� (��"(,!L!!�9 (&'&!�9E�2,�, ,(,"�($-�/-$"�-"$ /���$)�&3$!&$D/$�"(�!��� (���)!&�$���"�(�$�.+.�,$"�/�',9!�0(,+!��"# �"$!4&,/��!,$1���!4,%��($)!$$ +!,'$!&$ !, (-3$!&- (,�!� !�/0� �,��9 "$ /���9 E�2 ($)�",�/-$" ��6�91,�������&9�/�',9!.9 (�4$���!�/$�.2�($)!&2&� $�"(,/#!�9 /�"!��"#02�5!��"&

=E 7 8

H HNkTG f � 7G@8

1)$ =N � �)!��"�(�!!--� $�"(,/#!,- /�"!��"#2�5!��"&E�2,��,��0*/��"�,4&�!!�0 �2$%�!,+.�,0"6$/.21,�������&2E�2�2�Узкополосные� � �+�� �/��!.2 ,))&"&�!.2 �2$%,2 2�3!� �"!$�"& �&1!,/.

��"�(�!!&%(,)&��",!4&9� &+/�'$!&- 1$!$(,"�(�� (,+/&'!.% ��",!���� 72$)&4&!��&%� (�2.E/$!!.%8� ($)!,2$($!!.$ �2$%&� ���($)�"�'$!!.$ �2$%& +,!&2,0" �+��0 �/��� ',�"�" � �/��$ (� ���,!&- (&L2!&�,� �% )/&"$/#!��"# � �($2$!& �6.'!�6�/#E$)/&"$/#!��"&�&1!,/,�

Импульсные помехи� �2 �/#�!.$ 7���($)�"�'$!!.$ �� �($2$!&8 �2$%& ($)�",�/-0" ��6�9 ��/$)��,"$/#!��"# �/�',9!.%&2 �/#���� �/$)�05&%)(�1 +, )(�1�2'$($+ &!"$(�,/ �($2$!&� � "$'$!&$ ��"�(�1� �.+�,!!.$ &2& $($%�)!.$ (�4$��. � (&L2!&�$ �� $�,0" +,"�%,"#� � ",�&2 �2$%,2 �"!��-" 2!�1&$ �&). (�2.E/$!!.% &,"2��*$(!.% �2$%��6.'!�E&(&!, �/��.',�"�"&2 �/#�!.% �2$% ($�.E,$" �/��� (� ���,!&- (&L2!&�,� �/&"$/#!��"# &2 �/#�!.% �2$% �� 2!�1� (,+ 2$!#E$)/&"$/#!��"&�&1!,/,�

�,� ($)$/$!&$ 21!��$!!.% +!,'$!&9 &2 �/#�!�9 �2$%& ',�"� � &�.�,$"�-1,�������&2&/&!�(2,/#!.2+,��!�2�(,� ($)$/$!&$&%���($2$!&�+,��!�2>�,���!,

7 87 8 N�

kT

kTP Tk

� 7GW8

,)/&"$/#!��"#&2 �/#�!�9 �2$%&�D�� �!$!4&,/#!.2+,��!�27 8 Nw � = � 7�=8

�//0�"(,4&& (,+/&'!.% �&)�� ,))&"&�!.% �2$% ($)�",�/$!. !, �/$)�05$2(&��!�$�

I�

�&�� G� �))&"&�!.$ �2$%&&&%� $�"(,/#!.$ /�"!��"&2�5!��"&�,8E�2K68���($)�"�'$!!,- �� $�"(� �2$%,K�8&2 �/#�!,- �2$%,�

�,��2�"(&2 (&2$( 2�)$/& !$ ($(.�!�1� �,!,/, � ,))&"&�!.2 6$/.2 1,�������&2E�2�27�bBc8�

Модель канала с АБГШ�,!,/ � �bBc ���"�&" &+ !$ ($(.�!�1� �,!,/, 6$+ �2$%� !, �.%�)$ ��"�(�1� �

�&1!,/�)�6,�/-$"�-6$/.91,�������&9E�2�7 8 7 8 7 8Z t s t N t � 7�<8

1)$ 7 8s t � �&1!,/ !, �.%�)$ !$ ($(.�!�1� �,!,/,� 7 8N t � ,))&"&�!.9 6$/.9 1,�������&9E�2� 7 8 =N t &�)!��"�(�!!$9� $�"(,/#!�9 /�"!��"#02�5!��"& =N �

��/&� !, (&2$(� � �,'$�"�$ !$ ($(.�!�1� �,!,/, �.6(,"# 2�)$/# &)$,/#!�1� �,!,/,6$+ �2$%�"�",��9�,!,/��bBc2�3!�&� �/#+��,"#)/-� &�,!&- (���)!.%�,!,/���

+7 8 7 8 7 8Z t u t N t � 7�H8C�"(,!&"# 6$/.9 E�2 &+ �&1!,/, !$��+2�3!�� �($)& ��$��+2�3!.% �2$% �

�)&!,����9 �($)!$9 2�5!��"#0 � +,),!!�9 �/��$ ',�"�" 6$/.9 E�2 -�/-$"�- �,2�9�&/#!�9 �2$%�9� �, (&2$(�$�/&6.E�26./!$6$/.2�,��,+&6$/.27 �/����.28�"�)/- $($),'&2�3!��.6(,"#�&1!,/.�� $�"(��"�(.%/$3&"+, ($)$/,2& �/��.',�"�"E�2,��D"�9 �/��$2�3!����5$�"�&"#6$+�E&6�'!�0 $($),'��&1!,/���/06�9���(��"#0�

,8

�8

t

t

t

68

f

f

f

7 8N t = 7 8G f=N

PZ[f PQaf

PZ[f PQaf

PZ[f PQaf

f

II

ЛЕКЦИЯ 4Дискретные каналы. Структурная схема организации дискретного канала на основе непрерывного. Ошибки при передаче и их связь с искажениями и помехами в непрерывном канале. Математическое описание дискретных каналов с использованием условных вероятностей. Основные модели дискретных каналов 7каналы с памятью и без памяти, со стиранием, симметричные и несимметричные8.

�&��($"!.9 �,!,/ 2�3!� � &�,"#�$�/& +,),"# ,/*,�&" = < <� ����� mb b b B �%�)!.% &

,/*,�&" = < <d d dd � ����� Mb b b B �.%�)!.%�&2��/���&��/��!�9�$(�-"!��"#0&/&�$(�-"!��"#0

$($%�)�� = < < = < <d d dd ` � ����� ` � �����n nP P b b b b b b b b ��/$)��,"$/#!��"$9 �%�)!.% �&2��/��

= < <� ����� nb b b b � ��/$)��,"$/#!��"# �.%�)!.% �&2��/�� = < <d d dd � ����� nb b b b � m & M �

'&�/��&2��/�����%�)!�2&�.%�)!�2,/*,�&",%�F&+&'$��& )&��($"!.9 �,!,/ 2�3$" 6."# �6(,+��,!� !, (&2$(� 2$3)� �%�)�2

2�)�/-"�(, & �.%�)�2 )$2�)�/-"�(, &/& 2$3)� �%�)�2 ��)$(, & �.%�)�2 )$��)$(,�>�D"�2� /06�9 )&��($"!.9 �,!,/ ��)$(3&" �!�"(& �$6- !$ ($(.�!.9 �,!,/� (&'L22�)�/-"�(&)$2�)�/-"�( ($�6(,+�0"!$ ($(.�!.9�,!,/�)&��($"!.9&!,�6�(�"�

�&�� �� �"(��"�(!,-�%$2,�&�"$2. $($),'&)&��($"!.%���65$!&9�

Дискретный стационарный канал�&��($"!.9�,!,/стационарный�$�/&2!�1�2$(!,- $($%�)!,-�$(�-"!��"# d `P b b

!$ +,�&�&" �" (�&+��/#!�1� �($2$!!�1� �)�&1, &/& �.6�(, !,',/#!�1� 2�2$!", �($2$!&7!,',/#!�1� �(-)����1�!�2$(,8�

= < < = < < = < < = < <d d d d d d� ����� ` � ����� � ����� ` � �����r r n r r r n r n nP b b b b b b P b b b b b b (&/06.% r � 7�A8

�&��($"!.9 !$�",4&�!,(!.9 �,!,/ 2�3$"� !, (&2$(� 6."# �6(,+��,! !$ ($(.�!.2�,!,/�2 � +,2&(,!&-2&� �, &!"$(�,/$ �($2$!&� ��1), �,!,/ )��","�'!� �&/#!� ��/,6/-$"�&1!,/ � �(,�!$!&0 � �(��!$2 E�2, & )(�1&% �2$%� (&L2!&� 6�)$" )$/,"# !$�$(!.$($E$!&-�"�2��,��9�&2��/6./ $($),!& �",!$"�.),�,"#!,���L2�.%�)$�E&6�'!.$�&2��/.� ��"�(.$ 6�)�" 1(� &(��,"#�- )(�1 � )(�1�2 � ,�$". �E&6�� 7 ,�$"&(��,!&$�E&6��8�>�D"�2� (&��+!&�!��$!&&�E&6�&�!$��"�(�2�&2��/$!,�.%�)$ (&L2!&�,�6�/#E�9�$(�-"!��"#0�/$)�$"�3&),"#�'"��/$)�05&9�&2��/6�)$"",�3$�E&6�'!.2�

Дискретные каналы с памятью и без памяти�&��($"!.9�,!,/� ,2-"#0�D"��,!,/����"�(�2 �-�/$!&$!,�.%�)$�'$($)!�1�

:1�r �&2��/,+,�&�&"�" :1�r �&2��/,!,�%�)$&�"Q �&2��/�� $($),!!.%(,!$$�

< <d d` � ���� ` � �����r r r r r r QP b b b P b b b b � 7�G8

�$/&'&!,Q !,+.�,$"�- ,2-"#0�,!,/,�� 6�/$$ E&(���2 �!&2,!&& � )&��($"!.2 �,!,/,2 � ,2-"#0�"!��-" ",�3$

!$�",4&�!,(!.$)&��($"!.$�,!,/.��/$)�$" �"2$"&"#� '"� $�/& !, �%�) �,!,/, � ,2-"#0 �),0"�- �","&�"&'$��&

!$+,�&�&2.$�&2��/.�"�!,$1��.%�)$�&2��/.�",!��-"�-�","&�"&'$��&+,�&�&2.2&���/& =Q �"�",��9�,!,/!,+.�,0"каналом без памяти &)/-!$1�

<d d` � ���� `r r r r rP b b b P b b � 7��8

�/-)&��($"!�1��,!,/,6$+ ,2-"&",�3$� (,�$)/&�,*�(2�/,

��"�'!&� ��)$( ��)�/-"�( �,!,/ �$2�)�/-"�( �$��)$( >�/�',"$/#

�&��($"!.9�,!,/

>�2$%&rb d

rb

IM

<

= < < = < <=

d d d dd ` � ����� ` � ����� `n

n n r rr

P P b b b b b b P b b

b b � 7�I8

�/$)��,"$/#!�� )&��($"!.9 �,!,/ 6$+ ,2-"& %,(,�"$(&+�$"�- "$2� '"� $($%�)!,-�$(�-"!��"# ��/$)��,"$/#!��"$9 �&2��/�� (,� ,),$"�- !, (�&+�$)$!&$ $($%�)!.%�$(�-"!��"$9�")$/#!.%�&2��/���

�/- �",4&�!,(!�1� �,!,/, 6$+ ,2-"& $($%�)!,- �$(�-"!��"# �)&!,���, )/- ��$% $($),�,$2.%�&2��/��7!$+,�&�&"�" �(-)����1�!�2$(,�&2��/,� ��/$)��,"$/#!��"&8�

� �d d` `r i r j i jP b b P b b )/-/06�1� r � 7�M8

Модели дискретных каналов без памяти1. Симметричный канал без памяти�&22$"(&'!.9 �,!,/ 6$+ ,2-"& � D"� �",4&�!,(!.9 )&��($"!.9 �,!,/� � ��"�(�2

�,3).9 �&2��/ 2�3$" 6."# (&!-" �E&6�'!� � !$��"�(�9 *&��&(��,!!�9 �$(�-"!��"#0�E&6�& p & (,�&/#!� � �$(�-"!��"#0 < p � >(& D"�2� $�/& (�&�%�)&" �E&6�, �!$��"�(�2�&2��/$�"��2$�"�!$1��(,�!�9�$(�-"!��"#02�3$"6."# (&!-"/06�9)(�1�9�&2��/�

��&22$"(&'!�2�,!,/$,/*,�&".!,�%�)$&�.%�)$��� ,),0"� �D"�2�M m �� �'L"�2�.E$ ��,+,!!�1�� �$(�-"!��"# �-�/$!&-!, �.%�)$ �,!,/, �&2��/, dj jb b

(&��/��&&�'"�6./ $($),!�&2��/ ib �(,�!,��/��!�9�$(�-"!��"&

d� (& Kd <`d< � (& �

j ij i

j i

p b bmP b b

p b b

1)$ � =�<����� <i j m � 7�@8

�/-�&22$"(&'!�1��,!,/,2�3!�",�3$+, &�,"# d d7 ` 8 7 ` 8j i i jP b b P b b ��,(&��!�$I ($)�",�/$!,�%$2, $($%�)!.%�$(�-"!��"$9����"�$"�"��05,-7�@8�

�&�� I� �%$2, $($%�)!.%�$(�-"!��"$9�)&��($"!�2�&22$"(&'!�2�,!,/$�

��/&(,��2,"(&�,"# ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/��)/&!�9 n �"��$(�-"!��"#"�1��'"�k �&2��/���D"�9 ��/$)��,"$/#!��"&6�)�"�E&6�'!.2&�!,%�)&"�- �*�(2�/$

�E7 8 <<

kn kk

npP N k C p

m

� 7�W8

1)$ ��7 8�

kn

nCk n k

� 6&!�2&,/#!.9��D**&4&$!"&/&'&�/���'$",!&9&+n � k �

\"�")&��($"!.9�,!,/!,+.�,0"",�3$биномиальным каналом���3!� ",�3$ !,9"& �$(�-"!��"# "�1�� '"� (�&+�9)L" %�"- 6. �)!, �E&6�, �

��26&!,4&&�&2��/��)/&!. n �

�E �E �E< <

7 <8 7 <8 7 8 < < 7 =8 < <n n

n k nk k kn

k kP N m P N k C p p P N p

� 7I=8

>(& <p< <

�E7 <8 nP N C p np � 7I<8

e e

= =b

< <mb m

< <b

=d =b

<d <mb m

<d <b

< p

?7 <8p m?7 <8p m

I@

2. Двоичный симметричный канал без памяти� ',�"!�2 �/�',$ (& Hm �&22$"(&'!.9 �,!,/ �",!��&"�- двоичным

симметричным каналом без памяти�

�&�� M� �%$2, $($%�)!.%�$(�-"!��"$9�)��&'!�2�&22$"(&'!�2�,!,/$�

3. Симметричный канал без памяти со стиранием��,!,/$���"&(,!&$2�,/*,�&"�&+ m �&2��/��!,�.%�)$�,!,/,)�6,�/-$"�-$5L

�)&! 7 <8:9m �&2��/� ��"�(.9 2�3!� �6�+!,'&"# +!,��2 ^f_� \"�" �&2��/ �+!,',$"�"&(,!&$ & �-�/-$"�- �! � "�2 �/�',$� $�/& )$2�)�/-"�( !$ 2�3$" (&!-"# �)!�+!,'!�$($E$!&$� $($),!!�2�&2��/$�

>(& �-�/$!&& �"L("�1� �&2��/, �/�',"$/0 /&6� �.),L"�- /06�9 )(�1�9 �&2��/�/&6�+, (,E&�,$"�- ��"�(!,- $($),',!$�6%�)&2�1��&2��/,�

�$(�-"!��"# �-�/$!&-�"&(,!&- Sp !$+,�&�&"�" $($),�,$2.%�&2��/���

�&�� @� �%$2, $($%�)!.%�$(�-"!��"$9�)��&'!�2�&22$"(&'!�2�,!,/$���"&(,!&$2�

4. Несимметричный канал без памяти� !$�&22$"(&'!�2 �,!,/$ �$(�-"!��"& $($%�)�� d d7 ` 8 7 ` 8j i i jP b b P b b � �, (&��!�$ W

($)�",�/$!,�%$2, $($%�)!.%�$(�-"!��"$9)/-�/�',- Hm �

�&�� W� �%$2, $($%�)!.%�$(�-"!��"$9�)��&'!�2!$�&22$"(&'!�2�,!,/$�

Модели дискретных каналов с памятью5. Марковская модель дискретного канала с памятью�D"�2�,!,/$+,),0"�-��/��!.$�$(�-"!��"& < <7�E ` ( 8r rP P & H <7�E ` �E 8r rP P

� �$(�-"!��"& �E&6�& 7 <8:1�r �&2��/,� (& ��/��&&� '"� ($).)�5&9 :9r �&2��/ 6./ (,�&/#!.2&����"�$"�"�$!!�� 6./�E&6�'!.2�

�/-D"�92�)$/&)&��($"!�1��,!,/, < < < H7�E 8 7 ( 8 7�E 8 < 7�E 8 7�E 8r r r r rP P P P P P P P P � 7IH8

��/& �,!,/, �",4&�!,(!.9� "� <7�E 8 7�E 8r rP P p 7 (& r ��5$�"��$" ($)$/IH8���1),�($)!00�$(�-"!��"#�E&6�& p 2�3!�!,9"&&+�(,�!$!&-

< H7< 8p p P p P � 7IA8

�$E$!&$2D"�1��(,�!$!&--�/-$"�- <

< H<Pp

P P

�

�"2$"&2�'"�$�/& HP p �"��E&6�&��,!,/$1(� &(�0"�-�\",2�)$/# (��",-�!�!$)��","�'!�"�'!�� &�.�,$"($,/#!.$�,!,/.�

= =b

< <b

=d =b

<d <b

S< p p

Spp

Hd fb

= =b

< <b

=d =b

<d <b

d< 7< ` =8P

d7<` =8P

d7= `<8P

d< 7= `<8P

= =b

< <b

=d =b

<d <b

< p

p

p

< p

IW

6. Модель Гильберта�/- D"�9 2�)$/& �,!,/ 2�3$" !,%�)&"#�- � )��% ���"�-!&-%� <S � ��1), �E&6�� !$

(�&�%�)&"� & HS � ��1), �E&6�& ��+!&�,0" � �$(�-"!��"#0 Hp � >$($%�). &+ �)!�1����"�-!&-�)(�1�$2�3!�� &�,"#2,"(&4$9�$(�-"!��"$9 $($%�)��

H < < H

H < < H

< 7 ` 8 7 ` 87 ` 8 < 7 ` 8P S S P S S

P S S P S S

S � 7IG8

1)$ < H7 ` 8P S S & H <7 ` 8P S S � �$(�-"!��"& $($%�)�� &+ ���"�-!&- HS � <S & &+ <S � HS���"�$"�"�$!!��

\"�9 2,"(&4$ $($%�)�� ���"�$"�"��$" )&,1(,22, ���"�-!&9 !, (&��!�$ Ошибка! Источник ссылки не найден.�

�&�� <=� �&,1(,22,���"�-!&9)&��($"!�1��,!,/,B&/#6$(",�

��1),�$(�-"!��"&���"�-!&9�)��/$"��(-0"2,"(&'!�2��(,�!$!&0< <

H H

7 8 7 87 8 7 8

P S P SP S P S

S � 7I�8

>����/#�� < H7 8 7 8 <P S P S �"�($E$!&$2D"�9�&�"$2.-�/-$"�-

< H<

< H H <

7 ` 87 87 ` 8 7 ` 8

P S SP SP S S P S S

& H <H

< H H <

7 ` 87 87 ` 8 7 ` 8

P S SP SP S S P S S

�

b$+��/��!,-7�($)!--8�$(�-"!��"#�E&6�&(,�!,H H <

H H< H H <

7 ` 87 87 ` 8 7 ` 8

p P S Sp p P SP S S P S S

� 7II8

>(&&� �/#+��,!&&2�)$/&B&/#6$(",',�"� �/,1,0"�'"� H =��p �'"����"�$"�"��$"�6(.�� ��-+&� �,�,- 2�)$/# ���"�$"�"��$" �,!,/,2� � ��"�(.% !, !$��"�(.% &!"$(�,/,%�($2$!&&+:+,�&/#!.% �2$% (� ,),$"��-+#�

��)$/# B&/#6$(", 2�3!� �6�65&"# !, N ���"�-!&9� !� "�1), �/#+��,"#�- ",��92�)$/#06�)$"+,"(�)!&"$/#!��

7. Модель Пуртова\",2�)$/# � &�.�,$" �,!,/ � 1(� &(��,!&$2�E&6���� D"�92�)$/& +,),0"�-)�,

,(,2$"(,� p � �$(�-"!��"# �E&6�� & � ��,+,"$/# 1(� &(��,!&- �E&6��� >(& D"�2�$(�-"!��"#"�1��'"�� ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/��)/&!. n %�"-6.�)&!�&2��/6�)$"�E&6�'!.2�!,%�)&"�- �*�(2�/$

<�E�E7 <8 gZP

N

NP N n pN

� 7IM8

1)$ 7 8N n & �E 7 8N n ��65$$'&�/�&'&�/��E&6�'!.% ��/$)��,"$/#!��"$9)/&!.n �>(& = �E7 <8P N n p �'"����"�$"�"��$")&��($"!�2��&22$"(&'!�2��,!,/�6$+

,2-"& 7!$" 1(� &(��,!&- �E&6��8� �!,'$!&$ =�� =�M ���"�$"�"��$" �,6$/#!.2/&!&-2 ��-+& 7�(,"���($2$!!.$ ($(.�,!&- ��-+&8�� (,)&�($/$9!.%/&!&-%&!$��"�(.%/&!&-%��(�"����/!���9��-+& =�A =�� �

H << 7 ` 8P S S< H< 7 ` 8P S S

H <7 ` 8P S S

< H7 ` 8P S S<S HS

M=

8. Модель Пуртова–Попова�,+�&"&$2 2�)$/& >�("��, -�/-$"�- 2�)$/#>�("��,�>� ��,� � ��"�(�9 �$(�-"!��"#

�-�/$!&- t &6�/$$�E&6�����26&!,4&&�&2��/��)/&!. n (,�!,<

�E7 8 nP N t pt

� 7I@8

>(& +,),!!�2 n � (��"�2 t �$(�-"!��"# �E&6�& 6/��, �&2��/�� )/&!. n �6.�,$"� ����/#�� (& ,�$"&(��,!&& �E&6�& ���($)�"�'$!!. �!�"(& 6/��, &/& �!�"(& (-)�2/$3,5&%6/�����&2��/���

Модель дискретно-непрерывного канала�/- �/!�1� � &�,!&- 2�)$/& )&��($"!�:!$ ($(.�!�1� �,!,/, !$�6%�)&2� +,),"#

,/*,�&" )&��($"!.% �&2��/�� = < <� ����� mb b b B � (��"(,!�"�� �&1!,/�� !, �.%�)$ �,!,/,

7 8z tZ & ��/��!�0 7 $($%�)!�08 /�"!��"# �$(�-"!��"& 7 ` 8w z b �$�"�(!�1� �&1!,/,

= < <7 8 7 7 8� 7 8���� 7 88nt z t z t z tz !, �.%�)$ �,!,/, (& ��/��&&� '"� !, �%�) 6./, �),!, ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/�� = < <7 � ����� 8nb b b b )/&!. n ��)$�# (&!-"��'"��&2��/� rb B!,�%�)$�,!,/,���"�$"�"��$"�&1!,/ 7 8rz t Z !,�.%�)$�,!,/,�

�!,/�1&'!� 2�3!� � &�,"# 2�)$/#!$ ($(.�!�:)&��($"!�1� �,!,/,� "�/#�� �2$�"�7 ` 8w z b )/-� &�,!&-&� �/#+�0"��/��!�0�$(�-"!��"# 7 ` 8P b z �

M<

ЛЕКЦИЯ 5ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙПостановка задачи синтеза оптимального алгоритма демодуляции на основе статистического подхода. Функции демодулятора при приёме дискретных сообщений. Критерии и правила оптимального приёма. Критерий идеального наблюдателя 7минимума средней вероятности ошибки8 и вытекающие из него решающие правила 7максимума апостериорной вероятности 7���8, максимума правдоподобия 7�>88. Отношение правдоподобия 7�>8. Другие критерии и решающие правила 7Неймана-Пирсона, минимума среднего риска, обобщённого �>8�

>�) �2$%���"�9'&���"#0 �&�"$2 $($),'& )&��($"!.% ���65$!&9 �!&2,0"� ���6!��"# �&�"$2. $($),'& (�"&���"�-"# �2$%,2� ��!��!�9 +,),'$9 "$�(&& �2$%���"�9'&���"& �&�"$2 $($),'& )&��($"!.% ���65$!&9 -�/-$"�- +,),', ��"(�$!&-� "&2,/#!�1� (&L2!&�, )&��($"!.% ���65$!&9 & �/�'$!&$ ��/&'$�"�$!!�9 �4$!�& �2$%���"�9'&���"& ��"(�$!!�1� (&L2!&�,�

�,��2�"(&2 $($),'�)&��($"!.% ���65$!&9 �!$ ($(.�!�2��,!,/� � ,))&"&�!.2E�2�2� �, (&��!�$ Ошибка! Источник ссылки не найден. ($)�",�/$!, �"(��"�(!,-�%$2,���"�$"�"��05$9�&�"$2. $($),'&�

�&�� <<� �"(��"�(!,-�%$2,�&�"$2. $($),'&)&��($"!.%���65$!&9�

>(& $($),'$ )&��($"!.% ���65$!&9� ���"�-5&% &+ ��/$)��,"$/#!��"& �/�',9!.%��/$)�05&%)(�1+,)(�1�2�&!"$(�,/�2T �)&��($"!.%�&2��/�� ib 7 i �!�2$(�&2��/,�,/*,�&"$8� �,3).9 �&2��/ ���65$!&- � 2�)�/-"�($ $($),"'&�, +,2$!-$"�-���"�$"�"��05&2�&1!,/�2 7 8iu t ���"�(.9 $($),L"�- ��,!,/���-+&�

>��/$ (�%�3)$!&- D"�1� �&1!,/, '$($+ �,!,/ � ,))&"&�!.2 E�2�2� !, �%�) (&L2!&�, ��"� &"�&1!,/

7 8 7 8 7 8iz t s t n t � 7IW81)$ 7 8is t � �&1!,/ ib �&2��/, !, �%�)$ (&L2!&�, 7 �/$+!.9 �&1!,/8� 7 8n t � �&1!,/E�2,7 �2$%,8�

>(&!,/&'&&E�2,�&1!,/ 7 8z t !, +,),!!�2&!"$(�,/$�($2$!&-�/-$"�-($,/&+,4&$9�/�',9!�1� (�4$��, 7 8 7 8 7 8iZ t s t N t �

� (&L2!�2 ��"(�9�"�$� )$2�)�/-"�( � (&!-"�9 ($,/&+,4&& 7 8z t ($E,$"� �,��9�&2��/6./ $($),!&�.),L"D"�"�&2��/ �/�',"$/0�>� �/�'$!!�9 ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/�� �/�',"$/#����",!,�/&�,$" $($),!!�$���65$!&$�

��$��+2�3!.$ ($,/&+,4&& 7 8z t �/�',9!�1� (�4$��, 7 8Z t 2�3!� �"�6(,+&"# �6$���!$'!�2$(!�2 (��"(,!�"�$ �&1!,/�� � �&)$ "�'$�� \"� (��"(,!�"�� �� �"�(�!. (&L2!&�, -�/-$"�- пространством наблюдений� ;"�6. � (&!-"�9 ($,/&+,4&& 7 8z t2�3!� 6./� �)!�+!,'!�� ��+2�3!�� !$�$(!�� � ($)$/&"# $($),!!.9 �&2��/� ��L (��"(,!�"�� !,6/0)$!&9 (,+6&�,$"�- !, m !$ $($�$�,05&%�- �6/,�"$9 d

iB & �,3)�9

�6/,�"& �� ��",�/-$"�- ���9 �&2��/ di ib b � \"& �6/,�"& !,+.�,0" областями решений���1),)/-�.!$�$!&-($E$!&-)��","�'!�� ($)$/&"#��,��9�6/,�"& (&!,)/$3&" 7 8z t &�.),"# �/�',"$/0���"�$"�"��05&9D"�9�6/,�"&�&2��/�

�,��!� � ��"�(�2� (�&+��)&"�- (,+6&$!&$ (��"(,!�"�, !,6/0)$!&9 !, �6/,�"&($E$!&9 &/& � ��"�(�2� �%�)!�9 �&1!,/ 7 8z t ($�6(,+�$"�- � $($),!!.9 �&2��/�

��"�'!&� >$($),"'&� �,!,/ >(&L2!&� >�/�',"$/#

n7t87 8z t7 8is t7 8iu tib d

ib

MH

!,+.�,0"решающим правилом &/&алгоритмом�,�%$2�$1�($,/&+�05�0� решающей схемой�

�,+/&'!.$ (&L2!.$ ��"(�9�"�, �"/&',0"�- )(�1 �" )(�1, (,+6&$!&$2 (��"(,!�"�,!,6/0)$!&9&����"�$"�"�$!!�����&2&($E,05&2& (,�&/,2&�

�$E,05$$ (,�&/� 7,/1�(&"28� ($)$/-$"�-����"�$"�"�&&��.6(,!!.2критерием качества или критерием оптимальности�

Критерий оптимальности � D"� ��/��&$ 72,��&2�2, &/& 2&!&2�2,8� ��"�(�2�)�/3$! �)��/$"��(-"# ��!��!�9 показатель качества приёма� ($)�",�/-05$1� &!"$($�)/- �/#+��,"$/- �&�"$2.� >��,+,"$/# �,'$�"�, -�/-$"�- ��/&'$�"�$!!�9 2$(�9 �2$%���"�9'&���"&�

� �,'$�"�$ ��,+,"$/- �,'$�"�, (&L2, ',�"� &� �/#+�$"�- �$(�-"!��"# (,�&/#!�1� (&L2, �&2��/,� �$(�-"!��"# �E&6�& �&2��/,� �$(�-"!��"# �E&6�& 6&",� �$(�-"!��"#�E&6�&��)���9��26&!,4&&&)(�

�,��2�"(&2��!��!.$�(&"$(&&�&� �/#+�$2.$��&�"$2,%��-+& (& (&L2$�&2��/��)&��($"!.%���65$!&97 �D/$2$!"!�2 (&L2$8�

Критерий минимального среднего риска или критерий Байеса��1/,�!� ),!!�2� �(&"$(&0 +,),0"�- �$/&'&!. �i jR � (&�� 7 �"$(-� �"�&2��"#8

�.),'&��,'$�"�$($E$!&-�&2��/, dib (&��/��&&�'"�6./ $($),!�&2��/ jb ��($)!00�$/&'&!�(&��,��'&".�,05�0��/,).��$%&�%�)���!,+.�,0"средним риском �(R �

< <

�( �= =

d �m m

i j i ji j

R R P b b

� 7M=8

>� �(&"$(&0 2&!&2,/#!�1� �($)!$1� (&��, оптимальным считается решающее правило, которое минимизирует величину среднего риска �(R �

���2$�"!,-�$(�-"!��"# d �i jP b b (,�!,

d

d d d� � ` `i

i j i j j i j j jP b b P b P b P b P b w b d B

z B z B z z �

1)$ d iB � �6/,�"#($E$!&-� (��"(,!�"�$�&1!,/��)/-�&2��/, di ib b ���1),

< < < <

�( � �= = = =d d

` `i i

m m m m

i j j j i j j ji j i j

R R P b w b d R P b w b d

B B

z z z z � 7M<8

�&!&2&+,4&- �(R )��"&1,$"�- (& ",��2 +!,'$!&& z � (& ��"�(�2 2&!&2&+&(�$"�-�.(,3$!&$ � ���6�,%��/$)��,"$/#!�� (&(,+6&$!&& (��"(,!�"�,!,6/0)$!&9!,�6/,�"&($E$!&9)/-2&!&2&+,4&& �(R +!,'$!&$ z )�/3!� (&!,)/$3,"#�"�9�6/,�"&($E$!&9 d iB �)/-��"�(�97 (&+,),!!�2 i 8�.(,3$!&$����6�,%6�)$"2&!&2,/#!.2�

�$E,05$$ (,�&/�� � ($)$/-05$$ !�2$( �6/,�"& ($E$!&9� � ��"�(�9 )�/3!, (&!,)/$3,"# (&!-",-($,/&+,4&- z �6�)$"�/$)�05&2

<

�=�<����� < =

d QRUPZ[ `m

i j j ji m j

i R P b w b

z � 7MH8

1)$ QRUPZ[ iiA � �+!,',$"+!,'$!&$ i � (&��"�(�2 iA 2&!&2,/#!��

�� �/#+�- *�(2�/� b,9$�, ` 7 8 `j j jP b w b w P bz z z � ($E,05$$ (,�&/� 2�3!�+, &�,"#6�/$$��2 ,�"!�

<

�=�<����� < =

d QRUPZ[ `m

i j ji m j

i R P b

z � 7MA8

MA

C�/��!�0 /�"!��"# �$(�-"!��"& ` jw bz !,+.�,0" функцией правдоподобия�6$+��/��!�0 �$(�-"!��"# 7 8jP b � априорной вероятностью �&2��/, jb 7�$(�-"!��"#�

&+�$�"!,- )� � .",8� , ��/��!�0 �$(�-"!��"# `jP b z � апостериорной вероятностью�&2��/, jb 7�$(�-"!��"#�(,��'&",!!,- ��/$� .",8�

�!,'$!&-(&���� �i jR 2�3!� �.6&(,"# (�&+��/#!�� �D"�2��(&"$(&92&!&2,/#!�1��($)!$1� (&��, -�/-$"�- �65&2 �($)& �(&"$(&$� � +,),!!.2& (&��,2&� >(&L2!&��� "&2,/#!.9 � �(&"$(&0 2&!&2,/#!�1� �($)!$1� (&��,� !,+.�,0" байесовским приёмником�

Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)�,),'� �".��,!&- � "&2,/#!�1� ($E,05$1� (,�&/,� ��"�(�$ �6$� $'&�,/� 6.

!,&/�'E$$ �,'$�"�� (&L2,�)/- !$&��,3,05$1� �,!,/, � �bBc� � $(�.$ ($E&/���� ��"$/#!&��� � <WGI 1�>(& D"�2� �,'$�"�� (&L2,�4$!&�,/��# �($)!$9 �$(�-"!��"#0�E&6�&�&2��/,�

Критерий идеального наблюдателя � D"� �(&"$(&92&!&2�2, �($)!$9 �$(�-"!��"&

�E&6�&�&2��/,<

=7 8 7�E ` 8

m

i ii

p P b P b

�

>� (&!-"�9 ($,/&+,4&& 7 8z t �/�',9!�1� (�4$��, 7 8Z t � )$9�"��05$1� !, �%�)$ (&L2!&�,� )$2�)�/-"�( (&!&2,$" ($E$!&$ � $($),!!�2 �&2��/$ ib � �$(�-"!��"# "�1��'"� (& +,),!!�2 7 8z t 6./ $($),! �&2��/ ib � (,�!, �6(,"!�9 &/& , ��"$(&�(!�9�$(�-"!��"& 7 ` 8iP b z D"�1��&2��/,�

��1/,�!��(&"$(&0&)$,/#!�1�!,6/0),"$/-��,'$�"�$($E$!&-�.6&(,$"�-�&2��/ ib �, ��"$(&�(!,-�$(�-"!��"#��"�(�1�2,��&2,/#!,�

=�<����� <

d QRUPQa 7 ` 8ii m

i P b

z � 7MG8

\"� (,�&/�!,+.�,$"�-правилом максимума апостериорной вероятности�>(&L2!&�� ��"�(.9 ($,/&+�$" D"� ($E,05$$ (,�&/�� !,+.�,0" приёмником

Котельникова��� �/#+�-*�(2�/�b,9$�,�, ��"$(&�(!�0�$(�-"!��"#2�3!�!,9"& �*�(2�/$

7 8 7 ` 87 ` 87 8

i ii

P b w bP bw

zz

z� 7M�8

>�)�",�&� 7Ошибка! Источник ссылки не найден.8 � 7MG8� (,�&/� 2,��&2�2,, ��"$(&�(!�9�$(�-"!��"&6�)$"���"�$"�"���,"# (,�&/�

=�<����� <

d QRUPQa 7 8 7 ` 8i ii m

i P b w b

z � 7MI8

��/& )/- $($),'& &� �/#+�0"�- )��&'!.$ �&2��/. = =b & < <b 7 Hm 8� "� ��/$)!$$ (,�&/�� (�5,$"�-)�)��9!�1�!$(,�$!�"�,

=

= = < <<

7 8 7 ` 8 7 8 7 ` 8P b w b P b w bz z � 7MM8

�(&"$(&9 &)$,/#!�1� !,6/0),"$/- 2�3!� �/�'&"# &+ �(&"$(&- 2&!&2,/#!�1��($)!$1�(&��,� (&(&��,%(,�!.% � <i j i jR �

Критерий максимального правдоподобия (максимума функции правдоподобия)��/& , (&�(!.$ �$(�-"!��"& �&2��/�� !$&+�$�"!.� "� )/- (&L2, )&��($"!.%

���65$!&9&� �/#+�0" (,�&/�2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-

=�<����� <

d QRUPQa 7 ` 8ii m

i w b

z � 7M@8

�!�1),���)-"�(,��2�"($!&$�"!�E$!&$ (,�)� �)�6&-

MG

7 ` 87 ` E8

ii

w bw

zz

� 7MW8

1)$ 7 ` E8w z � /�"!��"#�$(�-"!��"&($,/&+,4&& 7 8z t (&��/��&&�'"�!,�%�)$)$9�"��$""�/#��E�2�

��1),�2$�"�7M@82�3!�+, &�,"#

=�<����� <

d QRUPQa ii m

i

� 7@=8

>(,�&/� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- ���"�$"�"��$" �(&"$(&0 2&!&2�2, ��22.

��/��!.%�$(�-"!��"$9�E&6���&2��/���"�$�<

=

7�E ` 8 PZ[m

ii

P b

�

�"2$"&2� '"� (& (,�$!�"�$ )(�1 )(�1� ��$% , (&�(!.% �$(�-"!��"$9 �&2��/��7 8 <?iP b m � (,�&/� 2,��&2�2, , ��"$(&�(!�9 �$(�-"!��"& 6�)$" ��� ,),"# � (,�&/�2

2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-�� �/�',-%� $�/& !$��"�(.$ ,(,2$"(. �,!,/, &/& �&1!,/, < H7 � ����� 8n θ 7�$�"�(

�� (���3),05&% ,(,2$"(��8!$&+�$�"!.�"��2$�"�*�!�4&& (,�)� �)�6&-6�)$2&2$"#��/��!�0 /�"!��"#�$(�-"!��"& 7 ` � 8iw bz θ ���1),�)/-!,%�3)$!&-*�!�4&& (,�)� �)�6&-!$�6%�)&2� (�&!"$1(&(��,"#&/&��($)!&"#D"���/��!�0 /�"!��"#�$(�-"!��"& ���$2+!,'$!&-2�� (���3),05$1� ,(,2$"(,7&!"$1(,/2!�1�2$(!.98�

7 ` � 8 �$�/& !$&+�$�"!.9 ,(,2$"(K7 ` 8

7 8 7 ` � 8 �$�/& �/�',9!.9�&+�$�"!.2(,� ($)$/$!&$2�

i

ii

w b dw b

w w b d

θ

θ

z θ θ θz

θ z θ θ θ7@<8

�, (&2$(�$�/&�&1!,/��,!,/$ �/�',$"�/�',9!.9*,+��.9�)�&1 �&+�$�"!.2(,� ($)$/$!&$2�$(�-"!��"&�"�

7 ` 8 7 ` � 8 7 ` � 8 7 8i i iw b w b w b w d

z z z � 7@H8

Критерий Неймана–Пирсона��/& �E&6�& !$(,�!�4$!!.$ & (,�"&'$��& !$��+2�3!� � ($)$/&"# , (&�(!�0

�$(�-"!��"# $($),�,$2.% �&2��/��� "� � D"�2 �/�',$ &� �/#+�0" �(&"$(&9 �$92,!,�>&(��!,� \"�" �(&"$(&9 (&2$!-0"� !, (&2$(� � (,)&�/��,4&& (& �6!,(�3$!&& 4$/&��$E,05,- �%$2, �'&",$"�- � "&2,/#!�9� $�/& (& +,),!!�9 �$(�-"!��"& /�3!�9 "($��1&

/"p 2&!&2&+&(�$"�-�$(�-"!��"# (� ���,4$/& 4p ��/- !,%�3)$!&- ($E,05$1� (,�&/, ��L (��"(,!�"�� �&1!,/�� (,+6&�,0" !, )�$

�6/,�"& ($E$!&9� =dB � �6/,�"# ($E$!&9 �6 �"��"�"�&&4$/& 7= � 4$/& !$"8� <

dB � �6/,�"#($E$!&9�!,/&'&&4$/&7<�4$/#$�"#8�

�,/$$+,),0"�$/&'&!��$(�-"!��"&/�3!�9"($��1&���"�(,-(,�!,

<

/"d

7�E ` =8 ` =p P w d const B

z z � 7@A8

>(&+,),!!�9�$/&'&!$ /"p !$�6%�)&2�2&!&2&+&(��,"#�$(�-"!��"# (� ���,4$/&

=

4d

7�E `<8 `< PZ[p P w d B

z z � 7@G8

�� �/#+�- 2$"�) !$� ($)$/L!!.% 2!�3&"$/$9 �,1(,!3,� �2$�"� ($).)�5$1��.(,3$!&-2�3!�2&!&2&+&(��,"#�/$)�05�0��22�

<

4 /"d

< ` = `< PZ[p p w w d B

z z z � 7@�8

M�

�&!&2�2 6�)$" )��"&1,"#�- )/- "$% +!,'$!&9 <dz B � )/- ��"�(.% �).!"$1(,/#!�$

�.(,3$!&$ ` = `< =w w z z � ��$ ��",/#!.$ z 6�)�" (&!,)/$3,"# �6/,�"& ($E$!&9

=dB ���1),($E,05$$ (,�&/�6�)$"�/$)�05&2

<

=

`<` =

ww

zz

� 7@I8

>�(�1��.9�(��$!# � ($)$/-$"�-&+!$/&!$9!�1��(,�!$!&-

/"7 `<8 7 ` =87 ` =8

w w d pw

z1 z zz

� 7@M8

1)$ 7 8x1 �*�!�4&-$)&!&'!�1���,'�,���"�(,-(,�!, <� =K7 8 =� =�xx x 1

�, �/$)�05$2 (&��!�$ &+�6(,3$!� (,+6&$!&$ (��"(,!�"�� !,6/0)$!&9 !, �6/,�"&($E$!&9 � �(&"$(&0 �$92,!,�>&(��!, )/- �)!�2$(!�1� �/�',-� ��1), z ���"�&" &+�)!�1��"�'L",�

�&�� <H� �,+6&$!&$ (��"(,!�"�,�&1!,/�� ��(&"$(&0�$92,!,�>&(��!,�

Критерий обобщённого максимального правдоподобия��/& &+:+, !$&+�$�"!.% ,(,2$"(�� θ �,!,/, &/& �&1!,/, *�!�4&- (,�)� �)�6&-

� ($)$/$!, !$ �/!��"#0� "� �2$�"� (,�&/, 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- 2�3!�&� �/#+��,"# правило обобщённого максимального правдоподобия� ��1/,�!� ��"�(�2�2,��&2&+&(�$"�- 7 ` � 8iw bz θ ����2$�"!��& ��&2��/,2�& ���$2!$&+�$�"!.2 ,(,2$"(,2�>(& D"�2 �" ,),$" !$�6%�)&2��"# !,%�3)$!&- *�!�4&& (,�)� �)�6&- �"L2)� �/!&"$/#!�1� &!"$1(&(��,!&- � ��$2 θ � ��"�(�$ ��/�3!-$" ($,/&+,4&0 ($E,05$1� (,�&/,�

��'L"�2�.E$��,+,!!�1�� (,�&/��6�65L!!�1�2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-6�)$"�/$)�05&2

< H< H� � ����

d QRU PQa 7 ` � � ����8iii w b

z � 7@@8

��/& ($)�,(&"$/#!��),L"�-!,9"&+!,'$!&- � "�< � � "�H &"�)�� (&��"�(.%*�!�4&- (,�)� �)�6&- )��"&1,$" 2,��&2�2,� "� (,�&/� �6�65L!!�1� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-6�)$"���"�$"�"���,"# (,�&/�

� "�< � "�Hd QRUPQa 7 ` � � ����8iii w b z � 7@W8

��2!�1&% (,�"&'$��&%�/�',-% (,�&/��6�65L!!�1�2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-6/&+�� � � "&2,/#!�2� � �(&"$(&0 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- & !$+!,'&"$/#!� (�&1(.�,$"$2���,'$�"�$�

= =s <s

/"p

7 ` =8w z 7 `<8w z

z �(

�(

7 `<87 ` =8

w zw z

�(z7 `<8

7 ` =8w zw z

7 `<87 ` =8

w zw z

=

dB <dB

:�)&!�"�'L"z

�(

/"7 ` =8z

w z dz p

MI

ЛЕКЦИЯ 6Алгоритмы и схемы оптимального приёма в идеальном канале с гауссовским шумом. Вывод алгоритма оптимального приема 7различения8 полностью известных m-позиционных сигналов на фоне белого гауссовского шума. Структурные схемы оптимальных когерентных приёмников на основе квадраторов и корреляторов. Упрощение алгоритма и его реализации для систем сигналов с равными энергиями. Особенности приёма двоичных сигналов.Обеляющий фильтр.

�,��2�"(&2 $($),'� )&��($"!.% ���65$!&9 � &)$,/#!�2� �,!,/� � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&&�bBc�

>(& $($),'$ ib �&2��/, !, �%�) (&L2!&�, 7)$2�)�/-"�(,8 !, &!"$(�,/$ �($2$!&)/&"$/#!��"&T ��"� ,$"�&1!,/

7 8 7 8 7 8iz t s t n t � 7W=81)$

7 8 7 8i is t u t � 7W<8��&1!,/ ib �&2��/,7 �/$+!.9�&1!,/8�)$9�"��05&9!,�%�)$ (&L2!&�,� 7 8iu t � �&1!,/ ib�&2��/, !, �.%�)$ $($),"'&�,� � ��"�-!!.9 ��D**&4&$!" $($),'& �,!,/,� 7 8n t �($,/&+,4&-�bBc 7 8N t !,&!"$(�,/$�($2$!&�"=)�T �

b$/.91,�������&9E�2 7 8N t �D"�!�(2,/#!.9�/�',9!.9 (�4$����)!��"�(�!!$97!, �/�3&"$/#!.% ',�"�",%8 �>� =N � �1� 2,"$2,"&'$���$ �3&),!&$ 7 8 =N t � ,

��(($/-4&�!!,-*�!�4&- =H7 8 7 8 7 8 7 8N

NB N t N t ��),/#!$9E$26�)$2�'&","#�'"��&1!,/. 7 8is t � =�<����� <i m � �/!��"#0&+�$�"!.�

(&L2!&�$� �,��$ ($) �/�3$!&$ � (,�),!�� $�/& � (&L2!&�$ )$9�"��0" система вхождения в связь� система синхронизации & система оценки параметров канала��&�"$2, �%�3)$!&- � ��-+# ($)!,+!,'$!, )/- � ($)$/$!&- !,',/, ��$1� �$,!�, ��-+&��&�"$2, �&!%(�!&+,4&& ($)!,+!,'$!, )/- � ($)$/$!&- !,',/#!.% 2�2$!"�� �($2$!& ��"� /$!&-� (&L2!&��&1!,/���")$/#!.%�&2��/����&�"$2,�4$!�& ,(,2$"(���,!,/,&� �/#+�$"�-)/-�"�/$3&�,!&-&+2$!$!&9���($2$!&D"&% ,(,2$"(���'"�6.&� �/#+��,"#&% )/- )��"&3$!&- 2,��&2,/#!�1� �,'$�"�, (,6�". (&L2!&�,� �, (&2$(� $�/& � �,!,/$�&1!,/ (&�6($",$" )� �/!&"$/#!.9 *,+��.9 �)�&1� "� �&1!,/ 7 8is t !, �%�)$ (&L2!&�,6�)$" �"/&',"#�- �" $($),!!�1� �&1!,/, 7 8iu t !,',/#!�9 *,+�9� �/- !,%�3)$!&- 7 8is t �!$�6%�)&2� &+2$(&"# D"�" *,+��.9 �)�&1� ��/& !,',/#!.$ *,+. (&!&2,$2.% �&1!,/��"�'!�&+�$�"!.� (&L2!&�$�"�",��9 (&L2!&�!,+.�,0"когерентным��!,'$ (&L2!&�!,+.�,0"некогерентным�

�/- ��"(�$!&- (&L2!&�,� � "&2,/#!�1� � �,��2�:/&6� �(&"$(&0 � "&2,/#!��"&�!$�6%�)&2�� � ���"�$"�"�&& � +,),!!�9 2�)$/#0 �,!,/, � ,))&"&�!�9 �2$%�9� !,9"&*�!�4&0 (,�)� �)�6&- 7 ` 8iw bz ���/&�&1!,/.!,�%�)$ (&L2!&�,&+�$�"!.�"�*�!�4&- (,�)� �)�6&- 7 ` 8iw bz �/!��"#0� ($)$/-$"�-(,� ($)$/$!&$2,))&"&�!�9 �2$%&�

>/�"!��"# �$(�-"!��"& ($,/&+,4&& 6$/�1�E�2, 7 8Nw n !, &!"$(�,/$ �($2$!& 7=K 8T),L"�-�.(,3$!&$2

H

= =

<7 8 Nah 7 8T

Nw K n t dtN

n � 7WH8

1)$ =gZP R

RK N

� ��!�",!",���"�(,-�"($2&"�-�!�/0�\",��!�",!",�"($2&"�-�!�/0�

����/#��6$/.9E�2�D"�&)$,/&+&(��,!!,-2�)$/#E�2,���"�(,-&2$$"!$�1(,!&'$!!.9 �',�"�"$� $�"(�

�"�6(,3$!&$�&2��/�� ib ��&1!,/ 7 8is t -�/-$"�-�)!�+!,'!�9� $(,4&$9� �D"�2�

MM

7 ` 8 7 8i N iw b w z z s ��/$)��,"$/#!��)/-�,!,/,��bBc*�!�4&- (,�)� �)�6&-6�)$"(,�!,

H= =

<7 ` 8 Nah 7 8 7 8T

i iw b K z t s t dtN

z � 7WA8

Правило максимума апостериорной вероятности при когерентном приёме. �/-&)$,/#!�1��,!,/,��bBcD"� (,�&/�6�)$"�/$)�05&2

H=�<����� < = =

<d QRUPQa 7 8 Nah 7 8 7 8T

i ii m

i P b z t s t dtN

� 7WG8

1)$ di � �4$!�, !�2$(, �&2��/, � ,/*,�&"$� ��"�(.9 �.),L"�- � �,'$�"�$ ($E$!&-� m �(,+2$(,/*,�&",�

7 8z t � �&1!,/ !, �%�)$ (&L2!&�,� (,�!.9 ��22$ �&1!,/, & ($,/&+,4&& 6$/�1�1,��������1�E�2,��)!��"�(�!!$9�>� =N �

7 8is t � �&1!,/ ib �&2��/,)/&"$/#!��"&T !,�%�)$ (&L2!&�,7опорный сигнал8�F�!�4&- g[7 8x � 2�!�"�!!,- !$�6.�,05,- *�!�4&- �" ���$1� ,(1�2$!",� >�D"�2�

�/�3$!&$2,��&2�2,!$&+2$!&"�-�$�/&�.(,3$!&$����6�,%+,2$!&"#$1�!,"�(,/#!.2/�1,(&*2�2���1),

H = ���$2 =

d QRUPZ[ 7 8 7 8 g[ 7 8T

i ii

i z t s t dt N P b

� 7W�8

��/&(,��(."#��,)(,"(,+!��"& �)&!"$1(,/�2�"�� =

���$2 =

d QRUPQa 7 8 7 8 g[ 7 8H H

Ts i

i ii

E Ni z t s t dt P b

� 7WI8

�/- ($,/&+,4&& D"�1� ($E,05$1� (,�&/, !$�6%�)&2� +!,"# !$ "�/#�� �&1!,/. !,�%�)$ (&L2!&�,& , (&�(!.$ �$(�-"!��"& $($),�,$2.% �&2��/��� !�&�>� =N 6$/�1�E�2,�

�!"$1(,/=

7 8 7 8T

iz t s t dt !,+.�,$"�- корреляционным интегралом� , ��"(�9�"�� $1�

�.'&�/-05$$ � коррелятором� >(&L2!&�� � ��"�(�2 �.'&�/-0"�- ��(($/-4&�!!.$&!"$1(,/.�!,+.�,0"корреляционным приёмником�

Правило максимального правдоподобия при когерентном приёме. \"� (,�&/�*�(2,/#!� 2�3!� �/�'&"# &+ (,�&/, 2,��&2�2, , ��"$(&�(!�9 �$(�-"!��"& (&(,�$!�"�$��$%, (&�(!.%�$(�-"!��"$9�

H ���$2 =

d QRUPZ[ 7 8 7 8T

ii

i z t s t dt

7WM8

&/& �

���$2 =

d QRUPQa 7 8 7 8H

Ts i

ii

Ei z t s t dt

� 7W@8

�D"�2�/�',$�" ,),$"!$�6%�)&2��"#&+2$($!&- =N ��/- �&1!,/�� )��&'!.% �&2��/�� 7 Hm 8 (,�&/� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-

� (�5,$"�-)�)��9!�1�!$(,�$!�"�,<

�< �=< =

= ==

7 8 7 8 7 8 7 8H H

T Ts sE E

z t s t dt z t s t dt � 7WW8

�/- $($),'&)��&'!.%�&2��/���6.'!�&� �/#+�0"�/$)�05&$�&�"$2.�&1!,/�����:H� ,��&�!�9 ,�+�9�

< =7 8 SXY7 8mu t U t � = 7 8 =u t � 7<==8F�:H7�&�"$2, (�"&�� �/�3!.%�&1!,/����&1!,/.�(,�!�9D!$(1&$98�

M@

< =7 8 SXY7 8mu t U t � = = <7 8 SXY7 8 7 8mu t U t u t � 7<=<8;�:H7�&�"$2,�("�1�!,/#!.%�&1!,/����&1!,/.�(,�!�9D!$(1&$98�

< <7 8 SXY7 8mu t U t � = H7 8 SXY7 8mu t U t � 7<=H81)$ < =f f f � H =f f f � f � )$�&,4&- ',�"�".� ��"�(,- )/- ��6/0)$!&-�("�1�!,/#!��"&)�/3!,6."#�.6(,!,(,�!�9 ?7H 8f k T �1)$ k �!,"�(,/#!�$'&�/��

�,(&��!�$7<A8&+�6(,3$!.�($2$!!.$)&,1(,22.�&1!,/��)��% �+&4&�!!.%�&�"$22�)�/-4&&!,�.%�)$ $($),"'&�,�

�&�� <A� �&1!,/.(,+/&'!.%)��% �+&4&�!!.%�&�"$22�)�/-4&&!,�.%�)$ $($),"'&�,�

��/& ��D**&4&$!" $($),'& �,!,/, &+�$�"$! � (&L2!&�$� "� ",�3$ &+�$�"!. &�&1!,/. !, �.%�)$ �,!,/, 7 8 7 8i is t u t � =�<i � ��1),� (& &� �/#+��,!&& )/- $($),'&�&1!,/����:H� ,��&�!�9 ,�+�97 = 7 8 =s t 8

<�<

<= =

7 8 7 8H

TsE

z t s t dt � 7<=A8

��/&&� �/#+�0"�-�&1!,/.�(,�!�9D!$(1&$97F�:H�;�:H8�"�

<

< == =

7 8 7 8 7 8 =T

z t s t s t dt &/& <

< == =

7 8 7 8 7 8 =T

z t u t u t dt � 7<=G8

�D"�2�/�',$!$!�3!�+!,"# ��/-F�:H (,�&/�2�3!�$5L� (��"&"#

<

<= =

7 8 7 8 =T

z t u t dt � 7<=�8

Структурные схемы оптимальных приёмников, реализующих правило максимального правдоподобия

�, �%$2,% �C � ($E,05$$ ��"(�9�"��� ��"�(�$ � ($)$/-$" !�2$( �$"�&� !, �.%�)$��"�(�9 �&1!,/ &2$$" 2&!&2,/#!�$ 72,��&2,/#!�$8 +!,'$!&$ � 2�2$!". �($2$!& �(,"!.$T ��&2��/�D"&2!�2$(�2�.),L"�-!,�.%�)$�C�

�&�� <G� �"(��"�(!.$�%$2.� "&2,/#!.% (&L2!&��� (&��1$($!"!�2 (&L2$�

<

7 8b t

7 8U t

F�:H

t

t

t

t

= < < = = =

h

h

mU

mU

;�:H

��:H

��:H� =7 87 8 SXY7 8<

HmU b tU t t

h

F�:H� =7 87 8 SXY <

Hmb tU t U t

h

;�:H� =7 87 8 SXY Hm

b tU t U tf fh

7 8z t–

–

H7 8

H7 8

=

T

=

T

= 7 8s t

<7 8s t

�C7PZ[8

dib

kT �"�&�"$2.�&!%(�!&+,4&&

7 8z t

=

T

=

T

–

–

= 7 8s t

<7 8s t �< ? HsE

�C7PQa8

dib

kT �"�&�"$2.�&!%(�!&+,4&&

�= ? HsE

��(($/-"�(

MW

Обеляющий фильтр�$E,05&$ (,�&/,� �/�'$!!.$ (,!$$� � "&2,/#!. (& ��/��&&� '"� E�2 � �,!,/$

6$/.9���1�"��+!&�!�"#�&"�,4&&���1),E�2!$6$/.9�,��(,E$!!.9���(,E$!!.9E�2�"/&',$"�-�"6$/�1�"$2�'"�$1�D!$(1$"&'$��&9� $�"(!$(,�!�2$(!.9�

��(,E$!!.9 E�2 (,�"&'$��& 2�3$" 6."# �/�'$! (& (� ���,!&& 6$/�1� E�2,'$($+ /&!$9!.9 *&/#"( � !$(,�!�2$(!�9 �;�� ��/& 7 8K f � $($),"�'!,- *�!�4&-/&!$9!�1�*&/#"(,�"��>���(,E$!!�1�E�2,6�)$"(,�!,

H H=

��(�E H7 8 7 8 7 8 7 8NNG f K f G f K f �

1)$ =7 8 ? HNG f N � �>�6$/�1�E�2,� ��(�E 7 8G f � �>���(,E$!!�1�E�2,�\!$(1$"&'$��&9� $�"(E�2,!,�.%�)$� ($)$/-$"�-"�/#���;�*&/#"(,���/&E�2

!, �%�)$ 1,�������&9� "� ��(,E$!!.9 E�2 ",�3$ 6�)$" 1,�������&2� �"�2� '"� *&/#"(/&!$9!.9�

�/- �/�'$!&-6$/�1�E�2,&+��(,E$!!�1��)��","�'!� (� ��"&"# ��/$)!&9'$($+*&/#"(���,)(,"�;���"�(�1��)��/$"��(-$"(,�$!�"���

H

�F ��(�E7 8 ? 7 8K f N G f � 1)$ SX[YTN � 7<=I8F&/#"( � ",��9 �;� !,+.�,$"�- обеляющим фильтром� �"�2� '"� $1� +,),'$9

-�/-$"�- ($�6(,+��,!&$��(,E$!!�1�E�2,�6$/.9��$E,05&$ (,�&/,� � "&2,/#!.$ (& )$9�"�&& ��(,E$!!�1� E�2,� ��� ,),0" �

($E,05&2& (,�&/,2&� � "&2,/#!.2& )/- 6$/�1� E�2,� !� (,��'&",!!.$ )/- �&1!,/��7 8z t & 7 8is t ���"�(.$ �/�',0"�- (& (�%�3)$!&& 7 8z t & 7 8is t '$($+�6$/-05&9*&/#"(�

�&�� <�� �%$2,� "&2,/#!�1� (&L2!&�, (&��(,E$!!�2E�2$�

��"-� "&2,/#!.9 (&L2!&� � �6$/-05&2*&/#"(�2 )��","�'!� (��"� ��5$�"��0"!$��"�(.$"(�)!��"&��-+,!!.$�$1�($,/&+,4&$9��, (&2$(�$�/&�>���(,E$!!�1�E�2,��)$(3&"',�"�".�!,��"�(.%$L+!,'$!&$(,�!�!�/0�"�)/-",��1�E�2,!$��5$�"��$"*&+&'$��&($,/&+�$2�1��6$/-05$1�*&/#"(,�"���!,D"&%',�"�",%+!,'$!&$ $($),"�'!�9*�!�4&& )�/3!� 6."# 6$���!$'!� 6�/#E&2� � ",�&% �/�',-% &� �/#+�0" �'"&� "&2,/#!.$ � субоптимальные правила решения� ��"�(.$ (�5$ � ($,/&+,4&&� !�!$���/#�� (�&1(.�,0" ��,'$�"��� "&2,/#!.2 (,�&/,2�

��(�E7 8 7 8 7 8iz t s t n t 7 8 7 8 7 8iz t s t n t dib�6$/-05&9

*&/#"(

� "&2,/#!.9 (&L2!&�)/- 7 8is t

@=

ЛЕКЦИЯ 7Согласованные фильтры, их свойства и применения. Реализация корреляционных операций с помощью пассивной электрической цепи. Определение понятия согласованного фильтра 7СФ8. Структурная схема оптимального приемника на основе СФ. Свойства СФ: частотные и импульсные характеристики, реакция на сигнал, шум и их смесь. СФ как оптимальный фильтр по критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе. Реализация СФ на основе линии задержки с отводами.

�&!$9!.9 *&/#"( � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&� �� ��"�(�1� $�"# +$(�,/#!�$�"�6(,3$!&$7�"!��&"$/#!���&�()&!,"8�&1!,/, 7 8s t �

=7 8 7 8g a s t � 7<=M8!,+.�,$"�-согласованным � D"&2 �&1!,/�2фильтром 7СФ8�>,(,2$"(.� a � ��"�-!!,-�$/&'&!,� =t � +,)$(3�,�&1!,/,�*&/#"($� =t T �T � )/&"$/#!��"#�&1!,/, 7 8s t �

>$($),"�'!,-*�!�4&-�F(,�!,

= =iH HH H H

�F =7 8 7 8 N 7 8N N 7 8 N 7 8Nj f t j f tj f j f j f xsK f g d a s t d a s x dx a S f

� 7<=@8

� "�'!��"#0 )� ��"�-!!�1� ��D**&4&$!", a � �;� �F ��� ,),$" � ,2 /&"�)!�:',�"�"!.2� $�"(�2�&1!,/,����"�(.2�!��1/,���,!�

i�F 7 8 7 8 7 8s sK f a S f a S f � 7<=W8

,F;�(,�!,�F S =7 8 7 8 Hf f f t � 7<<=8

Отклик СФ на сигнал, с которым он согласован� ��/& !, �%�)�F �),"# �&1!,/7 8s t )/&"$/#!��"#0T ����"�(.2*&/#"(��1/,���,!�"��"�/&��2$1�6�)$" �&1!,/

=S = =

=

7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8x t

y t g s t d a s t s t d a s x s x t t dxt x

�

&/& S =7 8 7 8sy t a R t t �7�"�/&�!,�&1!,/8 7<<<81)$ 7 8sR ���(($/-4&�!!,-*�!�4&-)$"$(2&!&(��,!!�1��&1!,/, 7 8s t �

7 8 7 8 7 8sR s t s t dt

� 7<<H8

��/& !, �%�) �F �),"# )(�1�9 �&1!,/� "� $1� �"�/&� !$ 6�)$" ��� ,),"# ���(($/-4&�!!�9*�!�4&$9�&1!,/, 7 8s t �

Отклик СФ на смесь сигнала и белого шума�Отношение сигнал-шум на выходе СФ� ��/&!,�%�)�F �),L"�-��22,�&1!,/,&($,/&+,4&&6$/�1�E�2, 7 8 7 8 7 8z t s t n t �"��&1!,/!,$1��.%�)$6�)$"(,�$!

S E7 8 7 8 7 8 7 8 7 8y t g z t d y t y t

�7�"�/&�!,�&1!,/jE�28 7<<A8

1)$

S =7 8 7 8sy t aR t t � E = =7 8 7 8 7 8 7 8 7 8y t a s t n t d a s x n x t t dx

�

�2�2$!"�($2$!& =t t 2�5!��"#�&1!,/,!,�.%�)$�F)��"&1,$"���$1�2,��&2�2,7 &���,-2�5!��"#8

HHS��.% S =7 8 sP y t aE � 7<<G8

@<

�$/&'&!, E =7 8y t � D"� +!,'$!&$!�(2,/#!�9�� 7 8 7 8a s t N t dt

� = �>�D"�2� �

2�2$!"�($2$!& =t t �($)!--2�5!��"#E�2,!,�.%�)$�F(,�!,

H H HE��.% < H < H < H < H < H < H7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8P a s t s t N t N t dt dt a s t s t N t N t dt dt

H H H H= = =

< H H < < H7 8 7 8 7 8 7 8H H H s

N N Na s t s t t t dt dt a s t dt a E

�

�"!�E$!&$ &����92�5!��"&�&1!,/,��($)!$92�5!��"&E�2,!,�.%�)$�F(,�!� HSH

E = =�.%

H? H

s s

s

a EP EP a N E N

� 7<<�8

�($)& (,+/&'!.% /&!$9!.% *&/#"(��� �F � 2�2$!" �($2$!& =t t �6$� $'&�,$"2,��&2,/#!�$ �"!�E$!&$ �&1!,/:E�2 !, ���L2 �.%�)$� >�D"�2� СФ является оптимальным фильтром по критерию максимума отношения сигнал-шум на выходе���/& !, �%�) �F �),"# )(�1�9 �&1!,/ с той же энергией� "� � 2�2$!" �($2$!& =t t�"!�E$!&$�&1!,/:E�2!,�.%�)$6�)$"2$!#E$�'$2 =H ?sE N �

�,),'$9�F-�/-$"�-!$"�'!�$����",!��/$!&$*�(2.�&1!,/,&��,3L!!�9E�2�2�, �/�'$!&$�)!�1��"�'L",!, (-3$!&-� ���"�(�2�2�3!���)&"#�!,/&'&&&/&�"��"�"�&&D"�1� �&1!,/, !, �%�)$ *&/#"(,� ��3!� ��,+,"#� '"� �F ��/,).�,$" ��0 &!*�(2,4&0 ��%�)!�2 �&1!,/$ � �)&! �"�'L" �&1!,/, !, ���L2 �.%�)$� � ),/#!$9E$2 !�3!�,!,/&+&(��,"#!$�$�#�&1!,/!,�.%�)$�F�,&2$!!�D"�"�"�'L"�

Выигрыш в отношении сигнал-шум СФ.��5!��"#�%�)!�1��&1!,/, 7 8s t (,�!,

HS��%

=

< 7 8T

sEP s t dtT T

� 7<<I8

�,*&��&(�$2 �/��� ',�"�" 6$/�1� E�2, E SF F � ��1), 2�5!��"# E�2, � �/��$',�"�" EF (,�!, E��% = EP N F �,�"!�E$!&$�&1!,/:E�2!,�%�)$(,�!�

S E �%= E

?? sE TP PN F

� 7<<M8

�/$)��,"$/#!���.&1(.E��"!�E$!&&�&1!,/:E�2�F(,�$!

S E = E�.%E

S E =�%

? H H?

s

s

P P E N F T F TP P N E

� 7<<@8

>(& +,),!!�9 )/&"$/#!��"& �&1!,/,��.&1(.E � �"!�E$!&& �&1!,/:E�2 �F (,�"L" (� �(4&�!,/#!�E&(&!$ �/��.',�"�"E�2, EF �\"�"�.&1(.E�6��/��/$!"�/#��(��"�22�5!��"&E�2, !, �%�)$ �F� �/- 6$/�1� E�2, EF � �/$)��,"$/#!�� �.&1(.E 6�)$"6$���!$'!.2���/&!,�%�)$ (&L2!&�,�"�&"F�;� ($)!,+!,'$!!.9)/-��"(,!$!&- �2$%�!$ �/��. �&1!,/, � �/���9 (� ���,!&-� (,�!�9 E&(&!$ �/��. ',�"�" �&1!,/,� "�

E �F F &�.&1(.E6�)$"(,�$!6,+$�&1!,/, �HB F T �Использование СФ вместо коррелятора� �F 2�3!� &� �/#+��,"# � � "&2,/#!�2

(&L2!&�$�2$�"���(($/-"�(,��.6(,� 7 8 7 8ig s T 7�D"�2�/�',$ <a & =t T 8��"�/&�$1�!,�&1!,/ 7 8z t �2�2$!"�($2$!& t T 6�)$"(,�$!

�F= = =

7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8T T T

i

x Ty T g z T d z x g T x dx z t s t dt

T x

� 7<<W8

'"���� ,),$"��+!,'$!&$2��(($/-4&�!!�1�&!"$1(,/,�

@H

�&�� <I� �"(��"�(!,-�%$2,� "&2,/#!�1���1$($!"!�1� (&L2!&�,��F�

Сравнение сигналов на выходах СФ и коррелятора�"�'L" �&1!,/, !, �.%�)$ �F )�/3$! 6(,"#�- � 2�2$!" �($2$!& t T � �,/$9E,-

!$"�'!��"# 2�2$!", �($2$!& �+-"&- �"�'L", 2�3$" �","# (&'&!�9 !$ (,�&/#!�9 (,6�".�F�

�&�� <M� �&1!,/.!,�.%�)$�F&��(($/-"�(,�

�"2$"&2� '"� �2�2$!" �($2$!& Ht T +!,'$!&$ �&1!,/,!, �.%�)$�F(,�!�!�/0�>�D"�2��$�/& $($),L"�- ��/$)��,"$/#!��"#�&1!,/��)/&"$/#!��"&T �"��"�'L".�&1!,/,!,�.%�)$�F��+-".$�2�2$!".�($2$!&�(,"!.$T �!$&��,3,0"�-�

7 8z t=�F

<�F

–

–

�= ? HsE

�< ? HsE

�C7PQa8

dib

kT �"�&�"$2.�&!%(�!&+,4&&

HT

T

7 8 7 8z t s t

�F 7 8y t

��( 7 8y t

t

t

t

T

@A

Цифровая реализация СФ�06�9 �&1!,/� � $�"( ��"�(�1� !$ ��)$(3&" ���",�/-05&% +, ($)$/,2& �/��.

',�"�" � �7 K 8f F F �2�3!�����",!��&"# �$1��"�'L",2721!��$!!.2+!,'$!&-28��+-".2�&!"$(�,/�2�($2$!& �<?7H 8Ft � �2�5#0(-),��"$/#!&���,

7 8 7 8k kk

x t x t

� 7<H=8

1)$ 7 8kx x k t � 7 8k t �6,+&�!.$*�!�4&&(-),��"$/#!&���,���/&�&1!,/ 7 8y t !,�.%�)$*&/#"(,)&��($"&+&(��,"#�"�$1��"�'L".6�)�"(,�!.

<

=7 8

n

k i k ii

y y k t t g x

�

1)$ 7 8ig g i t �n �'&�/��"�'L"�� 7 8g ��)$�#",�3$ (&!-"��'"� =kx (& =k ��/- )&��($"!.% �&1!,/�� &/& )&��($"&+&(��,!!.% �&1!,/�� 7�&1!,/��

($)�",�/$!!.%���&2&�"�'L",2&8/&!$9!.9*&/#"(� &�.�,$"�-)&��($"!�9&2 �/#�!�9%,(,�"$(&�"&��9 = < <7 � ����� 8ng g g g � �,��9 *&/#"( !,+.�,0" цифровым фильтром� ��/&

= < <7 � ����� 8Nx x x x � �%�)!�9 )&��($"!.9 �&1!,/� , g � )&��($"!,-��� "� � "�'!��"#0 )�2!�3&"$/- t �"�/&�",��1�*&/#"(,2�3!�(,��'&","#� �2�5#0)&��($"!�9��L("�&

<

=

n

k i k ii

y g x

� =�<����k � 7<H<8

�&��($"!,- ��L("�, ($,/&+�$"�-� �2�5#0 линии задержки 7��8 � �"��),2& ��%$2$� ($)�",�/$!!�9!,(&��!�$<@�

�&�� <@� k&*(���9/&!$9!.9*&/#"(!,��!��$)&��($"!�9/&!&&+,)$(3�&��"��),2&�

� !,',/#!�2 ���"�-!&& ��$ -'$9�& �� ��)$(3," !�/&� >(& ��"� /$!&& �'$($)!�1��"�'L",� ��)$(3&2�$�� �)�&1,$"�- � (,��!, �)!� -'$9��� (&'L2 ��)$(3&2�$ ��/$)!$9-'$9�& �"6(,�.�,$"�-� , !��.9 �"�'L" +, &�.�,$"�- � $(��0 -'$9��� �,"$2 ��)$(3&2�$�,3)�9 -'$9�& �2!�3,$"�- !, ��D**&4&$!" ���"�$"�"��05$1� �"��), & ��/$ �/�3$!&-($+�/#","����$%�2!�3$!&9 �/�'&2�'$($)!�9�.%�)!�9�"�'L"�

�&��($"!�0/&!&0+,)$(3�&!,+.�,0"",�3$регистром сдвига�F&/#"(� ��1/,���,!!.9 � )&��($"!.2 �&1!,/�2 = < <7 � ����� 8Ns s s s � )�/3$! &2$"# ��

�F < H < =7 � ����� � 8N Ns s s s g ��%$2,4&*(���1��F ($)�",�/$!,!,(&��!�$<W�

�&�� <W� k&*(���9��1/,���,!!.9*&/#"(!,��!��$/&!&&+,)$(3�&��"��),2&�

>$($%�) �" !$ ($(.�!�1� ($)�",�/$!&- �&1!,/�� � )&��($"!�2� & &� �/#+��,!&$4&*(���9�6(,6�"�&�&1!,/����5$�"�$!!�� (�5,$"�6(,6�"��!$ ($(.�!.%�&1!,/���

+

<Ns HNs =s

e< H < ==�����=� =� ���� � �Nx x x x H < =���� � �y y y

<s

+

=g <g <ng

e< H < ==�����=� =� ���� � �Nx x x x H < =���� � �y y y

Hg

@G

ЛЕКЦИЯ 8Помехоустойчивость оптимального когерентного приёма сигналов. Вероятность ошибочного приема двоичных сигналов известной формы на фоне белого гауссовского шума. Сравнение помехоустойчивости разных двухпозиционных видов модуляции 7���;��F�8, его геометрический смысл. Оптимальная система двоичных сигналов. Вероятность ошибочного приёма многопозиционных сигналов.

�,��'&",$2�$(�-"!��"#�E&6�'!�1� (&L2,)��&'!.%�&2��/�� (&� "&2,/#!�2� ��(&"$(&02,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-���1$($!"!�2 (&L2$)/-�,!,/,��bBc�

>(& $($),'$ �&2��/, =b �E&6�, ��+!&�!$" � "�2 �/�',$� $�/& 6�)$" �. �/!-"#�-!$(,�$!�"��

< =7 ` 8 7 ` 8w b w bz z 7�E&6�, (& $($),'$=b 8 7<HH8

&/&

H H= <

= =

7 8 7 8 7 8 7 8T T

z t s t dt z t s t dt � 7<HA8

>�)�",�&� =7 8 7 8 7 8z t s t n t � �/�'&2

HH= <

= =

7 8 7 8 7 8 7 8T T

n t dt n t s t s t dt �

H< = < == =

<7 8 7 8 7 8 7 8 7 8H

T T

n t s t s t dt s t s t dt �

�&1!,/ 7 8n t � D"� ($,/&+,4&- � ��!�($"!�2 � ."$ 6$/�1� 1,��������1� E�2, 7 8N t �>�D"�2� &!"$1(,/ � /$��9 ',�"& !$(,�$!�"�, -�/-$"�- �/�',9!�9 �$/&'&!�9� �6�+!,'&�/$��0',�"#!$(,�$!�"�, &�'&".�,-�'"�&!"$1(,/� (,�,-�/-$"�-��,)(,"�2(,��"�-!&-2$3)��&1!,/,2&�!$(,�$!�"�� ($�6(,+�$"�-��&)�

H<H sd � 7<HG8

1)$

HH< =

=

7 8 7 8T

sd s t s t dt ���,)(,"(,��"�-!&-2$3)��&1!,/,2&� (��"(,!�"�$B&/#6$(",7 DE 8�

< ==

7 8 7 8 7 8T

N t s t s t dt �!�(2,/#!,-71,�������,-8���2,"$2,"&'$��&2�3&),!&$2

< = < == =

7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 =T T

N t s t s t dt N t s t s t dt

&)&� $(�&$9 H< H < < = < < H = H < H

= =

7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8T T

D N t N t s t s t s t s t dt dt

H H= =< H < < = < < H = H < H < =

= = =

7 � 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8H H

T T T

N sN NB t t s t s t s t s t dt dt s t s t dt d �

1)$ =< H H <H7 � 8 7 8N

NB t t t t ��/$)��,"$/#!�� /�"!��"#�$(�-"!��"&�� (,�!,

H

HH

H

<7 8 NH

w

� 7<H�8

, �$(�-"!��"# �. �/!$!&- !$(,�$!�"�,� "�$� �$(�-"!��"# ��+!&�!��$!&- �E&6�& (& $($),'$�&2��/, =b �(,�!,

@�

H HH

H H H

H HH H

= H

H H H

?< <7�E` 8 7 8 N N

H HHHs s s

ts s

d d d

td dP b P w d d t dt Q

d dt

� 7<HI8

1)$H

H<7 8 NH

t

x

Q x dt

&/& <7 8 NRlSH H

xQ x

7<HM8

�)� �/!&"$/#!,-*�!�4&-�E&6����/- )� �/!&"$/#!�9 *�!�4&& �E&6�� ��5$�"��0" )��","�'!� /�"!.$ �$(%!&$

1(,!&4.�H

H<7 8 NH

x

Q xx

&

H

H<7 8 NH

x

Q x

7 =x 8� 7<H@8

>�)�",�&� H H=

H sN d � �/�'&2

H

==

7�E` 8H

sdP b QN

� 7<HW8

��" 3$ ($+�/#"," 6�)$" �/�'$!� $�/& ($) �/�3&"#� '"� (�&+�E/, �E&6�, (& $($),'$ �&2��/, <b � "�$� < =7�E` 8 7�E` 8P b P b � �/$)��,"$/#!�� )&��($"!.9 �,!,/��6(,+��,!!.92�)�/-"�(�2��,!,/�2�E�2�2&)$2�)�/-"�(�2�� "&2,/#!.2 ��(&"$(&02,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-�-�/-$"�-)&��($"!.2�&22$"(&'!.2�,!,/�2�

>����/#����/��!.$�$(�-"!��"&�E&6���&2��/��(,�!.�"�6$+��/��!,-&/&�($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&�&2��/,(,�!,

H

= = < < = < = ==

7 8 7�E` 8 7 8 7�E` 8 7 8 7 8 7�E` 8 7�E` 8H

sdp P b P b P b P b P b P b P b P b QN

&/& H= <

=

=

7 8 7 8

H

T

s t s t dtp Q

N

� 7<A=8

>(& $($),'$ )��&'!.% 7 Hm 8 �&2��/�� �($)!-- �$(�-"!��"# �E&6�& �&2��/, !,�.%�)$ � "&2,/#!�1� � �(&"$(&0 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- (&L2!&�, )/-&)$,/#!�1� �,!,/, � �bBc � ($)$/-$"�- ��,)(,"�2 (,��"�-!&- 2$3)� �3&),$2.2&�&1!,/,2& !, �%�)$ (&L2!&�, & � $�"(,/#!�9 /�"!��"#0 2�5!��"& 6$/�1� E�2, =N �>(&'L2� (&*&��&(��,!!�2+!,'$!&& =N ��$(�-"!��"#�E&6�&�6.�,$"D�� �!$!4&,/#!��(��"�2(,��"�-!&-2$3)��&1!,/,2&�

��/& $($),�,$2.$�&2��/.�","&�"&'$��&!$+,�&�&2.$&(,�!��$(�-"!.$�"��($)!--�$(�-"!��"# �E&6�& )��&'!�1� �&2��/, p (,�!, �($)!$9 �$(�-"!��"& �E&6�& 6&",&!*�(2,4&& bp � 1)$ бит � ��/&'$�"�� &!*�(2,4&&� ��)$(3,5$$�- � )��&'!�2 �&2��/$� (&!&2,05$2�(,�!�9�$(�-"!��"#0+!,'$!&-=&<�

�"!�E$!&$ D!$(1&& �&1!,/, ib �&2��/, !, �%�)$ (&L2!&�, � �)!��"�(�!!$9� $�"(,/#!�9 /�"!��"& 2�5!��"& ,))&"&�!�1� 6$/�1� E�2, !,+.�,0" отношением сигнал-шум на входе приёмника )/-�&1!,/, ib �&2��/,�

H� =?i s ih E N � =�<����� <i m � 7<A<8

1)$ H� �s i u iE E � D!$(1&-�&1!,/, ib �&2��/,!,�%�)$ (&L2!&�,�

@I

Среднее отношение сигнал-шум<

H H�(

=7 8

m

i ii

h P b h

7<AH8

&� �/#+�0")/-�(,�!$!&-�&�"$2��-+&��1(,!&'$!!�9�($)!$92�5!��"#0 $($),"'&�,�Пиковое отношение сигнал-шум

H HPQa iih h 7<AA8

&� �/#+�0" )/- �(,�!$!&- �&�"$2 ��-+& � �1(,!&'$!!�9 2,��&2,/#!�9 7 &����982�5!��"#0 $($),"'&�,�

�,9)L2 �.(,3$!&- )/- �($)!$9 �$(�-"!��"& �E&6�& �" �($)!$1� & &����1��"!�E$!&-�&1!,/:E�2 (&&� �/#+��,!&&(,+/&'!.%�&�"$22�)�/-4&&�

АМ-2��/-)��% �+&4&�!!�9амплитудной модуляции7��:H8� ,��&�!�9 ,�+�9�= 7 8 =u t � < =7 8 SXY7 8mu t U t � 7 8 7 8i is t u t � �= =sE � H H

�< =��s s mE E U T �

HH H= < < �<

= =

7 8 7 8 7 8T T

s sd s t s t dt s t dt E �

H ? Hp Q h &/& HS(p Q h � 7<AG8

1)$ H H H H H�( = = < < <7 8 7 8 ? H ? Hh P a h P a h h h �ФМ-2. �/- )��% �+&4&�!!�9 фазовой модуляции 7F�:H8 7�&�"$2, 2�)�/-4&& �

противоположными сигналами8�= =7 8 SXY7 8mu t U t � < =7 8 SXY7 8mu t U t � = <7 8 7 8s t s t � �= �<s s sE E E �

HH H= < < �<

= =

7 8 7 8 G 7 8 GT T

s sd s t s t dt s t dt E �

HHp Q h &/& HS(Hp Q h � 7<A�8

1)$ H H�(h h �ОФМ-2. � �"!��&"$/#!�9 *,+���9 2�)�/-4&& &!*�(2,4&- � �&2��/$ +,/�3$!, �

(,+!��"#*,+�&1!,/�����$)!&%�&2��/����/-D"�1�!, $($),'$&� �/#+�0"�"!��&"$/#!�$��)&(��,!&$ ���$)!&% �&2��/��� <r r rc b c � 1)$ =�<����r & < =c � �,/$$ D"& ��)��.$�&2��/. $($),0"� �2�5#0F�:H��, (&L2$)$2�)�/-"�(�&1!,/��F�:H�.),L"�4$!�&��)��.% �&2��/��� ��"�(.$ ��"� ,0" � )$��)$(��$��)$( �. �/!-$" � $(,4&0�6(,"!�0��)&(��,!&0� <

d d dr r rb c c �>(& ��1$($!"!�2 (&L2$ �&1!,/�� )��&'!.% �&2��/���F�&� �/#+�0"� $�/& &+:+,

�E&6����&!%(�!&+,4&&!,',/#!.$*,+.� �(!.%�&1!,/��� (&L2!&�$&+2$!-0"�-!, 7��,'��*,+.8�\"� (&��)&"�"�2��'"� (&��+!&�!��$!&&��,'�,*,+.� �(!.%�&1!,/����$ ��/$)�05&$�&2��/.!,�.%�)$)$2�)�/-"�(,6�)�"&!�$("&(��,!.�"�$� = < �< = �\"� 6�)$" (�)�/3,"#�- )� "$% �(� ��, !$ (�&+�9)L" $5L �)&! ��,'�� *,+.� �,6�"�)$2�)�/-"�(, � ($3&2$ &!�$("&(��,!&- �&2��/�� !, ���L2 �.%�)$ !,+.�,0" обратной работой�

��/&��+!&�!$"��,'��*,+.&�E&6����&2��/,%!$"�"�!,�.%�)$)$��)$(, �-�&"�-"�/#���)&!�E&6�'!.9�&2��/�

rb _ 1010100010<r r rc b c 7 < =c 8 0 1100111100

>(&!-".$�&2��/. drc 7 <d =c 8 0 1011000011

<d d dr r rb c c _ 1110100010

Nr_ 0100000000

��/& ��,'�, *,+. !$"� "� &+:+, �E&6�& � ��)���2 �&2��/$� !, �.%�)$ )$��)$(, �-�-"�-)�$�E&6�&� $($),!!.%�&2��/,%�

@M

>(&!-".$�&2��/. drc 0 1000111100

<d d dr r rb c c _ 1100100010

Nr_ 0110000000

>(&D"�2��E&6�,��&2��/$��+!&�!$"�)��%�/�',-%�<8 drc � �E&6�'!.9�, <drc � (,�&/#!.9�� ($)$/-$" $(��0�E&6��KH8 drc � (,�&/#!.9�, <drc � �E&6�'!.9�� ($)$/-$"�"�(�0�E&6����/$)��,"$/#!���($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&�&2��/,

<<7 �E8 7 �E8< 7 �E8 < 7 �E8r rr rp P с P сP с P с �

>(&F�:H��$(�-"!��"# H<7 �E8 7 �E8 Hr rP с P с Q h �"�

H HH H < Hp Q h Q h �>�D"�2�� (&��1$($!"!�2 (&L2$�&1!,/���F��($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&(,�!,

H HH H < Hp Q h Q h &/& H HS( S(H H < Hp Q h Q h � 7<AI8

ЧМ-2.�/-)��% �+&4&�!!�9частотной модуляции 7;�:H&/&�&�"$2,2�)�/-4&&�ортогональными сигналами8�

= <7 8 SXY7 8mu t U t � < H7 8 SXY7 8mu t U t � �= �<s s sE E E �

HH H= < < �<

= =

7 8 7 8 H 7 8 HT T

s sd s t s t dt s t dt E �

Hp Q h &/& HS(p Q h � 7<AM8

1)$ H H�(h h � < =f f f � H =f f f � f � )$�&,4&-',�"�".�

C�/��&$�("�1�!,/#!��"&�&1!,/��� = <=

7 8 7 8 =T

s t s t dt ���/&D"���/��&$�. �/!-$"�-!$

"�'!��"� H Hs sd E &�$(�-"!��"#�E&6�&��+(,�"L"��&1!,/.(,��2�"($!!.%�&)��2�)�/-4&&1(,*&'$��&2�3!��"�6(,+&"#��&)$"�'$�

�)��2$(!�2 (��"(,!�"�$���/&),�

�&�� H=� B(,*&'$���$ ($)�",�/$!&$�&1!,/���

>�/�'$!!.$(,!$$�.(,3$!&-�($)!$9�$(�-"!��"&�E&6�&2�3!��6]$)&!&"#��)!�*�(2�/�

Hp Q h �1)$H� F�:H�<� ;�:H�<?H� ��:H 7� ,��� ,�+�98�

7<A@8

�($)& (,��2�"($!!.% )��% �+&4&�!!.% �&�"$2 �&1!,/��� (& +,),!!�2 �"!�E$!&&�&1!,/:E�2 Hh �!,&2$!#E,-�$(�-"!��"#)��"&1,$"�- (&&� �/#+��,!&& (�"&�� �/�3!.%�&1!,/�� 7F�:H� )�� �/-(!.$ (-2��1�/#!.$ &2 �/#�. & )(�8� >�D"�2� )/- &)$,/#!�1��,!,/, � �bBc оптимальной системой сигналов -�/-$"�- �&�"$2, (�"&�� �/�3!.%�&1!,/���

� "&2,/#!.$ (&L2!&�&� &� �/#+�05&$ (,+!.$ �&�"$2. �&1!,/��� �6.'!��(,�!&�,0" )(�1 � )(�1�2 � 2�5!��"&� "($6�$2�9 )/- )��"&3$!&-+,),!!�9 �($)!$9�$(�-"!��"&�E&6�& p const � ��/&)/- �)!�9 �&�"$2. "($6�$"�- �"!�E$!&$ �&1!,/:E�2

sE

Hs sd E

y

s sd E

x=

��:H

=

Hs sd E

y

xsE sE

y

xsE=

sE

<s

;�:H F�:H

=s <s

=s

<s=s

@@

H�&�"�<h �,)/-)(�1�9� H

�&�"�Hh �"��"!�E$!&$ H H�&�"�H �&�"�<?h h � ($)$/-$"D!$(1$"&'$��&9�.&1(.E

�&�"$2.<!,)�&�"$2�9H�\"�"�.&1(.E�.(,3,0"�)b� H H

�&�"�H �&�"�<<=gU ?h h m)bn (& p const � 7<AW8�/-!,%�3)$!&-D!$(1$"&'$���1��.&1(.E,�&�"$2�&� �/#+�05&%)��% �+&4&�!!.$

�&1!,/.� )��","�'!� (&(,�!-"# ,(1�2$!". 7 8Q x & &+ �/�'$!!�1�(,�$!�"�, �.(,+&"#�"!�E$!&$ H H

�&�"�H �&�"�<?h h �

�,6/&4,H� �(,�!$!&$)��% �+&4&�!!.%�&�"$22�)�/-4&& (&� "&2,/#!�2��1$($!"!�2 (&L2$��($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&�

+,�&�&2��"&�"\!$(1$"&'$��&9 (�&1(.E�"!��&"$/#!�� "&2,/#!�9

�&�"$2.�&)2�)�/-4&&

7�&�"$2,�&1!,/��8

��,)(,"(,��"�-!&-2$3)�

�&1!,/,2& &����1���c �($)!$1���c H H� "?h h H H

�( �(�� "?h h

��:H Hs sd E H ? Hp Q h H

�(p Q h G7I)b8 H7A)b8

;�:H7�("�1�!,/#!.$

�&1!,/.8H Hs sd E Hp Q h H

�(p Q h H7A)b8

F�:H7 (�"&�� �/�3!.$

�&1!,/.8 HHp Q h H

�(Hp Q h <7=)b8

�F�:H

H Gs sd E

HH Hp Q h H�(H Hp Q h

(& �<=p � (�&1(.E <�=M 7=�A)b8

�&�� H<� �($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&)��&'!�1��&2��/,�+,�&�&2��"&�" &����1��"!�E$!&-�&1!,/:E�2 (&��1$($!"!�2 (&L2$)/-�,!,/,��bBc�

Помехоустойчивость многопозиционных систем модуляции>(&&� �/#+��,!&& :m �+&4&�!!.%7 Hm 8�&1!,/��)��&'!.$�&2��/.!, $($),'$

�6]$)&!-0"�-�6/��& � HgXUk m �&2��/��&�,3).9",��96/�� $($),L"�-�)!&2&+m��+2�3!.%�&1!,/����!,/�1&'!�� (& (&L2$�,3).9 (&!-".9�&1!,/)$2�)�/&(�$"�-�6/��&+ k )��&'!.% �&2��/��� ��"�(.9�.),L"�- �/�',"$/0���/&)/&"$/#!��"# �&1!,/,T � , �&2��/. !$+,�&�&2.$ & (,�!��$(�-"!.$� "� ���(��"# $($),'& &!*�(2,4&& (,�!,

& H? ?gXUR k T Tm � ��"�(,- � HgXU m (,+ 6�/#E$� '$2 (& &� �/#+��,!&&)��% �+&4&�!!.%�&1!,/���

�.(,3$!&$ )/- �($)!$9 �$(�-"!��"& �E&6�& (& &� �/#+��,!&& 2!�1� �+&4&�!!.%�&1!,/�� �/�'&"# �/�3!$$� '$2)/-)��% �+&4&�!!.% �&1!,/���>�D"�2�� �2$�"�"�'!�1��.(,3$!&- �$(�-"!��"& �E&6�& !,%�)-" $L �4$!��� �)!�9 &+ ",�&% �4$!�� -�/-$"�-,))&"&�!,-�$(%!--1(,!&4,���"�(,-�4$!&�,$"�$(�-"!��"#�E&6�&��$(%��

= < H A G � I M @ W <= << <H <A <G <� <I <M <@ <W H=<= I

<= �

<= G

<= A

=�=<

=�<

<

F��H

�F��H

;��H

���H� ,��� ,�+�9

H � )bh

p

@W

< <

� �==

7�E ` 8m m

i i j i jjjj ij i

P b P A P A

� 7<G=8

1)$ �i jA � ��6."&$� ���"�-5$$ � ��+!&�!��$!&&�E&6�&� ��1), �2$�"� �&2��/, ib �.),L"�-

�&2��/ jb 7D"& ��6."&- � �65$2 �/�',$ ���2$�"!.$8� �i jP A � �$(�-"!��"# ��6."&- �i jA ���"�(,-�.'&�/-$"�-",�3$��,�)/-)��% �+&4&�!!.%�&1!,/���

Например� )/- 2!�1� �+&4&�!!�9 ;� ,))&"&�!,- �$(%!-- 1(,!&4, ��/��!�9 &�($)!$9�$(�-"!��"&�E&6�&�&2��/,� ($)$/-$"�-!$(,�$!�"�,2&

H7�E ` 8 7 <8iP b m Q h & H7 <8mp m Q h � 7<G<8�+�$�"!.�4$!�&�$(�-"!��"&�E&6�&!,6&" bp �+,�&�&2��"&�"�($)!$1��"!�E$!&-

�&1!,/:E�2!,6&" Hbh )/-2!�1� �+&4&�!!.%�&�"$22�)�/-4&&�

��� H HH

H

H7 <8 I gXUgXU <b b

m mp Q hm m m

�

F�� H HH

H

HH gXU YZ[gXUb bp Q h mm m

�

;�� HH

HgXU

HgXUb b

mp Q h mm

�

>(& &� �/#+��,!&& 2!�1� �+&4&�!!�9 ;�� � (��"�2 m (,�"L" �,'$�"�� & ���(��"# $($),'& &!*�(2,4&&� �� ",��9 (��" �6��/��/$! (� �(4&�!,/#!.2 (,�E&($!&$2"($6�$2�9 �/��.',�"�"�!$�6%�)&2�9)/- $($),'&�&1!,/���>�D"�2�2!�1� �+&4&�!!,-;�!$ �)%�)&")/- $($),'&&!*�(2,4&& ��,!,/,2��1(,!&'$!!�9 �/���9',�"�"�

�&1!,/. 2!�1� �+&4&�!!.% �&�"$2 �� & F� !,�6�(�" -�/-0"�- ',�"�"!�:�1(,!&'$!!.2&���)/-!&%�(��"�2'&�/, �+&4&9m (,�"L"�$(�-"!��"#�E&6�&�

W=

ЛЕКЦИЯ 9Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём). Особенности приёма в каналах с неизвестными или случайными параметрами. Байесовский подход 7усреднение ОП8. Вывод алгоритма оптимального некогерентного приёма, его реализация на основе корреляторов и согласованных фильтров. Упрощения при приёме сигналов с равными энергиями. Правило обобщённого МП при неизвестном распределении фазы. Потенциальная помехоустойчивость 7вероятность ошибки8 некогерентного приёма.

��/&!,',/#!,-*,+, �&1!,/��!, �%�)$ (&L2!&�,!$&+�$�"!,&/& �!, �/�',9!,-� "�)/-($,/&+,4&&� "&2,/#!�1���1$($!"!�1� (&L2,$L!$�6%�)&2� ($)�,(&"$/#!�&+2$(&"#���/& D"� !$��+2�3!� &/& "(�)!� ���5$�"�&"#� "� � ",��2 �/�',$ 2�3!� &� �/#+��,"#� "&2,/#!.9 !$��1$($!"!.9 (&L2 �&1!,/��� �$� ($)$/L!!��"# *,+. 2�3$" 6."#�6��/��/$!,/&6�!$&+�$�"!��"#0*,+���1��)�&1, ��,!,/$�/&6�!$"�'!��"#0��",!���&!,',/#!�9 *,+. �&1!,/�� � �(!.% 1$!$(,"�(�� � (&L2!&�$� � �'L"�2 ��,+,!!�1�� !,�%�) (&L2!&�, ��"� ,$"�&1!,/

7 8 7 � 8 7 8iz t s t n t � 7<GH81)$

7 � 8 VN VN 7 8SXY7 8 7 8YZ[7 8N 7 8 7 8 Nj ji i ii is t s t s tu t s t �

7 8 7 8i is t u t � 7 8 7 8i is t u t �&+�$�"!.$� (&L2!&�$опорные сигналы�

H H H� � � �

=

7 8 7 � 8 SXY 7 8 YZ[ 7 8T

s i i s i s i s iE s t dt E E E �

�,9)L2��/��!�0 /�"!��"#�$(�-"!��"& 7 ` � 8iw b z �7 � � 8 7 � 8 7 8Nw w w n s s n � 7<GA8

7 � � 8 7 � 8 7 7 88N iw w w z s s z s � 7<GG87 � � 87 ` � 8 7 ` � 8 7 7 887 � 8

ii i N i

i

ww b w ww

z sz z s z ss

� 7<G�8

�/-�,!,/,��bBc�!,6�)$"(,�!,

H= =

<7 ` � 8 Nah 7 8 7 � 8T

i iw b K z t s t dtN

z � 7<GI8

>����/#��!,',/#!,-*,+,�&1!,/,!$&+�$�"!,�"��"),"# ($) �'"$!&$� �/#+��)!�1���!�($"!�1�$L+!,'$!&-!$-�/-$"�-/�'E&2�.6�(�2�>�D"�2��)/-!,%�3)$!&-*�!�4&& (,�)� �)�6&- (& !$&+�$�"!�9 *,+$ &� �/#+�0" &!"$1(&(��,!&$ � ��$��+2�3!.2+!,'$!&-2 *,+.� , $�/& *,+, �&1!,/, � �� � &+�$�"!.2 (,� ($)$/$!&$2� "� &� �/#+�0"�+�$E$!!�$&!"$1(&(��,!&$� 7 8w 7� $(,4&-��($)!$!&-8�

>($) �/�3&2�'"�!$&+�$�"!,-*,+,-�/-$"�-(,�!�2$(!�(,� ($)$/L!!�9�����1),

H= =

< < <7 ` 8 7 ` � 8 Nah 7 8 7 � 8H H

T

i i iw b w b d K z t s t dt dN

z z

� �

= ==

= =

H< HN Nah SXY7 8 NH

z s i z s iE E E EN N i

iVK V d K I

N N

� 7<GM8

1)$ SXY7 8=

<7 8 NH

xI x d

� 2�)&*&4&(��,!!,-*�!�4&-b$��$/-!�/$��1� �(-)�,�

=

7 8 7 8T

i iX z t s t dt �=

7 8 7 8T

i iY z t s t dt ���,)(,"�(!.$��2 �!$!".� 7<G@8

H H

=

7 8 7 8T

i i i iV z t s t dt X Y 7<GW8

W<

�+!,'$!&$�1&6,05$9�&1!,/,!,�.%�)$��(($/-"�(,&/&�F�2�2$!"�($2$!&�(,"!.9T)/- :9i �$"�&�6(,6�"�&� 7 8 7 8 7 8i i is t s t js t � ,!,/&"&'$��&9� �(!.9�&1!,/ ib �&2��/,�

��1),*�!�4&- (,�)� �)�6&-)/-�,!,/,�!$� ($)$/L!!�9*,+�9(,�!,H

< ==

H7 ` 8 N ih ii

Vw b K IN

z � 7<�=8

1)$ < =Nah7 ? 8zK K E N �Правило максимума апостериорной вероятности для приёма сигналов с

неопределённой фазойF�!�4&- g[7 8x � 2�!�"�!!,- !$�6.�,05,- *�!�4&- �" ���$1� ,(1�2$!",� � �'L"�2

(,�$!�"�,H

= <=

Hg[ 7 8 7 ` 8 g[ g[ 7 8 g[ii i i i

VP b w b I h P b KN

z � 7<�<8

(,�&/�2,��&2�2,, ��"$(&�(!�9�$(�-"!��"&6�)$"�/$)�05&2

H=

���$2 =

Hd QRUPQa g[ g[ 7 8ii i

i

Vi I h P bN

� 7<�H8

Правило максимального правдоподобия для приёма сигналов с неопределённой фазой

F�(2,/#!�� (,�&/� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- 2�3!� �/�'&"# &+ (,�&/,2,��&2�2, , ��"$(&�(!�9 �$(�-"!��"& (& (,�$!�"�$ ��$% , (&�(!.%�$(�-"!��"$9�&2��/���

H=

���$2 =

Hd QRUPQa g[ ii

i

Vi I hN

� 7<�A8

�/-)��% �+&4&�!!.%�&1!,/��7 Hm 8�<

H H=<= < = =

= ==

HHg[ g[ VVI h I hN N

� 7<�G8

�/-�&1!,/���(,�!.2&D!$(1&-2&7 H SX[YTih )/-��$% i 8�

���$2

d QRUPQa ii

i V � 7<��8

�D"�2�/�',$!$!�3!�+!,"#!& =N �!& �,!,/,�АМ-2� >(,�&/�2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-)/- )��% �+&4&�!!�9��� ,��&�!�9

,�+�97 = 7 8 =s t � H= =h � = =V 8�

<

<=

V 7<�I8

1)$ H= <? HN f h � �(�1��.9�(��$!#� 7 8f y � *�!�4&-��6(,"!,-� =g[ 7 8I x �

>(&6�/#E�2�"!�E$!&&�&1!,/:E�2 =g[ 7 8I x x & H= �<<? H ? HsN f Eh <

< �<=

<H sV E

� 7<�M8

ЧМ-2��$E,05$$ (,�&/�)/-)��% �+&4&�!!�9;� �/�'&2 (& H H= <h h �

<

< ==

V V � 7<�@8

ФМ-2� >����/#���1&6,05,-!$ ��)$(3&"&!*�(2,4&0�*,+$ �&1!,/,� �D"�2� (&!$��1$($!"!�2 (&L2$&� �/#+��,"#�&1!,/.*,+���92�)�/-4&&!$/#+-�

WH

ОФМ-2� �/-�&1!,/���F�&� �/#+��,"#!$��1$($!"!.9 (&L22�3!��!�"�/#��)/-�&1!,/�� )/&"$/#!��"#0 HT � �"�2� '"� &!*�(2,4&- �6 ,6��/0"!�2 +!,'$!&& *,+.��)$(3&"�-�(,+!��"&*,+�&1!,/�����$)!&%�&2��/���

�&1!,/ �&2��/, = =b )/&"$/#!��"#0 HT ���"�$"�"��$" $($),'$ )��% ���$)!&%��)��.%�&2��/�� = =7=�=8 7 � 8 s s &/& < < = =7<�<8 7 � 8 7 � 8 s s s s �

= = =7 8 7 8 7 8s t s t s t T ��&1!,/ �&2��/, < <b � ���"�$"�"��$" $($),'$ )��% ���$)!&% ��)��.% �&2��/��

= < = =7=�<8 7 � 8 7 � 8 s s s s &/& < = = =7<�=8 7 � 8 7 � 8 s s s s �

< = =7 8 7 8 7 8s t s t s t T ��$E,05$$ (,�&/�)/-�F��

<

< ==

V V � 7<�W8

1)$H HH H H

= = =

7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8T T T

i i i iV z t s t dt z t s t dt z t s t dt

7<I=8

�+!,'$!&$�1&6,05$9�&1!,/,!,�.%�)$��(($/-"�(,&/&�F�2�2$!"�($2$!&�(,"!.9T)/- :9i �$"�&�6(,6�"�&� 7 8 7 8 7 8i i is t s t js t � ,!,/&"&'$��&9� �(!.9�&1!,/ ib �&2��/,�

\"� (,�&/�2�3!�� (��"&"#�$�/&�6�+!,'&"#

==

7 8 7 8T

aX z t u t dt �H

=7 8 7 8T

bT

X z t u t T dt �

==

7 8 7 8T

aY z t u t dt �H

=7 8 7 8T

bT

Y z t u t T dt �

��1), H H H H H

= H Ha b a b a b a bV X X X X Y Y Y Y � H H H H H< H Ha b a b a b a bV X X X X Y Y Y Y �

<

H H< =

=

=V V

&���!',"$/#!�=

<

=a b a bX X Y Y � 7<I<8

Структурные схемы оптимальных приёмников при некогерентном приёме�6�+!,'$!&-�b���6/��� ($)$/$!&-2�)�/-&��)$"$�"�(�1&6,05$9�.'&�/-0"

H H7 8 7 8 7 8i i iV t X t Y t ��C�!$/&!$9!�$��"(�9�"���%,(,�"$(&�"&��9 H= =

7 8 g[ N xf x I ��C

�($E,05$$��"(�9�"���� ($)$/-05$$!�2$(�$"�&�!,�.%�)$��"�(�9+!,'$!&$�&1!,/,�2�2$!"�($2$!&�(,"!.9T &2$$"2,��&2,/#!�$+!,'$!&$��&2��/�D"&2!�2$(�2�.),L"�-!,�.%�)$�C�

WA

�&�� HH� �"(��"�(!,-�%$2,� "&2,/#!�1� ��(&"$(&02,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- (&L2!&�, (&!$��1$($!"!�2 (&L2$!,��!��$��(($/-"�(���

�&�� HA� �"(��"�(!,-�%$2,� "&2,/#!�1� ��(&"$(&02,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- (&L2!&�, (&!$��1$($!"!�2 (&L2$!,��!��$�F�

�&�� HG� �"(��"�(!,-�%$2,� "&2,/#!�1� ��(&"$(&02,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- (&L2!&�, (&!$��1$($!"!�2 (&L2$�&1!,/���F�:H�

7 8z t

�C7PQa8

dib

=

T

=

T

БОМ –

= 7 8s t

= 7 8s t

H=h

НУ

=

T

=

T

БОМ –

<7 8s t

<7 8s tH<h

НУ kT

b/���6(,6�"�&�&1!,/,

�"�&�"$2.�&!%(�!&+,4&&

7 8z t=�F

<�F

–

–

H=h

H<h

Д

Д

НУ

НУ�C7PQa8

dib

kT �"�&�"$2.�&!%(�!&+,4&&

7 8z t

�Cdib

=

T

= 7 8u t

kT=

T

= 7 8u t+

ЛЗT

ЛЗT

�"�&�"$2.�&!%(�!&+,4&&

WG

Помехоустойчивость двухпозиционных систем модуляции при некогерентном приёме

>(& !$��1$($!"!�2 (&L2$ �($)!00 �$(�-"!��"# �E&6�& 2�3!� �.(,+&"# �65$9*�(2�/�9

H< NH

hp �1)$<� �F�:H�<?H� ;�:H�<?G� ��:H 7� ,��� ,�+�98�

7<IH8

�($)& (,��2�"($!!.% )��% �+&4&�!!.% �&�"$2 �&1!,/�� (& +,),!!�2 �"!�E$!&&�&1!,/:E�2 !,&2$!#E,- �($)!-- �$(�-"!��"# �E&6�& )��"&1,$"�- (& &� �/#+��,!&&�&1!,/���F�:H�

�,6/&4,A� �(,�!$!&$)��% �+&4&�!!.%�&�"$22�)�/-4&& (&!$��1$($!"!�2 (&L2$��($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&�

+,�&�&2��"&�"\!$(1$"&'$��&9 (�&1(.E�"!��&"$/#!�� "&2,/#!�9

�&�"$2.�&1!,/���&)2�)�/-4&&

7�&�"$2,�&1!,/��8

��,)(,"(,��"�-!&-2$3)�

�&1!,/,2& &����1���c �($)!$1���c H H� "?h h H H

�( �(�� "?h h

��:H Hs sd E

H

G< NH

h

p

H�(

H< NH

h

p

G7I)b8 H7A)b8

;�:H7�("�1�!,/#!.$

�&1!,/.8

H Hs sd EH

H< NH

h

p

H�(

H< NH

h

p

H7A)b8

�F�:H7�("�1�!,/#!.$

�&1!,/.8H Gs sd E

H< NH

hp H�(< N

Hhp <7=)b8

\!$(1$"&'$��&9 (�&1(.E !$��1$($!"!�1� (&L2, �"!��&"$/#!� ��1$($!"!�1�!$ ($�.E,$" A )b 7H (,+,8 & � (��"�2 �"!�E$!&- �&1!,/:E�2 D"�" (�&1(.E ��5$�"�$!!��2$!#E,$"�- 7 (& �<=p �! (,�$! ��$1� /&E# =�M�� )b8�>�D"�2�� $�/& !,',/#!�0 *,+��&1!,/,&+2$(&"#�/�3!��"�2�3!�&� �/#+��,"#!$��1$($!"!.9 (&L2�

�&�� H�� �($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&)��&'!�1��&2��/,�+,�&�&2��"&�" &����1��"!�E$!&-�&1!,/:E�2 (&!$��1$($!"!�2 (&L2$)/-�,!,/,��bBc�

Правило обобщённого максимального правдоподобия для сигналов с неопределённой фазой 7F&!������>�����A<@8

�/- (&L2, �&1!,/�� � !$� ($)$/L!!�9 *,+�9 �2$�"� � "&2,/#!�1� (,�&/,2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- 2�3!� ",�3$ &� �/#+��,"# (,�&/� �6�65L!!�1�2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-� ��"�(�$ !$+!,'&"$/#!� (�&1(.�,$" $2� � �,'$�"��� !�6�/$$ (��"�$�($,/&+,4&&�

>(& &� �/#+��,!&& (,�&/, �6�65L!!�1� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- *�!�4&- (,�)� �)�6&- ��/��!� +,�&�&" �" !$&+�$�"!�9!,',/#!�9*,+. & 2,��&2�2 $L &5$"�-�,� ��&2��/,2�",�& ���$��+2�3!.2+!,'$!&-2 ,(,2$"(, �

= < H A G � I M @ W <= << <H <A <G <� <I <M <@ <W H=<= I

<= �

<= G

<= A

=�=<

=�<

<

�F��H;��H

���H� ,��� ,�+�9

H � )bh

p

W�

�d QRUPQa 7 ` � 8iii w b

z � 7<IA8

1)$)/-�,!,/,��bBc

H= =

<7 ` � 8 Nah 7 8 7 � 8T

i iw b K z t s t dtN

z � 7<IG8

��/& ($) �/�3&"#�'"� �!$ ($(.�!,-�$/&'&!,�"� (&*&��&(��,!!�2�&2��/$ ib� "&2,/#!�$ +!,'$!&$ � " � (& ��"�(�2 ��/��!,- *�!�4&- (,�)� �)�6&- )��"&1,$"2,��&2�2,�!,%�)&"�-&+�(,�!$!&-�

� "

7 ` � 8 =id w b

d

z � 7<I�8

��1),

H= == =

7 � 8H <7 ` � 8 7 8 7 � 8 Nah 7 8 7 � 8 =T T

ii i i

ds td Kw b z t s t dt z t s t dtd N d N

z �

= =

7 � 8 7 � 87 8 7 � 8T T

i ii

ds t ds tz t dt s t dtd d

� 7<II8

�"��), � " QRSTU ?i iY X �

� �'L"�2 � " (,�&/� �6�65L!!�1� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- )/- (&L2,�&1!,/���!$� ($)$/L!!�9!,',/#!�9*,+�96�)$"�/$)�05&2

�d QRUPQaHs i

ii

Ei V

� 7<IM8

>(& 6�/#E�2 �"!�E$!&& �&1!,/:E�2 D"� (,�&/� ��� ,),$" � (,�&/�22,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&-�

WI

ЛЕКЦИЯ 10Приём дискретных сообщений в условиях замираний в каналах. Алгоритм оптимального приёма сигналов с флуктуациями фаз и амплитуд. Помехоустойчивость приёма двоичных сигналов при разных законах распределения замираний. Повышение качества связи за счёт разнесенного приёма.

�,��2�"($!!.$ (,!$$ � "&2,/#!.$ ($E,05&$ (,�&/, 6./& �/�'$!. )/- �,!,/, � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&� � �,!,/$ � $($2$!!.2& ,(,2$"(,2& &+2$!$!&$ �� �($2$!& ,(,2$"(���,!,/,�.+.�,$"+,2&(,!&-�&1!,/,�

�,��2�"(&2 �)!�/�'$��9 �,!,/ � +,2&(,!&-2&� � ��/��&-% +,2&(,!&9 ��2 /$��!.9��D**&4&$!" $($),'& 7 87 8 7 8 N j tt t 2$!-$"�- � +,��!� +,2&(,!&9� �/- ",��1� �,!,/,2�3!� &� �/#+��,"# ��1$($!"!.9 (&L2 �&1!,/��� $�/& +,2&(,!&- )��","�'!�2$)/$!!.$�"�$� ��1), � "$'$!&$ $($),'& !$���/#�&% �&2��/�� ��2 /$��!.9 ��D**&4&$!" $($),'&�,!,/,2�3!��'&","# ��"�-!!.27!$+,�&�-5&2�"�($2$!&8�

7 8 N jt const ��!"$(�,/�($2$!&��"$'$!&$��"�(�1� ,(,2$"(.�,!,/,2�3!��'&","# ��"�-!!.2&�

!,+.�,$"�-интервалом стационарности канала��$E,05$$ (,�&/� (& ��1$($!"!�2 (&L2$ �&1!,/�� )/- �)!�/�'$��1� �,!,/, �

+,2&(,!&-2& & �bBc 6�)$" ",�&2 3$� �,� )/- �,!,/, � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&� !�(,��'&",!!�$)/-�&1!,/�� 7 � � 8 VN 7 8 VN 7 8 7 8 7 8SXY 7 8YZ[i i i i is t s t t u t u t u t �

H ���$2 =

d QRUPZ[ 7 8 7 � � 8T

ii

i z t s t dt

� 7<I@8

>(&D"�2� (&L2!&�$!�3!��"�/$3&�,"#&+2$!$!&- 7 8t ���($2$!&&��'L"�2D"&%&+2$!$!&9*�(2&(��,"#� �(!.$�&1!,/. 7 � � 8is t �

�/- !,%�3)$!&- �($)!$9 �$(�-"!��"& �E&6�& )��&'!�1� �&2��/, 7 Hm 8 2�3!�&� �/#+��,"# *�(2�/�� �/�'$!!�0 (,!$$ )/- �,!,/, � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&� !�+,�&�-5�0 �" ,(,2$"(�� & � ��"�(.$ !, &!"$(�,/$ �",4&�!,(!��"& �,!,/, -�/-0"�- ��"�-!!.2&�$/&'&!,2&�

H< ==

=

7 � � 8 7 � � 87�E` � 8H

T

s t s t dtP QN

� 7<IW8

&/& HH< =

=

=

7 8 7 87�E` 8H

T

u t u t dtP QN

� 7<M=8

�� �/#+�-��($)!L!!�$ &����$�"!�E$!&$�&1!,/:E�2!,�%�)$ (&L2!&�,�H H

=

PQa u i

i

Eh

N � 7<M<8

HH

H7�E` 8 hP Q

� 7<MH8

1)$ H )/-F�:H� < )/-;�:H� <? H � ��:H� ,��&�!�9 ,�+�9��/$)��,"$/#!�� '"�6. !,9"& 6$+��/��!�0 &/& �($)!00 �$(�-"!��"# �E&6�& )/-

�)!�/�'$��1� �,!,/, � +,2&(,!&-2&� !�3!� ��($)!&"# ��/��!�0 �$(�-"!��"# �E&6�& �+,��!�(,� ($)$/$!&- �

=

7�E` 8 7 8 7�E` 8p P w P d

�

WM

��/&��,!,/$)$9�"��0"($/$$���&$+,2&(,!&-�"� �($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&(,�!,H

H

< <H H

hph

&/&H

<H

ph

� (& H <h � 7<MA8

1)$ H )/-F�:H� < )/-;�:H� <? H � ��:H�

�,6/&4,G� �($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&)��% �+&4&�!!.%�&�"$22�)�/-4&& (&��1$($!"!�2 (&L2$��,!,/$�2$)/$!!.2&($/$$���&2&+,2&(,!&-2&�

��:H7 <? H 8

H

H

< <H G

hph

H

<ph

7 H <h 8�

;�:H7 < 8

H

H

< <H H

hph

H

<H

ph

7 H <h 8�

F�:H7 H 8

H

H

< <H <

hph

H

<G

ph

7 H <h 8�

>� �(,�!$!&0 � �,!,/�2 � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&� �2$%���"�9'&���"#� "&2,/#!.% (&L2!&��� (& +,2&(,!&-% �&1!,/, ($+�� �%�)E,$"�-� �/- �(,�!$!&-� ��,!,/$� ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&�($)!--�$(�-"!��"#�E&6�&�6.�,$"D�� �!$!4&,/#!��(��"�2�"!�E$!&-�&1!,/:E�2�,��,!,/$�($/$$���&2&+,2&(,!&-2&�$(�-"!��"#�E&6�&�6.�,$" "�/#�� /&!$9!�� >�D"�2�� )/- �/�'$!&- )��","�'!� �.����9 �$(!��"& (&L2, ��,!,/,%�+,2&(,!&-2&"($6�$"�-�6$� $'&"#+!,'&"$/#!�6�/$$�.����$�"!�E$!&$�&1!,/:E�2 7��$/&'&"# 2�5!��"# $($),"'&�, & )/&"$/#!��"# �&1!,/��8� '$2 (& �"��"�"�&&+,2&(,!&9�

�&�� HI� B(,*&�&�$(�-"!��"&�E&6�& (&��1$($!"!�2 (&L2$�&1!,/��)��&'!.%�&2��/��)/-�,!,/,��bBc6$++,2&(,!&9&�($/$$���&2&+,2&(,!&-2&�

Разнесённый приём�$(�-"!��"# �E&6�& (& (&L2$ )&��($"!.% ���65$!&9 2�3!� ��5$�"�$!!�

�2$!#E&"#� $�/& &� �/#+��,"# разнесённый приём� >(& (,+!$�L!!�2 (&L2$,!,/&+&(�0"�- !$���/#�� (&!&2,$2.% �&1!,/��� !$��5&% �)!� & "� 3$ &!*�(2,4&0 � $($),!!�2 �&2��/$� ;&�/� D"&% �&1!,/�� � ($)$/-$" '&�/� �$"�$9 (,+!$�$!&-� >(&+,2&(,!&-%�&1!,/��(,+!$�L!!.9 (&L2-�/-$"�-�)!&2&+��!��!.%� ���6�� ��.E$!&- �2$%���"�9'&���"&�&�"$2��-+&�

��5$�"��0"(,+/&'!.$� ���6.(,+!$�$!&-�&1!,/,�<8 (,+!$�$!&$ ��($2$!&7 $($),',�&1!,/, ��"�(-$"�-�(,+!.$2�2$!".�($2$!&8K

= H G I @ <= <H <G <I <@ H= HH HG HI H@ A= AH AG AI A@ G=<= �

<= G

<= A

=�=<

=�<

<

<

H � )bh

p

H A

<�F��HH�;��HA����H

H

A

<

�,!,/�($/$$���&2&+,2&(,!&-2&

�,!,/6$++,2&(,!&9

W@

H8 (,+!$�$!&$ � ',�"�"$ 7 $($),', �)!�1� & "�1� 3$ �&1!,/, (�&+��)&"�- �(,+/&'!.2',�"�"!.2�,!,/,28K

A8 (��"(,!�"�$!!�$ (,+!$�$!&$ 7 (&L2 �&1!,/, ���5$�"�/-$"�- !, (,+/&'!.$,!"$!!.�(,� �/�3$!!.$�)��","�'!��),/L!!.%)(�1�")(�1,2$�",%8K

G8 (,+!$�$!&$ ��")$/#!.2/�',2)/-2!�1�/�'$��1��,!,/, 7 (&$2���5$�"�/-$"�-/&6�!,��"(�!, (,�/$!!.$ ,!"$!!. 7(,+!$�$!&$ � �1/� (&%�), �&1!,/,8� /&6� ��($2$!& (&%�),7�.)$/-0"�-�&1!,/.�")$/#!.%/�'$988�

� "&2,/#!�$ (,�&/� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- (& (,+!$�L!!�2 (&L2$� ($)$/-$"�-�.(,3$!&$2

= < < ���$2

d QRUPQa 7 � ����� ` 8n ii

i w b z z z � 7<MG8

1)$ n � '&�/��$"�$9(,+!$�$!&-��6.'!�� )/- )��"&3$!&- 2,��&2,/#!�1� D**$�",� �&1!,/. (,+!��-" ",�&2 �6(,+�2�

'"�6.!,�%�)$ (&L2!�1���"(�9�"�,&%2�3!�6./��'&","#!$+,�&�&2.2&�"�$� ,(,2$"(.�,!,/,&E�2�(,+/&'!.%�$"�-%(,+!$�$!&-)�/3!.6."#!$+,�&�&2.2&��D"�2�/�',$

<

= < <=

7 � ����� ` 8 7 ` 8n

n i k ik

w b w b

z z z z � 7<M�8

1)$ H=� =

<7 ` 8 Nah 7 8 7 8T

k i k ik

w b K z t s t dtN

z �

��1),)/-�,!,/,� ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2&&�bBc

<

H

���$2 = =� =

<d 7 8 7 8QRUPZ[Tn

k ii k k

z t s t dtiN

&/& �

���$2 =

d QRUPQa 7 8 7 8H

Ts i

ii

Ei z t s t dt

�

1)$<

= =�

7 87 8n

k

k k

z tz tN

� �+�$E$!!,- ��22, 7��1$($!"!�$ �/�3$!&$8 �&1!,/�� ��$% �$"�$9

(,+!$�$!&-�<

� �= =�

<n

s i s ik k

E EN

� =�kN � �)!��"�(�!!--�>��bBc :9k �$"�&(,+!$�$!&-�

��1/,�!� ��/$)!$2� (,�&/� (�&+��)&"�- когерентное сложение �&1!,/�� ��$%�$"�$9(,+!$�$!&-&($+�/#"&(�05&9�&1!,/�6(,6,".�,$"�-���(($/-4&�!!�2 (&L2!&�$�

�/-)��% �+&4&�!!.%7 Hm 8�&�"$22�)�/-4&&<

�< �=< =

= ==

7 8 7 8 7 8 7 8H H

T Ts sE E

z t s t dt z t s t dt � 7<MI8

�($)!--�$(�-"!��"#�E&6�& (&(,+!$�L!!�2 (&L2$<

H

=

n

kk

p Q h

� 7<MM8

�/$)��,"$/#!�� � �,!,/$ � ��"�-!!.2& ,(,2$"(,2& (& ��1$($!"!�2 �/�3$!&&�&1!,/�� ��$% �$"�$9 (,+!$�$!&-� �65$$ �"!�E$!&$ �&1!,/:E�2 (,�!� ��22$ �"!�E$!&9

�&1!,/:E�2��")$/#!.%�$"�-%�<

H H�65

=

n

kk

h h

��, (&2$(� (& Hn & H Hkh h �D!$(1$"&'$��&9

�.&1(.E (&�)��$!!�2 (&L2$(,�$!A)b ��(,�!$!&0��)&!�'!.2 (&L2�2�� �,!,/$ � ($/$$���&2& +,2&(,!&-2& �($)!00 �$(�-"!��"# �E&6�& 2�3!� !,9"&

�"L2��($)!$!&-�

= < < = < < = < <= =

��� 7 � ����� 8 7�E` � ����� 8 ���n n np w P d d d

�

WW

1)$< H< <

H HH H H= < < HH H== =

< <7�E` � ����� 8 Nah NahH HH H

nn nk

k kk kn kkk k

hhhP Q

�

��/&+,2&(,!&-��")$/#!.%�$"�-%(,+!$�$!&-!$+,�&�&2.$�"�<

= < <=

7 � ����� 8 7 8n

n kk

w w

�

�,/$$��� �/#+�$2�-($+�/#","�2H

H=

<7 8N<

aw da

� 7<M@8

>����/#��"�'!�0*�(2�/�)/- p �/�'&"#�/�3!��"�6�)$2&��,"#$L�4$!����&)$�$(%!$91(,!&4.���"�(�0���'L"�2 ($).)�5&%*�(2�/�2�3!��4$!&"#!$(,�$!�"��2

H< <

H= ==

< < <7 8NH H < =��

k k

n na

k kk k k

p w dh

� 7<MW8

>(&6�/#E&%�"!�E$!&-%�&1!,/:E�27 H <kh 8

< <

HH

= =

< <

=��n n

kkk k

phh

� 7<@=8

>(& !$+,�&�&2.% ($/$$���&% +,2&(,!&-%�($)!-- �$(�-"!��"# �E&6�& �6.�,$"�6(,"!� (� �(4&�!,/#!� (�&+�$)$!&0�"!�E$!&9�&1!,/:E�2�,3)�9�$"�&(,+!$�$!&-�,�65$$�"!�E$!&$�&1!,/:E�2 (&6/&+&"$/#!�(,�!� (�&+�$)$!&0�"!�E$!&9�&1!,/:E�2

�")$/#!.%�$"�$9�<

H H�65

=

n

kk

h h

�

�,��'&",$2D!$(1$"&'$��&9�.&1(.E(,+!$�L!!�1� (&L2, ��(,�!$!&0��)&!�'!.2 (&L2�2 � �,!,/$ � ($/$$���&2& +,2&(,!&-2& (& (,�$!�"�$ ��$% H H

kh h � �� �/#+�$2�/$)�05&$�4$!�&�

H H�)&!

< <ph h

7 (&�)&!�'!�2 (&L2$8� H H

(,+!

< <n np

h h 7 (&(,+!$�L!!�2 (&L2$8�

��1), (& p const � H�)&!

<hp

&

H(,+! <?

<nh

p �

H H�)&! (,+!

<<<= gU <= gU<?h h pn

�

\!$(1$"&'$��&9 �.&1(.E �)��$!!�1� (&L2, 7 Hn 8 (& G<=p ���",�/-$"H= )b� ��$� � �,!,/$ � ($/$$���&2& +,2&(,!&-2& )/- )��"&3$!&- �($)!$9 �$(�-"!��"&

�E&6�& G<=p (& �)��$!!�2 (&L2$ "($6�$"�- +,"(,"&"# � <== (,+2$!#E�02�5!��"# $($),"'&�,� ��(,�!$!&0��)&!�'!.2 (&L2�2�

��5$�"��0")(�1&$� ���6.�6(,6�"�&�&1!,/�� (&(,+!$�L!!�2 (&L2$��, (&2$(��2$�"���1$($!"!�1��/�3$!&-2�3!�&� �/#+��,"#автовыбор ветви с наиболее сильным сигналом�

<==

ЛЕКЦИЯ 11Прием дискретных сообщений при действии межсимвольной интерференции (МСИ). МСИ и её причины. Каналы с памятью. Методы обработки сигналов в каналах с МСИ: адаптивная коррекция, приём в целом, приём по правилу ОМП, алгоритм Витерби. Использование обратной связи по решению.

Поэлементный приём при действии МСИ��,!,/$�����&1!,/.�")$/#!.%�&2��/��!, (&L2$!$/#+-�")$/&"#)(�1�")(�1,�

�D"�2�/�',$��/��!,- /�"!��"#�$(�-"!��"& z )/- :1�r �&2��/,(,�!, (� � �/� (� � �/�7 ` � � 8 7 ` � � 8r r i r r r i rw b wz b b z s s s �

1)$ �r ib � ,!,/&+&(�$2.9 �&2��/� =�<����� <i m � m � �6]L2 ,/*,�&",�

(� < H7 � ����� 8r r r r Mb b b b � ��/$)��,"$/#!��"# �&2��/��� $($),!!.% )� ,!,/&+&(�$2�1��&2��/,� �/� < H7 � ����� 8r r r r Db b b b � ��/$)��,"$/#!��"# �&2��/��� $($),!!.% ��/$,!,/&+&(�$2�1��&2��/,� 7 8z t ���22,�&1!,/,&E�2,!,&!"$(�,/$,!,/&+,)/&"$/#!��"#0

QT T �F�!�4&- (,�)� �)�6&-6$+��/��!,-�"�� (���3),05&%�&2��/��(,�!,

< <

(� � �/� (� � �/� � (� � � �/� ��= =

` � � � ` � �`M Dm m

r r i r r l r k r l r i r kr il k

b bbw w P w

z b b b b z b bz �

>(& �"��"�"�&& ��� (� � �/� �` � � `r r i r r ib bw wz b b z � '"� ��� ,),$" � *�!�4&$9 (,�)� �)�6&-)/-�,!,/,6$+����

��/& �&2��/. !, $($),'$ �","&�"&'$��& !$+,�&�&2.$� "� (� � �/� ( �/7 ` � � 8 7 ` � � 8r r i r iw b w bz b b z b b & (� � � �/� � (� �/�� �r l r i r k l kibP P P b Pb b b b )/- /06�1�

!�2$(, r �>�D"�2� (,�&/�2,��&2�2,, ��"$(&�(!�9�$(�-"!��"&6�)$"(,�!�

< <

(� (� �/��/�=�<����� < = =

d ` � �QRUPQa 7 8M Dm m

l l i kkii m l k

bi P b P P w

b z b bb �

Вычислительная сложность �6(,6�"�& �&1!,/�� &/& �/�3!��"# ($,/&+,4&&($E,05$1� (,�&/, �4$!&�,$"�- '&�/�2 � $(,4&9 �2!�3$!&- & )$/$!&-� �,� !,&6�/$$"(�)�L2�&$ � $(,4&&� !$�6%�)&2.% )/- �/�'$!&- ($+�/#",",� >(& � "&2,/#!�2 �D/$2$!"!�2 (&L2$ !�3!� �.'&�/-"# (� � �/�` � �r r i rbw z b b � �D"�2� �.'&�/&"$/#!,-

�/�3!��"#�6(,6�"�&)/-�,!,/,���� (� �(4&�!,/#!,�$/&'&!$ <M Dm ���/&D"�'&�/��.(,+&"# '$($+ D�� �!$!"�� "� 1���(-"� '"� �.'&�/&"$/#!,- �/�3!��"# (,�"L"D�� �!$!4&,/#!� � (��"�2 '&�/, M D � >(,�"&'$��&� �'"& !$��+2�3!� ($,/&+��,"#� "&2,/#!.9 (&L2 (&�.'&�/&"$/#!�9�/�3!��"&� ($�.E,05$9'&�/� G=H � �"�2�'"�",��$ '&�/� � $(,4&9 !$�6%�)&2� �.'&�/-"# � ($,/#!�2 �($2$!& +, �($2- T � (,�!�$)/&"$/#!��"& $($),'&�)!�1��&2��/,�

>,(,2$"(. M & D � ($)$/-0"&!"$(�,/ ,!,/&+, Q 7 <8T M D T ��6.'!� M Q �1)$ Q � �"!��&"$/#!,- ,2-"# �,!,/,� >,(,2$"( D � ($)$/-$" +,)$(3�� (& (&!-"&&($E$!&-�>(&D Q ��6(,6�"�$�'&".�,$"�-"�/#��',�"#D!$(1&&�&1!,/,,!,/&+&(�$2�1��&2��/,�>(& D Q D!$(1&-�&1!,/,,!,/&+&(�$2�1��&2��/,�'&".�,$"�- �/!��"#0�>(&D"�2��$/&'&�,$"�-(,+/&'&2��"#�&1!,/���'"��/�'E,$"�,'$�"��(,6�". (&L2!&�,�

Причины МСИ� <8�1(,!&'$!!��"# �/��. (� ���,!&- �,!,/,� H8 !$(,�!�2$(!��"#�;� & !$/&!$9!��"# F;� �,!,/,� A8 2!�1�/�'$��$ (,� (��"(,!$!&$ �&1!,/,� �,3$ $�/&E�2, !$"� "� &+:+, ��� �2$%���"�9'&���"# � "&2,/#!.% ,/1�(&"2�� (&L2,�!$(,��'&",!!.% )/- �,!,/, � ���� ($+�� ,),$"� >(&'L2 ��.�&"# �$(!��"# (&L2,!$��+2�3!�),3$ (&!$�1(,!&'$!!�2��$/&'$!&&2�5!��"& $($),"'&�,�

<=<

МСИ приводит к тому, что отсчёты на выходе СФ, которые используются для вынесения решения, будут искажены из-за наложения сигналов соседних символов.

Субоптимальные способы поэлементного приёма для каналов с МСИ1. Использование выравнивающего фильтра 7��(($�"&(�05&9 *&/#"( &/&

D��,/,9+$(8� >(& D"�2 � ���6$ �'&",0"� '"� !,&6�/#E&9 �($) �$(!�2� (&L2� !,!��&"���� �D"�2� �/&-!&$2 �%�)!�1� E�2, ($!$6($1,0"� �.(,�!&�,05&9 *&/#"(��",!,�/&�,0"!, �%�)$ (&L2!&�,)� ($E,05$9 �%$2.��1�+,),'$9 -�/-$"�- ��"(,!$!&$��� �"L2 ��(($�4&& �;� & F;� �,!,/, 7'"�6. �&1!,/#!.9 &2 �/#� !, (&L2$ & 7 8s t�)��/$"��(-/ ���9�"�� �"�'L"!��"&8� >��/$ ��"(,!$!&- ��� �6(,6�"�, �&1!,/, �&/#!�� (�5,$"�-�

Недостатки�<8�$�'&".�,$"�-�%�)!�9E�2���/&�%�)!�9E�26$/.9�"�!,�.%�)$�.(,�!&�,05$1� *&/#"(, �! �",!��&"�- ��(,E$!!.2� � "&2,/#!.9 (&L2!&��(,��'&",!!.9 )/- 6$/�1�E�2,� !$� "&2,/$!)/- ��(,E$!!�1�E�2,� H8 ��/& �&1!,/#!.9&2 �/#�!,�.%�)$�,!,/,����L2',�"�"!�2� $�"($6�)$"&2$"#!�/&�"���(($�4&0�;�!$��+2�3!� �)$/,"#� �"�2�'"� ��D**&4&$!" $($),'& �.(,�!&�,05$1�*&/#"(,!, D"&%',�"�",%)�/3$!6."#(,�$!6$���!$'!��"&�

2. Использование обратной связи по решению (ОСР)� >(& &� �/#+��,!&& ���($E$!&- � �&2��/,2 (b � ��"�(.$ 6./& (&!-". )� ,!,/&+&(�$2�1� �&2��/,� �'&",0"�-)��"��$(!.2&�>�!&2*�(2&(�$"�-�&1!,/��� (d 7 8s t ���"�(.9�.'&",$"�-&+�&1!,/, 7 8z t&��"(,!-$"�����.+�,!!�0 $($),'$9�&2��/�� (b ��D"�2�/�',$�. �/!-"#��($)!$!&$*�!�4&& (,�)� �)�6&- ��&2��/,2 (b !$!�3!��

<

( ( �/� ( �/��/�=

d d d` ` � ` �Dm

i i k i kkk

b b bw w P w

z s z s b z s bb � 7<@<8

�!"$(�,/ ,!,/&+, Q 7 <8T D T � , �/�3!��"# �6(,6�"�& (� �(4&�!,/#!, <Dm � '"���5$�"�$!!�2$!#E$�'$2 (&� "&2,/#!�9�6(,6�"�$�

Недостатки���/&($E$!&-6�)�"�E&6�'!.2&�"��&1!,/ (d 7 8s t !$6�)$"��� ,),"#�*,�"&'$��& )$9�"��05&2 �&1!,/�2 ( 7 8s t 7!$&)$,/#!,- �6(,"!,- ��-+#8� ��1),� ��/$ $1��.'&",!&-� �! !$ "�/#�� !$ ��"(,!&" ��� �" ($).)�5&% �&2��/�� &+ �&1!,/, ��/$)�05&%�&2��/���,!,�6�(�"�!$�L")� �/!&"$/#!�$&��,3$!&$�&1!,/,�\"������0�'$($)#� (&�$)L" � !��.2 �E&6�,2� "�$� ��+!&�,$" (,� (��"(,!$!&$ �E&6����,� (��"(,!$!&$ �E&6�� ($�(,5,$"�- "�/#�� ��/$ (,�&/#!�1� (&L2, � ($)$/L!!�1�'&�/, �/$)�05&% �&2��/��� >(& 6�/#E�2 �"!�E$!&& �&1!,/:E�2 �%�)E$!&$ �,'$�"�,(,6�". (&L2!&�,��.+�,!!�$!$&)$,/#!�9����!$+!,'&"$/#!�$�

3. Использование правила обобщённого максимального правдоподобия с ОСР�>(,�&/� �6�65L!!�1� 2,��&2,/#!�1� (,�)� �)�6&- � ��� 7,/1�(&"2 �/�����1���&��/,$�,8�

( �/��

d d ` �QRUPQa i ki k

bi w z s b � 7<@H8

>(&&� �/#+��,!&&D"�1� (,�&/,��,'$�"�$�� (���3),05&% ,(,2$"(���.�"� ,$"4$ �'�, �&2��/�� �/�kb � , �&1!,/4$ �'�& �&2��/�� (b ��2 $!�&(�$"�- �4$ &�6(,"!�9��-+&� >(& D"�2 �. �/!-$"�- (&L2 � 4$/�2 � 2,��&2�2� (,�)� �)�6&- ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/�� �/�7 � 8i kb b �!�� �D/$2$!"!.2($E$!&$2 � $(��2��&2��/�D"�9 ��/$)��,"$/#!��"&�

�/�3!��"#�6(,6�"�& (� �(4&�!,/#!, <Dm &��($)!-"#*�!�4&0 (,�)� �)�6&-!$!�3!���$)��","�&"$3$�'"� (&�����,�3$!$�'&".�,$"�-(,� ($)$/$!&$�$(�-"!��"$9 $($),�,$2.%�&2��/���

>(& �6(,6�"�$ )/- � ($)$/$!&- ($E$!&9 �"(�&"�- )$($�� &+ 4$ �'$� ��$��+2�3!.%�&2��/�� )/&!�0 D �&2��/��� !, �$"�-% ��"�(.% �"2$',0"�- "$��5&$ (,+!��"& �

<=H

B&/#6$("� 2$3)� (&!-".2 �&1!,/�2 & "$��5&2 � �(!.2 �&1!,/�2 �$"�&� \", (,+!��"#!,+.�,$"�-2$"(&��9 �"&���,'$�"�$($E$!&-�.6&(,$"�-�,2.9 $(�.9�&2��/"�1� �"& � )$($��� 2$"(&�, ��"�(�1� 2&!&2,/#!,-� �,"$2� ��1/,�!����� �"6(,�.�,0"�- "$ �$"�&���"�(.$!$��/0',0"��$6-�&2��/($E$!&-�

4. Алгоритм Витерби��/1�(&"2�&"$(6&�. �/!-$"� "&2,/#!.9 (&L2�4$/�2 �2,��&2�2� (,�)� �)�6&- ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/���

d QRUPQa ` ii

i w z b � 7<@A8

>(& (,�"&'$���9 ($,/&+,4&& ($E$!&- �.!��-"�- �D/$2$!"!� � $(��2� �&2��/�=�ib ,!,/&+&(�$2�9 ��/$)��,"$/#!��"& �&2��/�� =� �/�7 � 8i i kbb b � \"�" ,/1�(&"2 6$+ ����

�/�3!��"#�6(,6�"�& (� �(4&�!,/#!, <Qm �� ,/1�(&"2$ �&"$(6& �"(�&"�- ($EL"�, ��$��+2�3!.% ��/$)��,"$/#!��"$9 �&2��/��7 �"$98)/&!�9� n �&2��/���'#&�&1!,/.�(,�!&�,0"�-� (&!-".2�&1!,/�2&)/-�,3)�9�$"�&!,($EL"�$�.'&�/-$"�-���-2$"(&�,���,'$�"�$($E$!&-�.6&(,$"�-�,2.9 $(�.9�&2��/ "�1� �"& � ($EL"�$� 2$"(&�, ��"�(�1�2&!&2,/#!,� � (�4$��$ (,6�". "$ �"&���"�(.$ &2$0" 6�/#E&$ 2$"(&�&� �"6(,�.�,0"�-� >�"#� ��"�(.9 ��",$"�-� !,+.�,0"�.3&�E&2 �"L2� ;&�/� �+/�� ($EL"�&� � �"/&'&& �" )$($�,� !$ (,�"L" (& ��$/&'$!&&&!"$(�,/,,!,/&+,��/&!,($EL"�&�6.'!��.6&(,$"�-(,�!�9!$���/#�&2+!,'$!&-2Q �

<=A

ЛЕКЦИЯ 12ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИОсновные задачи и понятия теории информации. Проблемы оценки потенциальных возможностей передачи сообщений по реальным каналам связи. Количественное определение информации. Энтропия и другие информационные характеристики источника дискретных сообщений.

Информация �D"������� !��"#��$)$!&9��L2�3!���+),�,"#��!&'"�3,"#�%(,!&"#� $($),�,"# & ($)�",�/-"# � /06�9 �)�6!�9*�(2$� �!, 6.�,$" �/$+!�9 & 6$� �/$+!�9�)��"��$(!�9&/�3!�9��, (&2$(��!&1,�D"�&�"�'!&�&!*�(2,4&&� ($)�",�/$!!�9��&)$ ��/$)��,"$/#!��"$9�&2��/��&/&�/���

��+2�3!��"# �/�'$!&-&!*�(2,4&& �"($6&"$/$2�"&�"�'!&�,��5$�"�$!!�+,�&�&"�" � ���6, $L ($)�",�/$!&-� �, (&2$(� $�/& �!&1, !, &�,!, !, !$&+�$�"!�2 -+.�$� "�&!*�(2,4&0���)$(3,5�0�-�D"�9�!&1$�!$��+2�3!�6�)$" �/�'&"#)�"$% �(� ��,!$6�)�"(,� �+!,!.��$�/��,D"�1�-+.�,�

�� � )(�1�9 �"�(�!.� �/�',"$/- &!"$($��$" "�/#�� &!*�(2,4&-� , !$ "� �,�&2�6(,+�2�!, ($)�",�/$!,�>�D"�2�)/-"$�(&&��-+&�",/&,�"�,/#!.2&�� (��.���-+,!!.$� $($),'$9 !$ ���65$!&9 7)&��($"!.% &/& !$ ($(.�!.%8� , �,2�9 &!*�(2,4&&���)$(3,5$9�-�D"&%���65$!&-%�>�&���"�$"��!,D"&�� (��. (&�L/���+),!&0"$�(&&&!*�(2,4&&�

��!��� �/�3!&��2 "$�(&& &!*�(2,4&& 2�3!� �'&","# �/�), \/#��), c$!!�!,���"�(.9 � <WG@ 1�)� � $(�.$ � �6/&���,/ (,6�"�� � ��"�(�9 6./& ��$)$!. ��!��!.$ �!-"&-�",�&$�,���/&'$�"��&!*�(2,4&&�D!"(� &-� (� ���!,-� ���6!��"#&)��,+,!.��!��!.$ "$�($2. "$�(&& &!*�(2,4&&� ��-+,!!.$� �"$!4&,/#!.2& ��+2�3!��"-2& $($),'&&!*�(2,4&& ��,!,/,2��-+&� �2$%,2&�

Источник дискретных сообщений+,),L"�-,/*,�&"�2 = < <o � ����� pma a a A ����"�-5&2&+ m �&2��/��� & (,� ($)$/$!&$2 �$(�-"!��"$9 7 8P a ��/$)��,"$/#!��"$9 �&2��/��

= < <7 � ����� 8na a a a 7��26&!,4&9 &/& �/��8 )/&!. n � ���",�/$!!.% &+ �&2��/�� ra A �=�<����� <r n �

�&�� HM� ��"�'!&�)&��($"!.%���65$!&9�

�,3).9 :9r � �(-)���/$)��,!&-�&2��/ ra �.),L"�-&�"�'!&��2�����(��"#0 &v�&2��/����$��!)��

Стационарный источник�",4&�!,(!.9 &�"�'!&� %,(,�"$(&+�$"�- "$2� '"� ���2$�"!,- �$(�-"!��"#

= < <7 8 7 � ����� 8nP P a a a a /06�1� '&�/, �/$)�05&% )(�1 +, )(�1�2 �&2��/�� !$ +,�&�&" �"�.6�(, !,',/#!�1� 2�2$!", �($2$!& 7!,',/#!�1� �(-)����1� !�2$(,8� �(�1&2& �/��,2&)/-�",4&�!,(!�1�&�"�'!&�,)�/3!��. �/!-"#�-(,�$!�"��

= < < = < <7 � ����� 8 7 � ����� 8r r n r nP a a a P a a a (&/06.% r &n � 7<@G8Источник без памяти��"�'!&� 6$+ ,2-"& %,(,�"$(&+�$"�- "$2� '"� �&2��/. !, $1� �.%�)$ �-�/-0"�-

!$+,�&�&2�)(�1�")(�1,�C�/��&$!$+,�&�&2��"&�&2��/��2�3!�+,),"#�.(,3$!&$2<

= < <=

7 8 7 � ����� 8 7 8n

n rr

P P a a a P a

a (&/06�2n � 7<@�8

�/- � &�,!&- ",��1� &�"�'!&�, )��","�'!� +,),"# �$(�-"!��"& 7 8rP a �")$/#!.%�&2��/��� ��/$)��,"$/#!��"&�

n

m= < <7 � ����� 8na a a a��"�'!&�

A

<=G

��/&&�"�'!&�6$+ ,2-"&�",4&�!,(!.9�"�7 8 7 8rP a P a & 7 8 7 8 nP P aa �

Количество информации;&�/���9 2$(�9 &!*�(2,4&&� ��)$(3,5$9�- � ��/$)��,"$/#!��"& �&2��/�� a �

-�/-$"�- количество информации 7 8i a � ��/&'$�"�� &!*�(2,4&& )�/3!� �)��/$"��(-"#�/$)�05&2��/��&-2�

<� ��/&'$�"��&!*�(2,4&& 7 8i a )�/3!�6."#,))&"&�!�9*�!�4&$9���/&���65$!&-

<a & Ha �+,&2!�!$+,�&�&2.�"� < H < H7 � 8 7 8 7 8i i i a a a a �H� ��/&'$�"��&!*�(2,4&&���)$(3,5$$�-�)��"��$(!�2���65$!&&�(,�!�!�/0�"�$�

7 8 =i a (& 7 8 <P a �A� ��/&'$�"�� &!*�(2,4&& )�/3!� 6."# !$ ($(.�!�9 *�!�4&$9 "�/#�� �"

�$(�-"!��"&���65$!&- 7 8P a �"�$� 7 8 7 7 88i f Pa a �\"&2��/��&-2���"�$"�"��$"$)&!�"�$!!,-*�!�4&-/�1,(&*2,

<7 8 gXU =7 8

iP

aa

� 7<@I8

��!��,!&$ /�1,(&*2, 2�3$" 6."# �.6(,!� (�&+��/#!�� ��/& �.6&(,$"�- /�1,(&*2!,"�(,/#!.9� "� $)&!&4$9 &+2$($!&- ��/&'$�"�, &!*�(2,4&& -�/-$"�- нат 7�" �/��,!,"�(,/#!.98� ��/& /�1,(&*2 )$�-"&'!.9� "� $)&!&4$9 -�/-$"�- дит� ;,5$ ��$1��.6&(,$"�- /�1,(&*2, � ��!��,!&$2 H � $)&!&4$9 &+2$($!&- бит, ��"�(.9 & 6�)$2&� �/#+��,"#�),/#!$9E$2�

1 бит – это количество информации, содержащееся в двоичном символе, который с равной вероятностью может принимать значения 0 или 1�

�+ �.E$ ��,+,!!�1� �/$)�$"� '"� '$2 !$�3&),!!$$ ���65$!&$ a 7 7 8 =P a 8� "$26�/#E$&!*�(2,4&&��)$(3&"�-�D"�2���65$!&&�

Энтропия источника�($)!$$��/&'$�"��&!*�(2,4&&���"�(�$��)$(3&"�-��&2��/$���65$!&-!,�.%�)$

&�"�'!&�,�!,+.�,0"энтропией источника�<

=

<7 8 gZP 7 8 gZP 7 8 gXU7 8

rm

ir r i i

H i Pr r P

A a aa

� 7<@M8

��/&&�"�'!&��.),L" ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/�� ra (,+/&'!�9)/&!. in �"�

< H7 8 gZP 7 � ����� 8rrH i

n r

A a a a � 7<@@8

1)$ N � '&�/� (,+/&'!.% ��26&!,4&9� ��"�(�$ 2�3$" (&!&2,"# :9r � �(-)���/$)��,!&-�&2��/ ra � n ��($)!--)/&!,���"�(,-(,�!,

< H ���gZP rr

n n nnr

� 7<@W8

�/-стационарного источника���1), ra !$+,�&�&2.$& 7 8 7 8rP Pa a �<

=

<7 8 7 8 gXU7 8

N

ii i

H Pn P

A aa

�,�($)!--)/&!,(,�!,<

=

7 8N

i ii

n P n

a � 7<W=8

\!"(� &0 стационарного источника без памяти 2�3!� !,9"&� $�/& (,��2�"($"# ��/$)��,"$/#!��"&�&2��/��&�"�'!&�,)/&!�9 <r �

<

=

<7 8 7 8 gXU7 8

m

ii i

H P aP a

A � 7<W<8

Свойства энтропии�<� = 7 8 gXUH m A �

<=�

�,�$!�"�� !�/0 �/�',$"�-� $�/& �)!� &+ ���65$!&9 &2$$" �$(�-"!��"# 7 8 <iP a � ,��",/#!.$ 7 8 =jP a � i j ��,��&2�2D!"(� &&)��"&1,$"�-)/-&�"�'!&�,6$+ ,2-"& (&(,�!��$(�-"!.%�&2��/,%� 7 8 <?iP a m �

H�<

6$+ ,2-"&=

<7 8 7 8 gXU 7 87 8

m

ii i

H P a HP a

A A �

\!"(� &-/06�1�&�"�'!&�,!$ ($�.E,$"D!"(� &&&�"�'!&�,6$+ ,2-"&�Энтропия двоичного источника без памяти\!"(� &0)��&'!�1�&�"�'!&�,6$+ ,2-"&!,9)L2 �*�(2�/$7<W<8 (& =7 8 7=8P a P

& <7 8 7<8 < 7=8P a P P �

7 8 7=8 gXU 7=8 < 7=8 gXU < 7=8H P P P P A � 7<WH8

�&�� H@� \!"(� &-)��&'!�1�&�"�'!&�,6$+ ,2-"&�

Производительность источника сообщений � ($)$/-$"�- �,� �($)!$$ ��/&'$�"��&!*�(2,4&&���"�(�$�!�.),L"!,���L2�.%�)$ �$)&!&4��($2$!&�

&7 8 7 8H v H A A m6&"?�n� 7<WA81)$ & <?v T ����(��"#�.),'&�&2��/��!,�.%�)$&�"�'!&�,�$)&!&4��($2$!&�

�,��&2,/#!�0 (�&+��)&"$/#!��"# &�"�'!&�, !,+.�,0" информационной скоростью источника

& & HgXUR v m m6&"?�n� 7<WG8Информативность источника 2�3!� � ($)$/&"# �,� �"!�E$!&$ H7 8 ? gXUH mA � �!,

� ($)$/-$" � �($)!$2 )�/0 ��/&'$�"�, &!*�(2,4&&� �" 2,��&2,/#!� ��+2�3!�9� ��"�(�0��/,).�,$"&�"�'!&���)&!�&2��/�

Избыточность любого источника информации � ($)$/-$"�- �*�(2�/$

H

7 8<gXUH

m

A &/& q <==q � 7<W�8

�/-&+6."�'!��"&� (,�$)/&��!$(,�$!�"��= < � 7<WI8

�+6."�'!��"# = ���"�$"�"��$" &�"�'!&�� 6$+ ,2-"& � (,�!��$(�-"!.2&�&2��/,2&� ��$� �,3).9 �&2��/ ",��1� &�"�'!&�, !$�L" � �$6$ 2,��&2,/#!� ��+2�3!�$��/&'$�"��&!*�(2,4&&���"�'!&����"�(.9�.),L"!,���L2�.%�)$ ��"�-!!��)&!&"�"3$�&2��/ ia 7 7 8 <iP a 8&/&�)!�&"�3$ ��/$)��,"$/#!��"#�&2��/�� ia 7 7 8iP a 8�&2$$"2,��&2,/#!�0&+6."�'!��"#(,�!�0 < �

�/- D�� $(&2$!",/#!�1� �.'&�/$!&- D!"(� && &� �/#+�0" �","&�"&'$��&$ ),!!.$ �частости �-�/$!&- �&2��/�� !, �.%�)$ &�"�'!&�,� �, (&2$(� $�/& �1(,!&'&"#�- ��/$)��,"$/#!��"-2& )/&!�9 <n � "� )/- "$��", !, ,!1/&9���2-+.�$ 2�3!� �/�'&"#�4$!��D!"(� && d 7 8 GH A 6&"?6�������/&(,��2�"($"# ��/$)��,"$/#!��"&)/&!�9 n �"�)$9�"�&"$/#!�$+!,'$!&$D!"(� && �/�'&2(,�!�9 7 8 HH A 6&"?6�����>����/#��'&�/�

7 8�H A6&"

7=8P= =�H� =�� =�M� <

=

=�H�

=��

=�M�

<

<=I

6��� ,!1/&9���1� ,/*,�&", (,�!� HIm � "� <H

Gd < =�<GW <G�WqgXU HIn � ,

H

H< =��MG� �M�G�qgXU HI

� �/$)��,"$/#!�� &+6."�'!��"# "$��", !, ,!1/&9���2 -+.�$ �

��!��!�2 � ($)$/-$"�- 2!�1�2$(!.2& +,�&�&2��"-2& 2$3)� 6���,2& � "$��"$� \"��"!��&"�-",�3$&�)(�1&2-+.�,2�

�/-(�����1�-+.�, 7 8 <��H A 6&"?�&2��/�,&+6."�'!��"#H

<��< =�M M=qgXU AH

�

Совместная энтропия���2$�"!,- D!"(� &- � D"� D!"(� &- )��% &/& 6�/$$ &�"�'!&���� ��/& �6]$)&!&"#

&�"�'!&�& � �)&!� ��"�(.9 �.),L" !, ���L2 �.%�)$ �&2��/� ��)$(3,5&9 &!*�(2,4&0 �символах��$%&�"�'!&����"����2$�"!,-D!"(� &-�!, (&2$()��%&�"�'!&����(,�!,

= < = <= < = <

<7 � 8 gZP 7 � 8 gZP ��� 7 ����� � ����� 8 gXU7 ����� � ����� 8

k k

r rr r a b r r

H i P a a b br r P a a b b

A B a b � 7<WM8

�/-�",4&�!,(!.%&�"�'!&���6$+ ,2-"&совместная энтропия(,�!,< <

= =

<7 � 8 7 � 8 gXU7 � 8

m M

i ji j i j

H P a bP a b

A B � 7<W@8

1)$m &M � �6]L2,/*,�&"��&�"�'!&���A &B ����2$�"!�0D!"(� &02�3!� ($)�",�&"#��&)$��22.

7 � 8 7 8 7 ` 8 7 8 7 ` 8H H H H H A B A B A B A B � 7<WW81)$ 7 ` 8H A B � D!"(� &- &�"�'!&�, A � (& ��/��&& )$9�"�&- &�"�'!&�, B � 7 ` 8H B A �D!"(� &-&�"�'!&�,B � (&��/��&&)$9�"�&-&�"�'!&�,A �

= < = <= < = <

<7 ` 8 gZP 7 ` 8 gZP ��� 7 ����� � ����� 8 gXU7 ����� ` ����� 8

k k

r rr r a b r r

H i P a a b br r P a a b b

A B a b � 7H==8

= < = <= < = <

<7 ` 8 gZP 7 ` 8 gZP ��� 7 ����� � ����� 8 gXU7 ����� ` ����� 8

k k

r rr r a b r r

H i P a a b br r P b b a a

B A b a � 7H=<8

�/- 7 � 8H A B � (,�$)/&��!$(,�$!�"��= 7 � 8 7 8 7 8H H H A B A B � 7H=H8

1)$ 7 � 8 7 8 7 8H H H A B A B (&!$+,�&�&2��"&&�"�'!&���A &B �

<=M

ЛЕКЦИЯ 13Передача информации по дискретному каналу. Определение количества информации, передаваемой по дискретному каналу с шумом. Скорость передачи информации и её верхняя граница – пропускная способность дискретного канала. Расчет пропускной способности различных видов дискретных каналов. Основная теорема оптимального кодирования для дискретного канала с шумом (теорема Шеннона). Основные принципы ее доказательства и практическое значение. Оптимальное кодирование в канале без шума.

Дискретный канал� &�.�,$"�-,/*,�&",2&!,�%�)$ = < <o � ����� pmx x x X ��6]L2�2m& �.%�)$ = < <o � ����� pMy y y Y � �6]L2�2 M � & ��/��!.2 (,� ($)$/$!&$2 �$(�-"!��"$97 ` 8P y x � 1)$ = < <7 � ����� 8nx x x x & = < <7 � ����� 8ny y y y � ��/$)��,"$/#!��"& �&2��/��� rx X �

ry Y ��,�3$2�3!�+,),"#���(��"# $($),'&�&2��/�� ��,!,/��$)&!&4��($2$!& �v ��дискретном канале без памяти �-�/$!&$ �'$($)!�1� �&2��/,!, �.%�)$ +,�&�&"

"�/#�� �" "�1�� �,��9 �&2��/ 6./ �),! !, �%�)� "�$� < =7 ` � ����� 8 7 ` 8r r r r rP y x x x P y x &<

=

7 ` 8 7 ` 8n

r rr

P P y x

y x � ��/& �,!,/ ",�3$ �",4&�!,(!.9� "� )/- $1� � &�,!&- )��","�'!�

+,),"#�)!�2$(!�$��/��!�$(,� ($)$/$!&$ 7 ` 8j iP y x �Примеры дискретных каналов1. m - ичный симметричный канал без памяти� ��"�(.9 +,),L"�- ��/��!.2&

�$(�-"!��"-2&

< � K7 ` 8 ?7 <8� Kj ip j iP y x p m j i

(& � =�<����� <i j m � 7H=A8

2. Двоичный симметричный канал без памяти

< � K7 ` 8 � Kj ip j iP y x p j i

(& � =�<i j � 7H=G8

3. Двоичный по входу канал со стираниемS

S

< � K7 ` 8 � HK

� Kj i

p p j iP y x p j

p j i

(& � =�<i j � 7H=�8

4. Двоичный канал с памятью (с зависимыми ошибками)7 ` 8 7 8P P y x e y x � 7H=I8

�.%�) �,!,/, 2�3!� (,��2,"(&�,"# �,� &�"�'!&� &!*�(2,4&&� �)!, ',�"# D"�9&!*�(2,4&& ��"� ,$"�"&�"�'!&�,&-�/-$"�- �/$+!�9',�"#0� ($)�",�/-05$9&!"$($� �/�',"$/0�,)(�1,-',�"#�!��&"�-�,2&2�,!,/�2&!$-�/-$"�- �/$+!�9)/- �/�',"$/-���/&'$�"�$!!�9 2$(�9 &!*�(2,4&&� ��"� ,05$9 �� �%�), �,!,/, !, �.%�)� -�/-$"�-�+,&2!,-&!*�(2,4&-�

Взаимная информация��/&'$�"�� &!*�(2,4&&� ��"�(�$ ��)$(3&"�- � !$��"�(�9 ��/$)��,"$/#!��"& y !,

�.%�)$�,!,/,� ��/$)��,"$/#!��"& x !,�%�)$�,!,/,7&/&!,�6�(�"8�(,�!�7 � 8 7 ` 8 7 ` 87 K 8 gXU gXU gXU7 8 7 8 7 8 7 8P P Pi

P P P P

x y x y y xx yx y x y

7H=M8

!,+.�,$"�-количеством взаимной информации��!,�)��/$"��(-$"�/$)�05&2условиям�<� ��/& �%�)& �.%�)!$+,�&�&2.$� "� 7 � 8 7 8 7 8P P Px y x y & 7 K 8 =i x y � ��$�!,6/0),-

��/$)��,"$/#!��"# y !, �.%�)$ �,!,/, !&'$1� !$/#+- ��,+,"# � �%�)!�9 ��/$)��,"$/#!��"&x �

H� ��/& ��/$)��,"$/#!��"# y x �"� 7 K 8 7 K 8 gXU <? 7 8 7 8i i P i x y x x x x �

<=@

�($)!$$ +!,'$!&$ �+,&2!�1� ��/&'$�"�, &!*�(2,4&& !,+.�,$"�- взаимной информацией�

< <

= =

7 � 87 � 8 gZP 7 K 8 gZP 7 � 8 gXU

7 8 7 8

r rm Mi j

i jr r i j i j

PI i P

r r P P

x yX Y x y x y

x y� 7H=@8

7 � 8 7 8 7 ` 8 7 8 7 ` 8 7 8 7 8 7 � 8I H H H H H H H X Y X X Y Y Y X X Y X Y � 7H=W8�/-�",4&�!,(!�1��,!,/,6$+ ,2-"& �+,&2!,-&!*�(2,4&-(,�!,7 (& <r 8�

< <

= =

7 � 87 � 8 7 � 8 gXU

7 8 7 8

m Mi j

i ji j i j

P x yI P x y

P x P y

X Y � 7H<=8

Свойства взаимной информации:<� 7 � 8 7 � 8I IX Y Y X 7���9�"���&22$"(&&8�H� = 7 � 8 7 8I H X Y X �

1)$ 7 � 8 =I X Y (&!$+,�&�&2��"&X &Y � 7 � 8 7 8I HX X X (& Y X �Пропускная способность дискретного каналаПропускная способность канала � ($)$/-$" 2,��&2,/#!�0 ��+2�3!�0 ���(��"#

$($),'& &!*�(2,4&& � �,!,/�� �!, !,%�)&"�- �,� 2,��&2�2 �+,&2!�9 &!*�(2,4&&7 � 8I X Y ���$��+2�3!.2(,� ($)$/$!&-2�%�)!.% ��/$)��,"$/#!��"$9�&2��/�� 7 8P x �

�&2� 7 8PQa 7 � 8

PC I

xX Y m6&"?�&2��/n 7H<<8

&/& � �&2� � 7 8PQa 7 � 8P

C v C v I x

X Y m6&"?�n� 7H<H8

>(� ���!,- � ���6!��"# +,�&�&" "�/#�� �" ���9�"� �,!,/,� �" �%�)!�1�& �.%�)!�1�,/*,�&", & +,),!!�1� ��/��!�1� (,� ($)$/$!&- �$(�-"!��"$9 7 ` 8P y x � >(� ���!,-� ���6!��"#!$+,�&�&"�"���9�"�&�"�'!&��� �)�/0',$2.%�$1��%�)��

Свойства пропускной способности�<� �&2� 7 8

PQa 7 8 7 ` 8P

C H H x

Y Y X �

H� �&2�= gXUC m �Пропускная способность!$��"�(.%2�)$/$9�,!,/���1. Симметричный канал без памяти�/-�&22$"(&'!�1��,!,/,6$+ ,2-"&

�&2� H H H7 8PQa 7 � 8 gXU gXU 7< 8 gXU 7< 8

<P

pC I m p p pm

x

X Y � 7H<A8

2. Двоичный симметричный канал без памяти>(� ���!�0� ���6!��"# )��&'!�1� �&22$"(&'!�1� �,!,/,2�3!�!,9"& �*�(2�/$

)/-�&22$"(&'!�1��,!,/, (& Hm ��&2� H H< gXU 7< 8 gXU 7< 8C p p p p � 7H<G8

�&�� HW� >(� ���!,-� ���6!��"#)��&'!�1��&22$"(&'!�1��,!,/,6$+ ,2-"&�

3. Двоичный по входу канал без памяти и со стиранием�/-)��&'!�1� ��%�)��,!,/,6$+ ,2-"&&���"&(,!&$2

�&2�C

p= =�H� =�� =�M� <

=

=�H�

=��

=�M�

<

<=W

�&2� S S SS

H7< 8 gXU 7< 8 gXU7< 8 gXU<

C p p p p p p pp

� 7H<�8

>(& S =p (� ���!,- � ���6!��"# �,!,/, �� �"&(,!&$2 ��� ,),$" � (� ���!�9� ���6!��"#0 )��&'!�1� �&22$"(&'!�1� �,!,/,� >(& =p 7� �,!,/$ !$" �E&6��8

�&2� S<C p �4. Двоичный канал с памятью (зависимые ошибки)>(� ���!�0� ���6!��"#�,!,/,�E�2�22�3!�!,9"& �*�(2�/$)/-�&22$"(&'!�1�

�,!,/, (& Hm � �&2� 7 8 7 8

PQa 7 � 8 PQa 7 8 7 8 < 7 8P P

C I H H H x x

X Y Y E E � 7H<I8

1)$E � &�"�'!&� ��/$)��,"$/#!��"&)��&'!.%�&2��/��E�2,�\!"(� &-&�"�'!&�,�E&6���)��/$"��(-$"!$(,�$!�"��

7 8 gXU 7< 8 gXU7< 8H p p p p E ��,�$!�"��)��"&1,$"�-���1),&�"�'!&�6$+ ,2-"&��/$)��,"$/#!��

�&2� < gXU 7< 8 gXU7< 8C p p p p � 7H<M8"�$� (� ���!,- � ���6!��"# �,!,/, � ,2-"#0 7� +,�&�&2.2& �E&6�,2&8 ($�.E,$" (� ���!�0� ���6!��"#)��&'!�1��,!,/,6$+ ,2-"&�

<<=

ЛЕКЦИЯ 14Количественное определение информации для непрерывных сообщений и каналов. Определение количества информации, передаваемой по непрерывному каналу с шумом. Пропускная способность непрерывного канала. Формула Шеннона. Основные факторы, ограничивающие потенциальные возможности передачи информации по реальным каналам. Теорема оптимального кодирования для непрерывного канала с шумом. Теоретико-информационная концепция криптозащиты сообщений в телекоммуникационных системах.

Источник непрерывных сообщений��"�'!&� !$ ($(.�!.% ���65$!&9 +,),L"�- (��"(,!�"��2 �.%�)!.% �&1!,/��

7 8s tS & 6$���!$'!�2$(!�9 /�"!��"#0 �$(�-"!��"& = < H = <7 8 7 � � ����� � ����8w w s s s t ts � ����"�$"�"�&&���"�(�9�&1!,/ 7 8s t &+D"�1� (��"(,!�"�, �-�/-$"�-!,�.%�)$&�"�'!&�,��(�1&2& �/��,2&� �&1!,/ 7 8s t !, �.%�)$ ",��1� &�"�'!&�, -�/-$"�- �)!�9 &+ ($,/&+,4&9�/�',9!�1� (�4$��, 7 8S t � ��$���9�"�,�/�',9!�1� (�4$��, 7 8S t (&2$!&2.�&�"�'!&��!$ ($(.�!.%���65$!&9�

�&�� A=� ��"�'!&�!$ ($(.�!.%���65$!&9�

�/-�)�6�"�,��),/#!$9E$2� (&2$2�'"��"�'L" 7 8k ks s t ���"�$"�"��$"21!��$!!�2�+!,'$!&0 7�$'$!&08 7 8k kS S t �/�',9!�1� (�4$��, 7 8S t � , ���2$�"!,- /�"!��"#�$(�-"!��"&7>�8�$'$!&9(,�!,

= < <� ����� = < < = < < = < <7 � ����� � � ����� 8 7 � ����� 8nS S S n n nw s s s t t t w s s s �

��"�'!&�стационарный�$�/&�/�',9!.9 (�4$�� 7 8S t !,$1��.%�)$�",4&�!,(!.9�"�$� /�"!��"#�$(�-"!��"&7>�8!$+,�&�&"�"�($2$!!�1��)�&1,�

= < < = < <7 � ����� 8 7 � ����� 8r r n r nw s s s w s s s (&/06.% r &n � 7H<@8Источник без памяти %,(,�"$(&+�$"�- "$2� '"� 21!��$!!.$ +!,'$!&- 7�$'$!&-8

�/�',9!�1� (�4$��, !, $1� �.%�)$ !$+,�&�&2.$ 7���2$�"!,- >� (,� ,),$"�- !, (�&+�$)$!&$>��")$/#!.%�$'$!&98�

<

= < <=

7 � ����� 8 7 8n

n ii

w s s s w s

� 7H<W8

Энтропия отсчётов непрерывного сигнала���2$�"!�0�$(�-"!��"# �"�'L"�� = < <7 � ����� 8ns s s s !$��"�(�9($,/&+,4&& �/�',9!�1�

(�4$��, 7 8S t 2�3!�!,9"& �"L2 ($)$/#!�1� $($%�), = < < = = = = < < < < < < < <=

= < < = < <= =

7 8 7 � ����� 8 gZP 7 K 8� 7 K 8����� 7 K 8

gZP 7 � ����� 8 ��� gZP 7 8 �n n n n n

n n

P P s s s P S s s s S s s s S s s s

w s s s s s s w

s

s s

s

s s

��1),=

7 8 gXU7<? 7 88 gZP gXU7<?7 7 8 88i P w

s

s s s s 6&" 7$�/& 7 8w s !$ � &�.�,$"

(,� ($)$/$!&$ �$(�-"!��"& )&��($"!�9 �/�',9!�9 �$/&'&!.8� �/$)��,"$/#!�� /06�9!$ ($(.�!.9�"�'L"�/�',9!�1��&1!,/,!$�L"��$6$6$���!$'!�$��/&'$�"��&!*�(2,4&&�

�,9)L2D!"(� &0 ��/$)��,"$/#!��"&!$ ($(.�!.%&��,!"��,!!.%�"�'L"���

= =

7 8 < < < < < < <7 8 gZP gZP ��� 7 8 gXU gZP ��� 7 8 gXU gZP ��� 7 8 gXU gXU 7 87 8 7 8 7 8n n n n

iH P w w wn n P n w n w

s ss S s S s S

sS s s s s s s ss s s s s

&/&=

<7 8 7 8 gZP gXUs

H hs

S S � 7HH=8

1)$ 7 8h S � дифференциальная энтропия ��/$)��,"$/#!��"&�"�'L"�� �&1!,/,�

7 8w s

= < H7 � � ����8 7 8s s s s t s S��"�'!&�S

<<<

< <7 8 gZP ��� 7 8 gXU7 8n

h w dn w

S s ss

�m6&"?�"�'L"n� 7HH<8

�"�(�$ �/,1,$2�$� 7HH<8 !$ +,�&�&" �" ���9�"� �&1!,/,�>�D"�2� )/- �.'&�/$!&-�($)!$1� ��/&'$�"�, &!*�(2,4&&� ��)$(3,5$1��- � �/�',9!.% �&1!,/,% &/& �/�',9!.% (�4$��,%��2$�"�D!"(� &&&� �/#+�0")&**$($!4&,/#!�0D!"(� &0�

��/&�&1!,/��",4&�!,(!.9�/�',9!.9 (�4$���� &�.�,$2.9n:2$(!�9 /�"!��"#0�$(�-"!��"&�"�

= < < = < <= < <

< <7 8 ��� 7 � ����� 8 gXU ���7 � ����� 8n n

n

h w s s s ds ds dsn w s s s

S � 7HHH8

��/&�"�'L".�&1!,/,$5L&!$+,�&�&2.$�"�<7 8 7 8 gXU7 8

h w s dsw s

S � 7HHA8

Свойства дифференциальной энтропии

H7 8 gXU H N Sh S � 7HHG8

�!,'$!&$ 7 8h S )��"&1,$"�- (& =� <� <�7 8 7 8 7 8 7 8 ��� 7 8i i i n iw s s s s s s s s s7���2$�"!,->�)&��($"!.%��8�

�!,'$!&$ H7 8 gXU H N Sh S )��"&1,$"�- (&!�(2,/#!�2(,� ($)$/$!&&�"�'L"��& (&��/��&&�'"��/�',9!.9 (�4$���",4&�!,(!.9�!$+,�&�&2.2&�"�'L",2&�&2$05&2&(,�!.$ )&� $(�&& H

S 7�",4&�!,(!.9 &�"�'!&� 6$+ ,2-"&8� �/- /06.% )(�1&% +,��!��(,� ($)$/$!&- �"�'L"��� &2$05&% "� 3$ )&� $(�&0� )&**$($!4&,/#!,- D!"(� &- ��$1),2$!#E$D"�1�+!,'$!&-�

�$9�"�&"$/#!�� (&H

H7 8H

H

<7 8 NH

S

S

s m

S

w s

�

H

H7 8 H HHH H

gXU N7 8 7 8 gXU gXU H 7 8 7 8 7 8H N HS

S

s m

S SS S

h w s ds w s ds s m w s ds

S

H HgXU H gXU N gXU H NS S �Передача информации по непрерывному каналуНепрерывный канал +,),L"�- (��"(,!�"��2 �%�)!.% 7 8s tS & �.%�)!.%

7 8z tZ !$ ($(.�!.% �/�',9!.% �&1!,/��� & +,),!!.2 ��/��!.2 (,� ($)$/$!&$2�$(�-"!��"& 7 ` 8w z s �1)$ z Z � s S �

Взаимная информация и пропускная способность�+,&2!,- &!*�(2,4&- 2$3)� �%�)�2 & �.%�)�2 &/& ��/&'$�"�� &!*�(2,4&&�

$($),�,$2�$ ��,!,/��2�3!��.(,+&"#",�3$'$($+)&**$($!4&,/#!�0D!"(� &0�7 � 8 7 8 7 ` 8 7 8 7 ` 8 7 8 7 ` 8 7 � 8�I H H h h h h I S Z S S Z S S Z Z Z S Z S 7HH�8

1)$��/��!.$)&**$($!4&,/#!.$D!"(� &&

< <7 ` 8 gZP ��� 7 � 8 gXU7 ` 8n

h w d dn w

Z S s z s zz s

& < <7 ` 8 gZP ��� 7 � 8 gXU7 ` 8n

h w d dn w

S Z s z s zs z

�

�,��&2�2 �+,&2!�9 &!*�(2,4&& � ��$��+2�3!.2 �%�)!.2(,� ($)$/$!&-2� ($)$/-$" (� ���!�0� ���6!��"#!$ ($(.�!�1��,!,/,�

�"�'� 7 8PQa 7 � 8

wC I

sS Z m6&"?�"�'L"n 7HHI8

&/& � �"�'� � 7 8PQa 7 � 8

wC v C v I

sS Z m6&"?�n� 7HHM8

<<H

Основная теорема Шеннона для канала с шумомТеорема.��/& (�&+��)&"$/#!��"#&�"�'!&�,2$!#E$ (� ���!�9� ���6!��"&�,!,/,

�$)&!&4��($2$!&� 7 8H C A �"� (&/06�2 = ��5$�"��$"",��9� ���6��)&(��,!&-&)$��)&(��,!&-� 2�)�/-4&& & )$2�)�/-4&&� (& ��"�(�2 ���65$!&- 6�)�" $($),�,"#�- �/�',"$/0 � �$(�-"!��"#0 �E&6�& �)!�1� 6&", &!*�(2,4&& bp &� � �($)!$2� 6$+(,�"�5&%+,)$(3$����($2$!&�

��/& 7 8H C A �"�",��1�� ���6,��)&(��,!&-&)$��)&(��,!&-!$��5$�"��$"�>(� ���!,- � ���6!��"# � ($)$/-$" 2,��&2,/#!� ��+2�3!�0 ���(��"# $($),'&

&!*�(2,4&& � �,!,/� без потери информации� ��/& �"$(& &!*�(2,4&& !$"� "��&� �/#+�- �/�3!.$� !� D**$�"&�!.$� �%$2. ��)&(��,!&- & )$��)&(��,!&-� 2�3!��6$� $'&"#безошибочную $($),'�7 =bp 8&!*�(2,4&& ��,!,/���$�($2,c$!!�!,�D"� "$�($"&'$���$ )��,+,"$/#�"�� ��5$�"���,!&- ��)��� ��"�(.$ �+��/-0" �/�'E&"#�,'$�"����-+&&�!&+&"#"($6�$2�$�"!�E$!&$�&1!,/:E�2�

Расчёт пропускной способности канала с заданной полосой частот и АБГШ�/�',9!.9 �&1!,/ 7 8S t & E�2 7 8N t !, �.%�)$ �,!,/, ��-+,!. +,�&�&2��"#0

7 8 7 8 7 8Z t S t N t �>����/#�� 7 8N t &2$$"!�(2,/#!�$71,��������$8(,� ($)$/$!&$� 7 8 =N t &)&� $(�&$9 H

N �"�H7 ` 8 7 8 gXU H N Nh h Z S N

& H�"�'� 7 8

PQa 7 8 gXU H N NwC h

sZ �

�,��&2,/#!�$ +!,'$!&$ H7 8 gXU H N Zh Z )��"&1,$"�- (& !�(2,/#!��"& &!$+,�&�&2��"& �/�',9!.% �"�'L"�� 7 8Z t � �/- �. �/!$!&- D"�1� ��/��&- �"�'L". 7 8S t)�/3!.6."#!$+,�&�&2.2&&!�(2,/#!.2&�

��/&�"�'L". 7 8S t & 7 8N t �!$+,�&�&2.$�"�)&� $(�&- 7 8Z t (,�!, H H HZ S N �

�/$)��,"$/#!��H

S�"�'� H

E

< <gXU < gXU <H H

S

N

PCP

� 7HH@8

� �,!,/$ � E&(&!�9 �/��. ',�"�" F 7 �/��, (� ���,!&-8 !$+,�&�&2.$ �"�'L".�&1!,/, 7 8S t 2�3!� $($),�,"# � 2,��&2,/#!�9 ���(��"#0 � Hv F � $�/& !, $($),'$ &% ($)�,(&"$/#!� (� ��"&"#'$($+&)$,/#!.9F�;�',�"�"�9�($+, �(f F �

��1),� (� ���!,-� ���6!��"#!$ ($(.�!�1��,!,/,�$)&!&4��($2$!&(,�!,S

HE

gXU < PC FP

m6&"?�n� 7HHW8

\"� *�(2�/� !,+.�,0" формулой Шеннона )/- (� ���!�9 � ���6!��"&!$ ($(.�!�1��,!,/,��bBc� +,),!!�9 �/���9',�"�"&�($)!$92�5!��"#0�&1!,/,!, $($),'$�

>(� ���!,- � ���6!��"# !$ ($(.�!�1� �,!,/, (,�"L" /&6� (& ��$/&'$!&& �($)!$92�5!��"&�&1!,/,�/&6� (&(,�E&($!&& �/��. (� ���,!&-�,!,/,�

� $(��2�/�',$� (&*&��&(��,!!.% F & EP �(��"�&/#!�+,2$)/-$"�-*�!�4&$9 gXU ����"�(�2�/�',$� (&F �

S S SH H H

E = =

gZP gXU < gXU gZP < gXU NF F

F F

P P PCP N F N

m6&"?�n� 7HA=8

�,3$ (& !$�1(,!&'$!!�2 (,�E&($!&& �/��. (� ���,!&- �,!,/,� (� ���!,-

� ���6!��"#&2$$"��!$'!�$+!,'$!&$(,�!�$ SH

=

gXU NPCN m6&"?�n�

<<A

>(� ���!�0 � ���6!��"# � $)&!&4� �($2$!& 2�3!� �.(,+&"# '$($+ среднееотношение сигнал-шум H

bh � ��"�(�$ (&%�)&"�- !, 6&" &!*�(2,4&&� ��/& )/- $($),'&&!*�(2,4&& ��,!,/������(��"#0 & <? bR C T 6&"?�+,"(,'&�,$"�-�($)!--2�5!��"# SP �"� D!$(1&0�&1!,/, < 6&", &!*�(2,4&& 2�3!� !,9"& � *�(2�/$ S S ?b bE P T P С �>�D"�2�

HH H

=

gXU < gXU <bb

EC CC F F hF N F

� 7HA<8

�"��),?

H H <?

C F

bhC F

� граница Шеннона� 7HAH8

;"�6. )��"&'# ���(��"& 6$+�E&6�'!�9 $($),'& &!*�(2,4&&S = H7 ? 8 gXU NC P N 6&"?�� "($6�$"�- �,� 2&!&2�2 H g[ H =�IWA <�I )bbh 7D"� ($)$/

7HAH8 (& F 8� �!,'$!&$ H <�I )bbh !,+.�,$"�-пределом Шеннона� >(& +!,'$!&-%H <�I )bbh ���5$�"�&"#6$+�E&6�'!�0 $($),'�&!*�(2,4&&76$+ �"$(&&!*�(2,4&&8 �

�,!,/���bBc!$��+2�3!��Пример� ��/& �,!,/ &2$$" !$�1(,!&'$!!�0 �/��� (� ���,!&- 7 F 8� "� (&

� "&2,/#!�2 ��1$($!"!�2 (&L2$ �&1!,/�� F�:H � �&�"$2$ 6$+ ��)&(��,!&- )/-)��"&3$!&- �<=bp "($6�$"�- H W�Ibh )b���1/,�!�"$�($2$c$!!�!,D"�+!,'$!&$2�3!��2$!#E&"#!,<<�H)b�$�/&&� �/#+��,"#6�/$$�/�3!.$�%$2.��)&(��,!&-&2�)�/-4&&�����($2$!!.% �&�"$2,% �/�'E$!&$ �'"& !, <= )b �),/��# �/�'&"# (& &� �/#+��,!&&"�(6�:��)���

��/& F &2$$" ��!$'!�$ +!,'$!&$� "� !&3!-- 1(,!&4, Hbh )/- ($,/&+�$2.% �&�"$2

��$/&'&�,$"�-��/-"�93$F�:H2,��&2,/#!�$+!,'$!&$�"!�E$!&- ?C F (,�!�H&!&3!--1(,!&4, H <�MIbh )b��/-)��"&3$!&- �<=bp ��&�"$2$6$+��)&(��,!&-�F�:H"($6�$"�-W�I )b� ��/& !$ 2$!-"# �&) 2�)�/-4&&� "� ��1/,�!� "$�($2$ c$!!�!, )/- �2$!#E$!&-"($6�$2�1� �"!�E$!&- �&1!,/:E�2 !, 6&" )� �$/&'&!. H <�MIbh )b !$�6%�)&2�&� �/#+��,"# ��)&(��,!&$� >(& D"�2 �,2.9 /�'E&9 ��) � ���6$! �2$!#E&"# "($6�$2�$+!,'$!&$ H

bh !,M�@G)b��/-�(,�!$!&-(,+!.%�&�"$2 $($),'& (&+,),!!�9�$(�-"!��"&�E&6�& bp ��,3)�0

�&�"$2��"2$',0""�'��9!,1(,*&�$+,�&�&2��"&�"!�E$!&- & ?R F �" Hbh �1)$ & PQa 7 8R H A

7�'&",$"�-� '"� &�"�'!&� 6$+ &+6."�'!��"&8� ��'E$9 �'&",$"�- ", �&�"$2,� ��"�(,- (&+,),!!�9 bp 6/&3$��$%(,� �/�3$!,�1(,!&4$c$!!�!,�

�&�� A<� �,�&�&2��"#!�(2&(��,!!�97� �/��$',�"�"8���(��"& $($),'&&!*�(2,4&&�"�"!�E$!&-�&1!,/:E�2!,6&")/-�,!,/,��bBc7�/�1,(&*2&'$���2&/&!$9!�22,�E",6,%8�

<= � = � <= <� H= H� A= A� G==

H

G

I

@

<=<H

<G

<I

<@

H=& ? �6&"?�?B4

R F

H � )bbh

F�:H

�<=bp

(&&R C

�$,/&+�$2.$�&�"$2.��-+&

�$($,/&+�$2.$�&�"$2.��-+&

<�I= <= H= A= G= �=

=�=<

=�<

<

<=

<==

H � )bbh

& ? �6&"?�?B4

R F

<�I

�$($,/&+�$2.$�&�"$2.��-+&

�$,/&+�$2.$�&�"$2.��-+&

(&&R C

�<=bp

F�:H

<<G

�"!�E$!&$ & ?F R F m6&"?�?B4n !,+.�,0" частотной или спектральной эффективностью системы передачи��/-D**$�"&�!.% �',�"�"$�&�"$2 $($),'& <F �

b/,1�),(- (,+(,6�"�$ 6�/$$ � / � 3 ! . % �&�"$2 2�)�/-4&&?)$2�)�/-4&&���)&(��,!&-?)$��)&(��,!&-� ��"(,!-05&$ &+6."�'!��"# &�"�'!&�,� �6!,(�3&�,05&$ &&� (,�/-05&$�E&6�&����65$!&-%����(��"# $($),'&&!*�(2,4&&���($2$!!.%2�)$2��)/-"$/$*�!!.%/&!&9� /�"!�0 (&6/&+&/,�#����(��"&�I �6&"?��

115

ЛЕКЦИЯ 15ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ.Задачи, цели и методы кодирования сообщений в системах связи. Классификация кодов. Избыточность, ее положительные и отрицательные стороны, возможности использования для обнаружения и исправления ошибок. Принципы экономного кодирования в каналах без шума. Коды Хаффмана и Шеннона–Фано.

Задача и цель кодирования. Кодирование используется для согласования источника сообщения с каналом с целью обеспечения более эффективной передачи информации.

Устройство, выполняющее операцию кодирования, называют кодером. Пусть на вход кодера поступают последовательности -позиционныхM символов длины k , называемые информационными комбинациями (словами), а на выходе кодер выдаёт последовательности -позиционныхm символов длины n , называемые кодовыми комбинациями (словами), m – основание кода, n – длина кода. При 2m код является двоичным кодом.

Рис. 1.

Код – это совокупность всех кодовых комбинаций { }iC c , где к.к0,1,..., 1i N .Кодирование можно определить как однозначное отображение информационных

комбинаций в кодовые комбинации. Декодирование – это обратное преобразование по отношению к кодированию. Его выполняет декодер.

При однозначном кодировании из общего числа общnN m всевозможных комбинаций

длины n кодер использует только к.кkN M комбинаций, которые называются кодовыми

комбинациями или разрешёнными комбинациями кода. Тогда число n km Mкомбинаций являются запрещёнными комбинациями кода (они не принадлежат коду).Такое кодирование является кодированием без потери информации. При кодировании с потерей информации число кодовых комбинаций к.к

kN M , т.е. часть информационных комбинаций, вероятность которых не равна нулю, не используется и они отбрасываются.

Равномерный и неравномерный код. Если n const , то такой код является равномерным кодом (постоянной длины). Если кодовые комбинации имеют разную длину, то код – неравномерный. Неравномерный код характеризуется средней длиной nкодовых комбинаций.

Классификация кодовКодирование

Примитивное Экономное Помехоустойчивое

Префиксные коды

Код Хаффмана

Код Шеннона–

Фано

другие

Укрупнение алфавита

Линейные коды Нелинейные коды

Блочные Непрерывные

Полиномиальные

Циклические

Код Хэмминга Код БЧХ Код Рида–Соломона

Каскадные Турбо-коды

Решётчатые

другие

Защитное(шифрование)

Свёрточные

КодерC

k n

mM0 1 1( , ,..., )nc c c c0 1 1( , ,..., )kb b b b

Пространство информационных

комбинаций

Пространство всехкомбинаций длины n

к.кN

общnN m

кодовые комбинации

(разрешённые)

запрещённые комбинации

информационные комбинации

общ к.кN Nи.кkN M

116

Скорость кода: 2c

2

loglog

MkRn m

, c11

R

C

A

. (1)

Избыточность кода: c1 R , 1

C A

A

. (2)

При 0 – код экономный, устраняющий избыточность.При 0 – код примитивный.При 0 – код помехоустойчивый или с избыточностью.Примитивное кодирование. При примитивном кодировании число кодовых

комбинаций равно общему числу комбинаций, к.к общN N или k nM m . Примитивное кодирование используется для согласования алфавитов различных устройств. Например, для передачи текстовых сообщений посредством двоичных символов можно использовать код ASCII ( 7n ). В этом коде каждая буква заменяется последовательностью двоичных символов длины 7n . Общее число символов, которое можно закодировать этим кодом, равно 7

к.к 2 2 128nN . В компьютерах широко используется также расширенный ASCIIкод длины 8n .

Существует способы кодирования, при которых кодированию подвергаются не символы, а их порядковые номера в общей последовательности символов. Меняются не сами символы, а их положение в последовательности. Такое кодирование называется перемежением символов. На приёмной стороне выполняется операция деперемежения или восстановления порядка следования символов. Перемежение используется для борьбы с пакетами ошибок (после деперемежения пакеты ошибок преобразуются в одиночные ошибки).

Для устойчивой работы систем синхронизации используют скремблеры на передаче и дескремблеры на приёме. Скремблеры – это устройства, добавляющие известную псевдослучайную последовательность символов к последовательности передаваемых символов (для двоичных символов используется сложение по модулю 2). Они используются для устранения длинных последовательностей нулей или единиц, по которым сложно выделить тактовую частоту, задающую работу опорных генераторов приёмника.

Помехоустойчивое кодирование. При помехоустойчивом кодировании к информационным символам добавляют дополнительные проверочные символы. Такие коды позволяют обнаруживать и/или исправлять ошибки в кодовых комбинациях, поэтому их ещё называют кодами, исправляющими ошибки или корректирующими кодами.

Линейные и нелинейные коды. Если операция кодирования линейная, то и код является линейным. Кодовые комбинации линейного кода линейно-зависимые, т.е. сумма любых двух кодовых комбинаций есть снова кодовая комбинация. Иначе код нелинейный.

Блочные и непрерывные коды. При блочном кодировании последовательность информационных символов делится на блоки по k символов, которые называютсяинформационными комбинациями, каждая из которых кодируется в кодовую комбинацию длины n . Блочные коды с длиной кодовых комбинаций n , используемых для кодирования информационных комбинаций длины k , обозначают записью ( , )n k . При непрерывном кодировании вся последовательность информационных символов рассматривается как информационная комбинация, которая кодируется в кодовую комбинацию (пример: свёрточный код).

Полиномиальные коды задаются полиномом ( )g x заданной степени, который называют порождающим полиномом. При кодировании информационная комбинация представляется в виде полинома ( )b x с коэффициентами равными информационным символам. Кодовая комбинация на выходе такого кодера получается в результате перемножения ( ) ( ) ( )c x g x b x .

117

Циклические коды. Если кодовая комбинация ( ) ( ) ( ) mod( 1)nc x g x b x x , то такой код называют циклическим кодом. Для циклического кода характерно то, что циклический сдвиг любой кодовой комбинации также является кодовой комбинацией. Пример: коды Хэмминга, БЧХ, Рида–Соломона.

Каскадные коды и турбо-коды. Для повышения эффективности кодирования можно использовать либо мощные коды, либо каскадную схему кодирования. При каскадном кодировании информационные комбинации сперва кодируются одним кодом, который называют внешним кодом, а затем полученные кодовые комбинации кодируются другим кодом или внутренним кодом. Обычно внешний код выбирают таким образом, чтобы он как можно лучше исправлял ошибки внутреннего кода. Например, в качестве внешнего может быть использован код Рида–Соломона, исправляющий пакеты ошибок, а в качестве внутреннего – свёрточный код. За счёт использования в каскадном кодировании более простых кодов, операции кодирования и декодирования выполняются значительно проще, чем при использовании одного мощного кода.

Турбо-коды, впервые предложенные в 1992 г, также как и каскадные коды состоят из нескольких более простых кодов. Эти коды используются для кодирования одной и той же последовательности информационных символов (информационных комбинаций), причём, кодовые символы дополнительно перемешиваются друг с другом (перемежение символов). Такая схема кодирования позволяет при декодировании применить итерационные алгоритмыдекодирования, в которых решение об очередном символе выносится не сразу, а после нескольких итераций. Сам процесс декодирования напоминает разгадывание слов в кроссворде. Сначала уточняются кодовые символы одного кода, а затем, поскольку кодовые символы различных кодов из-за перемежения зависят друг от друга, уточняются кодовые символы остальных кодов. На каждой итерации верность декодируемых символов растёт. Схемы турбо-кодирования и декодирования позволяют существенно улучшить качество связи. Выигрыш от кодирования существующих турбо-кодов составляет порядка 10 дБ. В качестве простых кодов турбо-кода могут быть использованы свёрточные коды, коды Рида–Соломона и др.

Экономное кодирование. При экономном кодировании из информационных комбинаций устраняется избыточность, т.е. они представляются более короткими кодовыми комбинациями. При этом происходит сжатие данных. Сжатие бывает без потери информации и с потерей информации. В последнем случае число кодовых комбинаций

к.кkN M и при декодировании сообщение восстанавливается не полностью, а приближённо,

с некоторой заданной точностью. При этом достигается большая степень сжатия. Например,кодирование кодом Хаффмана, арифметическое кодирование, кодирование в формате rar, zipявляются кодированием без потери информации и хорошо подходят для сжатия данных, jpegиспользуется для сжатия неподвижных изображений (бывает без потери и с потерей информации), mpeg – для видеоизображений, mp3 – музыки.

Защитное кодирование или шифрование. Экономное кодирование в сочетании с примитивным кодированием даёт защитное кодирование или шифрование, которое защищает и предотвращает несанкционированный доступ к информации посторонним лицам. Защитное кодирование используется для защиты военной, частной и коммерческой тайны. При шифровании, обычно из сообщений источника устраняется избыточность, а затем выбирается примитивный код заданной длины n , известный доверенным лицам, которым кодируются сжатые сообщения. Восстановить зашифрованное сообщение можно, если известно, какой примитивный код использовался для шифрования. Чтобы противник не смог каким-либо способом определить код, длину кода n выбирают как можно большой, поскольку с ростом n вероятность подбора используемого кода убывает по экспоненциальному закону. Экономное кодирование, устраняющее избыточность из сообщений, уменьшает не только размер сообщения, но и шансы для подбора кода.

118

Современные системы шифрования используют стандарты шифрования AES, CAST, TripleDES и др. Для шифрования файлов и электронной почты с возможностями цифровой электронной подписи широко используется система шифрования PGP.

Экономное кодирование без потери информацииИсточник дискретных сообщений с алфавитом 0 1 1{ , ,..., }Ma a a A выдаёт на своём

выходе последовательности символов 0, 1, 1,( , ,..., )i i i k ia a a a длины k с заданным

распределением вероятностей ( )iP a , где 0,1,..., 1ki M , ,r ia A . Кодер кодирует эти последовательности символов в кодовые комбинации 0, 1, 1,( , ,..., )

ii i i n ic c c c различной длины

in , состоящие из кодовых символов , 0 1 1{ , ,..., }r i mc c c c C , m – объём алфавита кодовых символов.

Рис. 2. Структурная схема кодирования сообщений источника.

Теорема кодирования Шеннона для дискретного источника (1948 г.)Теорема 2. Существует такой способ кодирования источника дискретных сообщений

без потери информации, при котором среднюю длину последовательности кодовых символов, приходящуюся на один символ источника, можно сделать равной

( )log

n Hk m

A ( 0 ), (3)

причём ( )limlogk

n Hk m

A , (4)

где – сколь угодно малая величина.

Способа кодирования без потери информации, при котором ( )log

n Hk m

A , не существует.

Энтропию источника и кодера можно найти по формулам

1 2( ) lim ( , ,..., )rrH i

k r

A a a a , (5)

1 2( ) lim ( , ,..., )rrH i

n r

C c c c . (6)

При однозначном кодировании (без потери информации) 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )r rP Pc c c a a a ,

а число кодовых комбинаций к.кkN M . Тогда при r 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )r ri ic c c a a a и

( ) ( )kH Hn

C A . (7)

Средняя длина кодовой комбинации равнак.к 11 1

, ,0 0 0

1 1lim lim ( )Nr r

k k i k ir rk k in n P n

r r

c . (8)

Для стационарного источникак.к 1 1

0 0( ) ( )

kN M

i i i ii i

n P n P n

c a . (9)

Если рассматривать объединение источника с кодером как новый источник, то задачей кодера является максимизация энтропии ( )H C на его выходе, потому что при этом избыточность объединённого источника будет минимальной. При заданном значении kмаксимизировать ( )H C можно только путём минимизации средней длины кодовых комбинаций n .

ИсточникА

КодерС

k in

mM0 0

2log M 1

( )H A

A

0 0

2log m 1( )H C C

символ

источника

кодовый

символia ic

119

Кодирование будет устранять избыточность, если

C A , 2 2

( ) ( )log logH H

m M

C A . (10)

Используя (4) и (7) в этом неравенстве, получим условие для скорости практически реализуемого экономного кода:

2c

log1( )

MRH

A

, (11)

где cR – скорость кода или коэффициент сжатия сообщений (данных), которая равна

2c

2

1 log1 log

MkRn m

C

A

. (12)

Если в результате кодирования будет получено значение c 1R , то кодер будет уменьшать избыточность или сжимать сообщения источника (но не информации).

Оценить, насколько экономный код близок к предельному значению, указываемому формулой Шеннона (4), можно с помощью эффективности экономного кодирования

1

C

CA

. (13)

Эффективность кодирования изменяется в пределах0 1 C . (14)

Для идеального экономного кода 0 C и 1 C .Для примитивного кода C A и 0 C .Причины избыточности. Согласно теории информации избыточность источника

дискретных сообщений обусловлена двумя причинами:1) неравновероятностью символов источника;2) памятью источника, при которой символы на его выходе являются статистически

зависимыми.Идея кодирования заключается в следующем. Наиболее вероятные комбинации

символов ia нужно кодировать короткими кодовыми комбинациями, а редко появляющиеся комбинации кодировать более длинными кодовыми комбинациями (кодирование спеременной длиной кодовых комбинаций).

Для более эффективного кодирования (устранения избыточности) следует кодировать более длинные информационные комбинаций ( 1k ), т.к. согласно теореме Шеннона при k величина 0 . Однако при больших k кодирование сильно усложняется.

При 1k число кодируемых комбинации источника становится равным kM и для каждой такой комбинации необходимо рассчитать её вероятность появления. Переход к алфавиту с большим числом символов, путём увеличения k , называют методомукрупнения алфавита, потому что вновь полученные информационные комбинации можно рассматривать как укрупнённые символы источника.

Для однозначности декодирования кодовые комбинации должны удовлетворять условию префиксности, при котором любая кодовая комбинация не должна быть началом другой кодовой комбинации. Например, если 0 0a , 1 1a , 2 10a , то после приёма последовательности 10c нельзя однозначно определить, какой символ был передан. Такой код не является префиксным. Если 0 0a , 1 10a , 2 11a , то можно составить таблицу однозначного декодирования: 0 000 ,a a , 110 a , 211 a . Такой код является префиксным.

Оптимальный экономный код. Оптимальным экономным кодом является такой код, который при заданном k минимизирует n .

Этому условию удовлетворяет -ичныйm код Хаффмана (Huffman D.A., 1952).

120

Алгоритм экономного кодирования кодом Хаффмана:

1. Символы источника выписываются в порядке убывания их вероятностей. Если число символов источника M m не кратно m , то алфавит дополняют до кратности новыми символами с вероятностью равной 0.

2. Выбираются m символов с наименьшими вероятностями. От каждого из них вправо рисуются ветви, на которых произвольно отмечаются кодовые символы от 0 до

1m .3. Эти символы объединяются в один укрупнённый символ с вероятностью равной их

сумме вероятностей.4. Повторяем п.2 и 3, пока не закончатся все символы.5. Справа налево по дереву выписываются последовательности кодовых символов,

соответствующие исходным символам источника.6. Кодирование исходного сообщения полученным кодом.Пример. Для текста на русском языке ( ) 1,5H A бит/символ. Для удобства примем,

что объём алфавита 32M буквы. Закодируем каждый символ источника (длина 1k ) примитивным двоичным ( 2m ) кодом. Для этого длина кодовых комбинаций должна быть равна 2 2log log 32 5M дв.символов. Тогда / 5n k код.символов/символ источника.

Согласно теореме кодирования Шеннона для дискретного источника существует оптимальный двоичный код, с помощью которого каждую букву источника можно

закодировать в среднем 2

( ) 1,5 1,5log 1

n Hk m

A дв.символов/символ источника.

Следовательно, закодированный таким экономным кодом текст будет в 5/1,5 3,3 раза короче, чем при примитивном кодировании.

121

Пример 1. Имеется стационарный источник без памяти с алфавитом из 6M символов. Для кодирования используем код Хаффмана с параметрами: длина информационных (кодируемых) последовательностей источника 1k (кодируются символы), основание кода 2m (кодовые символы двоичные).

Исходные данные и построение кодового дерева представлены в таблице 1.Таблица 1. Таблица кодирования двоичным кодом Хаффмана.

i ia A ( )iP a Кодовое дерево ic in0 0a 0,4 0 11 1a 0,3 10 22 2a 0,1 1100 43 3a 0,08 1101 44 4a 0,07 1110 45 5a 0,05 1111 4

Рассчитаем энтропию и избыточность источника:1

20

1( ) ( ) log 2,158( )

M

ii i

H P aP a

A [бит/символ источника].

2

( ) 2,1581 1 0,165 16,5%log 2,585H

M A

A .

Средняя длина полученных после кодирования кодовых комбинаций равна1

0( ) 2, 2

M

i ii

n P a n

[кодовых символа].

Рассчитаем энтропию и избыточность кодера:1( ) ( ) 2,158 0,981

2,2kH Hn

C A [бит/кодовый символ].

2

( ) 0,9811 1 0,019 1,9%log 1H

m C

C .

Скорость кода или коэффициент сжатия 2c

2

log 1,17log

MkRn m

раза.

Эффективность кодирования этого кода равна0,0191 1 0,88 88%0,165

C

CA

.

Существует ещё 12% остаточной избыточности, которую можно устранить, если для кодирования, согласно теореме Шеннона, выбрать большие значения k . В следующем примере будет рассмотрен случай, когда для повышения эффективности кодирования делается переход от использования комбинаций длины 1k к 2k .

Примечание. Если бы для кодирования использовался двоичный код, то минимальная длина кодовых комбинаций была бы равной 2log 3n M (двоичных) кодовых символа. Отметим, что этот код не примитивный, а избыточный или помехоустойчивый, поскольку

3к.к общ5 2 8nN N m . Использование кода Хаффмана для кодирования символов этого

двоичного кода позволило бы сжимать сообщения с коэффициентом c / 3 / 2,2 1,36R n n

раза. Это значение превышает c 1,17R , потому что данный двоичный код внёс дополнительную избыточность в символы на своём выходе – для кодирования любого символа источника используются более длинные кодовые символы (3 двоичных символа вместо 2 2log log 6 2,585M двоичных символов).

0,12 1

0,18 0

0,3 1

0,6 1

1

0

1

0

1

0

0

122

Пример 2. Имеется источник без памяти с 2M (таблица 2). Используем двоичный ( 2m ) код Хаффмана для кодирования комбинаций символов источника длины 1k .

Таблица 2. Таблица кодирования двоичным кодом Хаффмана при 1k .i ia A ( )iP a Кодовое дерево ic in0 0a 0,85 0 11 1a 0,15 1 1

Энтропия этого источника равна ( ) 0,61H A бит/(символ источника), а избыточность

2

( ) 0,611 1 0,39 39%log 1H

M A

A .

Для этого кода средняя длина кодовой комбинации 1n кодовый символ, избыточность 39% С A и коэффициент сжатия c 1R , т.е. сжатия не происходит, а полученный код является примитивным двоичным кодом.

Эффективность кодирования данного кода равна 1 0

C

CA

.

Согласно теореме Шеннона, чтобы повысить эффективность кодирования, необходимо увеличивать k . Выберем 2k ( 2 4kM ) и снова используем двоичный код Хаффмана.

Поскольку источник без памяти, то вероятность появления на его выходе различных последовательностей длины 2 можно рассчитать по формуле 1 2 1 2( , ) ( ) ( )P a a P a P a .Исходные данные и результат кодирования представлены в таблице 3.

Таблица 3. Таблица кодирования двоичным кодом Хаффмана при 2k .i ( , )i ja aa ( , )i jP a a Кодовое дерево ic in0 ( 0 0,a a ) 0,7225 0 11 ( 0 1,a a ) 0,1275 10 22 ( 1 0,a a ) 0,1275 110 33 ( 1 1,a a ) 0,0225 111 3

Для этого кода средняя длина кодовой комбинации равна1

0( ) 1 0,7225 2 0,1275 3 0,1275 3 0,0225 1, 4275

M

i ii

n P n

a [кодовых символов]

и 2

2

log 2 1, 4log 1, 4275

MkRn m

раза.

Избыточность вновь полученного кода равна

2 2

( ) ( ) 2 0,611 1 1 0,145 14,5%log log 1,4275 1H k H

m n m C

C A .

Эффективность кодирования данного кода достигает0,1451 1 0,628 62,8%0,39

C

CA

.

Следовательно, увеличив длину информационных комбинаций от 1k до 2k , удалось повысить эффективность кодирования на 62,8%. Большей эффективности кодирования можно добиться, если выбрать длину информационных комбинаций 3k и более. Только в дальнейшем с увеличением k рост её будет значительно медленной.

0,15 1

1

0,2775 1

0

0

0

1

1 0

1

123

Кроме кода Хаффмана существует множество других экономных кодов, например,экономный код Шеннона–Фано (1950). Считается, что он менее эффективный, но проще в реализации (не нужно строить кодовое дерево). При кодировании этим кодом все символы записываются в порядке убывания их вероятностей. Затем они делятся на m укрупнённых символов с приблизительно равными вероятностями. Каждому вновь полученному укрупнённому символу приписывается новый кодовый символ. Далее то же самое проделывается с каждым укрупнённым символом в отдельности.

Трудности практической реализации кодов Хаффмана и Шеннона–ФаноДля составления кодовых комбинаций необходимо знать априорную вероятность

информационных комбинаций или укрупнённых символов источника ( )iP a . Априорные вероятности можно оценить, если перед кодированием сохранить в буфере памяти переданное сообщение и рассчитать частость появления каждой информационной комбинации в сообщении. Частость – это оценка вероятности появления. Частость информационных комбинаций определяется по формуле общ

ˆ( ) /i iP N Na , где iN – число появлений комбинации ia в сообщении, общN – общее число комбинаций входящих всообщение. Согласно теории вероятности

общобщ( ) lim /i iN

P N N

a .

Следовательно, при кодировании необходимо: 1) задерживать целиком всё сообщение в буфере памяти; 2) рассчитывать оценки априорных вероятностей информационных комбинаций; 3) выполнить кодирование информационных комбинаций; 4) закодировать целиком всё сообщение; 5) к закодированному сообщению нужно добавить таблицу кодирования, по которой получатель смог бы правильно декодировать сообщение.

При практической реализации осуществить все этапы кодирования достаточно сложно. Поэтому используют субоптимальные способы кодирования, которые близки к оптимальным, но проще в реализации. Среди них можно выделить способы кодирования, в которых 1) используется заранее заданное распределение вероятностей информационных комбинаций, по которому формируются кодовые комбинации префиксного кода; 2) кодовые комбинации префиксного кода формируются по мере поступления данных в кодер.

В первом случае полученный код хорошо подходит для сжатия одних сообщений или данных, но плохо подходит для других. Во втором случае не учитывается распределение вероятностей символов. Второй способ кодирования используется для построения кодов, объединённых под общим названием ZIP коды. Основной вариант ZIP кода – код Лемпела–Зива (Lempel-Ziv) и различные его модификации используются в коммерческих программах сжатия (ZIP, GZIP, PKARC и др.).

Недостаток экономного кодированияОсновным недостатком экономного кодирования является его слабая защищённость от

ошибок. Из-за устранения избыточности даже одиночная ошибка искажает сообщение так, что его невозможно полностью восстановить.

124

ЛЕКЦИЯ 16Помехоустойчивое кодирование в каналах с шумом. Общие принципы обнаружения и исправления ошибок с помощью избыточных кодов по минимуму хэммингова расстояния. Оценки исправляющей и обнаруживающей способности блочного кода (кратности ошибок) по его минимальному хэммингову расстоянию. Оценки вероятностей ошибочного декодирования. Основные виды помехоустойчивых кодов. Системы декодирования с обратной связью.

Теорема Шеннона для непрерывного канала с шумом утверждает, что если производительность источника информации меньше пропускной способности канала

( )H C A , то существуют способы кодирования и декодирования, при которых bp можно сделать сколь угодно малой. Выбор одного из таких способов кодирования позволил бы передавать информацию по каналу фактически без ошибок.

Таким способом кодирования является помехоустойчивое кодирование. При помехоустойчивом кодировании в передаваемые данные вводят дополнительные или избыточные символы, которые называются проверочными символами. Проверочные символы используются для обнаружения и исправления ошибок в кодовых комбинациях.

При помехоустойчивом кодировании обычно m M и

c 1kRn

. (15)

Блочные кодыКодовые комбинации блочного кода имеют постоянную и конечную длину n . Каждой

кодовой комбинации соответствует определённая информационная комбинация длины k . Блочный код обозначается ( , )n k .

Для построения кода необходимо из всех nm комбинаций выбрать km кодовых комбинаций. Такое отображение выполняет кодер.

Пример: 4n , 2k , 2m :

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 10 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 – всевозможные комбинации1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 длины 41 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 – кодовые комбинации

Конечное поле символовВ кодировании символы комбинаций рассматриваются как элементы некоторого поля.

Поле – это набор элементов с однозначно заданными операциями сложения и умножения. Операции вычитания и деления являются обратными к сложению и умножению.

Поле с конечным числом элементов q называют полем Галуа и обозначают ( )GF q .Свойства конечного поля:1. Конечное поле может иметь число элементов равное

vq p ,где p – простое число, 0v – целое число.

2. В любом поле существует только один нулевой элемент 0 и один единичный элемент 1, такие что 0 a a , 0 0a и 1 a a .

При 1v поле является простым, потому что число его элементов равно простому числу q p . В простом поле операции сложения и умножения выполняются по модулю p .

При 1v поле является расширением простого поля. Операции сложения и умножения элементов расширенного поля не выполняются по модулю q .

125

Например, при 2p , (2) {0,1}GF иСложение Умножение0 + 0 = 0 0 · 0 = 0 + 0 1 · 0 10 + 1 = 1 0 · 1 = 0 0 0 1 0 0 01 + 0 = 1 1 · 0 = 0 1 1 0 1 0 11 + 1 = 1 1 · 1 = 1

Если 22 4q , то (4) {0,1, 2,3}GF + 0 1 2 3 · 0 1 2 30 0 1 2 3 0 0 0 0 01 1 0 3 2 1 0 1 2 32 2 3 0 1 2 0 2 3 13 3 2 1 0 3 0 3 1 2

Векторное пространствоВекторное пространство – это совокупность векторов, для которых заданы операции

сложения и умножения на скаляр. Если элементами векторов являются элементы некоторого поля, то векторное пространство линейное. Линейное векторное пространство nY с векторами длины n должно удовлетворять условиям:

1. Существует единственный нулевой вектор n0 Y , такой что n 0 y y Y .2. Сумма любых векторов векторного пространства даёт вектор, который также

принадлежит векторному пространству: ni j r y y y Y .

Векторное пространство, которое не удовлетворяет этим условиям, является нелинейным.

В дальнейшем для определённости будем рассматривать векторы-столбцы.Всевозможные комбинации длины n с элементами из простого поля ( )GF p ( m p )

образуют линейное векторное пространство nY , в котором операции сложения и вычитания векторов выполняются поэлементно по модулю p :

1 2 3 y y y , где 3, 1, 2, modi i iy y y p ,

1 2a y y , где 2, 1, modi iy a y p ,где 0,1,..., 1i n , ( )a GF p – скаляр.

Пример:1) при 4n , 2m p , T

1 (1,0,0,1)y , T2 (1,0,1,1)y

T T T1 2 (1,0,0,1) (1,0,1,1) (0,0,1,0) y y ;

2) при 3m p , T1 (1, 2, 2,1)y , T

2 (2,1,0,1)yT T T

1 2 (1, 2, 2,1) (2,1,0,1) (2,1,2,0) y y .Линейная комбинация векторовВ векторном пространстве сумма вида

0 0 1 1 1 1... nr ra a a y y y y Y (16)

называется линейной комбинацией векторов 0 1,..., ry y .Векторы 0 1,..., ry y называют линейно зависимыми, если существуют скаляры ia ,

одновременно не равные нулю, при которых0 0 1 1 1 1... r ra a a y y y 0 . (17)

Для линейно независимых векторов 0 1,..., ry y

0 0 1 1 1 1... r ra a a y y y 0 (18)при любых ia одновременно не равных нулю.

126

Пространство кодовых комбинацийСовокупность векторов векторного пространства образует подпространство. В

подпространство можно включить векторы, которые совпадают с кодовыми комбинациями. Тогда такое подпространство является пространством кодовых комбинаций nC ( n nC Y ).

Линейные кодыДля линейного кода пространство кодовых комбинаций nC должно быть линейным

(что возможно, если векторное пространство также линейное).Свойства линейного кода:1. Существует единственная нулевая кодовая комбинация n0 C , такая что 0 c c .2. Сумма двух любых кодовых комбинаций снова даёт кодовую комбинацию:

ni j r c c c C (свойство замкнутости). (19)

Для построения линейного ( , )n k кода достаточно в линейном векторном пространстве nY выбрать k линейно независимых векторов 0 1,..., n

k g g Y . Тогда любую кодовую комбинацию линейного кода можно найти как линейную комбинацию этих векторов:

0 0 1 1 1 1... k kb b b c g g g , (20)где ib – некоторые коэффициенты.

Можно убедиться, что оба свойства линейного кода удовлетворяются. Следовательно, всевозможные комбинации символов ib определяют все комбинации c линейного кода nC . Символы ib называются информационными символами.

В матричной форме записи c G b , (21)

где T0 1 1( , ,..., )kb b b b – вектор-столбец информационных символов или информационная

комбинация, 0 1 1... kG g g g – порождающая матрица кода размера n k .Использование порождающей матрицы упрощает построение и кодирование блочных

линейных кодов.Пример: 5n , 2m p . Для построения кода (5,2) выберем 2k произвольных

линейно независимых вектора. Например: T0 (1,0,1,1,1)g и T

1 (0,1,1,0,1)g . Можно убедиться, что они линейно независимые, т.е. ни при каких 0b и 1b , принадлежащих полю

(2)GF и одновременно не равных нулю,

0 0 1 1b b g g 0 .Тогда все к.к 2 4kN кодовые комбинации можно найти по формуле (21), в которой

T0 1( , )b bb – вектор-столбец из 2k информационных символов,

0 1

1 00 11 11 01 1

G g g (22)

– порождающая матрица кода размера 5 2 .Таблица кодирования для двоичного кода (5,2).№ T

0 1( , )b bb T0 1 2 3 4( , , , , )c c c c cc

0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 1 1 0 12 1 0 1 0 1 1 13 1 1 1 1 0 1 0

127

Систематический и несистематический кодыЕсли при кодировании информационные комбинации входят в кодовую комбинацию в

явном виде, то такой код называют систематическим кодом:0 1 2 1 0 1 1( , , ,..., ) ( ,..., , ,..., )n k k nc c c c b b c . Иначе код является несистематическим.Для систематического кода порождающая матрица имеет следующую структуру

k IG Γ , (23)

где kI – единичная матрица размера k k , Γ – матрица проверочных символов кода, размера( )n k k .

Построенный ранее код (5,2) является систематическим по первым двум кодовым

символам: 21 00 1

I ,

1 11 01 1

Γ .

Любой несистематический линейный блочный код можно привести к систематическому коду путём перестановок строк и столбцов порождающей матрицы:

сист 1 несист 2k

IG P G P Γ , где 1P , 2P – перестановочные матрицы (единичные матрицы с

переставленными столбцами и строками).

Проверочная матрица кодаПроверочная матрица кода H – это матрица размера ( )n n k , которая ортогональна

порождающей матрице G :T H G 0 . (24)

Проверочная матрица систематического кода равна:T

n k

ΓH I . (25)

Из определения следует также, что если c – кодовая комбинация, тоT H c 0 . (26)

Проверочная матрица используется для обнаружения и дальнейшего исправления ошибок в кодовых комбинациях.

Проверочная матрица рассмотренного кода (5,2) равна

T

3

1 1 11 0 11 0 00 1 00 0 1

ΓH I .

Дуальный кодЕсли в качестве порождающей матрицы использовать проверочную матрицу H , а

вместо проверочной матрицы порождающую матрицу G , то полученный таким образом код называют дуальным кодом.

Дистанционные свойства в пространстве комбинацийВес комбинации ( ) y – число ненулевых символов в комбинации y . Например,

T(1,0,1,1,0)y , вес ( ) 3 y ; T(1,0, 2,1,2)y , вес ( ) 4 y .Расстояние по Хэммингу ( , )i jd y y между комбинациями iy и jy – это число позиций,

в которых символы комбинаций iy и jy не совпадают.В линейном пространстве ( , )i jd y y равно весу комбинации i jy y :

128

( , ) ( )i j i jd y y y y . (27)

Например, при 3p для комбинаций T1 (1, 2, 2,1)y и T

2 (2,1,0,1)y , а 1 2( , ) 3d y y .Свойства ( , )i jd y y :

1) ( , ) 0i jd y y . (28)2) ( , ) ( , )i j j id dy y y y . (29)3) ( , ) ( , ) ( , )i j i r j rd d d y y y y y y (неравенство треугольника).

Для кодовых комбинаций линейного кода из свойства замкнутости следует:4) ( , ) ( ) ( )i j i j rd c c c c c , (30)где r i j nC c c c .

Минимальное расстояния кода – это минимальное расстояние по Хэммингу между всеми парами различных кодовых комбинаций:

min ,min ( , )i ji j

i j

d d

c c . (31)

Например, кодовые комбинации кода (5,2) равны T0 (0,0,0,0,0)c , T

1 (0,1,1,0,1)c , T

3 (1,0,1,1,1)c , T4 (1,1,0,1,0)c . Путём попарного вычисления расстояния по Хэммингу

между всеми кодовыми комбинациями находим, что минимальное расстояние кода равноmin 3d .

Для линейных кодов минимальное расстояние кода находится значительно проще, а именно, оно равно наименьшему весу ненулевой кодовой комбинации (следует из 4 свойства):

min min ( )i

id

c 0

c . (32)

Например, распределение весов рассмотренного кода (5,2) следующееТаблица весов кодовых комбинаций кода (5,2).

Tic ( )i c

0 0 0 0 0 00 1 1 0 1 31 0 1 1 1 41 1 0 1 0 3

Минимальный вес, не равный нулю, равен 3. Следовательно, минимальное расстояние кода равно min 3d .

Спектр кода – это совокупность чисел 1 2{ } 1, , ,...,i nn n n n , каждое из которых определяет число кодовых комбинаций с весом равным i , где 0,1,...,i n .

Например, спектр кода (5,2) следующий: 0 1n , 1 0n , 2 0n , 3 2n , 4 1n , 5 0n или

0 1 2 3 4 51,0,0,2,1,0in .

Спектр кода позволяет рассчитать вероятность необнаруженной ошибки и другие характеристики кода.

Передача кодовых комбинаций по дискретному симметричному каналу без памяти

В линейном пространстве комбинацию на выходе дискретного канала с аддитивным шумом можно определить выражением

i y c e , (33)где ic – переданная -яi кодовая комбинация длины n , e – комбинация случайных ошибочных символов длины n .

129

В дискретном симметричном канале без памяти вероятность перехода кодовой комбинации ic в комбинацию y (функция правдоподобия) равна

( , )( , )( | ) (1 )

1

i

i

dn d

ipP p

m

y cy cy c , (34)

где p – вероятность ошибки символа, m – позиционность символов.Из этой формулы следует, что наиболее вероятными ошибками в канале являются

одиночные ( ( , ) 1id y c ), далее двойные ( ( , ) 2id y c ), тройные и т.д.Правило максимума правдоподобия при декодировании кодовых комбинаций

(режим исправления ошибок):

0,1,..., 1

ˆ arg max ( | )k

ii m

i P

y c . (35)

Для дискретного симметричного канала без памяти правило максимума правдоподобия совпадает с правилом минимума расстояния:

( , ) ( , )( , )

0,1,..., 1 0,1,..., 1 0,1,..., 1

ˆ arg max ( | ) arg max (1 ) arg max1 (1 )( 1)

i i

i

k k k

d dn d

ii m i m i m

p pi P pm p m

y c y cy cy c

или0... 1

ˆ arg min ( , )k

ii m

i d

y c . (36)

Алгоритм или правило минимума расстояния состоит в выборе в качестве решения той кодовой комбинации, которая ближе всех по Хэммингу к принятой комбинации.

Рис. 3. Ближайшие друг к другу кодовые комбинации

Например, если при передаче кодовой комбинации ic будет принята любая из следующих комбинаций ic , 1y или 2y , то декодер по минимуму расстояния сделает решение в пользу ic . Если же будет принята любая комбинация с другой половины, то декодер вынесет решение в пользу jc .

Декодирование блочных кодовТабличное декодирование блочных кодов. При реализации декодеров по минимуму

расстояния для кодов с небольшим числом кодовых комбинаций, исправляющих не менее tошибок, составляют таблицу декодирования, в которой всевозможные ошибочные (запрещённые) комбинации объединяются с ближайшими по Хэммингу кодовыми комбинациями.

Таблица декодирования комбинаций линейного кода (стандартное расположение).кодовые комбинации 0 c 0 1c … 1km

c Разрешённые комбинации

1e 1 1c e … 11km c e

обнаруживаемые и исправляемые 2e 1 2c e … 21km

c eошибочные комбинации … … … …

( )i t e re 1 rc e … 1k rm c e

обнаруживаемые 1re 1 1rc e … 11k rm c e

или исправляемые при полном декодировании … … … …

( )i t e Re 1 Rc e … 1k Rm c e

Запрещённые комбинации

ic jc

1 2 3 4 5

1y 2y 3y 4yПереданная кодовая

комбинацияmin 5d

Ближайшая к переданной

кодовая комбинация

130

Если принятая комбинация y будет принадлежать нижней части таблицы, где ( )i t e , то у декодера есть два варианта:

1) отказаться от её декодирования и объявить об обнаружении ошибки (алгоритм неполного декодирования);

2) декодировать её в соответствующую кодовую комбинацию, принадлежащую верхней строке (алгоритм полного декодирования).

Если используется полный алгоритм, то декодер исправит все комбинации с t и менее ошибочными символами и часть комбинаций с большим числом ошибочных символов.

Например, для кода (5,2) таблица декодирования будет следующей:0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 11 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 10 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 10 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 00 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 00 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 10 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1

Примеркода(4,1)

1 1 0 0 1 0 1 1

Она содержит 52 32nm комбинации длины 5n .Приняв одну из ошибочных комбинаций, декодер по таблице легко декодирует её в

ближайшую по Хэммингу кодовую комбинацию. Далее, если код систематический, то декодер отделяет информационные символы и выдаёт их получателю. Если код несистематический, то информационные символы определяются по таблице кодирования.

Синдромное декодирование или декодирование с использованием проверочной матрицы

При большом числе кодовых комбинаций можно значительно сократить таблицу декодирования, если использовать проверочную матрицу кода H , с помощью которой вычисляют синдром:

Ts H y . (37)Поскольку

i y c e , (38)то синдром s полностью определяется комбинацией ошибок:

T T T Ti s H y H c H e H e . (39)

Различные комбинации ошибок определяют различные синдромы. При синдромном декодировании достаточно определить все n km синдромов.

Например, используя проверочную матрицу кода (5,2),1 1 11 0 11 0 00 1 00 0 1

H ,

по формуле T ˆs H e вычислим всевозможные синдромы:T

0 1 2 3 4ˆ (e ,e ,e , e , e )e T0 1 2( , , )s s ss

0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 1 10 1 0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 10 0 1 1 0 1 1 00 0 0 1 1 0 1 1

131

Число различных синдромов равно 5 22 8n km .Чтобы декодировать принятую комбинацию в кодовую комбинацию необходимо:1) вычислить синдром s ;2) по таблице синдромов определить соответствующую комбинацию ошибок e ;3) по формуле

ˆ ˆi c y e (40)находят возможную переданную кодовую комбинацию.

Возможности кода по обнаружению и исправлению ошибокРежим обнаружения работы декодера используется только для обнаружения ошибок.

Предполагается, что при обнаружении ошибок декодер делает переспрос принятой с ошибками кодовой комбинации для её повторного приёма. В режиме исправления ошибокдекодер только исправляет ошибки в принятой кодовой комбинации.

Обнаруживающая способность кода определяется как максимальное число ошибочных символов, которое гарантированно обнаруживается кодом:

о min 1q d . (41)При этом, число различных комбинаций ошибок, содержащих от 1 до oq ошибочных

символов, равно o

1( 1)

qi in

iC m

. В действительности код позволяет обнаружить n km m

различных ошибочных (запрещённых) комбинаций.Исправляющая способность кода – это максимальное число ошибочных символов,

которое гарантированно позволяет исправить код. Если минимальное расстояние кода равно mind , то исправляющая способность кода равна

min 12

dt . (42)

Поскольку ot q , то t и менее ошибочных символов кодом обнаруживается и исправляется, а 1t , 2t и т.д. до oq ошибочных символов будет обнаружено, но не исправлено.

Декодирование при стиранияхДемодулятор может быть сконструирован таким образом, что если символ принят

неоднозначно (из-за действия помех или из-за кратковременных сбоев), то он объявляет его стёртым символом. Стёртый символ – это дополнительный символ алфавита, положение которого в принятой комбинации точно известно, но неизвестно его значение. Стёртые символы отличаются от ошибочных тем, что у ошибочных символов неизвестно ни положение, ни значение ошибки.

Если минимальное расстояние кода mind , то любая комбинация из или меньшего числа стёртых символов может быть исправлена при условии, что

mind . (43)

132

Помехоустойчивость блочных кодовПомехоустойчивость различных кодов, исправляющих или обнаруживающих ошибки,

характеризуется или оценивается вероятностью ошибки декодирования кодовой комбинации дек.к.кP , вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации

н.о.к.кP и вероятностью ошибки на бит bp .Режим исправления ошибокАлгоритм неполного декодирования. Если декодер исправляет t и менее ошибочных

символов (алгоритм неполного декодирования), то вероятность того, что декодер, анализируя принятую комбинацию с ошибками, вместо переданной выдаст в качестве решения другую кодовую комбинацию (вероятность ошибки декодирования кодовой комбинации), равна

1

дек.к.к пр.дек0

1 1 ( ) ( , ) |km

i i ii

P P P P d t

c y c c . (44)

Для линейного кода ( , ) | ( )i iP d t P t y c c e . Тогда

1

дек.к.к0

1 ( ) ( ) 1 ( )km

ii

P P P t P t

c e e .

В дискретном симметричном канале без памяти

0 0

( ) ( 1) (1 ) (1 )1

it ti i n i i i n in n

i i

pP t C m p C p pm

e

и дек.к.к0 1

1 (1 ) (1 )t n

i i n i i i n in n

i i tP C p p C p p

. (45)

Алгоритм полного декодирования. Если таблица декодирования содержит кроме исправляемых ошибочных комбинаций и обнаруживаемые комбинации, то при полном декодировании все обнаруживаемые комбинации также используются для исправления ошибок. При этом декодер исправит также часть комбинаций с большим, чем t , числом ошибок. В этом случае вероятность ошибочного декодирования можно оценить неравенством

дек.к.к1

(1 )n

i i n in

i tP C p p

. (46)

Режим обнаружение ошибокЕсли декодер работает в режиме обнаружения ошибок, то вероятность того, что

декодер не обнаружит ошибки (вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации)

min

н.о.к.к (1 )n

i n ii

i dP n p p

, (47)

где in – спектр кода.Например, спектр кода (5,2) равен 1,0,0, 2,1,0in и

3 2 4н.о.к.к 2 (1 ) (1 )P p p p p . (48)

Если спектр кода неизвестен, то оценить сверху вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации можно неравенством (верхняя граница)

min

н.о.к.к (1 )n

i i n in

i dP C p p

. (49)

133

Вероятность ошибки на бит или вероятность ошибки информационного бита после декодирования кодовой комбинации можно оценить по формуле

1

/ 2 (1 )1

ni i n i

b ni t

m t ip C p pm n

. (50)

При малых вероятностях ошибки символа в канале ( 1p ), наибольший вклад в вероятность ошибки будет вносить первое слагаемое суммы, поэтому

minдек.к.кb

dp Pn

. (51)

Вероятность ошибки на бит bp рассчитывается в предположении, что источник информации без избыточности или когда энтропия источника 2( ) logH mA .

Границы для минимального расстояния кодовГраницы минимального расстояния используются для доказательства существования и

оценки эффективности помехоустойчивых кодов.Граница Хэмминга. Для любого блочного -ичногоm ( , )n k кода, исправляющего t

ошибочных символов или имеющего min 2 1d t , число проверочных символов должно быть равным

0log ( 1)

ti i

m ni

r n k C m

. (52)

Это условие следует из неравенства

0( 1)

tn k i i

ni

m C m

. (53)

Если при заданных n , k и t выполняется строгое равенство, то код называется совершенным кодом. Совершенный код исправляет все t и менее ошибочных символов и не исправляет ни одной комбинации с большим числом ошибочных символов. Например, двоичный ( 2m ) код Хэмминга (7, 4) , исправляющий одиночные ошибки ( 1t ), является совершенным кодом.

Граница Синглтона. Минимальное расстояние по Хэммингу линейного блочного ( , )n k кода удовлетворяет неравенству

min 1d n k . (54)Если выполняется равенство, то такой код называют кодом с максимальным

расстоянием. Для кода с максимальным расстояниемmin 1 2 1d n k t . (55)

Т.е. для исправления ошибочного символа достаточно двух проверочных символов (один определяет положение ошибочного символа, а второй значение ошибки).

Пример 1: для кода (5,2) min 4d . Действительное значение min 3d .Пример 2: для кода Хэмминга (7,4) min 4d . Действительное значение min 3d .Примером кода с максимальным расстоянием является код Рида–Соломона.Граница Плоткина. Минимальное расстояние mind двоичного ( , )n k кода должно

удовлетворять неравенству1

min2

2 1

k

kd n

. (56)

Пример 1: для кода (5,2) min 10 / 3 3,333d . Действительное значение min 3d .

Пример 2: для кода Хэмминга (7,4) min56 3,73315

d . Действительное значение

min 3d .

134

Граница Плоткина более точная для низкоскоростных кодов, когда скорость кода c /R k n мала. Границы Синглтона и Плоткина грубые, но вычисляются проще, чем граница

Хэмминга.

135

ЛЕКЦИЯ 17Линейные систематические коды. Код с проверкой на чётность. Коды Хэмминга. Порождающая и проверочная матрицы. Алгоритмы кодирования и декодирования. Их реализация на примере кода (7,4).

Простые двоичные линейные блочные коды1. Примитивный код. Примитивное кодирование используется для согласования

алфавитов источника и канала. Например, для передачи текста по каналу связи посредством сигналов двухпозиционной модуляции, каждую букву на передаче необходимо представить в виде последовательности двоичных символов.

Параметры примитивного кода: ( , ) ( , )n k n n , c 1R , min 1d , o 0t q , спектр кода

ii nn C , 0,1,...,i n . Код не способен обнаруживать и исправлять ошибки.

Вероятность ошибки декодирования кодовой комбинации, вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации и вероятность ошибки на бит равны

min

дек.к.к н.о.к.к1

(1 ) (1 ) 1 (1 )n n

i n i i i n i ni n

i d iP P n p p C p p p

, (57)

bp p .Если вероятность ошибки символа в канале 1p , то

дек.к.к н.о.к.кP P n p . (58)2. Код с проверкой на чётность: ( , ) ( , 1) ( 1, )n k n n k k . Кодовая комбинация кода

с проверкой на чётность получается путём добавления к k информационным символам одного проверочного символа, равного сумме по модулю 2 всех информационных символов:

T0 1 1( , ,..., , )k kb b b c , где 0 1 1...k kb b b .

Код имеет следующие параметры: c1nR

n

, 1n

, min 2d , min( 1) / 2 0t d ,

o min 1 1q d , код с максимальным расстоянием (т.к. min 1d n k ).Спектр кода: 0in при i –нечётное, i

i nn C при i –чётное:

2 4 4 21,0, ,0, ,..., ,0, ,0,1i n n n nn C C C C .Порождающая и проверочная матрицы кода равны:

1 0 .. 00 1 .. 0.. .. .. ..0 0 .. 11 1 .. 1

k

IG Γ ,T

111..1

n k

ΓH I .

Поскольку исправляющая способность кода 0t , то этот код используют только для обнаружения ошибок. Поэтому

min

н.о.к.к 0,

чётн

(1 ) (1 )n n

i n i i i n ii n

i d ii

P n p p C p p

или н.о.к.к1 (1 2 ) (1 )

2

nnpP p

. (59)

Если вероятность ошибки символа в канале 1p , то, отбросив слагаемые при 2i , получим приближённую формулу

2 2 2н.о.к.к

1 ( 1)2nP C p n n p , (60)

2minн.о.к.к ( 1)b

dp P n pn

(при переспросе). (61)

136

3. Код с повторением: ( , ) ( ,1)n k n . Кодовая комбинация кода получается путём nкратного повторения информационного символа:

T0 0 0( , ,..., )

n

b b bc .

Код имеет следующие параметры: c1Rn

, 1nn

, mind n , ( 1) / 2t n ,

o min 1 1q d n , код с максимальным расстоянием (т.к. min 1d n k ).Если n – нечётное, то код с повторением является совершенным кодом, т.е.

1

02 2

ti n k nn

iC

.

Спектр кода: 0 11,0,0,...,0,1in .

Этот код можно использовать для обнаружения и исправления ошибок:

дек.к.к0

1 (1 )t

i i n in

iP C p p

, (62)

min

н.о.к.к (1 )n

i n i ni

i dP n p p p

. (63)

4. Код Хэмминга: ( , ) (2 1, 2 1 )r rn k r , r – число проверочных символов кода.Кодовая комбинация кода состоит из k информационных и r проверочных символов:

T0 1 1 1 1

2 1

( , ,..., , , ,..., )r

k k k k rrk r

b b b

c .

Код имеет следующие параметры: c2 1

2 1

r

r

k rRn

, 1

2 1rk rn

, min 3d , 1t и

o min 1 2q d .

Код Хэмминга – совершенный код, т.к.0

2 1t

i n kn

iC n

.

1дек.к.к

01 (1 ) 1 (1 ) (1 )

ti i n i n nn

iP C p p p n p p

, (64)

1(1 )nbp p p p . (65)

Пример: код Хэмминга (7,4), 3r , c47

R ,

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 1 1 00 1 1 11 1 0 1

k

IG Γ , T

1 0 11 1 11 1 00 1 11 0 00 1 00 0 1

n k

ΓH I .

137

Кодовые комбинации кода Хэмминга (7,4), их вес, векторы ошибок и синдромы

b c ( ) c Te Ts0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

0000000000101100101100011101010011101011000110001011101010001011001110101001110110001100010110100111101001111111

0334433434433447

00000001000000010000000100000001000000010000000100000001

000101111110011100010001

Спектр кода: { } 1,0,0,7,7,0,0,1in .При малой вероятности ошибки символа в канале ( 1p )

2дек.к.к 21P p ,

min

3н.о.к.к (1 ) 7

ni n i

ii d

P n p p p

,

29bp p .По сравнению с примитивным кодом, для которого bp p , у кода Хэмминга

вероятность ошибки на бит убывает по квадратичному закону.

138

ЛЕКЦИЯ 18Другие виды помехоустойчивых кодов. Циклические коды. Итеративные и каскадные коды.Особенности кодирования и декодирования в каналах с памятью. Свёрточные коды. Понятие о декодировании с "мягким" решением.

Циклические кодыЦиклические коды представляют собой подкласс линейных блочных кодов.

Кодирование и декодирование циклических кодов реализуется с помощью регистров сдвига.Основной особенностью циклических кодов является то, что циклический сдвиг

кодовой комбинации снова даёт кодовую комбинацию. Например, если T

0 1 2 2 1( , , ,..., , )n nc c c c c c – кодовая комбинация циклического кода, то T

1 0 1 3 2( , , ,..., , )n n nc c c c c c – другая кодовая комбинация циклического кода.Кодовые комбинации циклического ( , )n k кода можно рассматривать как многочлены

или полиномы, которые ограничены по модулю многочлена 1nx . Коэффициенты этих многочленов соответствуют символам кодовой комбинации:

1 10 1 1 1 1 0( ) ... mod( 1) ... mod( 1)n n n n

n nc x c c x c x x c x c x c x .

или ( ) ( ) mod( 1)nc x c x x . (66)Запись ( )mod ( )a x b x означает остаток от деления ( )a x на ( )b x .Например, если коэффициентами являются двоичные символы, то

3( 1) mod( 1) 1x x x .Взятие остатка от деления на 1nx задаёт свойство циклического сдвига. Циклический

сдвиг на i позиций в полиномиальном представлении соответствует умножению многочлена на ix и взятию остатка от деления полученного многочлена на 1nx :

1( )( ) ( )1 1n n

c xc x x q xx x

,

1( ) ( ) ( )( 1)nc x c x x q x x ,где ( )q x – частное, 1( )c x – остаток.

Например, умножение на x или циклический сдвиг на одну позицию даёт многочлен1 2

1 1 2 1 0( ) ( ) mod( 1) ... mod( 1)n n n nn nc x c x x x c x c x c x c x x

1 2 1 21 1 2 1 0 2 1 0 1( 1) ... mod( 1) ...n n n n

n n n n nc x c c x c x c x x c x c x c x c .

Порождающий многочлен циклического кодаПорождающий многочлен циклического ( , )n k кода ( )g x – это многочлен степени

n k , который делит без остатка 1nx :( 1) mod ( ) 0nx g x . (67)

Любой многочлен ( )c x является кодовым многочленом циклического кода, если он делится без остатка на порождающий многочлен ( )g x : ( ) mod ( ) 0c x g x .

Кодирование циклическим кодомНесистематическое кодированиеКодирование циклическим ( , )n k кодом многочлена ( )b x степени 1k в

несистематической форме описывается выражением( ) ( ) ( ) mod( 1)nc x b x g x x , (68)

где ( )g x – порождающий многочлен кода.При несистематическом кодировании информационный многочлен в явном виде не

содержится в кодовом многочлене.

139

Систематическое кодированиеСистематическое кодирование можно осуществить, если сдвинуть информационные

символы в сторону увеличения степеней на n k позиций и к полученному многочлену прибавить многочлен проверочных символов:

( ) ( ) ( ) mod( 1)n k nc x b x x r x x , (69)

где ( ) ( ) mod ( )n kr x b x x g x – многочлен проверочных символов циклического кода.При систематическом кодировании k старших коэффициентов кодового многочлена

являются информационными символами.Можно убедиться, что ( ) mod ( ) 0c x g x .Передача кодового многочлена по дискретному каналу с ошибкамиПри передаче кодового многочлена ( )c x по дискретному каналу с ошибками, на

выходе канала будет получен многочлен равный( ) ( ) ( )y x c x e x , (70)

где 10 1 1( ) ... n

ne x e e x e x – многочлен ошибок, ie – значения ошибок.

Синдромный многочленСиндромный многочлен ( )s x , который используется при обнаружении и исправлении

ошибок в кодовой комбинации циклического кода, находится по формуле( ) ( )mod ( )s x y x g x , (71)

где ( ) ( ) ( )y x c x e x – принятый кодовый многочлен с ошибками.Свойство синдромного многочлена:

( ) ( ) mod ( ) ( ( ) ( )) mod ( ) ( ) mod ( )s x y x g x c x e x g x e x g x . (72)Если при передаче кодовой комбинации ошибок в канале не было, т.е. ( ) 0e x , то

( ) 0s x . При возникновении ошибок ( ) 0s x .Реализация операций умножения, деления и взятия остатка на основе регистра

сдвигаПо аналогии с z преобразованием, для определения текущего коэффициента

результата можно использовать следующие правила:1) ( ) kc x c ,2) 1( ) kc x x c ,

3) 0

( ) ( ) ( )n

k i k ii

c x a x b x c b a

– дискретная свёртка.

Умножение многочленов( ) ( ) ( )c x a x b x , (73)

где2

0 1 2( ) ... mma x a a x a x a x – входной многочлен,

20 1 2( ) ... n

nb x b b x b x b x – множитель,2

0 1 2( ) ... m nm nc x c c x c x c x

– произведение.Степень многочлена deg( ( ))f x – это наибольшая степень независимой переменной,

при которой коэффициент не равен нулю.При умножении многочленов deg( ( )) deg( ( )) deg( ( ))c x a x b x .Если deg( ( ))a x m , deg( ( ))b x n , то deg( ( )) deg( ( )) deg( ( ))c x a x b x m n .Умножения многочленов реализуется с помощью алгоритма умножения столбиком:

140

2 1 0

2 1 0

2 1 0 0

2 1 0 1

2 1 0 2

4 3 2 1 0

, , , , , , , , , , , , , ,

a a ab b ba a a b

a a a ba a a bc c c c c

Каждый коэффициент результата находится с помощью дискретной свёртки последовательностей коэффициентов входного многочлена и множителя (правило 3):

0

n

k i k ii

c b a

, 0,1,...k , (74)

где 0ia при 0i .Схема реализации умножения многочленов на основе регистра сдвигаВ начальном состоянии ячейки регистра сдвига содержат нули. Для вычисления всего

результата в регистр дополнительно в конце вводят нули, пока последний символ входного многочлена не пройдёт через регистр.

Рис. 4. Схема реализации умножения многочленов.

Деление многочленов( )( )( )

a xc xb x

, (75)

где2

0 1 2( ) ... mma x a a x a x a x – делимое,

20 1 2( ) ... n

nb x b b x b x b x – делитель,2

0 1 2( ) ... m nm nc x c c x c x c x

– частное.

Степень частного 0

deg( ( )) deg( ( )), при deg( ( )) deg( ( )),deg( ( ))

0, deg( ( )) deg( ( )), 0.a x b x a x b x

c xa x b x c

Если deg( ( )) deg( ( ))a x b x , то результатом деления является многочлен степени 0 с коэффициентом 0 0c .

Деление многочленов реализуется с помощью алгоритма деления столбиком:0a , 1a , 2a 0 1,b b

0a , 01

0

a bb

00

0

a cb

, 01 1 1

0 0

1aa b cb b

01 1

0

aa bb

, 2a

01 1

0

aa bb

, 0 11 1

0 0

a ba bb b

0 12 1 1

0 0

a ba a bb b

– остаток

+

0b 1b nb

…2 1 00,...,0,0 , ..., , ,mn

a a a a 2 1 0..., , ,c c c

2b

141

Схемы реализации деления многочленов на основе регистра сдвигаМатематическая формула деления. Вычисление очередного коэффициента частного

можно выразить через значения ранее вычисленных коэффициентов (рекурсивная формула) следующим образом:

0

10

1/( )( ) ( )( ) 1 ( )

ba xc x a x xb x b xb

10 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )c x c x x b x a xb b

10

1( ) ( ) ( ) ( )c x a x c x x b xb

1

1 100

1 n

k k i k ii

c a b cb

10

1 n

k k i k ii

c a b cb

, (76)

где 00

0

acb

, 01 1 1

0 0

1ac a bb b

и т.д.

Схема 1. Вычисляет только частное. В начальном состоянии все ячейки содержат нули.

Рис. 5. Схема реализации деления многочленов.

Схема 2. Вычисляет и частное и остаток. В начальном состоянии все ячейки заполнены первыми 1n коэффициентами входного многочлена.

Рис. 6. Схема реализации деления многочленов на основе регистра сдвига с обратной связью.

После вычисления последнего коэффициента многочлена частного в регистре сдвига будут содержаться коэффициенты многочлена остатка:

10 1 1( ) ( ) mod ( ) ... n

nr x a x b x r r x r x . (77)

Степень многочлена остатка deg ( ) deg ( )r x b x .

1na 2a 0a…1 1,..., ,m n na a a

2 1 0..., , ,c c c

+

0

1b

1a ++

nb 1b2b

+

1b 2b nb

…2 1 0..., , ,a a a2 1 0..., , ,c c c

3b

+0

1b

142

Пример кодирования и декодированияДля реализации кодирования и декодирования комбинаций циклического кода

достаточно выбрать порождающий многочлен кода ( )g x . Существуют таблицы порождающих многочленов кодов для разных длин кода и числом информационных символов (Р.Блейхут. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. – М.:«Мир», 1986, Дж.Кларк, Дж.Кейн. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи. –М.:«Радио и связь», 1987).

Например, для кода Хэмминга (7,4) 3( ) 1g x x x , (15,11) 4( ) 1g x x x .

Пусть 3 2( ) (1100)b x x x – информационный многочлен.Несистематическое кодирование:

3 2 3 6 5 4 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) (1110100)c x b x g x x x x x x x x x .Систематическое кодирование:

3 2 3 6 5( ) ( ) ( ) ( ) (1100010)n kc x b x x r x x x x x x x x ,где 6 5 3( ) ( ) mod ( ) mod 1 (010)n kr x b x x g x x x x x x .

Передача по дискретному каналу кодовой комбинации систематического кода:4( ) (0010000)e x x ,

6 5 4( ) ( ) ( ) (1100010) (0010000) (1110010)y x c x e x x x x x .Синдром:

6 5 4 3 2( ) ( ) mod ( ) ( ) mod( 1) (110)s x y x g x x x x x x x x x .По таблице синдромов этот синдром соответствует ошибке в 4 символе, т.е.

4ˆ( ) (0010000)e x x .Тогда 6 5ˆ ˆ( ) ( ) ( ) (1100010)c x y x e x x x x .

143

Свёрточные коды

Свёрточные коды относят к непрерывным линейным кодам, для которых, в отличие от блочных кодов, кодовые комбинации на выходе кодера нельзя отделить друг от друга.

Такое название они получили из-за способа кодирования, в котором выходная последовательность кодовых символов получается в результате дискретной свёртки последовательности входных символов и порождающих многочленов кода.

Свёрточный код со скоростью кода /cR k n обозначается ( , , )fn k d , где fd – его свободное расстояние.

Схема свёрточного кодераСвёрточныё кодер со скоростью /cR k n имеет k входов и n выходов.Дискретная свёртка реализуется с помощью регистра сдвига с отводами, поэтому в

состав любого кодера входит не менее k регистров сдвига.При кодировании на каждом такте на вход кодера подаётся k информационных

символов, каждый из которых записывается в свой регистр сдвига. В соответствии с заданными отводами и с учётом предыдущих v информационных символов, вновь поступившие символы кодируются в n кодовых символов, которые кодер по очереди выдаёт на своём выходе.

Параметр v называется кодовым ограничением. Для кода со скоростью 1/cR n он равен длине регистра сдвига кодера минус 1.

На следующем рисунке представлена схема свёрточного кодера (2,1,5) со скоростью 1/ 2cR и 2v .

Рисунок. 7. Схема свёрточного кодера (2,1,5) со скоростью 1/ 2R .

Порождающие многочлены этого свёрточного кода равны2

0 ( ) 1g x x x (задаёт верхние отводы регистра сдвига), (78)2

1( ) 1g x x (задаёт нижние отводы регистра сдвига). (79)До начала кодирования содержимое ячеек регистра сдвига равно нулю.При кодировании содержимое регистра сдвига сдвигается вправо, причём содержимое

последней (самой крайней справа) ячейки отбрасывается, а в первую ячейку регистра сдвига записывается очередной символ. Далее, соответствующие символы суммируются в верхнем и нижнем сумматорах, и результирующие кодовые символы по очереди выдаются на выходе кодера. Суммирование выполняется по модулю 2.

Алгоритм Витерби декодирования свёрточных кодовДля декодирования свёрточных кодов с небольшим кодовым ограничением обычно

используется алгоритм декодирования Витерби (1967), эффективно реализующий правило максимального правдоподобия декодирования последовательности кодовых символов.

В этом алгоритме используется решётка декодирования, с помощью которой удаётся значительно сократить общее число всевозможных перебираемых последовательностей

2 1 0..., , ,b b b 21 20 11 10 01 00..., , , , , ,c c c c c c

+

+

144

кодовых символов. Высота решётки равна 2v и не зависит от длины декодируемой последовательности. Сложность реализации алгоритма пропорциональны этой величине.

На рисунке 8 изображено одно звено решётки декодирования свёрточного кода (2,1,5), кодер которого представлен на предыдущем рисунке.

Узлы решётки определяют состояние кодера. На ветвях отмечены кодовые символы, выдаваемые кодером при переходе из предыдущего состояния в следующее состояние.

Рисунок. 8. Одно звено решётки декодирования свёрточного кода со скоростью 1/ 2cR и 2v .

На вход декодера поступают последовательности кодовых символов kz . Согласно алгоритму Витерби, в процессе декодирования на решётке строятся пути всевозможных последовательностей кодовых символов, которые наиболее близки по Хеммингу к последовательности символов kz на входе декодера.

Расстояние по Хеммингу между последовательностями символов равно числу символов, в которых они отличаются. Это расстояние называют метрикой пути.

В каждом узле решётки соединяются два пути, но дальше продолжится только тот путь, чья метрика будет минимальной. Этот путь называют выжившим путём.

После поступления очередных символов декодер сначала вычисляет приращения метрик путей, которые затем прибавляются к метрикам путей, вычисленных на предыдущем шаге. Приращение метрики пути – это расстояние по Хеммингу между символами на входе декодера и символами соответствующей ветви.

По окончании поступления символов на вход декодера, в качестве решения выдаётся последовательность информационных символов, чей путь по решётке будет иметь наименьшую метрику среди всех выживших путей.

Теоретически, задержка между началом поступления символов на вход декодера и выдачей решения на его выходе равна бесконечности. Но при практической реализации решения начинают выдавать уже после поступления некоторого конечного числа Dсимволов. После приёма D символов, в качестве решения выдаётся первый символ пути, метрика которого наименьшая в данный момент. Далее вычисляют метрики для очередного символа и в качестве решения выдаётся второй символ пути, текущая метрика которого минимальна. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут приняты все символы.

Исследования показали, что для декодирования достаточно выбрать (3...5)D v . При выборе больших значений качество работы декодера увеличивается незначительно.

Рассмотрим процесс декодирования рассмотренного ранее кода при передаче последовательности из одних нулей, когда на вход декодера поступает последовательность { }kz 01,10,00,00,00,00,... (в канале произошло две ошибки).

На следующих рисунках изображены последовательные шаги построения решётки. В кружках отмечаются текущие метрики выживших путей, а отброшенные пути обозначены штриховой линией.

00

11

1001

11

10

00

01

0

1

2

3

145

Рисунок. 9. Шаг 1 декодирования по алгоритму Витерби.

Рисунок. 10. Шаг 2 декодирования по алгоритму Витерби.

Рисунок. 11. Шаг 3 декодирования по алгоритму Витерби.

kz 0 1

1

012

2

10

1

3

2

1

3

3

00

kz 0 1

1

012

2

10

1

3

kz 0 1

1

01

146

Рисунок. 12. Шаг 4 декодирования по алгоритму Витерби.

Рисунок. 13. Шаг 5 декодирования по алгоритму Витерби.

Рисунок. 14. Шаг 6 декодирования по алгоритму Витерби.

kz 0 1

1

012

2

10

1

3

2

1

3

3

00 002

3

2

2

2

2

3

3

002

3

3

3

00

kz 0 1

1

012

2

10

1

3

2

1

3

3

00 002

3

2

2

2

2

3

3

00

kz 0 1

1

012

2

10

1

3

2

1

3

3

00 002

3

2

2

147

Рисунок. 15. Шаг 7 декодирования по алгоритму Витерби.

На шаге 7 ( 7D ) принимается решение о первом переданном символе 0 0b , который выдаётся на выходе декодера. Для него выживший путь с наименьшей метрикой отмечен жирной линией.

При практической реализации в памяти достаточно хранить решётку длиной равной D , а на каждом шаге декодирования старые метрики заменять новыми, вновь вычисленными метриками.

Если демодулятор выдаёт мягкие решения о кодовых символах в виде отсчётов сигналов этих кодовых символов, то для декодирования необходимо использовать алгоритм мягкого декодирования. Декодер Витерби жёстких решений достаточно легко преобразуется в декодер Витерби мягких решений демодулятора. Единственное отличие состоит в том, что вместо кодовых символов на ветвях решётки нужно задать отсчёты ожидаемых сигналов, с которыми будут сравниваться отсчёты входного сигнала.

Теперь для вычисления метрик путей вместо расстояния по Хеммингу используется расстояние по Евклиду. Квадрат расстояния по Евклиду между векторами x и y равен

2 2( , ) ( )i ii

d x y x y . (80)

Учитывая простоту реализации мягкого декодера свёрточного кода и тот факт, что энергетический выигрыш от использования мягких решений по сравнению с жёсткими составляет около 2 дБ, то обычно вместо блочных кодов предпочтение отдают свёрточным кодам.

Эффективность свёрточного кода зависит от свободного расстояния fd , которое определяется как минимальное расстояние по Хэммингу между всевозможными последовательностями на выходе кодера и последовательностью, состоящей из одних нулей (нулевой путь).

Максимальное число ошибок, которое код сможет исправить в пределах нескольких длин кодового ограничения, не превышает величины ( 1) / 2fd .

Вероятность ошибочного декодирования можно оценить с помощью верхней границы

дек. 2 ( )f

jj d

P n P j

, (81)

где jn – спектр весов свёрточного кода, который определяется как число последовательностей на выходе кодера, имеющих вес j и сливающихся с нулевым путём.

Верхняя граница для вероятности битовой ошибки оценивается неравенством

21 ( )

f

b jj d

p P jk

, (82)

kz 0 1

1

012

2

10

1

3

2

1

3

3

00 002

3

2

2

2

2

3

3

002

3

3

3

002

3

4

4

00

148

где i – полный информационный вес всех jn последовательностей на выходе кодера.Функция 2 ( )P j равна

1

2 2

( ) при жёстком декодировании;( )

2 при мягком декодировании;c b

P jP j

Q j R h

(83)

где

12

1

2 2 2

12

(1 ) , если нечётное;

( )1 (1 ) (1 ) , если чётное;2

ji i j ij

ji

j j j ji i j i

j jji

C p p j

P jC p p C p p j

(84)

– вероятность того, что некоторая комбинация ошибок будет отличаться от кодовой комбинации с весом j не более чем в / 2j символах.

Для выражения bp от битового отношения сигнал-шум 2bh при жёстком декодировании

в формулу (84) следует подставлять

22 c bp Q R h . (85)