Васильев Валерий Александрович

Лекция 1Модели распределения

Имеется несколько участников, некоторый запас продуктов. Вопрос состоит в том, чтобы рас-пределить этот запас продуктов между участниками так, чтобы удовлетворить желания каждогоучастника в max степени.

N = {1, . . . , n} – конечное множество . Каждый номер, это номер эк. агента, участника моделираспределения. N – множество участников.

L = {1, . . . , l} – множество продуктов, номенклатура. Нас интересует сколько продуктов и вкаких масштабах измеряются их количества в предположении, что продукты бесконечно делимые.Предполагаем, что для каждого продукта зафиксирован масштаб измерения (кг, 2 и т.п.).

Поэтому каждый набор продуктов, соответствующий номенклатуре, можно представить как l– мерный вектор : x = (x1, . . . , xl), на который накладывается следующее ограничение : x ∈ Rl

+

или x ≥ 0, т.е. все компоненты вектора x – неотрицательные вещественные числа, при этом xk –количество k-го продукта в наборе x.

Если мы хотим подчеркнуть, что набор продуктов принадлежит участнику номер i , то записы-ваем : xi = (xi

1, . . . , xil).

Нам надо определить наборы xi, чтобы удовлетворить спрос каждого из участников при неко-торых ограничениях.

Пусть у нас имеется исходный запас продуктов : w = (w1, . . . , wl), w ≥ 0, где wk – общееколичество продукта номер k .

Будем предполагать, что w 6= 0;, т.е. по крайней мере один из продуктов точно имеется в наличии.Введем множество X(N) = Z – совокупность допустимых распределений начального запаса w.

Z = {(x1, . . . , xn) | xi ≥ 0,n∑

i=1

xi = w}, т.е. в данном случае (x1, . . . , xn) ∈ Z – некоторое конкретноераспределение исходного запаса w между участниками модели распределения.

В дальнейшем элементы xi ∈ Rl+ будем понимать как векторы - столбцы, а распределения

x = (x1, . . . , xn) – как матрицы размерности m× n, составленные из столбцов xi, i = 1, . . . , n.Оценки возможных допустимых распределенийДля каждого участника i ∈ N будем предполагать заданным его (бинарное)отношение предпо-

чтения (бинарные – это потому, что в сравнении участвуют только два, а не большее количествораспределений). Бинарное отношение предпочтения будем обозначать Ri . Оно представляет из себяподмножество декартового произведения Z×Z, а именно, Ri ⊆ Z×Z, где Z×Z – это совокупностьвсех упорядоченных пар, образованных из элементов множества Z .

В дальнейшем обозначения (x, y) ∈ Ri или xRiy мы будем трактовать так: для участника iраспределение x не хуже чем распределение y.

С помощью Ri мы описываем результат решения этим i целого множества простейших задачна оптимум: из двух распределений x и y на первое место поставить то, которое является лучшимс точки зрения участника i (при равноценности этих распределений должны быть сформированыобе пары : (x,y) и (y,x)). Приведем некоторые примеры бинарных отношений предпочтения.

I).Простейший способ, которым может генерироваться Ri – это задание бинарных отношений спомощью функции полезности ui, определяющей для каждого x = (x1, . . . , xn) число ui(x) - "вели-чину полезности"распределения x (по Эджворту – количество "ютилей", заключенных в x). В этомслучае Ri определяется следующим образом:

xRiy ⇔ ui(x) ≥ ui(y), (∗)

т.е. то из распределений, которое дает больший (не меньший) уровень полезности считается лучше(не хуже), чем другое.

Бинарное отношение задается функцией, если для него можно найти такую функцию ui , длякоторой выполняется (*).

1

II). Пусть l = 2 и в R2+ и мы сравниваем два набора

-

6

x

y

r

r

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

по правилу

xRlexy ⇔ (x1 > y1)∨

(x1 = y1, x2 > y2)

,где

∨– символ логической связки "или". По понятным причинам бинарное отношение Rlex

называется лексикографическим отношением предпочтения.

Самостоятельно

1) Доказать, что Rlex не задается никакой непрерывной функцией на R2+.

2) Доказать, что Rlex не задается никакой (в том числе и разрывной) функцией на R2+.

Подсказки :1) Для непрерывной функции множество x ∈ R2

+ | u(x) ≥ const, замкнуто.2) Мощность множества рациональных чисел меньше мощности множества вещественных чисел.III). x ≥ y, векторы сравниваются покомпонентно, но такое сравнение не полное, потому что

возможно не для любых x, y.Здесь мы приходим к вопросу, какого рода бинарные отношения надо рассматривать. Введем

требования к бинарным отношениям при сравнении распределений, отражающие идею рациональ-ности экономического агента. Будем считать, что бинарные отношения являются :

1) полными, т.е. ∀x, y ∈ Z (x, y)∨

(y, x) ∈ Ri.Это свойствоо характеризует способность экономического агента решать проблему выбора для

любого двухэлементного множества ( I и II удовлетворяют этому условию, а III нет).2) транзитивными, т.е. (x, y), (y, z) ∈ Ri ⇒ (x, z) ∈ Ri.Транзитивность отражает "последовательность"(согласованность решений) экономического аген-

та. ( I , II, III удовлетворяют этому условию).Совокупность всех бинарных отношений, которые являются полными и транзитивными на мно-

жестве Z обозначим R . В нашей модели предполагается, что Ri ∈ R для всех i ∈ N .Профилем предпочтений рассматриваемой модели будем называть упорядодоченный набор R =

(R1, . . . , Rn), где Ri ∈ R для всех i ∈ N . Это перечень вкусов, индивидуальных предпочтений,которые характеризуют множество участников N .

Постановка задачи (наилучшего) коллективного выбора.Каждому из профилей будем ставить в соответствие некоторое коллективное предпочтение, т.е.

бинарное отношение, характеризующее предпочтение системы в целом. Затем выбирая наилучшеераспределение в смысле коллективного предпочтения, будем предлагать его в качестве решениязадачи.

Основная идея: выведение общего правила оптимального выбора для всех участников в целомна основе учета их индивидуальных предпочтений.

Будем стараться найти правило, которое каждому профилю ставило бы в соответствие коллек-тивное предпочтение с тем, чтобы последнее удовлетворяло некоторым естественным предположе-ниям.

2

Правило коллективного выбора.

Отображение P , определенное на всех профилях (R1, . . . , Rn) ∈ Rn и сопоставляющее каждомуиз них (коллективное) предпочтение P (R1, . . . , Rn) из R

P : (R1, . . . , Rn) 7→ P (R1, . . . , Rn), R1, . . . , Rn ∈ R

, где (R) - полное и транзитивное бинарное отношение для всех R = (R1, . . . , Rn) из Rn.Схема решения проблемы группового выбора : Надо придумать универсальное правило, которое

каждому набору индивидуальных предпочтений ставит в соответствие коллективное предпочтение,удовлетворяющее некоторым естественным аксиомам. Затем, имея коллективное предпочтение, вы-брать наилучшее (max) по нему распределение из Z.

Требования, которые разумно предъявлить к правилу коллективного выбора:1). Единогласие.2). Независимость от посторонних альтернатив.Введем обозначения:R+

i - строгая компонента бин. отношения Ri:

xR+i y ⇔ (x, y) ∈ Ri, (y, x) /∈ Ri

(xR+i y будем трактовать как то, что распределение x лучше распределения y (в смысле предпочте-

ния Ri)).xRo

i y ⇔ (x, y), (y, x) ∈ Ri

(xRoi трактуется как эквивалентность (равнозначность) распределений x и y).Аксиома 1 (аксиома единогласия)Для всякого профиля R = (R1, . . . , Rn) и для любой пары распределений x, y ∈ Z cправедливо

соотношение:∀i ∈ N(xR+

i y) ⇒ xP+y

(здесь, как и всюду далее, используется сокращение PP (R1, . . . , Rn)). Выполнение аксиомы едино-гласия означает, что при любом профиле из того, что каждый в отдельности считает, что x лучше,чем , следует, что для коллективного предпочтения будет то же самое.

Аксиома 2 (аксиома независимости от посторонних альтернатив).Для любых распределений x, y ∈ Z и профилей R, R′ ∈ Rn выполняется соотношение

R|{x,y} = R′|{x,y} ⇒ P (R)|{x,y} = P (R′)|{x,y}

.Аксиома означает, что если два различных профиля одинаково (по каждому из участников)

упорядочивают распределения x и y, то и отвечающие им коллективные предпочтения одинаковоупорядочивают x и y (коллективное предпочтение P (R1, . . . , Rn) на множестве {x, y} зависит лишьот "расклада"индивидуальных предпочтений на этом же множестве).

Напомним, что понимается под сужением R|A профиля R на множество A ⊆ Z в общем случае:

R|A = (R1|A, . . . , Rn|A)

, где Ri|A = Ri ∩ (A×A) – сужение предпочтения Ri на множество A .Как видно из определения, множество Ri|A состоит в точности из тех пар (x, y) ∈ Ri, в которых

оба элемента x и y принадлежат множеству A.

Лекция N 2

Вспомним аксиому независимости от посторонних альтернатив.Пусть даны профили : R = (R1, . . . , Rn) и R′(R′1, . . . , R

′n).

Профили R и R′ совпадают на {x, y} - двухэлементном подмножестве, если для пары распреде-лений x и y выполняется условие : ∀i ∈ N(xRiy ⇔ xR′iy). A сама аксиома гласит, что если профили

3

R и R′ совпадают на множестве {x, y} то тогда xP (R)y ⇔ xP (R′)y, где P (R), P (R′) – коллективныепредпочтения, отвечающие профилям R и R′, соответственно.

Примеры правил коллективного выбора (правил агрегирования).I). Правило большинстваЕсли за x отдают больше голосов, чем за y, то в коллективном предпочтении считается, что x

лучше y.Это правило удовлетворяет аксиомам единогласия и независимости от посторонних альтернатив.Но мы предполагаем с самого начала, что правило агрегирования каждому профилю ставит в

соответствие полное и транзитивное бинарное отношение. С полнотой у нас все в порядке. Но еслиу нас более двух альтернатив, то транзитивность может нарушиться. Приведем пример:

1 1 1x y zy z xz x y

Обычное (простое) правило большинства так упорядочивает наши альтернативы : x  y Âz  x, т.е. нарушается транзитивность. Из-за этого правило большинства не тянет на правилоагрегирования.

Следует отметить, что правило Борда зависит от посторонних альтернатив, т.к., например, пе-ремещение какой-либо альтернативы на нижнюю позицию во всех индивидуальных предпочтенияхприводит к изменению некоторых соотношений сумм по очкам (примеры были даны на семинарах).

II). Диктаторское правилоМы говорит, что правило агрегирования P является (слабо) диктаторским, если ∃ такой участник

i (диктатор), что для любого профиля R и для всех x, y выполняется следующее соотношение:

xR+i y ⇒ xP+y.

Например,если для каждого профиля R положить P (R) = Ri, то легко проверить, что такоеправило удовлетворяет аксиомам единогласия и независимости от посторонних альтернатив. Суще-ствует и менее вызывающее правило такого же типа:

III). Олигархическое правило.Мы говорим, что правило агрегирования P является олигархическим, если ∃ такая коалиция

T ⊆ N, что для любого профиля R и ∀x, y выполняются следующее условие:

∀i ∈ T (xR+i y) ⇒ xP+y.

Наряду с аксиомами единогласия и независимости от посторонних альтернатив в теории кол-лективного выбора изучается целый ряд других достаточно разумных требований. Например, тре-бование, стимулирующее участие в выборах:

Аксиома участия.Мы будем говорить, что правило P , определенное на произвольных конечных наборах индивиду-

альных предпочтений ( не обязательно фиксированного числа n), удовлетворяет аксиоме участия,если выполняется такое требование: для всякого профиля R = (R1, . . . , Rn) и для всякого участ-ника n + 1, c помощью которого образован новый профиль R = (R1, . . . , Rn, Rn+1), выполняетсяследующее условие: если для P (R) наилучшей оказалось альтернатива a, то наилучшая для P (R)альтернатива b, должна быть такой, что bRia.

Содержательный смысл такой : если аксиома участия не выполняется, тогда ∃R такой, что учетмнения участника i, приводит к тому, что в качестве наилучшего выбирается альтернатива, котораяокажется хуже, чем та, которая получилась бы, если бы мнение i не учитывалось.

Теперь мы хотим доказать, что всякое правило агрегирования, удовлетворяющее двум аксиомам(единогласия и независимости) от посторонних альтернатив, обязательно является диктаторским.Для этого докажем следующую теорему.

Т.Эрроу. T 1.Если правило агрегирования P удовлетворяет условиям единогласия и независимости от посто-

ронних альтернатив, то оно является диктаторским, т.е. ∃i ∀R∀x, y из того что xR+i y ⇒ xP+y ( у

нас все бин. отношения полные и транзитивные).

4

Доказательство: разобъем его на кусочки и проведем с помощью доказательств лемм.Определение 1. Коалиция T ⊆ N является решающей для пары x, y если для любого профиля

R для которого xR+i y i ∈ T и yR+

j x j ∈ N \ T ⇒ xP+y.Т.е. мы говорим, что коалиция T является решающей для пары x, y , если отношение участников

коалиции к элементам этой пары, определяет, что будет в смысле сравнения x, y в коллективномпредпочтении. Определяет в том смысле, что если оказывается, что для всех участников коалицииT xR+

i y, а для всех остальных yR+j x, то тогда в коллективном предпочтении непременно будет так,

как решила коалиция.Пусть Tx,y множество всех решающих коалиций для пары x, yT =

⋃{x,y}

Tx,y – множество всех решающих коалиций для какой-нибудь пары распределений x, y.

Согласно условию единогласия, следует, что N ∈ T , т.е. T 6= φ.Также пустое множество φ /∈ T , т.к. не удовлетворяет условию единогласия и пустое множество

φ, не может быть никак решающей коалицией, согласно определению 1.Наша задача состоит в том, что мы хотим доказать, что в T есть хотя бы одна одноэлементная

решающая коалиция. Если мы это докажем, то все что нам еще надо в теореме, будет не сложнодоказать.

Определение 2: Коалиция T ∈ T является минимальной, если никакая ее часть не принадлежитмножеству T .

Мы взяли все решающие коалиции (части конечного множества N, в котором содержится 2n−1

непустых коалиций ). Их количество конечно, т.к. они являются подмножествами конечного мно-жества. Эти множества можно упорядочить частично, считая, что одно больше другого, если оносодержит вопрос. Затем выбираем min по включению элемент min решающая коалиция, т.к. в нейне содержится никакая другая решающая коалиция.

Теперь возьмем T, зафиксируем его и будем считать, что она является min решающей коалициейдля пары x, y .

Лемма 1. Одноэлементность min решающей коалиции T .Всякая min решающая коалиция является одноэлементной T = {i}.Следует помнить, что у нас ω 6= 0 и тогда в Z есть хотя бы три распределения.Доказательство:Зафиксируем z ∈ Z и z 6= x, y и рассмотрим профиль R который устроен так:

i T \ i N \ Tx z yy x zz y x

Как располагаются остальные элементы, нам не важно. Доказательство проведем от противного,допустим, что T не одноэлементное, т.е. i ∈ T.

Могут быть следующие случаи:1). T = N проанализировать самим2). T 6= NМы предполагаем, что кроме x, y, z остальные элементы в профилях эквивалентны последнему

элементу в индивидуальных предпочтениях.По определению того, что Т является решающей коалицией, следует:1). xP+y , т.к. T – решающая коалиция i и T \i не решающая коалиция т.к. T у нас min решающая

коалиция.2). Т.к. T \ i не является решающей коалицией и т.к. P – полное, то yPz.3). zPx, т.к. i не является решающей коалицией.Учитывая транзитивность P и 2) и 3) получаем, что yPx, но в 1) совсем другое и мы получаем

противоречие.Сделаем замечание: Коалиция из того, что она не решающая должна обладать таким свойством,

что если два элемента x и y расположены так как они должны были бы быть расположены, тогда Sбыла бы решающей, должно вытекать, что если x лучше y согласно S, но y лучше x, у N \ S, тогдане может быть что x лучше y, но согласно полноте P, мы должны записать yPx .

5

Итак, мы доказали, что T = {i} и теперь докажем, что i, который был решающим для пары x, y,будет решающим и для всякой другой пары.

Лемма 2. Лемма об универсальности min решающей коалиции∀x′, y′ {i} является решающей x′, y′

Доказательство:Этапы:I. Докажем, что T – решающая коалиция для пары x′, y.Сооружаем для этого следующий профиль:

i N \ ix’ yx x’y x

В соответствии с аксиомой единогласия получаем:1). x′P+xПо определению решающей коалиции получаем:2). xP+yПо транзитивности x′Py, но можем доказать, что из xPy, yP+z =⇒ xP+z. Т.о. x′P+yВ таблице x′ и y находятся в той самой позиции которая требуется по определению решающей

коалиции, а именно для i будет x′, y, а для остальных y лучше x′ =⇒ по определению i – решающаякоалиция для x′ и y. По аксиоме независимости мы заключаем, что то же выполняется и для любогодругого профиля, лишь бы он только располагал x′ и y так же как в нашем случае.

II). x′ и y′ анализируем.

i N \ ix’ yy y’y’ x’

Получаем:1). По аксиоме единогласия yP+y′.2). Т.к. i - решающая коалиция для x′, y, то x′P+y.По транзитивности P мы получаем, что x′P+y′, а отсюда несложно доказать , что x′P+y′.Следует заметить, что x′ и y′ стоят в позиции для определения решающей коалиции, в нашем

случае i. Т.е. i – решающая коалиция для x′, y′.Лемма 3. i – диктаторМы хотим доказать, что для всякого профиля такого вида

i N \ ix

(x,y)y

где i упорядочивает x и y как показано в таблице, а остальные участники упорядочивают ихкаким-то произвольным образом (не обязательно для всех одинаковое), в коллективном правилебудет xP+y, т.е. i – диктатор.

Доказательство:Пусть R - произвольный профиль вида:

i N \ ix

(x,y)y

здесь xR+i y

Рассмотрим новый профиль R′ , который располагает x, y, z, где z 6= x, y, следующим образом:

6

i N \ ix zz

(x,y)y

Бин. отношения между x и y в P (R′) = P (R) . Мы получили1). По аксиоме единогласия zP+y.2). Т.к. i является решающей для любой пары (из универсальности решающей коалиции): xP+z.

По транзитивности из 1) и 2) мы получили, число xP+y.Т.о. мы доказали, что для всякого профиля R, в котором i - тый участник располагает альтер-

нативы так, что x лучше y, а остальные участники располагают их произвольно, то в коллективномправиле получается, что xP+y, т.е. так как их упорядочил i, т.е. i – диктатор.

Лекция N 3.

Замечания к парадоксу Эрроу1). Если трактовать результаты теоремы Эрроу, как применение к выбору в экономических

системах, то возможен только диктаторский подход к агрегированию.2). Если рассматривать технические признаки изделия, то тогда попытка оценить в целом по

совокупности признаков на практике сводится к выбору единственного главного критерия.3). Если же мы рассматриваем специальные виды профилей (например, однотупиковые), то

нормально работает правило большинства, которое в общем случае оказывается плохим из-за того,что оно некоторым профилям может ставить в соответствие что-то такое нерациональное, например,не традиционное бин. отношение, но которому уже нельзя найти max элемент, что является нашейконечной целью.

В некоторых случаях, когда мы имеем определенную информацию, может сработать демокра-тическое правило агрегирования.

Решение нашей задачи – это нахождение опт. распределения W. Но сначала мы попытаемсясузить, насколько это возможно, область выбора Z = X(N), по каким -то критериям. Т.е. исходяиз экономических соображений будем выкидывать из X(N) = Z распределения, которые заведомоне могут быть оптимальными по каким-то естественным правилам.

Сначала нам прийдется сузить множество всех полных и транзитывных бин. отношений на Z =X(N), которое обозначается R. Сейчас мы будем рассматривать только класс U бин. отношений,которые задаются функциями.

Т.е. мы будем рассматривать для каждого участника бин. отношение предпочтения задаваемоефункцией ui : X(N)Z −→ R, т.е. ставим каждому распределению X(N) в соответствие некотороечисло. Распределение из двух считается то лучше, на котором эта функция принимает наибольшеезначение. Т.о. функция измеряет уровень полезности распределения для участника модели.

Есть ситуации где эта функция проявляется естественным образом. Пусть есть община из nучастков. Они рассматривают три проекта строительства школы, где ее построить. И в качествеоценки варианта строительства для каждого участка удобно применять расстояние. И нам надо minрасстояние до школы.

А иногда мы будем предполагать, что функции ui заданы не только на Z, а на всем l − n –мерном пространстве.

Так как же отсечь заведомо ненужные альтернативы ?∃ много вариантов, но мы изберем путь предложенный итальянским ученым Парето (1845-

1923) Он предлагает отказаться от тех допустимых распределений, заведомо выбросить их из числапретендентов на оптимальное, для которых можно подобрать другое допустимое распределение вкотором каждый из участников улучшает свою ф. полезности. Т.е. в качестве оптимальных следуетбрать только такие распределения, которые не улучшаемы по каждому из участников.

Определение 1 : допустимое распределение x ∈ Z, является слабо Парето-оптимальным, если не∃ x ∈ Z, такого что u(x) >> u(x).

Введем следующие обозначения :

7

Если у нас есть вектора u, v ∈ Rm (конечномерное пространство), то тогда :a). u ≥ v, т.е. каждая компонента вектора u ≥ каждой компоненты вектора v(ui ≥ vi).б). u > v ⇔ ui ≥ vi и ∃j, что uj > vj , т.е. хотя бы одна компонента u > компоненты v.в). u >> v ⇔ ui > vi ∀i = 1, nг). Скалярное произведение : u · v = (u, v)Следует заметить, что u(x)−n мерный вектор, составленный из значений этих функций на этом

x; u(x) = (u1(x), y2(x), . . . , un(x)).Так для краткости мы будем обозначать уровни полезности, достижимые участниками нашей

экономики на распределении x. Весь спектр уровней полезности изображается u(x), который ха-рактеризует это распределение с точки зрения участников экономики.

Т.е. распределение x ∈ Z является слабо Парето-оптимальным если ни найдется другого допу-стимого распределения, в котором каждый из участников достигает большего уровня полезности.

Определение 2: распределение x ∈ Z называется строго Парето-оптимальным, если не ∃x ∈ Zтакого, что u(x) > u(x).

Здесь требование оптимальности является более сильным, чем раньше. Но строго Парето-оптимальныераспределения считаются не устойчивыми, т.к. хотя бы один человек будет стремиться перейти кдругому распределению, что может дистабилизировать ситуацию. Т.е. в определении 1 надо чтобывсе стремились перейти к чему-то другому не из точки оптимума, а в определении 2 достаточноинициативы хотя бы одного участника.

Введем следующие обозначения.P ′ – множество слабо Парето-оптимальн. распределений.P – множество строго Парето-оптимальн. распределений. Очевидно, что из определения P ⊂ P ′.Сейчас займемся анализом P ′.Запишем свойство опт. Парето-распределений подчеркивающее значимость их изучения.Предложение 1: (внешняя устойчивость P и P ′). При условии, что ui непрерывные; для всякого

распределения x ∈ Z, ∃ распределение x ∈ P, такое, что u(x) ≥ u(x). Если при этом, оказалось, чтоx /∈ P ′, то ∃y ∈ P ′ такой, что u(y) >> u(x).

Доказательство: Пусть у нас есть произвольный зафиксированный x ∈ Z.Обозначим множество Z(x) = {y ∈ Z|u(y) ≥ u(x)} (∗), причем Z(x) 6= ∅ т.к. x ∈ Z.Теперь выбираем x ∈ Z(x), который доставляет max функции uN (x) =

∑i∈N ui(x), т.е. x ∈

ArgmaxuN – это множество опт. решений Z(x)задача max функции uN на множестве Z, т.е. uN (x) = max

x∈Z(x)uN (x).

Доказать самим !Z – замкнутое и ограниченное, т.е. компакт.Пояснение:Z определяется некоторым набором лин. уравнений и лин. неравенств. Лин. неравенства - это

просто условия неотрицательности xi, а уравнения проистекают из того, что∑i

xi = W. Т.е. у нас

l уравнений и l × n неравенств типа nil ≥ 0. Это множество является многогранником, который

является замкнутым множеством. А то что множество Z является ограниченным вытекает из того,что все компоненты ≥ 0 (из этого проистекает ограниченность снизу), а ограниченность сверхуследует из того, что

∑i

xi = W. И значит каждая компонента любого допустимого распределения

не превосходит соответствующей компоненты вектора W.Функция uN (x) является непрерывной, как сумма непрерывных функций.Для того чтобы доказать компактность Z(x), достаточно доказать, что оно является замкнутым

подмножеством множества Z. А ограничитель следует из ограниченности Z.Т.е. для того, чтобы доказать, что ∃x, достаточно доказать, что Z(x) замкнуто, тогда x будет

существовать по теореме Вейерштрасса. Т.е. доказав замкнутость Z(x) , мы докажем, что Z(x)компакт. Но по определению:

Z(x) =⋂

i∈N

{y ∈ Z|ui(y) ≥ ui(x)} u(x) ≥ λ

8

Мы знаем, что пересечение замкнутых множеств замкнуто, поэтому осталось доказать, что каж-дое их этих множеств является замкнутым. Ну а это вытекает из того, что все функции ui непре-рывны, а для всякой непрерывной функции u множество тех x, на которых она принимает значения≥ λ (какое-то число), замкнутое множество. А у нас именно такая ситуация, мы рассматриваем для∀ функции и множество тех аргументов x, на которых значения этой функции ≥ λ (какого-то кон-кретного числа), т.е. мы рассматриваем верхнее Лебеговское множество этой функции, там где онапринимает значение ≥ λ. . Т.о. Z(x) – замкнуто ⇒ uN достигает на Z(x) своего max . Т.о. ∃x –максимизирующий на uN (x) на Z(x).

А теперь осталось доказать, что x обладает требуемыми свойствами, т.е.:1). Что покомпонентно u(x) ≥ u(x), а это вытекает из построения Z(x).2). Что x ∈ P, т.е. x является строго Парето-оптимальным распределением.Докажем 2). от противного.Допустим, что x /∈ P, тогда ∃y ∈ Z такой что u(y) > u(x)(2∗), суммируя покомпонентно, мы

получаем, что uN (y) > uN (x) уже проклевывается противоречие, с тем, что на x наша функцияuN достигает max значения на Z(x). А теперь докажем, что y ∈ Z(x). Это следует из (2∗) и u(y) >u(x) ≥ u(x).

Следовательно ∃y ∈ Z(x) : uN (y) > uN (x). Т.е. мы имеем, что в Z(x) нашелся другой y, длякоторого значение функции uN больше, чем на x, а x выбирался из условия, что на нем эта функциядостигает самого большого значения, значит мы получаем противоречие с предположением, чтоx /∈ P, т.е. x ∈ P.

А теперь докажем, что если x /∈ P ′, то ∃y ∈ P ′ : u(y) >> u(x).Доказательство: Если x /∈ P ′, то тогда найдется по определению z ∈ Z для которого u(z) >>

u(x).Построим для z ∈ Z :Z(z) = {y ∈ z|u(y) ≥ u(z)}, а затем повторим все рассуждения которые были в первой части,

т.е. для множества Z(z) найдем x, который на этом множестве доставляет max функции uN (x) =max

x∈Z(z)uN (x).

Ну а дальше легко доказать, что x может выполнять роль того, y который у нас записан. Если вдвух словах, то это будет выглядеть так: Как мы уже доказали, для любого распределения Z Z(z)является замкнутым, значит оно как часть компактного будет компактным. Т.о. x существует и онбудет ∈ P ( по доказанному ранее).

Тогда x ∈ P ⇒ u(x) ≥ u(x) >> u(x) ⇒ u(x) >> u(x).Т.о. ∃y = x ∈ P ′ : u(y) >> u(x), если x /∈ P ′.

Слабо и строго Парето-оптимальные распределения наилучшие среди всех остальных, они яв-ляются и максимальными.

Поиск Парето-оптимальных распределений.Оказывается, что в некоторых достаточно простых ситуациях множество P ′ –это всего-навсего

оптимальные решения некоторых задач выпуклого программирования. Если мы введем хорошиепараметры, то оказывается отношение какого-то конкретного x ∈ P ′ – это просто

1). надо выбрать подходящие параметры2). и с этими параметрами решить некоторую задачу выпуклого программирования.Рассмотрим всевозможные u – мерные вектора α(α1, . . . , αn) – это вектор весов параметров,

α ≥ 0 и∑

i∈N

αi = 1.

Тогда uα(x) =∑

i∈N

αiui(x) – взвешенная функция характеризующая эту или иную альтернативу

с точки зрения общества в целом.Предложение 2: Если x∗ является оптимумом функции uα на множестве Z, то x∗ ∈ P ′ ( т.е.

всякое оптимальное решение задачи максимизации uα на множестве Z является слабо Парето-оптимальным распределением). Если при этом α >> 0, то x∗ ∈ P.

Доказательство: от противного.Пусть x∗ не является слабо Парето-оптимальным распределением. Тогда найдется другой x, на

котором функции u1, . . . , un принимают еще большее значение, чем на x∗ Т.о. мы имеем n нера-венств:

9

u1(x) > u1(x∗) xα1

u2(x) > u2(x∗) xα2

un(x) > un(x∗) xαn

Неравенства знака не меняют т.к. α ≥ 0. По крайней мере ∃i : αi > 0. Просуммировав левую иправую части, получаем: uα(x) > uα(x∗). Но это противоречит тому, что x∗ – максимум для uα.

Как на практике на самом деле можно было бы искать слабо (строго) Парето-оптимальныераспределения ?

Если мы хотим найти строго Парето - оптимальное распределение, то тогда мы берем какие-товеса лишь бы они были ненулевые и максимизируем соответствующую функцию. Максимум будетэлементом множества P.

Если хотим найти элемент просто из P ′ то можно не заботиться, чтобы веса были все ненулевые.Например, берем и max только одну функцию, остальные веса нулевые и то что найдется и будетэлементом множества P ′.

Теперь нам надо доказать, что на самом деле при некотором естественном дополнительном пред-положении (о вогнутости), оказывается что обратное тоже верно, что каждый из элементов P ′ мож-но найти подобрав соответствующие веса.

Введем обозначения:Для каждого x ∈ Z : u(x) = (u1(x), . . . , un(x)) U = {u(x)|x ∈ Z} – совокупность всех возможных

значений функции полезности на множестве допустимых распределений. U = U − Rn+ = {v ∈ Rn|

для которых ∃x ∈ Z, такой что v ≤ u(x) покомпонентно }. Множество U называется насыщение Uснизу.

u(x)

v

UU

сторона бесконечного квадрата¾

U мы получили путем заполнения U

бесконечными квадратами.

r

r

'

&

$

%

Если нам доступен определенный уровень полезности, то нам доступны и все нижележащиеуровни полезности.

Введем обозначение:Пусть точка x ∈ Z, мы рассматриваем uu(x), и обозначаем через

◦R

n

+= {u ∈ Rn|u >> 0} и

обозначаем так K(x) = u+◦R

n

+, т.е. совокупность (NB! ui – вогнутые функции) всех векторов,которые покомпонентно >> u.

Лемма 1 :x ∈ P ′ ⇔ U

⋂K(x) = ∅, т.е. не пересекаются. Схема доказательства:

10

u = u(x)UUr

'

&

$

%

λ

@@@@

@@@

@@

@

@@

@@

u(x) - это по построению, конус, состоящий из всех векторов, которые покомпонентно >> u(x).U

⋂K(x) = ∅. означает, что во множестве U нет ни одного элемента, который бы попадал во

множество K(x) Тогда по определению x является слабо Парето-оптимальным распределением.Что означает, что x ∈ P ′? Т.е. не ∃x ∈ Z : u(x) > u(x). Т.е. во множестве U не ∃ ни одноговектора, который был бы покомпонентно >> u. Если K(x) не пересекаются с U , то такого векторане найдется, т.к. в K(x) находятся вектора которые >> u. Т.е. непересечение дает нам, что x ∈ P ′.А если x – слабо Парето-оптимально, то не ∃x : u(x) ∈ K(x), т.е. u(x) > u(x). А это означает, чтоK(x) с U и U не пересекается (по построению).

Надо самим доказать это математически более точно !Мы предполагаем, что у нас выполняется условие, что ui – вогнутые функции.Лемма 2: Если ui вогнутое, то множество U выпуклое.Эта лемма позволяет в дальнейшем использовать теорему отделимости для характеризации P ′.

Доказательство на следующей лекции.Лемма 3: Теорема Минковского:Если выпуклые множества C1 и C2 ⊆ Rn не пересекаются (C1

⋂C2 = ∅), то тогда ∃ вектора

∈ Rn, a 6= 0 и ∃ число в ∈ R, что выполняются следующие соотношения:

supx∈C1

a · x ≤ b ≤ infy∈C2

a · y

А если при этом C1 и C2 замкнуты и одно из них компактное, то тогда мы имеем:

supx∈C1

a · x < b < infy∈C2

a · y

Лекция 4

Эти три леммы понадобятся нам в дальнейшем для доказательства того, что при условии выпук-лости функции полезности, слабо Парето-оптимальные распределения это те и только те, которыесоответственно являются решением экстремальной задачи max взвешенной суммы функций полез-ности.

Лемма 3, ее более слабое утверждение, было доказано в курсе мат. программирования, поэтомумы ее доказывать не будем, но желательно доказать ее самостоятельно.

11

Лемма 2: Если функции полезности ui вогнутые, то тогда множество U = {u ∈ Rn для некоторых∃x ∈ Z : u ≤ u(x)} выпукло

Доказательство: Возьмем произвольные u, v ∈ U и произвольное число t ∈ [0, 1] и доказать, чтовыпуклая комбинация tu + (1 − t)v ∈ U , т.е. согласно определению U∃ допустимые распределенияx, y,∈ Z :

u(x) ≥ u

u(y) ≥ v

Если расписать вектора покомпонентно, то мы получим систему неравенств из n+n неравенств.Умножим u(x) ≥ u на число t : tu ≤ tu(x) Умножим u(y) ≥ v на число 1− t : (1− t)v ≤ (1− t)u(y).А теперь складываем эти неравенства покомпонентно tu + (1 − t)v ≤ tu(x) + (1 − t)u(y). У насфункции полезности вогнутые, а для каждого i справедливы такие неравенства: ui(tx + (1− t)y) ≥tui(x) + (1− t)ui(y) ⇒ u(tx + (1− t)y) ≥ tu + (1− t)v, т.о. мы нашли такое распределение, что и наэтом распределении ≥ этой выпуклой комбинации. А теперь осталось установить, что эта выпуклаякомбинация тоже является допустимым распределением, т.е. речь идет о том, что Z выпуклоемножество, что если x, y ∈ Z, то и всякая их выпуклая комбинация ∈ Z. Если в двух словах,это проистекает из того, что Z определяется как многогранник как решение некоторой системылинейных неравенств и уравнений, т.е. z состоит из неотрицательных распределений наборов ui(k) ≥0 и

∑ui = W. Т.о. Z есть решение системы уравнений и неравенств, т.е. Z многогранник, а мы

должны это знать, что следовательно Z выпуклое.Итак, Z выпукло,x, y ∈ Z ( по выбору), выпуклая комбинация тоже ∈ Z, раз Z выпукло. Ну и

мы имеем, что нам требовалось. А согласно определению U , tu + (1− t)v ∈ U .А теперь приступим к следующему, убедимся, что слабо Парето-оптимальное респределение

это просто-напросто в точности те, которые могут быть получены как решения задач вогнутогопрограммирования, именно max взвешенной суммы функций полезности на Z в множестве P ′ .только это. А если мы еще добавим непрерывность к функциям полезности, то оказывается, что иобратное тоже верно, т.е. множество P ′ в точности совпадает со множеством всех экстремальныхрешений для функции uα

Введем обозначения:4 - совокупность всех весов:

4 = {α = (α1, . . . , αn) ≥ 0,∑

i∈N

αi = 1}

xα - элемент ∈ ArgmaxZ

uα

Решение задачи uα → max, где uα =∑N

αiui(x) при условии, что x ∈ Z, мы будем обозначать

через xα. А множество ArgmaxZ

uα, обозначаем совокупность всех решений этой задачи max прификсированном наборе весов α.

Теорема 1: (теорема об экстремальной характеризации P ′)Если все ui вогнутые, то для всякого x ∈ P ′∃α ∈ 4, что x = xα Т.е. если ui вогнутые, то каждое

слабо Парето-оптимальное распределение является оптимальным решением задачи оптимизациифункции uα при подходящем выборе α т.е. для каждого слабо Парето-оптимального распределениянайдется система весов α, такая что этот самый x доставляет max значение взвешенной сумме uα

на множестве Z.Доказательство: зафиксируем произвольное распределение x ∈ P ′, согласно лемме 1, множе-

ства K(x)⋂

U = ∅ (не пересекаются). По лемме 2, U выпуклое множество, множество K(x) тожевыпуклое, т.к. K(k) это совокупность всех векторов, которые покомпонентно строго больше вектораu(x) т.е. это что-то вроде положительного ортанта, только без границ.

12

-

6

ur

6

безграничный конус

@@

@@@

Взяв две точки внутри конуса и соединив их отрезком, несложно проверить, что все элементыотрезка >> u.

Т.о. есть два выпуклых множества, которые не пересекаются, а по лемме 3 (независимо от за-мкнутости) обязательно найдется линейный функционал, найдется вектор a 6= 0 (не нулевой), за-дающий линейный функционал, в обычной форме L(x) = a · x (скалярно умножить) , что приподлежащем выборе числа b, гиперплоскость (это множество тех x, на котором наш линейныйфункционал принимает значение = b) разделяет два множества 1 и 2 :

'

&

$

%'

&

$

%

C1

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

C2

b

Т.о. по лемме 3 найдется n мерный вектор a 6= 0 и число b, что

supu∈U

au ≤ b ≤ infv∈K(x)

av ⇒ au ≤ b ≤ av (∗)

А теперь из (*) мы постараемся извлечь все, что нам надо. Ясно что в качестве кандидата нароль вот этих самых весов у нас выступает вектор a, из него надо будет как-то строить эти веса.Для того чтобы он был мало-мальски похож на то, что нам нужно, надо как min, чтобы этот векторa был бы неотрицательным. Т.е. установим следующее:

1). a ≥ 0 ( нет ни одной отрицательной компоненты). Действуем от противного, допустим, что∃i, что ai < 0. Противоречие будем получать анализируя множество K(x). Давайте рассмотримдля произвольного натурального числа m(m > 0) вектор vm, который заведомо ∈ K(x), потому чтоон устроен таким образом: vm = u + (1, . . . , m + 1, . . . , 1) u = u(x) (прибавляем n мерный вектор, укоторого всюду единицы, кроме i – того места, на котором стоит m + 1).

Подсчитаем значение нашего линейного функционала на векторе vm :

avm = au +∑

i∈N

ai + m · ai

А согласно (*) мы имеем:

avm = [au +∑

i∈N

ai] + mai ≥ b

13

при любом m Т.о. когда-нибудь наступит момент, что неравенство нарушится, мы получилипротиворечие с (*), т.е. наше предположение неверно. Т.о. мы имеем, что ai ≥ 0 ∀i, ну а раз онине отрицательны и вектор a отличен от нуля, то стало быть

∑i

ai > 0 (сумма компонент вектора a

строго больше нуля).Тогда пусть α = a/

∑i∈N

ai т.е. нормируем вектор a. Очевидно тогда, что α ≥ 0 и∑

i∈N

αi = 1. Ясно,

что α ∈ 4 (4 - название - симпликс). Последнее осталось проверить, что α и будет тем самымдля которого x = xα (x окажется решением задачи max взвешенной суммы функций полезности свесами α на множестве Z.)

Т.к.∑

i∈N

ai > 0, то мы может записать, что

αu ≤ αv (∗∗)

Следует заметить, что согласно определению множества U множество U = {u(x)|x ∈ Z} ⊆ U .Поэтому в левой части (**) нас на самом деле переписаны все возможные значения функции uα,поскольку

αu =∑

αiui не только для всех U , но и для U Т.е. здесь на самом деле в левой части переписанывсе мыслимые значения которые принимает функция uα и она как видно из (**) ≤ b/

∑i

ai ≤αv, а могут быть выбраны так, что они будут очень близки к u. Вот из этого и будем получатьдоказательство.

Т.о. αu =∑

αiui, а если в качестве u мы можем взять все значения функции u(x), то тогдаuα(x) =

∑αiui(x). Очевидно, что согласно (**) inf

v∈K(x)αv ≤ αu, где v состоит из u и некоторого

положительного вектора: v >> u, умножив это неравенство покомпонентно на αi, а затем сложив,получаем

∑i

αiui >∑

i αiui или αv > αu, а следовательно и для нижней грани выполняется этонеравенство.

Теперь нам осталось доказать, что infv∈K(x)

α · v ≤ αu. v может быть приближено к u как угодно

близко. Рассмотрим последовательность vm :

vm = u + (1/m, . . . , 1/m) ∈ K(x)

m - произвольное, натуральное число. vm ∈ K(x), т.к. он покомпонентно строго больше вектора u.Скалярное произведение на α, будет следующим: α·vm = αu+ 1

m

∑i αi = αu+ 1

m . Отсюда следует, чтоinf

v∈K(x)αv = αu (Это вытекает из определения inf). Итак мы доказали, что αu = uα(x) ≥ αu(x) x ∈ Z

т.к. вектора вида u(x) содержались во множестве U , как элементы множества U. Тогда получается,что на распределении x, которое было слабо Парето-оптимальным функция uα принимает значения≥, чем значения на любом другом допустимом распределении. Значит x = xα - можно изобразитькак решение задачи на max функции uα на множестве Z.

Следствие 1: Если функции ui вогнутые и непрерывные, то x ∈ calR′ ⇔ ∃α ∈ 4 такая чтоx = xα, т.е. x является решением задачи maxuα, на множестве Z. В случае когда ui вогнутые инепрерывные, то тогда из всего сказанного выше и в том числе из теоремы 1 вытекает, что длятого чтобы допустимое распределение x было слабо Парето-оптимальное необходимо и достаточночтобы нашлась система весов α такая что этот x является оптимальным решением функции uα наZ.

Если у нас нет непрерывности, то мы можем гарантировать только одно, что если мы можемгарантировать только одно, что если у нас нашелся хотя бы один слабо Парето-оптимальный, тотогда обязательно найдутся и веса. Но обратное мы утверждать не можем, потому-что если функ-ция, хотя бы одна, является разрывной, то уже тогда uα может максимум не достигать и мы неможем найти для каждого α свой xα, который был бы в P ′.

Т.о. просто ничего кроме вариации весами не требуется для того чтобы перечислить, отыскатьвсе, какие только есть слабо Парето-оптимальные распределения.

Сейчас мы займемся другой характеристикой слабо Парето-оптимальных распределений. Дадим эту характеристику с помощью системы цен.

14

Сделаем предположение об автономности (C) функций полезности. Автономность. Функцияполезности i – того участка не зависит от того что получили в качестве наборов другие участ-ники, кроме того что он сам получил, т.е. функция зависит теперь не от n × l переменных, а отl переменных, а именно от того набора который получил участие i. Одна из форм формальногоизобретения этого выглядит так: функция ui(x) называется автономной, если ∃ функция vi(xi),так, что ui(x) = v)i(xi) где x = (x1, . . . , xi, . . . , xu)

С этого момента и дальше, мы будем считать, что наши функции ui заданы для каждого iна всем положительном ортанте, т.о. он имеет суждение обо всех неотрицательных наборах, а нетолько о тех, которые получаются допустимым перераспределением W и даже иногда, если это намбудет нужно, мы можем считать, что эти функции ui продолжим на все пространство l – мерное,т.е. они могут быть заданы и вообще на всех наборах, в том числе и с разного знака компонентами,но сначала мы предполагаем, что у нас Rl

+, а иногда Rl+ → R.

Пусть ui(x) = ui(xi). Если у нас есть вектор цен p = (p1, . . . , pl) и x = (x1, . . . , xl), то стоимостьнабора участника есть p · x =

∑lk=1 pu · xk : pu – стоимость единицы продукта k.

Теорема 2: (стоимостная характеристика на множества P ′ ).Если функции ui автономны, непрерывные, вогнуты, строго возрастающие, а W >> 0, то для

того чтобы допустимое распределение x ∈ P ′ необходимо и достаточно чтобы нашлись такие ценыp >> 0 что для каждого участника i и для каждого набора xi ∈ Rl

+ из того что [ui(xi/ > ui(xi)следует, что pxi > pxi](∗ ∗ ∗)

Строгое возрастание обычно понимается так, что если x > y (хотя бы одна компонента строгобольше), то тогда ui(x) >> ui(y). Это также можно обозвать строгой монотонностью.

Теорема утверждает, что можно характеризовать слабо Парето-оптимальное распределение спомощью цен p т.е. распределение x оказывается слабо Парето-оптимальным, тогда и только то-гда, когда при сравнении с ним всякое другое, дающее хотя бы одному участнику по функцииполезности больше, чем в этом x, оно конечно хорошее, но более дорогостоящее. Значит x слабоПарето-оптимально⇔ если и можно для какого-то участника найти лучший набор, в смысле функ-ции полезности ui(xi) >> ui(xi), то это только ценой превышения стоимости набора, который даетсяему по x т.е. если этот x и лучше, то он стоит дороже, чем стоит набор x, который фигурирует какэлемент P ′.

Доказательство : В доказательстве важную роль будет играть лемма 3 (теорема Минковского).К этой лемме нам надо сконструировать два выпуклых множества, которые бы не пересекались.А потом найти линейный функционал. Это и будет вектор цен p, который будет выполнять все тефункции, которые от него требуются.

Сначала докажем, что если есть вектор цен p, то тогда x будет слабо Парето-оптимальным.Итак, допустим, что у нас есть допустимое распределение x ∈ Z и вектор цен p удовлетворяющийусловию (***). Докажем, что x ∈ P ′. Пойдем от противного, допустим, что ∃ другое допустимоераспределение x ∈ Z, которое удовлетворяет условию: ui(xi) > ui(xi) i ∈ N, т.е. barx не слабоПарето-оптимально. Тогда, согласно (* * *) pxi > pxi i ∈ N. Просуммировав эти неравенства,получаем p

∑i∈N

xi > p∑

i∈N

xi ⇒ pw > pw, получили противоречие, значит наше предположение, что

x не слабо Парето-оптимально неверно.Докажем теперь вторую часть; где предполагается, что xP ′ и ищем вектор p, который удовле-

творяет условию (***). Построение p сводится к построению двух надлежащих выпуклых непе-ресекающихся множеств, и потом найти функционал, который их разделяет, вектор, с помощьюкоторого строится линейная функция и вот этот вектор, возможно несколько подправленный, ибудет выполнять роль того самого вектора цен p который нам нужен.

Итак, нам известно, что x ∈ P ′. Для каждого участника i ∈ N построим множество Mi(x) ={xi ∈ Rl

+ на которых ui(xi) > ui(xi)}−{xi} (вычитаем алгебраически), т.е. возьмем сдвиг множестватех наборов на которых функция принимает значения > чем на на вектор xi.

Теперь введем множество M(x) =∑

i∈N

Mi(x) - эта алгебраическая сумма иногда называется сум-

мой по Минковскому. Под суммой множеств понимается совокупность всех сумм составленных извекторов принадлежащих этим множествам. Далее мы будем исследовать два нужных нам множе-ства: M(x) и 0. Нам надо будет доказать выпуклость. И найти p.

15

Лекция N 5

Продолжаем доказательство нашей теоремы. Мы остановились на том, что надо было доказать, чтоесли x ∈ P ′, то тогда непременно найдутся такие цены p >> 0 и удовлетворяют такому условию,что если для каждого участника i, из того что для него нашелся допустимый набор xi ≥ 0, длякоторого ui(x) > ui(xi) следует, что p · xi > pxi(+).

Мы уже построили множества Mi(x) - это грубо говоря все наборы для которых участник посвоей функции полезности получает строго больше, чем по xi и минус xi, сдвиг такой. Потом мыпостроили M(x) =

∑i∈N

Mi(x).

Мы остановились на том, что если бы доказать, что множество M(x) является выпуклым и несодержит нуля, то мы получили бы два непересекающихся выпуклых множества, которые по лемме3 можно разделить функционалом, т.е. некоторым вектором p, который будет играть роль цен p,которые фигурируют в (+). Этим мы и будем заниматься.

Т.к. множество Mi(x) выпуклые, то их алгебраическая сумма, тоже выпуклое множество, т.е.M(x) выпуклое. Т.е. нам надо доказать выпуклость Mi(x) А выпуклость Mi(x) вытекает просто изусловий, которые мы наложили на функцию полезности, что функция полезности каждого участ-ника является вогнутой. Вспомним: Mi(x) = {xi − xi|xi ≥ 0, ui(xi) > ui(xi)}. А это есть ни чтоиное, как сдвиг верхнего Лебеговского множества функции ui. Верхнее Лебеговское это там гдеui(x) > λ = ui(x). Докажем выпуклость. Итак, мы берем два произвольных элемента из множе-ства Mi, берем произвольное число t ∈ (0, 1) и берем выпуклую комбинацию этих двух элементови проверяем, что это снова попадаем в Mi. Итак, фиксируем некоторое число t ∈ (0, 1), берем двапроизвольных элемента zi = xi − xi и z′ix′ixi, которые попадают во множество Mi(x). Теперь намнадо взять выпуклую комбинацию этих элементов z(t) = tzi + (1 − t)z′i и показывает, что этотэлемент тоже ∈ Mi(x), но z(t) = [txi + (1 − t)x′i] − xi (привели подобные).Теперь чтобы доказатьокончательно, что z(t) ∈ Mi(x), нам осталось только убедиться, что ui(txi + (1 − t)x′i) > ui(xi).z(t) есть неотрицательный вектор, т.к. каждый из них по выбору не отрицательный (xi и x′i), авыпуклая комбинация неотрицательных будет снова неотрицательной.

Проверим, что ui(txi + (1− t)x′i) > ui(xi). пользуясь вогнутостью функции и тем условием, чтона xi и x′i наша функция по предположению принимает значения строго больше чем на xi .

Если мы воспользуемся условием вогнутости, то получим следующее: ui(txi+(1−t)x′i) ≥ tui(xi)+(1− t)ui(xi). Но ui(xi) и ui(x′i) строго больше ui(xi).

Когда мы берем выпуклую комбинацию этих двух чисел, то мы берем какой-то элемент из отрез-ка (ui(xi); ui(x′i. Но тогда и любой элемент из этого отрезка будет строго больше ui(xi). На картинкеэто будет так:

-

6

ui(xi)

ui(xi)

ui(x′i){r

r

r

Когда мы берем выпуклую комбинацию этих двух чисел, то мы берем какой-то элемент изотрезка (ui(xi); ui(x′i)). Но тогда и любой элемент из этого отрезка будет строго больше ui(xi).

Можно записать такui(xi) > ui(xi) xt

ui(xi) > ui(xi) x(1− t)

16

а затем складываем:tui(xi) + (1− t)ui(x′i) > ui(xi)

Т.о. множество является выпуклым, т.е. каждое множество Mi является выпуклым. Т.е.M(x)выпуклое.

Докажем, что 0 /∈ M(x), тогда мы будем иметь два выпуклых непересекающихся множества итогда можно будет найти тот p, который их разделяет.

Докажем от противного, пусть 0 ∈ M(x) и x ∈ P ′. Из того, что 0 ∈ M(x) мы получаем, чтонайдутся такие xi ≥ 0 (допустимые), что ui(xi) > ui(xi) для всех i ∈ N и

∑i∈N

(xi−xi) = 0 (*), вот что

означает, что 0 ∈ M(x), прямо по определению множества M, но это противоречит тому, что x ∈ P ′,т.к. ui(xi) > ui(xi) и само распределение x = (x′, . . . , un) является допустимым распределением,∑

i∈N xi = W. Это равенство вытекает из (*) т.к. из этого равенства мы имеем, что∑

i∈N

xi =∑

i∈N

x,

а т.к. xi допустимое расширение, то∑

i∈N

xi = W Т.о. мы получили противоречие с тем, что x ∈ P ′

т.е. 0 6= M(x).Получили теперь p. Здесь мы воспользуемся теоремой Минковского и покажем, что (+) имеет

место. Согласно этой теореме ∃p 6= 0, такой что 0 ≤ infz∈M(x)

p · z, мы берем sup на 0 и inf на M(x). А

из определения inf, мы имеем: 0 ≤ p · z ∀z ∈ M(x) (**).Упорядочим как-нибудь наши цели.1). Сначала докажем, что для каждого i ∈ N и для любого zi ∈ Mi(x) имеет место p · zi ≥ 0.2). Потом докажем, что p >> 0.3). В конце докажем (+).Доказательство1). Зафиксируем произвольный i ∈ N, zi = xi − xi ∈ Mi(x), и покажем, что p · zi ≥ 0 или

pxi ≥ pxi.Рассмотрим элемент z ∈ M(x), который есть

z = zi +∑

j inN\i[(xj +

1m(n− 1)

· lk)− xj ]

где m - произвольное натуральное число ≥ 1, n – число участников модели, k – какой-то про-дукции ∈ L (выбираем один и тот же для всех участников j). Итак, мы сформировали вектор z,по форме такой, как элементы из множества M(x) т.е. равный сумме из n слагаемых, каждый изкоторых, как мы сейчас проверим, действительно ∈ своему множество Mi(x). И тогда мы получим,что z ∈ M(x). Т.е. будем доказывать, что z ∈ M(x). В этой сумме слагаемое, отвечающее участникуi по предположению ∈ своему множеству Mi(x) по выбору. Посмотрим на остальных участников.Чтобы показать, что эти разности принадлежат соответствующим Mj(x), достаточно убедиться,что: ui(xj + 1

m(n−1) · lk) >> ui(xj), но это очевидно, т.к. наши функции полезности являются строговозрастающими, а здесь к xj мы даем еще некоторое положительное количество продукта NK Т.о.z ∈ M(x).

Теперь нам надо оценить чему будет равно значение скалярное произведение pz, если мы пока-жем, что оно при любом m будет мало отличаться от pzi, то в пределе мы получим, что требуется.Имеем: pz = pzi + p

∑j∈N\i

lk 1m(n−1) = pzi + pk

1m ≥ 0, т.к. вектор строился так, что его скалярное про-

изведение со всеми z ∈ M(x) было неотрицательным. Теперь воспользуемся теоремой о сохранениинеравенств в пределе. У нас в левой части очевидно сходящаяся последовательность. Т.о. имеем:

limm→∞

(pzi + pk1m

)pzi ≥ 0 limm→∞

0 = 0.

Т.е. pzi ∈ 0. Если записать по другому, то для каждого i ∈ N и для каждого xi ∈ 0, которыйдает ui(xi) > ui(xi) выполняется pxi ≥ pxi (++)

2). Докажем, что p >> 0. но сначала докажем, что p ≥ 0. Пойдем от противного, допустим,что для какого-то продукта k pk < 0. Тогда для произвольного участника возьмем и добавим кего набору xi единичку продукта k : xi + lk получим новый набор, который очевидно лучше, чем

17

набор xi т.е. ui(xi + lk) > ui(xi) в силу строго возрастания функции полезности. Получим теперьпротиворечие l (++). Т.к. xi + lk лучше xi, то т.о. мы получаем, что pk ≥ 0, а по предположениюpk < 0 т.е. наше предположение неверно.

Т.е. мы доказали, что все компоненты вектора p неотрицательны, нам осталось доказать, чтоони все положительны. Пойдем от противного, допустим, что есть m -ая компонента для которойpm, а т.к. вектор p неотрицательный и он не равен нулю, то у него есть хотя бы одна положительнаякомпонента, пусть pk > 0. Сейчас мы должны получить противоречие, его мы получим следующимобразом, нам надо сначала найти участника у которого по его набору x имеется ненулевое количе-ство продукта k, а потом как-то воспользоваться тем, что у нас есть продукт, который ничего нестоит. Почему ∃ хотя бы один участник у которого k - тый продукт в его наборе x наличествует вненулевом количестве, просто потому, что у нас по условию

∑i∈N

xi = W > 0 (строго положительна),

т.е. каждый продукт имеется в ненулевом количестве∑

xik = Wk > 0, т.е. в этой сумме есть хотя бы

одно слагаемое строго больше нуля, значит ∃ такой i для которого xik > 0, этого i - того участника

мы и возьмем сейчас: i = i(k) (зависит от k).Итак, мы берем участника i который располагает набором xi, в котором имеется ненулевое

количество продукта Nk, по которому цены строго положительны. Затем мы можем добавить этомуучастнику какое-то небольшое количество продукта m, так, чтобы его функция полезности выросла,а потом, пользуясь непрерывностью, можем чуть-чуть отнять у него некоторое количество продуктаk, и пользуясь непрерывностью сохранить неравенство для функции полезности, а потом подсчитатьбаланс, что чего стоит, и получить противоречие. Вот такой смысл всего дальнейшего.

Проделаем следующие манипуляции:а). дадим этому участнику некоторое небольшое число продукта: xi + Elm, E > 0, E – какое-то

число > 0.По строгому возрастанию функции мы имеем:

ui(xi + E lm) > ui(xi) (∗ ∗ ∗)Теперь воспользуемся непрерывностью ui. Т.к. функция непрерывная, то если выполняется (***),

то должно выполняться такое-же неравенство и для всех наборов, достаточно близких к набору,что выписан в левой части (***). Т.е. для нашего E должен найтись такой δ ∈ (0, xi

k) (чтобы набороставался допустимым), что ui(xi + E lm − δlk) > ui(xi) (δ -достаточно малое). А используя (+ +)мы получаем, что

xi(E , δ) · p = pxi + pm · E − δpk ≥ pxi ⇒ −δpk ≥ 0,

поскольку δ > 0, pm · E = 0 т.к. pm = 0 и pk = 0, т.о. мы получили противоречие, т.е. не ∃pm = 0Т.о. мы получили, что p >> 0.

3). Нам надо доказать, что из ui(xi) > ui(xi) вытекает, что pxi > pxi.Пойдем от противного, допустим, что для какого-то участника i и какого-то набора xi этого

неравенства нет, а по доказанному ранее pxi > pxi т.е. ∃ набор xi, который по функции полезностилучше, а по деньгам такой же pxi > pxi. Попробуем извлечь противоречие. Какое тут может бытьпротиворечие ? Сначала посмотрим на самое начало цепочки, мы предположим, что набор xi луч-ше, чем набор xi, в силу того, что функция и строго возрастающая, ясно, что набор xi не можетбыть нулевым, а если бы xi был нулевой ,то у нас было бы ui(xi) ≤ ui(xi), но у нас стоит неравен-ство ui(xi) ≤ ui(xi) ⇒ xi 6= 0, а значит какая-то его компонента строго больше нуля: xi

k > 0. Разxi лучше чем xi и у него есть хотя бы одна ненулевая компонента, мы можем чуть-чуть ее умень-шить, отобрать у него немного продукта с тем,чтобы строгое неравенство для функции полезностисохранялось, а потом получить противоречие. Вот какая идея доказательства.

Итак, у нашего участника i есть ненулевое количество k - того продукта xik > 0, т.к. функция ui

непрерывная,то мы можем уменьшить это кол-во, т.е. рассмотреть новый вектор xi−δlk, где δ какое-то достаточно маленькое, положительное число из интервала (0, xi

k), так,что в силу непрерывностиу нас сохраняется неравенство ui(xi− δlk) > ui(xi). А используя (++), имеем : pxi− δpk ≥ pxi, а понашему предположению pxi = pxi ⇒ −δpk ≥ 0, поскольку δ > 0 и pk > 0 получили противоречиеТ.о. (+) выполняется.

18

Мы доказали, что Парето-оптимальные распределения обладают некоторым дополнительнымхорошим свойством, что если ввести хорошие цены p, то при условии, что дальнейший обмен раз-решается только в рамках этих цен, нам невозможно найти какой-то обмен, который улучшил быположения участников в распределении x. Проиллюстрируем этот тезис более подробно.

Если мы введем бюджетное множество для каждого участника i : Bi(p, xi) = {xi ≥ |pxi ≤pxi} – это всевозможные наборы, которые может себе позволить участник, продав, допустим, свойпервоначальный запас xi. Наша теорема утверждает, что если цены выбраны разумно, то от добрадобра искать ему не придется, потому что соотношение (+), означает, что набор xi попадет в числодопустимых ему по ценам p и функция полезности во множестве Bi достигает своего максимума:

ui(xi) = max{ui(xi)|xi ∈ Bi(p, xi)},т.е. лучше чем xi по ценам p нет.Соотношение (+) в наших новых обозначениях можно выразить так, что найдется строго поло-

жительный вектор p такой, что для каждого участника i, набор xi доставляют max их функциямполезности на множестве Bi(xi, p). И у нас нет никакого стимула для обмена xi на что-то другое.

Сделаем следующие замечанияI). Желательно доказать самим. В некоторых достаточно естественных условиях, наша харак-

теристика слабо Парето-оптимальных распределений годится и для строго Парето-оптимальныхраспределений. Это имеет место в следующем случае, если w >> 0, а ui непрерывные и строговозрастающие, автономные, то P = P ′. Все это имеется в нашей теореме, значит она доказана и длястрого Парето-оптимальных распределений.

Идея доказательства : оно идет от противного, мы знаем, что P ⊆ P ′, а нам надо доказать,что P ′ ⊆ P, а это можно доказать от противного, допустим, что есть распр. x ∈ P ′ и ∃y ∈ Z,что ui(y) ≥ ui(x) и для какого-то по крайней мере одного участника ui0(y) > ui0(x), т.е. x нестрого Парето-оптимально. А дальше мы применяем прием, которым пользовались в доказетельстветеоремы, что раз для i0 выполняется такое строгое неравенство, то тогда из-за строгого возрастаниянаших функций и из-за неотрицательности векторов x и y получается, что у вектора y есть хотябы одна компонента строго большая нуля yi

k > 0, а значит есть ненулевое количество продукта k.Тогда пользуясь непрерывностью и строгой монотонностью функции мы можем забрать немногопродукта k(0 < δ < yi0

k ) у участника i0 и разделив поровну между остальными n − 1 добыватьим δ/n − 1 продукта k. Если δ достаточно маленькое, неравенство для i0 сохранится, а остальныенеравенства из-за строгого возрастания функции полезности, станут строгими неравенствами. Имы получаем следующее, мы нашли допустимое распределение, которое чуть-чуть отличается от y,в котором все неравенства выполняются как строгие, а это противоречит тому, что x ∈ P ′.

II). Желательно доказать самим. Касается практического использования нашей теоремы. Еслив условиях теоремы 2 функции ui дифференцируемы, то для допустимого распределения x ∈ Z,которые x >> 0 условие x ∈ P ′ записывается следующим образом: x ∈ P ′ ⇔ x ∈ Z и ∃ векторp >> 0, ∃ числа λi > 0 такие, что ∇ui(xi) = λip i ∈ N. Т.е. тогда все градиенты в точках xi

являются коллинеарными и одинаково направленными.На картинке:

-

6@

@@

@@

@@

@@

@@

µCCCCCC

XXXXXXXXX

линия уровня

касательная

ui

xi¡

¡¡µr

19

Пусть нам дали допустимое распределение x = (x1, . . . , xn) ∈ Z. ui – выпуклые, дифферен-цируемы, строго возрастающие, w >> 0. Как проверить, что допустимое распределение являетсястрого Парето-оптимальным. Проводим линии уровня через xi, потом проводим касательную клинии уровня в точке xi, а потом восстанавливаем перпендикуляр к касательной.

Для всех n участников, когда два продукта, мы можем проделать эти операции. Если все гради-енты направлены в одну сторону, т.е. помещаются все на одну и ту же прямую, то тогда это будетс необходимостью слабо Парето-оптимальным распределением. И наоборот оказывается верно, чтоесли мы возьмем какое-то слабо Парето-оптимальное распределение, то тогда с необходимостьюградиенты будут удовлетворять условию, что они будут коллинеарны и одинаково направлены. Авсе это проистекает из доказанной теоремы и из признака оптимальности в дифференциальнойформе.

Лекция 6

Итак, подведем итог. Итак, мы попытались на основании индивидуальных предпочтений, по-строить коллективное предпочтение, ну а затем max эти предпочтения, выбрать наилучшее дляобщества распределение. Вот оказалось, что если предъявить очень естественные требования к та-кому процессу агрегации индивидуальных предпочтений, то в общем как мы знаем по Т.Эрроу,ничего хорошего от такого подхода ждать не приходится. Ну max, что мы обнаружили, что со-циальный или экономический оптимум достигается просто как оптимум какого-то индивидуумаиз нашего общества. Т.е. прямой подход к решению этой проблемы привел нас в тупик. Мы по-пытались найти другим путем, не искать самое лучшее из каких-то априорных соображений, апостепенно выметать, удалять из множества Z те распределения, которые заведомо не подходятв качестве наилучшего выбора. Раньше у нас был только один инструмент для того, чтобы выме-тать такие плохие распределения, это когда распределение такое, что в нем каждому участникуплохо, в том смысле, что можно перейти к другому распределению, где каждому станет лучше.Вот с помощью всего, накладываемого всем коллективом мы выбрасывали из множества Z все тераспределения которые заведомо не являются Парето-оптимальными. Т.о. круг поиска сузился домножества P ′. Но множество P ′ еще достаточно большое, в нем слишком много распределений,чтобы считать нашу задачу выполненной. Надо его как-то сокращать дальше, идеал – перейти кодноэлементному подмножеству множества P ′. Сам идеал редко достижим, но что-то близкое кнему можно обеспечить, это когда мы постараемся выбрать в качестве наших социальных или эко-номических оптимумов Вальрасовские распределения. Но Вальрасовские распределения можно впринципе определить на том же пути что и слабо Парето-оптимальные распределения. Вот сейчасмы попытаемся перебросить мостик между P ′ и равновесными (Вальсаровскими) распределения-ми используя нашу последнюю теорему. Мы доказали что для всякого слабо Парето-оптимальногораспределения, при подходящих условиях на ф. полезности, можно найти цены, которые бы созда-вали видимость свободы выбора для участников и можно бы надеяться, что при решении задачиотыскания эк. оптимума, может быть одними ценами и можно обойтись, т.е. можно регулироватьотношения между участниками используя только цены. Итак, как примерно это могло бы выгля-деть. Значит, мы из элемента x ∈ P ′ на основании предыдущей теоремы доказали ∃ цен p (l -мерныйвектор, сколько продуктов, столько и цен) такой, что если образовать бюджетные множества:

Bi(p, wi) = {xi ≥ 0|pxi ≤ wi}wi – сумма денег, которой располагает i - ый участник. В последней теореме мы доказали, что xi

при хороших ценах p есть просто-напросто решение задачи: ui(xi) → max на Bi(p, wi) при условии,что wi = pxi.

Т.е. процесс построения слабо Парето-оптимального распределения в свете новейших демокра-тических идей можно было бы представить следующим образом: вот некий кланирующий органкаким-то образом обнаружил слабо Парето-оптимальное распределение, ну и решил осчастливить

20

им весь коллектив состоящий из N участников, можно конечно напрямую создать, вот i - тому xi,но это получается чистая распределилка, можно поступить умнее, они какую-то функцию uα max,нашли x, дальше воспользовавшись нашей последней теоремой нашли цены p, а дальше проделалиследующее: оценили каждое из xi по ценам p, получили wi, которое нужно вручить i тому участни-ку с тем, чтобы после этого он самостоятельно решил свою индивидуальную задачу оптимизациисвоей функции полезности на собственном бюджетном множестве и чудесным образом, то что оннаходит оказывается равным xi. У этой картинки есть и другая сторона, почему в принципе жела-тельно перейти к управлению с помощью только цен, ну просто потому-что есть информационноеограничение, чтобы скажем решить задачу max uα, этому регулирующему органу надо знать ха-рактеристики всех участников, более того надо знать кто конкретно как устроен, у кого конкретнокакие функции полезности, потому-что без этого uα не сочинишь и не смаксимизируешь, т.е. в срав-нении с l - параметрами, которые сидят в ценах, ему нужно знать (регулирующему органу) l × nпараметров, как min, если например, ф. полезности линейны. Т.е. чисто информационные и вычис-лительные ограничения диктуют попытку освободиться от полной регламентации и уменьшениюразмерности решаемой задачи, хотя бы до l, вот цены бы найти хорошие, при которых бы каждыйкаким-то образом самостоятельно решил свою собственную задачу, т.е. речь идет о децентрализа-ции принятий решений. Раньше регулирующий орган делал все за индивидуума: даже отыскивалцены; теперь задача становится иначе: можно ли придумать некую схему при которой имея в рас-поряжении только l управляющих параметров, да и их желательно чтобы рынок сам устанавливал,добиться того, чтобы результирующая распределения, полученная в результате решения задачиmax каждым из индивидумов отдельно, независимо от остальных, было бы по крайней мере такогоже качества как и те что мы умели получать раньше, т.е. слабо Парето-оптимальными. Как же этосдалать? Мы совершили некоторый круг, мы для wi нашли xi, затем оценили в этих ценах, потомдали этот wi. Чтобы избавиться от этой задачи, искать xi, можно позволить себе совершить либоприватизацию, либо денационализацию и т.п. Т.е. идея такая, что бы легче было определять wi

при известных ценах p, давайте просто-напросто раздадим этот общий ресурс W участникам, т.е.выделим каждому из них долю W i ≤ 0 и

∑i∈N

wi = W, т.е. мы раздаем общий ресурс W участникам

бесплатно, руководствуясь какими-то критериями (стат. и т.п.). А дальше задача определения wi

сводится к: wi = p · · ·wi, где p – известны.wi – частная собственность, с которой участник i может делать что угодно: продать, подарить

и т.п. В частности он может полностью продать wi по ценам p и выручить сумму денег wi. А потомрасполагая wi искать в своем бюджетном множестве то, что его устраивает больше всего. Ну иправильные, хорошие цены должны по идее давать тот же результат, что и раньше, т.е. опт. выбордолжен быть таким, что совокупный набор этих наборов должен быть доступным распределениеми если так, то это уже будет хорошо, т.е. индивидуальные решения согласованы с возможностя-ми экономики (эти x можно получить перераспределением w). Если бы еще при этом то что мыполучили было бы слабо Парето-оптимальным , то уже мы бы получили какой-то конкретный ме-ханизм отыскания этих самых x, слабо Парето-оптимальных распределений не централизованным,а децентрализованным способом. Тогда за этим регулирующим центром остается только задачаназначить правильные цены, а дальше участники разберутся каждый в отдельности, решая своюподзадачу. Вот такая идея лежит в основе определения Вальсаровского равновесия. Итак, повто-рим еще раз, оказывается, что все так получаемые равновесные распределения не только слабоПарето-оптимальны, а обладают еще некоторыми дополнительными свойствами, которые оказава-ются того-же примерно типа, что и устойчивость слабо Парето-оптимальных распределений, нотолько относительно не только множества всех участников в целом, но и каждой части участников.На этом пути мы приходим к определению ядра, к определению блокирования и вот еще болееинтересный факт, оказывается, что имея это определение блокирования, аналогичное в некоторомсмысле доминированию, которое определяет слабо Парето-опт. распр., мы можем отыскать крите-рий с помощью которого выбрасываем не подходяшие распределения, доминируемые или блокиру-емые, в остатке получить в множестве Z в точности равновесное распределение и ничего больше,т.е. оперируя некоторым критерием, который не выдвигает цены, никак не использует равновесныеили еще какие соотношения, мы можем прийти в итоге к распределениям, которые поддерживаютсяравновесными ценами, которые в точности совпадают с множеством равновесных распред. Ну этои будет тот финал, к которому мы стремимся, ничего лучше чем равновесное распределение, как

21

оптимум экономический, пока еще в теории по крайней мере, не придумано. Давайте постепеннодвигаться в этом направлении. Итак, мы произвели "приватизацию", под этим мы понимаем, чтокаждому участнику дали набор wi так что w1, . . . , wn образуют само по себе допустимое распре-

деление т.е. wi не отрицательно, аn∑

i=1

wi = W. После этого мы вводим определение бюджетногомножества:

Определение 1: Бюджетным множеством участника при i ценах p мы будем называть множествовсех допустимых наборов xi ≥ 0, которые в ценах p стоят не больше, чем его начальный запас:p · xi ≤ p · wi, т.е.

Bi(p) = {xi ∈ Rl+|p · xi ≤ p · wi}.

Линия дает нам геометрическое место точек, где p · xi = p · wi.

-

6@

@@

@@

@@

@@

@@

µCCCCCC

XXXXXXXXX

A

0 B

ui

wi

pi

¡¡¡µ

6¡

¡¡µr

x2

x1

uiui

бюджетное множество

А то что меньше стоит, располагается ниже линии AB. Но также xi ≥ 0. Т.е. получаем 4ABO– бюджетное множество. Линия AB проведена перпендикулярно к вектору цен p.

Введем определение, касающееся оптимального поведения участника при ценах p. Он выбираетнаилучший элемент в этом бюджетном множестве. Мы обозначим множество всех этих наилучшихэлементов через D〉(p) и назовем это множество множеством спроса i участника при ценах p :

Определение 2 : Di(p) = {xi ∈ Bi(p)|ui(xi) = max{ui(xi)|xi ∈ Bi(p)}}. Вообще-то говоря Di(p)множество, не обязательно одноэлементное, может быть пустым. И вот множество всех оптималь-ных решений задачи max ф. полезности на множестве B мы обозначаем через Di(p) и называем этомножество множеством спроса.

Определение 3: Допустимое распределение x ∈ z является равновесным (или вальсаровским),если ∃ такие цены p при которых выполняются следующие условия: для каждого участника i xi ∈Di(p).

Смысл такой: допустимое распределение является равновесным, если можно подобрать такие"умные"цены p которые децентрализуют процесс выбора компонент x, в том смысле, что каждаякомпонента xi получается при этих ценах как результат решения задачи max ф.полезности этогоиндивидуума на его бюджетном множестве. Т.е. если мы рассматриваем, как субъектов которыене могут и не используются повлиять на цены, то тогда при заданных ценах p все их возможно-сти ограничены Bi(p) и наилучшее, что они могут сделать, это выбрать элементы из Bi(p). Вотони такие элементы выбирают и если этот выбор удается сделать согласованным с возможностямиэкономики, т.е. с тем суммарным запасом, который в ней есть, то тогда мы говорим, что наше рас-пределение, полученное как результат решения многих частных задач max, является равновеснымраспределением. Т.е. можно интерпринировать так: wi – предложение, а xi - спрос.

В этой ситуации мы будем считать, что p равновесные цены, а набор (p, x) называется равно-весным или вальсаровским состоянием (x – равновесное распределение). Когда речь идет о распре-делении, то определение будет такое: доп. распределение называется равновесным если ∃ в нашейтерминалогии равновесные цены, обеспечивающие равновесность этого распределения вот в этомсмысле, т.е. x есть равновесное распределение, если ∃p, что (px) образуют равновесное состояние.

Конечно с ходу можно показать, что всякое равновесное распределение является слабо Парето-оптим. Но мы пойдем дальше, мы докажем, что равновесное распределение обладает гораздо более

22

сильной устойчивостью, чем угроза со стороны коалиций состоящих из всех участников. Мы сейчасвведем понятие блокирования, которое формализует представление о том какие угрозы (возраже-ния) могут предъявлять против того или иного распределения не только множество всех участни-ков, но и любая часть этого множества. Т.е. введем понятие блокирования (доминирования) тогоили иного распределения. Смысл примерно такой, поскольку у нас теперь участники являютсяполновластными собственниками своего запаса wi, могут делать с ним все что угодно (продавать,отдавать и т.п.), то ничего удивительного нет в том, что у них может появиться свое представ-ление о том, что такое хорошо или плохо не только для всего коллектива, но и для его частей,групп. Формализуем теперь это понятие, что такое плохое распределение с точки зрения какой-токонкретной группы, коалиции S ⊆ N. В общем случае мы будем иметь 2n − 1 коалиций из множе-ства N (их столько разных видов может быть). Т.е. если раньше была возможность критиковатькакое-то распределение с точки зрения только одной из частей, т.е. N, то теперь у нас появляетсявозможность критиковать с точки зрения 2n−1 частей, поэтому ничего удивительного нет, что рас-пределения выдерживающие такую критику являются только небольшой частью слабо Парето-опт.распределений.

Определение 4: Коалиция S ⊆ N блокирует (доминирует) допустимое распределение x ∈ Z, если∃ такие допустимые наборы x ≥ 0 участников коалиции (i ∈ S) что

1). ui(x) > ui(xi)∃i ∈ S2).

∑i∈S

x =∑i∈S

wi т.е. x могут быть получены простым перераспределением wi i ∈ S т.е. пере-

распределением суммарного запаса членов коалиции S.Определение 5: Допустимое распределение x ∈ Z является не блокируемым (не доминируемым),

если ∃ никакой коалиции S блокирующей x. Если S = N, то x –слабо Парето-опт. распределение.Если теперь через C = C(E) обозначить совокупность всех неблокируемых распределений нашеймодели, экономика E, то нетрудно обозначить прямо из определения, что C ⊆ P ′.

Первое, в чем следовало бы убедиться, что этот способ уменьшения множества Z приводит клучшим результатам, чем тогда когда мы удаляли пользуясь правом вето большой коалиции, т.е.докажем простенький факт, что C ⊆ P ′ – доказать самим.

Докажем, лучше более сильное утверждение. Мы хотим доказать что W ⊆ C. (W - множествовальрасовских (равновесных) распределений.

Предложение 1. Докажем, что при любой содели E , при любых условиях на ф. полезности, наначальные запасы, справедливо, что W ⊆ C.

Доказательство: от противного. Допустим, что есть такое распределение x ∈ W, которое яв-ляется равновесным т.е. для него ∃ соответствующие равновесные цены p так что все получаетсясогласно определению равновесного распределения. И пусть оказалось, что x блокируемо какой-токоалицией, т.е. если мы предполагаем, что x /∈ C ⇒ ∃ коалиция S, которая блокирует x. А этоозначает, что найдутся такие наборы xi ≥ 0 ∀i ∈ S, что:

1). ui(xi) > ui(xi) ∀i ∈ S2).

∑i∈S

xi =∑i∈S

W i

Поскольку на xi ф. полезности принимает большее значение, чем на опт. значении задачи max ui

на бюджетном множестве, то мы получаем, что это может быть тогда, когда pxi > pwi ∀i ∈S. Т.е. x /∈ бюджетному множеству. А теперь просуммируем эти неравенства: p

∑i∈S

xi > p∑i∈S

W i

получаем противоречие, т.к.∑i∈S

xi =∑i∈S

W i (по условию). Т.е. никакое равновесное условие, при

каких бы ни было условиях на нашу модель не может блокироваться никакой коалицией значитлюбое равновесное распределение ∈ C т.е. W ⊆ C.

Итак, мы установили, что равновесные распределения являются слабо Парето-оптимальными,раз оно никакой коалицией не блокируется, значит оно не блокируется коалицией из всех участни-ков, а это и есть условие того, чтобы распределение было слабо Парето-опт. Не Парето-опт. распре-деления, это те распределения которые в нашей теперешней терминалогии блокируются коалициейиз всех участников.

Следствие 1: W ⊆ P ′.Про ядро мы можем проверить самостоятельно, из определений непосредственно вытекает, что

23

ядро конечно содержится в P ′, потому-что там распределения которые ни чем не блокируются,никакой коалицией в том числе и коалицией всех участников, а значит ядро заведомо ∈ P ′. Ну вотоказывается, что и то что мы хотели получать с помощью цен, вот эти равновесные распределения,они автоматически P ′ более того они ∈ C.

Введем следующее определение – блокирование с помощью нечетких коалиций. Раньше мы за-нимались обычными, нормальными коалициями, которые образуют группы участников экономики.А в общем перейдем на более высокий уровень абстракции, получим более мощный инструмент уда-ления неприемлемых распределений, а потом окажется, что этот более мощный метод фильтрациинеугодных распределений приводит в точности к тому, что в остатке именно W, ничего другого вомножестве Z не останется.

Введем обозначения:σF

0 – множество всех нечетких коалиций, это n – мерные неотрицательные вектора.

σF0 = {τ = (τ1, . . . , τn) ≥ 0, τ 6= 0|0 ≤ τi ≤ 1, i ∈ N}

Нечеткая в отличии от обычной, четкой, которая в рамках этого определения может быть пред-ставлена так: каждое множество S можно изобразить в виде его индикаторной функции, котораяэлементу i присваивает значение один если i ∈ S и ноль в противном случае. Значит с помощьютакого вектора, имеющего именно этот вид, можно отождествить каждую коалицию с соответству-ющим элементом нашего множества τF

0 . И все отличие нормальных коалиций от всех остальныхнечетких сведется только к тому, что обычные могут принимать значения только ноль или один,а нечеткие принимают произвольные значения, если эти τi трактовать как степень участия это-го эк. агента номер i в коалиции, то вот такое промежуточное значение означает, что он "грубоговоря"половину времени участвует в коалиции одной а другую половину времени в другой. Такчто понятие нечеткой коалиции формализует эту идею, что участвовать в какой-то коалиции необязательно на полную катушку и на практике это часто имеет место, т.е. если время разбить накусочки, то соответствующие кусочки в соответствующих коалициях, нечетких, будут обозначатьэти самые степени участия в той или иной коалиции.

По другому это можно трактовать так, τi изображают долю участников типа i занятых в какой-то коалиции, можно считать, что участников каждого типа на бесконечное число или достаточнобольшое, и τi просто-напросто указывает нам долю участника этого типа номер i, который занят вкоалиции очень большого размера, в которой очень много участников одного и того же типа можетбыть, но как много это и указывает τi, если взять отношение числа участвующих к числу всехэтого типа это и будет τi. Тут естественно возникают промежуточные значения между 0 и 1. Поканечеткую коалицию можно трактовать как долю участников типа i занятых в какой-то коалиции,которая на самом деле не часть N – элементного множества, и часть очень большого множествав котором по много, много экземпляров одного и того же типа представлено, или доля временикоторая уделяется на участие в этой коалиции.

Определение 6: Нечеткая коалиция τ ∈ σF0 блокирует (доминирует) некоторое допустимое распр.

x ∈ Z, если ∃ такие допустимые xi ≥ 0 для всех τi > 0, которые удовлетворяют следующим условиям:1).ui(xi) > ui(xi) для всех i ∈ N(τ) sup τ = {i|τi > 0}, для тех i, которые действительно участву-

ют в коалиции2). надо, чтобы xi были согласованы с возможностями нечеткой коалиции:

∑i∈N(τ)

τixi =∑

i∈N(τ)

τiwi.

Итак, мы будем говорить, что допустимое распределение x является не блокируемым (не доми-нируемым), если оно не блокируется никакой нечеткой коалицией. Формально, определение похожеслово в слово на то что было раньше, но разница все таки есть и чтобы эту разницу подчеркнутьмы множество всех распределений не блокируемых никакой нечеткой коалицией будем обозначатьчерез CF – нечеткое ядро. И это множество состоит из всех допустимых распределений, которыене блокируются никакой нечеткой коалицией.

Теперь проверим, что это множество CF обладает тем же свойством, что и C т.е. все равновесныераспределения при любой ситуации, экономике не блокируются ни какой нечеткой коалицией. Аэто уже говорит о том, что множество W все таки очень маленькое по сравнению с P ′ т.к. еслиобычных коалиций было 2n − 1, то нечетких целый континум и если равновесные распределениявыдерживают блокирование с помощью нечетких коалиций, то тогда это очень маленькая часть C

24

и P ′. В действительности оказывается, что при достаточно простых предположениях, W совпадаетс CF . Т.е. нечто определяемое в терминах цен оказывается возможно определить совершенно к нимне прибегая, только в терминах перераспределения, улучшения имеющегося распределения.

Предложение 2: W ⊆ CF .Доказательство: от противного. Возьмем произвольное равновесное распределение x ∈ W,

которое поддерживается равновесными ценами p и допустим x /∈ CF . Тогда ∃ нечеткая коалицияτ которая блокирует x. Тогда согласно определению, приведенному выше, найдутся допустимыераспределения xi ≥ 0 :

1). ui(xi) > ui(xi) ∀i ∈ N(τ)2).

∑N(τ)

τixi =

∑N(τ)

τiWi

А раз xi дает большее значение чем xi, значит xi не ∈ бюджетному множеству, т.е. мы имеем, чтоpxi > pwi∀i ∈ N(τ) (это просто из определения равновесия). А теперь умножим все эти неравенствана положительные числа τi, по определению в N(τ) сидят те i для которых τi >, 0 и сложим теперь:

p∑

N(τ)

τixi > p

∑N(τ)

τiWi, но это противоречит 2). Значит всякое равновесное распределение без

всяких условий на экономику E , Ф. могут быть всевозможными, ∈ CF , оно не может блокироватьсяникакой нечеткой коалицией.

Из предложения 2 на самом деле вытекает, что все равновесные распределения ∈ C т.к. в обыч-ном ядре мы блокируем только с помощью какой-то части того, что в σF

0 сидит. Во всяком случаеясно, что CF ⊆ C.

Теперь настало время разобраться с тем при каких же условиях имеет место CF ⊆ W, и темсамым имеет место CF ⊆ W. Оказывается, что эти условия точно такие же, как были в предыдущейтеореме по поводу P ′. Более точно это можно сформулировать так:

Теорема 1: (Стоимостная характеризация CF )Если функции полезности ui непрерывные, строго возрастающие и вогнутые, а W =

∑N

W i >> 0,

то W = CF . Т.е. потому что получается в результате эквивалентного обмена по некоторым специ-ально выбранным ценам, как результат оптимизации Ф. полезности на бюджетных множествах,на самом деле может быть охарактеризовано как та часть множества Z, которая остается послеудаления всех распр. блокируемых какой бы то ни было нечеткой коалицией.

Прежде чем доказывать эту теорему, которая доказывается по той же схеме что и предыдущаятеорема, мы введем сначала некоторую геометрическую характеризацию, что такое, что данноераспределение принадлежит CF и установим выпуклость одного из двух множеств, которых нампредстоит разделить гиперплоскостью, которая и окажется ценами, которые поддерживают равно-весное распределение.

Для этого введем следующие объекты:Для каждого участника i и для некоторого фиксированного допустимого распределения x через

Mi(x) обозначим такие множества:Mi(x) = {xi − wi|xi ≥ 0, ui(xi) > ui(xi)}Определим теперь M(x) – это то что характеризует x в целом с точки зрения всего коллектива:

M(x) = {∑

N(τ)

τizi|τ ∈ σF

0 , zi ∈ Mi(x)}

τ – фиксированный элемент.Теперь, первое что мы должны сделать, это дать характеристику, что данный x ∈ CF . Оказы-

вается эта характеристика довольно простая и имеет такой вид:Предложение 3: Приведем его без доказательства, т.к. оно вытекает из определения. Распреде-

ление x ∈ CF ⇔ 0 /∈ M(x). Т.е. когда мы берем какое-то допустимое распределение x, то чтобыубедиться попадает оно в CF или нет, надо оказывается всего-навсего построить M(x). x, оказыва-ется не блокируется никакой нечеткой коалицией тогда и только тогда, когда это множество M(x)не содержит в себе начала координат. И наоборот, если (0,0) не попадает в M(x), то оказывается,что x является элементом нечеткого ядра. А если множество M(x) захватило (0,0), то тогда x бло-

25

кируется какой-то нечеткой коалицией. Это проверяется просто по определению M(x).

-

6x2

x1

'

&

$

%

'

&

$

%случай 2

случай 1

M(x)

NB1 доказать предложение 3 самимА пока будем считать, что этот факт установлен. Вот такая геометрическая характеризация эле-

ментов CF , которая состоит в отношении между нулем и M(x) нами установлена. Т.е. мы видимхарактеризацию элементов CF в терминах двух множеств, что какие-то два множества не пересе-каются: 0 и M(x). А это уже говорит о том, что у нас появляется возможность, потенциальная,где-то там воспользоваться теоремой отделимости и получить соответствующие цены, если нужнобудет характеризовать распределение x ∈ CF . Чтобы эта возможность реализовалась полностью,нам естественно кое-чего тут не достает. Это соотношение у нас без каких бы то ни было условийна ф. полезности доказывается, просто на основании определения. Поэтому тут вообще говоря провыпуклость этого множества говорить не приходится, оно может быть и не выпуклым, в общемслучае. Надо найти условия при которых это множество выпуклое и лое и тогда мы будем в состо-янии воспользоваться теоремой отделимости. Выпишем условия обеспечивающие выпуклость M(x)и докажем соответствующий результат.

Предложение 4: Если функции полезности вогнутые, то множество M(x) выпуклое, где x -произвольное допустимое распределение, не предполагается, что x ∈ CF .

Доказательство: идя доказательства простая и основывается на строении этого самого M(x).Мы берем какие-то два произвольных элемента z и z′ ∈ M(x) и берем произвольное число t ∈ (0, 1),без концов, т.к. когда границы проверять нам нечего, эта комбинация будет равна одному из двухэлементов. Теперь рассматриваем выпуклую комбинацию: z = tz + (1 − t)z′ и нам надо доказать,что эта комбинация M(x).

Из того, что z и z′ ∈ M(x) прямо из определения вытекает, что для элемента z∃ нечеткаякоалиция τ и zi ∈ Mi(x) такие что z =

∑i∈N(τ)

τizi, а для z′∃ своя нечеткая коалиция τ ′ и z′i ∈ Mi(x)

такие что z′ =∑

i∈N(τ)

τ ′iz′i.

Оказывается, что нечеткая коалиция с помощью которой можно построить tz + (1 − t)z′ естьничто иное как соответствующая выпуклая комбинация z = tz + (1− t)τ ′.

Лекция 7

То что τ ∈ σF0 вытекает из факта, что σF

0 (множество всех нечетких коалиций) выпуклое мно-жество. Проверяется это непосредственно, как мы помним множество нечетких коалиций это у насn мерный кубик, к которого выколото начало (0,0).

26

-

6x2

x1

@@

@@@

для случая двух участников:

f

Очевидно, что этот квадратик является выпуклым множеством. Это проявляется непосредственно,надо доказать, что выпуклая комбмнация любых двух попадает в кубик (это очевидно, здесь нетпроблем); самое главное доказать, что эта штука не может быть нулем, но она нулем быть не может,потому-что выпуклая комбинация двух векторов в каждом из которых по крайней мере есть однаположительная компонента, ясно дело будет вектором, который отличен от нуля. Так, что нетпроблем проверить, что σF

0 является выпуклым, ну а в силу его выпуклости τ будет элементом σF0

т.е. это будет тоже нечеткая коалиция.Но нам надо еще построить элементы из Mi(x), мы их будем обозначать через zi и определять

их будем так:

zi =tτi

τizi +

(1− t)τ ′iτi

z′i (∗)

i ∈ N(τ) ∩ N(τ ′), т.е. для тех участников, которые с ненулевой интенсивностью участвуют од-новременно и в той нечеткой коалиции τ и в τ ′, т.е. τi и τ ′i строго больше нуля. Далее мы полагаемzi = zi (2*) если i ∈ N(τ)\N(τ ′) т.е. для тех i для которых τi больше нуля, а τ ′i = 0. А такжеziz′i (3∗), если i ∈ Nτ ′\N(τ), т.е. для тех i для которых τ ′i > 0, а τi = 0.

Чтобы представить z в нужном виде, нам надо доказать, что zi ∈ Mi(x) для каждого i. Первое,что мы проверим, что это верно для всех трех вышерепечисленных групп участников. А это прове-ряется достаточно легко, как мы помним, по доказательству предыдущей теоремы о стоимостнойхарактеризации Парето-оптимальных распределений, там уже появились Mi(x), но немножко прав-да отличные от того, что мы сейчас используем, мы сейчас вычитаем W i, а там вычиталась xi, воти вся разница. Там уже доказывалось, что множества такого вида при условии вогнутости функцииполезности, являются выпуклыми, вот на это мы и будем опираться.

Итак, в условиях нашего продложения множества Mi(x) являются выпуклыми( и это доказыва-ется точно также, как и в предыдущей теореме).

А раз эти множества все выпуклые, то стало быть элементы zi из (*) будут ∈ Mi(x) т.к. в (*)записана выпуклая комбинация двух векторов zi и z′i, для этого надо проверить, что коэффициентыв этой комбинации неотрицательны и сумма их равняется единице: берем первый коэффициент:t > 0, τi > 0 и τi = tτi + (1 − t)τ ′i > 0, т.е. первый коэффициент > 0; берем второй коэффициент(1− t) > 0, τ ′i > 0 и τi > 0, т.е. второй коэффициент > 0. Проверим, что их сумма = 1 :

tτi

τi+

(1− t)τ ′iτi

tτi + (1− t)τ ′iτi

τi

τi= 1

То мы имеем следующие формулы для τi :τi = tτi + (1− t)τ ′i для (*)τi = tτi для (2*), т.к. τ ′i = 0τi = (1− t)τ ′i для, (3*) т.к. τi = 0Т.о. мы доказали, что zi ∈ Mi(x) т.к. z′ и z′i ∈ Mi(x). Для (2*) и (3*) аналогично доказывается,

что zi ∈ Mix.Теперь нам нужно убедиться, что линейная комбинация zi взятых с коэффициентом τi будет в

точности равна вектору z : Нужно все аккуратно подсчитать:

27

∑τizi =

∑N(τ)∩N(τ ′)

[tτizi + (1− t)τ ′iz

′i]+

+∑

N(τ)\N(τ ′)tτiz

i +∑

N(τ ′)\N(τ)

(1− t)τ ′iz′itz + (1− t)z′

Т.о. мы получили, что∑

τizi = z, т.е. выпуклая комбинация представима в том самом видекоторый необходим для M(x) значит z попадаем в M(x).

Итак, сейчас мы создали все предпосылки для того, чтобы продолжить доказательство теоре-мы об условиях совпадения CF и W, потому-что в условиях вогнутости функции полезности, мыимеем (из предложения 3) два выпуклых множества 0 и M(x) (из вогнутости функции полезно-сти), и все что нам требуется чтобы построить нужные равновесные цены, это всего-навсего надовоспользоваться теоремой отделимости (Минковского).

Итак, вернемся к доказательству теоремы о совпадении CF и W в условиях, когда функцииполезности вогнутые, непрерывные, строго возрастающие, суммарный начальный запас >> 0. Намизвестно, что в любой экономике W ∈ CF , стало быть для равенства, нам надо доказать, что CF ∈ W(в пределах условия теоремы), т.е. какое бы не блокируемое распределение мы не взяли, можноподобрать цены, при которых распределение оказывается и равновесным одновременно, т.е. решаемсоответствующие задачи max функции полезности участников на их бюджетном множестве. Вотсобственно об этом пойдет речь, т.е. главное, что нам предстоит сделать - это соорудить подходящиецены, которые выполняли бы роль равновестных цен. Здесь незаменимым инструментом являетсятеорема о делимости.

Доказательство :Пусть выполняются все условия нашей теоремы и некоторое распределение x ∈ CF , надо дока-

зать, что оно является равновесным. Чтобы это сделать, построим два выпуклых множества и 0M(x) (по предложению 4, множество M(x) является выпуклым) (0 очевидно выпуклое множество).По предложению 3, т.к. x ∈ CF , мы имеем, что 0 /∈ M(x), а это означает, что два выпуклых множе-ства не пересекаются. А раз они не пересекаются, то по теореме Минковского найдется такой векторp 6= 0 (который изображает линейный функционал, разделяющий множества 0 и M(x) ), что длянего sup p на первом множестве (0) не превосходит inf p на втором множестве (M(x)) : p ·0 = 0 ≤ pz,где M(x) z - любой элемент из M(x). Из конструкции множества M(x) ясно, что для каждого участ-ника i из N у нас выполняется, что Mi(x) ∈ M(x). Это вытекает просто-напросто из того, что унас здесь, когда мы формировали M(x), исполдьзуются в качестве коэффициентов в

∑τiz

i любыенечетные коалиции, в частности может быть и такая нечетная коалиция: τi = 0, . . . , 1, . . . 0). Притаких τi в

∑τiz

i будет zi, а zi по условию берется из Mi(x) т.е.при таком τi эта часть множестваM(x) дает просто Mi(x).

Теперь перепишем неравенство (4*), которое справедливо для всех элементов, в т.ч. и для Mi(x),для элементов из Mi(x), эти элементы имеют вид: xi−wi где u(xi) > ui(xi) (5*), если переписыватьэто неравенство для элементов Mi, то перебрасывая в лево, в право, что требуется, мы можемзаписать такое неравенство: pxi ≥ p · wi(6∗) для всех xi удовлетворяющих (5*)ю Т.о. для каждогоучастника i при ценах p какой бы набор дающий ему лучшее значение, чем x он не взял, стоимостьэтого набора в ценах p, выполняется (6*).

На самом деле, мы уже почти у цели, чтобы убедиться, что p с x образуют равновесное со-стояние, если бы в (6*) было строгое неравенство, то у нас было бы то, что нам требуется, тогдабы получилось, что xi был бы наилучшим в бюджетном множестве, определяемом вектором цен p.Докажем, что на самом деле в (6*) строгое неравенство. Запишем ход нашего доказательства, планнаших действий:

1). Докажем, что для всех i : pxi = p · wi, т.е. при наших ценах p стоимость начальных запа-сов наших участников, равно такая же как стоимость x т.е. наш набор x попадает в бюджетноемножество.

2). компоненты p >> 0 (все компоненты строго положительны).3). что если для какого-то набора xi : ui(xi) > ui(xi), то, p · xi > p · wi ∀i.Т.о. 1) и 3) показывают нам, что xi доставляет max функции полеэности ui на своем бюджетном

множестве.1). Рассмотрим для произвольного участника i набор xi и добавим к этому набору необходимую

28

дольку 1m какого-то k - того продукта: xi + 1

m lk, где 1m - какое-то натуральное число lk -единичный

ор. у которого на k - ом месте единица, lk − l – мерный вектор.Т.к. наши функции прлезности являются строго возрастающими то мы имеем: ui(xi + 1

m lk) >ui(xi), а тогда согласно (5*), мы имеем, что pxi + pk

m ≥ pwi (см. (6*)).Если это верно для любого m, то при m → ∞ мы получаем следующее неравенство в пределе:

pxi ≥ pwi – оно выполняется для всех i и у нас имеется n таких неравенств. Если предположить,что хотя бы одно из них выполняется как строгое, то при суммировании этих неравенств мы имеем:

p∑N

xi > p∑N

wi но∑N

xi =∑N

wi = W

т.к. xi является допустимсым распределением. Итак, мы получили противоречие т.е. pxi = pwi

2). Мы хотим доказать, что p >> 0, но сначала мы докажем что он просто неотрицательный,т.е. все компоненты ≥ 0. Для этого возьмем какого-то участника i, возьмем его набор xi и добавимему единицу k – того продукта: xi + lk. В силу строгого возрастания функции полезности мы имеем,что ui(xi + lk) > ui(xi), а тогда в силу (5*) pxi + pk ≥ pwi, но pxi = pwi ⇒ pk ≥ 0, но т.к. мы бралиk произвольно, то мы получаем, что все компоненты вектора p.

А теперь докажем, что все компоненты p строго положительны. Пойдем от противного, допу-стим, что какая-то m -ая компонента =0, но поскольку p не отрицательный u 6= 0, то ∃pk > 0.Извлчем из этого противоречие.

Т.к. по условию W =∑N

wi >> 0 ⇒ все его компоненты > 0 т.е. wk > 0. Но т.к. x допустимое

распределение, то мы имеем, что∑N

xik = wk > 0, xi

k не отрицательны (из условия допустимости

распределения), то ∃ хотя бы одно слагаемое, что xik > 0 : i = i(k). Т.е. мы выбираем того участника

у которого есть ненулевое количество продука k.Теперь мы этому участнику i сначала добавим некоторое положительное E > 0 количество

продукта m, который ничего не стоит, ясно что этот набор лучше,чем xi, поэтому быдет выполнятьсяследующее неравенство: ui(xi + E lm) > ui(xi). Теперь воспользуемся непрерывностью поскольку ui,имеет место это неравенство, то оно выполняется и для всех наборов достаточно близких к этомуxi + Elm, т.е. ∃δ ∈ (0, xi

k), при котором это неравенство сохраняется даже если чуть-чуть уменьшимнабор на некоторое количество продукта k, который имеется в нулевом объеме у этого участника(δ мы берем такое, чтобы набор остался допустимым, т.е. не было отрицательных компонент):

ui(xi + E lm − δlk) > ui(xi)– выполняется из-за непрерывности функций.В силу (5*) мы имеем, что: pxi+E pm−δpk ≥ pxi = pwi, а pm = 0 (по предположению)⇒ −δpk ≥ 0,

но δ > 0 и pk > 0, т.е. мы получили противоречие, т.е. p >> 0.3). Возьмем набор xi для участника i для которого оказалось, что ui(xi) > ui(xi), но при этом

pxi = pwi. Вот из этого нам надо будет извлечь противоречие.Поскольку набор xi лучше, чем набор xi, то xi не может быть нулевым набором, т.к. наши

функции полезности строго возрастающие: xi 6= 0. Ну а раз он не нулевой и не отрицательный,значит там есть какая-то компонента, которая больше нуля xi

k > 0. А теперь поступаем как впункте 2). Раз эта компонента > 0 и раз наши функции непрерывные, то чуть-чуть уменьшив xi поk – той компоненте, мы можем сохранить наше неравенство, т.е. мы можем подобрать δ ∈ (0, xi

k),что ui(xi − δlk) > ui(xi). В силу (5*) pxi − δpk ≥ pwi, но pxi = pwi по предположению ⇒ −δpk ≥ 0,но δ > 0 и pk > 0, т.е. мы получили противоречие, т.е. pxi > pwi.

Итак, мы закончили полностью характеризацию распределений из CF в условиях когда функ-ции полезности непрерывные, вогнутые, строго возрастающие и ∃ запасы по каждому продукту ненулевые. Характеризация эта такая: допустимое распределение x не блокируется никакой нечет-кой коалицией тогда и только тогда, когда это распределения является равновесным, т.е. для негонайдутся такие цены p при которых выполняются все условия определения равновестного распре-деления.

Следующая наша задача - это извлеч из достаточно "тупой"материи, ну что такое нечеткоеядро в конце концов, экономически объяснить довольно сложно, какое такое экономическое содер-жательное ограничение при этом нужно сформулировать. Надо как-то постараться развернуть тотрезультат который у нас есть чтобы он был более интерпритируем в экономически содержательныхпеременных. Вот этим мы сейчас и займемся. Это связано, мы имеем в виду эта интерпритация

29

того равенства которое мы доказали CF = W, с известной гипотезой Эджворта.Гипотеза Эджворта: В целом в условиях перехода и совершенной конкуренции, множество

равновесных распределений ассимптотически эквивалентно множеству распределений из ядря, илиядро ассимптотически (в пределе) эквивалентно множеству равновесных распределений при увели-чении числа участников экономического объмена, ведущим к условиям современной конкуренции.Здесь мы говорим об обычном ядре. Гипотеза говорит, что то обычное ядро оказывается достаточ-но мало, отличается отмножества равновестных распределений и чем больше этих участников, чемближе выполняются условия современной конкуренции в этой экономоке, тем меньше это отличие.

Дадим расшифровку некоторых понятий: что означают условия современной конкуренции илиусловия близкие к условиям современной конкуренции. В нашей экономической системе, в простоймодели обмена это означает по-видимому, что участник имеет малое влияние на пропорции эконо-мического обмена в экономике тогда, когда доля начальных запасов, которыми он располагает wi

Wдостаточно мала (→ 0), если она =0, то можно считать, что участник вообще говоря не располагаетникакими возможностями влиять на эти пропорции обмена, т.е. влиять на цены. Ну и стало бытьусловия близкие к условиям современной конкуренции – это когда wi

W ∀ близко к нулю и чем этоотношение ближе к нулю, тем мы ближе к условиям современной конкуренции, в которых предпо-лагается, что никто не может повлиять на пропорции объмена, т.е. на цены. Итак, чтобы обеспечитьэто условие, нам надо какую-то специальную экономику организовать, достаточно большого объемав которой wi

W при увеличении числа участников стремится к нулю. Есть довольно много способовкак это делать, но мы ограничимся самым простым, который был предложен по существу ещеЭджвортом: мы будем наряду с исходной моделью E (в которой есть участники характеризующие-ся начальными запасами wi и своими функциями полезности : min(ui, w

i) ) рассматривать моделив которых уже гораздо больше участников, но все они вот этого типа, каждого типа одно и тожеколичество участников и в этой экономике wi

W становятся все меньше и меньше ∀i. Как это можносделать? Один путь состоит в том, чтобы ввести наряду с исходной моделью ее реплику объемаv : зафиксируем натуральное число v ≥ 0 и для этого v введем экономику E с индексом v : E(v),которую будем трактовать как реплику объема v исходной экономики E . Что это такое ? Начнемс участников, что из себя представляет множество участников этой самой реплики E(v). Мы будемобозначать это множество через Nv = {(i, m)|i ∈ N (i - тип участника),m = ¯1, v номер копии i - тогоучастника }. Мы можем считать для простоты, что все эти пары упорядочены лексикографически(сначала идут те у которых i самое маленькое: (1, 1); (1, 2); (1, 3) и т.д. т.е. идут копии участниканомер 1. Мы знаем, что конкуренция на самом деле больше всего сильна там, где участники доста-точно похожы друг на друга, еще более сильной она становится тогда, когда они просто идентичныдруг другу, так что (i, 1); (i, 2); . . . ; (i, v) – это все копии участника номер i нашей исходной эконо-мики, копии в буквальном смысле, т.е. у каждого участника такого типа и функция полезности,и начальные запасы точно такие же как и у участника i, т.е. мы дальше должны перейти к че-му: показали множество участников, каждое из которых является копией просто-напросто, так мыможем содержательно трактовать, какого-то из участников исходной экономики. Т.е. (i,m) m -аякопия участника i. Теперь надо указать какие у них функции полезности и какие у них начальныезапасы: uim = ui, т.е. эти функции полезности совпадают с функциями полезности того участника,копию которого изображает участник (i,m); wim = wi; Xim = Xi = Rl

+. Короче говоря, репликаисходной модели ε объема v это просто напристо объединение v копий исходной экономики ; вот мыдобавили и каждому участнику типа i еще (v − 1) его точных копий (характеристики копий те же,что и у оригинала). Мы теперь уже имеем дело с экономикой в которой уже не n участников, а n · vучастников, если мы будем v →∞, то количество участников этой самой реплики будет стремитьсятоже к бесконечности и надо полагать, что конкуренция между ними будет становиться все жещеи жэще и будет приближаться к совершенной конкуренции. Итак, мы определили

Заметим,∑

i∈N(v)

wimv∑

i∈N

wi и wimkPwim

k

wik

vP

wik

Пусть x какое-то допустимое распределение в исходной экономике (E), т.е. x ∈ Z = X(N). Как изэтого распределения предназначенного для n участников, устроить распределение для n ·v участни-ков ? Это можно сделать очень просто, просто всем участникам одного и того же типа i дать xi, датьпоровну. Формально это можно сделать так: через v - тую реплику распределения x будем обозна-чать, называть пепликой этого распределения x такой у (x(v) = y) (уже распределение в экономике

30

E(v) ) у которого компоненты отвечающие наборам участников экономики E(v) определяются оченьпросто: yim = xi i ∈ N, m ∈ ¯1, v. Т.е. мы сейчас по существу вводим допустимые распределения вэкономике E(v), в которых каждый участник одного и того же типа получает одинаковые набора.

Введем обозначение:Cv = {x ∈ Z| копии которых объема v : x(v) ∈ C(E(v)) не блокируются в экономике E(v)} - ядро

экономики E(v). Т.е. мы получаем при v = 1 исходную экономику E . Мы получили следующее Cv - этоте допустимые распределения исходной экономики, которые будучи представлены как допустимыераспределения в экономике E(v) не блокируются в ней никакой нормальной коалицией.

Сейчас мы должны выделить допустимые распределения, которые будучи размноженными неблокируются в большой экономике, где очевидно больше коалиций, которые могут блокировать иусловия неблокируемости становится более суровыми. В исходной экономике было n участников,блокирующих коалиций было 2n− 1. В экономике объема v в рекламе у нас будет 2nv − 1 коалицийи стало быть есть надежда, что вот те дополнительные распределения, которые попадают в Cv прикаждом v, в том числе при v = 1, выдерживают блокирование каждой из реплик, т.е. попадают в Cv,что их будет становиться все меньше и меньше и в итоге все что останется совпадет со множествомравновесных распределений. Вот, грубо говоря, какая идея стоит за всеми этими конструкциями.И мы можем доказать это.

Теорема 2: (Дебре-Скарфа) (в каклй-то форме доказали гипотезу Эджворта).Если выполняются условия предыдущей теоремы, т.е. функции полезности ui непрерывны, во-

гнуты, строго возрастающие, а суммарный запас W >> 0 (исходной экономики), то оказывается,что множество равновесных распределений исходной экономики есть ничто иное как пересечениеCv по всем

v = 1,∞ : W =∞⋂

v=1Cv,

что множество равновесных распределений может быть получено как совокупность, грубо го-воря, таких допустимых распределений исходной экономики, которые не блокируются ни в какойреплике этой самой экономике E .

Вот если они выдерживают такое суровое испытание: взяли x, поместили в экономику E(v) и по-глядели будет он блокироваться или нет. Оказалось, что при каждом v не блокируется. Вот тогдане только в самой исходной E , а во всех остальных, вот когда это имеет место, тогда оказываетсяэто допустимое распределение может быть поддержано равновесными ценами, т.е. это будет равно-вестным распределением. Если хоть где-то заблокировали, все – значит это распределение не можетбыть равновесным. Но сначала для доказательства теоремы 2, докажем предложение 5:

Предложение 5: Если допустимое распределение x в исходной экономике явялется равновеснымт.е. x ∈ W, то тогда для всякого v его реплика объема v : x(v) ∈ C(E(v)).

Т.е. если мы возьмем равновесное распределение и попытаемся его продолжить до распределенияв экономике E(v), был стандартный прием: даем всем участникам одного и того же типа xi, тооказывается, что это длинное распределение уже будет не блокируемым в этом E(v) и тем самымx, как мы это определяли, ∈ Cv.

Доказательство: Надо заметить, что при фиксированном v ≥ 1 мы можем организовать ценыp при которых распределение xv будет не просто из ядра, а будет равновесным распределением вэкономике E(v) и эти цены организуют очень просто, это ровно те же самые цены p, при которых x попредположению был равновесным распределением. Т.е. докажем, что (xv, p) является равновеснымсостоянием E(v).

Лекция N 8

Итак, у нас шел разговор о том что, если какое-то распределение в исходной экономике оказалосьравновесным, то тогда любая реплика этого распределения будет принадлежать ядру соответству-ющей реплики экономики E . Но на самом деле мы будем доказывать более сильное утверждение,

31

оказывается что реплика равновесного распределения тоже является равновесным распределением,ну а будучи равновесным оно естественно, по одной из уже доказынных ранее теорем, бкдет при-надлежать ядру. Вот такая у нас будет схема доказательства. Т.е. имея равновесное x = x1, . . . , xn)в исходной экономике, мы доказываем, что при любом v реплика этого самого x : x(v) будет при-надлежать ядру реплики E(v).

Еще раз напомним, имея x = (x1, . . . , xn) распределение в исходной модели, под x(v) мы понимаемраспределение получаемое в экономике в v - раз большей т.е. в экономике ε(v), очень пристымспособом: каждому участнику типа i дается компонента xi нашего исходного распределения x. Т.е.просто-напросто мы как бы размножаем это самое x, распределяя между участниками продуктысогласно тому, что доказано в x, ну с тем естественным требованием, чтобы участники одного итого же типа, если берем две копии участника типа i : (i,m) и (i, m′), то они должны получатьестественно одно и тоже, т.е. и тот и другой получает xi.

Ну а теперь продолжим напрямую доказательство того, что при любом v, если x было равно-весным распределением в исходной экономике E , то x(v) ∈ C(E(v)) (ядру реплики экономики E). Нокак мы уже заметили, на самом деле все сводится к тому. чтобы доказать, что x(v) принадлежитне только ядру, а даже равновесию этой реплики. И мы это установили следующим образом:

1). Мы покажем, что для каждого участника реплицированной экономики E т.е. E(v), т.е. длякаждой пары (i,m), если через p обозначить равновесные цены, отвечающие x, то бюджетное мно-жество участника (i, m) в реплике при ценах p это есть ничто иное, как бюджетное множествоучастника номер i в исходной экономике E .

Bim(p) = Bi(p)(∗) где Bim(p){x ≥ 0|px ≤ pwim},но по определению реплики wim = wi, а отсюда становится очевидным равенство (*).Анологично, для кождого участника (i,m) реплицированной экономики мы получаем, что мно-

жество спроса этого участка Dim(p) ( - это есть множество всех оптимальных решений задачи maxфункции полезности этого участка на его бюджетном множестве), поскольку Bim(p) = Bi(p), а егофункция полезности uim по условию равняется ui (по построению), то очевидно, что Dim(p)Di(p).

Ну а поскольку у нас по определению x был равновесным распределением и xi ∈ Di(p) ∀i,то отсюда мы получаем, что для каждой пары (i,m) : (xv)im = xi ∈ Dim(p), т.е. эта компонентадлинного распределения x(v) является решением задачи max функции полезности (i,m) участникана его бюджетном множестве.

Теперь, чтобы закончить доказательство, что наше "длинное"x(v) является равновесным реа-пределением в экономике E(v), осталось только проверить, что для x(v) имеет место материальныйбаланс, т.е. сумма того, что предлагается по этому распределению всем участникам экономики E(v)

равняется ее ресурсам, т.е. сумме ее начальных запасов, т.е. имеет место допустимость этого распре-деления. Ну, а это проверяется очень просто чисто арифметически: пусть x(v) = y, это длинное рас-пределение в котором n ·v участников, наборов. И нам надо теперь доказать, что

∑i∈N

yim =∑

N(v)

wim.

А теперь распишем отдельно левую и правую часть:∑

N(v)

wim =∑

i∈N

v∑m=1

wim = v∑

i∈N

wi, т.к. при фик-

сированном i у нас wim = wi. Т.е. мы имеем v -кратный суммарный запас походной экономики E .

∑

N(v)

yim =∑

i∈N

v∑m=1

yim =∑

i∈N

v∑m=1

xi = v∑

i∈N

xi

Ну, а так как x допустимое распределение, то∑

i∈N

xi =∑

i∈N

wi. А отсюда получается, что v∑

i∈N

xiv∑

i∈N

wi.

Т.о. наш y действительно является допустимым распределением, т.е. может быть получено пере-распределением суммарного запаса экономики E(v).

Ну, а если мы соединим, что каждая исходная компонента y является решением задачи maxфункции полезности соответствующего участника номер (i,m) на его бюджетном множестве, т.е.∈ Dim(p), а также что суммарная величина того, что получает каждый из участников равняетсясуммарному начальному запасу - а это и есть определение равновесного распределения, значит xv ∈W (E(v)). Ну, а поскольку множество Вальсаровских распределений W независимо от того, какая унас экономика (непрерывные, вогнутые там функции или тен) принадлежит ядру, т.е. W (E(v)) ⊆C(E(v)), то мы получаем то что требовалось: реплика x ∈ ядру реплики E .

32

Сейчас наша прямая цель, это перейти к доказательству теоремы Дебре-Скарфа о том, чтомножество равновесных распределений совпадает с пересечением множеств Cv. Напомним, что Cv ={ допустимые распределения x ∈ Z|x(v) ∈ C(E(v))}. Нам вот такие фокусы, нет чтобы рассматриватьнормальное ядро, как оно было с самого начала для реплики E(v), мы почему-то рассматриваем что-то приведенное, что-то получающееся из этого ядра.

Вся проблема в том, что нам надо будет потом сравнивать распределения из ядра и равновесныераспределения, когда объемы экономики все время растут и растут. У нас к сожалению получаетсяна каждом шаге, при каждом v разные пространства и поэтому сравнивать W (моножество равно-весных распределений) с растущими по размерности распределениями из ядря невозможно. Надокак-то сопоставить эти два множества: W, которое остается все время само собой, остается элемен-том из W это n × l - мерный вектор,а вот распределение из C(E(v)) они уже имеют размерностьn× l× v, где v растет меняется. Так что напрямую сравнивать мы не можем, т.к. разные простран-ства. Поэтому приходится придумывать какой-то общий базис для того и другого множества, нувот в частности элементы из ядра реклицированной экономики E(v) можно в принципе помечатьвот таким способом, ну во-первых быть только такие распределения из ядра, которые являютсясимметричными, т.е. в которых участники одного и того же типа получают одинаковые наборы, нуа затем, смотреть просто-напристо не распределение в целом, а что в этом распределении получаетучастник каждого из типов. Вот собственно говоря, Cv это и есть изображение того, что в длин-ном распределении x(v) получает участник типа 1, участник типа 2 и т.д. Ну а затем уже можносравнивать, это уже у нас будет нормальное распределение в исходном пространстве расмерности

n × l, с W. Напомним, что наша задача состоит в том, чтобы доказать, что W =∞⋂

v=1Cv, т.е. что

равновесные распределения, грубо говоря, это те и только те которые не блокируются ни в какойреплике исходной экономике E .

Сделаем первый шаг в доказательстве этого факта, докажем, что W =∞⋂

v=1Cv. Чтобы это

проверить, берем произвольный элемент x ∈ W и проверяем: действительно ли этот самый x при-надлежит каждому из Cv или нет. Эту проверку осуществить легко, по предыдущему мы знаем,что для каждого v ≥ 1 реплика x объема v : x(v) ∈ C(E(v)), ну а это означает по определению, что

x ∈ Cv, ну а так как v было взято произвольно, мы получаем, что x =∞⋂

v=1Cv, т.е. W ⊆

∞⋂v=1

Cv.

Докажем теперь, что∞⋂

v=1Cv ⊆ W. Возьмем какое-то x ∈

∞⋂v=1

Cv и постараемся доказать, что x

является равновесным распределением в исходной экономике, т.е. ∃ равновесные цены при которыхкомпоненты x попадают в соответствующее множества спроса. Но действовать через цены очень

сложно. Пойдем другим путем, от обратного. Пусть x ∈∞⋂

v=1Cv, но x /∈ W. Тут мы должны вспо-

мнить, что условия нашей теоремы точно такие же, как условия в которых мы доказывали, чтоW = CF . Значит, если x /∈ W ⇒ x /∈ CF , т.к. в наших условиях CF = W. Тогда ∃ нечеткая коалицияτ = (τ1, . . . , τn), которая блокирует x.

Вот тут как раз наступает интересный момент, где мы можем увидеть как на самом деле былобы разумнее всего интерпретировать нечеткую коалицию и как мы определяем, что значит, чтоона блокирует какое-то распределение. Если сказать хорошо, то это можно было бы выразить:из того что ∃ нечеткая коалиция x, следует что есть такой τ, допустим, что у τ все компонентырациональные числа, раз эти числа рациональные ничто нам не мешает считать, что знаменатель уэтих дробей один и тот же, т.е. считать, что τi имеет следующий вид: τi = mi

v , где mi и v натуральныечисла и mi не превосходит v. Итак, сейчас мы построили на основании вот такой вот нечеткойкоалиции, реплику исходной эеономики E объема v в которой нормальная коалиция, построеннаяна основании вот этой самой τ, нечеткой, будет блокировать реплику x. Т.е. блокирование нечеткойкоалиции это все равно что блокирование нормальной коалицией, но в очень большой экономике,какого-то объема v. И даже можно указать по виду τi, если он конечно хороший, когда все τi

рациональные, какой должна быть эта самая коалиция m, которая блокирует этот самый x(v). Вэтой коалиции должно быть mi участников типа i, вот то что показано в числителе, ну а объем ееэтой реплики – это то что стоит в знаменателе. Вот такой оказывается простой фокус, что эти вот

33

нечеткие коалиции это ничто иное как изобретение нормальной коалиции, но только не в исходнойэкономике, а в достаточно большой экономике, достаточно большого объема v, n компоненты τi

напрямую указывают как должна быть устроена эта коалиция то что стоит в числителе показываетсколько участников такого-то типа принимает участие вот в этой нормальной коалиции, но уже нев нормальной, большой экономике. Поэтому ночего удивительного нет в том, что у нас есть теоремапри нечеткое ядро, а есть теорема и вот такого вида, они на самом деле тесно связаны.

Следует заметить, что у нас может оказаться, что эта нечеткая коалиция, что мешает какому-тоτi =

√2

2 (например), т.е. быть иррациональным числом. Ведь никто нам не гарантирует, что эти τi

все рациональные, поэтому так гладко, что мы хотели не происходит, значит надо бороться с этим.Для этого надо будет немного подправить τ, так чтобы все компоненты у него стали рациональнымии их можно было бы выразить как дроби (которые нам нужны) mi

v и соответственно xi надо будеткак-то подправить, чтобы выполнялось то, что требуется по условию: что τ блокирует x. Чтобы всеэто аккуратно проделать, давайте запишем, что все таки проистекает из того, что τ блокирует x ичто здесь надо подготовить соответственно. В соответствии с определением, раз мы допустили чтонечеткая коалиция τ блокирует x, это означает, что найдутся допустимые наборы xi для которых:

1).ui(xi) > ui(xi) i ∈ N(τ) (2*)2).

∑N(τ)

τixi =

∑N(τ)

τiwi (*)

т.е. должен выполняться баланс. (это мы вспомнили определение).Но так как у нас может оказаться, что какие-то компоненты τ иррациональные (а может быть

и все), а нам надо получить рациональные. Поэтому нам надо указать сейчас как мы должнымодифицировать τi ну и возможно и xi, чтобы сохранить все выше написанное для другой рацио-нальнозначной неконечной коалиции, у которой все компоненты рациональные числа. Мы начнемздесь таким образом. Ту которую мы ищем, где компоненты далжны быть рациональнозначнойнечеткой коалиции, у которой все компоненты рациональные числа. Мы начнем здесь таким обра-зом. Ту которую мы ищем, где компоненты должны быть рациональными, τ0 = (τ0, . . . , τ0

n) – мы еебудем искать из условий:

1). все τ0i рациональные числа.

2). τ0i = 0 i /∈ N(τ)

3). τi ≤ τ0i ≤ 1 i ∈ N(τ)

4). Чтобы сформулировать это условие, мы обозначим через δi > 0 такое положительное числоi ∈ N(τ), что выполняется следующее условие: если xi ≤ 0 и ||xi − xi|| < δi, то ui(xi) > ui(xi).Из-за того, что наши функции полезности непрерывны и у нас выполняются строгие неравенствадля функции полезности, мы можем всегда найти для каждого i из N(τ) такое δi > 0, что любойнабор в δi – окрестности xi, для которого имеет место (2*), тоже будет давать строго большеезначение функции полезности, чем на x, вот в этом месте мы пользуемся непрерывностью функцииполезности. Итак, мы нашли δi > 0 и теперь записываем условие 4): τ0

i − τi < τiδi/||xi /∈ wi|| xi /∈ wi

– это условие на степень близости τ0i , т.е. был достаточно близок и τi.

А теперь мы должны проверить (2*) и (3*), предварительно построив что-то вместо xi, потомучто трудно ожидать, что тот же самый годится у нас здесь для τ0

i , нам надо еще как-то xi под-править. Т.е. нам остается убедиться, что (2*) и (3*) выполняются и для новой нечеткой коалицииτ0, уже с рациональными компонентами, и для нового x, вот которого мы сейчас и постараемсяизобразить. Теперь вместо xi мы будем рассматривать наборы yi, которые строятся по формуле:

yi =τi

τ0i

xi +τ0i − τi

τ0i

wi.

По этой формуле у нас происходит перестройка x с тем, чтобы для нового τ0 у нас хотя быусловие (3*) выпрлнялось, оно вообще говоря не обязано выполняться для старого x, поэтому егоприходится корректирвать.

Итак, мы определили новую нечеткую коалицию τ0, которая удовлетворяет условиям 1) - 4).Мы определили новые наборы yi на основании старых xi и новой коалиции τ0. И теперь наша цельзаключается в следующем, доказать что эта новая нечеткая коалиция τ0 блокирует x спомощьюэтих самых yi. Для этого надо проверить (2*) и (3*).

34

Начнем с (2*), что ui(yi) > ui(xi) (4*). Для этого нам достаточно воспользоваться тем чтовыбрали δi так, что все наборы находящиеся в δi- окрестности xi тоже лучше, чем xi.

Итак, оценим следующую разницу: ( если это разница окажется < δ, тогда по выбору δi у насбудет выполняться условие (4*)):

||yi − xi|| = τ0i − τi

τ0i

||wi − xi|| < τiδi

τ0i

≤ δi

т.к.τi ≤ τ0i . Стало быть ||yi − xi|| < δi, а раз y оказывается в δi -окрестности x, то по выбору

этого δi получаем, что (4*) выполняется.Докажем, что выполняется (3*), т.е.

∑N(τ0)

τ0i yi =

∑N(τ0)

τ0i wi.

∑

N(τ0)

τ0i yi =

∑

N(τ0)

τi(xi − wi) +∑

N(τ0)

τ0i wi

– это получили согласно формуле для yi.∑

N(τ0)

τi(xi − wi) = 0, т.к. у нас для них выполняется (3*).

Т.о. мы доказали, что∑

N(τ0)

τ0i yi

∑N(τ0)

τ0i wi (5*).

Итак, мы доказали, что наша нечеткая коалиция τ0 с помощью наборов yi блокирует тот жесамый x.

Воспользуемся полученными результатами, в том духе о котором мы уже говорили раньше,именно с помощью коалиции τ0 = (τ0

1 , . . . , τ0n) и наборов yi построить реплику нашей исходной

экономике E и коалиции в этой большой реплике, которая бы блокировала x(v). Что естественноприводило бы к противоречию. Это делается следующим рбразом:

Вот мы имеем нечеткую коалицию τ0 = (τ01 , . . . , τ0

n) с рациональными компонентами τ0i = mi

v ,где v общее для всех и mi ≤ v, причем для i ∈ N(τ0), т.е. там где строго больше нуля, понятно, чтоmi ≥ 1. Мы также получили yi для которых выполняется:

1). ui(yi) > ui(xi) i ∈ N(τ0)2).

∑N(τ0)

τ0i yi

∑N(τ0)

τ0i wi.

Теперь давайте организовывать ту самую реплику и ту самую коалицию M, ну и то что ейпричитается: выдаем участникам этой коалиции соответствующий набор продуктов, так чтобы этакоалиция с помощью этих наборов заблокировала x(v), реплику распределения x. И мы могли быполучить то противоречие к которому мы идем. Мы допустили, что x /∈ W. А теперь мы получили

противоречие с условием, что x ∈∞⋂

v=1Cv.

Значит, первое, как выглядит коалиция M с помощью которой мы будем блокировать наш x(v)

в реплике объема равного знаменателю (в нашем случае v) в τ0 :M = { все пары (i,m)|i ∈ N(τ0) ( т.е. для которых mi ≥ 1),m = 1, . . . ,mi}. Т.е. коалиция

M состоит из такого количества реплик участников номер i, какое указано в числителе для соот-ветствующего τ0

i , если их там нет вообще, mi = 0, значит и в коалиции M у нас нет ни одногопредставителя типа i, а если он там есть в какой-то ненулевой доле, то тогда в коалицию i мывключаем все mi копий этого участника i. Вот у нас получилась коалиция в экономике E(v). Теперьее надо снабдить соответствующим распределением, так, чтобы оно было бы в пределах возможно-сти этой коалиции и чтобы это распределение было лучше чем x(v). Это делается довольно просто,обозначим через zim = yi, где i ∈ N(τ0) и m = 1, . . . ,mi, т.е. каждому участнику типа i даем тосамое yi, которое мы сами построили. У нас zim ≥0, т.е. допустимый набор, распределение, т.к.wi ≥ 0 (по условию), xi ≥ 0, а yi есть просто их выпуклая комбинация (коэффициент ≥ 0 и ихсумма =1).

Как доказать, что коалиция M с помощью набора zim, который вручается каждому из ее пред-ставителей, блокирует x(v), давайте его по прежнему обозначать через y. Как это проверить ? Надодоказать, что uim(zim) > uim(yim) для всех (i, m) ∈ M. По определению у нас zim = yi, uim = ui

и yim = xi. Т.е. мы имеем, что ui(yi) > ui(xi), а это выполнено согласно (*).Теперь надо доказать, что предполагаемое коалицией M новое распределение z вместо x(v)

является допустимым для этой коалиции, т.е. оно получено перераспределением ее суммарногозапаса, т.е. надо доказать, что:

35

∑

M

zim =∑

M

W im.

Рассмотрим по отдельности, правую и левую часть.

∑

M

wim =∑

i∈N(τ0)

mi∑m=1

wi =∑

i∈N(τ0)

miwi(где i /∈ N(τ0) mi = 0)

∑

M

zim =∑

i∈N(τ0)

mi∑m=1

yi∑

i∈N(τ0)

miyi.

Теперь, чтобы убедиться , что они равны, надо вспомнить (5*) Переписываем в (5*) τ0i в виде

дробей:∑

N(τ0)

mi

v yi∑

N(τ0)

mi

v wi. А теперь умножим левую и правую часть на v и получим:∑

N(τ0)

miyi =

∑N(τ0)

miwi, т.е. это равенство имеет место у нас по построению. И очевидно, это и есть то, что нам

требовалось доказать.Итак, мы получили, что M блокирует x(v) в экономике Ev. А это означает, что x(v) /∈ C(E(v)) (

прямо по определению). А из этого вытекает, что сам x /∈ Cv, т.к. Cv – это те и только те допустимыераспределения реплики которых надлежащего объема попадают в C(E(v)). А мы предположили,

что x ∈∞⋂

v′=1

Cv′ . Т.е. мы получили противоречие предположению (NB ! вообще говоря здесь v и v′

разные).

Следует заметить, что эта теорема очень важная, т.к. других теорем как-то обосновывающихмеханизм ценообразоапния в самом общем виде, как устанавливаются на рынке равновесные про-порции обмена, просто нет. Есть разные частные случаи, мелкие модели в которых все довольношатко, а эта теорема худо-бедно какую-то общую схему, поясняющую как вообще возникают этисамые равновесные пропорции, равновесные цены дает. И вот видимо, соотношение которое было

написано раньше, что W =∞⋂

v=1Cv – это все-таки не вполне удовлетворяет как-бы сказать вот, ну

законный вопрос, и что ж такого тут вообще чудесного, как эта связь на самом деле образуется.Дадим несколько замечаний, которые помогут лучше представить эту связь и лучше понять смыслэтого ревенства.

Запишем следующие пункты:I). Cv+1 ⊆ Cv

В итоге, в пределе эти множества Cv стягиваются к множеству W, т.е. Cv с ростом v уменьша-ется и в пределе "равны"W.

W

C1 — ядpо исходной экономики ε

&%

'$

¹¸

º·

"!

#Ã

ÁÀ

¿

½¼

¾»

'

&

$

%

'

&

$

%

C2

C3

Это получается из-за того, что ясное дело у нас множество участников как устроено, что N(v) ⊆N(v + 1) в N(v + 1) есть не только v копий, а есть и (v + 1) копия каждого участника. Поэтомуразумеется в N(v + 1) коалиций будет больше, чем в N(v), а из этого вытекает, что если бы мы

36

допустили, что Cv+1 ⊆ Cv, то тогда получалось бы, что есть такие распределения в Cv+1(x ∈ Cv+1),которые блокируются коалициями из N(v), т.е. x /∈ Cv. Но коалиция из N(v) является одновременнои коалицией из N(v +1), значит если блокируется в N(v) значит блокируется в N(v +1). Получаемпротиворечие, т.е. Cv+1 ⊆ Cv.

II). Если добавим к условию теоремы то, что функции полезности должны быть строго вогнутые,то тогда оказывается, что C(E(v)) и Cv которые мы используем, это фактически одно и тоже. Т.е.если мы допустим, что наши функции полезности являются строго вогнутыми, т.е. выполняетсяследующее условие:

ui(tx + (1− t)y) > tui(x) + (1− t)ui(y)

где x 6= y, т.е. это такие функции полезности у которых линии уровня не содержат ни одногопрямолинейного кусочка. Тогда мы можем записать следующее равенство: C(E(v)) = {x(v)|x ∈ Cv},т.е. в ядрях реплик E(v) содержатся только симметричные распределения, т.е. такие распределения,которые участникам одного и того же типа дают одинаковые наборы прдуктов и которые, сталобыть, могут быть получены из Cv просто вот таким образом: берем Cv, берем его размножаем, беремреплику объема v, это и есть в точности все элементы ядра экономики E(v). Т.е. когда мы берем Cv

мы на самом деле в этом случае нисколько не урезаем множество C(E(v)), в принципе в нем конечноесли нет строгой вогнутости могут быть и не симметричные распределения, т.е. такие распределе-ния которые дают участникам одного и того же типа разные наборы. В случае строгой вогнутостиможно говорить не просто о соотношении между Cv и W, а можно говорить уже о распределенияхравновестных в экономике E(v) и распределениях неблокируемых в E(v). Т.е. в такой ситуации, то чтомы доказали можно проинтерпритировать следующим образом: можно в принципе не приводить кобщему знаменателю эти самые ядра больших экономик E(v), а прямо с ними с E(v) и работать,т.е. смотреть одновременно для каждого v как соотносится множество равновесных распределенийW (E(v)) и ядро в этой же самой экономике C(E(v)). В общем случае всегда W (E(v)) ⊆ C(E(v)). Чтооказывается можно доказать ? Можно доказать, что какую бы последовательность yv ∈ C(E(v)) мыни выбрали, вот взяли произвольные не блокируемые распределения в каждой из реплик экономи-ке E , так оказывается расстояние между этими yv и множеством W (E(v)) (под расстоянием междуточкой и множествоам как известно понимается наименьшее из расстояний между этой точкой иточками нашего множества:

W

это и будет расстоянием между точкой и множеством

?

"!

#Ã

aaaaa

x ρ = infr

Так вот, расстояния между этими неблокируемыми распределениями и множеством равновесныхраспределений при v →∞ стремится к нулю:

ρ(y(v),W (E(v))) −→ 0

Т.е. разница между неблокируемыми, т.е. элементами из ядра, и равновесными распределениямив пределе сглаживания до нуля.

Лекция 9

Итак, наша задача на ближайшее время – доказать теорему существования равновесных рас-пределений. Помимо общих соображений к решению этой задачи подталкивает и такое опасение: ане занимались ли мы в теореме Дебре-Скарфа проверкой тривиального равества ∅ = ∅? К счастью,

оказывается, что именно в тех условиях, в которых мы доказали равенства W = CF и W =∞⋂

r=1Cr,

гарантируется непустота множества W (т.е. гарантируется наличие по крайней мере одного допу-стимого распределение, которое может быть поддержано равновесными ценами).

37

Как видно из соотношения

W =∞⋂

r=1

Cr, (∗)

для доказетельства того, что W 6= ∅ (в предположениях теоремы о совпадении нечеткого ядра имножества равновесных распределений), достаточно проверить, что каждое из этих множеств Cr

не пустое и компактное (как уже отмечалось, множества Cr образуют монотонно убывающую по-следовательность, что, вместе с их непустотой и компактностью, и обеспечивало бы, по одной изизвестных теорем анализа, наличие общей для всех точки). Напомним, что простейшим вариан-том упомянутой теоремы математического анализа является теорема о вложенных промежутках(замкнутых интервалах). Итак, мы должны убедиться, что множества Cr, стоящие в правой частиравенства (*), мало того, что компактны, но еще и непустые. А вот чтобы доказать, что они непу-стые, нам надо убедиться, что непустыми будут соответствующие ядра, т.к. Cr – это производныеот ядер. Значит, только установив условия непустоты ядер реплик E(r), мы можем продвинуться вдоказательстве соотношения W 6= ∅.

В предлагаемой схеме доказательства ключевое понятие – ядро. Чтобы разобраться основатель-но с этим понятием, нам придется проделать довольно длинный (в чисто формальном плане – дажеокольный) путь, на котором вместо модели обмена главным ориентиром является кооперативнаяигра. Среди достоинств такой схемы отметим следующие. 1)Теория кооперативных игр помимо са-мостоятельной ценности представляет мощный инструмент исследования экономических явлений(именно с этой целью как известно НМ теория кооперативных игр и создавалась Дж. фон Ней-маном и О.Моргенштерном). 2)На предлагаемом пути удается получить полное и сравнительноэлементарное доказательство существования равновесия в достаточно общей ситуации/ используялишь простейшие факты лирейного программирования и математического программирования. 3)Походу доказательства выясняются фундаментальные свойства модели обмена в целом и экономиче-ского равновесия в частности. 4)Доказываемая лемма Скарфа – мощный инструмент используемыйв доказательстве теорем о неподвижной точке а также в разработке соответствующих алгоритмов.

*****Кооперативные игры.Теория кооперативных игр – это та часть математической теории конфликтных ситуаций, кото-

рая занимается проблемами кооперации, т.е. вопросами принятия коллективных решений с учетомвсех потенциально осуществимых объединений автономных участников.

Начнем формальные рассматрения с определения кооперативной игры n лиц. Последняя пред-ставляет собой пару (N,G), где N = {1, 2, . . . , n} – множество участников игры (игроков), а G– некоторое отображение, характеризующее возможности, имеющиеся в распоряжении каждогоиз объединений этих участников. Точное определение G приведем немного позже, а сначала ещераз подчеркнем специфику рассматриваемых игр – помимо отдельно взятых индивидуумов пол-ноправными участниками дальнейших рассмотрений являются и все их объединения – коалицииS ⊆ N. Ясно, что всего коалиций, исключая пустую, будет 2n−1. Таким образом, число коалиций сувеличением числа участников растет экспоненциально, что, безусловно, порождает значительныетрудности при анализе конкретных кооперативных игр. Нелегкой задачей является и определениевозможностей каждой из коалиций, как в смысле выбора совместных стратегий, так и в вычисле-нии соответствующих выигрышей. Поэтому для простоты ************ опртраТакже для каждойкоалиции указываются возможности, которые имеются в распоряжении этой коалиции, эти возмож-ности задаются с помощью G. Т.е. каждой коалиции S ставится в соответствие множество G(S), такназываемое множество допустимых уровней полезности этой коалиции. Элементы множества G(S)мы будем называть дележами. G(S), вообще говоря, некоторое произвольное подмножество про-странства Rs(G(S) ⊆ Rs). Векторное пространство Rs есть конечномерное пространство векторов,число компоненты которых равняются числу элементов множества S, эти компоненты нумеруют-ся(индексируются) элементами этого множества S, ну и для определенности, поскольку вектор это унас упорядоченная система чисел(по определению), мы будем считать, что элементы в S упорядоче-ны по возрастанию. Так что, например, если мы имеем коалицию S = {2, 5, 7}, то соответствующийвектор u ∈ R{2, 5, 7, } будет такого вида: u = (u2, u5, u7).

Итак, прямо по определению множество G(S) составлено из всевозможных векторов вида приве-денного выше, во всяком случае под каждым таким вектором понимается просто-напросто уровни

38

полезности участниками этой коалиции S, если они выступают совместно. Т.е. G(S) описывает воз-можности возникающие при кооперации участников коалиции S. Мы также будем предполагать,что если достигнем какой-то уровень, то достижимы и все меньшие уровни.

На игры G мы будем накладывать условия, которые можно будет выразить так. Сейчас мыперешли к тому какой класс кооперативных игр как правило будет у нас исследоваться. Это будеттакой класс, который выделяется по крайней мере следующими двумя свойствами:

I). Мы будем предполагать, если не оговорено противное, что G(S) замкнутое множество в своемконечномерном пространстве.

II). G(S) насыщено к низу или удовлетворяющее условию свободного расходования, что еслиx ∈ G(S), а вектор у нас покомпонентно меньше вектора x (y ≤ x), то тогда предполагается, чтоy ∈ G(S).

-

6

r x

G(S)¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡¡

¡¡¡

¡¡¡¡

¡¡

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

¡¡

¡

(Это случай коалиции из двух участников.)

Сейчас, чтобы как-то освоиться с этой идеей, этим понятием, что вот можно и такие объемырассматривать и что они тоже какой-то смысл имеют, мы рассмотрим два конкурентных примера,как возникают такого вида игры :

Пример 1: Мы занимались моделью обмена E и мы вводили множество X(S) для каждой коа-лиции S, это множество допустимых распределений этой коалиции S :

X(S) = {(xi)s ≥ 0|∑

i∈S

xi∑

i∈S

W i}.

Оказывается, что со всякой моделью обмена, со всякой экономикой того касса, который мырассматриваем, можно связать игру G. Часто мы будем отождествлять пару (N, G) с G, ясно чтораз функция G указана, то про N можно не говорить. Вот как значит строится по модели E такаяигра G. Ну это надо указать, согласно определению кооперативной игры, функцию GE(S) (индексE – это наша экономика, по которой мы строим ассоциированную с ней кооперативную игру). Этовыглядит так: для каждой коалиции GE(S) – это просто-напросто есть множество всевозможныхвекторов y соответствующего пространства Rs, для которых ∃ (xi)s ∈ X(S) такое, что yi ≤ ui(xi)для всех i ∈ S :

GE(S) = {y ∈ Rs|∃(xi)s ∈ X(S) : yi ≤ ui(xi) ∀i ∈ S}Вот как определяется кооперативная игра модели обмена или рынка. Мы что на самом деле

делаем здесь ? Прямо по построению видно, что эти самые множества GE(S) представляют из себяничто иное, как всевозможные уровни полезности, достижимые в результате перераспределениясуммарного запаса коалиции S между участниками этой коалиции, ну и плюс что меньше либоравно чем эти уровни полезности. Т.е. GE(S) –это всего навсего описание возможности коалицииS, учитывающие только уровни полезности, которые достигаются этой коалицией (Все остальноеостается за кадром: как именно это достигается, в результате каких именно обменов – это нам здесьстановится уже не важно). Если нам дало только само GE(S), то нам не указано, вот в самомисходном определении игры G. как именно, с помощью каких стратегий достигнуты те или иныеуровни полезности, просто указаны, перечислены все наши возможности по получению тех или

39

иных уровней полезности, сами они указаны, а как они достигнуты это не указывается. Т.е. играв отличие от модели обмена задается меньшим объемом информации и это уже хорошо, т.к. намтребуется уже меньше информации для решения каких-то вопросов. Мы знаем, что модель обменазадается как минимум n× l параметрами, а это горазжо больше, чем в игре GE(S) где мы все времяработаем с векторами размерностью не более n, даже для самой большой коалиции N дележи уэлементов G(N) это всего навсего n -мерные вектора, грубо говоря размерность в l раз понижается.

Пример 2: игры с побочными платежами ( игры с трансферабельной полезностью). В отличииот предыдущей ситуации, где у нас основой для построения была модель обмена, рынок и игры GEмы называем игры ассоциированные с рынком, то здесь у нас в основе лежит не рынок, а некото-рая функция V, которая каждой коалиции S показывает max гарантированный подход в деньгах,который доступен коалиции S, если она действует оптимальным образом. Гарантированный – этоможно понимать и в том смысле, что независимо от того что делают ее контрагенты, конкуренты,т.е. коалиция N − S. Ну вот, когда наши возможности, мы имеем в виду возможности в N длякаждой коалиции S указаны прямо в деньгах, то тогда по этой функции V (S) можно построитьигру, уклыдывающуюся в наше общее определение. Это понятно как делается, раз мы имеем делос деньгами (деньги одинаково значимы для всех), то можно с этой самой V (S) связать игру Gv(S),где возможности коалиции S определяются вот таким образом: это всевозможные y ∈ Rs такие, чтоy(S) =

∑i∈S

yi ≤ V (S), для каждой коалиции S мы обозначим ее возможности по получению того

или иного дележа, уровня полезности в условиях, когда то, чем измеряется гарантированный доходкаждой коалиции, является бесконечно делимым, передаваемым друг другу продукт-деньги:

Gv(S) = {y ∈ Rs|y(S) =∑

i∈S

yi ≤ V (S), S ⊆ N}

Вот здесь игра с побочными платежами тоже по-видимому приближает какой-то содержатель-ный смысл, потому, что прямо по определению множества Gv(S), получается, что если какой-тодележ y доступен коалиции S, то получается, что ей доступен и любой другой дележ получающий-ся из этого y простой передачей от участника i к участнику j какого-то количества 4 денег: у i-того y было у него станет yi−4, а у j –того прибыло -yj +4; вот если мы y так трансформировали,посредством передачи денег от i- того j– тому, но все преобразования такого типа допускаются, т.к.сумма не меняется.

Итак, побочные платежи и игры с побочными платежами, они по-видимому отражают те эко-номические ситуации в которых принято или исторически сложилось, что наряду с нормальными,стратегическими действиями, связанные скажем с перераспределением начальных запасов, еще иразрешается устраивать перераспределение по функциям полезности, передавать некоторые бес-конечно делимые единицы (не только деньги) от одного участника к другому для того, чтобы,например, компенсировать какие-то очень уж выгодные для коалиции в целом, но очень не вы-годные для каких-то отдельных участников, чье наличие в коалиции необходимо тем не менее, ихприходится прикармливать вот таким образом для того чтоб в целом коалиция что-то выиграла.

Ну, а если говорить чисто с математической точки зрения, то чем хороши эти игры ? Они насамом деле устоены max простым способом: пусть S = {2, s} и нарисуем для них Gv(S), где V (S) = 2.

-

6участник 5

участник 2

r

r

r (u2, u5)

@@

@@

@@

@@

@@

2

2

Gv(S)

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

40

Каждая точка на плоскости, мы ее будем называть критериальной плоскостью,т.к. она изоб-ражает значения критериев, оценивающих положение того или иного участника, т.е. грубо говорязначения функции полезности. Каждая точка (u2, u5) показывает какие уровни полезности соответ-ствуют этому дележу. Следует заметить, что здесь ограничений на объемы передаваемой полезностинет.

В этом случае множество G, в отличие от других ситуаций где оно может как угодно кри-вым быть, косым и хитро устроенным, здесь множество достаточно простое. Поэтому интересуясьглавным для нас на данный момент вопросом: когда ядро не пусто, мы разумеется начнем с это-го конкретного примера, вот его будем анализировать сначала, чтобы найти какие-то наводящиеконструкции, понятия которые можно использовать при изучении более сложного вопроса, касаю-щегося более общих кооперативных игр. Для этого нам надо сначала ввести понятие ядра игр. Дляэтого нам надо сначала ввести понятие блокирования, указать, что означает что какая-то коалицияS блокирует какой-то дележ игры G, а уже после этого мы назовем ядром, как это уже и раньшебыло, множество неблокируемых длежей.

Определение 1: В игре G коалиция S блокирует некоторый дележ x ∈ G(N) если ∃ дележy ∈ G(S) в котором yi > xi ∀i ∈ S. Т.е. дележ большой коалиции N блокируется коалицией S, еслиу нее есть такой дележ, который лучше для каждого из участников, чем x.

Соответственно, мы называем ядром игры G : C(G) –это множество состоящее из всех не бло-кируемых дележей из G(N) (вообще говоря оно может быть и пустым, ядро).

Теперь можно задаться вопросом, а когда C(G) /∈ ∅, может быть оно всегда пусто. Чтобы найтипо крайней мере подходящие перемены, в которых можно говорить, когда C(G) /∈ ∅, мы начнем санализа самой простой игры: Gv и для нее попытаемся найти эти термины. Итак, мы рассматриваемигру Gv, т.е. игру с побочными платежами и попытаемся решить для нее вот этот вопрос, при какихусловиях, какой должна быть функция V (ясно, что это должны быть условия на функцию V ) прикоторых эта игра имеет непустое ядро.

1). Начнем с того, что попытаемся выяснить какой же вид может иметь это самое ядро, еслионо есть у этой игры. Оказывается, что в данном случае: C(Gv) это просто напросто совокупностьтаких n - мерных векторов(это должны быть дележи из множества G(N)), которые удовлетворяютусловию, что для каждой коалиции

S∑i∈S

= X(S) ≥ V (S) (2*)

S ⊆ N и X(N) = V (N) (3*):

C(Gv) = {x ∈ RN |X(S) =∑

i∈S

xi ≥ V (S) S ⊆ N, X(N) = V (N)}.

В этом случае, ядро есть множество решений системы линейных неравенств (2*) и одного уровня(3*). Т.е. это такие вектора, что сумма их компонент в точности равняется V (N) и еще что требуетсяот этих дележей, так это то чтобы ни одна из коалиций S не была обижена в таком дележе, т.е.чтобы каждая коалиция S получала в сумме по этому дележу не меньше того, что составляет еемаксимальный гарантированный выигрыш. Если для коалиции S окажется, что X(S) < V (S), тотогда коалиция S имеет законное право отколоться от остальных и свое V (S) разделить междусобой.

Желательно самим доказать, что C(Gv) имеет такой вид, но мы сделаем следующую под-сказку: ну, во первых, ясно, что такие дележи из-за равенства (3*) являются допустимыми. Вто-рое, как доказать, что если X(S) < V (S), то этот дележ обязательно блокируется коалицией S.Итак, пусть нашлась коалиция S, что для нее X(S) < V (S), а также X(N) = V (N). Положим4 = V (S) − X(S) > 0 (по нашему предложению). А теперь распределим это 4 поровну междуучастниками коалиции S, т.е. разделить 4 на S равных кусочков и дать их каждому из участниковкоалиции S : yi = xi + 4

S , где S– число участников коалиции S, ∀i ∈ S. Тогда по построению этотдележ будет допустимым дележом, он будет принадлежать G(S). Для этого надо проверить, будетли

∑i∈S

yi ≥ V (S) :∑

i∈S

yi =∑

i∈S

xi +4 = X(S) + V (S)−X(S) = V (S).

41

Таким образом дележ y ∈ G(S). Второе что нужно проверить, что компоненты y строго большекомпонент x, нуа это прямо по определению, т.к. компоненты y получены из компонент x прибавле-нием положительной величины, согласно нашему предположению, т.е. y >> x, ну а это и требуется вопределении блокирования.Т.о., если какой-то дележ x не удовлетворяет (2*) и(3*) по крайней мередля одной коалиции S, то он именно этой коалицией S и блокируется, той самой, которую этот дележобижает. Ну и второй этап, это естественно, надо показать, что если дележ x ∈ C(Gv), то тогда онне блокируется никакой коалицией. То что он будет элементом этого множества принадлежит G(N)мы уже обсуждали, т.к. есть условие X(N) = V (N), т.е., если он здесь, то он ∈ G(N). Теперь какпроверить, что он ничем не блокируется ? Ну очень просто, с помощью (2*), вот допустим, что нашx, который удовлетворяет (2*) и (3*) блокируется какой-то коалицией S. Тогда это означает, что ко-алиция S в состоянии предположить такой дележ y, который покомпонентно строго больше x и этотy ∈ G(S). Условие, что yi >> xi ∀i ∈ S приводит к тому, что

∑i∈S

yi ≥∑i∈S

xi ≥ V (S) ⇒ ∑i∈S

yi > V (S),

но условие допустимости требует, чтобы∑i∈S

yi ≤ V (S), т.е.мы получили противоречие, предполо-

жив что x блокируется y. Вообщем, мы закончили с обсуждением первого факта, которое нам надобудет использовать в дальнейшем, что оказывается для игр с побочными платежами описание ядраочень простое и оно сводится к тому, что это ядро имеет вид решения системы из (2*) и(3*), т.е.ядро в этом случае есть многогранник. А это существенное облегчение, поскольку множество самосравнительно простое, поэтому и вопрос о его пустоте или не пустоте по идее и решаться должен неочень сложно, что сложно, это вопрос, грубо говоря, совместности системы линейных неравенств.

2).Второе замечание которое мы можем сделать, оно основано на уже установленном виде это-го самого ядра. Значит, как можно по другому сформулировать то, что у игры Gv вот это самоемножество является не пустым, кроме того что эта система совместна, как это можно по другомувыразить. Это можно выразить следующим образом, если мы возьмем (2*) как ограничения, а за-тем на этом множестве будем минимизировать функционал X(N), то понятно, что дело сводитсяк тому: каково наименьшее значение функции X(N). Если это ноименьшее значение = V (N), тотогда ядро по видимому будет не пустым, если этот min строго больше чем V (N), то тогда оче-видно что ядро является пустым. Теперь все это формально. Рассмотрим такую задачу линейногопрограммирования: α

S ⊆ N (+) -таких ограничений 2n − 1 штук, по числу коалиций (без пустой коалиции). Еще разповротим, что вопрос о том является множество C пустым или нет сводится к тому является лиоптимальное значение в этой задаче равным V (N) или строго большим V (N). Т.е. второе замечаниезаключается в том очевидно утверждении, что

C(Gv) /∈ ∅ ⇔ min X(N)|(+) = V (N).

Построим данное утверждение в какую-нибудь сторону. Проанализируем нашу задачу, здесьсреди условий допустимости есть такое: X(N) ≥ V (N), т.к. в этих ограничениях участвуют всекоалиции, в том числе и N. Раз X(N) ≥ V (N), то min X(N) ≥ V (N). Ну и если этот min на самомделе равен V (N), то это означает, что найдется такой вектор x, который удовлетворяет (+) и плюск этому X(N) = V (N), а по определению это и есть C(Gv), т.е. есть x ∈ C(Gv). Ну и наоборот,если оказывается, что min X(N)||(+) > V (N), то разумеется ни одного элемента в этом множествеC нету, удовлетворяющим (+). Потому что если хотя бы один такой x был, поскольку для негоX(N) = V (N), томы получили бы. что min в этой задаче по крайней мере ≤ V (N), а он у насоказался > V (N) ( строго большим).

Ну, а теперь вспомним теорему двойственности и постараемся с помощью этой теоремы конкре-тизировать, более детально выписать условия разрешимости задачи α при которой (такой разреши-мости) min X(N) = V (N).

42

Наряду с задачей α давайте рассмотрим двойственную к ней задачу. Нам надо представитьсебе чем являются вектора задающие ограничения прямой задачи. Ясно, что для ограничений (+)соответствующий вектор, если его понимать как вектор-строку имеет вид:

-это индикаторная функция множества S. Тогда (+) можно записать так: x · ls ≥ V (S) S ⊆ N -вот так в векторной форме можно изобразить каждое из ограничений прямой задачи. AX(N) → minмы перепишем теперь так : x · lN → min .

Теперь мы можем записать двойственную задачу:α∗

∑S⊆N

V (S) · ys → max∑

S⊆N

ys · ls = lN

ys ≥ 0 S ⊆ N

Стало быть вопрос касающийся непустоты ядра сводится к тому, какое min значение может при-нимать X(N)α или, что тоже самое какое max значение может принимать функционал в α∗. Здесьважно то обстоятельство, что обе эти задачи оказываются разрешимыми, т.е. и в той и в другойзадаче есть допустимые решения. Ну а это очевидно, если в α∗ мы возьмем все ys = 0, кроме yN = 1,то этот вектор очевидно будет допустимым в α∗. Что касается α, то там тоже есть допустимые век-тора: если допустить, что все V (S) положительны, тогда кто нам мешает взять каждую компонентувектора X ровной самой большой из этих величин V (S), тогда понятно, что сумма этих компонентдля любой коалиции S будет больше чем V (S). Ну а раз есть в той и другой задаче допустимыерешения, то тогда и в той и другой задаче всегда есть оптимальные решения и оптимальные зна-чения на этих решениях совпадают. Т.о. если вернуться к нашей исходной постановке, все что намнужно здесь выяснить – это какое max значение может принимать целевая функция в α∗, еслиэтот max ≤ V (N), это можно записать так:

∑S⊆N

ysV (S) ≤ V (N) Вот этот max = V (N), очевидно,

тогда и только тогда когда вышезаписанная сумма ≤ V (N) для любого допустимого решения ys.Проверяется это очень легко, если мы возьмем у такой, что ys = 0 где S /∈ N и yN = 1, тогда maxв α∗ = V (N); и наоборот, если max в α∗ = V (N), то тогда для всех допустимых y выполняетсянеравенство:

∑S⊆N

ysV (S) ≤ V (N).

Итак, мы пришли к тому, что получили следующее утверждение:

C(Gv) /∈ ∅ ⇔∑

S⊆N

ysV (S) ≤ V (N).

Так что мы уже сейчас получили в терминах самой функции V которыя задает игру, условие ,которое гарантирует, что ядро игры G не пустое. Вот это совйство функции V, надо как-то поста-раться его выделить, потому что оно нам в последствии пригодится в более общей ситуации и тогдауже мы можем пытаться искать соответствующие условия для более общего класса игр. Вот как подругому можно сформулировать вот это условие. Чтобы сформулировать это по другому и как-тоболее компактно, давайте введем следующие определения:

σ0 = 2N\{∅}{S|S ⊆ N, S /∈ ∅}–совокупность подмножеств множества N, семейства всех непустых коалиций.Теперь введем определение сбалансированного покрытия множества N.Определение 2: Мы будем говорить, что семейство коалиций σ ∈ σ0 (σ – это часть σ0) является

или образует сбалансированным покрытием множества N, если ∃ такие ys ≥ 0 S ∈ σ, такие что

43

∑S∈σ

ys · ls = lN . Значит вот есть какой-то набор коалиций, мы говорим, что он образует сбаланси-

рованное покрытие, если можно подобрать такие веса ≥ 0, так что просуммировав эти коалициис этими весами, понимаемыми, скажем, как толщина этой коалиции, мы получаем все множествоN, взятое с толщиной единица, вот здесь lN это вектор y у которого все помпоненты = 1; ls. Этотоже вектора, у которых тоже по соответствующим подмножествам компоненты = 1, но мы их бе-рем с весами ys, которые могут эту единицу изменить. В общем, то что мы сейчас определили этона самом деле напрямую связано с тем, что мы имели в двойственной задаче, это как бы условиедвойственности у нас записано.

Определение 3: Мы будем говорить, что игра Gv называется B сбалансированной, если для лю-бого σ – сбалансированного покрятия N и соответствующих весов ys ≥ 0 выполняется неравенство∑σ

ysV (S) ≤ V (N) (ys из определения 2).

Теорема: C(Gv) /∈ ∅ ⇔ игра Gv является B сбалансированной.

Лекция N 10

В этой леции мы перейдем к формулировке условий для более общего класса игр, без побочныхплатежей. Итак, вспомним, что называется сбалансированным покрытием: у нас есть множествоN = {1, . . . , n} и мы через σ0 обозначим множество всех непустых коалиций σ0 = 2N\{∅} этой игры.Мы чаще будем рассматривать подсемейство коалиций, мы бедем рассматривать произвольное σ ∈σ0 и мы называли это семейство σ обзазующим сбалансированное покрытие мнодества N , еслиможно было указать такие числа ys ≥ 0 для всех S ∈ σ такие что

∑S∈σ

ys · ls = lN . Вот это называлось

сбалансированным покрытием семейства коалиции из которых с помощью некоторых весов можнобыло образовать разложение множества N на сумму векторов ls, где ls –индикаторная функциямножества S.

Давайте сначала разберемся немного с тем что же это за штука такая, что это за сбалансиро-ванное покрытие, потому что дальше они нам нужны будут очень по существу при выписыванииусловий непустоты ядра общей игры. Сначала приведем несколько примеров: ясно, что в качествесбалансированного покрытия годится любое разбиение множества N. Самое правильное разбиение,когда множество коалиций состоит всего навсего из одного элемента; вот у нас всего навсего одномножество в этом семействе σ = {(N)}, понятно, что полагая yN = 1 мы получаем сбалансированноепокрытие.

Рассмотрим второй вариант, который может быть: когда у нас рассматривается некоторое раз-биение множества N : {S1, . . . , Sm}, где Si

⋂Sj = ∅ при i /∈ j и USi = N. Вот второй простейший

пример, когда вот это самое семйство оказывается сбалансированным покрытием; ну значит здесьв чем проблема? В том, чтобы просто указать веса для каждого множества, так что с этими весами∑S∈σ

ys · ls = lN , понятно, что здесь в качестве таких весов можно взять ysi = 1. Итак, второй при-

мер, это когда произвольное разбиение, ну скажем на два множества S и N −S, ясно, что это тожеобразует сбалансированное покрытиея, берем веса =1 и все получается.

Кроме этих более или менее тривиальных покрытий есть оказывается и такие: если мы возьмемвсе двухэлементные коалиции множества N, т.е. рассмотрим σ = {{i, j}}, образует ли это множествокоалиций покрытие? Наверное да, потому что они очень равномерно устроены эти двухэлементныекоалиции( мы берем все какие можно коалиции). Значит, по видимому веса у них у всех будутодинаковые и даже можно подсчитать какими эти веса должны быть, вот здесь для двухэлемент-ной коалиции по видимому ys должен равняться следующему: ys = 1

n−1 , это следует из равенства∑S∈σ

ys · ls = lN , если мы здесь просуммируем по какому-то индеску i при равных весахys, то таких

слагаемых у нас будет n − 1 штук (в которых i -тый участвует в соответствующей коалиции, вn−1 коалиции он участвует). Значит чтобы эта сумма равнялась единице, надо чтобы эта величина

44

была равна 1n−1 . Т.е. если мы возьмем все двухэлементные коалиции, а в качестве весов возьмем

числа 1n−1 ,то очевидно что вот такая система с пересекающимися коалициями, раньше у нас были

разбиения, там они не пересекались (это были кусочки N), а сейчас мы допускаем и пересечение,ну и тем неменее можно оказывается подобрать такие веса вот в этом случае, чтобы получалось точто требуется по условию сбалансированного покрытия. Вообще, не только двухэлементные конеч-но, можно например. такие как просто m элементные коалиции σ = {{i1, . . . , jm}}, ну в частностиесли m = n у нас будет наша первая ситуация.Самим убедиться в том, что такое покрытие прилюбом m, лишь бы тут содержались все m – элементные коалиции, оно тоже гарантировано явля-ется сбалансированным покрытием, ну видимо здесь тоже надо подобрать какой-то коэффициентy общий для всех этих коалиций, одинаковый из-за того что это устроено равномерно, все какиеможно коалиции данного типа здесь присутствуют, а потом исходя из

∑S∈σ

ys · ls = lN можно просто

вычислить какой должен быть ys.Вот теперь можно сформулировать одно из главных условий для игр общего вида, игр без побоч-

ных платежей, обеспечивающих непустоту ядру, а потом убедиться что для некоторых специальныхклассов игр, для игр рынка например, это достаточно легко проверяется, поэтому у нас появляетсянадежный инструмент, не требующий перебора всех коалиций, как они там чего блокируют, а до-статочно простое условие с помощью которого мы будем с ходу убеждаться, что данная игра имеетядро или нет. Это будет определение 1, определение сбалансированности произвольной игры G.

Определение 1: Вот у нас есть произвольная игра G, которая каждой коалиции S ставит в со-ответствие подмножество G(S) из соответствующего пространства Rs(S → G(S) ⊆ Rs). Мы будемговорить, что эта игра является S –сбалансированной, если для любого сбалансированного покры-тия σ и для любого n–мерного вектора x = (x1, . . . , xn) из того что xs ∈ G(S) для всех S ∈ σ следует,что сам x ∈ G(N), где xs = (xi)i∈s– это сужение вектора x на какое-то подмножество координат.

Итак, есть у нас игра G, мы говорим что она является S – сбалансированной, если какое бысбалансированное покрытие мы не взяли и какой бы потенциальный n – мерный дележ x не взя-ли, такой что его части, кусочки отвечающие коалициям попадающим в σ, достижимы усилиямисоответствующих коалиций G(s), то с необходимостью должны быть так, что и сам x достижимусилиями большой коалиции N. Вот тогда игра называется S – сбалансированной. Т.е. все чтодостижимо меньшими коалициями, образующими сбалансированное покрытие, то должно бытьдостижимо усилиями большой коалиции, это условие можно считать необходимым требованиемосмысленности кооперирования, потому что, если окажется, что большая коалиция не в состояниидостичь маленькие коалиции порознь, то тогда какой резон в такой кооперации. А вот то что здесьнаписано, оно как раз говорит о том, что в игре имеется некоторый стимул для кооперации.

Ну вот в частности еще один пример, для каких сбалансированных покрытий это выполняется,мы уже примеры приводили выше: покрытия могут состоять просто из разбиения N, ну напри-мер, на два множества S и N − S. Вот рассмотрим такое примитивное покрытие G. Это свойствоутверждает, что всякий дележ, достижимый отдельно коалицией S и коалицией N −S, могут бытьсклеены (эти дележи) в один большой дележ, который достижим уже коалицией N. Т.е. чего бытам какая-то коалиция S не старалась что-то такое достичь, чего бы она там не нашла для себя вкаком-то смысле наилучшего, с помощью вот такой склейки этого же самого можно обеспечить спомощью усилий свей коалиции N.

А теперь мы введем еще несколько понятий, которые нам потребуются чтобы сформулироватьтеорему о непустоте ядра в самом общем случае:

1). Для каждого игрока i давайте обозначим через u0i max гарантированную полезность, котарую

он обеспечивает сам по себе без кооперации с другими игроками, т.е. это sup чисел и, что и ∈ G({i}) :u0

i = sup{u|u ∈ G({i})} –это max уровень полезности достаточный участнику i в рамках егомножества G(i). Мы естественно предполагаем, то что без этого никаких разговоров об ядре и бытьне может, что эти sup все конечны. т.е. u0

i < ∞, потому что если хотя бы один индивидум естьв нашей компании у которого возможности не ограничены, то он, ясное дело, заблокирует любойдележ, поэтому мы будем считать, что u0

i < ∞. Ну и вот этот самый вектор составленный из u0i мы

будем обозначать через u0 : u0 = (u01, . . . , u

0n).

II). Сейчас мы введем стандартное требование, которое считается обычно выполненным, это точто множество G(S) это все те дележи из G(S), которые покомпонентно ≥ u0

s, они еще называютсяиндивидуально рациональными дележами коалиции S. Значит вот это множество, мы будем счи-

45

тать, непусто для каждого S из N : G(S) = {u ∈ G(S)|u ≥ u0s} /∈ ∅ S ⊆ N, т.е. каждая коалиция

S может достичь своими усилиями такого дележа, в котором каждый из участников получает неменьше, чем он получал бы сам по себе, действуя индивидуально. У нас, u0

s это просто сужениевектора u0 на подмножество S, это вырезка из вектора u0, когда мы выбрасываем все компонентыне принадлежащие S. Чтобы был вообще смысл говорить о кооперации, понятно что такие множе-ства (G(S)) должны были быть не пустыми, ну хотя это не обязательно. Вообще мы для простотыпринимаем такое требование.

III). Все множества G(S) должны быть замкнутыми. Это чисто техническое требование, котороепозволяет использовать подлежащую математическую технику.

А теперь мы можем дать формулировку теоремы:Теорема: ( о непустоте ядра) (была доказана Скарфом).Если игра G S –сбалансирована и удовлетворяет условиям II-III, то ее ядро не пусто.Эта теорема указывает достаточное условие непустоты ядра произвольной игры без побочных

платежей. Что для этого достаточно ? Достаточно, чтобы игра была S– сбалансирована в смыслеопределения 1 и чтобы все множества G(S) были замкнуты, а G(S) все были не пустыми, в томчисле, чтобы G(N) было не пустое.

К сожалению средств, таких чтобы сразу в лоб начинать доказывать эту теорему у нас нет. И намнадо сначала обзавестись этими техническими средствами, а потом уже окольным путем подойти кдоказательству этой теоремы, причем мы докажем эту теорему для случая специального класса игрG, так называемо конечно-порожденных, которые могут быть конечной информацией, ну а потом,може быть мы докажем теорему в полном объеме (полное доказательство дано в пособии Васильева).Мы как минимум доберемся до конечно-порожденного случая, причем не просто докажем теоремусуществования, а построим конечный алгоритм, который позволяет в такой ситуации прямо найтиэтот элемент ядря.

Доказательство теоремы распадается на несколько этапов. На первом этапе мы сформулируемнекоторое утверждение, которое называется леммой Скарфа. Затем мы покажем, что ∃ алгоритмкоторый строит то, что указывается в лемме Скарфа, именно два базиса: допустимое базисноемножество (ДБМ) и ординальное базисное множество (ОБМ). А потом применим этот алгоритмдля доказательства нашей теоремы Скарфа о непустоте ядра для конечно- -порожденных игр.

Чтобы сформулировать лемму Скарфа, введем обозначения:Пусть A и C – две прямоугольные матрицы, рпзмерностью n – строчек, m –столбцов: n×m, ну

естественно будем считать, что m > n так по нашим условиям получается, которые нам нужны длядоказательства теоремы Скарфа. А b пусть какой-то положительный вектов, n – мерный в ∈ Rn иb >> 0.

Теперь введем понятие станрадтности:Мы будем говорить, что матрица A находится в стандартной форме, если выполняется такое

условие: первые столбцы этой матрицы A aj есть просто напросто орты aj = lj j = 1, n. Т.е.подматрица составленная из первых ее столбцов есть просто напросто единичная матрица. Мыбудем говорить, что матрица C находится в стандартной форме, если выполняются такие условия:

1). Cii (это элемент стоящий на главной диагонали подматрицы C, составленный из первых n

столбцов) должно быть наименьшим элементом в своей строке, т.е. i- той строке: Cii = min Cj

i j =¯1,m.2). Элементы стоящие не на главной диагонали, но в этой же подматрице, должны быть больше

или равны всех элементов состоящих в той же самой строке, но в другой подматрице матрицы C,составленной из остальных столбцов n + 1, n + 2 и т.д.:

Cji ≥ max

k≥n+1Ck

i j = 1, n i /∈ j.

Т.е. все внедиагональные элементы подматрицы матрицы C, составленной из первых n столбцов,должны быть не наибольшими в своей строке, но уж во всяком случае большими либо равными всехэлкментов этой же строки, расположенных в другой подматрице матрицы C.

Для простоты введем следующие обозначения:Пусть

A1, A2

C1, C2

}

46

это подматрицы матрицы A и C соответственно, что A1, составлена из первых n столбцов, а A2

из всех остальных столбцов. Точно такие и для матрицы C. Т.е.:

A = [A1 A2] C = [C1 C2]

Тогда условие стандартности A состоит в том, что подматрица A, просто единичная матрица.Сейчас мы введем понятие ДБМ и ОБМ:Определение 2: Мы называем подмножество номеров столбцов матрицы A, состоящее из n эле-

ментов: K = {j1, . . . , jn} –ДБМ, если выполняется такое условие, вот такая система линейных урав-нений

∑j∈K

xjaj = b, где {aj} – лнз и с условием неотрицательности x, который ищется, если эта

система имеет неотрицательное решение X(K). Заметим, столбцы aj образуют базис, пространствоRn, т.е. лнз, т.е. их столько сколько надо n штук.

NB! относительно прошлой лекции, касательно последней теоремы. Мы сначала привели дока-зательство, а потом формулировали то, что получили, т.е. последняя теорема там доказана полно-стью.

Желательно доказать самим:Для игры с побочными платежами Gv условия B – сбалансированности и S – сбалансированности

эквивалентны: Gv B – сбалансирована ⇔ Gv S– сбалансировала.Итак, ДВМ – это равно то же самое, что мы раньше изучали в математическом программиро-

вании, когда исследовали задачи линейного программирования: Ax = b x ≥ 0 –такие вот мы будемрассматривать в дальнейшем системки для матрицы A и вектора b. И вот если понимать это какусловия допустимости в задаче линейного программирования, то множество K которое мы здесьназываем ДБМ это тоже самое ДБМ, что и было в такого рода ситуациях в задачах линейногопрограммирования.

Введем теперь определение, касающееся матрицы C, нам надо что-то такое подобное ДБМ сфор-мулировать для матрицы C.

Определение 3: Берем n - элементное множество, составленное из номеров столбцов матрицы Cи называем это n– элементное множество L = {j1, . . . , jn} – ОБМ. Вот это множество L называетсяОБМ, если не ∃ номера j для которого выполнялось бы условие Cj >> покомпонентно вектора πL,где πL – это построчечный min, образованный из столбцов с номерами {j1, . . . , jn} : πL

i = minj∈L

Cji .

Итак, тут у нас есть множество L номеров столбцов матрицы C, какие-то там Cj1 , . . . , Cjn , воту нас значит матрица соответствующая, квадратная образовалась: [Cj1 , . . . , Cjn ]. Как образуетсявектор πL? Ну просто напросто мы для каждой строчки вычисляем подстрочечный min и вот он ибудет соответствующим элементом вектора πL. Этот вектор πL в дальнейшем мы будем называтьподстрочечным минимумом соответствующей подматрицы матрицы C, подматрицы отвечающейномерам j1, . . . , jn.

Приглядимся еще раз повнимательней к определению, что значит ординальное. Вот это мно-жество L является ординальным, если оказывается, что этот самый подстрочечный min не можетбыть строго покомпонентно меньше никакого из столбцов матрицы C. Т.е. по другому, если этопопытаться эквивалентным образом выразить, вот это свойство, которое записано выше, что не ∃такого столбца матрицы C, который покомпонентно строго больше этого подстрочечного min, подругому это же самое можно выразить так: что для всякого номера J = 1,m ∃ такой номер строкиi, что πL

i ≥ Cji .

Итак, мы определили что называется ОБМ, оно еще иногда называется примитивным базисныммножеством.

Теперь у нас есть все формулировки для того чтобы дать лемму Скарфа, на которой основана вдальнейшем сама теорема о непустоте ядра. Эта лемма Скарфа говорит о том, что при некоторыхусловиях, ну они по существу все уже у нас выписаны кроме небольшого количества, существуеттакое ДБМ матрицы A, которое в тоже самое время является ОБМ матрицы C.

Лемма Скарфа 1: Если матрицы A и C находятся в стандартной форме, а множество решенийсистемы {Ax = b; x ≥ 0 ограничено сверху (т.е. ∃ такая const, что всякое неотрицательное решениеэтой системы удовлетворяет условию: все его компоненты ≤ этой const,) то ∃ ДБМ, которое являетсяи ОБМ (матрицы C.)

47

Эту лемму мы будем доказывать в условиях невырожденности, потому что мы будем доказы-вать некий алгоритм, который позволит нам конструктивно по матрицам A, C и вектору b найтиэтот самый K, который окажется одновременно и ДБМ и ОБМ. А теперь сформулируем условияневырожденности:

Для матрицы A : матрица A удовлетвлряет условию невырожденности, если для всякого ДБМK выполняется условие: X(K) (под X(K) мы понимаем именно те компоненты x, которые отвечаютK) >> 0, т.е. все xj >> 0 где j ∈ K. Обозначим это через (A).

Для матрицы C ( обозначим через (C)) : Для каждой строчки i все элементы этой строки Cij

различны, т.е. Cij /∈ Cij′ если j /∈ j′. Это условие обеспечивает, что вот этот самый построчечныйmin, из условий определяющие ОБМ, максимумы там, они все достигаются ровно на одном элементе,т.е. т. что стоит на главной диагонали оно не просто меньше или равно, а сторго меньше всегоостального в этой строке, а не диагональные элементы не просто больше либо равны, а строгобольше соответствующих элементов.

Теперь мы сначала докажем пару лемм для этих невырожденных ситуаций, а потом сформули-руем алгоритм, который позволяетя прийти к ДБМ, которое одновременно является и ОБМ.

Первая из приведенных лемм относится к ДБМ:Лемма 2:(касается свойств ДБМ в условиях невырожденности).Если матрица A находится в стандартной форме, удовлетворяет условию невырожденности (A)

и множество решений системы {Ax = b x ≥ 0 ограничено сверху, то для всякого ДБМ K и столбцаj0 /∈ K ∃!j∗ ∈ K такой что K\{j∗} ∪ {j0} снова ДБМ.

Суть этой леммы в том, что при условиях перечисленных выше, какое бы ДБМ K мы не взяли икакой бы элемент j0 /∈ K не попытались туда ввести, чтобы получилось новое ДБМ – это, во первых,всегда можно сделать и, во вторых, это делается единственным образом, т.е. тот столбец которыйнужно вывести из ДБМ, чтобы на его место поставить j0, существует всегда и единственен.

Доказательство: Мы предполагаем, что выполнены все условия леммы 2; берем произвольноеДБМ K, берем некий столбец j0 /∈ K. И докажем, что K\j∗ ∪ j0 = K ′ – тоже будет ДБМ, т.е.отвечающие ему столбцы будут лнз, решение системы будет неотрицательное и никакого другоговместо j∗ из K выкинуть нельзя, чтобы на его место поставить j0 с сохранением всех этих свойств.

Т.к. по условию K есть ДБМ, то такая система (∗) ∑j∈K

xjaj = b разрешима, причем решение

единственно, из-за того, что столбцы лнз и x все неотрицательны. Т.к. j0 /∈ K, то разложим aj0 побазису, найти такие коэффициенты gj , что aj0 =

∑j∈K

gjaj ⇒ aj0 − ∑

j∈K

gjaj = 0. А теперь умножим

это уравнение на положительное число ε > 0 : (2∗)εaj0 − ∑j∈K

εgjaj = 0. А теперь сложим (*) и (2*):

εaj0 +∑

j∈K

(xj − εgj)aj = b.

У нас получается , что при каждом ε > 0 справедливо это равенство, ну а так как наша задачасостоитв том чтобы ввести в базис столбец с номером j0 за счет того чтобы что-то из этого старогобазиса вывести, то анализ этого равенства показывает как этого можно достичь. Ну этого, понятноедело, можно достичь регулируя ε таким образом чтобы во втором слагаемом все коэффициенты принекоторых ε оказались бы ≥ 0, а один из них обратился в ноль, тем самым этот столбец j∗ вышел быиз базиса, а в базис вошел столбец j0 Так вот, если мы такое ε подберем, чтобы все коэффициенты увторого слагаемого остались ≥ 0, а по крайней мере один обратился в ноль, то мы тем самым нашлибы новое базисное решение в котором уже при столбце aj0 был бы ненулевой коэффициент ε > 0,а при каком-то из старых столбцов этот составной коэффициент обратился бы в ноль. Ну и значитмы получили бы новое базисное решение, новое базисное множество в котором присутствует j0 иотсутствует j∗. Вот такая у нас идея. А из этой идеи вытекает, что ε должен быть выбран такимобразом, что для всех положительных gj у нас выполнялось неравенство:

xj − εgj ≥ 0 ⇒ xj ≥ εgj ⇒ ε ≤ xj

gj

для всех j ∈ K+. Тогда максимально возможное значение ε при котором все еще коэффициентыбудут ≥ 0, будет равно следующему: ε∗ = min

gj>0

xj

gj– его мы и будем брать в качестве нужного нам ε.

48

Теперь осталось только разобраться, что у нас тут получается с существованием и единствен-ностью, то что мы все эти наши операции проделывали в предположении, что у нас множествоположительных gj не пустое, иначе почему min-то брать было. Ну и во вторых нам надо поза-ботиться о том, чтоб этот самый ε∗ достигался ровно на одном j, на том самом j∗, который намнужен. Давайте начнем с начала почему у нас неприменно есть gj > 0. А это очевидно вытекаетиз того условия. что наше множество неотрицательных решений системы {Ax = b; x ≥ 0 ограни-чено сверху. Почему ? Допустим, что в нашем случае все gj оказались ≤ 0, это означает что прилюбом ε > 0, сколь угодно большом, все коэффициенты xj − εgj > 0, а в целом xj − εgj по всемуK будет образовывать неотрицательное решение нашей системы Ax = b, но оно тогда получаетсяне ограниченным сверху из-за того что, по крайней мере, вот эта компонента отвечающая j0 можетбыть сколь угодно большой, занчит если gj > 0 не существует, то мы получаем противоречие снашим предположением, что множество неотрицательных решений нашей системы Ax = b ограни-гено сверху, т.к. при этом можно взять любое ε > 0 и тогда при этом ε > 0 все это дело вместевзятое образует неотрицательное решение нашей системы Ax = b. Устремляя ε к ∞, мы получаемпротиворечие с ограниченностью, значит множество K+(K+ это j для которых gj > 0) не пустое,т.е. все операции которые мы здесь осуществляли, вот взятие min, это законные операции.

Теперь установим, что min, достигается в одном месте, это и будет означать единственность то-го j∗, который мы будем выводить из базиса. Как получается единственность? Ну это опять надопоглядеть чего мы добиваемся, когда ищем min . Мы добиваемся того, чтоб на том самом элементе,вот допустим это осуществляется на xj

∗

gj∗ = ε, значит там где достигается min, там разумеется прямо

по определению (xj∗ − ε∗gj

∗) = 0, значит мы зануляли какую-то координату, какую-то компонентув этом решении. Что случилось бы, если бы у нас наряду с этим j∗ еще где-то запулилось, ведьто что min достигается не на одном, а на двух означало бы, что мы нашли допустимое базисноерешение системы Ax = b, которое не удовлетворяет условию невырожденности. Для невырожден-ности требуется чтоб все n компоненты были строго больше нуля, а у нас здесь всего не более n− 1ненулевых компонент, а должно быть все n штук, значит получили противоречие с тем, что у насвыполняется условие невырожденности.

А теперь более сложная часть касающаяся ОБМ.Лемма 3: (о перестройке ОБМ).Если матрица C находится в стандартной формуле и удовлетворяет условию невырожденности

(C), то для всякого ОБМ L и элемента j∗ ∈ L такого, что L\{j∗} ∩ {n + 1, . . . , m} /∈ ∅ то ∃!j0 такойчто множество L′ = L\j∗ ∪ j0 является ОБМ.

Очем идет речь, у нас есть ОБМ, но в отличие от ДБМ, мы не какой-то построенный собираемсявводить, а на первом этапе выводим что-то из этого ОБМ, выводим такой элемент j∗, что если еговыкинуть, то среди оставшихся будут по крайней мере один столбец с номером n + 1 или больше,вот если такое выполняется относительно j∗, то тогда неприменно ∃!j0 такой что L\j∗ ∪ j0 сновабудет ОБМ, т.е. здесь перестройка идет из нутри, сначала мы выбрасываем. а потом уже ищем состороны кого-нибудь кого приглашаем вместо этого j∗.

Лекция 11

Итак, мы сформулировали лемму 2 о перестройке ОБМ и наша первая задача - это доказатьлемму. Ну а затем мы воспользуемся этими двумя леммами о перстройке для построения алгоритма,который будет давать нам базис, который одновременно и допустимый, и ординальный.

Итак, докажем нашу лемму:Доказательство: Итак, мы имеем ОБМ L, мы предположили, что еси из L\j∗, то тогда, то что

остается не содержится целиком среди первых n номеров (6⊆ {1, . . . , n}). Ну то есть во множествеL\j∗ есть хотя бы один номер, который ≥ n+1, т.е. там есть хотя бы один такой столбец матрицы C2.И мы сейчас собираемся доказать, что непременно ∃! такой столбец с номером j0, что {L\j∗}∪j0 = L′

будет давать снова ОБМ, причем L′ n – элементное множество и надо заметить, что j∗ 6= j0, т.к.если j∗ = j0, то у нас было ОБМ и остается ОБМ.

49

Чтобы стала более понятна идея, продемонстрируем это на более простой ситуации, когда у нас,например, n = 4. Нарисуем соотвутствующую матрицу составленную из столбцов с номерами изL, мы проведем наши манипуляции: удалим какой-то и будем искать j0 такой, какой нам нужен.Прежде чем нарисуем матрицу, зафиксируем следующий факт, который очевидным образом вете-кает из определения ОБМ: что если у нас есть ОБМ и мы построили соответствующую подматрицуматрицы C отвечающую номерам этого ОБМ, то, что мы там делали, мы искали построчечныйmin, строчек у нас n, минимумов тоже будет n, столбцов тоже n, вот оказывается, что не тольков каждой строке, в силу невырожденности задачи (есть ровно один min), но и в каждом столбцеэтот min единственный, в смысле min попадающий в столбец ∃ для каждого столбца, ну естествен-но он единственный. Почему это так ? Допустим, что у нас есть столбец на элементах каждогоне реализовался ни один из построчечных min, тогда этот столбец покомпонентно строго большепострочечного min, но это противоречит ординальности. Итак, мы получили, что min, которые мыищем в каждой строчке этой матрицы, реализуются по одному в каждой строчке и по одному вкаждом столбце.

50

Итак, нарисуем нашу табличку.

j1 j2 j3 j4 j...

XX X

XX X X

Cj1 Cj2 Cj3 Cj4 Cj...

Номера j1, . . . jn составляют ОБМ X – построчечные min .Пусть мы нашли какой-то столбец, ну например, j1, такой, что среди оставшихся, есть хотя

бы один номер ≥ 5, в нашем случае. И вот столбец j, мы удаляем и хотим найти что-то , чтопозволит нам вместе с оставшимися тремя организовать новое ОБМ. Вот вопрос, как это можетпроизойти ? Будем рассуждать следующим образом, после удаления столбца j1 = j∗ ( в нашемслучае), усеченая матрица C, в которой уже n − 1 столбца (3, в нашем случае), тоже может бытьподвергнута той же процедуре, что и исходная матрица, т.е. мы можем подсчитать подстрочечныйmin этой усеченой матрицы, если мы будем действовать таким образом, то понятно, что в усеченойматрице min новый, появится в той самой строке, из которой ушел старый min вместе со столбцом j∗.В усеченой матрице получили новый min X поскольку у нас здесь строк стало больше на единицу чемслобцов, то ясно дело, что обнаружится столбец в котором будут два min (один старый X в строчкеi и один новый X в строчке i∗∗). Ну а теперь надо найти столбец матрицы C, такой, чтобы привычислении подстрочечного min для этой уже полноценной матрицы из четырех столбцов, у нас вотэтот столбец на котором оказалось два min, разгрузился от одного из них, это необходимое условие,потому что иначе у нас если бы остались эти два min на одном столбце, то не было бы ординальногобазиса, тогда бы новый столбец не имел бы min и это противоречило бы ординальности. Итак, когдамы присоединяем какой-то столбец, который допустим, что ∃ и вместе с оставшимися тремя образуетОБМ, то при подсчете нового построчечного min в этом новом ОБМ, у нас происходит следующее:на этот новый столбец переходит либо X в случае i∗, либо X в строчке i∗∗. Вот вопрос, какой именноиз них сюда перейдет и как в соответствии с этим действовать? Оказывается, возможна ровно однаситуация: min может перейти только от старого, только по строчке i∗. Почему это так? Это можнодоказать прямо от противного. Допустим, что наш min в новом столбце переходит со строчки i∗∗,т.е. у нас образуется min . И формально вроде бы все нормально: в каждом столбце по одному min,ну и снова, раз ординальный базис, мы предполагаем, что нет ни одного столбца в матрице C,который бы доминировал этот новый построчный min . Покажем, что в этой ситуации обязательнопоявится противоречие, что такого не может быть, чтобы эта вот подматрица была ОБМ. Пусть сстолбце Cj по строчке i∗∗ реализовался min, тогда выполняется одно из двух: либо Cj

i∗∗ > Cj1i∗∗ , либо

Cji∗∗ < Cj1

i∗∗ . Вот эти две ситуации мы рассматривем и из каждой ситуации извлечем противоречие.Рассмотрим первую ситуацию, когда Cj

i∗∗ > Cj1i∗∗ , ну тогда здесь будет нарушаться условие

ординальности, потому что мы получаем тогда такой столбец Cj , который покомпонентно нечтострого большее построчечного min в старом базисе L, т.к. в Cj все элементы с самого начала большеX и Cj

i∗∗ > Cj1i∗∗ . Итак, это предположение влечет, что L не является ОБМ.

Теперь посмотрим, что проистекает у нас, когда оказалось, что Cji∗∗ < Cj1

i∗∗ . Тогда у нас ока-зывается, что столбец Cj1 . будем доминировать построчечный min в новом ОБМ (Cj1 >> πL′).То мы опять получили противоречие, мы то предполагаем, что построили ОБМ,а оно оказалось нетаким,т.е. L′ не ОБМ.

Стало быть, в результате полученных противоречий, если вообще и есть такой новый столбец j0,который вместе с оставшимися тремя образует ОБМ, то когда мы подсчитываем новые построчеч-ные min для этой новой матрицы, происходит следующее: все min такие были в исходной усеченойматрице остаются на своих местах, кроме одного старого, который был бы в строке i∗, он перехо-дит в столбец Cj . То мы должны учмтывать это обстоятельство, когда мы ищем столбец которыйдолжен быть вместо j∗, образовывать с оставшимися ОБМ. Какой это должен быть столбец сталобыть ? Это должен быть столбец, такой, что у него все компоненты, кроме i∗, должен быть строгобольше построчечного min усеченой матрицы. Т.о. мы получаем множество из которого надо искатьнаш столбец. Это множество образуется таким образом: берется все столбцы матрицы C с номерами

51

j, такие у которых все компоненты кроме i∗ строго больше построчечного min усеченой матрицы.Вот так мы и будем действовать.

Запишем все формально для общего случая. Итак, был у нас базис L, был построчечный min πL,взяли мы L′ = L\j∗ и поэтому L′ построим построчечный min усеченой матрицы πL′

i = π′i = minj∈L′

Cji .

И оказалось, что при подсчете этого min на одном из столбцов исходной матрицы C1, отвечающейэтому ОБМ L, построчечный min реализовывался дважды. Значит у нас нашелся такой столбец jиз L′, что i∗ у него старый min, который был в базисе L, и в строчке i∗∗ возник новый min . Нуа теперь мы формируем множество J, которое состоит из тех номеров столбцов матрицы C, длякоторых Cj

i > π′i и для всех i, кроме i = i∗:

J = {j|Cji > π′i, i 6= i∗}.

Теперь чем говорить о том как мы из этого множества будем выбирать то, что нам следует. Надосказать пару слов о том, что оно пустое для начала, потому что если оно пустое, чего там выбиратьтогда. Итак, первое что мы должны зафиксировать, что множество J 6= ∅, т.к. в этом множествесодержится элемент i∗ : i∗ ∈ J, т.е. один из первых n номеров столбцов. Давайте теперь вспомнимусловие стандартности, по условию стандартности недиагональные элементы матрицы C1 строгобольше всех элементов стоящих в той же строке подматрицы C2. А по условию нам известно, чтоL′ = L\j∗ содержит хотя бы один столбец матрицы C2, точнее говоря номер ≥ n + 1, а значитпострочечный min π′ меньше либо равен покомпонентно этого столбца матрицы C2, а раз так, тотогда π′ строго меньше всех компонент Ci∗, кроме i∗. Ну и стало быть у нас выполняется для этогосамого столбца то что требуется там, т.е. если мы проверили, что нам требовалось, то единственноечто нужно было чтобы столбец, который попадет доминировал по всем компонентам кроме однойэтот подстрочный min . Итак, значит множество J не пустое, потому что там по крайней мере одинэлемент есть. Ну а теперь мы в этом множестве J выбирем такой номер j0, который определяется изусловия Cj0

j∗ = maxj∈J

Cji∗ . Смысл этого такой: среди столбцов или номеров, точнее из множества J мы

выбираем тот номер, который соответствует столбцу с наибольшей i∗ компонентой (т.е. компонентаиз строки i∗), причем по условию невырожденности эти все компоненты разные. Полученный такимобразом j0 мы вводим в L вместо j∗.

Ну а то, что старый min, который был в i∗ переходит в j0 доказывается аналогично, как длярассмотренного выше случая, когда n = 4.

Теперь вопрос, если этот самый нужный нам j0 ∈ J, то какие у него должны быть свойства ? Ну унего должны быть такие свойства, что при присоединении этого столбца к остатку, не может найтисьстолбец матрицы C, который покомпонентно был бы строго больше нашего нового построчечногоmin . А наш min как организован? Часть компонент именно с номерами 6= i∗( это построчечныйmin, который был в усеченой матрице), ну и новый получается из строчки i∗ в новый столбецэтого старого min . Стало быть, если мы допустим что есть какой-то столбец в нашей матрице C,который покомпонентно строго больше нового построчечного min, то этот новый столбец, которыймы предположили что ∃, должен быть строго больше элементов старого построчечного min и сталобыть этот столбец должен ∈ J. Значит, мы доказываем, что это множество L = L′ ∪ j0 ОБМ,и доказываем от противного. Допустим, что ∃ такой столбец Cj который строго больше новогопострочечного min πL = π : Cj >> π. Из этого предположения тогда вытекает, что j обязательно∈ J, т.к. он, в силу того что строго больше по всем компонентам, строго больше по всем компонентамкроме i∗, а эти компоненты, кроме i∗, это компоненты усеченого построчечного min . У нас j0 ∈ J,но у него компонента i∗ самая большая, какая только может быть, а по предположению Cj долженбыть и по этой компоненте строго больше, значит мы получаем противоречие: j0 выбран из тогоже множества J, в котором находится этот j, и у него компонента с номером i∗ самая большая. Истало быть не может быть такого, что у этого самого j будет выполняться неравенство Cj

i∗ > πi∗ ,что требуется по условию, если мы допустили, что наш базис не является ординальным. Итак, мыполучили противоречие, т.е. не ∃Cj >> π. Т.е. L – ОБМ прямо по определению ОБМ.

Значит одна часть теоремы у нас доказана, что ∃, а другая часть, что это новое L или j0 един-ственный, она вытекает просто из невырожденности. Т.к. если и можно что-то из J ввести в старыйбазис вместо j∗, то только вот этот элемент j0, у которого компонента i∗ самая большая, потому

52

что если мы введем что-то другое, где она не самая большая, то тогда взяв столбец из J у которогоэта компонента самая большая, мы получили противоречие с ординальностью.

Ну а теперь мы докажем лемму Скарфа, о том что при определенных условиях на матрицу A,Cу нас гарантировано существование ДБМ, которое в то же самое время и будет ОБМ -ом. Вот эталемма играет ключевую роль придоказательстве теоремы Скарфа о непустоте ядря сбалансирован-ной игры.

Доказательство леммы Скарфа. Мы будем рассматривать невырожденный случай, т.е. когда унас наряду со всеми условиями леммы Скарфа, предполагается еще, что матрицы A и C удовлетво-ряют условию невырожденности. Что касается общего случая, то как это делается в математике,общий случай сводится к невырожденному просто апроксимацией общего случая невырожденнымизадачами. Кто догадается как это делается и расскажет на экзамене получит за это от 0.5 до1 балла.

Итак, наша цель состоит в том, что в условиях леммы Скарфа, к которым добавлено еще усло-вие невырожденности, доказать, что эта лемма справедлива, т.е. что ∃ базис K, который являетсяодновременно и ДБМ и ОБМ. Доказывать будем таким образом, построим некоторый алгоритм,который по заданной с самого начала исходной парочке – ОБМ и ДБМ, которые вообще говоря, несовпадают между собой, через несколько шагов получили ту самую парочку. которая нам нужнабудет, т.е. и ДБМ и ОБМ будут одним и тем же множеством.

ДБМ у нас перестраивается каким образом ? Вводим j0 однозначно определяем коэффициентыразложения этого столбца по старому базису, находим ε∗, находим j∗ где этот ε∗ реализуется и вотэтот самый j∗ и выводим из ДБМ, а на его место вводим j0. В условиях невырожденности у нас всеэто однозначно происходит, единственный j∗ такой ∃, который можно убрать, чтобы на его местопоставить j0.

ОБМ у нас перестраивается каким образом? Мы удаляем j∗, при условии что там среди остав-шихся есть с номерами ≥ n+1, а затем новый j0, который вводим на место j∗, строим по следующемуалгоритму: мы образуем построчечный min усеченной матрицы π′, а потом по π′ строим J, потом вJ ищем столбец у которого компонента с номером i∗ самая большая, это и есть искомый столбец j0.

Вот этими инструментами мы будем пользоваться для построения искомой парочки двух бази-сов, которые одновременно совпадают между собой и являются ДБМ и ОБМ.

А начинается процесс следующим образом, вот у нам есть матрица A, матрица C, как там в усло-виях леммы Скарфа, мы строим пару базисов, один из которых является ДБМ: K0 = {1, 2, . . . , n},то что он является допустимым не вызывает сомнения, т.к. матрица A находится в стандартнойформе, т.е. первые n мест есть орты и ≥ 0. Что касается начального ОБМ, то мы его ищем вследующей форме: L0 = {j, 2, . . . , n}, т.е. мы ищем ОБМ в такой форме, чтобы оно отличалосьот ДБМ только по первой позиции. Причем j находится из того условия. что среди всех столб-цов подматрицы C2 этот j-тый столбец имеет max первую компоненту: Cj

1 = maxj′=n+1,m

Cj′1 , причем

j определяется единственным образом, т.к. у нас ситуация невырожденности. Что касается того,что этот базис действительно является ординальным, то тут нет особых сомнений. Почему? Про-сто надо проверить, что выполняется условие ординальности, что нет такого столбца, который былбы покомпонентно строго больше нашего построчечного min нашей матрицы с номерами столбцов{j, 2, . . . , n}. Ясно, что построчечный min по строчкам 2, . . . , n это будет исходный, построчечныйmin по всей матрице C, а что касается первой строчки, то понятно, что по первой строчке min у насбудет реализовываться на этом столбце номер j. Теперь допустим, что у нас есть какой-то столбецCj′ , который строго больше этого построчечного min : Cj′ >> π, за счет чего может найтись такойстолбец, ясно что этот столбец, его номер j′ ≥ n + 1, т.к. если j′ ≥ n + 1, то тогда соответствующееусловие: строго больше построчечного min не будет выполняться, т.к. у нас построчечный min построчкам 2, 3, . . . , n это есть глобальный min в строчке. Ну а тогда у него получается, что перваякомпонента больше чем первая компонента Cj , но мы выбирали j так, чтобы Cj

1 = maxj′=n+1,m

Cj′1 . Т.о.

получили противоречие, т.е. не ∃Cj′ >> π (просто по построению). Т.о. L0 – ОБМ.Дальше, отправляясь от этой парочки, мы будем сохранять то же соотношение между ОБМ и

ДБМ, которое сложилось у нас на самом начальном этапе, именно, все остальные пары, мы будемдвигаться от одной к другой, перестраивая либо ОБМ, либо ДБМ, сохраняя это соотношение, что

53

если имеется несовпадение, то только по первой позиции, вот как здесь в K0 и L0 : 1, и j, ясно, чтоj не может быть единицей изначально, просто по построению. И дальше мы будем двигаться такимже образом чтобы при всем том что эти базисы меняются, отличаться они будут только по однойпозиции, по первой, n остановимся тогда, когда по этим первым позициям возникает совпадение, акогда это совпадение появится, то у нас будет базис, который и ДБМ, и ОБМ.

Действовать будем следующим образом: мы проделаем первые два шага, конкретно, потом ука-жем способ как это в общей ситуации происходит перестройка от одной пары к другой, а дальшеубедимся, что этот процесс действительно заканчивается на парочке, которая нам нужна.

В качестве первого шага (нечетного шага) предполагается осуществить следующую перестройкуДБМ: то что мешает совпадению, то что находится в ОБМ – элемент j введем в базис K0 в расчетена то что он вытекает именно первый элемент, если это произойдет то мы сразу после первого шагаполучим то что требуется – у нас будет совпадение двух базисов, если только удасться ввести jтак, чтобы он вытеснил именно единицу, а не что-то другое. Если же это не получится, ну тогдамы помещаем j в то место где он выталкивает соответствующий элемент, а затем будем работатьс ОБМ, его перестраивать. Сейчас уточним как осуществляется первый шаг: на первом шаге мыполучаем пару базисов K1 и L1 следующим образом –L1 это то же самое что и было раньше, т.е.L0 = {j, 2, . . . , n}, а в K0 мы вводим j и оказалось, что это j вытесняет не единицу, а что-то другое,например, k-ый элемент, и мы получили K1 = {1, . . . , k−1, j, k+1, . . . , n}, а потом в L0 мы поменяемместами j -ый и k - ый элемент местами и мы получим L1 = {K, 2, . . . , k − 1, j, k + 1, . . . , n}, т.е. K1

и L1 отличаются опять только по первой позиции.На втором (четном) шаге согласно лемме 2 о перестройке ОБМ перестраиваем L1 удаляя k, что

мешает совпадению по первой позиции в расчете что на его место придет единица и если бы этопроизошло, то на этом шаге мы бы остановились, т.к. получили бы два базиса которые совпадаютмежду собой. Если же нет, то поступаем так K2 = K1 = {1, 2, . . . , k − 1, j, k + 1, . . . , n}, а L2 такоечто вместо k пришел какой-то j1 : L2 = {j1, 2, . . . , j, . . . , n}.

Т.е. мы согласно лемме 2 удалили из ОБМ и тогда, поскольку у нас среди оставшихся естьэлемент j с номером большим чем n + 1, у нас работает лемма 2: ∃!j1, который займет место k ипри этом новый набор будет ОБМ. И опять K2 и K2 отличается только по первой позиции, прямопо построению.

Идея значит следующая: мы переходим от одной пары к другой сохраняя это условие, чтобыотличались эти пары только по первой позиции, причем переход осуществляем поочередно, чередуяперестройку ДБМ и ОБМ, т.е. на нечетном шаге (m-шаг) m = 2k + 1 мы перестраиваем ДБМ, т.е.вводим в ДБМ предыдущей пары элемент стоящий на первом месте в ОБМ в этой паре. А на четкомшаге m = 2k переход осуществляется посредством перестройки ОБМ, а перестройка эта происходитпотому же самому правилу что и на втором шаге, т.е. если в ОБМ на первом месте стоит что-тоотличное от единицы, то мы просто напросто удаляем это из ОБМ и на его место однозначновходит что-то другое, и если входит единичка, то мы останивливаемся, т.к. процесс закончен, а еслиединичка не вошла, то продолжается процесс дальше.

Теперь нам осталось проверить, что этот алгоритм заканчивается через конечное число шагов иименно на той паре которая нам нужна (на паре совпадающих ДБМ и ОБМ), т.е. либо нам удастьсяв конце концов эту единичку вытолкнуть, когда перестраиваем ДБМ, либо когда мы удалили j1 изОБМ и на его место войдет единица.

Докажем теперь это. Мы допускаем от противного, что наш алгоритм не сходится. Это означает,что выполняется одна из двух альтернатив: 1). либо наш алгоритм продолжается бесконечное числошагов, 2). либо он где-то останавливается из-за того, что невозможно осуществить движение поправилам этого алгоритма.

Что означает 2)? Мы не можем идти согласно нашим правилам только в одном единственномслучае, а именно когда нам нужно перестраивать ОБМ, а оказывается, что все элементы кромепервого имеют номера от 1 до n, т.е. среди оставшихся кроме первого нет ни одного элементас номером ≥ n + 1 (лемма 2 насчет этого случая нам ничего не говорит). Можно показать, чтоальтернатива 2). на самом деле в некотором роде эквивалентна альтернативе 1)., а альтернатива1). приводит к циклам.

Теперь более подробно, что значит что у нас образовалась парочка K и L, такая, что надоперестраивать ОБМ, а мы его перестраивать не можем, потому что находимся не в условиях леммы

54

2, т.е. мы не можем двигаться дальше

K = {1, 2, . . . , n}

L = {1, 2, . . . , n}- у нас может быть только такая.

Ситуация когда мы не можем двигаться дальше, ну а эта та самая позиция в которой мы на-чинали. Т.е. если мы пришли к ситуации в которой процесс останавливается из-за невозможностидвигаться согласно правилам, то это означает всего навсего что мы просто вернулись к исходнопозиции K0, L0, в которой мы могли двигаться и.к. перестраивали ДБМ.

А теперь вернемся к альтернативе 1)., когда у нас процесс идет бесконечно долго, т.е. мы всевремя движемся по таким парочкам K и L, что у K на первом месте всегда стоит единичка, еслибы ее не было мы бы уже пришли к тому, что требуется: K = {1, j2, j3, . . . , jn} – ДБМ, а L ={j1, j2, j3, . . . , jn} – ОБМ, причем j1 всегда отличное от единицы, т.к. мы двигаемся бесконечно.

Если мы изобразим все мыслимые пары, которые можно составить из номеров столбцов матрицA и C, то мы получим набор, что если эти парочки условно обозначить точками, вершинок n каждаявершина отождествляется с какой-то парочкой K и L:

K0, L0не можем дальше двигатьсяпо технической причине

согласно алгоритму

r

r

rr

r K1, L1

K2, L2

½½½½

½½½½

½½½½Z

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZ~­

­­

­­

­­À¾J

JJ

JJ

JJ]

-продолжается бесконечно

@@@R ?

?

(такое соединение называется неориентированный граф).Следует заметить, что вершин у нас конечное число, т.к. пар K, L не более чем (Cn

m)2, т.к. этипары образуются следующим образом: мы берем n -элементов подмножества m - элементного мно-жества (m - число столбцов в матрицах A и C). Т.о. наш граф конечен, если понимать под этимконечность числа вершин. Стало быть, если наш процесс продолжается бесконечное число шагов, тоэтот процесс рано или поздно приведет к возникновению цикла, т.е. если мы будем рассматриватьэту траекторию, то можно указать первый такой шаг на котором мы возвращаемся туда, где ужепобывали и значит ∃ в нашей цепи вершина которая посещается по крайней мере два раза, вот мыэту вершину зафиксируем и тем самым получим цикл u получим замкутый контур. Разберемся,какое же здесь возникает противоречие. Рассмотрим сначала альтернативу 1). Противоречие воз-никает из-за того, что раз у нас здесь возник цикл не в начальной, а в какой-то промежуточнойвершине, то эта вершина оказалась смежной целым трем стрелочкам, а это означает, что из этойвершины по нашим правилам выйти в три другие позиции нашего типа, а этого быть не может,согласно нашим правилам можно менять только либо ДБМ (один ход), либо ОБМ (другой ход), т.е.можно выйти только в другие две вершины, в три выйти нельзя, значит получаем противоречие.

Рассмотрим альтернативу 2), когда мы возвращаемся в начальную позицию. Ну тогда, по темже самым соображениям, мы получаем, что из начальной позиции можно выйти в две соседние,не в одну (как у нас было), а в две, а это тоже противоречие, т.к. из начальной позиции можноосуществлять перестройку только ДБМ.

Сделать замечание насчет стрелочек, если мы вошли из одного состояния в другое, то мы можемвернуться обратно в исходное состояние.

Т.о. наше предположение неверно и алгоритм в итоге сходится.

55

Вернемся теперь к самостоятельному на доказательству общего случая без условия невыро-жденности и сделаем некоторые замечания: всякая общая ситуация с матрицей A и вектором bприводится к невырожденной очень простым образом, вектор b надо немного шевельнуть или точ-нее сказать для любого ε нейдется такое b′ = b + ε, при котором уже наша задача для A становитсяневырожденной, т.е. там все базисы уже оказываются не вырожденными, т.е. матрица A и b кото-рые были вырождены можно апроксимировать невырожденными очень просто: матрица A остаетсятакой какой и была, а меняется только чуть-чуть вектор b′, ну и понятно раз для любого ε этотb′∃, то можно пределом получить то, что нам требуется. Но это все надо рассматривать вкупе дляОБМ и для ДБМ.

Для ОБМ, для матрицы C сделать условие невырожденности тоже довально просто. Если Cне удовлетворяет условию невырожденности, значит там есть совпадающие элементы в каких-тострочках, ну так надо просто-напросто чуть-чуть их расклеить, так чтобы они отличались на ε (этовсегда можно сделать) и устремляя ε к нулю мы получили апроксимацию вырожденной матрицы Cневырожденной. Ну, а дальше просто напросто надо поглядеть за тем, чтобы там эта самая парочкакоторая будет для каждой пары невырожденных она устремлялась в пределе к той самой паре, дляисходных A и C вырожденных, которая нам нужна.

Лекция N 12

Итак, в прошлый раз мы доказали Лемму Скарфа о том, что при определенных условиях ∃одновременно и ОБМ и ДБМ. Ну а теперь начнем снимать с этого результаты. Вся эта маханикадвигалась к тому чтобы докузать теорему Скарфа о непустоте ядра. S – сбалансированных игр. Мыпостепенно шаг за шагом сначала для специальнлгл класса игр, так называемых конечнопорожден-ных игр, ну а потом для общего случая будет дана схема доказательства вот этой самой теоремыСкарфа.

Напомним общее определение конечно-порожденной игры, а потом сформулируем и докажемтеорему о том, что для S – сбалансированных конечно-порожденных игр ядро всегда не пусто.

Вот, для начала зафиксируем вещественные числа u01, u

02, . . . , u

0n и вектора uk,s из соответствую-

щих конечномерных пространств Rs(uk,s ∈ Rs k = 1, . . . , ks. где S все не менее чем двухэлементныеподмножества множества N(|S| ≥ 2) S ⊆ N. И вот когда у нас это множество игроков зафикси-ровано, мы можем построить конечно-порожденную игру с помощью вот такого набора данных:во первых, мы для каждого индивидуума указываем его max гарантированный выигрыш, когда ониграет сам по себе; во вторых, мы для всех остальных не одноэлементных коалиций S указываемдля каждого S набор векторов, вершиной таких, который может быть из одного состоит элемента,может быть из двух, ну вообще говоря из некоторого количества Ks, для каждой коалиции этотнабор свой. Ну, а теперь, когда вектора и числа заданы, мы можем определить по этим даннымигру G, которая определяется так:

а). для одноэлементных коалиций: G(i) = {u ∈ R{i}|u ≤ u0i }, т.е. это соответствующая полуось,

это такие вещественные u, что u ≤ u0i .

б). для двух и более элементных коалиций G(S) =ks⋃

k=1

{u ∈ Rs|u ≤ uk,s}, т.е. перечень их воз-

можностей, что они могут получить как выигрыш, действуя совместно, определяется векторамиuk,s и если нарисовать это на графике, то получим следующее: (мы здесь взяли двух элементнуюкоалицию i и j - того участников):

56

-

6uj

ui

u1,s

u2,s

us,s

Чтобы изобразить множество дележей допустимых усилиями этой коалиции, нам надо на соот-ветствующей плоскости ui, uj в соответствующем пространстве R{i,j} изобразить просто-напростоконечный набор точек, определяемых uk,s. И тогда согласно определению множества G(S) с по-мощью вот этих вершин все множество G определяется следующим образом: надо под каждойвершиной расположить все, что меньше либо равно, ну а затем объединить все эти бесконечныеквадраты, определяемые этими вершинами. И все что находится под этим объединением и естьмножество G(S) (на графике граница G(S) изображена черной ручкой).

Вот такие игры просты для исследования, т.к. они задаются конечной информацией.По поводу этих игр мы будем предполагать (для простоты). что все uk,s

i ≥ u0i i ∈ S(∗), т.е. каж-

дый игрок из коалиции S получает не меньше, чем получил бы самостоятельно. Это вполне есте-ственное предположение, потому что другие вершины не имеют смысла, т.к. если один из участниковв ней получает строго меньше, чем u0

i , то тогда он эту вершину может заблокировать и отношенияк ядру такая вершина не имеет, ну а раз она не имеет, то тогда зачем ее рассматривать.

Ну, а теперь мы можем доказать предложение 1 о непустоте ядра для S - сбалансированных,конечно-порожденных игр.

Предложение 1: Если игра G - конечно-порожденная, удовлетворяет условию (*) и S - сбалан-сирована, то C(G) 6= ∅.

Это по существу просто переформулировка теоремы Скарфа в которой вместо общей игры бе-рется конечно-порожденная, S -сбалансированная и выполняется (*).

Схема доказательства такая: надо по данным нашей игры построить матрицы A и C, и векторb и проверить, что с одной стороны выполняются все условия леммы Скарфа о совпадении ДБМ иОБМ, дальше что этот самый базис и дает нам элемент ядра. Ну мы уже знаем, что он дает такимпростым способом: берем построчечный min по ОБМ, получаем дележ который с одной стороны∈ G(N) и во вторых не блокируется никакой коалицией S.

Доказательство: Очевидно, что в качестве этого вектора b надо взять единичный вектор:

b =

1...1

= lN , потому что где-то нам надо будет воспользоваться сбалансированностью, а в самом

определении сбалансированности фигурируют индикаторные или характеристические функции ls

или lN . Это самое простое что сходу можно угвдать. Что касается матриц AG и CG, то тут надоподумать, что это такое могло бы быть. Опять идем от того, что где-то использовать S - сбаланси-рованность, а для сбалансированности нужны в общем случае вектора ls, поэтому и предполагаетсяв качестве соответствующих столбцов ak,s взять такие столбцы ak,s = ls k = 1, . . . , ks, |s| ≥ 2, а пер-вые столбцы имеют такой вид: ai = li i = 1, n (это для одноэлементных коалиций). Итак, первыеn- столбцов это орты и формально они соответствуют индикаторным функциям одноэлементныхкоалиций и все остальные тоже есть ни что иное, как индикаторные функции коалиции S, но толь-ко поскольку у нас каждая коалиция может оперделяться несколькими вершинами uk,s, поэтомунам приходится размножать эти индикаторные функции, мы будем брать их для каждой коалиции

57

S столько же сколько вершин определяет эту самую G(S), чтобы у нас было соответствие междуматрицей C и матрицей A. Итак, в качестве матрицы A берем матрицу организованную следующимобразом: первые n столбцов li i = 1, n, а дальше идут столбцы ak,s, которые упорядочены следую-щим образом: сначала упорядочеваем все двухэлементные коалиции, потом трехэлементные и т.д.,а внутри для каждой коалиции S сначала идут a1,s, a2,s . . . , т.е. т.к. пронумерована совокупностьвершин определяющих G. Вот, мы зафиксировали порядок и получили матрицу AG.

Теперь рассмотрим матрицу C, как она строится. Для матрицы C тоже надо сначала соорудитьчто-то что могло быть претендентом на роль ее столбцов, вот мы введем столбцы Ck,s и будем ихопределять следующим образом.

Ck,si

{uk,s

i i ∈ S, т.е. совпадают с соответствующей вершинойчислуMi i ∈ S, чтоMi > max{uk,s

i |i ∈ S}(2∗)

Следует заметить, что для одноэлементных коалиций uk,si u0

i , а на всех остальных местах стоятM2,M3 и т.д. т.е. Mi где i 6= S.

Т.о. мы сейчас задали столько же столбцов для матрицы C, сколько и скорее всего это дло игодится в качестве исходного материала для матрицы C, так мы и сделаем, в качестве столбцовматрицы C, которых столько же сколько в AG и которые соответственным образом, мы выбираемCk,s.

Итак, мы задали матрицы AG, CG и вектор b и стало быть формально мы сейчас находимсякак бы в условиях леммы Скарфа, ну у нас те же самые объекты в распоряжении. Чтобы вос-пользоваться леммой нам надо проверить кое-что, что фигурирует как условия нашей леммы. Нупервое, это надо чтобы AG и CG находились в стандартной форме, второе - это чтобы множествонеотрицательных решений определяемых AG и b было бы ограничено сверху. И вот если все этодело выполняется, то тогда нам было гарантировано ∃ -ние базиса, который будет одновременно иДБМ, и ОБМ. И вот это мы сейчас и будем реализовывать.

Итак, стандартность матрицы AG. Там требовалось не много, надо только чтобы первые n столб-цов этой матрицы, т.е. подматрица A1, состоит из ортов. Но это условие очевидно выполняется, т.к.по построению первые n столбцов это индикаторные функции одноэлементных коалиций, т.е. этоорты. Вектор b у нас строго положительный.

Теперь проверим условие ограниченности сверху множества допустимых решений системы{AGx =b, x ≥ 0. Это проверяется довольно просто, нам надо доказать, что множество всех неотрицательныхрешений этой системы является ограниченным снизу, это само собой, и сверху (снизу, т.к. x ≥ 0).Т.е. надо доказать ограниченность сверху. Но здесь можно заметить, что каждая строчка этой си-стемы уравнений характеризуется тем свойством, что в качестве коэффициентов при переменныхв этой строке может выступать только ноль или единица (из вида матрицы AG), переменные приэтих коэффициентах по условию неотрицательны, значит соответствующая строчка должна рав-няться соответствующей компоненте вектора b, единице в нашем случае. Т.е. мы получили, что∑

aijxj = 1 для каждой строки i. А отсюда вытекает, что xj ≥ 1, потому что они все неотрица-тельны. Тогда сумма больше либо равна каждого слагаемого. Т.е. множество решений ограниченосверху единичкой.

А теперь проверим, что для C выполняется условие стандартности. Там у нас следующие тре-бования: во первых, в подматрице C1, составленная из первых n столбцов, элементы стоящие наглавной диагонали, т.е. u0

i , были меньше либо равны любого числа в той же строчке всей матрицыC.

C =

u01 M1 . . . M1

M2 u02 . . . M2

· · · ·· · · ·· · · ·Mn Mn . . . u0

n

Но, если мы вспомним условие (*), то понятно, что тогда у нас будет выполняться то что тре-буется (еще раз, из-за условия (*) и выбора Mi).

58

Также для стандартности требуется, чтобы недиагональные элементы C1 были ≥ всех элементовэтой строки, но уже в подматрице C2. Что находится в этой строке в подматрице C2 ? Либо Mi

для тех коалиций S, которые не содаржат i, либо i- тая компонента какой-то вершинки коалиции Sкоторая содержит i- того игрока. И это у нас будет выполняться из условия (2*) на Mi.

Т.о. все требования леммы Скарфа выполняются для матриц A,C и векторов b. Ф раз этовсе выполняется, тогда справедливо заключение, что найдется такое ДБМ для матрицы A K ={j1, . . . , jn), которое одновременно будет и ОБМ для матрицы C. Ну, а теперь, многие уже догада-лись, что система {AGx = b, x ≥ 0 она на самом деле, система которая определяет сбалансированныепокрытия, потому что в правой части стоит lN , в левой стоят индикаторные функции коалиций S.Поэтому с помощью допустимости этого базиса K мы установим, что у нас образовалось сбалан-сированное покрытие с помощью соответствующих коалицой, а с помощью ординальности этогобазиса мы построим, прямо выбирая построчечный min в этой подматрице матрицы C, отвечающейэтому базису, получим элемент ядра.

Итак, у нас есть базисное множество K, которое одновременно ДБМ и ОБМ, и есть отвечающиеэтому базисному множеству столбцы подматрицы A : akj ,sj и есть столбцы матрицы C : ckj ,sj , гдеj ∈ K. Вот мы из этих столбцов и сформируем то что нам требуется. Условие что K ДБМ означает,что ∃ такие неотрицательные числа xj , что

1).∑

xjakj ,sj = b = lN xj ≥ 0

2). вектор u = (u1, . . . , un), где ui = minj∈k

ckj ,sj

i , обладает теми свойствами которые полагаются по

определению ОБМ.Начнем с 1). что оно собственно у нас означает. Оно означает, как видно из определения akj ,sj ,

что это просто - напросто мы получили сбалансированное покрытие множества N состоящее изкоалиций Sj , просто по определению akj ,sj = lsj , ну и стало быть коалиции Sj образуют сбалан-сированное покрытие множества N, поскольку мы нашли неотрицательные числа xj , такие, что∑

xj lsj = lN , т.е. отсюда вытекает что семейство коалиций Sj({Sj}) это есть сбалансированное

покрытие N. Вот что вытекает из условия, что наше K есть ДБМ.Теперь займемся 2)., т.е. вектором u, он построен как построчечный min подматрицы C состав-

ленной из столбцов с номерами из K. Это значит, прямо по определению, что для каждой коалицииSj , вот проекция этого вектора n на Sj- компоненты : usj ≤ ukj ,sj (просто потому, что в качествечасти соответствующей столбца ckj ,sj у нас выстуапет u, соответствующая вершина, ukj ,sj . Ну араз компоненты ni min - ые в своей строке, то они будут ≥ в частности и компонент всех столбцовстоящих в нашей подматрице, с номером i. Ну это можно было бы записать по другому ui ≤ ukj ,sj

для всех j для которых i ∈ S. А это означает, что проекция вектора и на коалицию Sj попадаетпод вершинку ukj ,sj т.е. попадает в G(Sj), т.е. usj ∈ G(Sj) (просто по определению построения G).Т.е. для вектора и выполняется то, что требуется в определении сбалансированности игры: чтоберем и, берем какое-то сбалансированное покрытие (в нашем случае Sj) и смотрим попадает липроекция вектора u на эти коалиции в соответствующие G или не попадают. У нас по построениюи получается, что попадает для каждой коалиции Sj . А так как наше K есть ОБМ, а игра у насS - сбалансирована, значит вектор u, поскольку все его проекции попадают куда надо, сам по себепринадлежит множество G(N)(u ∈ G(N)), т.е. он достижим усилиями большой коалиции. Итак, этоследствие того, что G предполагалась S -сбалансированной.

Теперь нам осталось доказать последнее что этот самый u элемент G(N), допустимый то есть,не блокируется никакой коалицией, А условие блокирования в конечном-порожденных играх вы-глядит очень просто: чтобы элемент u из G(N) блокировался какой-то коалицией S необходимо идостаточно просто чтобы он блокировался какой-то ее вершиной, чтобы для какой-то вершины всекопмоненты этой вершины были бы строго больше соответствующих компонент нашего вектора u.И т.о. нам надо проверить что построенный таким образом u ни одной вершиной не блокируется,что не может быть такого, что найдется какое-то S, K так чтобы uk,s >> us. Ну, а теперь мы исполь-зуем, что у нас есть ОБМ. Раз базис является ординальным, то тогда получается по определениюординальности, что никакой столбец этой матрицы C не может сторого больше покомпонентно на-шего вектора u. Ну, а теперь нетрудно заметить, что раз нет такого столбца, то нет и никакойвершины, т.к. если бы такая вершина нашлась (какая-то uk,s >> us), то тогда получилось бы (допу-стим, что нашлась и доказываем от противного), что столбец матрицы C с номером k, s будкт темсамым который покомпонентно строго больше, чем вот этот самый us(ck,s >> us). Это вытекает из

59

следующих двух факторов: 1) вспомним, что ck,s частью составлен из uk,s (по компонентам из S)и частью из M : Ck,s, V ), где M - остальные компоненты, а эти компоненты у нас по определениюпостроены в виде Mi, где i ∈ N − S, но эти Mi по построению выбирались строго больше любогоuk,s i ∈ S. Стало быть, если мы допустили, что uk,s, то тогда получается, что для этой части Ck,s попредположению выполняется строгое неравенство, а для остальной части Ck,s, которая составленаиз Mi, это получается по выбору самих чисел Mi, согласно (2*). Т.о. допуская что u блокируетсякакой-то вершиной мы нашли столбец матрицы C который покомпонентно строго больше этого и,чего быть не может, т.к. u построен из ОБМ, а для ОБМ по определению должно быть так, чтодля построчечного min не найдется ни одного столбца матрицы C, который бы покомпонентно былстрого больше нашего u. Т.е. мы получили, что наш u не блокируется никакой вершиной uk,s, а этоозначает, что он вообще ничем не блокируется, значит u ∈ C(G).

Теперь, скажем несколько слов о том, как это довести до ума для общей ситуации. В теоремеСкарфа у нас предполагалось, что игра S - сбалансирована, что множества G(S) замкнуты, нуестественно насыщенные снизу (с каждым дележом всякое меньше принадлежит) и последнее чтонам требовалось, чтобы множество G(S) = {u ∈ G(S)|ui ≥ u0

i , i ∈ S} было ограничено сверху, нуснизу они ограничены по условию этими u0

i . И надо доказать, что при этих условиях игра имеет непустое ядро. Приведем схему доказательства.

Схема доказательства теоремы Скарфа:Итак, мы находимся в условиях теоремы Скарфа, игра G такая как и было сказано. Значит нам

надо доказать опираясь на результат который только что был установлен для конечно-порожденныхигр, что эта игра имеет не пустое ядро. Значит достигается это за счет того, что играми типаконечно-порожденных можно апроксимировать как угодно точно любую игру. Вот такая главнаяидея, либо мы будем просто напросто апроксимировать нашу игру G конечно-порожденными игра-ми. А имея для них теорему мы можем предельным переходом получить что этот результат верени для общего случая. Но сначала сделаем некоторые обозначения, давайте возьмем и зафиксируемкакое-нибудь упорядочевание всех рациональных чисел: Q = {Γ1,Γ2, . . . , Γm, . . . , }, т.е. пронумеру-ем все рациональные числа. А дальше через Qm для каждого натурального m будем обозначатьмножество составленное из чисел u0

1, . . . , u0n и еще плюс отрезок из первых m элементов Q :

Qm = {u01, u

02, . . . u

0n, Γ1, Γ2, . . . , Γm}.

И дальше, грубо говоря, речь будет идти о том просто-напросто, что мы будем апроксимироватьнаше множество G(S) с помощью векторов с компонентами из этого множества и чем оно будет ста-новиться больше, тем апроксимация будет все точнее и точней, ну а в итоге, в пределе мы как быполучим совуршенную апроксимацию нашего множества G(S). Если формально, то дело происхо-дит следующим образом: во первых, для каждого m обозначим через Gm кооперативную игру безпобочных коалиций, которая для каждой коалиции S определяет множество достижимых дележейпо такой формуле: ( это есть просто-напросто совокупность всех векторов дележей и нашей исход-ной игры G, выбранных среди индивидуально-рацианальных ( из G ), таких, что все компонентыэтого и должны ∈ Qm для всех i ∈ S. Это одна часть множества Gm, но оно должно быть насышеноснизу, поэтому из него надо вычесть Rs

+) : G(S) = {u ∈ G(S)|ui ∈ Qm i ∈ S} − Rs+ для каждой

S ⊆ N.В фигурных скобочках берутся все дележи из множества G(S), у которых компоненты принима-

ют значения только из Qm, там есть по крайней мере один такой вектор u0i i ∈ S, по конструкции

G(S), который сам содержит u0i i ∈ S, ну может быть там и еще что-то есть. Это зависит от того

какие здесь числа в качестве первых выбраны, если там очень большие, они выскакивают за преде-лы возможности коалиций S, то на первых шагах ничего не будет добавляться, в этой первой частибудет сидеть только u0

i i ∈ S, один вектор, один делет, ну а потом с ростом m там будет что-топоявляться постепенно и чем дальше, тем больше будет появляться дележей в этой части, ясно чтоих конечное число, т.к. они устроены из компонент которых только конечное число, а векторов изконечного набора чисел понятно дело построить можно только конечное число различных, Значитздесь на самом деле выписано не что иное как множество вершин uk,s для этой игры Gm. Потомучто дальше что происходит ? Мы из каждой этой вершинки вычитаем положительный конус Rs

+,т.е. мы берем наряду с вершинкой все что находится под ней, когда вычитаем из вектора все векто-

60

ра которые имеют неотрицательные компоненты, что мы тогда делаем, мы, грубо говоря, спускаемэтот самый u, из которого вычитаем, пониже. Вот таким образом, здесь Gm имеет такую же форму,только не явную как у нас было в начале, а по существу, как и для конечно-порожденной игры, т.е.для каждого m, то что мы получили по этой формуле задает нам конечно-порожденную игру Gm,т.к. это имеет место для всех S.

Кто хочет получить от 0.5 до 1 балла на экзамене, должен проверить, что то, что мыпостроили является S - сбалансированной игрой. (Ну это, в общих словах, вытекает из того, чтообщая игра была S - сбалансированной). Посказка: если говорить более точно, то все что здесьнадо проверять, это показать, что для любого сбалансированного покрытия, вектор, который имеетпроекции на эти покрытия ∈ G(S), попадает в G(N). Надо для каждого такого сбалансированногопокрытия взять по одной вершине из множеств G(S) отвечающие этому покрытию и по этим вер-шинам устроить вектор, который по каждой компоненте равен min из этих компонент для нашихвершин. Ну все вершинки нельзя взять, потому что там какие-то не сдержат i- того участника, авот по тем которые его содержат берем просто min . И в итоге получаем некоторый вектор u. Всечто нам осталось сделать, это доказать что его компоненты, этого вектора u, принадлежат мно-жеству Qm, а это и будет означать, что сам он ∈ Gm(N), а это и будет означать что наша играсбалансирована.

Тогда, согласно предложению 1, мы имеем хотя бы один элемент в ядре игры Gm : um ∈ C(Gm).Следует заметить, что условие (*) из предложения 1 выполняется, т.к. u ∈ G(S). Итак, мы восполь-зовались предложением 1, мы получили, что для каждого m ядра являются не пустыми.

А теперь наша цель состоит в том, чтобы доказать, что с помощью этих um выбрав некоторыйпредельный, если окажется что они стремяться к некоторому u(um → u, то выбрав этот предельныйэлемент, доказать что он и будет элементом ядря уже исходной игры. Вот такая будет идея, онабезусловно реализуема, т.к. um будучи элементами ядра по построению обладают свойством, чтоэти um все ∈ Gm(N), ну а по построению Gm(N) ⊆ G(N), т.к. у нас всякая игра Gm является ча-стью исходной игры G, т.к. для каждого m у нас по построению имеет место Gm(S) ⊆ G(S) S ⊆ N.Ну а раз у нас по предположению, как было в теореме Скарфа, множество G ограничено снизуui и сверху по предположению, а оно еще и замкнуто G(N) само по себе, ясно тогда что G(N)компактное множество, а раз оно компактное и последовательность um это элементы попадающие,все они находятся в этом компактном множестве, то эта последовательность имеет сходящуюсяподпоследовательность, ну вот если не сама последовательность, то тогда ее некоторая подпоследо-вательность umk

сходится и ее пределом является u и это u ввиду замкнутости G тоже принадлежитG : umk

→ u ∈ G(N) ⊆ G(N). Ну а раз так, тогда это получается допустимый дележ, дележ коа-лиции N и уже можно рассуждать о том какой он: хороший или плохой. Наша цель доказать, чтоэтот дележ принадлежит ядру, т.е. не блокируется никакой коалицией исходной игры G. Докажемот противного, допустим что какая-то S блокирует u, это означает, что есть такой дележ u ∈ G(S),что ui > ui i ∈ S. А так как множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действи-тельных чисел, в частности между любыми действительными числами можно найти рациональноечисло, то тогда вот это блокирование произвольным каким-то дележом о котором мы пока ничего незнаем из G(S), можно заменить блокированием с помощью рационально-значного дележау котороговсе компоненты рациональны, или можно сказать что для любых вещественных чисел u > V всегда∃ рациональное число W ∈ (u, v). Производим следующую замену : ui ≥ wi > ui i ∈ S, где wi -рационально-значный дележ. И что у нас получается в итоге, во первых есть рационально-значныйдележ у коалиции S, который блокирует u. Дальше, поскольку эти неравенства (wi > ui i ∈ S) вы-полняются для предельной точки u, то они понятное дело будут выполняться, начиная с некоторогоm, и для всех элементов последовательности umk

, которая сходится к этой предельной точке, т.е.мы можем записать что начиная с некоторого m wi > umk

(3∗)i ∈ S. Мы получаем таким образомчто наша коалиция S уже теперь в исходной игре G блокирует не только дележ u, но и все дележиumk

, т.е. начинает блокировать все элементы последовательности umk, начиная с некоторого mk,

а umk, это элементы ядер игр Gmk

, а мы находим какой-то райионально-значный дележ из G(S),а не из Gm, который блокирует u вместе с umki. Чтобы довести противоречие до конца, осталосьтолько заметить, что первое, что мы зафиксировали m0 такой что для всех mk > m0 выполняетсяwi > umki i ∈ S. Ну а теперь, поскольку компоненты вектора w все рациональные числа, то понят-ное дело, что при достаточно большом m′

0 (натуральное число) все эти компоненты w попадают во

61

множество Qm : А из этого уже будет вытекать, что w ∈ Gm′0(S). Следует заметить, что каждоерациональное число имеет в нашей нумерации номер не больше чем m′

0. А если мы теперь выбе-рем число m > m′

0, то у нас соединяться следующие два факта: первое, что число все элементыumk

будут блокироваться дележом w, т.к. они начинают блокироваться с m0, а мы выбираем числоm > m0, так что в силу этого неравенства все эти umk

для mk > m у нас будут выполняться (3*).Ну а это значит, что дележ w блокирует все вот эти элементы последовательности umk

с номерамидостаточно большими, большимы чем m. А с другой стороны этот wi попадает уже в Gm(S) дляэтих же самых m > m, просто потому что так устроена игра Gm, в нее попадают все вектора, укоторых компоненты из множества Qm. Ну и мы получаем, что найдется такой номер m, а точ-нее для всех m > m при которых с одной стороны дележ umk

будет блокироваться, и при этомблокироваться самой игрой Gm, т.к. дележ w будет ∈ уже Gm(S). Ну вот из этого и получаетсяпротиворечие, у нас по условию игры апроксимирующие G все были с непустым ядром и нашиэлементы um выбирались как элементы ядра, а с другой стороны оказалось, что они блокируютсяв этих играх, значит получаем противоречие с выбором umk

.Итак, схема в целом сводится к следующему: с помощью упорядочивания рациональных чисел

мы вводим апроксимации исходной игры G играми Gm, которые обладают тем свойством, что онипри каждом m ∈ G(S) и постоянно расширяются, как бы заполяя это множество G(S) все больше ибольше и в пределе, по-существу, словаются с исходной игрой G. Значит дальше мы обнаруживаем,что для каждого m такая игра Gm является сбалансированной и удовлетворяет всем остальнымтребованиям, которые были в предыдущей теореме, и поэтому имеет непустое ядро. Мы выбираемпо элементу из ядра каждой такой игры, получаем последовательность, которая оказывается огра-ниченной и стало быть имеет сходящуюся. Вот предел этой сходящейся последовательности и будетэлементом ядра исходной игры.

Лекция 13

Теорема о существовании равновесных распределений.

Если функции полезности ui, вогнутые, непрерывнуе и строго возрастающие, а начальный сум-марный запас

∑N

wi = w >> 0, то множество равновестных распределений W = W (E) 6= ∅ всегда.

Поскольку ее доказательство довольно комбинированное, сложное, потому что там много частей,мы для начала набросаем схемы доказательства, а затем доказательство будет распадаться на рядпредложений и ряд лемм.

Схема доказательства: схема состоит в том, чтобы воспользоваться теоремой Дебре-Скарфа,которая была доказана ровно в этих же предположениях. По теореме Дебре-Скарфа у нас имеетместо такое соотношение между равновесными и не блокируемыми в рамках распределениями:

W =∞⋂

v=1Cv. Тогда напрашивается следующий вариант рашения вопроса о том, когда W 6= ∅ : W 6=

∅ :⇔∞⋂

v=1Cv 6= ∅. Ну, а чтобы доказать, что

∞⋂v=1

Cv 6= ∅. мы последовательно докажем следующие

факты:а) в наших условиях для любого натурального v ≥ 1 множество Cv 6= ∅.б) для каждого v ≥ 1 в наших условиях Cv - компоненты, т.е. замкнутые и ограниченные под-

множества l × n- мерного пространства.в) множество Cv образует монотонно-убывающую последовательность т.е. для каждого v ≥

1 Cv+1 ⊆ Cv.Т.е. в условиях нашей теоремы множество Cv представляет из себя последовательность ком-

пактов, непустых и вложенных друг в друга. А в мат. анализе у нас была теорема о вложеннойпоследовательности отрезков (промежутков), что мы если имеем дело с последовательностью вло-женных друг в друга компактов, то если они все не пустые, то тогда обязательно их пересечение

62

имеет по крайней мере одну общую точку. Вот у нас ровно эта ситуация и обнаруживается, если

мы конечно все это дело докажем, то∞⋂

v=1Cv 6= ∅ ⇒ W 6= ∅, значит ∃ равновестное распределение.

Предложение 1. О непустоте ядра экономики E(C(E)).Если функция полезности ui вогнутые и непрерывные, то C(E) 6= ∅. Видим, что требований

здесь меньше, чем в теореме о ∃ равновесных распределений, т.е. грубо говоря, ядро ∃ чаще чемравновесие.

Следствие 1. ( вытекает из предложения 1).Если функции полезности ui вогнутые и непрерывные, то при любом натуральном v ≥ 1 C(E(v)) 6=

∅ (ядро реплики экономики E не пусто).Доказательство следствия 1: если ui вогнутые и непрерывные, то они такие же и в реплике E(v),

а тогда согласно предложению 1 у нас будет получаться то что требуется. Что функции полезностиui вогнутые и непрерывные в реплике, вытекает непосредственно из определения реплики, т.к.реплика это v - штук нашей исходной экономики, взятых как одно целое, просто наряду с номеромучастника i = 1, n, появляется номер копии этого участника i.

Доказательство предложения 1: мы разобъем его на несколько кусочков, которые назовем лем-мами.

Лемма 1:C(E) 6= ∅ ⇔ C(GE) 6= ∅ (не пусто ядро игры экономики E). Доказать самостоятельно, доказа-

тельство вытекает прямо из определения GE .Начиная с леммы 2 мы постепенно будем доказывать, используя лемму 1, непустоту ядра эконо-

мики E через доказательство непустоты ядра игры GE , а для игры по теореме Скарфа при опреде-ленных условиях ядро не пусто. Вот эти условия мы и будем проверять. Первое что мы проверим,что наша игра GE является S – сбалансированной. Оказывается что для того, чтобы условие S- сба-оансированности выполнялось, достаточно всего навсего вынутости функции полезности ui. Такачто S - сбалансированность на языке моделей обмена обеспечивается очень простым требованием– надо чтобы была убывающая предельная отдача, чтобы была вогнутость функции полезности ui.

Лемма 2. Если ui вогнутые, то игра GE (игра модели обмена, рынка) S - сбалансирована.Доказательство : Пусть есть n- мерный вектор u = (u1, . . . , un) и пусть есть какое-то сбаланси-

рованное покрытие δ = {S}, состоящее из коалиций S, таких, что для них ∃ коэффициенты λS ≥ 0такие что

∑S∈δ

λSlS = lN , т.е. мы с помощью коалиций S в буквальном смысле покрыли, т.е. предста-

вили это N как объединение этих S, но правда с разной толщиной, тут λS можно интерпритироватькак толщину этих покрытий. И оказалось что проекции вектора u на все элементы сбалансирован-ного покрытия попадают в G(S), для всех S ∈ δ оказалось, что us, это кусочек вектора и за вычетомкомпонент, которые не попадают в S,∈ GE(S), т.е. us ∈ GE(S). А для S - сбаланстрованности необ-ходимо тогда, чтобы u ∈ GE(N), т.е. вектор и был в пределах возможности большой коалиции N.Вот это мы и будем доказывать.

Раз по условию проекция us попадает в G(S), то это по построению GE означает, что у насдля каждой коалиции S ∈ δ∃ допустимое распределение в рамках коалиции S, т.е. ∃xs = (xi,s

i∈s

- наборов которые достаются участникам коалиции S и эти наборы должны быть допустимы-ми, т.е. они ∈ X(S), где X(S) -всевозможные перераспределения суммарного запаса коалиции S.Итак, по определению что us ∈ GE(S), получаем что для каждого S найдется допустимое рас-пределение коалиции S в рамках этой модели обмена, такое что us как вектор покомпонентно≤ u(xs) : (∗)us ≤ u(xs) = (ui(xi,s))i∈s. Т.о. по построению GcalE , усилиями коалиции S достижимовсе что находится в пределах возможности перераспределений ее начального суммирного запаса,т.е. можно достич все меньшее. Теперь нам надо склеить вот из этих вот распределений, допустимыхв рамках той или иной коалиции S, некоторое распределение в рамках большой коалиции N, такчтобы значения функции полезности на этом длинном распределении были бы покомпонентно ≥нашего u, тогда очевидно по определению u ∈ G(N). Вот сейчас мы и займемся построением такогодопустимого распределения уже в рамках большой коалиции N. Оказывается, что его компонентыэтого распределения, соответствующие наборы xi (можно было бы написать xi,n, но мы упустим u)будут определяться следующей формулой: xi =

∑S∈δi

λsxi,s (2*), где δi -это те коалиции из набора δ

63

(исходного), которые содержат i - того участника или δi = {S ∈ δ|i ∈ S}, т.е. те коалиции покрытияв которых участвует игрок номер i. т.е. эта формула интерпритируется так: мы просто- напростоберем все коалиции в которых участвует i - тый игрок, берем все что он там получает в этих коали-циях, а потом усредняем с помощью коэффициента λs и получаем то что придназначается i -томуигроку в этом большом длинном распределении для коалиции из всех участников.

Из формулы∑S∈δ

λslS = lN вытекает, что

∑λs = 1 по каждой строке = 1, т.к. если мы зафикси-

руем строчку wi (i - того игрока), то возникает такая сумма:∑

S∈δi

(т.к. ls = 1 i ∈ s), то эта сумма = 1,

т.к. справа все компоненты у нас единицы, т.о.∑

S∈δi

= 1 в i той строке векторного уравнения ( прямо

по определению сбалансированного покрытия). Т.о. xi это выпуклая комбинация xi,s, то из этого мысразу же можем получить такое заключение: что значение функции на этом наборе для участниканомер i : ui(xi) оно будет ≥ ∑

S∈δi

λsui(xi,s), а согдасно (*), мы имеем, что все это ≥ (∑

S∈δi

λs)ui = ui

(участник i ∈ S по функции полезности получает не меньше чем i - тая компонента нашего фикси-рованного вектора u) : ui(xi) ≥ ∑

S∈δi

λsui(xi,s) ≥ (∑

S∈δi

λs)ui = ui, т.к.∑

S∈δi

λs = 1 ⇒ ui(xi) ≥ ui ∀i. Аотсюда мы получаем, что u ≤ u(x) = (ui(x))i∈N . Значит мы доказали сейчас, что распределение xсоставленное из xi дает значения функции полезности не меньше чем соответствующие компонентывектора u, т.е. вектор u, если x было бы допустимым, попадал бы в GE(N).

Теперь проверим допустимость распределения x, т.е. что∑

i∈N

xi =∑

i∈N

wi.

Мы получаем, что∑

i∈N

xi =∑

i∈N

∑S∈δi

λsxi,s согласно (2*). Проделаем теперь следующие операции:

зафиксировав некоторый коэффициент λs соберем при нем все эти самые xi,s по i из S. Коэффи-циент λs по условию определяется только коалицией S, значит мы можем тогда переписать этусумму, если проделаем эту операцию, фиксируем коэффициент λs, потом приводим к нему все этиxi,s i ∈ S(S− фиксированное) а потом просуммируем по S, то у нас получится следующее:

∑

i∈N

∑

S∈δi

λsxi,s

∑

S∈δ

λs(∑

i∈S

xi,s),

т.к. xi,s компоненты допустимого распределения коалиции S, то получаем что:∑

S∈δ

λs(∑

i∈S

xi,s),∑

S∈δ

λs(∑

i∈S

wi)

Теперь уже нам осталось проделать обратную операцию, т.е. зафиксировать какой-то i, т.е. wi,собрать при нем коэффициент λs где S ∈ δi, а потом просуммировать по i, и таким образом мыперейдем к неравенству исходного типа:

∑

S∈δ

λs(∑

i∈S

wi)∑

i∈N

(∑

S∈δi

λs)wi∑

i∈N

wi,

т.к.∑

S∈δi

λs = 1. Т.е. наш x является опустимым распределением. Ну то что он состоит из неотрица-

тельных компонент xi очевидно, т.к. раз xi,s были неотрицательными векторами, то их выпуклаякомбинация (2*) тоже будет неотрицательным вектором.

Лемма 3. О ограниченности GE(S) и о непустоте, конечно. В теореме Скарфа есть условие,что G(S) были бы все непустые и ограниченными сверху, ну а ограниченными с снизу они поопределению, потому-что G - это все допустимые дележи для коалиции, в которых каждый участникполучает не меньше, чем мог получить бы самостоятельно, т.е. больше чем u0

i . И нам надо показать,что это множество что-то содержит и ограничено сверху, т.е. есть const такая что компонентыэлементов из G(S) не превосходят этой константы.

Если функции полезности ui непрерывны. то все эти множества GE(S) 6= ∅ и ограничены.Для доказательства определимся с уровнями полезности, которые получает каждый участник:

64

u0i = max{u|u ∈ GE(i), т.е. если он действует один } = ui(wi). Вот что он может гарантировать

себе если он будет действовать один сам по себе, прямо по определению. Напомним, что GE(S) ={u ∈ GE(S)|u ≥ u0

s}, т.е. ограничено снизу u0i . И нам надо доказать что это множество не пусто и

ограничено сверху. Ну то, что оно не пусто, это понятно, т.к. в качестве u, которое должно сюдапопадать, можно взять u0

s = (u0i )s ∈ GE(S), т.к. неравенство в GE(S) : u ∈ u0

s у нас выполняется какравенство. Т.о. GE(S) всегда не пустое множество.

Теперь осталось только проверить ограниченность сверху, т.к. ограниченность снизу у нас естьпрямо по определению. Нам нужно найти такое число, что все элементы GE(S) были бы меньшелибо равны этого числа. Что предлагается в качестве этого числа ? Вот давайте обозначим черезX(S) множество всех наборов следующего типа X(S) = {0 ≤ x ≤ ∑

i∈s

wi}. Ясно, что для любого

допустимого распределения коалиции S xs = (xi,s)s в виду неотрицательности xi,s ≥ 0 у насвыполняется неравенство:

0 ≤ xi,s ≤∑

j∈s

xj,s =∑

i∈s

wi

Т.о. в, что бы ни получал участник какой-то коалиции S в допустимом распределении этойкоалиции не превышает суммарного запаса этой коалиции. Это вытекает просто из неотрицатель-ности наших наборов. Ну а поскольку элементы из GE(S) имеют вид u ≤ u(xs) (значения функцииполезности на xs), где xs - допустимое распределение коалиции S, т.е.

∑j∈s

xj,s =∑j∈s

wj .

А если мы докажем, что стоящая справа величина ограничена сверху для каждого i т.е. ui ≤ui(xi,s)i∈s, то наше множество ограничено. Ну и теперь чтобы доказать, что у нас есть эта верхняяоценка, достаточно просто убедиться что величина ui(xi,s) ограничена сверху. Ну у нас функцияui непрерывная, а xi,s ≤ ∑

i∈s

wi, множество X(S) является компонентом, т.к. оно ограничено и за-

мкнутое ( как решение конечной системы линейных неравенств). Стало быть наша непрерывнаяфункция ui на этом компактном множестве достигает своего max значения, пусть это max значениеравняется ui : ui = max

X(S)ui. Тогда у нас получается что все дележи из X(S) подчинены тому требо-

ванию, что поскольку вот эта верхняя оценка для ui∃, что эта величина ui(xi,s) ≤ ui, то получаетсячто и наш дележ тоже этому неравенству удовлетворяет.

Вот мы таким образом, для каждой коалиции S установили верхнюю оценку возможных зна-чений дележей этой коалиции, просто как max значение функции полезности этого участника намножестве X(S) на множестве мыслимых наборов, которые могут ему достаться при перераспреде-лении суммарного запаса этой коалиции (0 ≤ x ≤ ∑

wi). Поэтому max уровень полезности которыйон может заполучить с помощью функции полезности, есть просто max этой функции ui на X(S). Ат.к. дележ это такие вектора, которые ≤ значений функции полезности на конкретном допустимомраспределении, то мы получаем, что раз те, которые сверху ограничены ui, то мы получаем что икомпоненты дележа ui тоже ограничены сверху этим самым u.

Ну последнее, что требовалось по теореме Скарфа, что то, чтобы множества GE(S) были за-мкнутыми.

Лемма 4. Замкнутость GE(S).Если функции полезности ui непрерывные, то множества GE(S) замкнутые ∀S ⊆ N.Доказательство: Зафиксируем некоторую коалицию S и выберем последовательность дележей

u(m) ∈ GE(S) (достижимых усилиями коалиции), таких что они к чему-то сходятся имеют предел:u(m) → u. И чтобы проверить замкнутость надо доказать, что u ∈ GE(S) (прямо согласно определе-нию). Ну а раз u(m) ∈ GE(S), то это означает, что ∃x(m) ∈ X(S) такие что u(m) ≤ u(x(m)) (значенийфункции полезности на допустимом распределении x(m)). Или покомпонентно u(m) ≤ ui(xi,(m)).(3*)

x(m) – это элементы множества X(S), аналога множества Z = X(N), которые есть выпуклое,замкнутое и ограниченное множество, т.е. выпуклый компакт. Ясно что те же рассуждения пока-зывают, что и для любой коалиции S. X(S) тоже будет компактным множеством, где X(S) – этонабор неотрицательных векторов, таких что их сумма равняется фиксированной величине –

∑i∈s

wi.

65

Значит это множество ограниченное, т.к. каждый вектор xi будет ≥ суммарного запаса, т.е. естьоценка сверху, он будет неотрицательным, оценка снизу есть. А замкнутость вытекает из того, чтоони, что они, эти самые x определяется как системы линейных кравнений и неравенств:

{ ∑xi,s =

∑wi (l −штук, сколько продуктов по каждому продукту в отдельности)

xi,s ≥ 0 (l × s штук)

Итак, X(S) – компакт. Последовательность x(m), которую мы выбираем из X(S) в силу тогочто это компакт, имеет сходящуюся последовательность к какой-то предельной точке, причем этапредельная точка будет тоже элементом X(S), поскольку это компакт. Не уменьшая общности, мыбудем считать, что x(m) сходится к некоторому x, который ввиду замкнутости X(S) принадлежитему т.е. x ∈ X(S).

Теперь зафиксируем индекс какого-то участника i ∈ S получим, что lim u(m)i = ui. А из (3*) в

силу теоремы о сохранении неравенств получим, что:

lim u(m)i ≤ limui(xi,(m)),

но т.к. ui непрерывные, то:

lim u(m)i ≤ limui(xi,(m)) = ui(lim xi,(m))ui(xi).

Т.о. мы получили, что ui ≤ ui(xi), т.е. каждая компонента делажа u меньше либо равна значенияфункции полезности на i -той компоненте допустимого распределения x этой коалиции S. Раз длякаждой компоненты выполняется, то мы можем записать:

u ≤ u(x) = (ui(xi))i∈s

Но поскольку x допустимое распределение коалиции S, то мы нашли для u допустимое распре-деление на котором каждый участник получает не меньше u, а это значит по определению GE(S),что u ∈ GE(S), т.е. предельная точка попадает в GE(S) т.е. множество замкнутое.

Итак, мы доказали все необходимые условия теоремы Скарфа, а тогда по этой теореме полу-чается, что ядро у игры G не пустое. А тогда по лемме 1 мы получаем что C(E) 6= ∅. Итак, спредложением 1 мы все свои дела полностью завершили.

Предложение 2. (Симметричность неблокируемых распределений). Если функции полезности ui

вогнутые, непрерывные и строго возрастающие, то для любого v ≥ 1, для любого не блокируемогораспределения z реплики E(z ∈ C(E)) выполняется: uim(zim) = ui1(zi1) i ∈ N, m = 2, 3, . . . , v.

Это условие означает слабую симметричность допустимых распределений. Нормальная сим-метричность могла бы состоять в слудующем, поскольку ядро достаточно узкое множество, тамк распределениям предъявляются достаточно жесткие требования, а учпстники одного и того жетипа у нас просто одинаковые ( при фиксированом i : i1, i2, i3, . . . – это почти i - того участника),то естественно было бы предполагать, что участники одного и того же типа просто должны по-лучать одинаковые наборы. У нас нельзя гарантировать, что все участники одного типа получилиодин и тот же набор, но можно гарантировать равенство значений функции полезности (слабаясимметричность).

Доказательство: от противного. Допустим, что по крайней мере в одной группе одинаковыхучастников вот этого равенства нет, т.е. есть i0 ∈ N для которого найдется m0 копия этого участникатак что:

ui0m0(zi0m0) = min

m=1,vui0m(zi0m) < max

m=1,vui0m(zi0m). т.е.

есть в этой группе по крайней мере два участника, что один из них получает строго большевторого. Ну и мы выбираем того, который получает самое маленькое значение полезности по z. Атеперь мы формируем коалицию наиболее обиженных участников нашей реплики, в которую вклю-чаем i0m0 и во вторых, мы для каждого другого типа i через i,mi обозначим номер того участникатипа i, который в своей группе получает min из возможных значений функции полезности, т.е.:

66

ui,m0(zi,mi) = min

m=1,vui,m(zi,m)

Т.е. ∀i ищем среди m наименьший уровень полезности в группе одного типа. Вот так мы строимкоалицию M, она будет блокировать наш z, которая имеет такой вид:

M = (i0,m0) ∪ {i,mi|i 6= i0},B{. . .} тоже есть аутсайдеры, но возможно слабыми, они возможно на самом деле получают

столько же сколько все остальные, знаем что они не больше чем все остальные получают. Этакоалиция M содержит ровно n участников, по одному представителю каждой группы. И вот, мысейчас докажем, что эта коалиция заблокирует этот самый z. Как это можно сделать ?

Давайте предоставим каждому из участников этой коалиции M набор

xi =1v

v∑m=1

zim = xi,mi

-среднее от того, что группа одинаковых получила в целом. Докажем допустимость этого набора:∑

i∈N

xi =∑

(i,m)∈M

wim∑

i∈N

wi(в M у нас n участников).

Итак,

∑

i∈N

xi 1v

∑

i∈N

v∑m=1

zim 1v

∑

(i,m)∈N(v)

wim 1v

∑

i∈N

v∑m=1

wim =

∑i∈N

v∑m=1

zim -это сумма всех наборов, которые представлены в этом распределении z, но z у нас

допустимое распределение, т.е. оно равно сумме начальных запасов.

1v

∑

i∈N

v∑m=1

wim 1v

n∑

i=1

vwi =∑

i∈N

wi

т.к. wi,m при каждом m это wi.Итак, наш набор допустимый, а значит мы можем с помощью этих наборов угрожать z.

Лекция N 14

NB! Внесем некоторые изменения в формулировку, т.е. слабая симметричность, она в этой фор-ме как была дана (где требовалось только вогнутость ui), справедлива лишь для слабого блокиро-вания когда у нас разрашается при блокировании чтобы разве лишь один, ну может быть и больше,были бы в стого лучшем положении, чем в предыдущем распределении, и остальные просто тоже иимели положение. Поэтому добавляем в определение предложения 2, что ui непрерывные и строговозрастающие.

Итак, напомним схему доказательства: мы допустили, что есть допустимое распределение z ∈C(E). И надо доказать, что функции полезности участников одного и того же типа принамают нанаборах, которые этим участникам достаются, одно и тоже значение: uim(zim) = ui1(zi1) ∀m =2, 3, . . . v− это называется симметричностью.

Чтобы доказать это мы предполагаем противное, что в нашем распределении z есть по край-ней мере одна группа, скажем с номером группы i0, где разные копии получают разные зна-чения функции полезности на своих наборах. Мы там конкретно выбрали участника с номером(i0, m0) = (i0,mi0). И для этого участника:

67

ui0mi0(zi0mi0) = min

m=1,vui0,m(zi0,m) < max

m=1,vui0,m(zi0,m),

т.е. взяли в этой группе участника, у которого значение функции полезности самое маленькое.А для всех остальных групп выбираем представителя с номером mi для которых:

uimi(zimi) = min

m=1,vuim(zi,m)

т.е. в каждой группе вибираем по наиболее пострадавшему участнику. А там где у всех одина-ковые значения функции полезности, мы просто фиксируем кого-нибудь.

И мы соответствующее множество этих представителей обозначим через M = {(1,m1), (2,m2), . . . , (n,mn)}.Это и будет та самая коалиция, которая и заблокирует распределение z, через это и получим про-тиворечие, т.е. z у нас не блокируемо.

Мы указали какие наборы конкретно должны получить эти представители: ximi = xi = 1v

v∑m=1

zim.

Можно это обозначить xi, т.к. из каждой группы у нас только один участник. Причем это допусти-мое распределение коалиции M, т.е.

∑i∈N

xi =∑

i∈N

wi.

Теперь нам надо доказать, что вот эти наборы xi, которые мы им дали, не хуже, чем то, что по-лучает участник этой коалиции в распределении z и при этом по крайней мере один из участников,а именно этот самый i0mi0, представитель i0 типа, он получает даже строго больше чем получал вz. Ну а потом после этого мы уже без большого труда, пользуясь непрерывностью и строгим воз-растанием, немножечко подшевелить ximi , так чтобы строго больше было не только у i0 участника,ну и у всех остальных, а это и будет нам давать, в нашем смысле нормальное блокирование.

Итак, начнем реализовывать нашу программу, а сначала покажем, что для i0 :ui0mi0(x

i0mi0 > ui0mi0(zi0mi0). Воспользуемся здесь вогнутостью, а ui = ui,m, то они тоже будут

вогнутыми и стало быть, учитывая, что наш ximi есть выпуклая комбинация вот этих zim, т.к.у нас тут v слагаемых, коэффициент при каждом 1

v , а они нетрицательны и их сумма очевидноравна единице, значит это есть выпуклая комбинация. А для вогнутой функции, как мы знаем,справедливо неравенство не только для двух слагаемых, а справедливо и для любого конечногочисла слагаемых. Если у нас есть выпуклая комбинация, то значение функции от суммы большелибо равно соответствующей комбинации значений функции на этих слагаемых. Поэтому мы можем

записать: ui0mi0(xi0) ≥ 1

v

v∑m=1

ui0mi0(zi0m).

Теперь дакажем, что среднее арифметическое чисел ≥ min из этих чисел. А это на самом делетак, если у нас хотя бы два числа разные. Поэтому:

1v

v∑m=1

ui0mi0(zi0mi0) > ui0mi0(z

i0mi0). (4∗)

А для остальных участников мы имеем:

uimi(xi) =

1v

v∑m=1

uim(zim) ≥ uimi(zimi)

Т.о. из этих соотношений получается, что каждый участник коалиции M получает в xi не мень-ше чем он получал в распределении z, причем по крайней мере один из них, например, i0, получаетстрого больше, он улучшил свою позицию. Но чтобы заблокировать, нам надо чтобы в этом рас-пределении всем стало лучше, а не только одному.

Чтобы это проделать, свпомним что у нас по условию ui непрерывные и строго возрастающие.Поэтому если мы здесь чуть-чуть пошевелим xi0 , уменьшим например, то при достаточно маломуменьшении у нас это строгое неравенство все еще бужет сохраняться, более того, если мы ещето что отняли у i0 добавим другим в ненулевом колличестве, из-за строгого возрастания функцииполезности у этих участников неравенства станут строгими.

Итак, поскольку у нас ui0(xi0) строго больше, то ясно что вектор xi0 не может быть строго

больше, то ясно что вектор xi0 не может быть нулевым, т.е. у него что-то должно быть, потому

68

что если бы это был ноль, тогда такого строгого неравенства не могло бы быть из-за монотонности,из-за того, что функция строго возрастающая. Значит xi0 > 0, мы не гарантируем, что у него всекомпоненты > 0, но одна точно > 0, пусть это будет k− ая компонента. Тогда мы вместо того чтопредположили коалиции M дадим им новые наборы xi : для участника i0 это будет xi0 − δek, гдеδ > 0, т.е. мы отняли кусочек k− ого продукта, причем так отняли, что: ui0mi0(xi0) > ui0mi0(z

i0mi0)(это выполняется в силу непрерывности): а остальным мы прибавляем это δ продукта k : xi +

δn−1ek i = 1, n i 6= i0.

Проверим, что xi допустимое. Это очевидно, т.к. оющая сумма не изменилась. Т.о. мы нашлираспределение, которое блокирует z, но z ∈ C(E(v)). Получили противоречие.

Следствие 2: Если ui вогнутые, непрерывные, строго возрастающие, то Cv 6= ∅ ∀v ≥ 1.Доказательство: Поскольку наши предположения гарантируют нам справедливость следствия

1, т.е. C(E(v)) 6= ∅ ∀v. Возьмем какое-нибудь z ∈ C(E(v)). Даже если этот z сам по себе несим-метричен, т.е. у него разные представители одного и того же типа получают разные наборы, мыпосредством усреднения сделаем эти наборы одинаковыми и получим то, что нам надо. По предло-жению 2 все участники одного и того же типа получают одинаковое значение функции полезности,вот этим мы и воспользуемся.

Возьмем и построим вместо z нового представителя ядра, который уже будет репликой неко-торого допутимого распределения в исходной экономике. А именно, обозначим через xi среднее

потребление в группе номер i : xi = 1v

v∑m=1

zim, т.е. с помощью этого распределения из ядра постро-

им вот такие наборы представляющие для каждого участника исходной экономики, просто среднеепотребление в i− той группе этой вот самой реплики.

А затем обозначим через z = x(v) v− тую реплику этого самого x = (x′, . . . , xn). Мы построилидопустимое распределение x, это проверено в предложении 2. Итак, z − v− кратная реплика допу-стимого распределения x, т.е. это z-распределение в E(v), в котором каждый из участников типа iполучает ровно xi.

И теперь, нам осталось доказать, чтобы проверить что Cv 6= ∅ : если мы покажем, что этот zтоже попадает в ядро E(v), то тогда мы получаем что нашелся x, реплика которого попала в ядро, азначит сам x попадает в Cv ( по определению). Для этого достаточно убедиться, что значения функ-ции полезности участников принимаемые на наборах z не хуже чем значения на соответствующихнаборах из z, тогда раз z ничем не блокировалось, то и x тоже блокироваться не будет.

Итак, первое что мы покажем, это что:

uim(zim) ≥ uim(zim), а uim(zim) = uim(xi),

т.к. каждый участник одного типа получает одинаковое количество. А xi - это среднее ариф-

метическое u ui - вогнутые, тогда справедливо, что: uim(xi) ≥ 1v

v∑m′=1

uim′(zim′) но все значения

функции полезности одинаковые, тогда мы имеем, что:

1v

v∑

m′=1

uim′(zim′) =

1vvuim(zim) = uim(zim).

Т.о. при переходе, при усреднении исходного распределения z у нас значения функции полезно-сти только возрастут, во всяком случае не ухудшатся.

Если теперь допустим, что z блокируется какой-то коалицией S, то тогда этой же коалициейбудет блокироваться распределениеz :

uim(zim) > uim( ¯zim) ≥ uim(zim).

А z у нас из ядра, этого быть не может. А значит z не блокируемое распределение. И раз z = x(v),то отсюда вытекает по опеределению Cv, что x ∈ Cv, т.е. Cv 6= ∅.

Напомним, что Cv = {x ∈ X(N)|x(v) ∈ C(E(v)}

69

Предложение 3. Замкнутость Cv. А из замкнутости и ограниченности будут вытекать компакт-ность и значит все Cv будут компактными.

Если функции полезности ui непрерывные, то C(E) замкнутое множество.Это нам нужно для того, чтобы дальше доказать, что сами Cv будут замкнутыми множества-

ми. Если ядро пустое, то оно по определению замкнутое, поэтому мы будем доказывать это дело,предполагая, что оно не пустое.

Доказательство: Берем какую-то произвольную последовательность элементов из ядра, кото-рая имеет предел, сходится к некоторому элементу : x(m) ∈ C(E), x(m) → x, x− распределение.И требуется доказать, что x ∈ C(E). Будем доказывать от противного. Допустим, что ∃ коали-ция S, которая блокирует x. Это значит, что найдутся какие-то наборы xi ∀i ∈ S, для которыхвыполняются неравенства ui(xi) > ui(xi) и

∑i∈S

xi =∑i∈S

wi.

А так как функция ui непрерывная ∀i, а x(m) → x, то в силу непрерывности мы получаем, чтоначиная с некоторого номера m0 для всех m > m0 у нас будут выполняться эти строгие неравенстване только для предельной точки, но и для тех, которые к этой предельной точки достаточно близки,т.е. будут выполняться ui(xi) > ui(x(m),i) ∀i ∈ S.

Но это противоречит тому, что оно блокируемое т.е. ∈C(E), а это значит что C(E) замкнуто.

Следствие 3.Если ui непрерывные, то Cv компактно ∀v ≥ 1.Доказательство: Возьмем какую-то последовательность x(m) ∈ Cv, по определению Cv это

означает, что (x(m))(v) ∈ C(E(v)). И пусть x(m) → x. И нам надо доказать, что x ∈ Cv. А посколькуу нас x(m) → x. то понятно, что x

(m)(v) → x(v), прямо по определению конструкции вектора реплики.

Из этого соотношения мы получаем, что (x(m))(v) ∈ C(E(v)). а из предложения 3 мы имеем, чтоx(v) ∈ C(E(v)). А это по определению Cv означает, что сам x ∈ Cv.

А теперь убедимся, что Cv- монотонно-убывающая последовательность.Предложение 4: Для всех v ∈ 1 справедливо Cv+1 ⊆ Cv.Доказательство 4: От противного. Вот мы взяли какой-то x ∈ Cv+1 и доказали, что x /∈

Cv, т.е. что x ∈ Cv+1\Cv (т.е. принадлежит разности множеств). А по определению множеств Cv

это означает, что x(v) /∈ C(E(v)) прямо по построению. Ну а это означает, что этот самый x(v) =z (переобозначили) блокируется какой-то коалицией M ⊆ N(v), а N(v) ⊆ N(v + 1) ( прямо поопределению). Итак, раз z блокировалось коалицией M ∈ N(v), то оно блокируется в реплике v +1нашей экономики. Т.е., блокирование означает, что:{

uim(zim) > uim(zim) ∀(i,m) ∈ M∑i∈M

zim =∑

i∈M

wim

Но это и означает, что коалиция M блокирует z и в Ev+1. Т.е. мы получаем, что xv+1 /∈ C(E(v+1)),а это означает, что x /∈ Cv+1, получили противоречие.

Итак, подведем итог, того что мы доказали:1). Cv 6= ∅2). Cv -компакты, т.е. они часть z, а z - компактное, оно замкнутое и ограниченное множество.3). ∀v C1 ⊇ C2 ⊇ C3 ⊇ . . . , т.е. убывающая последовательность. А тогда по соответствующей

теореме анализа получаем, что∞⋂

v=1CvW 6= ∅, а значит W 6= ∅.

Модель Эрроу-Дебре.

Это есть обобщение модели обмена, с которой мы имели дело. Отличие состоит только в том,что у нас появляется еще и производственный сектор. Поэтому наряду со множеством участниковN = {1, . . . , i, . . . , n}, появляется множество участников производителей M = {1, . . . , j1, . . . ,m}.И соответственно между ними возникает взвимодействие в рамках этой модели. Считаем сначалахарактеристики участников:

70

xi ∈ Rl – потребительское множество i- того участника, где l - номер продукта, напомним чтономенклытура продуктов у нас это множество L = {1, . . . , l}. У каждого i есть функция полезностиui : xi →R. Есть еще начальные запасы у этого участника W i ∈ Rl, Этим описание потребитель-ского сектора N и заканчивается.

Произвольное множество, задается произвольными множествами участников Yj ⊆ Rl, которыеописывают всевозможные типы экономической активности этих самых производителей. Значит век-тор, который лежит в Yj , означает, что отрицательные компоненты это количество продуктов за-трачиваемых при производстве, а положительные компоненты - это то, что выпускается.

И кроме того, есть связь между этими двумя секторами, заданы числа αij ≥ 0, такие, что длякаждого j у нас выполняется условие:

∑i∈N

αij = 1. Т.е. αij это доля акций i- того потребления в

прибыли j- того производителя.Итак, как это выглядет в связке. Первое что нам нужно определить, чтобы как-то работать даль-

ше вот с этими равновесными распределениями, элементами ядра, нам нужно определить такое до-пустимое распределение в данном случае. Допустимое распределение - это набор (x′, . . . , xn, y′, . . . , ym) xi ∈X(N), yj ∈ Yj и при этом выполняется балансовое соотношение:

∑

i∈N

xi =∑

i∈N

wi +∑

i∈M

yj

А равновесным распределением будем называть допустимое распределение(x′, . . . , xn, y1, . . . , ym) и вектор цен p ∈ Rl, вообще говоря не пулевой, но это можно и не требовать,что выполняются следующие условия:

1). pyj = maxj∈Y

pyj = πj(p), т.е. достигается max прибыль. (это условие оптимальности для произ-

водителей).2). xi ∈ Bi(p) = {xi ∈ X(N)|pxi ≤ pwi +

∑j∈M

αijπj(p)}, т.е. xi должны быть допустимы с точки

зрения бюджета i.3). ui(xi) = max{ui(xi)|xi ∈ Bi(p)} ( а потребители max свою полезность).А теперь перейдем к теореме существования. Мы сформулируем только условия, ничего не до-

казывая.Для потребителей:I). (что из себя представляет Xi - выпуклое, замкнутое и ограниченное снизу множество. А

ограниченное снизу означает, что ∃zi что xi ≥ zi ∀xi ∈ Xi.II). (относительно начального запаса). Требуется чтоб для всякого участника i ∃xi << wi, где

xi ∈ X.III). Функции полезности ui предполагаются непрерывными, вогнутыми и строго возрастающи-

ми.Для производителей:I). Требуется, чтобы для каждого производителя j ∈ M, множество Yj было бы выпуклым,

замкнутым и 0 ∈ Yj (это дает возможность ничего не делать).II). Если обозначить Y =

∑j∈M

Yj – агрегированное производственное множество, то вот этот

Y должен быть такой Y⋂Rl

+ = {0} – это условие отсутствия ”рога изобилия”, т.е. если бы этопересечение состояло из чего-нибудь еще кроме нуля, это означало бы, что ничего не затрачивая,т.к. все компоненты были бы неотрицательны, мы что-то получаем.

III). Y⋂−Y = {0} (-Y, это все элементы Y умноженные на -1) - это условие необратимости

производства. Если бы пересечение содержало бы какой-то ненулевой элемент, то означало бы, чтоесли мы из мяса делаем сосиски, то из сосисек мы моглы бы сделать такое-же количество мяса.

И вот при этих шести условиях W ( множество равновесных распределений) 6= ∅.

71