1

Fizika 2

kolokvij_K1 priprema teorije i zadataka

Katedra fizike Ak. god. 2008/09.

2

F2_kolokvij_K1 TEORIJSKA PITANJA 1. Osnovni zakoni geometrijske optike

- zakon loma, pojam indeksa loma - totalna refleksija - primjena totalne refleksije (prizme, optička vlakna, fatamorgana)

2. Lom svjetlosti na prizmi; - disperzija svjetlosti, spektar - kut devijacije, minimalni kut devijacije

3. Lom svjetlosti na PP_ploči

- paralelni pomak svjetlosti - promjena valne duljine prilikom loma svjetlosti - koliki je umnožak indeksa loma na ulazu i izlazu iz PP_ploče

(promatrajmo PP_ploču u istom optičkom sredstvu i u različitim sredstvima

4. Fermat-ov princip; prikaz ovog principa na primjeru refleksije svjetlosti. 5. Fermat-ov princip; prikaz ovog principa na primjeru loma svjetlosti. 6. Preslikavanje u geometrijskoj optici; uvjeti jednoznačnog preslikavanja, Gaussova

optika; pojam slike, konvencije o predznacima optičkih veličina. 7. Preslikavanje na sfernom dioptru; jednadžba preslikavanja (konjugacije)

- definicije žarišta slike i žarišta predmeta - zašto su žarišne daljine žarišta i slike kod sfernog dioptra različite; f≠f´ - jakost sfernog dioptra - rani dioptar kao granični slučaj sfernog dioptra

8. Jednadžba preslikavanja tanke leće - tanka leća kao sistem dva sferna dioptra - leća sa dva različita optička sredstva sa svake strane sferni dioptara

leće; izvedite jednadžbu leće u ovom slučaju - leća uronjena u optičko sredstvo iste vrste; jednadžba leće - leća u zraku; jednadžba leće - jednadžba optičke jakosti (žarišnih udaljenosti) leće za sve gornje

slučajeve 9. Povećanja u optici;

- linearno povećanje, definicija i prikaz veze sa položajem predmeta i slike

- kutno povećanje, definicija, aproksimacija i veza sa daljinom jasnog vida; povećalo

3

10. Oko; osnovni optički dijelovi oka

- rožnica; optičko djelovanje - leća oka; vrsta leće i optičko djelovanje - optičke jakosti pojedinih dijelova oka; ukupna jakost

11. Fotoaparat - nastajanje slike i karakteristike slike - objektiv fotoaparata; vrsta leće ili leća (jedna ili više leća)? - povećanje slike; karakteristika povećanja

12. Mikroskop

- nastajanje slike, crtež - pojam postepenog preslikavanja - linearno povećanje mikroskopa (objektiva i okulara) - ukupno povećanje mikroskopa (linearno objektiva i kutno okulara) - razlika uloga objektiva i okulara u mikroskopu (objektiv-projektor,

okular-povećalo) - karakteristike slike u mikroskopu

13. Fotometrija

- koji dio elektromagnetskog zračenja ispituje fotometrija? - definirajte intenzitet izvora svijetlosti, I - definirajte tok svjetlosti, Φ, i količinu svjetlosti, Q - definirajte osvijetljenost plohe, E - izvedite Lambert-ov zakon iz definicije intenziteta svjetlosti i

osvijetljenosti plohe, E - definicija kandele (candela, cd) pomoći elektromagnetskog zračenja

valne duljine 555 nm - ekvivalent između fotometrijske veličine kandela, cd, i energijske

veličine, W/str, za valnu duljinu 555 nm

14. Fotometrija - prikaz osvijetljenosti između dva izvora svijetlosti - kako tražimo minimum osvijetljenosti između tih izvora?

15. Fotometrija

- prikaz osvijetljenosti jednog izvora svijetlosti na nekoj plohi na koju svjetlost upada pod kutom

- ovisnost osvijetljenosti plohe od udaljenosti izvora od plohe (r ili h) - traženje maksimuma funkcije osvijetljenosti

16. Pogreške kod leća

- sferna aberacija - kromatska aberacija - načini ispravljanja pogrešaka

4

F2_ zadaća_1 24.03.09. GEOMETRIJSKA OPTIKA 1. Elektromagnetski spektar valova, vrste i intervali valnih duljina. Vidljiva

svjetlost; intervali valnih duljina, frekvencija i energija (eV). Relacija koja povezuje valnu duljinu, brzinu i frekvenciju vala; objašnjenje. Ako je interval valnih duljina (380-780)nm s pripadnim bojama (šarama) prikazanim u tabeli i njihovim područjima valnih duljina, ispunite sve vrijednosti za frekvenciju i energiju u prikazanim kolonama.

boja λ(nm) Δλ(nm) f(1014 Hz*) E(eV**) ljubičasta 380-440 60 7,9-6,8 3,27-2,82 plava 440-490 50 zelena 490-570 80 6,12-5,26 2,53-2,18 žuta 570-590 20 narančasta 590-620 30 crvena 620-780 60 4,8-3,8 1,99-1,57 *1Hz=1s-1

**1eV=1,6⋅10-19 J

R: Za frekvenciju koristite relaciju λcf = (zašto?) a za energiju E = h⋅f .

2. Zakon loma objašnjen za bilo koja dva optička sredstva u kojima je brzina

svjetlosti c1 i c2. Pojam indeksa loma; apsolutni i relativni. a) Kolika je brzina svjetlosti u staklu indeksa loma 1,4 ako je brzina svjetlosti u vakuumu (približno zraku) jednaka c0 = 3⋅108 m/s. b) Kolika je valna duljina svjetlosnog vala u tom sredstvu, λSR, ako taj val u zraku ima valnu duljinu 550 nm? R: a) cst = 2,14⋅108 m/s, b) λst = 393 nm

3. Lom svjetlosti. U dno jezera uboden je stup dug 4 m. Dio stupa dug 1 m nalazi se

iznad površine vode; indeks loma vode je 1,33. Nađi duljinu sjene stupa na dnu jezera ako sunčeve zrake padaju na površinu vode pod kutom od 450 . Uz zadatak izradite sliku sa pripadnim sjenama.

Xα1

α

u

X2

Hvoda

zrak

5

R: Duljina sjene na površini tekućine, X1, iznosi 1 m (od dijela stupa iznad vode) a na dnu se toj sjeni pribraja i sjena stupa u vodi, X2, koja iznosi 1,88 m. Ukupna sjena zato iznosi Xuk = X1 + X2 =1 + 1,88 =2,88 m

4. Planparalelna ploča;

a) Izvedite izraz za paralelni pomak zrake svjetlosti (uz pripadni crtež i objašnjenja). Izraz izvedite uz pripadni crtež hoda (toka) zrake svjetlosti na planparalelnoj ploči. b) Zraka svjetlosti pada pod kutom 600 na planparalelnu ploču indeksa loma 1,45. Kolika je debljina ploče ako se zraka svjetlosti pri izlazu iz ploče paralelno pomakne za 1 cm?

R: a) l

luDdcos

)sin( −⋅=

b) D = 2,02 cm

5. Na planparalelnu ploču (PP ploču) debljine 4 cm i indeksa loma 1,5 upada uski snop svjetlosti pod kutom 400. Broj valnih duljina u ploči je 8⋅105. Izračunajte valnu duljinu ulazne svjetlosti. Da li se ulazna svjetlost nalazi u intervalu vidljive svjetlosti, ili pripada nekoj drugoj grupi elektromagnetskih valova? (skica)

R: Koristite relaciju za valnu duljinu u nekom optičkom sredstvu indeksa loma n:

nSR0λλ = .

Valne duljine SRλ smještene su u planparalelnoj ploči u onom dijelu koji prikazujete vašom pripadnom slikom loma svjetlosti na PP ploči ( iz zadatka 4).Valna duljina upadne svjetlosti iznosi 82,9 nm i nalazi se u UV dijelu elektromagnetskog spektra.

6. Prizma; objasnite lom svjetlosti na ulazu u prizmu i na izlazu iz prizme.

a) Izvedite izraz za kut devijacije, δ, (kut skretanja ulazne zrake).

b) Na prizmu indeksa loma 1.6 i kuta 600 ulazi uski snop zraka svjetlosti pod kutom 250. Odredite tok snopa svjetlosti prilikom loma na prizmi i izračunajte kut pod kojim snop napušta (ili ne?) prizmu.

R: a) δ = u1 + l2 - ϕ, u kojoj je u1 kut upada snopa svjetlosti, l2 je kut loma pri izlasku istog snopa iz prizme a ϕ je kut prizme. b) U točki izlaza iz prizme nastaje totalna refleksija; zraka svjetlosti ne može lomom svjetlosti izaći iz prizme (kut upada u točki izlaza iz prizme veći je od graničnog kuta, u2 > ugr .

7. Izvedite i pojasnite izraze u Laboratorijskoj vježbi koju upravo izrađujete u

sadržaju kolegija Fizika 2; savjetujte se s nastavnicima u slučaju nerazumijevanja.

6

F2_ zadaća_2 31.03.09. 1. Granični lom i totalna refleksija. Izračunajte granični kut upada za sistem

staklo-zrak, ako je indeks loma stakla 1,6. Primjena totalne refleksije na prizmi; jednakokračna pravokutna prizma, skretanje ulaznog snopa za 900 i 1800. Objašnjenje.

R: ugr = 38,70, ostalo u materijalima s predavanja, preporučena literatura i stranice fizike GF-a

2. Koliki mora biti kut upada zrake svjetlosti na jednu plohu prizme, ako

želimo da na drugoj plohi dođe do graničnog loma. Kut prizme je 450 i indeks loma prizme je 1.55.

R: u1= 7,450, ugr = u2 = 40,20; u izradi zadatka svakako potrebna skica sa svim kutovima

3. Što je elektromagnetski val? Koji dio elektromagnetskih valova ubrajamo u

vidljivu svjetlost? Spektar elektromagnetskih valova poredan po valnim duljinama; vrste. Zakoni geometrijske optike. Pojam indeksa loma; koje fizikalne veličine elektromagnetskog vala se mijenjaju prilikom loma svjetlosti?

R: materijali s predavanja, preporučena literatura i stranice fizike GF-a

4. Fermatov princip o širenju svjetlosnih zraka, (Fermat's principle ili the

principle of least time); izvedite zakon loma pomoću principa najmanjeg vremena širenja svjetlosti između dviju točaka. Skica i dokaz.

R: materijali s predavanja, preporučena literatura i stranice fizike GF-a

Uski snop zraka svjetlosti širi se (putuje) iz točke A optičkog sredstva brzine c1 u točku B optičkog sredstva brzine c2 , te se prilikom tog širenja lomi (mijernja brzinu i smjer u drugom optičkom sredstvu). Na slici su prikazani različiti

Ci C1

B •

A •

GP

c1

c2

7

načini loma svjetlosti ulaskom uskog snopa u različite točke granične plohe..C1, C2, Ci,... . Po Fermatov-om principu, moguć je samo onaj put za koji je potrebno najmanje vrijeme, tmin. Kako ćemo naći pravi put zrake svjetlosti? Odaberimo samo jedan od putova na gornjoj slici i izvedimo slijedeći postupak:

odredili smo udaljenost točaka A i B od granične plohe, GP, i njihovu međusobnu udaljenost, d, u smjeru granične plohe, te tražimo položaj točke C određen udaljenošću, x, pomoću traženja uvjeta minimalnog vremena prolaza svjetlosti iz točke A→C→B; pri tom prijelazu je A početna i B konačna točka. Ukupno vrijeme, tuk, može izraziti kao funkciju položaja, x, slijedećom relacijom:

( )

( ) ( )2

222

1

221

21

)(c

xdhc

xh

cBC

cCA

ttxt CBACuk

−++

+=

=+=

+=

Tražimo ekstrem funkcije, za koji možemo pokazati da pripada minimumu, na način da izračunamo derivaciju funkcije tuk(x) koja u ekstremu mora poprimiti vrijednost nula:

( ) ( ) 0)(

)1()(22112

211)(

2212

2211

=−+

−⋅−⋅⋅+

+⋅⋅=

xdh

xdcxh

xcdx

xtuk .

Nakon sređivanja jednadžbe dobijemo izraz:

d-x

u

l

C

l

u

d

x

h2

h1

• B

A •

GP

c2

c1

8

( ) ( )2212

2211 )(

)(11

xdh

xdcxh

xc −+

−⋅=

+⋅ ,

u kojem su razlomci koji množe recipročne vrijednosti brzina svijetlosti, 1

1c

i

2

1c

, jednaki slijedom: sin u i sin l, te uvrštavanjem tih vrijednosti dobijemo

poznatu jednadžbu zakona loma:

1

2

2

1

21

sinsin

sinsin

sin1sin1

nn

lu

ilicc

lu

ili

lc

uc

=

=

⋅=⋅

Ovime je dokazano: ako se zraka svjetlosti širi između dviju točaka tako da joj je potrebno minimalno vrijeme, tada ona prolazi upravo onaj put koji je određen već poznatom zakonitošću, Snell-Descartes-ovim zakonom loma. 5. Monokromatska svjetlost valne duljine 450 nm (kojoj boji pripada ova valna

duljina?) upada na planparalelnu ploču debljine 6 cm (indeksa loma 1.6) pod kutom 400. Izračunajte broj valnih duljina svjetlosti duž pravca kojim se svjetlost širi u ploči prilikom loma.

R: λSR=2,8·10-7m, 55 102103,2 ⋅=⋅=

SRNλ valnih duljina

6. Zraka svjetlosti upada pod kutom 600 na površinu vode u posudi. Na dnu

posude nalazi se ravno zrcalo. Koliko se puta promijeni udaljenost upadne i izlazne zrake zamijenimo li vodu drugom tekućinom s dva puta većim indeksom loma vode. Indeks loma vode iznosi 4/3. Visina tekućine u posudi se ne mijenja.

R: 2,49 puta

9

F2_ zadaća_3 02.04.09. 1. Ispred planparalelne ploče debljine 3cm i indeksa loma 1.5 nalazi se

pribadača na udaljenosti 6cm od jedna plohe ploče. Nađite položaj slike u odnosu na tu istu plohu, ako sliku promatramo kroz planparalelnu ploču.

R: cmDbx 52 =−= , pri čemu je vrijednošću b2 određena konačna pozicija slike nakon preslikavanja na drugom ravnom dioptru, RD2. Pri izradi ovog zadatka moramo imati u vidu postepeni proces preslikavanja, koji je u našem slučaju izveden uzastopno (postepeno) na dva ravna dioptra, RD1 i RD2, koji čine sastavne optičke dijelove planparalelne ploče. Taj proces možemo prikazati shemom:

P1→RD1→S1≡P2→RD2→S2. Nastajanje slike prikazujemo relacijom:

Sjetimo se, jednadžba preslikavanja ravnog dioptra glasi:

021 =+bn

an

2. Jednobojna (monokromatska) zraka svjetlosti padne okomito na jednu stranu prizme i izađe iz prizme pod kutom 250 u odnosu na upadnu zraku. Indeks loma prizme je 1,6. Koliki je kut prizme?

n

D

a1

a2

S1=P2

S2 P1

b2< 0

b1< 0

nzraka=1

nzraka=1

10

U točki izlaza zrake svjetlosti iz prizme, B, zakon loma svjetlosti glasi:

( ) nlradite

nlu 1

sinsin:1

sinsin

22

2 =+Δ

→+Δ==ϕα

ϕϕα ,

iz kojeg nakon rješavanja trigonometrijske relacije dobivamo nepoznanicu, kut prizme ϕ. R: ϕ = 31,30

3. Kolika je brzina svjetlosti u a) staklu indeksa loma 1,64 i b) dijamantu indeksa loma 2,42 ?

R: a) cst = 1,83 ⋅ 108 m/s, b) cdijam = 1,24 ⋅ 108 m/s

4. Uski snop zraka svjetlosti upada na tekućinu indeksa loma 1,29, te se djelomično lomi i reflektira na tekućini. Koliki mora biti upadni kut snopa da je reflektirani snop okomit na lomljeni snop ? R: u = 52,20

5. Kakvu sliku daje bikonkavna leća jakosti -5 dpt (dioptrija) ako se predmet visine 10 cm nalazi na udaljenosti 50 cm od leće?

R: Slika je: a) imaginarna, b) uspravna i c) umanjena, veličine 2,7 cm. Crtež!

6. Projekcionim aparatom projicira se slika čovjeka koji je na dijapozitivu

visok 2 cm, a na zastoru 1m. Kolika je žarišna udaljenost objektiva ako udaljenost objektiva od zastora iznosi 5 m?

R: f = 9,8 cm, J = 10,2 dpt

I1 l2

Δα=l2-u2=l2-ϕ u2=ϕ

ϕ

n

11

F2_ zadaća_4 07.04.09. Lom na ravnim sistemima (planparalelna ploča, prizma)

1. Debljina staklene planparalelne ploče je 4.85cm. Ako se kroz nju gleda mrlja na

donjoj plohi, sliku vidimo 1.95 cm bliže oku od pozicije mrlje. Koliki je indeks loma stakla? R: U ovom primjeru preslikavanje se događa samo na drugom ravnom dioptru RD2 u kojem je udaljenost predmeta od tog dioptra, a, jednaka debljini ploče, D, a udaljenost slike, b, je od te veličine umanjena za 1,95 i negativnog je predznaka budući da je slika imaginarna (pogledati crtež nastajanja slike). Jednadžba preslikavanja ravnog dioptra dobiva se iz analogne jednadžbe za sferni dioptar, uz vrijednost zakrivljenosti plohe, r = ∞, te jednadžba ravnog dioptra glasi:

→−

=+r

nnbn

an 1221 021 =+

bn

an .

U gornjoj jednadžbi je prvo sredstvo staklo a drugo je zrak. Vrijednost indeksa loma ploče je 1,67.

2. Na planparalelnu ploču debljine 3 cm i indeksa loma 1,5 upada uski snop svjetlosti pod kutom 400. Broj valnih duljina u ploči je 105. Izračunajte valnu duljinu ulazne svjetlosti. (Skicirajte zadatak i izrazite potrebne veličine.)

R: Broj valnih duljina u staklu, Nλst, nalazi se na duljini BA koja iznosi 3,32 cm, iz čega možemo izračunati vrijednost jedne valne duljine, λst, koja iznosi 332 nm. Budući da je valna duljina te valne duljine n puta veća u zraku, dobivamo valnu duljinu uskog snopa svjetlosti koja iznosi λ0= 498 nm; zelena svjetlost.

2´

1´ RD2

n

RD1

P S

D

Δx = 1,95 cm

zrakzrak

12

3. Monokromatska svjetlost valne duljine 650 nm upada na planparalelnu ploču

debljine 4 cm (indeksa loma 1.6) pod kutom 600. Izračunajte broj valnih duljina svjetlosti duž pravca kojim se svjetlost širi u ploči prilikom loma.

R: Zadatak sličan prethodnom zadatku, zad 2, uz poznavanje valne duljine ulazne svjetlosti; traženi broj valnih duljina u staklu iznosi 51017.1 ⋅=

stNλ .

4. Na prizmu kuta 600 i indeksa loma 1.6 upada uski snop zraka svjetlosti. Izračunajte: a) kut devijacije prizme uskog snopa koji na prizmu upada pod kutem od 700 , b) koliki je minimalni kut devijacije za tu prizmu?

R: a) kut devijacije tražimo iz izraza δ = u1+l2 - δ; računajući lom svjetlosti na obje plohe dobivamo δ = 50,670, a) minimalni kut devijacije, δmin, dobivamo iz uvjeta simetričnog loma svjetlosti, u1=l2 te uz pripadne relacije takvog loma dobivamo δmin = 46,20, koji dobijemo za simetričan lom pri ulasku snopa svjetlosti pod kutom 53,10.

5. Na prizmu kuta 600 i indeksa loma 1.4 upada uski snop zraka svjetlosti.

Izračunajte: a) pod kojim kutom upada svjetlost na prvu plohu prizme, ako se pri izlasku iz prizme lomi granično i koliki je pri tom kut devijacije, b) koliki je minimalni kut devijacije za tu prizmu?

R: a) u1=20,40, δ=50,40; b) δmin=28,80

s pripadnim kutom upada, u=44,40.

6. Minimalni kut skretanja staklene prizme vršnog kuta 380 iznosi 270. Koliki je indeks loma zadanog stakla?

R: n=1,65

00 , λλλλ ⟨= stst n

u1

l1

l2

u2

d

n

λ0 λst A

B

13

Lom na sfernim sistemima

- sferni dioptar; jednadžba preslikavanja sfernog dioptra - leća, fotoaparat; jednadžba leće (geometrija leće), jednadžba

preslikavanja leće 7. Fotoaparat daje sliku predmeta na fotografskoj ploči koja je udaljena od objektiva

75.5 mm. Slika je 150 puta umanjena. Kolika je jakost objektiva i na kojoj se udaljenosti od objektiva nalazi predmet?

R: J = 13,3 dpt, a = 11,325 m.

8. Fotoaparat daje sliku predmeta na fotografskoj ploči koja je udaljena od objektiva

60 mm. Slika je 120 puta umanjena. Kolika je jakost objektiva i na kojoj se udaljenosti od objektiva nalazi predmet? (Skica)

R: f = 5,95 cm, J = 16,8 dpt, a = 7,2 m

9. Fotoaparatom, jakosti objektiva 10 dpt, slikamo predmet koji se nalazi na velikoj udaljenosti od leće (∞) i određujemo položaj slike (poziciju filma). Nakon toga predmet približavamo na udaljenost 2 m od fotoaparata i opet određujemo položaj nove slike. Odredite razmak između dva navedena položaja slike.

R: Δb = b2 – b1 =5,3 mm.

10. Konkavna meniskus leća indeksa loma 1.4 ima radijuse zakrivljenosti 20 cm i 10

cm. Odredite radijuse zakrivljenosti bikonkavne leće iste optičke jakosti i istog indeksa loma kao zadana meniskus leća. R:

negativna meniskus leća; 21 RR ⟩

Simetrična bikonkavna leća; R1= -R2

R2 > 0

R1> 0

R2 > 0 R1 < 0

14

Jednadžba za žarišnu daljinu leće (lens Maker´s equation) je jednadžba u kojoj je prikazana ovisnost žarišne udaljenosti leće, f, i njene geometrije (radijusi; r1 i r2) i optičkog sredstva (indeksa loma, n). Ako se leća debljine, d, i radijusa zakrivljenosti R1 i R2 nalazi u zraku, tada je izraz za recipročnu vrijednost (jakost leće) zadana izrazom:

koji za tanku glasi:

Iz jednadžbe za žarišnu udaljenost leće dobit ćemo radijuse bikonveksne leće: R1= -40 cm i R2= +40 cm. Jakost obiju leća je -2 dpt.

11. Lagana plankonveksna leća, radijusa 6cm i indeksa loma 3/2, pliva na vodi, indeksa loma 4/3, tako da joj je ravna strana okrenuta prema dnu posude u kojoj se nalazi voda. Na dnu posude, 10 cm udaljenom od leće nalazi se točkasti predmet. Na kojoj udaljenosti vidimo sliku predmeta kroz leću ako gledamo okomito na leću? (koristite opću jednadžbu preslikavanja leće u različitim sredstvima)

R:

→

Preslikavanje se događa na leći (pozitivnoj) koja je svojim prednjim dijelom u kontaktu s vodom a stražnjim sa zrakom; zato preslikavanje možemo prikazati desnom slikom. To je preslikavanje tankom lećom koja je uronjena u dva različita optička sredstva (sa svake strane). Jednadžba preslikavanja za takvu leću je predstavljena jednadžbom:

2

23

1

1231

rnn

rnn

bn

an −

+−

=+ .

U našem slučaju ∞=1r , a žarišne udaljenosti su f=16 cm i f ´ = 4 cm. Na slici su samo naznačeni položaji predmeta i slike; konstrukciju uradite uz izradu zadatka.

P S P

H2 O

zrak b

a F´ F

n1, voda n3, zrak

n2, leća

15

Za položaj predmeta a=10 cm dobijemo položaj imaginarnog predmeta na udaljenosti b = -20 cm.

12. Objektiv projektora (sabirna leća) žarišne daljine 15 cm daje povećanu sliku na

ekranu udaljenom 2 m. Izračunajte: a) povećanje objektiva za zadani položaj preslikavanja i b) veličinu slova u tekstu na ekranu, ako su ista u originalu (predmet) veličine 7 mm.

R: a) p = -12,3x, b) y´ = - 8,63 cm

13. Jakost neke leće je 5dpt kada se nalazi u zraku, dok je u vodi njena jakost 1,6dpt.

Za koliko treba pomaknuti predmet u odnosu na leću da bismo u oba slučaja dobili realnu sliku dva puta povećanu?

R: a1 = 30 cm, a2 = 93,75 cm, Δa = 63,75 cm treba odmaknuti predmet od leće kada je ona uronjena u vodu.

16

F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća:

1. Predmet se nalazi 1 m ispred divergentne leće jakosti J = -1 m-1 (ili -1 dpt). Iza

divergentne leće, udaljena 30 cm, nalazi se konvergentna leća daljine 40 cm. Odredite položaj i karakteristike slike; izradite crtež nastajanja slike.

R: Slika je: a) realna, na udaljenosti b2=80 cm od druge (pozitivne) leće, b) obrnuta i c) dva puta umanjena, što pokazuje ukupno linearno povećanje koje je puk = -1/2.

2. Ispred sistema konvergentnih leća žarišnih udaljenosti 10 cm i 15 cm međusobno udaljenih 20 cm nalazi se predmet udaljen 15 cm ispred prve (optički jače) leće. Odredite položaj slike i linearno povećanje predmeta preslikavanjem na zadanom sistemu leća.

R: Slika je: a) realna, na udaljenosti b2=6 cm od druge leće, b) i c) obrnuta i uvećana što pokazuje ukupno linearno povećanje koje je -1,2.

3. Na istoj optičkoj klupi nalaze se leće žarišnih udaljenosti f1=20cm i iza nje leća

f2= −60cm. 30cm ispred konveksne leće nalazi se predmet. Kolika treba biti udaljenost između leća, ako želimo preslikavanjem dobiti konačnu realnu sliku na udaljenosti 40cm od konkavne leće?

R: d=36 cm; slika

S1≡P2 P1 L 1(+)

S2

L 2(-)

d -a2

b2

b1 a1

F2

F1

Realna slika (S1) postaje imaginarni predmet (P2)

F

slika je: _ _ realna _ _ uvećana _ _ obrnuta puk = p1· p2

17

4. Dvije leće jakosti +10dpt i +20dpt nalaze se na međusobnoj udaljenosti od 20cm. Predmet se nalazi na udaljenosti 15cm od prve leće. Na kojoj će udaljenosti od druge leće nastati slika koju daje ovaj sistem; koje su karakteristike slike?

R: Slika je realna, na udaljenosti 10/3 cm od druge leće, b) i c) obrnuta i umanjena što pokazuje ukupno linearno povećanje koje je -2/3.

5. Tanka konvergentna leća žarišne daljine 10cm daje realnu sliku nekog predmeta

na udaljenosti od 25cm. Kada neposredno uz tu leću postavimo još i divergentnu leću, realna slika istog predmeta nalazi se na udaljenosti od 40cm. Izračunajte: a) žarišnu daljinu divergentne leće, b) ukupno linearno povećanje sistema i c) optičku jakost sistema zadanih leća?

R: a) f2 = -200/3 cm, J = -1,5 dpt; b) puk= -2,4x ; c) Juk=J1+J2= +10-1,5 = +8,5 dpt

Mikroskop:

6. Mikroskop je sastavljen od objektiva žarišne daljine 5mm i okulara žarišne

udaljenosti 3cm. Predmet se nalazi na 5.2 mm od objektiva. Izračunajte a) duljinu tubusa (udaljenost leća) mikroskopa i b) ukupno linearno povećanje, ako je daljina normalnog vida 250 mm. (skica i rješenja).

R: a) d=15,7 cm, b) puk =-231,5 x.

Lok

pm = pob· γok pm =(-b1/a1)⋅(D/fok)

S2

S1 ≡ P2 P1

Lob

puk = pob· pok

a1>0

b1>0

b2<0

a2>0

..imaginarna ..uvećana

obrnuta

F1 F1´

F2

F2´

Povećanja:

18

7. Žarišna daljina objektiva mikroskopa je 0,5 cm, žarišna daljina okulara 5 cm a duljina tubusa (razmak leća) 18 cm. Gdje treba staviti predmet da bi oko koje gleda kroz mikroskop vidjelo virtualnu sliku predmeta na daljini jasnog vida koja iznosi 25 cm? Koliko je ukupno povećanje mikroskopa (produkt linearnog povećanja objektiva i kutnog povećanja okulara)?

R: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1

21

1

fD

abpuk , gdje je D daljina jasnog vida, te je vrijednost

povećanja jednaka, xpuk 2,159= . Pri tom moramo izračunati i početni položaj predmeta ispred objektiva (a1=0,52 cm) i njegove slike (b1=13,8 cm).

8. Mikroskop ima okular s povećanjem 15x i objektiv žarišne udaljenosti 4,5 mm. Koliko je ukupno povećanje mikroskopa ako objektiv stvara sliku 16 cm iza svog optičkog centra?

R: puk =-518,4x

9. Mikroskop se sastoji od okulara žarišne daljine 12 mm i objektiva žarišne daljine 3,2 mm. Ako objektiv stvara sliku 16 cm iza svog optičkog centra, nađite ukupno povećanje mikroskopa.

R: a) puk = -1042x, uz aproksimaciju a1 ≈ f1, ili b) puk = -1068x uz proračun za a1=3,27 cm iz jednadžbe preslikavanja.

10. Objektiv i okular mikroskopa su na udaljenosti 20 cm. Žarišna udaljenost objektiva je 7,0 mm i okulara 5,0 mm. Nađite: a) udaljenost predmeta od objektiva, b) linearno povećanje objektiva i c) ukupno povećanje mikroskopa.

R: a) a1 = 10,92 cm, b) pobj = -1,8x i c) puk= -90x. 11. Okular i objektiv imaju žarišne daljine 5,2 mm i 8,2 mm, u navedenom slijedu i

udaljeni su međusobno 18 cm. Izračunajte a) udaljenost predmeta od objektiva b) linearno povećanje objektiva i c) ukupno povećanje mikroskopa.

R: a) a1 = 8,6 mm, b) pobj = -20,32x i c) puk= -975x

12. Linearno povećanje objektiva mikroskopa je -10x. Izračunajte žarišnu daljinu

okulara, ako je ukupno povećanje mikroskopa -100x?

R: Iz izraza puk = pob ⋅γok i uz γok = D/f2 → f2 =2,5 cm.

13. Neki mikroskop je opskrbljen objektivima žarišnih daljina 16 mm, 4 mm i 1,9

mm i okularima kutnih povećanja 5x i 10x. Svaki objektiv stvara sliku 16 cm iza

19

svojeg žarišta slike (F´). Izračunajte a) najmanje i b) najveće ukupno povećanje mikroskopa.

R: a) puk, min = -55x i b) puk, max = -850x

14. Žarišna daljina okulara nekog mikroskopa je 2,5 cm i objektiva 16 mm. Razmak

između objektiva i okulara je 22,1 cm. Konačna slika promatrana okularom stvara se u beskonačnosti. Izračunajte a) udaljenost predmeta od objektiva b) linearno povećanje objektiva i c) ukupno povećanje mikroskopa.

R: a) a1 = 17,4 mm, b) pobj = -11,1x i c) puk= -111x

O k o

15. Rožnica ljudskog oka je tanka prozirna opna s prednje strane oka debljine oko 1

mm i zakrivljenosti 7,8 mm. Ako pretpostavimo da je rožnica sferni dioptar okružen zrakom s prednje strane i vodenom tekućinom (aqueous humour) s unutarnje strane indeksa loma 1,336, izračunajte: a) žarišne udaljenosti rožnice (f i f ´) i b) optičku jakost rožnice.

R: Iz znanja o sfernom dioptru (jednadžbe konjugacije) možemo očitati izraze za žarišne udaljenosti slike, f ´, i predmeta, f, te računom dobijemo: a) f = 23,2 mm, f´ = 31,0 mm i b) jakost izrazimo kao recipročnu vrijednost reducirane žarišne udaljenosti, fred, te dobijemo vrijednost, J =43,1 dpt.

n4=1,336

n3=1,413

n2=1,336

zrak, n1=1

radijusi zakrivljenosti leće oka: r2=10 mm, r3=-6,0 mm

radijus zakrivljenosti rožnice: r1=7,8 mm

20

16. Leća ljudskog oka je u optičkom smislu nesimetrična bikonveksna leća s radijusima r1=+10 mm i r2=-6 mm, koja se nalazi u optičkom sredstvu (staklasta tekućina, vitreous humour, staklasta tekućina) indeksa loma 1,336. Indeks loma leće je 1,413. Izračunajte: a) žarišnu daljinu (ili žarišne daljine) i b) jakost leće ljudskog oka.

R: a) f = 6,15 cm i b) J = 15,4 dpt

17. Optičko djelovanje ljudskog oka uzrokovano je optičkim sistemom rožnice

optičke jakosti 43,1 dpt i nesimetrične bikonveksne leće optičke jakosti 15,4 dpt. Rožnica i leća se nalaze na udaljenosti 3,6 mm, a optičko sredstvo između njih (vodena tekućina i staklasta tekućina) ima isti indeks loma, 1,336. Kolika je ukupna jakost ovog optičkog sistema (ljudskog oka)?

R: Juk =56,7 dpt

21

F2_ zadaća_6 05.05.09. Fotometrija: 1. Dva izvora svjetlosti, jakosti 1000 cd i 5000 cd nalaze se na udaljenosti 6 m.

Izračunajte osvijetljenosti između izvora na udaljenostima: a) u sredini njihove udaljenosti, b) 50 cm od slabijeg izvora i c) na udaljenosti u kojoj je osvijetljenost između njih najmanja.

R: Iz Lambert-ovog zakona za osvijetljenost plohe:

αcos2 ⋅=rIE

računamo osvijetljenosti između dva zadana izvora, uz uvjet da je kut upada u traženoj točki jednak 00, te zakon ima jednostavniji oblik:

2rIE =

gdje je r udaljenost izvora od točke mjerenja osvijetljenosti. Zato je u slučaju a) ukupna osvijetljenost od oba izvora u sredini između njih jednaka:

lxdI

dIEuk 7,6666,5551,111

22

22

21 =+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

b) ukupna osvijetljenost od oba izvora jednaka:

lxxI

xIEuk 29,416524,16540002

1

22

1

1 =+=+= ,

gdje su x1=0,5 m i x2=5,5 m. c) ukupnu osvijetljenost nađemo tako da tražimo minimum funkcije:

( )22

21

xdI

xIEuk −

+= ,

što znači da tražimo uvjet za ekstrem funkcije u kojemu je derivacija jednaka

nuli; 0=dx

dEuk . Derivacijom dobijemo položaj ekstrema, za koji možemo

pomoću druge derivacije dokazati da je jednak minimumu ako je 02

2

⟩dx

Ed uk .

Udaljenost, na kojoj je ukupna osvijetljenost minimalna, dobivena je izjednačavanjem derivacije s nulom i ona iznosi:

22

3

2

1

3

2

1

min

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅=

II

II

dx .

U našem slučaju ta udaljenost iznosi xmin=2,214 m od slabijeg izvora svjetlosti, a pripadna ukupna minimalna osvijetljenost iznosi 553 lx. Grafički možemo osvijetljenosti E1, E2 i Euk prikazati funkcijama:

2. Dva izvora svjetlosti, I1= 1000 cd i I2=5000 cd, nalaze se na udaljenosti 6 m, na

visinama h1=4 m i h2=6 m od tla (slika). Izračunajte ukupnu osvijetljenost oba izvora na tlu u točki 2m udaljenoj od nožišta slabijeg izvora svjetlosti.

R: Euk = 555+4160=4715 lx

h2

h1

d

d-x x

Euk=?

I2

I1 B α1

α

α1

α

α1

α

α1

α

0 1 2 3 4 5 6

0

1000

2000

3000

4000

5000

19900

20000x(m) E1 (I1) E2 (I2) Euk (I1,I2)

0,5 4000 165,3 4165,31 1000 200 12002 250 312,5 562,53 111 556 6674 62,5 1250 1312,55 40 5000 50405,5 33,5 20000 20033,5

Euk

Emin=553 lx

xmin

osvi

jetlj

enos

t, E

(lx)

udaljenost, x, od I1, (m)

E1 E

2

Euk

23

3. Izvor svijetlosti jakosti 500 cd nalazi se iznad plohe za crtanje. Na koliku visinu iznad plohe moramo staviti izvor ako želimo na udaljenosti 1,5 m od nožišta izvora dobiti maksimalno osvjetljenje? R: U ovom zadatku tražimo maksimum funkcije:

( )( )2

322

2 coshd

hIrIhE

+

⋅== α ,

gdje veličine iz izraza možemo naći u slici:

U izrazu za osvijetljenost, E je funkcija položaja izvora svijetlosti, h, (E = f(h)) a ostale veličine su poznate; udaljenost d i intenzitet izvora svijetlosti, I. Deriviranjem funkcije E po položaju izvora, h, dobivamo položaj izvora svijetlosti za koji je osvijetljenost maksimalna, E = Emax. Derivaciju ćemo izvesti kao derivaciju produkta funkcije E = f(h) na način:

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅⋅=−

23

22 hdhdhdI

dhhdE

( ) ( ) ( ) hhdhIhdI

dhhdE 2

23

25

2223

22 ⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅++⋅=

−−

( )

( ) ( )( )

Ihd

hd

hI

hd

Idh

hdE 25

22

25

22

2

23

22

.03 +=

+

⋅−

+= .

Nakon množenja s naznačenim izrazom, dobivamo jednadžbe

22222 2,3 dhhhd =→=+ , iz kojih je vađenjem korijena položaj izvora za najveću osvijetljenost, hmax,

mdh 06,12max ==

h Emax=? α

α

Ir

d

24

U tom položaju izvora svjetlosti maksimalna osvijetljenost je jednaka:

( ) ( )lx

hd

hIE 5,8506,15,1

06,1500

23

2223

2max

2

maxmax =

+

⋅=

+

⋅=

0 2 4 6 8 10

0

20

40

60

80

100 h(m) E(lx)

0,20 28,900,40 57,700,80 81,401,06 85,501,20 84,601,50 78,562,00 64,003,00 39,755,00 17,608,00 7,4210,00 4,83

Emax= 85,5 lx

hmax= 1,06 m

osvi

jetlj

enos

t, E

(lx)

visina, h (m)

Na gornjoj slici prikazana je ovisnost E = f(h). 4. Žarulja intenziteta 25 cd nalazi se 5 dm iznad stola. Na koju udaljenost od stola

treba postaviti žarulju od 75 cd da rasvjeta bude dvostruka? Rasvjetu u oba slučaja promatramo okomito u odnosu na izvore svijetlosti; kut upada svijetlosti je 00.

R: Iz uvjeta: 12 2 EE ⋅= i jednadžbi za pojedine osvijetljenosti dobivamo izraz za traženu visinu h2:

cmI

Ihh 2,61

2 1

212 =

⋅⋅= .

5. Čovjek gleda u žarulju od 100 cd, koja se nalazi na udaljenosti 1 m. Koliki je tok svjetlosti koji pada na zjenicu oka, ako je promjer zjenice 4 mm?

R: Tok možemo izračunati iz poznavanja osvijetljenosti zjenice i njene površine iz jednadžbe za osvijetljenost površine:

25

SES

E ⋅=Φ→Φ

=

Iz Lambertovog zakona izračunat ćemo osvijetljenost lxhIE 1002 == , jer je kut

upada snopa α ≈ 00 i cos 00 =1, te je tok jednak:

( )lm3

23

10256,1102100−

−

⋅=

⋅⋅⋅=Φ π

26

F2_ zadaća_7 05.05.09.

1. Lom svjetlosti Zadatak: Laserski snop ulazi na sredinu polistirenskog kvadratičnog bloka, indeksa loma 1,59 pod kutom 550. U kojoj točki bloka će laserski snop izaći iz bloka i koji će kut zatvarati sa okomicom na površinu bloka?

R: Uski snop svjetlosti se lomi u točki ulaza (točka A) pod kutom 310 te nailazi na gornju plohu (slika) pod kutom 590 (točka B), što predstavlja veći kut od graničnog kuta. Možemo izračunati da je granični kut loma jednak, ugr ≈ 390, što znači da se snop svjetlosti u točki B totalno reflektira. Konačan

izlazak snopa događa se u točki C na udaljenosti d=10a duljine kocke (bloka).

Kut izlaza iz kocke iznosi 550. Fotoaparat 2. Fotoaparatom je sniman objekt u prirodi na udaljenosti 10 m i dobivena je

slika na filmu veličine 3 cm. Nakon toga je objekt približen fotoaparatu na udaljenost 10 m i dobivena je pripadna veličina slike 5,02 cm. Izračunajte: a) žarišnu udaljenost i jakost fotoaparata i b) visinu objekta u prirodi. R: a) Jakost leće je 17,8 dpt. Pri rješavanju preslikavanja za oba slučaja imajte u vidu da se radi o istom fotoaparatu (ista žarišna daljina) te da je predmet realan i obrnut; b) visina objekta u prirodi je 5,02 m.

n=1,59 2a

550

550

310

590 310

B

A

C d=?