factorizacion de un polinomio
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Factorizacion de un polinomio, y trinomio , especial para calculo donde se necesita saber como factorizar un polinomioTRANSCRIPT
Factorizacin de un polinomio
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Sacar factor comn
Consiste en aplicar la propiedad distributiva:
a b + a c + a d = a (b + c + d)
Ejemplos
Descomponer en factores sacando factor comn y hallar las races
1. x3 + x2 = x2 (x + 1)
La races son: x = 0 y x = 1
2. 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Slo tiene una raz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningn valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dar un nmero positivo, por tanto es irreducible.
3. x2 ax bx + ab = x (x a) b (x a) = (x a) (x b)
La races son x = a y x = b.
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 b2 = (a + b) (a b) EjemplosDescomponer en factores y hallar las races
1. x2 4 = (x + 2) (x 2)
Las races son x = 2 y x = 2
2. x4 16 = (x2 + 4) (x2 4) =
= (x + 2) (x 2) (x2 + 4)
Las races son x = 2 y x = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
a2 2 a b + b2 = (a b)2 EjemplosDescomponer en factores y hallar las races
1. trimomio
La raz es x = 3, y se dice que es una raz doble.
2. trimomio
La raz es x = 2.
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c , se iguala a cero y se resuelve la ecuacin de 2 grado. Si las soluciones a la ecuacin son x1 y x2, el polinomio descompuesto ser:
ax2 + bx + c = a (x x1) (x x2)EjemplosDescomponer en factores y hallar las races
1. trinomio
trinomio
ecuacin de 2 grado
factorizacin
Las races son x = 3 y x = 2.
2. trinomio
trinomio
ecuacin de 2 grado
factorizacin
Las races son x = 3 y x = 2.
1. x4 10x2 + 9
x2 = t
x4 10x2 + 9 = 0
t2 10t + 9 = 0
bicuadrada
soluciones
solucionesx4 2 + 9 = (x + 1) (x 1) (x + 3) (x 3)2. x4 2x2 3
x2 = t
t2 2t 3 = 0
bicuadrada
soluciones
soluciones
x4 2x2 + 3 = (x2 + 1) (x + RAZ DE TRES) (x )
Factorizacin de un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las races enteras.
Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:
P(x) = 2x4 + x3 8x2 x + 6
1Tomamos los divisores del trmino independiente: 1, 2, 3.
2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la divisin es exacta.
P(1) = 2 14 + 13 8 12 1 + 6 = 2 + 1 8 1 + 6 = 0
3Dividimos por Ruffini.
4Por ser la divisin exacta, D = d c
(x 1) (2x3 + 3x2 5x 6 )
Una raz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podra estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 13 + 3 12 5 1 6 0
P(1) = 2 (1)3 + 3 (1)2 5 (1) 6 = 2 + 3 + 5 6 = 0
(x 1) (x + 1) (2x2 +x 6)
Otra raz es x = 1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuacin de 2 grado o tal como venimos hacindolo, aunque tiene el inconveniente de que slo podemos encontrar races enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por 1.
P(1) = 2 (1)2 + (1) 6 0
P(2) = 2 22 + 2 6 0
P(2) = 2 (2)2 + (2) 6 = 2 4 2 6 = 0
(x 1) (x + 1) (x + 2) (2x 3)
Sacamos factor comn 2 en ltimo binomio y encontramos una raz racional.
2x 3 = 2 (x 3/2)
La factorizacin del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 8x2 x + 6 = 2 (x 1) (x +1) (x +2) (x 3/2)
Las races son : x = 1, x = 1, x = 2 y x = 3/2
Races racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga races enteras y slo tenga races racionales.
En este caso tomamos los divisores del trmino independiente dividido entre los divisores del trmino con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
P(x) = 12x3 + 8x2 3x 2
Probamos por: divisores.
teorema del resto
Ruffini
Factorizacin
T. del resto
T. del resto
Ruffini
Factorizacin
Sacamos factor comn 12 en el tercer factor.