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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
EEssttrruuttuurraass AAllggéébbrriiccaass
© Prof. M.Sc. Guilherme Luís Roëhe Vaccaro e-mail: [email protected]
Prof. M.Sc. Eliane Allgayer Canto
Versão deste material: 1.3.5
Porto Alegre, agosto de 2001.
Este material é de apoio para a disciplina de Estruturas Algébricas, oferecida ao curso de Informática da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, não tendo a pretensão de esgotar os assuntos aqui abordados, mas sim de enfocar os aspectos importantes para o uso em Informática.
O relato de quaisquer erros ou outras sugestões e criticas construtivas será sempre bem-vindo.
Não alterar este material!
Estruturas Algébricas i
SSuummáárriioo
1 Introdução e Conceitos Básicos __________________________________________________ 1
1.1 Comentários Iniciais ________________________________________________________ 1
1.2 Conjunto, Elemento & Relação de Pertença _____________________________________ 1
1.2.1 Exemplos_____________________________________________________________ 1
1.2.2 Notações _____________________________________________________________ 2
1.2.3 Observações Importantes ________________________________________________ 2
1.3 Formas de Representação de Conjuntos ________________________________________ 2
1.3.1 Por Extensão__________________________________________________________ 2
1.3.2 Por Compreensão ______________________________________________________ 3
1.3.3 Por Gráficos___________________________________________________________ 3
1.3.4 Por Diagramas de Venn _________________________________________________ 4
1.4 Conjunto Vazio & Conjunto Universo ___________________________________________ 4
1.4.1 Notações _____________________________________________________________ 4
1.4.2 Observações __________________________________________________________ 4
1.4.3 Uma Propriedade Importante _____________________________________________ 5
1.5 Intervalos ________________________________________________________________ 5
2 Relações Entre Conjuntos _______________________________________________________ 6
2.1 Inclusão _________________________________________________________________ 6
2.1.1 Exemplos_____________________________________________________________ 6
2.1.2 Propriedades __________________________________________________________ 6
2.1.3 Exemplos_____________________________________________________________ 7
2.1.4 Observações __________________________________________________________ 7
2.2 Inclusão Estrita ____________________________________________________________ 7
2.2.1 Exemplos_____________________________________________________________ 7
2.2.2 Propriedades __________________________________________________________ 7
2.3 Igualdade ________________________________________________________________ 7
2.3.1 Exemplos_____________________________________________________________ 8
2.3.2 Propriedades __________________________________________________________ 8
3 Operações Entre Conjuntos______________________________________________________ 9
3.1 União ___________________________________________________________________ 9
3.1.1 Exemplos_____________________________________________________________ 9
3.1.2 Propriedades __________________________________________________________ 9
3.1.3 Observação Importante __________________________________________________ 9
3.1.4 Exemplos____________________________________________________________ 10
3.2 Interseção_______________________________________________________________ 10
3.2.1 Exemplos____________________________________________________________ 10
3.2.2 Propriedades _________________________________________________________ 11 Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto
Estruturas Algébricas ii
3.2.3 Observação Importante _________________________________________________ 11
3.2.4 Exemplos____________________________________________________________ 11
3.3 Propriedades Comuns à União e à Interseção___________________________________ 12
3.4 Diferença _______________________________________________________________ 12
3.4.1 Exemplos____________________________________________________________ 12
3.4.2 Propriedades _________________________________________________________ 12
3.4.3 Observação Importante _________________________________________________ 13
3.5 Complementação _________________________________________________________ 13
3.5.1 Exemplos____________________________________________________________ 13
3.5.2 Propriedades _________________________________________________________ 13
3.5.3 Exemplos____________________________________________________________ 14
3.5.4 Uma Identidade Fundamental ____________________________________________ 14
3.6 Leis de De Morgan ________________________________________________________ 14
3.7 Diferença Simétrica _______________________________________________________ 14
3.7.1 Exemplos____________________________________________________________ 15
3.7.2 Propriedades _________________________________________________________ 15
3.7.3 Exemplo_____________________________________________________________ 15
4 Produto Cartesiano ___________________________________________________________ 16
4.1 Seqüências Ordenadas de Elementos _________________________________________ 16
4.2 Produto Cartesiano de Dois Conjuntos_________________________________________ 17
4.2.1 Definição ____________________________________________________________ 17
4.2.2 Exemplos____________________________________________________________ 17
4.2.3 Propriedades _________________________________________________________ 18
4.2.4 Observação Importante _________________________________________________ 18
4.2.5 Exemplos____________________________________________________________ 18
4.3 Observação: Produto Cartesiano de Três Conjuntos ______________________________ 19
5 Guia de Consulta Rápida_______________________________________________________ 20
5.1 Notação ________________________________________________________________ 20
5.2 Propriedades das Relações Entre Conjuntos____________________________________ 21
5.3 Propriedades Fundamentais das Operações Entre Conjuntos_______________________ 21
5.4 Propriedades Auxiliares das Operações Entre Conjuntos __________________________ 22
5.5 Propriedades do Produto Cartesiano __________________________________________ 22
6 Exercícios __________________________________________________________________ 23
7 Respostas dos Exercícios ______________________________________________________ 25
Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto
Estruturas Algébricas 1
11 IInnttrroodduuççããoo ee CCoonncceeiittooss BBáássiiccooss
11..11 CCoommeennttáárriiooss IInniicciiaaiiss
Conjuntos são fundamentais para a formalização de qualquer teoria. Uma teoria é normalmente construída a partir de um conjunto de pressupostos básicos (axiomas), os quais fazem referência a um conjunto de elementos primitivos (que não precisam ser definidos). A partir destes elementos, e utilizando um conjunto de regras de inferência (tais como as leis e propriedades da Lógica Matemática), é criado um conjunto de propriedades, enunciados e provados através de teoremas.
Em particular, em Informática e Ciência da Computação, a Teoria de Conjuntos apresenta-se das mais diversas formas:
Como fundamento para a construção das Álgebras Booleanas, cerne da Computação Digital;
Como fundamento teórico para o desenvolvimento e validação da Teoria de Bancos de Dados;
Como fundamento teórico para o desenvolvimento de Linguagens Formais;
Etc.
11..22 CCoonnjjuunnttoo,, EElleemmeennttoo && RReellaaççããoo ddee PPeerrtteennççaa
Os conceitos primitivos da Teoria de Conjuntos são:
Conjunto
Elemento
Relação de Pertença (ou Relação de Pertinência)
Não se pode definir um destes conceitos sem fazer referência aos demais. Com efeito:
Um conjunto é uma reunião de elementos segundo uma característica comum;
Um elemento é uma entidade que pertence a um conjunto;
A relação de pertença indica se um elemento pertence a um conjunto ou não. Se o elemento pertence ao conjunto é porque possui a característica de define aquele conjunto, e vice-versa.
Todos estes conceitos podem ser resumidos em uma expressão:
um elemento pertence a um conjunto.
11..22..11 EExxeemmppllooss São exemplos de conjuntos:
(a). A = { a }
(b). B = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... }
(c). C = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, ... }
(d). D = { Terra, Sol, Lua }
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Estruturas Algébricas 2
11..22..22 NNoottaaççõõeess A seguinte notação é a usual em Teoria de Conjuntos:
Elementos: são normalmente representados por letras latinas minúsculas
Exemplos: a, b, c, ...
Conjuntos: são normalmente representados por letras latinas MAIÚSCULAS
Exemplos: A, B, C, ...
Relação de Pertença: é representada pelo símbolo ∈, criado por Georg Cantor.
x ∈ A significa o elemento x pertence ao conjunto A
x ∉ A significa o elemento x não pertence ao conjunto A
11..22..33 OObbsseerrvvaaççõõeess IImmppoorrttaanntteess A definição de um conjunto é sempre feita através de uma igualdade “=”.
Quando definidos em termos de seus elementos, conjuntos são sempre representados por expressões entre chaves.
Exemplo: A = { 1, 2, 3 }
11..33 FFoorrmmaass ddee RReepprreesseennttaaççããoo ddee CCoonnjjuunnttooss
Há diversas formas de representação de conjuntos. Algumas são mais adequadas para a compreensão de propriedades e características. Outras, são necessárias para a demonstração de teoremas, comprovação de propriedades, ou mesmo, para simplificação da representação.
11..33..11 PPoorr EExxtteennssããoo Consiste em descrever, um a um, todos os elementos do conjunto. Em conjuntos com muitos ou mesmo infinitos elementos podem ser usadas expressões indicando a lei de formação dos elementos pertencentes ao conjunto.
11..33..11..11 EExxeemmppllooss (a). A = { C++, Delphi, Smalltalk, Java, ... }
(b). B = { análise, projeto, implementação, teste, correção, término }
(c). C = { 1, 3, 5 }
(d). D = { N, R, Q, I, C }
(e). E = { ( 2, sair da cama ), ( 4, acordar ), ( 3, escovar os dentes ), ( 1, abrir os olhos ) }
(f). F = { a, e, i, o, u }
(g). G = { (1, a), (3, b), (5, c) }
11..33..11..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: permite a visualização de todos os elementos do conjunto, facilitando
raciocínios de inspeção.
Pontos negativos: só é prática ao se trabalhar com conjuntos finitos e com poucos elementos.
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Estruturas Algébricas 3
11..33..22 PPoorr CCoommpprreeeennssããoo Consiste em descrever o conjunto através de uma propriedade lógica (uma proposição) comum a todos seus elementos.
11..33..22..11 EExxeemmppllooss
(a). C = { x / x ∈ N ∧ x é ímpar ∧ x ≤ 5 }
(b). F = { z / z é múltiplo de 4 }
(c). U = { T / T é conjunto }
(d). G = { ( x, y ) / x ∈ R ∧ y = x + 1 }
(e). Q = { x / x = nm ∧ m ∈ Z ∧ n ∈ Z* } = {
nm / m ∈ Z ∧ n ∈ Z* }
(f). S = { x / x ∈ N } ou, simplesmente, S = N
(g). P = { k / k = 2n ∧ n ∈ N }
11..33..22..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: sucinta, fácil de manipular, formal e útil para o desenvolvimento de raciocínios.
Permite representar conjuntos com muitos (ou infinitos) elementos.
Pontos negativos: não permite a visualização direta dos elementos, exige a determinação formal de uma proposição para a propriedade que define o conjunto.
11..33..33 PPoorr GGrrááffiiccooss Consiste em descrever o conjunto através de gráficos cartesianos.
11..33..33..11 EExxeemmppllooss
(a). A = { x ∈ R / -1 ≤ x < 2 }
R-1 2
R
-1-2 110
(b). B = { ( x, y ) / x ∈ Z ∧ y ∈ R }
Z
11..33..33..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: São úteis para a compreensão de propriedades gráficas.
Pontos negativos: Em geral são difíceis de construir.
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Estruturas Algébricas 4
11..33..44 PPoorr DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn Diagramas de Venn são representações esquemáticas de conjuntos.
11..33..44..11 EExxeemmppllooss A
3
21
(a). A = { 1, 2, 3 }
(b). B = { 1, 2, 4 } C
3
6
B
4
21C = { 2, 3, 4, 6 }
11..33..44..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: São úteis apenas para a compreensão de propriedades através de exemplos.
Pontos negativos: Não podem ser usados em provas formais, pois não são capazes de representar propriedades de forma abstrata. Somente podem representar conjuntos finitos e discretos1.
11..44 CCoonnjjuunnttoo VVaazziioo && CCoonnjjuunnttoo UUnniivveerrssoo
Outros elementos primitivos da Teoria de Conjuntos são
o conjunto universo
o conjunto vazio
O conjunto universo é definido como o conjunto que contém todos os conjuntos. Isto é, é um conjunto do qual são tirados todos os elementos usados para a criação dos conjuntos com os quais se está trabalhando. Sua existência é fundamental para garantir a coerência da Teoria de Conjuntos.
O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos. Sua existência também é fundamental para a definição das operações entre conjuntos.
11..44..11 NNoottaaççõõeess
Conjunto Universo: usualmente representado pelo símbolo U.
Conjunto Vazio: usualmente representado pelos símbolos ∅ ou { }.
11..44..22 OObbsseerrvvaaççõõeess
Há muitas formas de se definir, por compreensão, estes conjuntos. Por exemplo:
U = { x / x = x } = { x / x existe }
1 Isto é, cujos elementos não necessitam ser dispostos de forma contígua, ou seja, podem ser “contados com os dedos”. Formalmente diz-se que a propriedade de densidade não é satisfeita, ou seja, que, chegará o momento que entre dois elementos quaisquer do conjunto não será possível encontrar outro elemento do mesmo conjunto. Por exemplo, no conjunto dos números naturais, N, não é possível encontrar outro número natural entre 2 e 3. O mesmo acontece com todos os naturais consecutivos...
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Estruturas Algébricas 5
∅ = { x / x ≠ x } = { x ∈ R / x > x+1 } = { x ∈ R / x2 < 0 }
Observe também que: ∅ ≠ { ∅ }. Por quê?
11..44..33 UUmmaa PPrroopprriieeddaaddee IImmppoorrttaannttee Proposição: O conjunto vazio é único.
Demonstração2:
Sejam A1 e A2 dois conjuntos vazios.
A1 ⊆ A2 , pois (∀x) (x ∈A1 → x ∈ A2) é verdadeira, já que x ∈ A1 é sempre falso.
Da mesma forma, (∀x) (x ∈ A2 → x ∈ A1) é verdadeira; assim A2 ⊆ A1.
Portanto, (∀x) (x ∈ A1 ↔ x ∈ A2).
Logo, A1 = A2.
11..55 IInntteerrvvaallooss
Intervalos são conjuntos de números reais. Devido a sua importância e para facilitar sua escrita, foi adotada a seguinte notação:
Notação de Conjunto Notação de Intervalo
{ x ∈ R / a ≤ x ≤ b } [ a ; b ]
{ x ∈ R / a < x ≤ b } ( a ; b ]
] a ; b ]
{ x ∈ R / a ≤ x < b } [ a ; b )
[ a ; b [
{ x ∈ R / a < x < b } ( a ; b )
] a ; b [
2 Explicação da Demonstração:
Vamos demonstrar isto através de um raciocínio denominado “por contradição” ou “redução ao absurdo”. A idéia da prova é simples, apesar de os detalhes poderem ser um pouco indigestos para o leitor de primeira viagem...
Queremos mostrar que o conjunto vazio é único. Pois bem:
Inicialmente, vamos supor, por mais absurdo que seja, que existam dois conjuntos vazios diferentes;
Em seguida, vamos chegar à conclusão de que isto não pode acontecer. Então estaremos mostrando que não há outra alternativa a não ser existir somente um conjunto vazio.
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Estruturas Algébricas 6
22 RReellaaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
O relacionamento entre conjuntos é o que torna a Teoria de Conjuntos útil. Este tópico será oportunamente abordado de forma mais geral posteriormente. Por hora, será suficiente compreender as relações básicas apresentadas a seguir. No entanto, é fundamental compreender que o relacionamento entre conjuntos é sempre feito através de proposições. Isto é, uma relação entre dois entes sempre gera uma proposição.
22..11 IInncclluussããoo
Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está contido em B se e somente se qualquer elemento de A for também elemento de B. Nestas condições escreve-se A ⊆ B.
Em notação lógica:
A ⊆ B ⇔ (∀x) (x ∈ A → x ∈ B)
22..11..11 EExxeemmppllooss
(a). N ⊆ Z
(b). { x ∈ Z / (∃ y ∈ Z )( y = 6x ) } ⊆ { x ∈ Z / (∃ y ∈ Z )( y = 2x ) }
(c). { x / x é par } ⊆ { x / 2x∈ Z }
22..11..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
∅ ⊆ A
A ⊆ A (Reflexividade)
( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (Transitividade)
Prova:
Seja A um conjunto. Então: ∅ ⊆ A
Pela definição de inclusão temos que (∀x)( x ∈ ∅ → x ∈ A ).
Como a primeira proposição é falsa, então a implicação é verdadeira.
Logo, ∅ ⊆ A.
(Reflexividade)
Seja A um conjunto. Então: A ⊆ A
(∀x)( x ∈ A → x ∈ A ), já que x ∈ A é uma proposição verdadeira, então a implicação é verdadeira.
(Transitividade)
Sejam A, B, C conjuntos. Então A ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C
Seja x ∈ A. Como A ⊆ B, temos que x ∈ B. Da mesma forma, como x ∈ B e B ⊆ C, então x ∈ C.
Logo, podemos concluir que A ⊆ C.
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Estruturas Algébricas 7
22..11..33 EExxeemmppllooss
(a). N ⊆ Z ∧ Z ⊆ Q ⇒ N ⊆ Q
(b). { x / x é par } ⊆ { x / 2x∈ Z } ∧ { x /
2x∈ Z } ⊆ { x / x é par } ⇔ { x / x é par } = { x /
2x∈ Z }
22..11..44 OObbsseerrvvaaççõõeess
Pode-se também dizer que B contém A, denotando por B ⊇ A.
Em Teoria da Computação é muito comum se utilizar a notação em vez de ⊆. Isto porque a intepretação da inclusão é feita de maneira diferente:
Ao se escrever A ⊆ B está-se dizendo que B contém todos os elementos de A e, provavelmente, mais alguns.
Ao se escrever A B, que matematicamente é a mesma coisa, está-se dando a interpretação de que A possui mais qualidade de informação que B, pois possui menos elementos que B.
22..22 IInncclluussããoo EEssttrriittaa
Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está estritamente contido em B se e somente se qualquer elemento de A for também elemento de B, mas A for diferente de B. Nestas condições escreve-se A ⊂ B.
Em notação lógica:
A ⊂ B ⇔ (∀x)( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( ∃y ∈ B / y ∉ A )
22..22..11 EExxeemmppllooss
(a). N ⊂ Z
(b). Z ⊂ R
22..22..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
A ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ A
( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (Transitividade)
Não provaremos as propriedades acima pelo fato de as demonstrações serem semelhantes às apresentadas para a relação de Inclusão.
22..33 IIgguuaallddaaddee
Dois conjuntos, A e B, são iguais se e somente se tiverem exatamente os mesmos elementos. Nestas condições escreve-se A = B.
Em notação lógica:
A = B ⇔ (∀x)( x ∈ A ↔ x ∈B )
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Estruturas Algébricas 8
22..33..11 EExxeemmppllooss
(a). { 3− , 3 } = { x / } 3x2 =
(b). { -4, -2, -1, 1, 2, 4 } = { x / x é divisor de 4 }
(c). { x / x é par } = { x / 2x∈ Z }
22..33..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
A = A (Reflexividade)
A = B ⇒ B = A (Simetria)
( A = B ) ∧ ( B = C ) ⇒ A = C (Transitividade)
Prova:
(Reflexividade)
Seja A um conjunto. Então: A = A
Para todo x, x ∈ A se e somente se x ∈ A. Como a primeira proposição é verdadeira, logo a equivalência é verdadeira.
(Simetria)
Sejam A e B conjuntos tais que A = B. Então: B = A
Como A = B para todo x, x ∈ A se e somente se x ∈ B. Pela equivalência lógica ( p ↔ q ) ⇔
⇔ ( p → q ) ∧ (q → p), vem que (∀x ) ( x ∈ A → x ∈ B ). Assim, temos que B ⊆ A. Desta forma,
A ⊆ B e B ⊆ A. Logo, B = A.
(Transitividade)
Sejam A, B, C conjuntos, tais que A = B e B = C ⇒ A = C
Como A = B, pela hipótese, então A ⊆ B e B ⊆ A. Tomando B = C, temos que B ⊆ C e C ⊆ B. Como A ⊆ B e B ⊆ C, pela propriedade transitiva da inclusão, vem que A ⊆ C e C ⊆ A. Logo, A = C.
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Estruturas Algébricas 9
33 OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
Relações e Operações não são sinônimos. Enquanto que as relações ( igualdade, inclusão, ... ) são essencialmente formas de comparar conjuntos, as operações são formas de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos já existentes. Na verdade, a definição de operações entre conjuntos permite-nos construir uma Estrutura Algébrica de Conjuntos, de forma semelhante à Estrutura Algébrica das Proposições.
Finalmente, é importante notar que uma operação entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como resposta.
33..11 UUnniiããoo
Dados dois conjuntos, A e B, a operação de união gera um novo conjunto cujos elementos são provenientes tanto de A, como de B. O conjunto união de A e B é denotado por A ∪ B.
Em notação lógica:
A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
33..11..11 EExxeemmppllooss
(a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A ∪ B = { a, b, c, d }
(b). Sejam A = ∅ e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∪ B = { 1, 2, 4 }
(c). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∪ B =U
33..11..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
A ∪ B = B ∪ A (Comutatividade)
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (Associatividade)
A ∪ A = A (Idempotência)
A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
A ∪ U = U (elemento absorvente)
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de união, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.
33..11..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C
pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a união de A com B como a de B com C.
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Estruturas Algébricas 10
33..11..44 EExxeemmppllooss
33..11..44..11 EExxeemmpplloo
N ∪ Z = Z, pois N ⊆ Z
Seja x ∈ N ∪ Z. Então, x ∈ N, ou x ∈ Z. Como N ⊆ Z, então podemos concluir que x ∈ Z.
Por outro lado, se x ∈ Z, então x ∈ N ∪ Z.
Logo, N ∪ Z = Z
33..11..44..22 EExxeemmpplloo
Mostre que, sendo A e B conjuntos, então A ⊆ A ∪ B.
Demonstração:
Sejam A e B conjuntos.
(∀x) (x∈A* ⇒ x∈A ∨ x∈B ⇔ x ∈ A ∪ B)
* p ⇒ p ∨ q
33..11..44..33 EExxeemmpplloo
Mostre que ( ∀ A, B )( A ⊆ B → A ∪ B = B ).
Demonstração:
Sejam A e B conjuntos, tais que
Caso 1: Seja x ∈ A ∪ B.
Então x ∈ A ou x ∈ B.
Como x ∈ B, temos que A ∪ B ⊆ B.
Logo, A ∪ B = B
Caso 2: Seja x ∈ B.
Como B ⊆ A ∪ B e A ∪ B ⊆ B.
Logo, A ∪ B = B
Logo ( ∀ A, B )( A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B ).
33..22 IInntteerrsseeççããoo
Dados dois conjuntos, A e B, a operação de interseção gera um novo conjunto cujos elementos devem ser os comuns a A e B. O conjunto interseção de A e B é denotado por A ∩ B.
Em notação lógica:
A ∩ B = { x ∈U / x ∈ A ∧ x ∈ B }
33..22..11 EExxeemmppllooss
(a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A ∩ B = { a, b }
(b). Sejam A = { ☺, , } e B = { , }. Então A ∩ B = ∅
(c). Sejam A = ∅ e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∩ B = ∅
(d). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∩ B = { 1, 2, 4 }
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Estruturas Algébricas 11
33..22..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
A ∩ B = B ∩ A (Comutatividade)
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (Associatividade)
A ∩ A = A (Idempotência)
A ∩ ∅ = ∅ (elemento absorvente)
A ∩ U = A (elemento neutro)
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de interseção, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.
33..22..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩C
pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a interseção de A com B como a de B com C.
33..22..44 EExxeemmppllooss
33..22..44..11 EExxeemmpplloo
Mostre que ( ∀ A )( A ∩ ∅ = ∅ ).
Demonstração:
Seja A um conjunto. Então A ∩ ∅ = ∅
Vamos supor que A ∩ ∅ ≠ ∅. Então existe x ∈ A ∩ ∅.
Assim, x ∈ A e x ∈ ∅. Porém, x ∈ ∅ é falso. Então x ∈ A ∩ ∅ é falso.
Logo, A ∩ ∅ = ∅
33..22..44..22 EExxeemmpplloo
Mostre que ( ∀ A, B )( A ⊆ B → A ∩ B = A ).
Demonstração:
Sejam A e B conjuntos, tais que A ⊆ B. Mostraremos a tese observando que
A ∩ B = A ⇔ ( A ∩ B ⊆ A ) ∧ ( A ⊆ A ∩ B ).
Caso 1: Seja x ∈ A ∩ B. Então:
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A
Logo, A ∩ B ⊆ A
Caso 2: Seja x ∈ A.
Se x ∈ A, então, pela hipótese, x ∈ B, pois A ⊆ B ⇔ ∀x, x ∈ A → x ∈ B ⇔ V.
Logo, A ⊆ B ⇒ A ⊆ A ∩ B
Logo ( ∀ A, B )( A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A ).
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Estruturas Algébricas 12
33..33 PPrroopprriieeddaaddeess CCoommuunnss àà UUnniiããoo ee àà IInntteerrsseeççããoo
Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (Distributividade – da união em relação à interseção)
( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (Distributividade – da interseção em relação à união)
( A ∪ B ) ∩ A = A (Absorção)
( A ∩ B ) ∪ A = A (Absorção)
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da associação com propriedades dos operadores lógicos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.
33..44 DDiiffeerreennççaa
Dados dois conjuntos, A e B, a operação de diferença entre A e B gera um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a A, mas não pertencem a B. O conjunto diferença de A e B é denotado por A – B.
Em notação lógica:
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
33..44..11 EExxeemmppllooss (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 4 }. Então A – B = { 1, 3 }
(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A – B = { 1, 2, 3 }
(c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { ♦, ♥, ♠, ♣ }. Então A – B = { 1, 2, 3 }
(d). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = ∅. Então A – B = { 1, 2, 3 }
(e). Sejam A = { x ∈ N / x é múltiplo de 5 } e B = { x ∈ N / x é par }. Então
A – B = { 5, 15, 25, 35, ... }
33..44..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
A – B ⊆ A
A ∩ B = ∅ ⇔ A – B = A
A ∩ B = ∅ ∧ A ∪ B = C ⇔ A = C – B
( A – B ) ∩ B = ∅
( A – B ) ∪ B = A ∪ B
( A ∪ B ) – C = ( A – C ) ∪ ( B – C ) (Distributividade)
( A ∩ B ) – C = ( A – C ) ∩ ( B – C ) (Distributividade)
A – ∅ = A
A – U = ∅
∅ – A = ∅
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.
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Estruturas Algébricas 13
33..44..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos,
A – B ≠ B – A, em geral.
33..55 CCoommpplleemmeennttaaççããoo
Sejam A e E conjuntos tais que A ⊆ E. Então:
Define-se o conjunto complementar de A em relação a E como o conjunto formado por todos os elementos de E que não pertencem a A. Neste caso, o conjunto complementar é denotado por CEA , por AE’ ou por EA .
Em notação lógica:
CEA = { x / x ∈ E ∧ x ∉ A }
Um caso particular, mas muito útil, é o conjunto complementar de A em relação ao conjunto universo. Neste caso, temos E = U. Então o conjunto complementar é denotado por CA , por A’ ou por A .
Em notação lógica:
A’ = { x ∈ U / x ∉ A }
Observação: A Complementação é um caso particular (muito importante) da operação de diferença.
33..55..11 EExxeemmppllooss
(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2 }. Então CBA não está definido, pois A ⊄ B.
(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 1,2, 3, 4, 5, 6 }. Então CBA = {4, 5, 6}
(c). Seja A = { 1, 2, 3 }. Então AN’ = { 0, 4, 5, 6, ...}
33..55..22 PPrroopprriieeddaaddeess
Sejam A, B e E conjuntos tais que A ⊆ E e B ⊆ E. Então são válidas as seguintes propriedades:
Propriedade geral Em particular
( AE’ )E’ = A. ( A’ )’ = A.
A ⊆ B ⇒ BE’ ⊆ AE’ A ⊆ B ⇒ B’ ⊆ A’
AE’ ∪ A = E A’ ∪ A = U
AE’ ∩ A = ∅ A’ ∩ A = ∅
( U )’ = ∅
( ∅ )’ = U
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.
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Estruturas Algébricas 14
33..55..33 EExxeemmppllooss
33..55..33..11 EExxeemmpplloo
Mostre que ( U )’ = ∅.
Demonstração:
Pela definição de conjunto complementar, temos que ( U )' é o complementar de ( U )em relação ao conjunto Universo. Como U é o próprio conjunto universo.
Logo, só podemos ter ( U )' = ∅
33..55..33..22 EExxeemmpplloo
Mostre que ( ∀ A, B )( A ∩ B ∩ A’ = ∅ )
Demonstração:
Seja x ∈ A ∩ B. Assim x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ A, pela definição de complementar, x ∉ A'. Assim, podemos concluir que se x ∈ A ∩ B, então x ∉ A'.
Logo, A ∩ B ∩ A' = ∅
33..55..44 UUmmaa IIddeennttiiddaaddee FFuunnddaammeennttaall
Sejam A e B conjuntos. Então A – B = A ∩ B’.
Demonstração:
Seja x ∈ A – B, então x ∈ A e x ∉ B. Assim, x ∈ B'. Como x ∈ A e x ∈ B', então x ∈ A ∩ B'.
33..66 LLeeiiss ddee DDee MMoorrggaann
Sejam A e B conjuntos. São válidas as seguintes propriedades:
( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’
( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’
Vamos demonstrar a primeira destas propriedades. A demonstração da outra é similar e poderá ser feita seguindo os passos aqui apresentados.
Demonstração:
Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ ( A ∪ B )’. Então: x ∈ A'∩B'
x ∈ ( A ∪ B )’ ⇔ x ∈ U ∧ x ∉ A ∪ B.
Seja x ∈ (A ∪ B)', pela definição de complementar, x ∉ A ∪ B. Então x ∈ U, mas x ∉ A e x ∉ B. Assim, x ∈ A' e x ∈ B'.
Logo, x ∈ A' ∩ B'.
33..77 DDiiffeerreennççaa SSiimmééttrriiccaa
Dados dois conjuntos, A e B, define-se a diferença simétrica entre A e B como o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a apenas um conjuntos. Isto é, o conjunto resultante da diferença simétrica entre A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B, juntamente com os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. A notação utilizada para representar este conjunto é A ∆ B.
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Estruturas Algébricas 15
Em notação lógica:
A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } = (A – B) ∪ (B – A)
33..77..11 EExxeemmppllooss
(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4 }. Então A ∆ B = { 1 } ∪ { 4 }
(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A ∆ B = { 1, 2, 3 } ∪ { 4, 5, 6 }
(c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 6, 9 }. Então A ∆ B = {1, 2 } ∪ { 6, 9}
33..77..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )
A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A )
A ∆ B = B ∆ A (Comutatividade)
( A ∆ B ) ∪ C = ( A ∆ C ) ∩ ( B ∆ C ) (Distributividade)
( A ∆ B ) ∩ C = ( A ∆ C ) ∪ ( B ∆ C ) (Distributividade)
A ∆ ∅ = A
A ∩ B = ∅ ⇔ A ∆ B = A ∪ B
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.
33..77..33 EExxeemmpplloo Mostre que
( ∀ A, B )( ( A – B ) ∪ ( B – A ) = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A ) )
Demonstração:
Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Então x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A).
Como x ∈ ( A – B ), então x ∈ A e x ∉ B. Assim, x ∈ A ∪ B e x ∉ B ∩ A.
Logo, x ∈ (A ∪ B) – (B ∩ A).
Um outro modo:
Demonstração:
Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ (A ∪ B) – (B ∩ A). Então x ∈ (A ∪ B) e x ∉ (B ∩ A).
Como x ∈ (A ∪ B), então x ∈ A ou x ∈ B. Porém, x ∉ (B ∩ A), então x ∉ B ou x ∉ A.
Logo, x ∈ (A – B) ∪ (B – A).
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Estruturas Algébricas 16
44 PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo
O produto cartesiano de conjuntos ocupa lugar de destaque dentre as operações definidas na Teoria de Conjuntos, principalmente no que toca as suas aplicações à Informática. Isto porque permite definir conjuntos de natureza diferente dos originais, através da associação ordenada de seus elementos. Aplicações comuns do produto cartesiano são, entre outras:
gráficos;
especificação de relações entre conjuntos de dados;
representação de regras lógicas através de relações.
44..11 SSeeqqüüêênncciiaass OOrrddeennaaddaass ddee EElleemmeennttooss
Seqüências ordenadas de elementos (ou n-uplas ordenadas) são arranjos de elementos de forma seqüencial. Há diversas formas de se representar tais seqüências, tais como vetores ou matrizes linha. Na Teoria de Conjuntos, a representação adequada para uma seqüência ordenada de n elementos é dada da seguinte forma:
( a1, a2, a3, ..., an )
Vale ressaltar que as seqüências ( a1, a2, a3, ..., an ) e ( a2, a1, a3, ..., an ) não são iguais, por exemplo. Além disso, observe-se que a natureza dos elementos ai (1 ≤ i ≤ n ) não precisa ser a mesma. Isto é, a1 pode ser um número, enquanto que a2 pode ser um nome, por exemplo. O importante é perceber que cada posição define a natureza do elemento que ali pode ser colocado.
O conceito de seqüência ordenada é fundamental em Informática, pois é usado como fundamento para a definição de listas ordenadas, de vetores e de registros de bancos de dados. Por exemplo, os registros de banco de dados
Número Nome Idade Cidade
1 João 20 Porto Alegre
2 Maria 19 Caxias do Sul
Podem ser conceitualmente representados pelas tetra-uplas:
( 1, João, 20, Porto Alegre )
(2, Maria, 19, Caxias do Sul )
Matematicamente, os tipos mais usados de seqüências ordenadas são:
Pares Ordenados: Um par ordenado é uma seqüência ordenada de dois elementos.
Exemplos: ( 1, 2 ),
( a, 1 ),
( Informática, 401 ),
( ( nome, endereço ), código )
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Estruturas Algébricas 17
Ternas Ordenadas: Uma terna ordenada é uma seqüência ordenada de três elementos.
Exemplos: ( 1, 2, 3 ),
( a, 1, v ), ( Informática, 401, PUCRS ),
( ( nome, endereço ), código, saldo )
44..22 PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo ddee DDooiiss CCoonnjjuunnttooss
44..22..11 DDeeffiinniiççããoo Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B é o conjunto formado por pares ordenados cujo primeiro elemento é proveniente de A e o segundo, de B. Este conjunto é denotado por A x B.
Em notação lógica:
A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B }
44..22..22 EExxeemmppllooss (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5 }. Então:
A x B = { ( 1, 4 ), ( 1, 5 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 4 ), ( 3, 5 ) }
B x A = { ( 4, 1 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 5, 1 ), ( 5, 2 ), ( 5, 3 ) }
Estes conjuntos podem ser representados pelos gráficos abaixo:
Em particular, observe que A x B ≠ B x A.
(b). Sejam A = [ 1, 2 ] e B = [ 3, 4 ). Então, o produto A x B pode ser representado pelo gráfico ao lado.
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Estruturas Algébricas 18
(c). O plano cartesiano é dado pelo conjunto R x R.
Observação: Uma outra notação para R x R é R2, mas isto nada tem a ver com elevar os números reais ao quadrado! É apenas uma notação!!!
(d). Sejam A = { -1, 1 } e B = [ -2, 3 ]. O produto cartesiano A x B é o conjunto representado no gráfico ao lado.
(e). Sejam A = ∅ e B = [ 2, 3 ]. Então:
A x B = ∅
B x A = ∅
44..22..33 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B, C e D conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:
A x ( B ∪ C ) = ( A x B ) ∪ ( A x C )
A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C )
A ⊆ B ⇒ A x C ⊆ B x C
( A x B ) ∩ ( C x D ) = ( A ∩ C ) x ( B ∩ D )
A x B = ∅ ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ )
A x B = B x A ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) ∨ ( A = B )
Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.
44..22..44 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos,
A x B ≠ B x A, em geral.
44..22..55 EExxeemmppllooss
44..22..55..11 EExxeemmpplloo
Determine { x ∈ N / ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 } x { x ∈ N / ( x – 2 )( x – 3 ) = 0 }.
Solução: { 1, 3 } x { 2, 3 } = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) }
44..22..55..22 EExxeemmpplloo
Encontre o valor lógico da proposição ( ∀ A, B, C )( A x C = B x C → A = B )
Solução:
Seja ( x, y ) ∈ A x C. Então x ∈ A e y ∈ C. Como A x C = B x C, então ( x, y ) ∈ B x C. Assim, x ∈ B e y ∈ C.
Logo, A = B.
Logo, a proposição é verdadeira.
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Estruturas Algébricas 19
44..22..55..33 EExxeemmpplloo
Represente graficamente o subconjunto do produto cartesiano R2 definido por S = { ( x, y ) / x+y ≥ 1 }.
Solução:
44..33 OObbsseerrvvaaççããoo:: PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo ddee TTrrêêss CCoonnjjuunnttooss
Sejam A, B e C conjuntos. O produto cartesiano de A, B e C é o conjunto formado por ternas ordenadas cujo primeiro elemento é proveniente de A, o segundo, de B e o terceiro, de C. Este conjunto é denotado por A x B x C.
Em notação lógica:
A x B x C = { ( x, y, z ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C }
Note que ( A x B ) x C ≠ A x B x C
Da mesma forma A x ( B x C ) ≠ A x B x C
Por quê ? Observe que os elementos do conjunto gerado por A x ( B x C ) serão, na verdade, pares ordenados! No entanto, os elementos do conjunto gerado pela operação de produto cartesiano triplo, A x B x C, serão ternas ordenadas. Isto fica mais fácil de se entender se descrevermos os conjuntos em termos de seus elementos:
Utilizaremos, apenas por simplicidade, a variável x para referir aos elementos do conjunto A, a variável y para referir aos elementos do conjunto B e a variável z para referir aos de C. Isto é:
A = { x / x ∈ A }
B = { y / y ∈ B }
C = { z / z ∈ C }
Então: B x C = { ( y, z ) / y ∈ B ∧ z ∈ C }
Ora, mas
A x ( B x C ) = { ( x, w ) / x ∈ A ∧ w ∈ B x C }
= { ( x, ( y, z ) ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C }
Da definição acima, temos que
A x B x C = { ( x, y, z ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C }
Observe-se, então, que a proposição que define os conjuntos é a mesma, mas a estrutura dos elementos, não!
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Estruturas Algébricas 20
55 GGuuiiaa ddee CCoonnssuullttaa RRááppiiddaa
55..11 NNoottaaççããoo
Conjuntos
Representados sempre usando chaves. A única exceção é feita aos intervalos, que possuem notação própria.
Os nomes são dados por letras maiúsculas. A atribuição é feita pelo sinal de igualdade.
Exemplo: A = { 1, 2, 3 }.
Elementos Representados por letras minúsculas. Um elemento pertence a um conjunto.
Exemplo: x ∈ R.
∈ Relação de pertença. Um elemento pertence a um conjunto.
∉ Negação da relação de pertença. Indica que um elemento não pertence a um conjunto. Escrever x ∉ A é o mesmo que escrever ¬ ( x ∈ A ).
= Relação de igualdade.
A = B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A ↔ x ∈ B )
⊆ Relação de inclusão.
A ⊆ B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A → x ∈ B )
⊂ Relação de inclusão estrita
A ⊂ B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( ∃ y )( y ∈ B ∧ y ∉ A )
⊄ Negação da relação de inclusão.
A ⊄ B ⇔ ( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∉ B )
∪ Operação de união.
A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
∩ Operação de Interseção.
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
– Operação de Diferença.
A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
AE’ ou CEA Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto E.
A ⊆ E ⇒ AE’ = E – A = { x / x ∈ E ∧ x ∉ A }
A’ ou CA Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto Universo.
A’ = U – A = { x / x ∉ A }
∆ Operação de Diferença Simétrica.
A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) }
x Operação de Produto Cartesiano de dois conjuntos.
A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B }
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Estruturas Algébricas 21
55..22 PPrroopprriieeddaaddeess ddaass RReellaaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
Sejam A, B e C conjuntos. Seja ∅ o conjunto vazio. Então:
(1). A = A (Reflexividade)
(2). A = B ⇒ B = A (Simetria)
(3). ( A = B ) ∧ ( B = C ) ⇒ A = C (Transitividade)
(4). ∅ ⊆ A
(5). A ⊆ A (Reflexividade)
(6). ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (Transitividade)
(7). ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ A ) ⇔ A = B (Anti-Simetria)
(8). A ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ A
(9). ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (Transitividade)
55..33 PPrroopprriieeddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddaass OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
Sejam A, B e C conjuntos. Sejam ∅ o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então:
(1). A ∪ A = A (Idempotência ou Idemponência)
(2). A ∪ B = B ∪ A (Comutatividade)
(3). ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (Associatividade)
(4). A ∪ ∅ = A
(5). A ∪ U = U
(6). A ∩ A = A (Idempotência ou Idemponência)
(7). A ∩ B = B ∩ A (Comutatividade)
(8). ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (Associatividade)
(9). A ∩ ∅ = ∅
(10). A ∩ U = A
(11). ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (Distributividade – da união em relação à interseção)
(12). ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (Distributividade – da interseção em relação à união)
(13). ( A ∪ B ) ∩ A = A (Absorção)
(14). ( A ∩ B ) ∪ A = A (Absorção)
(15). A’ ∪ A = U
(16). A’ ∩ A = ∅
(17). ( A’ )’ = A
( U )’ = ∅
( ∅ )’ = U
(18). ( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’ (Lei de De Morgan)
(19). ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’ (Lei de De Morgan)
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Estruturas Algébricas 22
55..44 PPrroopprriieeddaaddeess AAuuxxiilliiaarreess ddaass OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss
Sejam A, B e C conjuntos. Sejam ∅ o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então:
(1). A – B ⊆ A
(2). A ∩ B = ∅ ⇔ A – B = A
(3). A ∩ B = ∅ ∧ A ∪ B = C ⇔ A = C – B
(4). ( A – B ) ∩ B = ∅
(5). ( A – B ) ∪ B = A ∪ B
(6). ( A ∪ B ) – C = ( A – C ) ∪ ( B – C )
(7). ( A ∩ B ) – C = ( A – C ) ∩ ( B – C )
(8). A – ∅ = A
(9). A – U = ∅
(10). ∅ – A = ∅
(11). ( AE’ )E’ = A.
(12). A ⊆ B ⇒ BE’ ⊆ AE’
(13). A ⊆ B ⇒ B’ ⊆ A’
(14). AE’ ∪ A = E
(15). AE’ ∩ A = ∅
(16). A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )
(17). A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A )
(18). A ∆ B = B ∆ A
(19). ( A ∆ B ) ∪ C = ( A ∆ C ) ∩ ( B ∆ C )
(20). ( A ∆ B ) ∩ C = ( A ∆ C ) ∪ ( B ∆ C )
(21). A ∆ ∅ = A
(22). A ∩ B = ∅ ⇔ A ∆ B = A ∪ B
55..55 PPrroopprriieeddaaddeess ddoo PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo
Sejam A, B e C conjuntos. Seja ∅ o conjunto vazio. Então:
(1). A x ( B ∪ C ) = ( A x B ) ∪ ( A x C )
(2). A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C )
(3). A ⊆ B ⇒ A x C ⊆ B x C
(4). ( A x B ) ∩ ( C x D ) = ( A ∩ C ) x ( B ∩ D )
(5). A x B = ∅ ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ )
(6). A x B = B x A ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) ∨ ( A = B )
Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto
Estruturas Algébricas 23
66 EExxeerrccíícciiooss
1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos :
(a) { x ∈ R / | x | < 2 }
(b) { x ∈ N / ( ∀ y ) ( y é par → x ≠ y ) }
2. Determine os conjuntos A e B tais que A' = { f, g, h, l }, A ∩ B = { d, e } e A ∪ B = { a, b, d, e, f }.
3. Sejam A, B e C conjuntos tais que A ⊆ B e B ⊆ C. Sejam a, b, c, d, e, f ∈ U tais que a ∈ A, b ∈ B-A, c ∈ C-B, d ∉ A, e ∉ B e f ∉ C. Quais das afirmações abaixo são corretas?
(a) a ∈ C (b) b ∈ A (c) c ∉ A
(d) b ∈ B (e) e ∉ A (f) f ∉ A
4. Sejam A = { ( x, y ) / ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ) } e B = { ( x, y ) / ( x – 1 )2 + ( y – 4 )2 ≤ 25 } .Prove que A ⊆ B.
Dica: Pense em termos de circunferências. As fórmulas você encontra no seu material de 2º Grau.
5. programa QUAD encontra e imprime soluções de equações quadráticas da forma a.x2 + b.x +c = 0. O programa PAR lista todos os inteiros da forma -2n a 2n, para cada n dado. Seja Q o conjunto dos valores de saída de QUAD e E o conjunto dos valores de saída de PAR. Mostre que para a = 1 , b = -2 ,c = -24 e n =50 , Q ⊆ E.
6. Para cada uma das sentenças a seguir, encontre as condições mais gerais possíveis para os conjuntos A e B de modo a tornar as sentenças verdadeiras:
(a) A ∪ B = A (b) A ∪ ∅ = ∅ (c) A ∪ B ⊆ A ∩ B
(d) A ∩ B = A (e) B - A = ∅
7. Sejam A e B dois conjuntos. Prove que: A ⊆ B → A ∩ B = A.
8. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que:
(a) A - B = B' - A'
(b) A ∪ ( B - C ) = ( A ∪ B ) - ( C - A )
(c) ( A - B )' = A' ∪ B
9. Sejam A, B e C conjuntos. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta.
(a) A ∩ B = C ∩ B → B - A = B – C
(b) A ∪ ( B - A ) = A ∪ B
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Estruturas Algébricas 24
(c) A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C
(d) ( A' ∪ B' )' = A ∩ B
(e) ( A ∪ B ) - C = A ∪ ( B - C )
(f) ( A ∪ B )' = B' ↔ A ⊆ B
(g) ( A ∪ B ) ∩ B' = A ↔ A ∩ B = ∅
(h) A ∩ B = ∅ → A ⊆ B'
(i) A - B = A - C ↔ B = C
(j) A x B = B x A ↔ A = B
(k) ( A x C ) ∪ ( B x C ) = ( A ∪ B ) x C
(l) ( A ∪ B ) ∩ C = A ∪ ( B ∩ C )
(m) A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )
(n) A ∆ B ⊆ A ∪ B
10. Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 }, B = [-2,1] e C = { x ∈ R / x2 + 3.x + 2 ≥ 0 }. Represente graficamente os produtos cartesianos:
(a) A x B (b) C x B
(c) C x C (d) B x C
Seja A um conjunto. Chamamos de Conjunto das Partes de A ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Notação: P(A)
Ex.: A = { 1, 2 } P(A) = { ∅, {1}, {2}, A }
11. Sejam os conjuntos A = { 1 } e B = { 2, 3 }. Determine:
(a) P( A × B ) (b) P( A × B ) × B (c) CDxD AxB onde D = { n ∈ N | n < 8 }
12. De acordo com o nosso uso da palavra conjunto, se A é um subconjunto do conjunto universo S, então qualquer elemento de S ou pertence ou não pertence a A. Em outras palavras, a probabilidade de um elemento x de S pertencer a A é 1 (quando x é um elemento de A) ou 0 (quando x não é um elemento de A) .A é um conjunto FUZZY se todo elemento de S tem a probabilidade p, 0 ≤ p ≤ 1, de ser um elemento de A. A probabilidade p associada a x é uma estimativa da possibilidade de que x possa pertencer a A quando a composição de A é desconhecida. Operações de conjuntos podem ser realizadas com conjuntos FUZZY da seguinte maneira: “Se o elemento x tem a probabilidade p1 de pertencer a A e a probabilidade p2 de pertencer a B, então a probabilidade de x ser um elemento de A ∪ B é dada por p1 + p2 – p1.p2.”
Seja S um conjunto de possíveis agentes causadores de doenças,
S = { genética, vírus, nutrição, bactéria, ambiente }.
Os conjuntos FUZZY "AIDS" e "mal de ALZHEIMER" são definidos como:
AIDS = { genética, 0.2; vírus, 0.8; nutrição, 0.1; bactéria, 0.4; ambiente, 0.3 } e
ALZHEIMER = { genética, 0.7; vírus, 0.4; nutrição, 0.3; bactéria, 0.3; ambiente, 0.4 }
Encontre o conjunto FUZZY AIDS ∪ ALZHEIMER
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77 RReessppoossttaass ddooss EExxeerrccíícciiooss
1.
(a). ( -2; 2 ) = { x ∈ R / -2 < x < 2 }
(b). { 1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ... } = { x / x = 2n + 1, n ∈ N }
2. A = { a, b, d, e }, B = { d, e, f }
3. (a). V (b). F (c). F (d). V (e). V (f). V
4. Seja ( x ,y ) ∈ A. Então ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ).
Neste caso temos que ( ( x –1 )2 + ( y – 4 )2 )1/2 = 3 ,
ou seja ( x – 1 )2 + ( y – 4 )2 = 9 ≤ 25.
Logo ( x, y ) ∈ B.
Temos então que ∀ ( x, y ), ( x, y ) ∈ A → ( x, y ) ∈ B ⇔ A ⊆ B.
5. Q = { -4 , 6 } ⊆ { x ∈ Z / -100 ≤ x ≤ 100 } = E
6. (a) B ⊆ A (b) A = ∅ (c) A = B (d) A ⊆ B (e) B ⊆ A
7. Sejam A, B conjuntos tais que A ⊆ B. Seja x ∈ A.
Como A ⊆ B ,temos que x ∈ B.
Então x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B. Portanto, A ⊆ A ∩ B.
Por outro lado, temos que: x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B. Portanto x ∈ A.
Temos então que A ∩ B ⊆ A. Desta forma podemos concluir que A ∩ B = A.
Logo, A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A.
8.
(a). Sejam A, B conjuntos.
Então: B' - A'= { x / x∈ B'∧ x ∉A'} = { x / x ∉B ∧ x ∈ A } = { x / x ∈ A ∧ x ∉B } = A - B
Logo, A – B = B’ - A'.
(b). Sejam A, B, C conjuntos. Então:
∀x, x ∈ A ∪ ( B - C ) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B - C) ⇔ x ∈A ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ C ) ⇔
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( x ∈A ∨ x ∉ C ) ⇔ x ∈ (A ∪ B) - (C - A)
Logo, A ∪ ( B - C ) = (A ∪ B) - (C - A).
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Estruturas Algébricas 26
(c). Sejam A, B conjuntos.
∀x, x ∈ (A - B)' ⇔ x ∉ A - B ⇔ x ∉ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A' ∪ B
Logo, (A - B)' = A' ∪ B.
9.
OBSERVAÇÃO: Equivalências lógicas usadas em vários itens :
p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p )
( p ∧ q ) ∨ r ⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r )
( p ∨ q ) ∧ r ⇔ ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r )
p ∧ q ⇒ p
p ∨ f ⇒ p
p ⇒ p ∧ v
(a). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos tais que A ∩ B = C ∩ B.
B - A = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A }. Então:
Usando a equivalência lógica p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ), iremos separar a prova da proposição em duas etapas:
∀x, x ∈ B - A ⇔ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∉ A ∩ B, pois x ∉ A.
Como A ∩ B = C ∩ B ⇒ x ∉ C ∩ B.
Mas, como x ∈ B ⇒ x ∉ C. Portanto, x ∈ B ∧ x ∉ C ⇔ x ∈ B - C.
Temos então que ∀x, x ∈ B - A ⇒ x ∈ B - C. Logo B - A ⊆ B - C.
(Note que há implicações no raciocínio e, então, só vale a “ida”. Precisamos agora provar a “volta”!)
Por outro lado ∀x, x ∈ B - C ⇔ x ∈ B ∧ x ∉ C ⇒ x ∉ B ∩ C, pois x ∉ C.
Como A ∩ B = C ∩ B ⇒ x ∉ A ∩ B.
Mas, como x ∈ B ⇒ x ∉ A. Portanto, x ∈ B ∧ x ∉ A ⇔ x ∈ B - A.
Temos então que ∀x, x ∈ B - C ⇒ x ∈ B - A. Logo B - C ⊆ B - A.
Logo, A ∩ B = C ∩ B ⇒ B – A = B – C.
(b). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos.
∀x, x ∈ A ∪ ( B - A ) ⇔ x ∈ A ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) ⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ A ) ⇔
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ⇔ x ∈ A ∪ B.
Logo, A ∪ ( B - A ) = A ∪ B.
(c). A proposição é falsa. PROVA:
Existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 1, 3, 4 } e C = { 1, 5, 9 } tais que:
A ∩ B = { 1 } ∧ A ∩ C = { 1 }, ou seja: A ∩ B = A ∩ C.
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Mas B ≠ C.
Logo, ¬ (A ∩ B = A ∩ C → B = C).
Logo, a proposição (A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C) é falsa.
(d). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos. Então, usando uma das leis de De Morgan para conjuntos, temos:
( A' ∪ B' )' = ( A' )' ∩ (B' ) ' = A ∩ B.
Logo, ( A' ∪ B' )' = A ∩ B.
(e). A proposição é falsa. PROVA:
Existem os conjuntos A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5 } e C = { 1, 5 } tais que:
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } e
(A ∪ B) - C = {2, 3, 4 }
Mas:
B - C = { 4, 5 } - { 1, 5 } = { 4 }
A ∪ ( B - C ) = { 1, 2, 3, 4 }
Então, neste caso, (A ∪ B) - C ≠ A ∪ ( B - C ).
Logo, a proposição é falsa.
(f). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos.
Sabemos que ( A ∪ B )' = A' ∩ B'.
Então mostrar que A' ∩ B' = B' ↔ A ⊆ B é o mesmo que mostrar a proposição original.
Usando a equivalência lógica p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ), iremos separar a prova da proposição em duas etapas:
Parte 1: A' ∩ B' = B' → A ⊆ B.
Suponhamos que A' ∩ B' = B'.
∀ x, x ∈ A ⇔ x ∉ A' ⇒ x ∉ A' ∩ B'.
Como A' ∩ B' = B’ então x ∉ A' ∩ B' ⇔ x ∉ B' ⇔ x ∈ B.
Conclusão : ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Logo: A' ∩ B' = B' ⇒ A ⊆ B.
Parte 2: A ⊆ B → A' ∩ B' = B'
Suponhamos que A ⊆ B.
∀x, x ∈ B' ⇔ x ∉ B.
Como A ⊆ B então x ∉ B ⇒ x ∉ A ⇔ x ∈ A'.
Conclusão: x ∈ B' ⇒ x ∈ A' ∩ B'. Então B' ⊆ A' ∩ B'.
Por outro lado, ∀x, x ∈ A' ∩ B' ⇔ x ∈ A' ∧ x ∈ B' ⇒ x ∈ B'.
Conclusão: x ∈ A' ∩ B' ⇒ x ∈ B'. Então A' ∩ B' ⊆ B’.
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Estruturas Algébricas 28
Conclusão final : Por (1) e (2) vem que A' ∩ B' = B' ⇔ A ⊆ B.
(g). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos.
Sabemos que dados conjuntos E, F e H quaisquer, temos ( E ∪ F ) ∩ H = ( E ∩ H ) ∪ ( F ∩ H ).
Usando esta propriedade, temos:
( A ∪ B ) ∩ B' = ( A ∩ B' ) ∪ ( B ∩ B' ) = ( A ∩ B' ) ∪ ∅ = A ∩ B'.
Então, a proposição A ∩ B' = A ↔ A ∩ B = ∅ diz o mesmo que a original.
Vamos prová-la dividindo-a em duas partes:
Parte 1: A ∩ B' = A → A ∩ B = ∅.
Iremos fazer esta prova usando a equivalência lógica p → q ⇔ ¬q → ¬p. Isto se chama prova por contraposição. Para isto, escreveremos a proposição na seguinte forma:
A ∩ B ≠ ∅ → A ∩ B' ≠ A.
PROVA:
Suponhamos que A ∩ B ≠ ∅. Então há pelo menos um elemento nesta intersecção. Isto é:
( ∃ x )( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∈ B ).
Mas: x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B' ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ A ∩ B'.
Então, A e A ∩ B’ têm pelo menos um elemento diferente.
Logo A - A ∩ B' ≠ A.
Logo A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A ∩ B' ≠ A.
Logo A ∩ B' = A ⇒ A ∩ B = ∅.
Parte 2: A ∩ B = ∅ → A ∩ B' = A
PROVA :
Suponhamos que A ∩ B = ∅.
x ∈ A ∩ B’ ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B' ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B.
Como A ∩ B = ∅ então x ∈ A ∧ x ∉ B ⇔ x ∈ A
Logo x ∈ A.
Logo A ∩ B = ∅ ⇒ A ∩ B' = A.
Conclusão: A ∩ B' = A ⇔ A ∩ B = ∅
Conclusão geral: ( A ∪ B ) ∩ B' = A ⇔ A ∩ B = ∅
(h). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos tais que A ∩ B = ∅. Então:
∀ x, x ∈ A ⇒ x ∉ B, pois A ∩ B = ∅.
Mas: x ∉ B ⇔ x ∈ B'.
Logo, ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B'.
Conclusão : A ⊆ B'.
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Estruturas Algébricas 29
(i). A proposição é falsa. PROVA:
Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica
p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ).
Assim, temos de mostrar duas partes:
Sejam A, B, C conjuntos.
Parte 1: A - B = A - C → B = C
Suponhamos que A – B = A – C.
Esta proposição é falsa. Com efeito, existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 2, 3 } e C = { 2, 4 } tais que
A - B = { 1 } e A - C = { 1 }
Mas B ≠ C.
Logo a proposição é falsa.
Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A - B = A - C ↔ B = C é falsa, em geral.
(Apenas como curiosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.)
Parte 2: B = C → A - B = A - C
Suponhamos que B = C. Então:
A – B = A ∩ B’ = A ∩ C’ = A – C.
Logo, B = C → A - B = A - C.
(j). A proposição é falsa. PROVA:
Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica
p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ).
Assim, temos de mostrar duas partes:
Sejam A, B conjuntos.
Parte 1: A x B = B x A → A = B
Suponhamos que A x B = B x A.
A proposição é falsa. Se escolhermos A = { 1, 2 } e B = ∅, teremos:
A x B = ∅ e B x A = ∅
Porém A ≠ B.
Logo, a proposição é falsa, em geral.
Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A x B = B x A ↔ A = B é falsa, em geral.
(Apenas como curiosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.)
Parte 2: A = B → A x B = B x A
Suponhamos que A = B. Então:
A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B } = { ( x, y ) / y ∈ B ∧ x ∈ A } = B x A
Logo, A = B ⇒ A x B = B x A.
(k). A proposição é verdadeira. PROVA:
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Sejam A, B e C conjuntos. Então:
∀ ( x, y ), ( x, y ) ∈ (A x C) ∪ (B x C) ⇔
⇔ ( x, y ) ∈ (A x C) ∨ ( x, y ) ∈ (B x C) ⇔
⇔ ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ ( x ∈ B ∧ y ∈ C ) ⇔
⇔ ( ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ x ∈ B ) ∧ ( ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ y ∈ C ) ⇔
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( y ∈ C ∨ x ∈ B ) ) ∧ ( x ∈ A ∨ y ∈ C ) ∧ ( y ∈ C ∨ y ∈ C ) ⇔
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( y ∈ C ∨ x ∈ B ) ) ∧ ( x ∈ A ∨ y ∈ C ) ∧ y ∈ C ⇔
⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ y ∈ C ⇔
⇔ ( x, y ) ∈ ( A ∪ B ) x C.
Logo, ( A x C ) ∪ ( B x C ) = ( A ∪ B ) x C.
(l). A proposição é falsa. PROVA:
Existem A = { 1, 2 } e B = { 3, 4 }, C = { 4, 5 }. Então:
A ∪ B = { 1, 2, 3, 4 } e ( A ∪ B ) ∩ C ={ 4 }.
B ∩ C = { 4 } e A ∪ ( B ∩ C ) = {1,2,4 }.
Como { 4 } ≠ { 1, 2, 4 }, a proposição é falsa, em geral.
(m). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos. Então:
A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } =
= { x / ( ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ x ∈ B ) ∧ ( ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ x ∉ A ) } =
= { x / ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( x ∉ A ∨ x ∉ B ) } =
= { x / ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ¬ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) } =
= { x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B } =
= ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ).
Logo, A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ).
(n). A proposição é verdadeira. PROVA:
Sejam A e B conjuntos. Então:
A ∆ B = ( A ∪ B ) - (A ∩ B ) = { x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B }
Mas: ∀ x, x ∈ A ∆ B ⇔ x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∪ B.
Então: ∀ x, x ∈ A ∆ B ⇒ x ∈ A ∪ B.
Conclusão: A ∆ B ⊆ A ∪ B.
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10.
(a). (b).
(c). (d).
11.
(a). A x B = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ) }
P( A x B ) = { ∅, { ( 1, 2 ) }, { ( 1, 3 ) }, A x B }
(b). P( A x B ) x B = { ( ∅, 2 ), ( ∅, 3 ), ( { ( 1, 2 ) }, 2 ), ( { ( 1, 2 ) }, 3 ),
( { ( 1, 3 ) }, 2 ), ( { ( 1, 3 ) }, 3 ), ( A x B, 2 ), ( A x B, 3 ) }
(c). CDxD A x B = ∅
12.
AIDS ∪ ALZHEIMER = { genética, 0.76; vírus, 0.88; nutrição, 0.37; bactéria, 0.58; ambiente, 0.58 }