fakultät für maschinenbauvenghaus/et/uebungsblock-und... · 2017. 5. 23. · fakultät für...

Fakultät für Maschinenbau

Principles ofElectrical Engineering

Grundlagender Elektrotechnik

for für

Business Administration and EngineeringMechanical Engineering

WirtschaftsingenieurwesenMaschinenbau

Exercises andAdmitted Aid

Übungsblock undHilfsmittel

Prof. Dr.–Ing. Joachim Venghaus

Stralsund 2017

10. überarbeitete Auflage

pdfLATEX

Venghaus Principles of Electrical Engineering

Admitted Aid Erlaubtes Hilfsmittel

Symbols Formelzeichen

In order of appearence

Symbol Quantity Größe Unit SI Unit1

e Elementary charge1.6 · 10−19

Elementarladung 1, 6 · 10−19 C As

Q Charge (in general) Ladung (allgemein) C As

I, i Current constant, va-riable

Strom konstant, zeitveränderlich A A

t Time Zeit s s

U, u2 Voltage constant, va-riable1

Spannung konstant, zeitabhän-gig1

V m2 kgs3 A

R Resistance Widerstand Ω VA

% Resistivity spezifischer elektrischer Wider-stand

Ω·m VA m

G Conductantce Leitwert S = 1ΩAV

W Work, energy Arbeit, Energie kWh, Ws = J VAs = Nm

P Power Leistung W VA= N ms

E,→E Electric field intensity elektrische Feldstärke Vm

A Area of one plate Fläche einer Kondensatorplatte m2 m2

s,→s Distance between the

platesPlattenabstand m m

→F , F Force acting on char-

ged particleKraft auf ein geladenes Teil N kg ms2

C Capacitance Kapazität eines Kondensators F A sV

ε Dielectric constant,permittivity

Dielektrizitätskonstante, Permit-tivität

Fm

A sV m

ε0 Dielectric constant ofvacuum

8.85 · 10−12

elektrische Feldkonstante8, 85 · 10−12

Fm

A sV m

εr Relative dielectric con-stant

Dielektrizitätszahl, Permittivi-tätszahl

1 1

1The unit "Volt" (V) is expressly not a SI base unit (Sys-teme International d’Unites). Only for a better reading wewill pretend "Volt" (V) were a SI base unit. Rememberthe SI base units are m, s, kg, A, K, mol, cd.

Die Einheit „Volt“ (V) ist ausdrücklich keine Basiseinheitdes Internationalen Einheitensystems SI (Systeme Inter-national d’Unites). Aus Gründen der besseren Lesbarkeitwird sie allerdings in dieser Spalte wie eine Basiseinheitverwendet. Zur Erinnerung die Basiseinheiten sind m, s,kg, A, K, mol, cd.

2Usually the symbol for voltages is V or v, but it is ratherawkward to choose the same letter for both the symboland the unit of a quantity. The following two allocationswill show you why: U = 3 V, V = 3 V. Hence the symbolfor the Voltage will be U or u.

Im englischen Sprachgebrauch wird die Spannung mit v, V(Voltage) bezeichnet. Es ist aber denkbar ungünstig fürdas Symbol einer Größe und seine Einheit den gleichenBuchstaben zu verwenden. Die beiden Zuordnungen U = 3V, V = 3 V machen das sehr deutlich.

1



Symbol Quantity Größe Unit SI Unit

H,→H Magnetic field intensity magnetische Feldstärke Am

Am

` Length of a magnetic flux line Länge einer magnetischen Feldli-nie

m m

B,→B Magnetic flux density magnetische Flußdichte, magn. In-

duktionT V sm2

µ Magnetic permeability of the ma-terial

magnetische Permeabilität Ω smV sA m

µ0 magnetic permeability of freespace 1.26 · 10−6

magn. Feldkonstante 1, 26 · 10−6 Ω smV sA m

µr Relative permeability Permeabilitätszahl 1 1

Φ Magnetic flux magnetischer Fluss Wb V s

L Inductance Induktivität H V sAA Cross sectional area of a coil Querschnittsfläche einer Spule m2 m2

` Length or mean circumference ofa coil

Länge oder mittlerer Umfang ei-ner Spule

m m

N Number of coil turns Windungszahl einer Spule 1 1

ü, r Turns ratio Übersetzungsverhältnis bei Trans-formatoren

1 1

ω Angular frequency or angular ve-locity

Kreisfrequenz oder Winkelge-schwindigkeit

1s

1s

f Frequency Frequenz Hz 1s

n Number of revolutions Drehzahl (z.B. einer Maschine) Umin

T Period time, period Periodenzeit s s

ϕ, α Phase, power angle Phasenverschiebungswinkel Grad, radXL Inductive reactance induktiver Blindwiderstand Ω VA

XC Capacity reactance kapazitiver Blindwiderstand Ω VA

Z Impedance Scheinwiderstand Ω VA

BL Inductive susceptance induktiver Blindleitwert S = 1ΩAV

BC Capacity susceptance kapazitiver Blindleitwert S = 1ΩAV

Y Admittance Scheinleitwert S = 1ΩAV

2



Symbol Quantity Größe Unit SI unit

Pt Instantanious value of power Augenblickswert der Leistung W V · A

P (Active) power Wirkleistung W V · A

Q Reactive power Blindleistung var V · A

S Apparent power Scheinleistung VA V · A

λ Power factor Leistungsfaktor 1 1

j Imaginary unit imaginäre Einheit j =√−1

z Complex number komplexe Zahl z = a+ jb

a Real part of a complex number Realteil einer komplexen Zahl miscellaneous

b Imaginary part of a complex num-ber

Imaginärteil einer komplexen Zahl miscellaneous

z Magnitude of a complex number,modulus

Betrag einer komplexen Zahl miscellaneous

z∗ Complex conjugate konjugiert komplexe Zahl z∗ = a− jb

U, I Complex voltage, current komplexe(r) Spannung, Strom

−0.5π 0.0π 0.5π 1.0π 1.5π 2.0π 2.5π 3.0π

Current,V

oltage;S

trom

,Spa

nnun

gi,u

Angle; Winkel ω t

Power Angle of; Phasenverschiebung bei R, L, C

uL uR uC

i

3



List of Formulas Formelsammlung

In the following list nearly all the formulas beeingused in the lectures are listed following the orderof the lectures. You won’t find any comment andthere will be no hint whether a special formula isuniversally valid or just describes a special case.Please consult your notes.

In dieser Formelsammlung werden nahezu kom-mentarlos die in der Vorlesung auftauchendenFormeln in der Reihenfolge des Erscheinens zu-sammengetragen. An dieser Stelle wird nicht dar-auf hingewiesen, ob ein mathematischer Zusam-menhang allgemeingültig ist oder einen Spezial-fall beschreibt. Hier ist die Vorlesungsmitschriftzu Rate zu ziehen.

Current Stromstärke I =Q

t. (1)

Ohm’s law Ohm’sches Gesetz I =U

R. (2)

Resistance of a wire Widerstand eines Drahtes R = %`

A. (3)

Work ArbeitW = U I t. (4)

Power Leistung P = U I = I2R =

U2

R. (5)

Kirchhoff’s currentlaw

Knotenregel∑

Izu =∑

Iab. (6)

Kirchhoff’s voltagelaw

Maschenregel∑

U = 0. (7)

Series connection of re-sistances

Reihenschaltung von Wi-derständen

Re =

n∑i=1

Ri. (8)

Parallel connection ofresistances

Parallelschaltung von Wi-derständen

1

Re=

n∑i=1

1

Ri; Ge =

n∑i=1

Gi. (9)

Parallel connection oftwo resistances

Parallelschaltung von zweiWiderständen

Re =R1 ·R2R1 +R2

. (10)

Homogeneous electricfield

Homogenes elektrischesFeld

U = E s. (11)

4


Force acting on acharge Q in an electricfield

Kraft auf eine Ladung Qim elektrischen Feld

→F= Q

→E . (12)

Charge of a capacitor Ladung eines Kondensa-tors

Q = C U. (13)

Capacitance of a ca-pacitor

Kapazität eines Konden-sators

C =ε0 εr A

s. (14)

Magnetic field iscaused by current Durchflutungsgesetz

I = H `. (15)

Magnetic flux density Magnetische Flussdichte B = µ0 µrH;→B= µ0 µr

→H . (16)

Magnetic flux Magnetischer Fluss Φ = BA. (17)

Faraday’s law of elec-tromagnetic induction Induktionsgestz

uq = NdΦ

dt. (18)

Inductance of a coilwithout core

Induktivität einer Luft-spule

L = µ0N2A

`. (19)

Relationship of anideal transformer

Übersetzungsverhältniseines idealen Transforma-tors

ü =N1N2

=u1u2

=i2i1. (20)

Angular frequency Kreisfrequenz ω = 2π f =π n

30≈ n

10. (21)

RMS, root - mean -square Effektivwerte

U =û√2, I =

î√2. (22)

Phase, power angle Phasenverschiebungswinkel ϕ = ϕu − ϕi. (23)

5



Complex Numbers Komplexe Zahlen

Carthesian form of acomplex number,

Komponentenform einerkomplexen Zahl:

z = a+ jb,

Polar form of a com-plex number,

Exponentialform einerkomplexen Zahl:

z = z ejα.

Conversion fromcarthesian to polarform (z: modulus, α:argument),

Umrechnung von Kompo-nentenform in Exponenti-alform:

z =√a2 + b2, tanα =

b

a.

Conversion from polarto carthesian form (a:real part, b: imaginarypart),

Umrechnung von Expo-nentialform in Komponen-tenform:

a = z cosα, b = z sinα.

Add and subtract com-plex numbers always incarthesian form,

Addition und Subtrakti-on von komplexen Zah-len wird üblicherweise inKomponentenform vorge-nommen:

z1 + z2 − z3 =(a1 + jb1) + (a2 + jb2)− (a3 + jb3) =

(a1 + a2 − a3) + j(b1 + b2 − b3)

Multiply and dividecomplex numbers al-ways in polar form,

Multiplikation und Divisi-on von Komplexen Zahlenwird üblicherweise in Ex-ponentialform vorgenom-men:

z1·z

2

z3

= z1 · ejα1 · z2 · ejα2z3 · ejα3

=

z1 · z2z3 · e

j(α1+α2−α3).

Some rules, Einige Rechenregeln:ej0 = 1, ej90

o

= j, ej−90o

= −j,j2 = −1, 1j = −j.

Complex conjugatenumber,

Konjugiert komplexe Zah-len:

z = a+ jb, z∗ = a− jb,z = z · ejα, z∗ = z · e−jα.

6



Formulary Formelsammlung

Resistance, Work, Power of R, L, C Widerstand, Arbeit, Leistung von R, L, C

Resistance; Widerstand Inductance; Induktivität Capacitance; Kapazität Impedance; p. ZweipolConnexion scheme;Schaltplan R

U

I L

U

I C

U

I∼Z

U

I

Phasor;Zeigerbild

IU

ϕ

I

U

IU

ϕ I

U

ϕ

Law;Gesetz

U = I R U = I ω L = I XL U =Iω C = I XC U = I Z

I = U G I = Uω L = U BL I = U ωC = U BC I = U Y

Resistance, Reactan-ce, Impedance;Widerstand

R XL = ω L XC = 1ω C Z

Conductance,Susceptance, Admit-tance;Leitwert

G = 1R BL =1ω L BC = ω C Y =

1Z

Phase, Power angle;Phasenverschiebung

ϕ = 0o ϕ = 90o ϕ = −90o 90o ≥ ϕ ≥ −90o

Active Power;Wirkleistung

P = U I P = 0 P = 0 P = U I cosϕ

Reactive Power;Blindleistung

Q = 0 Q = U I Q = −U I Q = U I sinϕ

Apparent Power;Scheinleistung

S = U I S = U I S = U I S = U I

S =√P 2 +Q2

Power Factor;Leistungsfaktor

cosϕ = 1 cosϕ = 0 cosϕ = 0 cosϕ = PS

Active Work;Wirkarbeit

W = U I t W = 0 W = 0 W = P t

Reactive Work;Blindarbeit

Wq = 0 Wq = U I t Wq = −U I t Wq = Qt

Complex Calculation Komplexe Berechnung

Law;Gesetz

U = I R U = j I XL U = −j I XC U = I ZI = U G I = −j U BL I = j U BC I = U Y

Resistance, . . . ;Widerstand

R XL = j ω L = j XL XC = −j 1ω C = −j XC Z = R+ j(XL −XC)Z = Z · ejϕ

Conductance, . . . ;Leitwert

G = 1R BL = −j1ω L = −j BL BC = j ω C = j BC Y = G+ j(BC −BL)

Y = Y · e−jϕ

Apparent Power4;Scheinleistung4

S = U I∗ S = U I∗ S = U I∗ S = U I∗

4The expression I∗ indicates that the complex current Imust be conjugated.

Der Ausdruck I∗ bedeutet, dass der konjugiert komplexeStrom hier eingesetzt werden muss.

7


Literatur

[BUS] Busch, Rudolf; Elektrotechnik und Elektronik. Springer, 2015

[FLE] Flegel, Birnstiel; Elektrotechnik für Maschinenbau und Mechatronik. Hanser, 2016

[HAM] Hambley, Allan R.; Electrical Engineering. Pearson Education International, 2005

[LIN] Fischer, Linse; Elektrotechnik für Maschinenbauer. Springer, 2012

[OSE] Ose, Rainer; Elektrotechnik für Ingenieure: Grundlagen. Hanser, 2013

1 Introduction Einleitung

There are no exercises in this chapter. Keine Übungsaufgaben zu diesem Kapitel.

2 Electric Current Elektrischer Strom

2.0.1

A current of 200 A flows through a wire. Howmany electrons pass an arbitrary cross section ofthe wire in 5 seconds?

Durch ein einadriges Kabel fließt ein Strom von200 A. Wieviele freie Elektronen durchqueren in5 Sekunden einen beliebigen Kabelquerschnitt?

3 DC Circuits Elektrischer Gleichstromkreis

3.1 Voltage and Resistance Spannung und Widerstand

3.1.1

Calculate the total resistance of a 50 m two-coreextension cable. The cross section of one core is1.5 mm2. The core is made of copper.

Welchen Gesamtwiderstand hat ein zweiadrigesVerlängerungskabel von 50 m Länge und einemAderquerschnitt von 1,5 mm2 (Material Cu).

3.1.2

A cable with aluminium core shall have the sameresistance as a cable with copper core of samelength. Calculate the factor k which describeshow much larger the diameter of the aluminiumcore must be compared to the copper core.

Um welchen Faktor k muss der Durchmesser einesAl - Kabels größer gewählt werden, damit sichder gleiche Ohm’sche Widerstand wie bei einemgleich langen Cu - Kabel einstellt?

8


3.2 Electric Power Elektrische Leistung

3.2.1

An electric heater delivers a power of 2 kW. It isapplied to a constant voltage of 230 V. Find

a) the current through the heater,

b) the resistance of the heater.

Ein Ölradiator mit einer Heizleistung von 2 kWwird an einer konstanten Spannung von 230 Vbetrieben.Ges.:

a) Welcher Strom stellt sich ein?

b) Wie groß ist der Ohm’sche Widerstand?

3.2.2

Find the resistance of a 55 W H4 headlight bulbin operating condition. It is applied to a voltageof 12 V

Welchen Widerstand hat eine 55 W H4 - Lampe,die an 12 V betrieben wird unter Betriebsbedin-gung.

3.3 Kirchhoff’s laws Kirchhoff’sche Regeln

3.3.1

Consider the shown circuit. Given that Uq = 12V, Ui = 0.2 V, U1 = 3 V, U3 = 7 V, Ri = 0.5 Ω,determine

a) U2,

b) the voltage between tap (point) 1 und 3(U13),

c) the current I.

Gegeben ist ein Stromkreis mit Uq = 12 V,Ui = 0, 2 V, U1 = 3 V, U3 = 7 V, Ri = 0, 5 Ω.

Ges.:

a) U2

b) Spannung zwischen den Punkten 1 und 3(U13)

c) Welcher Strom I stellt sich einU1

1

U2

U33

Uq

Ui Ri

R1

R2

R3G

I

9


3.3.2

Given that Uq = 12 V, Ri = 0.1 Ω, R1 = 10 Ω,R2 = 20 Ω, Ra = 15 Ω, find Ia.

Geg.: Uq = 12 V, Ri = 0, 1 Ω, R1 = 10 Ω, R2 =20 Ω, Ra = 15 Ω.Ges.: Wie groß ist Ia?

Uq G

I1

R1

R2 Ra

Ri

I2 Ia

3.4 Resistive Circuits Widerstandsschaltungen

3.4.1

Find the equivalent resistances of the shown net-works.R1 = 56 Ω, R2 = 33 Ω, R3 = 68 Ω, R4 = 100 Ω,

Berechnen Sie die Gesamtwiderstände der nach-folgenden Schaltungen:R1 = 56 Ω, R2 = 33 Ω, R3 = 68 Ω, R4 = 100 Ω,

R1

R2 R3

a)

R1

R2

R3

b)

R1

R3

R2

R4

c)

R1

R2

R3 R4

d)

10


4 Electric Field Das elektrische Feld

4.1 Capacitor Der Kondensator

4.1.1

Suppose that we have a parallel-plate capacitorwith plates of metal each having a width of 20 cmand a length of 40 cm. The plates are separatedby a PVC foil of 0.1 mm thickness. The capacitoris applied to a source of 100 V. Determine

a) the capacitance of the capacitor,

b) the electric field intensity within the capac-itor,

c) the charge of the capacitor,

d) the force acting on one electron within thecapacitor. In witch direction does the forceact?

Ein Kondensator wurde aus zwei Metallplattenmit den Maßen 20 cm x 40 cm gebaut. Zwischenden Platten befindet sich eine PVC Folie mit 0,1mm Dicke. Der Kondensator liegt an einer Span-nung von 100 V. Ges.:

a) Die Kapazität des Kondensators,

b) die Elektrische Feldstärke im Kondensator,

c) die Ladung des Kondensators,

d) die Kraft, die auf ein Elektron im Innerendes Kondensators wirkt. Wie ist die Orien-tierung der Kraft?

5 Magnetic Field Das magnetische Feld

5.1 Current through Conductors Der stromdurchflossene Leiter


5.2 Matter in Magnetic Fields Materie im Magnetfeld


5.3 Magnetic Induction Magnetische Induktion


5.4 Generation by Transformers Transformatorische Spannungserzeugung

5.4.1

The primary coil of an ideal Transformer has 1200turns of wire. You need an AC voltage of 12 Vthere is only a source of 230 V AC. What are yougoing to do?

Die Primärwicklung eines idealen Transformatorshat 1200 Windungen. Sie benötigen eine Wech-selspannung von 12 V, Ihnen stehen 230 V zurVerfügung. Was machen Sie?

11


5.5 Rotatory Generation Rotatorische Spannungserzeugung


6 AC Current Wechselstrom

6.1 Sinusodial Currents and Voltages Sinusförmige Wechselgrößen

6.1.1

The terminals of a wall outlet are applied to asource of 230 V AC; the line frequency is 50 Hz.Find the peak value of the voltage û, the angularfrequency ω and the period T

An den Klemmen einer Steckdose liegt eine Wech-selspannung von 230 V an; die Netzfrequenz be-trägt 50 Hz.Ges.: Scheitelwert der Spannung û, Kreisfre-quenz ω, Periodenzeit T .

6.1.2

A resistor R of 300 Ω is applied to a sinusodialvoltage of 230 V, 50 Hz. Find voltage and currentas a function of time t.

Ein Ohm’scher Widerstand R von 300 Ω liegt aneiner sinusförmigen Wechselspannung von 230 V,50 Hz.Ges.: Tatsächlicher Verlauf der WechselgrößenStrom und Spannung.

6.1.3

An ideal coil (R = 0) is applied to a source of230 V, 50 Hz. A current meter shows 3 A rms.Calculate inductance, reactance and susceptanceof the coil. Find voltage and current as a functionof time t.

Eine ideale Spule (R = 0) liegt an 230 V, 50 Hz.Ein Wechselstrommeßgerät zeigt 3 A an.Ges.: Induktivität, Blindwiderstand, Blindleit-wert, tatsächlicher Verlauf der WechselgrößenStrom und Spannung.

6.1.4

A capacitor is applied to a voltage of 110 V, 60 Hz(North America, Japan). A current meter shows0.6 A rms. Calculate capacitance, reactance andsusceptance of the capacitor. Find voltage andcurrent as a function of time t.

Ein Kondensator liegt an 110 V bei 60 Hz (Nord-amerika, Japan). Ein Strom von 0,6 A wird ge-messen.Ges.: Kapazität, Blindwiderstand, Blindleitwert,Wechselgrößen u, i.

6.1.5

Sketch the resistances and reactances to scale ver-sus frequency in a range from 0 to 500 Hz.R = 200 Ω, C = 5.3 µF, L = 0.48 H.What can you conclude?

Stellen Sie die Frequenzabhängigkeit der (Blind-)Widerstände im Bereich von 0 bis 500 Hz dar.R = 200 Ω, C = 5, 3 µF, L = 0, 48 H.Welche Folgerungen können aus dem Ergebnis ge-zogen werden.

12


6.2 Phasors, Diagram for Zeigerbild, eine DarstellungSinusodial Quantities von Wechselgrößen

Exercises in the next chapter. Übungen im nachfolgenden Kapitel.

6.3 Power, Work, Powerfactor Leistung, Arbeit, Leistungsfaktor

6.3.1

The following devices are separately applied to apower supply of 230 V, 50 Hz one at a time.R = 220 Ω, C = 5 µF, L = 0.3 H.Calculate active power, reactive power, apparentpower and power factor for each device. Findwork and apparent work for an operating time of4 hours for each device.

Die folgenden Schaltelemente werden einzeln an230 V, 50 Hz angeschlossen.R = 220 Ω, C = 5 µF, L = 0, 3 H.Ges.: Für jedes einzelne Bauteil Wirkleistung,Blindleistung, Scheinleistung, Leistungsfaktor,Arbeit bzw. Blindarbeit für 4 Stunden Betrieb.

6.3.2

The three devices from the previous exercise arenow connected to the power supply simultane-ously:R = 220 Ω, C = 5 µF, L = 0, 3 H.Calculate active-, reaktive- and apparent power,current in the power line, phase and sketch a pha-sor diagramm and a power triangle.

Die 3 Schaltelemente der vorigen Aufgabe werdengleichzeitig eingeschaltet:R = 220 Ω, C = 5 µF, L = 0, 3 H.Ges.: Wirk-, Blind-, Scheinleistung, Netz-strom, Phasenverschiebungswinkel, Zeigerbild,Leistungsdreieck.

6.4 AC – Circuits Wechselstromkreise

6.4.1

Consider the given circuit with R = 240 Ω andL = 0.3 H applied to U = 230 V, f = 50 Hz.Find UL, UR, I, ϕ. Sketch a phasor diagram withrespect to I.

Gegeben ist eine Reihenschaltung aus R = 240 Ωund L = 0, 3 H an U = 230 V und f = 50 Hz.

Ges.: UL, UR, I, ϕ, Zeigerbild mit Bezug auf I.

L R

U

I

UL UR

13


7 AC Circuits and their Description Komplexe Berechnung vonwith Complex Numbers Wechselstromschaltungen

7.1 Complex Voltages and Currents Komplexe Spannungen und Ströme

Only abstract exercises for complex numbers. Hier nur allgemeine komplexe Rechenübungen.

7.1.1

Given that z1 = 12− j18 and z2 = 5 · e−j53o

, findz1 in polar form and z2 in carthesian form.

Gegeben sei z1 = 12− j18, z2 = 5 · e−j53o

,Ges.: z1 in Exponentialform, z2 in Komponen-tenform.

7.1.2

Given thatz1 = 4− j3,z2 = 2 + j5,z3 = 4− j6,z4 = 1 + j2,find

a) zA = z1 − z2 − z3 + z4,

b) zB =z

1·z

2

z3·z

4,

c) zC =(z1+z2)·z3

z4

.

Geg.:z1 = 4− j3,z2 = 2 + j5,z3 = 4− j6,z4 = 1 + j2.Ges.:

a) zA = z1 − z2 − z3 + z4

b) zB =z1·z2z

3·z

4

c) zC =(z1+z2)·z3

z4

14


7.2 Complex Resistances and Conductances Komplexe Widerstände und Leitwerte

7.2.1

Consider the shown circuit with R = 240 Ω andL = 0.3 H. It is applied to a power supply ofU = 230 V und f = 50 Hz.Find

a) the equivalent complex resistance and con-ductance of the circuit,

b) the complex current I when you assume avoltage U = (230 + j0) V,

c) the power angle and compare the resultwith exercise 6.4.1.

Gegeben ist eine Reihenschaltung aus R = 240 Ωund L = 0, 3 H an U = 230 V und f = 50 Hz.Ges.:

a) Komplexer Widerstand und Leitwert derGesamtschaltung

b) Welcher kompl. Strom I stellt sich ein, wennSie U = (230 + j0) V annehmen?

c) Geben Sie den Phasenverschiebungswinkelan und vergleichen Sie mit Aufgabe 6.4.1.

L R

U

I

UL UR

7.2.2

Consider the shown circuit with R = 120 Ω andC = 6 µF. It is applied to a power supply ofU = 230 V, f = 50 Hz.Find

a) the equivalent complex resistance and con-ductance of the circuit,

b) the complex voltage and current when youassume that I will have a phase of ϕi = 0o;Sketch phasors,

c) the power angle.

Gegeben ist eine Paralellschaltung aus R = 120Ω und C = 6 µF an U = 230 V mit f = 50 Hz.Ges.:

a) Der komplexe Widerstand und Leitwertder Gesamtschaltung

b) I habe den Phasenwinkel ϕi = 0o; stellenSie die komplexe Spannung und den kom-plexen Strom dar.

c) Phasenverschiebungswinkel

U

I

IR IC

R C

15


7.2.3

Consider the given circuit with C = 220 µF,R1 = 20 Ω, ωL = 40 Ω and R2 = 5 Ω. It isapplied to a power supply of U = 220 · ej30o Vand 50 Hz.

Find

a) the equivalent complex impedance,

b) the complex current,

c) the resulting power angle.

Gegeben ist eine Schaltung mit C = 220 µF,R1 = 20 Ω, ωL = 40 Ω und R2 = 5 Ω. Sie liegt aneiner Spannung U = 220 · ej30o V, die Frequenzist 50 Hz.

Ges.:

a) Komplexer Widerstand der Gesamtschal-tung.

b) Der sich einstellende komplexe Strom.

c) Der sich einstellende Phasenverschiebungs-winkel.

C

R1

L

R2

U

I

I1

I2

U2

U3U1

7.3 Complex Power and Work Komplexe Leistung und Arbeit

7.3.1

R = 200 Ω, L = 0.6 H and C = 8 µF areconnected in series and applied to 230 V and 50Hz.

Find the complex power, the active power, thereactive power, the apparent power as well as theactive and reactive work for an operating time of3 hours

Gegeben ist eine Reihenschaltung von R = 200Ω, L = 0, 6 H und C = 8 µF an einer Spannungvon 230 V und 50 Hz.

Ges.:Komplexe Leistung, Wirkleistung, Blindleistung,Scheinleistung sowie die Wirkarbeit und Blindar-beit für 3 Stunden Betrieb.

R L C

IU

16


7.3.2

R = 200 Ω, L = 0.6 H and C = 8 µF areconnected in parallel. The circuit is applied to230 V and 50 Hz.

Find the complex power, the active power, thereactive power, the apparent power as well as theactive and reactive work for an operating time of2 hours.

Gegeben ist eine Parallelschaltung von R = 200Ω, L = 0, 6 H und C = 8 µF an einer Spannungvon 230 V und 50 Hz.

Ges.:Komplexe Leistung, Wirkleistung, Blindleistung,Scheinleistung sowie die Wirkarbeit und Blindar-beit für 2 Stunden Betrieb.

U R L C

I

17


8 Three Phase AC Systems Drehstrom

Three identical windings (coils) are rotating in amagnetic field. Each windings is shifted by 120oand 240o to the anothers. They are labeld U, V,W in the first instance. In these windings (alsocalled phases) of the described three-phase gener-ator voltages are induced of the same magnitudeand frequency. The only difference is that theirphases are 120o apart.

In einem Magnetfeld drehen sich drei identische,um je 120o versetzte Spulen, sie werden zunächstmit U, V, W bezeichnet.In den Spulen eines solchen Drehstromgenerators,auch Stränge genannt, werden Spannungen vongleichem Effektivwert und gleicher Frequenz in-duziert. Einziger Unterschied ist die Phasenver-schiebung von jeweils 120o.

H

ωU

V

W 0.0π 0.5π 1.0π 1.5π 2.0π 2.5π 3.0πVoltage;S

pann

ungu

Angle; Winkel ω t

uu uv uw

0o 120o 240o

The induced voltage across one phase (here:source, or winding) is

Die in einem Strang induzierte Spannungsampli-tude ist

ûst =√

2Ust = ωNst Φmax.

The windigs of the coils have standardised con-nexion designations:

Beginning of the windings: U1, V1, W1,end of the windings: U2, V2, W2.

Die Wicklungen der Spulen haben genormte An-schlußbezeichnungen:

Wicklungsanfänge: U1, V1, W1,Wicklungsenden: U2, V2, W2.

The voltages across each phase (here: source orwinding) is given by

Die Gleichungen für die drei Strangspannungenlauten

uu =√

2Ust sinωt, uv =√

2Ust sin (ωt− 120o), uw =√

2Ust sin (ωt− 240o).

Phasor diagram of voltages across each phase Darstellung im Zeigerbild:

U2

W2

V2

U1

V1W1

Uw

Uv

Uu

18


8.1 Connection of Phases Verkettung der Stränge

It is possible to conduct the voltages of the threephases of the generator to three parts of a distantload (again the three loads are called phases) with6 lines. However, a clever connection of the threesources will reduce the number of necessary linesto four or even three.

Mit sechs Leitern könnten die Spannungen derdrei Stränge vom Generator zum Verbraucher ge-führt werden. Durch „Verkettung“ kann die Zahlder notwendigen Leiter auf vier oder gar drei re-duziert werden.

Y (Wye) – Connection Sternschaltung

The ends of each winding U2, V2, W2 are con-nected with each other at the so called neutral-terminal. The beginnings of each winding areconnected to three lines L1, L2, L3 which go tothe distant load (3 line power distribution sys-tem). Often a forth line is added and connectedto the neutral terminal. This line is called neutralN (4 line power distribution system). Public lowvoltage (0,4 kV) distribution systems are designedwith four lines.

Die Strangenden U2, V2, W2 werden im „Stern-punkt“ miteinander verbunden. Die Stranganfän-ge U1, V1, W1 werden mit drei Leitern, den „Au-ßenleitern“ L1, L2, L3 verbunden (sog. Drehstrom3-Leiternetz). Zusätzlich kann der „Neutralleiter“N, verbunden mit dem Sternpunkt mitgeführtwerden (Drehstrom 4-Leiternetz); letzteres ist üb-lich beim öffentlichen Niederspannungs – Vertei-lernetz.

Delta – Connection Dreieckschaltung

The end of one winding or phase (e.g. U2) isconnected with the beginning of the next windingor phase (V1). In doing so 3 terminals are createdto which the three lines are connected. There isno possibility to connect the fourth or neutral line(3 line power distribution system). Public highvoltage (110 kV ... 400 kV) distribution systemsare designed this way.

Ein Strangende (z.B. U2) wird mit dem nächs-ten Stranganfang (V1) verbunden. Die so entste-henden drei Verbindungsstellen werden mit denAußenleitern L1, L2, L3 verbunden (Drehstrom3-Leiternetz). Eine solche Verkettung ist üblichbei Hochspannungsnetzen.

How to realize delta – and Y – connections withelectric motors and generators. They usuallyhave standardised terminal boxes.

Reale Ausführung von Stern- und Dreieckschal-tung an genormten Anschlusskästen von Elektro-maschinen:

U1 V1 W1

W2 U2 V2

U1 V1 W1

W2 U2 V2

L1 L2 L3 L1 L2 L3 N

∆

19


8.2 Electric Quantities when using Elektrische Größen beiDelta – and Y – Connection Stern- und Dreieckschaltung

Spannungen

Example: Generator in Y – connection Beispiel eines Generators in Sternschaltung:

U1

V1W1

U12

U23

U31

U3N U2N U1N

L1

L2

L3

N

Uu

UvU w

The voltages across one phase (here: source) Uu,Uv, Uw are same to the line to neutral voltages5.

U1N = Uu, U2N = Uv, U3N = Uw.

Die Strangspannungen Uu, Uv, Uw sind gleichden Spannungen zwischen Außen- und Neutral-leiter:

U1N = Uu, U2N = Uv, U3N = Uw.

or in short:U = Uph.

oder kurz:U = Ust.

But you can also find the higher line to line volt-ages6. With the help of the isosceles triangle (U1,V1, N) it is easy to derive the line to line voltages.

U12 = 2Uph cos 30o = 2Uph

√3

2,

U = U12 =√

3U .

Aber es sind auch die sog. Außenleiter- oder Drei-eckspannungen zu finden. Aus den gleichschenk-ligen Dreiecken (z.B. U1, V1, N) ist der Effektiv-wert der Dreieckspannung bestimmbar.

U12 = 2Ust cos 30o = 2Ust

√3

2,

U = U12 =√

3U .

Since 1987 the german low voltage distributionsystem has a line to neutral voltage of 230 V rmsand a line to line voltage of 400 V rms (before1987: 220 / 380 V). How are the voltages in yourcountry?

Im öffentlichen Niederspannungsnetz beträgt dieSpannung zwischen Außen- und Neutralleiter 230V. Die Dreieckspannung wird mit 400 V angege-ben (vor 1987: 220 / 380 V).

5In German the line to neutral voltage is called "Sternspan-nung" which means "star voltage". In our case the termY – voltage is quite ok, however rather unusual.

6In German the line to line voltage is called "Dreiecksspan-nung" which means "triangular voltage". In our case theterm delta – voltage is quite ok, however rather unusual.

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Example: Generator in delta – connection Beispiel eines Generators in Dreieckschaltung:

U1

V1W1

L1

L2

L3

U12

U23

U31

Uv

Uw

Uu

You can only find line to line voltages

U12 = Uu, U23 = Uv, U31 = Uw.

Es treten nur Dreieckspannungen auf

U12 = Uu, U23 = Uv, U31 = Uw.

or in short:U = Uph.

oder kurz:U = Ust.

Currents Ströme

Ohm’s law is still valid for each phase (here: load)

Iph =UphZ

.

Auch für die einzelnen Stränge gilt

Ist =UstZ.

Consider a balanced load in Y – connection Betrachtet wird ein symmetrischer Verbraucherin Sternschaltung:

U1

V1W1

I1I3 I2

L1

L2

L3

N

oU1n

∼

U2n

∼

U 3n

According to the fact that the load is balancedyou can derive for each phase:

Uph = U =U√

3.

Wegen der Symmetrie gilt für jeden Strang:

Ust = U =U√

3.

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Using Kirchhoff’s current law with neutralterminal as node the phase currents (currentsthrough each single load) are:

Nach der Knotenregel, angewandt auf den Stern-punkt gilt für die Strangströme:

I1 + I2 + I3 = 0.

The line currents I are equal to the phase cur-rents. They are:

I = Iph =UphZ

=U√3Z

.

Die Ströme I in den Außenleitern sind gleich denStrangströmen und berechnen sich zu:

I = Ist =UstZ

=U√3Z

.

Consider now a balanced load in delta – connec-tion

Betrachtet wird jetzt ein symmetrischer Verbrau-cher in Dreieckschaltung:

U1

V1W1

W2

U2V2

I1I3 I2

L1

L2

L3

N

∼I23 U23

∼

I 31

U31

∼I12

U12

The phase currents can be calculated as: Für die Strangströme (z.B. I12) gilt:

I12 =U12Z

=U

Z.

The line currents I can be derived with Kirch-hoff’s current law. Use terminal U1/W2 asnode:

Die Ströme I in den Außenleitern sind wieder-um mit Hilfe der Knotenregel zu bestimmen. An-gewandt auf den Knoten, gebildet von den An-schlüssen W2 und U1 lautet sie:

I1 = I12 − I31.

Analog equations can be formulated for the othernodes. We assume furthermore that the load isbalanced. In this case the phase of the phasecurrents I12 and I31 is 120 o apart. With thehelp of trigonometry we can derive

I =√

3 Iph =√

3U

Z.

Für die beiden anderen Knoten können analo-ge Gleichungen aufgestellt werden. Bei den hiervorausgesetzten symmetrischen Verbrauchern ha-ben die Strangströme I12 und I31 eine Phasenla-ge von 120o. Aus Geometriebetrachtung kann fürden Strom I in jedem Außenleiter gefolgert wer-den:

I =√

3 Ist =√

3U

Z.

22


8.3 Power, Power Factor, Work Leistung, Leistungsfaktor, Arbeit

The (active) power, delivered to one phase (here:load) is:

Pph = Uph Iph cosϕ.

Die in einem Strang umgesetzte Wirkleistung be-rechnet sich zu:

Pst = Ust Ist cosϕ.

The total power of all three phases is:

P = 3Pph = 3Uph Iph cosϕ.

Die gesamte Wirkleistung aller drei Stränge istdann:

P = 3Pst = 3Ust Ist cosϕ.

It is independent in which way the phases are con-nected. Even when the power is to be calculatedwith line current I and line to line voltage U andyou must decide wheather there is a delta – or Y– connection, the results are identically.

Dies ist unabhängig, wie die drei Stränge verket-tet sind. Selbst wenn mit Außenleiterströmen Iund Dreieckspannungen U die Drehstromleistungbestimmt werden soll, also zwischen Stern- undDreieckschaltung unterschieden wird, sind die Er-gebnisse identisch.

Using Y – connection it is Bei Sternschaltung gilt:

P = 3U√

3I cosϕ =

√3U I cosϕ.

Using delta – connection it is Bei Dreieckschaltung gilt:

P = 3UI√3

cosϕ =√

3U I cosϕ.

In systems with balanced sources and loads the(active) power can be calculated as

In nach wie vor symmetrischen Netzen gilt beisymmetrischer Belastung für die Wirkleistung:

P =√

3U I cosϕ,

the reactive power as für die Blindleistung:

Q =√

3U I sinϕ,

and the apparent power as und für die Scheinleistung:

S =√

3U I =√P 2 +Q2.

Remember:

U : Line to line voltage or delta voltage (e.g. 400V in public distribution systems),

I: Line current (current through one of the linesL1, L2 or L3)

ϕ: Power angle i.e. angle between line to linevoltage and line current.

Hierbei ist:

U : Dreieckspannung (z.B. 400 V im öffentlichenNiederspannungsnetz),

I: Strom im Außenleiter,

ϕ: Phasenverschiebungswinkel zwischenStrangspannung und Strangstrom.

Also in three-phase AC systems the power factoris

Auch bei Drehstromsystemen gilt für den Leis-tungsfaktor:

λ =|P |S

= | cosϕ|.

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When we assume constant power, the work canbe calculated by multiplying with the operatingtime t:

(active) work: W = P t,reactive work: Wq = Qt,apparent work: Ws = S t.

Die Arbeiten werden bei konstanter Leistungdurch Multiplikation mit der Zeit t berechnet:

Wirkarbeit: W = P t,Blindarbeit: Wq = Qt,Scheinarbeit: Ws = S t.

8.4 Summary Zusammenfassung

Comparison of Y – and Delta – Connection

Vergleich zwischen Stern- und Dreieckschaltung

Y – Connection Delta – connection ∆ Ratio : ∆

Sternschaltung Dreieckschaltung ∆ Verhältnis : ∆

Phase voltage Uph Strangspannung Ust U√3 U 1 :√

3

Phase current Iph Strangstrom Ist U√3ZUZ 1 :

√3

Line current I Außenleiterstrom I U√3Z

√3UZ 1 : 3

(Active) power P Wirkleistung P U2

Z cosϕ3U2

Z cosϕ 1 : 3

Reactive power Q Blindleistung Q U2

Z sinϕ3U2

Z sinϕ 1 : 3

Apparent power S Scheinleistung S U2

Z3U2

Z 1 : 3

U without any subscript means line to line voltage, mostly 400 V!

U ohne Index bedeutet Dreieckspannung, meist 400 V!

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8.4.1

A three-phase electric kiln (furnace, oven) in delta– connection receives 10 kW. It is applied to a230/400 V distribution system.Find

a) the resistance of one phase,

b) line current and phase current.

c) Calculate P , I and Iph for the same kiln inY – connection.

Ein Drehstromofen nimmt in Dreieckschaltung 10kW auf. Er wird an einem 400/230 V – Netz be-trieben.Ges:

a) Widerstand eines Heizstranges,

b) Außenleiter- und Strangstrom,

c) Wie stellen sich P , I und ISt für Sternschal-tung ein?

8.4.2

A three-phase asynchronous motor is delta – con-nected to a 230/400 V – distribution system. Un-der nominal load the following values are known:Aktive power 11 kW, power factor λ = 0.85.

a) Sketch the necessary connections in thestandardised terminal box of the motor?

b) Calculate line current and phase current.

c) Find reactive and apparent power.

Ein Drehstrommotor ist in Dreieckschaltung anein 230/400 V – Netz anzuschließen. Bei Nennlastsind folgende Daten bekannt: El. Wirkleistung 11kW, Leistungsfaktor λ = 0,85.

a) Wie ist der genormte Anschlusskasten zubeschalten?

b) Welcher Außenleiterstrom, welcherStrangstrom stellt sich ein?

c) Wie groß ist Blind- und Scheinleistung?

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fakultät für maschinenbauvenghaus/et/uebungsblock-und... · 2017. 5. 23. · fakultät für...

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