faraute ciens. y tec., 2(2): 72-80, 2007 issn 1698-7418

SIMULACI ON DE MODELOS DEFORMABLES 3D BASADOS EN PART ICULAS

Simulation of 3D Deformable Models based on Particles

DEYBI EXPOSITO1 y MAXIMO MERO2

Universidad de Carabobo. Facultad de Ciencia y Tecnologıa. CEMVICC1Departamento de Computacion.2Departamento de Matematicas

Carabobo. Venezuela{dexposito, mmero}@uc.edu.ve

Fecha de Recepcion: 26/02/2007,Fecha de Revision: 13/07/2007,Fecha de Aceptacion: 01/11/2007

Resumen

El estudio de la deformacion de un objeto bajo ciertas condiciones y/o restricciones es de sumo interesen diversasareas del conocimiento. Existen multiples aplicaciones en computacion grafica de modelosmatematicos que son empleados para realizar el estudio de deformaciones. Estas aplicaciones van desdelas deformaciones basadas en modelos matematicos que solo usan restricciones geometricas hasta lasdeformaciones en las cuales se incorporan propiedades fısicas al modelo en estudio. En este trabajo sepresenta la simulacion de la deformacion de objetos volumetricos basados en propiedades de material,empleando el metodo de mallas libres de los Mınimos Cuadrados (MLS) para resolver las ecuaciones quesurgen de la teorıa de la elasticidad lineal.Palabras Claves:Elasticidad Lineal, MLS, Mallas Libres.

Abstract

The study of the deformation of an object under certain conditions and/or restrictions is of large interestin diverse areas of the knowledge. Multiple applications in graphical computation of mathematical modelsexist that are used to make the study of deformations. These applications go from the deformations basedon mathematical models that single use geometric restrictions until the deformations in which physicalproperties to the model in study are gotten up. In this work the simulation of the deformation of volumetricobjects based on material properties appears, using the method of free meshes of Moving Least-Squares(MLS) to solve the equations that arise from the theory of the linear elasticity.Keywords:Linear Elasticity, MLS,Mesh-free.

FARAUTE Ciens. y Tec., 2(2): 72-80, 2007 ISSN 1698-7418Depósito Legal PP200402CA1617

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1. Introduccion

Los modelos deformables son esquemasteoricos que permiten representar las deforma-ciones que ocurren en un objeto a traves del tiem-po. En Computacion Grafica y Animacion es-tos modelos se han empleado en la simulacionde tela, expresiones faciales, segmentacion deimagenes, tejido deorganos humanos, etc.

Los modelos deformables se pueden clasi-ficar segun se incorporen propiedades “nofısicas” y “fısicas”, (Gibson & Mirtinch, 1997).Los primeros, son empleados para crear y modi-ficar curvas complejas, superficies y solidos. Es-tos modelos no utilizan propiedades fısicas delmaterial, solo se necesitan ecuaciones implıcitasy/o explıcitas para la deformacion del objeto.Dentro de estos modelos se pueden mencionar lossplines, parches parametricos (parametric parch-es) y deformacion libre (Free-form deformation)

Los modelos basados en propiedades fısicasson aquellos que permiten una representacionmas realista del objeto a ser deformado. En es-tos modelos las ecuaciones que definen la defor-macion son representadas mediante ecuacionesdiferenciales. La solucion de estas ecuacionesse realiza empleando diferentes metodos, entrelos cuales cabe mencionar: Masa Muelle (Mass-spring models), Elementos Finitos (Finite El-ement), Volumen Finito (Volumetric Element),Diferencia Finita (Finite Difference), Mallas Li-bres (Mesh Free).

La presente investigacion tiene como metadisenar e implementar una aplicacion parala simulacion de deformaciones basadas enpropiedades fısicas en un objeto 3D, utilizandoel metodo de mallas de libres MLS.

Este artıculo esta organizado como sigue.En la seccion 2 se presentan comentarios de tra-bajos previos y se da una clasificacion brevede modelos deformables. El modelo fısico-matematico de este trabajo se muestra en la sec-cin 3. En la seccion4 se explicara la dinamica delmodelo de partıculas y de la superficie del objeto.

En la seccion5 se presentaran los resultadosobtenidos. Finalmente, en la seccion 6, se men-cionaran las conclusiones obtenidas y los posi-

bles trabajos futuros a esta investigacion.

2. Trabajos Relacionados

En el area de Computacion Grafica y Ani-macion se han realizado muchas investigacionessobre los modelos deformables. En el ano 1987,Terzopoulos y otros (Terzopouloset al., 1987), ensu publicacion titulada “Elastically DeformableModels”, utiliza la teorıa de la elasticidad paraconstruir las ecuaciones diferenciales que mod-elan el comportamiento de curvas, superficies ysolidos no rıgidos.

Los metodos de Mallas Libres son aquellosdonde el objeto es modelado por medio de unanube de partıculas sin conectividad previa. Fries(Fries & Hermann-Georg, 2004) expone una di-versidad de metodos de mallas libres especıfi-cos, entre los cuales menciona: SPH (SmoothedParticle Hydrodynamics) (Lucy, 1977), DEM(Method Element Difuse), EFG (Element FreeGalerkin), Mınimos Cuadrados (Moving Least-Squares), LBIE (Local Boundary Integral Equa-tion), PUM (Partition of Unity Method), entreotros.

Desbrun y Gascuel en su trabajo titulado“Smoothed Particles: A new paradigm for ani-mating highly deformable bodies” (Desbrun &Gascuel,1996), presentan una tecnica para la sim-ulacion de cuerpos con grandes deformacionesdentro de un sistema de partıculas. Tambien, el-los hablan sobre simulacion de fluidos para la an-imacion de cuerpos no elasticos con un ampliorango de rigidez y viscosidad.

En el trabajo titulado “Point Based Anima-tion of Elastic, Plastic and Melting Objects”,realizado por Muller y otros (Muller et al.,2004), se presenta un metodo para modelar y an-imar una amplia gama de objetos volumetricoscon propiedades de material que van desde loselasticos-rıgidos hasta los altamente plasticos. Elmovimiento de estas partıculas es realizado pormedio de esquemas de integracion del tiempo deforma explıcita.

Investigaciones similares en el campo delos modelos deformables se muestran en: “MeshMethods: An Overview and Recent Develop-

Deybi Expósito y Máximo Mero

FARAUTE Ciens. y Tec., 2(2). 2007 73

Fig. 1. Partıcula i con sus respectivo vecinos. La figuradel lado izquierdo muestra el objeto sin deformaciones. Lafigura del lado derecho representa un objeto con su defor-macion (X +U ). DondeX es el conjunto de partıculas querepresentan las coordenadas del material yX + U son lascoordenadas de las partıculas del objeto deformado.

ment” (Fleming et al., 1996), y “PhysicallyBased Deformable Models in Computer Graph-ics” (M uller et al., 2006).

3. Teorıa de Elasticidad Lineal

A continuacion se muestra el modelo fısico-matematico que surge de la teorıa de elastici-dad lineal y cuyas leyes son las que gobiernanel modelo deformable en estudio, (Cooket al.,1995).

Considerese un objeto 3D cuyas coorde-nadas de material son:~Xi =

[xi yi zi

]T.

Para describir la deformacion de dicho objetose utiliza un campo vectorial de desplazamiento:~Ui =

[ui vi wi

]T, dondeui = u(xi, yi, zi),

vi = v(xi, yi, zi) y wi = w(xi, yi, zi) son fun-ciones de las coordenadas de material. En laFig. 1 se puede ver que las coordenadas de unapartıcula originalmente se encuentran en~Xi y ensu posicion deformada son~Xi+ ~Ui. Se denota por~Xij el vector diferencia entre los vectores posi-cion de las partıculasi y j.

~Xij = ~Xj − ~Xi (1)

En el analisis de elasticidad lineal el Jaco-bianoJ de una transformacion es fundamental.Este se expresa para cada partıculai como:

Ji = ∇ ~Ui

T+ I (2)

dondeI es la matriz identidad 3x3. Por comodi-dad en la escritura, el Jacobiano se escribe de la

siguiente manera:

Ji =

JuTi

JvTi

JwTi

(3)

Para medir el grado de deformacion (strain) deuna partıcula i se empleo el tensor de Green-Saint-Venant el cual esta definido por la siguientematriz:

εi = (JTi Ji)− I (4)

De la teorıa de elasticidad lineal se tiene que elgrado de deformacion ε y la tension (stress) σestan linealmente relacionados, es decir:

σi = Cεi (5)

dondeC es un tensor de rango cuatro relacionadocon la ley constitutiva de los materiales y tantoε comoσ son tensores simetricos. Para materi-ales isotropicosC tiene solo dos coeficientes in-dependientes llamados moodulo de Young y tasade Poisson.

Para calcularstress, strain y fuerzas elasti-cas es necesario calcular el campo de desplaza-miento∇~U . Para ello se hace uso del metodo demallas libres MLS siguiendo las pautas del traba-jo de Muller (Muller et al., 2004). En este caso,las derivadas en una partıcula i son estimadas apartir de sus vecinos.

3.1. Aproximacion de ∇~U empleando elmetodo de MLS

El calculo de las derivadas parciales∇ui,∇vi,∇wi del vector desplazamiento~Ui dela partıcula i, siguiendo el metodo de mallas li-bres MLS, se muestran a continuacion.

Haciendo uso de la expansion de Taylor encada una de las coordenadas de~Ui, midiendo elerror de aproximacion promediado con el nucleopolinomial de soporte compacto, se tiene que lasderivadas que minimizan este error satisfacen,para∇ui, lo siguiente:

∑j

~Xij~XT

ijWij∇ui =∑

j

(uj − ui) ~XijWij

(6)

Simulación de modelos deformables 3D basados en partículas

74 FARAUTE Ciens. y Tec., 2(2). 2007

La expresion

Ai =∑

j

(~Xij

~XTijWij

), (7)

es conocida como la matriz de momentos.Mediante estas ecuaciones:

∇ui = A−1i

∑j

((uj − ui) ~XijWij

)(8)

De forma similar se obtiene un resultadopara∇vi,∇wi. Se deduce entonces que∇ ~Ui

Tes:

∇ ~Ui

T=

∇uT

i

∇vTi

∇wTi

(9)

Para calcular la matrizA−1 se utilizo el algo-ritmo de Descomposicion en Valores Singulares(SVD - Singular Values Decomposition) tomadode (Teukolskyet al., 1992).

3.2. Funciones de Peso

El calculo de la masa, densidad y volumende una partıcula i se hace utilizando una estrate-gia similar a la usada con el metodo SPH. Lamasa de una partıcula es fija y se calcula como:

mi = s ri3 ρ (10)

donde s es un factor de escala igual para to-das las partıculas,ρ es la densidad del materialy ri es la distancia promedio de lask partıcu-las mas cercanas a la partıcula i. La masami

esta distribuida alrededor de un nucleo polino-mial o funcion de peso. En este proyecto se us-an los siguientes nucleos polinomiales, obtenidosde (Muller et al., 2004; Fries & Hermann-Georg,2007).

W1(r, h) =

{315

64πh9(h2 − r2)3 si r < h

0 en caso contrario(11)

W2(r, h) =

{e−( r

0,4h )2 si rh ≤ 1

0 si rh > 1

(12)

W3(r, h) =

23 − 4( r

h )2 + 4( rh )3 si r

h ≤ 12

43 − 4( r

h ) + 4( rh )2 − 4

3 ( rh )3 si 1

2 < rh ≤ 1

0 si rh > 1

(13)

W4(r, h) =

{1− 6( r

h )2 + 8( rh )3 − 3( r

h )4 si rh ≤ 1

0 si rh > 1

(14)

W5(r, h) =

23h

(1− 3

2 ( rh )2 + 3

4 ( rh )3

)si r

h ≤ 123h

(14 (2− r

h )3)

si 1 < rh ≤ 2

0 si rh > 2

(15)

de estas ecuaciones se defineWij por:

Wij = W (‖ ~Xij‖2, hi), (16)

siendo‖ ~X‖2 la norma euclıdea. Las graficas deestos nucleos se pueden observar en las Fig.2, 3y 4.

El ındice j representa la partıcula vecinade la partıcula i. Las funciones asociadas a estosnucleos relacionan una partıcula con sus vecinos,donder es la distancia entre la partıcula i y j, yh es el radio de soporte de estos nucleos.

La esfera centrada en la coordenada dematerial de la partıcula i tiene como radio desoporte: hi = 3ri, donde ri es la distanciapromedio entre la partıcula i y sus vecinos.La densidad de una partıcula i viene dada porρi =

∑j

mjWij y el volumen de una partıcula i

se obtiene de la forma siguientevoli = mi ÷ ρi



Fig. 2.FuncionW1(r, h).

Fig. 3.Funcion W2(r, h) (izquierda) y Funcion W3(r, h)(derecha).

3.3. Calculo de las Fuerzas

Las fuerzas internas estan formadas porfuerzas elasticas, fuerzas de conservacion del vol-umen y fuerzas de Lennard Jones. Las primerasson descritas de la siguiente manera:

Fei = (2voliJiσi)A−1i

∑

j

(~XijWij

)(17)

estas fuerzas conservan momento angular ylineal. Las fuerzas de conservacion del volumense definen como:

Fvi = volikv(|Ji| − 1)ϕiA−1i

∑

j

(~XijWij

)(18)

dondekv es una constante de conservacion delvolumen que penaliza la desviacion del Jaco-biano y

ϕi =

(Jvi × Jwi)T

(Jwi × Jui)T

(Jui × Jvi)T

(19)

Las fuerzas de Lennard Jones (Fli)(Lennard-Jones, 1931) son fuerzas de atraccion

Fig. 4.Funcion W4(r, h) (izquierda) y Funcion W5(r, h)(derecha).

y repulsion entre partıculas. Para cada partıculaiesta fuerza es representada por:

Fli =∑

j

L(α, dij)~pij (20)

dondeL(α, dij) = 4β(12α12

d13ij− 6 α6

d7ij

), β es el

mınimo del potencial de energıa de LennardJones,dij es la distancia entre la partıcula i y j

(dij = ‖ ~Xi − ~Xj‖2), ~pij = 1

‖ ~Xi− ~Xj‖2 (~Xi − ~Xj)

y α es el diametro de la esfera que representa lapartıculai. En la Fig.5 se puede observar quehi

define el radio de la esfera de la vecindad de lapartıculai y α va asociado solo a la partıculai.

Fig. 5.Diferencia entrehi y α.

En la Fig. 6 se puede ver la grafica de lafuncionL(α, dij).

Por lo tanto, las fuerzas internas de unapartıcula i son representadas por la siguiente ex-presion:



Fig. 6.Funcion de Lennard JonesL(α, dij).

Finti = (Fei + Fvi)A−1i

∑

j

(~XijWij

)+ Fli (21)

A las fuerzas internas se le pueden agregarfuerzas externas tales como: gravedad, presion at-mosferica entre otras. La suma de las fuerzas in-ternas y externas es la fuerza total en el modelo.

4. Dinamica

La dinamica del modelo de partıculas sebasa en las leyes de Newton y para ello fue nece-sario utilizar un esquema de integracion explıcitode las fuerzas totales. Ası, de la ecuacion

f t+4ti = mia

t+4ti (22)

dondef t+4ti es la fuerza total,at+4t

i es la acel-eracion ymi la masa de la partıculai, se deducentanto la velocidad

vt+4ti = vt

i + at+4ti 4t (23)

como la posicion de una partıculai

xt+4ti = xt

i + vt+4ti 4t. (24)

4.1. Dinamica de la Superficie delobjeto 3D

El esquema utilizado en este trabajo pararepresentar la superficie del objeto en deforma-cion se basa en el utilizado en el trabajo de Pauly

y otros (Paulyet al., 2003). Una vez calculadaslas nuevas posiciones, velocidades y desplaza-mientos de las partıculas internas se procede adeterminar el desplazamiento de las partıculas delas superficie. El desplazamiento de una partıculade la superficie con respecto a las partıculas in-ternas vecinas se obtiene de la siguiente manera:

usurf =1∑ω(ri)

∑i

ω(ri)(ui+∇uTi (xsurf−xi))

(25)dondexsurf es la posicion de la partıcula de la

superficie,ω(ri) = ||xsurf − xi||2 = e−r2

ih2 es una

funcion de peso gaussiano yh es la distancia delradio de la esfera que contiene a la partıcula de lasuperficie y sus partıculas internas vecinas.

Una vez calculado el nuevo desplazamientode la partıcula de la superficie se procede a obten-er su nueva posicion, la cual se determina de lasiguiente manera:

xt+4tsurf = xt

surf + usurf (26)

5. Resultados

La aplicacion fue corrida en varios sis-temas operativos (Windows, Linux y Solaris).Los equipos utilizados para las animaciones semuestran en la tabla1

Equipo Caracterısticas

Computador AMD Athlon 641 de 2.20 GHZ con 512 MB de

memoria RAM

Laptop Toshiba Satelite2 Mobile Intel Pentium 4, 2.80 GHZ

y 752 MB de memoria RAM

Tabla 1. Equipos utilizados.

La construccion de la aplicacion permiteal usuario realizar cambios en las propiedadesfısicas (Modulo de Young, tasa de Poisson,Gravedad, etc) con la finalidad de simular ladeformacion de un objeto 3D. En la Fig.7se puede observar la interfaz grafica, donde elusuario puede cargar un objeto, modificar suspropiedades fısicas y simular su deformacion.



Para construir esta aplicacion se utilizo el lengua-je de programacion C++, y las librerıas de GTK yOpenGL para el lenguaje seleccionado. Los com-piladores usados fueron: Visual C++, G++ y CC.

Fig. 7. Interfaz Grafica de la aplicacion.

En la tabla2 se muestra la informacionde cada objeto simulado con la aplicacion. Laprimera animacion se realizo sobre el objeto 1que cae dentro de una caja por efecto de la fuerzade gravedad . Las imagenes de la animacion semuestran en la Fig.8.

Objeto Caracterısticas

1 Octaedro formado por 299partıculas internas.

2 Elipsoide formado por 568partıculas internas.

3 Cilindro formado por 305partıculas internas y

540 de la superficie y 1076triangulos.

Tabla 2. Objetos simulados.

La segunda animacion se realizo sobre elobjeto 2 que cae por fuerzas de gravedad dentrode un cilindro. Las imagenes de la animacion semuestran en la Fig.9.

En la Fig.10 se muestra la animacion delobjeto 3 deformandose dentro de otro cilindro.En en la tabla3 se muestran los FPS (Frames porsegundo) y TPIS (tiempo promedio por iteracionen segundos) por objetos y equipos usados.

En las figuras de las animaciones presen-tadas se puede notar que los objetos se adap-tan al recipiente que los contienen. En las tablas

Fig. 8. Animacion de un Octaedro con 299 partıculascayendo dentro de una caja.

Fig. 9. Animacion de un Elipsoide con 568 partıculascayendo dentro de un cilindro.

mostradas se puede notar que cuando aumenta lacantidad de partıculas de un objeto los FPS vanreduciendose y el TPIS va aumentado, lo cualhace que no sea posible la ejecucion de la ani-macion en tiempo real.

6. Conclusiones y Trabajos Futuros

Los modelos deformables basados enpropiedades fısicas son aquellos que mejor seajustan a la realidad. Ası, el metodo basadoen partıculas MLS es uno de los mas apropia-

Objeto FPS TPIS Equipo

1 7,2944 0,09926 1

1 5,9943 0,1320 2

2 1,2751 0,5123 1

2 1,029 0,6683 2

3 4,2731 0,1872 1

3 3,5186 0,2331 2

Tabla 3. FPS y TPIS de la animaciones realizadas en losdistintos equipos en Windows.



Fig. 10. Animacion de un Cilindro con 305 partıculasinternas, 540 partıculas de la superficie y 1076 triangulosdentro de un cilindro.

dos para la simulacion de cuerpos 3D altamenteelasticos, pero a medida que se aumenta la can-tidad de partıculas se incrementa la demanda decalculo y esto indica que la tasa de cuadros porsegundo (FPS) disminuye, haciendo que la simu-lacion dinamica no se ejecute en tiempo real.

La construccion de la aplicacion grafica per-mitio la interaccion con el objeto a ser deforma-do de modo tal que se modificaron, en lınea, lasdiferentes propiedades fısicas del mismo.

Este trabajo sirve para que se sigan desarrol-lando estudios que optimicen tanto la interaccionde la interfaz con el usuario ası como el tiempo deejecucion del modelo. En este sentido se puedenbuscar estrategias que minimicen el tiempo debusqueda de vecinos de las partıculas. Mejorar latecnica que se ajuste mejor a la superficie del ob-jeto volumetrico. Implementar modelos que seande utilidad en otrasareas de investigacion.

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