fases de berry
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Leandro Seixas SAMPA/IF/USP
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¡ Transporte paralelo e adiabático de um pêndulo numa esfera.
¡ Processo adiabático feito em ciclos (loops).
¡ Ângulo adquirido neste processo é chamada do ângulo de Hannay.
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¡ Em uma evolução adiabática o sistema varia lentamente com o tempo.
)(,)()()()( tnn n RRRRRR == εH
Um sistema com autoestado instantâneo |n(R) 〉 que evolui adiabaticamente permanece no mesmo estado ao longo da evolução.
Teorema adiabático
Os vetores R(t) pertencem à um espaço de parâmetros D-‐dimensional que variam adiabaticamente no tempo.
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¡ Quando o sistema evolui adiabaticamente o estado quântico dependente do tempo é
)(ee)( )()( Rnt titin
nn ϑγψ =
∫−=t
nn tdtt0
)'('1)( εϑ!
Fase geométrica Fase dinâmica Tem origem na evolução adiabá3ca Tem origem na equação
de Schrödinger dependente do tempo com Hamiltoniano H(t).
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Substituindo o estado na equação de Schrödinger, obtemos
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= )()()()()()( RRRRRR ndtdniniin nnn εγε
!"!
dtdnnit
dtd
nRRR R )()()( ∇=γ
Fazendo o produto interno com 〈n(R)| e usando a regra da cadeia para R=R(t), chegamos em
0)0( =nγ∫ ⋅∇=f
i
dnniTnR
RR RRR )()()(γ
Integrando de 0 à T, obtemos
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¡ Para ciclos fechados (loops) a fase geométrica torna-‐se
,)(∫ ⋅=C
RAR nn dγ
Fase de Berry
)()()( RRRA R nnin ∇=
Conexão de Berry
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¡ Usando o teorema de Stokes, a fase de Berry é descrita por
∫ ⋅=S
S )()( RΩS nn dγ
∫∫ ×∇⋅=⋅SC
)()( rFSrFR dd
Teorema de Stokes (3D) )()( RARΩ nn ×∇=Curvatura de Berry
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nnn RA ∇−= Im
nnn RRΩ ∇×∇−= Im
( )∑≠ −
∇×∇−=
nn nnn EE
nnnn
'2
'
''Im
HH RRΩ
A conexão de Berry pode ser escrita de forma alternativa como
A curvatura de Berry será escrita então como
Aplicando o gradiente na equação de autovalores na equação acima, a curvatura de Berry torna-‐se
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¡ Para uma superfície fechada R (compacta e sem bordas) , uma superfície S ⊂R tem um complemento Sc
)()()( RΩSRAR nnn dd ⋅=⋅= ∫∫SC
Sγ
)()()( RΩSRAR nnc
nc
dd ⋅=⋅= ∫∫− SC
Sγ
Para um loop C no sentido anti-‐horário
Enquanto que no sentido horário (loop -‐C) a fase é
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)()( eec
nn ii SS γγ −=
∫∪
=⋅=+c
Nd nc
nnSS
SS πγγ 2)()()( RΩS
Uma evolução adiabática em um loop C cria uma fase que é a inversa do loop -‐C (sentido contrário)
Usando a propriedade da superfície fechada R, chegamos em
RSS =∪ c
¡ O número de Chern é definido por
)(21 RΩS∫ ⋅=
RndN
πLembrar: Superfície fechada!
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¡ Número de “monopolos” associados à curvatura de Berry que estão dentro da superfície fechada R.
¡ O número de Chern é um número quântico topológico.
Se a conexão de Berry for o potencial vetor, a curvatura de Berry será o campo magnético e o número de Chern será o número de monopolos magnéticos.
“Lei de Gauss”
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¡ Próximo à singularidades
σRh ⋅= )(H
( )( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=−
2
2
cossin
),(θ
θϕ
ϕθie
u ( )( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
2
2
sincos
),(θ
θϕ
ϕθie
u
Os auto-‐estados são
A conexão de Berry e a curvatura de Berry são para o estado de mais baixa energia são
( ) 0,cos 22 =−= −−
θθϕ AA θθϕ sin21
=−Ω
Diabolo
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¡ Para o caso
321RRΩ ∓=±
( )zyx ,,==Rh
“Campo de monopolo”
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−=
ziyxiyxz
HO Hamiltoniano torna-‐se
),(),(
),(),(
),(),(
ϕθϕθ
ϕθϕθ
ϕθϕθ
±±±
±±±
±±±
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
uz
ui
uy
ui
ux
ui
z
y
x
A
A
A
Componentes da conexão de Berry
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Teorema de Bloch
)(e)( rar akn
in ψψ ⋅=+
)()( rr kxk
ni
n ue ⋅=ψ
Sistemas periódicos que são descritos por uma rede Bravais com uma base.
As funções de onda em sólidos são descrita pelo teorema de Bloch.
Os vetores de onda k estão mapeados dentro da zona de Brillouin.
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Esfera (S²) Toro (T²)
A zona de Brillouin tem a topologia de um toro.
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A evolução adiabática em sólidos fornece
)()( 2 kΩkk nBZ
n d ⋅= ∫γ )()()( rrkΩ kkkk nnn uiu ∇×∇=
te(t)e EkEk!
"! −=⇒−=
Em uma teoria semiclássica, a perturbação do campo elétrico E muda adiabaticamente os vetores de onda k
Devido à topologia da zona de Brillouin, a perturbação do campo elétrico faz um loop no espaço de parâmetros.
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¡ A fase de Berry é usada para: 1. Efeito Aharonov-‐Bohm 2. Teoria moderna de polarização em materiais
ferroelétricos 3. Teoria moderna de magnetização em materiais
ferromagnéticos 4. Teoria de efeito Hall quântico (Teoria TKNN)
1. Efeito Hall inteiro 2. Efeito Hall anômalo (Grafeno e bicamada de grafeno) 3. Efeito Hall de spin (Isolantes topológicos)
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• Xiao D., Chang, M. & Niu Q. Rev. Mod. Phys. 82, 1959 (2010).
• Griffiths, D. J. Introduction to Quantum Mechanics. Benjamin Cummings, 2º edição.
• Berry, M. V. Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45 (1984).
• Zak, J. Phys. Rev. Lett. 62, 2747 (1989). • Garg, A. Am. J. Phys. 78, 661 (2010)
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¡ Em bicamadas de grafeno o número de Chern é dado por
)sgn( gVN τ=
Índice de vale Potencial de gate
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Textura de pseudospin
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¡ Para um espaço de parâmetros de dimensão D, temos:
∫∫ =∧=SS
S nnn RdRdR ΩΩ )()( 2
1µν
νµγ ∫=C
)(RdR nn µ
µγ A
onde é conhecido como 2-‐forma de curvatura (funcional de um tensor de rank 2).
nΩ
Aplicação de geometria diferencial para o espaço de parâmetros (espaço curvo) de D dimensões.
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¡ Fazendo a transformação de calibre na conexão de Berry
)()()( RRARA Rζ∇−→ nn
Podemos ver que a curvatura de Berry é invariante de calibre
)()( RΩRΩ nn →
mnn πγγ 2)()( +→ SS
E a fase de Berry pode mudar no máximo por um múltiplo inteiro de 2π