fasle 1

ن فصل اول طراحي شده توسط دبيران رياضي شركت كننده در دوره ضمن خدمت حسابان نمونه سؤاالت حسابا

١ گروه آموزش رياضی استان فارس

−+=oدر معادله ) 1 kxx 173 3را طوري بدست آوريد يك ريشه از سه برابر ريشه ديگر kمقدار 2

.واحد بيشتر است باشد داريم نظر ريشه هاي معادله مورد βو αاگر : حل

317333

1733 =++→=−

=+→+= βββαβαab

1032173

2232

384 =→=+×−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛→=→= kk oββ

4اگر ) 25528 23 +−−= xxxxP )(باشد نشان دهيد )( 2

4xP 12بر 2 +x بخش پذير است ؟

: حل

045

45

81

81

45

4154

12418

21

21012

45

2522282

23

422

42

43

44

=−+−=+−−⇒

=⇒−

=⇒=+

+−−=

)()()(

)()()()(

xxx

xxxxP

kxxxرا طوري بدست آوريد كه معادله kمقدار ) 3 =−−+− بي شمار ريشه داشته 121

باشد ؟

: حل


٢ گروه آموزش رياضی استان فارس

kaakaa

kaaaaxax

=−+⇒=−+

⇒=−++⇒+=⇒=−

112111

2

22

)(

01دو حالت وجود دارد يا ≥− )(a 01يا<−a مي باشد .

⎩⎨⎧

=→=+−→<−+=−→+=→=−+→≥−

110111212101

kkaaakxkakaaa

. حاصل جمع زير را بدست آوريد ) 4

321100

1111111111تا

S .........++++=

: حل

=++++= )......(4342110099999999999

1تا

S

[ ]

8191010

819001010

9100101081

1

100110910

91100110

1101091

11111010101091

11011011011091

101101101

100100

10010032

10032

−=

−−=−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++++−++++=

−++−+−+−×

)(

)()(

)...()....

)(....)()()(

44 344 21تا

))(...(بيعي زوج باشد ثابت كنيد عددي ط nاگر ) 5 12111 −−−+−+=− nn xxxxx


٣ گروه آموزش رياضی استان فارس

121فرض مي كنيم : اثبات −−−+−= nxxxS : داريم . ضرب مي كنيم xطرفين اين رابطه را در . ...nn xxxxxxS −−++−= −132 ...

SxSعبارت : را تشكيل مي دهيم +

n

nnn

xxS

xxxxxxxxSxS

−=+

→−−+−+−+++−=+ −−

111 12132

)(

)...()...(

: مقدار آن را قرار مي دهيم Sبه جاي )...)(( 12111 −−−+−+=− nn xxxxx

06252معادله ي ) 6 24224 =++−+ )()( xxxx كنيد حلرا. 24فرض كنيم : حل 2xxy .، از اين مطلب براي ساده كردن معادله استفاده مي كنيم =+

0652: داريم =+− yy 23جوابهاي اين معادله عبارتند از == yy , . 24با توجه به 2xxy : داريم =+

⎪⎩

⎪⎨⎧

→−=

±=→=→=+

xققغ

xxxx

31132 2

224

1331312122

0222222

2424

−±=→+−=→±−=±−

=

→=−+⇒=+

xxx

xxxx

.كنيد حلنامعادله قدرمطلق زير را ) 7

213 >+−x :حل

xxxx

xxxx

x⎪⎩

⎪⎨

⎧

→−<−→−<+−⎩⎨⎧

<→−<−>→>−

→>−→>+−→>+−

33213 ق قغ213

41313213213


٤ گروه آموزش رياضی استان فارس

2−= xy

2+= xy

51ريــال پــس انــداز مرتبــه ي اول Aغ از مبلــ) 8Ax 12، مرتبــه ي دوم = 15 xAx ، مرتبــه ي ســوم =+

23 15 xAx با چنين برداشت پس از چند مرتبه موجودي به صفرمي رسد؟ . برداشت مي كنيم ...و =+

: حل

153

152

15152

15155 321AAAxوAAAxوAx =+==+==

مشاهده مي شود كه برداشت ها از موجودي تشكيل يك دنباله ي حسابي مي دهند كه جمله ي اول آن

151Ax 15و قدر نسبت آن =

Ad ) A ( زماني كه جمع اين برداشت ها مساوي كل موجودي . مي باشد =

: در نتيجه . پس موجودي به صفر مي رسد . شود

AAnAnASn =−+→= ))(( 151152

2

ق قغ , قق

))((A)(

56

05603030215222

=−=

=−+→=−+→=+→=+→

nn

nnnnnnnnA

22به كمك رسم نمودار مشخص كنيد معادله ي ) 9 +=− xx چند جواب دارد ؟

: زيرا . بي شمار جواب دارد : حل

⎩⎨⎧

−=

+=

22

xyxy

ره و به همين ترتيب نفر آخـر كـالس در يك كالس نفر اول يك مهره ، نفر دوم ، دو مهره و نفر سوم سه مه) 10 13اگر مهره ها را روي هم جمع كنيم و بين نفرات تقسـيم كنـيم ، بـه هـر نفـر . مهره دارد n) ام كالس nنفر(

تعداد نفرات كالس كدام است ؟. مهره مي رسد : حل


٥ گروه آموزش رياضی استان فارس

21321 )(....... +

=++++=nnnSn

2513210132

113 =⇒=

+⇒≠=

+

→= nnnn

nn

,

)(

ميانگين

312به كمك رسم نمودار مشخص كنيد معادله ي ) 11 +−=− |||| xx چند جواب دارد ؟ . دو جواب دارد :حل

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+−=

13

2xy

xy

12 −= xy

3+−= xy

20و مجموع جمالت شماره فرد آن 30جمله اي 10اگر مجموع جمالت شماره زوج يك دنباله عددي ) 12

.باشد قدر نسبت را بيابيد : حل

2105102030

91078563412

97531

108642

=⇒=⇒=−+−+−+−+−

⇒⎩⎨⎧

=++++=++++

ddaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

)()()()()(

412معادله ) 13 =−+ xx كنيدحلرا : حل


٦ گروه آموزش رياضی استان فارس

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⇒=+−=⇒=+

=⇒=−

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤=−−−<<=−−

≥=−+

ق قغ

)()(

141334135413

041210412

1412

xxxx

xx

xxxxxx

xxx

02اگر) 14 <+ xx اشد آنگاه ب][][][][ 432 xxxx .را بيابيد +++ : حل

[ ] 210100101

010

432

4

3

22

−=−++−+=+++

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−==−=

⇒<<−⇒<+

)()(][][][

][][][

][

xxxx

xxxx

xxx

باشـــد و داشـــته باشـــيم 6جملـــه اول يـــك دنبالـــه حســـابي و جملـــه دوم آن nمجمـــوع nSاگـــر ) 15)( 112 −+= nn SS جمله اول دنباله را به دست آوريد 20، جمله اول و مجموع .

: حل

46021942220

241266

20

1111212

11

=×+×=

=→=→+=+→⎩⎨⎧

+=+==

)(

)(

S

daaaaaaS

aS

x−2و x+3بـر xP)( اگر باقيمانده تقسـيم ) 16 ـ xP)(باشـد باقيمانـده تقسـيم 2و 7بـه ترتيـب ر ب62 −+ xx را محاسبه كنيد.

: حل

⎩⎨⎧

=→=→=−=−→−=→=+

2220273303

)()(

PxxPxx


٧ گروه آموزش رياضی استان فارس

441

2237

22624233639362

+−=→⎩⎨⎧

=−=

→⎩⎨⎧

+=+−=

→⎩⎨⎧

++−+=+−−−−=−

→++−+=

xxRba

baba

baQPbaQP

baxxQxxxPxR

)(

)()()()()()(

)()()()(321

142نا معادله لگاريتمي ) 17

51 −≥− )(log x كنيد حلرا .

: حل

)(

log)(loglog)(log

133954

5454

22

52

551

2

51

≤≤−→≤→≤−

→≤−→≥−

xxx

xx

:از طرفي

)( 2222404 22

⎩⎨⎧

−<>

→>→>→>−xx

xxx

: نتيجه مي گيريم ) 2(و ) 1(از

[ ) ( ]32233223

ووx

xU−−→

⎩⎨⎧

≤<−<≤−

ج م:

تومان و تا پايان هفته اجرت هر روز نسبت به 6400كارفرمايي با يك كارگر توافق كرد كه اجرت روز اول ) 18

.روز اول اين كارگر چند تومان است 6مجموع اجرت . روز قبل پنجاه درصد افزايش يابد : حل

)()())(()(

)()(

64002364002

32164002

364002

36400216400

6400

23

2

1

=+=

=+=

=

a

a

a

2و قدرنسبت 6400با جمله اول بنابراين يك دنباله هندسيبه دست مي آيد و مجموع اجرت كارگر به صورت 3

.زير محاسبه مي شود


٨ گروه آموزش رياضی استان فارس

13300تومان 12

312

3640011

6

6

61

6 =−

−=→

−−

=))(()( S

qqaS

جملـه 10به مجمـوع . واحد اضافه مي كنيم 2واحد به قدر نسبت 4در يك دنباله حسابي ، به جمله ي اول ) 19

.ضافه مي شود اول چقدر ا :حل

)( )( 1451021

10 daSdnnnaSn +=→−

+=

)( )()()( 21304510904540102214 10 ++=+++=′→+

−++=′ dadaSdnnanSn

13012 1010 =−′→− SS)()(

62در بسط xجمله مستقل از ) 20 1 )(x

x برابر چند است ؟ −

: حل

2063

161616 6636

6262

1

=→=−

→−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

−

−−

+

kk

xkx

xkx

xk

a kkk

kkkk

k )()()()(

1513: جمله سوم است و برابر است با xبنابراين جمله مستقل از 6 26

3 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −)(a

0164در معادله درجه دوم ) 21 2 =+− mxx يكي از ريشه ها دو واحد بيشتر از ريشه ي ديگر اسـت .mمقدار .و هر دو ريشه ي معادله را بيابيد : حل

124313

42

4

2=→=⎯⎯ →⎯

⎩⎨⎧

==

→⎩⎨⎧

=+=−

→⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

+==

mm

ab a

cαβ

βα

βαβα

βα

βα


٩ گروه آموزش رياضی استان فارس

bxaxxPدرچند جمله اي ) 22 +−= x−1بـر xP)(را چنـان تعيـين كنيـد كـه ,abمقدار )(23 .باشد 2برابر x+1بخش پذير بوده و باقيمانده تقسيم آن بر

: حل 2021 =+⇒=+−= babaP )(

2221 −=+−⇒=++−=− babaP )( 20در نتيجه == ab , . αβاگر ) 23 0254ريشه هاي معادله , 2 =−+ xx باشند معادله اي بنويسيد كه ريشه هاي آن22 αβ . باشند ,

:حل

45

−=−=+abβα

1641

2124

5221

42

2222

=⇒

−−−=−+=+=

−=

−==

S

S

ac

)()()( αββαβα

αβ

41

21 222 =−== )(βαP

041

16410 22 =+−⇒=+−⇒ XXPSXX

cbxaxyنمودار اتوجه بهب) 24 ++= abcو با ذكر دليل تعداد ريشه ها و عالمت ضرائب 2 را ,,

.بنويسيد : حل


١٠ گروه آموزش رياضی استان فارس

o<aمي باشد پس maxچون راس سهمي در حالت

12آنگاه 2xو ريشه منفي 1xاگرريشه مثبت xx و >00

00

0

0

>⎯→⎯<=

>⎯→⎯>−=

<

<

cacp

babs

a

a

. كنيد حلنامعادله مقابل رابه روش جبري ) 25122 −≤− xx

:حل

1

11222213312221

≥⇒−≥⇒−≤−⇒>

≥⇒≤⇒−≤−⇒<

xxxxx

xxxxx))

اگر عبارت ) 26...

...

+++

++++

81

41

21

81

41

211

. باشد مقدار آن را محاسبه كنيد Aبرابر

2صورت و مخرج كسر دنباله هندسي با قدر نسبت :حل :بنابراين . مي باشند 1

2211

141

211 =

−=+++= حاصل صورت ...

1211

21

81

41

21

=−

=+++= حاصل مخرج ...

. A=2 در نتيجه


١١ گروه آموزش رياضی استان فارس

اگر دو شـير بـا هـم بـاز . دقيقه زودتر از شير دوم حوض را پر مي كند 30دارد كه شير اول حوضي دو شير) 27دقيقه زودتر از شير اول به تنهايي حوض پر مي شود شير دوم به تنهايي در چند دقيقه حوض را پر مـي 10شوند كند ؟اگر هـر . دقيقه اي همين كار را انجام مي دهد x+30دوم دقيقه اي حوض را پر كند شير xاگر شير اول : حل

: داريم . دقيقه پر مي شود x−10دو با هم كار كنند حوض بعد از

⎩⎨⎧

=−=

→=−+→=−−

→+=+−+−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−

=++

+−×

3010030110030020

303010101011

301

2

3010

xx

xxxx

xxxxxxxxx

xxx

ق قغ))((

)())(()())((

.دقيقه اي حوض را پر مي كند 60دقيقه اي و شير دوم 30لذا شير اول xxمعادله ) 28 342 .كنيد حلرا +=+

: حل

34342 −

≥→≥+→≥+ xxx oo

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=→−−=+

−=→+=+→+±=+

ق قغ

قق)(

23342

1342342

xxx

xxxxx

432اگر باقيمانده تقسيم چندجمله اي ) 29 23 ++−= axxxP 42بر )( +x شود ، آنگـاه 3برابرa

.را بيابيد

: حل

39346162242

22 ±=→=→=+++−=−

−=→=+

aaaP

xx

)(

o

. كنيدحلمعادله قدر مطلق زير را ) 30412 =−+ xx

: حل


١٢ گروه آموزش رياضی استان فارس

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−=

→

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤=

<≤−=

−<−=

قق ق قغ

قق

315

0302

133215

xxx

xx

xx

xx

134را چنان بيابيد كه bو aمقدار ) 31 ++= bxaxxP 12بر )( −x بخش پذير باشد . : حل

))(( 1112 +−=− xxx

01

=−=

ba

⇒ ⎭⎬⎫

=+−=−=++=

011011

baPbaP

)()(

مي شود ؟ 4098برابر با ) 6و - 12، 24، -48، 000( مجموع چند جمله از دنباله ) 32

: حل

112220482212049212164098

112

11 =→−=−→−=−→−−=→+−−

=

−−

=−=

n

qqaSq

nnnn

n

n

)()()())((

)( ,

αβاگر) 33 0432ريشه هاي معادله , =+− mxx باشند .m را چنان تعيين كنيد كه داشته باشيم .

042 =+βα

:حل

350431

104404040442

−=→=++

→−=→=+⎯⎯⎯ →⎯=+→=+→=+==

mm

P acP

ααααβαβα )(

.بنويسيد كسر مقابل را بصورت يك چند جمله اي ) 34


١٣ گروه آموزش رياضی استان فارس

111

510

369122

++++++++

=xx

xxxxxxxp ))(()(

: حل

4325

5

153

153

111

11

11

11

xxxxxx

xx

xx

xx

xp ++++=−−

=

−−

−−

×−−

=)(

مفروض اند مي دانيم جمله ي سوم هر دوي اين تصاعدها عـدد 66و 90دو تصاعد حسابي با قدر نسبتهاي ) 35

عدد بعدي اي كه در هر دوي اين تصاعدها وجود دارد چه عددي است ؟ ايـن عـدد يكسـان جملـه ي . است 47

؟ مي شود ر تصاعدچندم ه

: حل

→=−=−=−=−+=

=

103794319809432990943900990147

9906690

2 )()(

],[

cnncn

. دومين عددي كه در هر دو تصاعد مشترك است

1866118866668510376618510371

8513247132472133180472

1490113310371

1

1113

1113

1

=⇒=⇒=++⇒−+−=⇒−+=

−=−=⇒+=⇒+=

−=⇒+=⇒+==⇒−+−=⇒−+=

nnnndnbb

bbdbbaadaa

nndnaa

n

n

)()(

)()(

تومان در صندوق خود قرار مي دهـد و 1000او روز اول . علي مي خواهد پول هاي خود را پس انداز كند ) 36

روز او چقـدر پـول 50پـس از . وز قبل را در صندوق ، پول قـرار دهـد پول ر 9/0مي گذارد هر روز قرار

. تومان بيشتر نخواهد شد 10000داشت ؟ نشان دهيد پول صندوق او هيچ گاه از درصندوق خواهد


١٤ گروه آموزش رياضی استان فارس

:حل

50 … 3 2 1 nشماره روز

امnمبلغ پس انداز روز 1000 9/0×1000 )9/0(2×1000 )9/0(49×1000

( )( ) ( ) 1000090110000901

90110001000901000901000

5050

4950

<−=−−

=

×++×+=

)/(/

)/(

)/(.........)/(S

4و قدر نسبت آن 3مجموع جمالت يك دنباله هندسي نامتناهي كه جمله سوم آن ) 37 باشد چقدر است ؟ 1

:حل

41

=q 33 =a

64411

48148

1613

232

3 =−

=−

=⇒===⇒=q

aSqa

aaqa

. كنيد حلمعادله زير را ) 38

221

21

=−

++ xx

: حل

[ ) ( )+∞=→⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠→≠−

−≥→≥+≥

,, 440402202

0UD

xx

xxx

دامنه

2284244222

22=⇒−=⇒=

−⇒=

−+++− xx

xxxxx

))((

512در بسط دو جمله اي ) 39 )( +x 4ضريبx را محاسبه كنيد. :حل

kknnkk bat )())(( −

+ =1 14512 4555 =→=−→=⇒→ −− kkxxx kkk

k )())((


١٥ گروه آموزش رياضی استان فارس

→=→ضريب = 80= 4145

11

8012 xxk

)())((

3جمله اول يك دنباله حسابي برابر nمجموع ) 402nSn . جمله يازدهم اين دنباله چند است. است =

: حل 101111111011 SSaaSS −=⇒+=

7321

3100

3121

310

311 22

11 ==−=−=)()(a

.كنيد حلمعادله روبرو را ) 41

1121 =+

−+x

x

:حل

101 −>→>+ xxD : 12111

21 21 +=−+⎯⎯ →⎯=+

−+ +× xxx

x x )(

0311211 222 =−⇒+=+−⎯→⎯+=−⇒ × xxxxxxx

81جمله ي وسط بسط ) 42 )(x

x .را محاسبه كنيد +

:حل=→جمله داريم 9 →جمله وسط = جمله پنجم 8x

7014481

44448

451 =×===→= −+ x

xx

xtbat kknnkk !!

!)())(()())((

23معادله درجه دومي كه داراي ضرايب گويا و يكي از ريشه هاي آن ) 43 باشد كدام است؟ − :حل

07672923 2 =+−⇒=−=⇒−= xxxxx "'' 623 =++= "'" xxx

)اگر باقيمانده تقسيم ) 44 )xP 8بر−x مساويk باشد مانده تقسيم( )3xP 2بر−x ؟ چيست :حل

( ) ( ) ( ) kxQxxP +−= 8 ( ) ( ) ( ) KRkxQxxP x =⎯⎯→⎯+−= =2333 8


١٦ گروه آموزش رياضی استان فارس

45 (ab, 3223را چنان بيابيد كه چنـد جملـه اي −++ bxaxx 3بـر−x بـوده و بخـش پـذير . باشد -4برابر x−1باقيمانده تقسيم آن بر

:حل

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=−=⇒

−=+

⇒

−=+⇒−=−++⇒=⇒=−−=+⇒=−++⇒=⇒=−

22213

823224321101

823036927303

ba

ba

bababaxx

babaxx

,

αβاگر ) 46 0242ريشه هاي معادله , =−− xx 11، مقدار عـددي عبـارت باشند ++

+ αβ

βα را

. بدست آوريد :حل

8324

1424224

12

2

11111

11

4

22

22

==++−+−−

=+++

++−+

−==

++++++

=++

+++=

++

+

=−

=+

)()()(

))(()()(

βααβααβα

αβ

βααββαβα

βαββαα

αβ

βα

βα

BBac

ab

47 (a 0122را چنان بيابيد كه رابطه زير ميان ريشه هاي معادله =+++− axax . برقرار باشند )(

65

11

11

=+

++ βα

:حل

12 +==+=−=+ aaca

ab αββα

1201024665

12122

65

12

65

11

11

=→+=+→

=++++

++→=

+++++

→=+

++

aaaaa

a

βααβ

αββα


١٧ گروه آموزش رياضی استان فارس

232در صورتي كه دو چند جمله اي ) 48 −+ xx و pxxx ++− 54 هم باقي x+1در تقسيم بر 23 .را بيابيد pمانده باشند ، مقدار

:حل

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→+−=−→+−+−−−=

−=−−+−=→−=→=+

61041514142131101 23

2

21

pppR

Rxx

)()()(

)()(

بـه طـوري . در ضرب دو عدد مثبت كه يكي از ديگري هشت واحد كوچك تر است اشتباهي رخ داده است ) 49

آمـده از ضـرب را بـر عـدد بزرگتـر براي آزمايش ، عدد به دست . ن يك واحد بزرگ تر شده است كه رقم صدگا

.دو عدد را به دست آوريد . شده است 19و باقيمانده 22تقسيم كرده ايم ، خارج قسمت

:حل

( )⎩⎨⎧

==

⇒=+−→+=+−3 ق قغ

270813019221008 2xx

xxxxx

.مي باشد 19و عدد كوچكتر 27عدد بزرگتر

اگر قرار شود كارگر اول نصف كار و كارگر دوم بقيـه ي . كنند ساعت تمام مي 6دو كارگر با هم كاري را در ) 50

هر كارگر به تنهايي اين كار را در چـه زمـاني . كار را انجام دهد ، شش ساعت و نيم زمان بيشتري صرف مي شود

.انجام مي دهد

:حل

61

51221

21

=−

+xx /

⎩⎨⎧

==

→=+− 55775252 2

xx

xx/

o

.روز انجام مي دهد 10روز و 15هر كارگر به تنهايي كار را در


١٨ گروه آموزش رياضی استان فارس

112نامعادله ) 51 +≥− xx كرده و مجموعه جواب را مشخص كنيد حلرا.

:حل

)x≤−1با فرض (مي رسانيم 2طرفين را به توان

[ ] ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞−=→

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

≤→≥−→+≥+− ,, 4

51450

0541144 22 UoSx

xxxxxx

1ثانيه يك بار چراغ دوم هر 45هر 1چراغ . ان مالصدرا شيراز سه چراغ راهنمايي نصب شده است در خياب) 52بعد از اولين باري كه هر سه چراغ يك بـار بـاهم قرمـز . ثانيه يك بار قرمز مي شوند 90هر 3بار و چراغ 1دقيقه

. د حداقل چند ثانيه طول مي كشد تا هر سه چراغ دوباره قرمز شون. هستند :حل

[ ] 1802359060455329053260

534522

2

2

2

=××=→⎪⎩

⎪⎨

⎧

××=

××=

×=

,,

تـا مجمـوع ) با شروع از جمله اول ( حداقل چند جمله را بايد جمع كنيم 1و 5و 25و ...در دنباله هندسي ) 53 شود ؟ 500آنها بيشتر از

:حل

420015500151515001

1>→>→>

−−

→>−−

= nqqaS n

nn

n)()(

0222ادله ي درجه دوم ريشه هاي مع βو αاگر) 54 =−− xx باشد مقدار عبارت

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 3322

1111βαβα

؟ را بيابيد

:حل

2=−=+=

abs βα


١٩ گروه آموزش رياضی استان فارس

2−===acP αβ

525232

3

3

2

2−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −p

pssp

ps

)اگر مجموع ضرايب بسط ) 55 ) nba 22 )از مجموع ضرايط بسط + )nba را nواحد بيشتر باشد 6480، 2+

)تعيين كنيد و جمله وسط بسط ) nba 22 .را حساب كنيد +

:حل

2259211064803648033 22 ±

=→=−−==− yyyynnn

80 ق قغ481

−=

=→=→

yny

( ) ( ) ( ) 44445

82 112024822 babaTbaba n =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=+

باشد بيشترين مقدار x>0اگر ) 56x

x 9 .نيد را حساب ك+

:حل

639 2−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−−=+

xx

xx

:باشد يعني اصل پرانتز صفر باشد يعني x=−3بيشترين مقدار عبارت فوق وقتي است كه

690 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +→<

xxx max

)اگر ) 57 )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−≤≤−−

<−−

=xx

xx

xx

xf12

1112

)باشد نمودار 2 )xfy .را رسم كنيد =


٢٠ گروه آموزش رياضی استان فارس

قدر نسبت دنباله را . برابر مجموع سه جمله اول آن دنباله است 28جمله اول يك دنباله هندسي 6 مجموع) 58 . بيابيد :حل

36 28SS =

2811

11281

13

61

36=

−−

⎯⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ±

qq

qqa

qqa q

327281 331 =⇒=⇒=+⎯⎯ →⎯ +± qqqq )مانده تقسيم را طوري بيابيد كه باقيBمقدار ) 59 ) 246 52 xBxxxf . مساوي دو باشد x+1بر =−+ :حل

2422521 =⇒−=−⇒=+− BBB ( ) ⇒=−⇒= 212 f باقي مانده( )xf 1بر+x 322باقي مانده تقسيم ) 60 23456 ++++++ xxxxxx 23بر +x پيدا كنيد . :حل

202 33 −=→=+ xx

53222224322322

22

2233232323456 3

=+++−−−

⎯⎯ →⎯++++++=++++++ −=

xxxx

xxxxxxxxxxxxxx x)(

22ريشه هاي معادله ) 61 −=−− xx در كدام فاصله واقع اند ؟


٢١ گروه آموزش رياضی استان فارس

:حل

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=→−=+−→<

−=→==→−=−+→<<

→>−=−→=

−=−→−=−+−→<

ق قغ ق قغ

ق قغ

قق قق

22222222

022200

22022220

xxxx

xxxxxx

xxx

) مجموعه جواب نهايي ]o,∞− −−+=oهاي معادله ريشه βو αاگر ) 62 )( 1422 mxmx باشد و داشته باشيم :1111 =+++ )()( ββαα مقدارm را بيابيد. :حل

322644816

443112842111422221

21421112112

11111111

21

22

22

22

2222

−==→=+=∆

→=−−→=+++

→=−−

−+→

−−===−=

=−+→=−++

→=+++→=+++→=+++

mm

mmm

mmmmm

mm

mm

acP

mabS

PSSS

,

)()()(,)(

)( ,

)( )(

)()()()(

o

αββα

βαβαββααββαα

2212اگر چند جمله ي ) 63 ++= + nn xaxxf .را محاسبه كنيد aبخش پذير باشد مقدار x+1بر )( :حل

321111 =→=++−→=−=→−=→=+ aafRxx ooo )( 184عبارت ) 64 24 +++ bxaxx 42بر −x بخش پذير است .ba .را حساب كنيد + :حل

1617

16173432

1161616211616162244 22

−=+→=→−=→−=

→⎩⎨⎧

=+−+→=−=+++→=

→±=→=→=−

babaa

baPbaP

xxx

o

oo

ooo

)()(


٢٢ گروه آموزش رياضی استان فارس

182نامعادله ) 65 22 +<+− xx كنيد حلرا. :حل

77777271451844182

22

22224224222 2

<<−→<→<→<−

⎯⎯⎯ →⎯<+−→<−−→+<+−→+<+− >+

xxxx

xxxxxxxxx x

o

oo o))(()(

6134نشان دهيد منحني ) 66 3 −−= xxxP ها ار قطع مي كند و نقاط ديگر xمحور x=2در نقطه )( .ها را بيابيد xتقاطع روي محور

:حل=→.قطع مي كند 2طه اي به طول ها را در نقxمنحني محور o)(2P

.بخش پذير است x−2ريشه ي منحني است پس چند جمله اي بر 2چون

23

21384

38426134

212

23

−=−=→=+−

+−−=−−=

xxxx

xxxxxxP

,

))(()(

o

−−=oريشه هاي معادله ي βو αاگر ) 67 532 xx اشند بدون محاسبه ريشه هاي معادله حاصل عبـارت ب

11

11

++

+ βα .را به دست آوريد

:حل

513523

12

1111

11

11

53532

−=++−

+=

+++++

=+++++

=+

++

−===−

=+→=−−

)()(

))((

,

βααββα

βααβ

βα

αββαac

abxx o

متر زميني را مرز بندي كند بيش ترين مساحتي 20كشاورزي مي خواهد در كنار رودخانه با حصاري به طول ) 68 كه مي تواند مشخص كند چقدر است ؟

:حل

22552

5410

102210210

2

=→=→=+

=

+−=→−=→×=

+=

Sxy

yyySyyySyxS

yx

max

)()()(

.نشان دهيد معادله ي زير جواب ندارد ) 69 :حل

1=xxsin


٢٣ گروه آموزش رياضی استان فارس

ooاگر : حل >≠ xx . باشد ,

xx =sin

⎩⎨⎧

=

=

xy

xy sin

همديگر را قطع نمي كنند لذا معادله جواب ندارد

bxaxاگر چندجمله اي ) 70 +− 22بر 24 +x باقي مانده چندجمله اي . بخش پذير باشدbxaxx ++− 236 23بر 32 +x را به دست آوريد.

:حل

2334422

242422

224233

22

+=⎯⎯⎯ →⎯+++=→−=→=+

−=+→=++→⎭⎬⎫

=−=→=+

−=+ xRbxaRxx

babaR

xx

bao

oo

o

++=oريشه هاي معادله βو αاگر ) 71 cbxax2 باشند نشان دهيد معادله اي كه ريشه هايشβα

αβ ,

−−+=oباشند به صورت acxacbacx )( .است 222 :حل

ooo =+−−→=+−

−⎯⎯⎯⎯ →⎯=

−=

−=

−+=

+=+=

=+− acxacbacxac

acbxP

acacb

ac

ac

ab

S

PSxx )(

)(

2121

222

222

2

22

2222

2

αβαββα

αββα

αβ

βα

−−=oدله اي بنويسيد كه ريشه هايش مربع ريشه هاي معادله ي معا) 72 32 xx باشد. :حل

o=+−→==

=+=−+=+=

−===−=+

9797612

31

222

222

xxP

Sac

ab

βα

αββαβα

αββα

)(

,

xy = xy sin=


٢٤ گروه آموزش رياضی استان فارس

يك مخزن حاوي سمي شيميايي در زير زمين دچار نشتي شده است،يك سال پس از شروع نشت بـه شـعاع ) 73متر ديگر گسترش پيـدا مـي كنـد و بـه همـين 750سال دوم . متر در اطراف مخزن گسترش پيدا كرده است 1500

سال اين نشت تـا چـه فاصـله اي از منبـع نشـت مـي 10ترتيب هر سال نصف سال قبل گسترش مي يابد بعد از متري اين مخزن قرار دارد مي رسد؟ 4000رسد؟آيا هيچ گاه اين نشت به مدرسه اي كه در

:حل

=15002129971024

102330002112111500

11

10

===×=−

−=

−−

= aqqqnS

n

n , ))(()(

3000211

15001 =

−=

−=

qaSحد مجموع

متري منبع خواهد بود و هيچگاه به مدرسه 3000يعني گسترش سم تا . متر است 3000حد مجموع جمالت فوق .متري اين مخزن قرار دارد نمي رسد 4000اي كه در

.كنيدحلمعادله ي گوياي زير را به روش تغيير متغير ) 74

426

322

221

222 +−=

+−+

+− xxxxxx

:لح

)()())(( 16222126

121222 +=++++→

+=

++→=+− tttttt

ttttxx

321023 21

2 −==→=−− tttt ,

1221اگر 2 =+−←= xxx 3و اگر2222 −=+−←<∆ xxo ريشه ندارد.

22و حاصلضـرب ريشـه هـاي آن a2معادله درجه دومي بنويسيد كه مجموع ريشـه هـاي آن ) 75 ba باشـد − . هاي آن را حساب كنيد سپس ريشه

: حل

baxbaxbbaabaaxxPSxx

+=−==+−=∆→=−+−→=+−

21

22222222 44442 ,

oo

. كنيد حلمعادالت زير را ) 76


٢٥ گروه آموزش رياضی استان فارس

xx −=−+ الف( 743

xx

xx

xxxx 1

21

222

2

2 +=

−−

+−

ب( +− ) الف حل

4444

44743747744

=→⎩⎨⎧

≤≥→≥−

→−=−→−=−+→≤≤→⎩⎨⎧

≤→≥−≥→≥−

xx

xx

xxxxxxxxx

o

o

o

مي باشد كه در معادله نيز صدق مي كند پس مجموعه جواب معادله 4ه در دامنه اين معادله قرار دارد تنها عددي ك{ مي باشد 4{)(طرفين تساوي را در ) ب حل 2−xx ضرب مي كنيم.

⎩⎨⎧

−==

→=+→=+→−−=−+−+ 333222 2222xx

xxxxxxxxxxo

oo )(

.ج معادله را صفر مي كند پس قابل قبول نيست چون مخر o=xجواب .حاصل جمع عبارت زير را بدست آوريد) 77

...++++= 432 53

52

53

52S

:حل

...)(...)( +++++++= 64253 53

53

53

52

52

52S

)()(...)(...)(

2511

251

32511

51

251

51

513

51

51

512 64253

−+

−=+++++++=S

2413

241324

52 =×+×=S

nbaمجموع ضرايب عددي بسط ) 78 2)( nbaاز مجموع ضرايب واحد بيشتر 56به اندازه + )( است در اين + .را بدست آوريدnصورت

: حل1== ba nnbaمجموع ضرايب← 22 2=+ nnbaومجموع ضرايب)( 2=+ )(


٢٦ گروه آموزش رياضی استان فارس

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→=→

→−=→=+−→+=→

382720728256222

nn

nnnnn ق قغ

))((

را بر با قيمانده تقسيم . باشد فرض كنيد ) 79 .بيابيد :حل

+1

معادله زير چند جواب حقيقي دارد؟) 80 :حل

:لذا. است عبارت باال بسط

.معادله داراي يك جواب حقيقي است

nxyxnSnاگر در يك تصاعد حسابي ) 81 )( −+= xyباشد مقدار 2 جمله چندم اين تصاعد است ؟ +8

:حل

)(

)(

22

2221

12

211

dannds

nddnnasdnnnas

n

nn

−+=→

−+=→−

+=


٢٧ گروه آموزش رياضی استان فارس

21: طبق فرض مسئله داريمdxay == : پس ,

511 4288 adadaxy =+=+=+ )(

baxاگر ) 82 14452يك عامل مشترك عبارت هاي + 22 +++− xxcxx .را بيابيد cباشد مقدار ,

:حل

3025

21

02152

125221012

1212144

22

22

−=→=++→

=+−−−→+−

−=→=+

+=+→+=++

cc

ccxx

xx

baxxxxx

)()(

)(

. كنيدحلرا وبرومعادله ر) 83

815 =++ oxx

:حل

xققغ

xقق

xxxx

xD

xxxx

f

183

05421810582

0105088105

2

1

22

=

=→

=+−→−=+→

≤≤−→

≥+≥−−=+

)(

:

,,

42132اگر ) 84 =−+−<< axx در كدام فاصله است؟ aباشد آنگاه ,

:حل


٢٨ گروه آموزش رياضی استان فارس

⎩⎨⎧

<<<<−

→<−<

→⎭⎬⎫

<−<→−<−<−→<<

−=−→=−+−→=−+−→<−<→<<

o

o

aaa

a

xxxxaaxaxxx

ν41322

35223325242142121132

−++−=oيكي از ريشه هاي معادله ) 85 6212 2 kxkx ريشه ديگر كدام است؟ . است -1برابر )(

: حل

2142213362121

2 =→=+→=−−

→=→=→=−+++→−=

ββα

α

o

o

xx

kkkk )(

مجموع چهارجمله اول آن چند برابر جمله .برابرجمله پنجم آن است 81جمله اول يك دنباله هندسي نزولي) 86 پنجم است ؟

: حل

3 نزولي1

8118181 44

1151 =→=→=→= qqqaaaa

12032

811

8180

3113

113

1

41

41

5

4 =−×

−

=−

−

=)()(

))((

a

a

aS

2جمله اول يك دنباله حسابي nاگر مجموع ) 872nSn .باشد ، جمله عمومي آنرا بيابيد =

:حل

21122

121

222

22

1 −=−+−=−

−=−= − nnnnnnSSa nnn )()(

nnSnجمله اول يك دنباله حسابي nاگر مجموع ) 88 32 2 .باشد قد نسبت آنرا بيابيد =− : حل

5133168132

122

11=−−=→=−−−=−=

−=−==)()()( dSSa

Sa

قدر نسبت= 2n(2ضريب=(2)2=(4


٢٩ گروه آموزش رياضی استان فارس

o132حاصل ) 89 xxxx ++++ .بيابيد x=3را به ازاي ... : حل

o1=n xxxq ==2

xaجمله اول =

31313

31313

11 511

1 −−

=−−

=−−

=)())(()( oo

o xxxS

......حد مجموع ) 90 ++++++ n52

1252

252

5 .را بيابيد 22

:حل

25

511

2=

−=S ⎯⎯ →⎯

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

=−

=q

aS

q

a1

11

51

2522

1253باقيمانده تقسيم ) 91 24 −+−= xxxxP .بيد بيا x+1را بر )( :حل

51121513111 24 −=−−+−−−=−=→−=→=+ )()()()(pRxx o 813در بسط ) 92 )( −x و مجموع ضرايب را بيابيد جمله ي وسطتعداد جمالت ، ضريب. : حل

512آن جمله ي وسط. است 1+8=9تعداد جمالت 8

: يعني جمله پنجم است پس +=

434 جمله ي وسطضريب 8⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ →⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − 4448

5 348134

8)()()( xxT

، يك قرار مي دهيم xبراي يافتن مجموع ضرايب دو جمله اي بجاي 88 213 =− )(

0172عالمت ريشه هاي معادله و معادله در تعدادحلبدون ) 93 2 =+− xx نظر دهيد. :حل

∆=−=<oچون دو ريشه حقيقي دارد 41849

o>= 21

ac اما ،دو ريشه متحد العالمت اند در نتيجهo>=

−27

ab پس هر دو ريشه مثبت اند.


٣٠ گروه آموزش رياضی استان فارس

−+−+=oمعادله ) 94 231 22 xxx چند جواب دارد ؟ :حل

.چون هر دو راديكال نامنفي هستند پس مجموع زماني صفر است كه هر كدام صفر باشند

قق ,

12123

112

2=→

⎪⎭

⎪⎬⎫

==→=+−

±=→=−x

xxxx

xx

o

o

.جواب معادله است بايد جوابي را قبول كنيم كه هر دو را صفر مي كند يعني جواب مشتركمانده تقسيم باشد، باقي -1و 1، 2به ترتيب x−1و x ،1+xبر xp)(ي تقسيم ماندهدر صورتي كه باقي) 95)(xp را برxx . ت آوريدبدس 3−

:حلcbxaxxQxxxp +++−= 23 )()()(

22 3 =+−=⇒= cQpp )()()()( ooooo ( ) 111111111 23 −=−→=+−−+−−−−=−⇒=− bacbaQpp )()()()()()(

31111111 −=+→−=+++−=⇒−= bacbaQpp )()()()(

⎩⎨⎧

−=+−=−31

baba

1242 −=−=⇒−= baa , جملـه 30مجمـوع .اسـت 30جمله دوم برابـر 5و مجموع 12در يك دنباله حسابي مجموع پنج جمله اول ) 96 چقدر است؟ اول : حل

))(( dnansn 122 −+=

1215512212422

55 =+⇒=+⇒=+= dadadas o)(

6734225922

151 =+⇒=+−+=− dadadass o

oo )()(

2524

2518

671215

==⇒⎩⎨⎧

=+=+

addada

,o

37225182925

242153 =×+×= )(os


٣١ گروه آموزش رياضی استان فارس

83كدام جمله از بسط) 97 1 )(x

x + xمستقل از است؟ : حل

71642411 32483 =+⇒=⇒=−⇒=×⇒=× −−− kkkxxxx

x kkkk oo)()(

12را چنان تعيين كنيد كه چند جمله اي ,mnمقادير ) 98 23 −+− nxmxx 232بر ++ xx بخش پذير

.باشد

:حل

⎩⎨⎧

−=−=

→=++→=++ 1212232

xx

xxxx oo ))((

22111211 23 =−−⇒=−−+−−−⇒=− nmnmP oo )()()()(

928122222 23 =−−→=−−+−−−⇒=− nmnmP oo )()()()(

4554424

92822928 −

=→=−→⎩⎨⎧

−=+=−−

⇒⎩⎨⎧

=−−=−−

mmnm

nmnmnm

21

21

25224

52 =⇒−

=−=−⇒=−−− nnn)(

246اكزيمم تا بع مقدار م) 99 xxy .را به دست آوريد =+−

روش اول: حل

[ ]644464 22 −−+−−=−−−= )()( xxxxy

oo 112 =→ max),( yS 102رأس 2 +−−= )(xy

=−>→. تابع داراي ماكزيمم است : روش دوم o1a

o1142416

4 =−+−

=∆−

=)(

)(max a

y


٣٢ گروه آموزش رياضی استان فارس

o13مجموع ضرايب در بسط ) 100 43 )( yx .را به دست آوريد −

: حل

111413 10103 =−=−= مجموع ضرايب))()(()(

.كنيدحلمعادله زير را ) 101

06252 24224 =++−+ )()( xxxx

: حل

320652 224 =+=⇒=+−⇒=+ tttttxx ,

128421422222222

2

22424 2

=+=−−+=∆

→=−+⎯⎯ →⎯=−+⇒=+⇒= =

))(()(

oo yyxxxxt xy

2122

12122

21±−

=±−

=)(

, yy

2212

21222 −

±=→+−

= xx

⎩⎨⎧

±=→=→=

−=→=−+⇒=−+⇒=+⇒=

1113

1332323 2224

xxy

yyyyyxxt oo ))((

مجموع هفت جمله اول را a=−3اگر . برابر جمله سوم آن است 8جمله ششم يك دنباله هندسي ) 102

.حساب كنيد

: حل

2888 32536 =⇒=⇒=→= qqaqaqaa

381212131

1 7

7 −=−−

×−=⇒−−

= SqqaS

n

n


٣٣ گروه آموزش رياضی استان فارس

62را در بسط xجمله فاقد ) 103 1 )(x

x .به دست آوريد −

: حل

iin bain −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ام i+1جمله = ⎛

ii

iii xx

xx

xi ii

31221262 66 116 −−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 62جمله عمومي )()())(( 1 )(

xx −

4123312 =⇒−=−⇒=− iii o

151256

46

=××

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ xضريب جمله فاقد =

xxنا معادله ) 104 +< .كنيدحلرا به روش هندسي 22

: حل

[ م =−,21[

→ج⎩⎨⎧

−==

→=−−→+=→⎭⎬⎫

+==

1222

222

2

xx

xxxxxyxy

o

012ريشه هاي معادله βو αاگر ) 105 2 =+− xx 22باشند حاصل βα .را بيابيد +

:حل

21

===acP βα. 2

121=

−−=

−=+=

)(abs βα

4314

12122

12 2222 −=−=×−=−+=+ )()( βαβαβα


٣٤ گروه آموزش رياضی استان فارس

22باشند باقيمانده آن را بر -2و 3به ترتيب x+1و x−2بر xP)(اگر باقيمانده تقسيم ) 106 −− xx به

.دست آوريد

: حل

321)(

)()()(xR

baxxQxxxP ++−−= 22

41

47

47

41

2213232

−=→=−

=→⎩⎨⎧

−=+−→−=−=+→=

xxRabbaP

baP)(,

)()(

082در معادله ) 107 2 =+− mxx اگر يكي از جواب ها دو واحد بيشتر از ديگري باشد .

33مقدار ) ب. را بيابيدm) الف11βα

.را بيابيد +

)لفاحل

62313

4

22=→=→=→

⎩⎨⎧

==

→⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=+

=−⇒+=mm

ac

ab αβ

βα

βα

βαβα

)بحل

2728

273664

34334311

3

3

3

3

33

33

33 =−

=−

=+−+

=+

=+))((

)()()(

αββααββα

βαβα

βα

)()(حاصــل عبــارت ) 108 832832 11 xxxxxxxx ++−+−+++++ LL 2بــه ازاي=x را . بيابيد :حل


٣٥ گروه آموزش رياضی استان فارس

2

1899

99832832

11

1111

11

1111

xx

xxxx

xx

xxxxxxxxxx

−−

=+−+−

=−−−−

×−−

=++−+−+++++

))(())((

)()()()( LL

122121

21212 9

9

2

18−=

−−

=−−

⇒=)()(x

باشـد، باقيمانـده 4و 1بـه ترتيـب برابـر بـا x+2و x−1بر xp)(اگر باقيمانده تقسيم چند جمله اي ) 10922بر xp)(تقسيم −+ xx را بيابيد . :حل

4211 =−= )(,)( pp )()())(()()()()()( baxxQxxxpbaxxQxxxp ++−+=⇒++−+= 1222

4242111

=+−⇒=−=+⇒=

bapbap

)()(

21 =−=⇒ ba ,

57023در يك دنباله حسابي ) 110 155 == Sa . جمله عمومي اين دنباله را مشخص كنيد. است ,

:حل

25513133538

38355315

33

234387

2343871

42343877155701422

15

5

15

−=→−+=−+==−=

=+=→

−−

=−−

⎩⎨⎧

=+/

−=−/−⇒

⎩⎨⎧

=+=+

−

+=→+=

=+→+=→+=

nandnaaaa

dd

dada

dada

dadaa

dadadaS

nn )()(

)()(

44به روش هندسي معادله ) 111 2 +=+ xxx ب تقريبي آن را بيابيدكنيد و جواحلرا.

:حل

22 244 )( −=→+−= xxxxx


٣٦ گروه آموزش رياضی استان فارس

xyحال دو تابع )(22و = −= xy را رسم مي كنيم .

. باشد x≤0بايد توجه داشت كه

مـي 4و 3بـين همديگر را قطع كرده اند و جواب ديگر معادله x=1مي باشد زيرا در نقطه 1يك جواب معادله

: زيرا اگر داشته باشيم. باشد

440304 2 −−+=>< xxxxhhh .دارد 4و 3جوابي بين xh)(=0بنابراين معادله )(,)(,)(

. كنيدحلمعادالت زير را ) 112

372

512

13 2 +−

=−

−− xx

xxx

x )الف

132 =−+x )ب

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−= 2

13,RD )الف

( )( )123372 2 −−=+− xxxx →=+− 0372 2 xx →=+−− xxxx 532 2 ( ) ( ) →=−−− xxxx 5312

xققغ

xققغx

21

34

57=

=±= ⟨ →=−=∆ 252449

[ )+∞=→≥→≥−+≥ ,, 494932 Dxxx oo )ب

( )

1941416242

13213222

22

=→=→=+→=+

→=−+→=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

xxxx

xx

)()(

++=oادله ريشه هاي مع βو αاگر ) 113 862 xx باشند مطلوبست محاسبه :βααβ 33 +

4

xy =

2 1


٣٧ گروه آموزش رياضی استان فارس

: حل

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 160822

68222233=−−=−+=+=+ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

αββααβαβαββααβ

xمعادله ) 114 x+ = .كنيد حلرا 2 :حل

xداريم x= xxx و با شرط 2− ≥→≥−≥ 2020 مي رسانيم و داريم 2دو طرف را به توان ,

⎩⎨⎧

==

→=−−→=+−→−+=xققغ

xققxxxxxxx 4

104104544 22 ))((

. كنيدحلنا معادله زير را ) 1152 2(1 ) (1 ) 2 0x x− − − − <

:حل2(1 ) 1 2 0x x− − − − <

2 21 (1 ) (1 ) 2 0 3 0 (0,3)x x x x x x≥ → − + − − < → − < → حالت اول:∋2 21 (1 ) (1 ) 2 0 2 0 ( 1,2)x x x x x x< → − − − − < → − − < → ∈ حالت دوم:−

( 1,3)x∈ جواب نهايي: − هر بار مقدار جا به جايي آن. متر جابه جا مي شود 75ر سرعت دارد چرخ وفلك شهر بازي وقتي حداكث) 116

اگر تا ايست كامل اين كار ادامه يابد در مجموع چرخ و فلك چند متر جابه جايي دارد؟ . دفعه قبل است : حل

S=125متر جا به جايي دارد 125در مجموع چرخ و فلك

. حد مجموع زير را پيدا كنيد ar>1اگر) 117 :حل

...)()()( ++++++++++= 33222 1111 raaaraaraS


٣٨ گروه آموزش رياضی استان فارس

S را درr ضرب مي كنيم دو رابطه را از هم كم مي كنيم . ...)()()( ++++++++++= 432322 111 raaaraararrS

))((...)(

arrS

arraraarSr

−−=⇒

−=++++=− 11

11111 3322

1202121حاصل) 118 11 −−−− ++++−= )...)(( xxxxA 2ا به ازاي ر=x بدست آوريد. :حل

1202

21 11111 −++++−= )...)((xxx

xA

120

192021 11 −+++−=⇒ )...)((

xxxxA

)...

)((1

1 1920

2021

+++−=⇒

xxxxA

)( 120 −=⇒ xxA )()()( 121024122 20 −=−=⇒ A

119 (55پس از آن. آب موجود در آب انباري را مصرف مي كنند1

آب باقي مانده را نيز خارج مي كنند بعد از 1

5اين برداشت اب باقي مانده در آب انبار به اندازه انبار آب حساب كنيد چه كسري از آب. گنجايش آن است1

داشته است؟ 1=و گنجايش آب انبار x=فرض كنيم موجودي آب انبار: حلراه

5چونx5آب موجود به مصرف مي رسد پس 1

5باقي مانده 4xxاين مقدار برابر1 25

454

51

.است ×=

16: حال معادله زير را داريم5

51

254

54

=⇒=− xxx

)()(.....)(حاصل عبارت ) 120 12979899100 22222 −++−+−=A را به كمك دنباله د؟ يحسابي بباب

: حل


٣٩ گروه آموزش رياضی استان فارس

50501993250

50411993141993195199

1212979897989910099100

=+=

=⇒−−+=⇒−+=−==→+++=

−+++−++−+=

)(

))(()(,.....

))((.......))(())((

A

nndnaadaA

A

n

اخته شده است كه شدت ه هاي محافظتي سيد به پوست اليبراي محافظت از تابش هاي مضر نور خورش) 121درصد كاهش 90م تا شدت تابش يد استفاده كنيه بايحداقل چند ال. ن ها نصف مي شودآتابش ها پس از عبور از

ابد؟ ي :حل

410221

101

21901

9021110

9

2112112

1

10090

21

81

41

21

≥→>→>→>−

>−→>−

−→⟩++++

nnnn

n

n

n

/

/)())((

K

تا و 3تا 3ن دانش آموزان را ياگر ا. دانش آموز است 320تا 250ن يك دبستان تعداد دانش آموزان بيدر ) 122 تعداد دانش آموزان چند تاست؟ . دانش آموز باقي مي ماند 2م در هر حالت يتا بشمار 12تا 12پنج تا پنج تا و

: خالصه شدهحل [ ] 3022300300560601253 =⇒−=⇒=×⇒= MM,,

]در تساوي xحدود ) 123 ] [ ] 514 =++− xx را تعببن كنبد. [ ] [ ] [ ] 544514 ⟨≤⇒=⇒=++− xxxx

32ي تقسيم تابع باقيمانده) 124 23 +−+= xnxxxf ي باقيمانـده . اسـت 1برابـر بـا x−2بـر )( .را به دست آوريد x+1بر x(f(تقسيم

21101342413241612 23

−=−⇒−=⇒=++−−=⇒−=⇒=+−+⇒=

)()()(

fxxxxxxfnnf

|sin|||ي مجموعه جواب نامعادله) 125πxx 2

را به دست آوريد ≤

|sin|ا رسم نمودارهاي توابع ب xy ||و =πxy 2

=

||||شود نتيجه مي 2π

≤x.

4و 3ن به ترتيب آدر دنباله هندسي غير نزولي كه جمالت اول و سوم ) 126حد مجموع برابر با اشد مي ب 3

چيست ؟


٤٠ گروه آموزش رياضی استان فارس

21

4134

3 2223 ±=→=→=→= qqqaqa

2چون دنباله غير نزولي است پس 1

−=q .

2211

31 =

+=

−=

qaS

قدر نسبت دنباله را . برابر مجموع سه جمله اول آن دنباله است 28جمله اول يك دنباله هندسي 6مجموع ) 127 .بيابيد

36 28SS =

2811

11281

13

61

36=

−−

⎯→⎯⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ±

qq

qqa

qqa q

327281 331 =⇒=⇒=+⎯⎯ →⎯ +± qqqq )مانده تقسيم را طوري بيابيد كه باقيBمقدار ) 128 ) 246 52 xBxxxf مساوي دو x+1بر =−+ .باشد

2422521 =→−=−→=+− BBB ( ) ⇒=−⇒= 212 PR 242521 =⇒−=−⇒+− BBB

كنيدحلمعادله قدر مطلق زير را ) 12954112412 −=→=−−=+−−=−+ xxxxxx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=→≤=

=→<≤−=

−=→−<=−−

33

12133

52141

xxx

xxxققغ

xxx

o

o

اگر به قدر نسبت آن يك واحد افزوده شود، آن گاه به مجموع aدر يك دنباله ي عددي با جمله ي اول ) 130 بيست جمله ي اول آن چقدر افزوده مي شود؟

:حل


٤١ گروه آموزش رياضی استان فارس

190190192101919210119210112022

201122122

20

20

+=++=

++=++=+−+=⇒

+−+=⇒−+=

Sda

dadadaS

dnanSdnanS nn

][

][ )]([ )])(([

)])(([ ])([

'

'

21نامساوي aبه ازاي چه مقدار ) 1313

2

2<

++++

xxaxx همواره برقرار است؟

:حل

01201

2223

021321

3

2

2

2

22

2

2

2

2

<++−++−

⇒<++

−−−++

⇒<−++++

⇒<++++

xxaxx

xxxxaxx

xxaxx

xxaxx

)(

مثبت نيز در آن مثبت است، پس عبارتي است همواره 2xبا توجه به اين كه مخرج ريشه ندارد و ضريب

477408410)2( 02 <→<→<−+⎯⎯→⎯<−++−⇒ <∆ aaaaxx

چند فرزند داري ؟ معلم : دانش آموزان كالس سوم رياضي يك دبيرستان از دبير حسابان خود پرسيدند ) 132برابر آن عده كمتر است تعداد فرزندان معلم را به دست 13واحد از 18دوبرابر توان دوم فرزندان من : پاسخ داد

. آوريد : حل

x=ان تعداد فرزند201813213182 22 =→=+−→=+ xxxxx

درصد رنگ 20درصد رنگ به محلولي با 12ليتر محلول حاوي 15چه مقدار آب بايد تبخير شود تا از ) 133 . )فرض كنيد هيچ مقدار رنگ در عمل تبخير ، از بين نمي رود . ( برسيم : حل

x=شده مقدار آب تبخير

litxxx

615910020

1559

5915100

12

=→−=→=−

=×


٤٢ گروه آموزش رياضی استان فارس

ياسمن مي تواند برنامه اي را در مدت . و همكار هستند ) نرم افزار ( مهسا و ياسمن هردو مهندس كامپيوتر) 134اگر هر دو با هم كار كنند در مدت . روز كمتر وقت صرف مي كند 5و مهسا براي همين برنامه . معيني اجرا كند

روز برنامه اجرا مي شود هر يك به تنهايي چند روزه برنامه را اجرا مي كند ؟ 6 : حل

−=تعداد روزهاي مهسا x=تعداد روزهاي ياسمن 5x

⎩⎨⎧

==

→=+−→−=+−→=−

+xققغxقق

xxxxxxxx 2

15030175630661

511 22

.روز مي باشد 10روز و مدت كار مهسا 15مدت كار ياسمن

.را بدست آوريد باشد حاصل ريشه هاي معادله اگر ) 135 : حل

543

633633633

=××−

=−

→===+=P

PSSPS βαβα

بنابر اين حاصل xx . كنيد حلمعادله گنگ زيررا ) 136 −=−+ 532

: حل

( ) 23333532 xxxxxx 2به توان +−=−⇒−=−→−=−xxxxxxققxققغ 430127693 22 ==→=+−→−+=−→

}= مجموعه جواب با قراردادن درمعادله اصلي 3{

4و قدر نسبت آن 3مجموع جمالت يك دنباله هندسي نامتناهي كه جمله سوم آن ) 137 ؟ باشد چقدر است 1

: حلaa aq aq

= ⇒ = = =2 33 2

3 48116

64

411

481 =

−=

−=

qaS

01124هاي معادله ريشه βو αاگر ) 138 2 =+− xx باشد مقدارβα11

چقدر است؟ +


٤٣ گروه آموزش رياضی استان فارس

,

.

( ) .

x x x x S P

S PP

S P

α βα β α β

α β α β α β α β

÷− + = ⎯⎯→ − + = ⇒ = =

+ + ++ = = = =

+ = + = + + = +

42 2

2

1 14 12 1 0 3 0 34 41 1 2 3 1 41

22 2

fasle 1

Documents