fauskanger, bjuland, & mosvold (2010). det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk

«Eg kan jo multiplikasjon, men ka

ska eg gjørr?»

Det utfordrende

undervisningsarbeidet

i matematikk1

Janne Fauskanger, Raymond Bjuland ogReidar Mosvold

Når lærere skal legge til rette for elevers læring av matematikk, fordrer det ulike typer

matematisk kunnskap. I dette kapitlet vil vi sette matematikklæreres kunnskap for

undervisning inn i en teoretisk sammenheng. Videre vil vi presentere en modell som

kan være til hjelp når ulike aspekter av matematikklæreres kunnskap skal diskuteres. Vi

vil belyse undervisningskunnskap i matematikk tilknyttet noen sentrale aspekter ved

de fire regneartene. Diskusjonen vil særlig bli relatert til et praktisk eksempel: flersifret

multiplikasjon.

Innledning

Innholdet i lærerutdanningen2 er stadig oppe til diskusjon, og når det nå

legges frem forslag til ny rammeplan for lærerutdanningen i Norge, har

dette igjen vært diskutert i ulike fora, både nasjonalt (i faggruppen som har

1 Dette kapitlet er skrevet med støtte fra Oljeindustriens Landsforening (OLF).2 Når vi her skriver lærerutdanning, vektlegger vi allmennlærerutdanning, eller det som fra

høsten 2010 kalles grunnskolelærerutdanninger.

99

skrevet de nye nasjonale retningslinjene) og lokalt (i alle høringsinstanser,

eksempelvis alle lærerutdanninger). I det nye forslaget til rammeplan for

lærerutdanningen for 1.−7. trinn står det at studenter gjennom sin lærerut-

danning skal:

(...) utvikle undervisningskunnskap i matematikk. Dette innebærer at de må ha

en solid og reflektert forståelse for den matematikken elevene skal lære, og hvordan

denne utvikles videre på de neste trinnene i utdanningssystemet. Videre kreves

matematikkfaglig kunnskap som er særegen for lærerprofesjonen. Slik kunnskap

omfatter, i tillegg til selv å kunne gjennomføre og forstå matematiske prosesser

og argumenter, også å kunne analysere slike som foreslås av andre med tanke på

å vurdere deres holdbarhet og eventuelle potensial. Undervisningskunnskap inne-

bærer også å ha didaktisk kompetanse som gjør at studentene kan sette seg inn i

elevenes perspektiv og læringsprosesser, og gjennom variasjon og tilpasning kunne

tilrettelegge matematikkundervisning for elever med ulike behov ogmed ulik kultu-

rell og sosial bakgrunn på en slik måte at matematikk framstår som et meningsfullt

fag for alle elever. (KD, 2010, s. 33, vår utheving)

Undervisningsarbeidet3 fordrer ulike typer matematisk kunnskap. Mate-

matikklærere skal blant annet kunne velge ut gode matematiske eksempler

og oppgaver, analysere elevenes matematiske argumenter, utregninger, feil

og misoppfatninger, stille matematiske spørsmål, svare på spørsmål relatert

til matematikk og evaluere læremidler i matematikk. Som sitatet ovenfor

viser, ligger det her til grunn en tanke om at matematikklærere trenger både

faglig og fagdidaktisk kunnskap,men også en type spesialisert fagkunnskap.

Den spesialiserte fagkunnskapen er tett knyttet til undervisningsarbeidet i

matematikk. Vi som arbeider med lærerutdanning, stiller oss ofte følgende

spørsmål: Hva slags kunnskap trenger lærere som underviser i matema-

tikk i grunnskolen? Det er aspekter ved denne kunnskapen vi vil diskutere i

dette kapitlet, og diskusjonen vil belyses med et praktisk eksempel tilknyttet

multiplikasjon.

Som lærerutdannere er vi involvert i veiledning av lærere som allerede

er i jobb, og også her blir et viktig fokus hvilken kunnskap lærere trenger.

To eksempler med spørsmål fra nyutdanna lærere kan belyse dette. Det

første spørsmålet er: «Eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eg gjørr?» Den

3 Vi har valgt å bruke begrepet «undervisningsarbeid» i stedet for undervisning, da under-

visning kan tolkes som det som foregår i en undervisningssituasjon. Undervisningsarbeidet

innbefatter også blant annet planlegging og vurdering av undervisning.

100

«Eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eg gjørr?»

nyutdanna presiserte spørsmålet med å si at hennes elever på 3. klassetrinn

skulle begynne med multiplikasjon, og hun lurte på hvordan hun på best

mulig måte kunne innføre emnet i klassen. Hun kunne selvfølgelig ensifret

multiplikasjon,mendet hun ikke kunne, handlet omundervisningsarbeidet

tilknyttet multiplikasjon. Det andre spørsmålet kom fra en lærer på 2. klas-

setrinn. Hun viste følgende arbeid fra en elev:

2 – 1 = 2

4 – 3 = 4

3 – 0 = 3

5 – 2 = 5

Ser du hva eleven gjør? Hva tror du hun tenker?

Den nyutdanna læreren sa videre at hun selvfølgelig kunne subtraksjon og

observerte hva eleven gjorde feil, men hun visste ikke hva hun skulle gjøre

videre. Igjen ser vi at det er undervisningsarbeidet som er det utfordrende.

Utsagn av typen «jeg kan, men vet ikke hva jeg skal gjøre» har forekommet

ofte når matematikkundervisningen har vært vektlagt i veiledning av nyut-

danna. Dette indikerer at nyutdanna lærere har en del matematiske kunn-

skaper på plass, men de vet ikke hva de skal gjøre i undervisningssitasjonen.

Hva da med lærerutdanningen i matematikk? Kan vi der i større grad vekt-

legge undervisningsarbeidet4 slik at de kommende lærerne «vett ka de ska

gjørr»?

Som lærerutdanner må en fokusere på kunnskap som er nødvendig for

å gjøre en undervisningsjobb, noe en må arbeide med i ulike fag, i praksis-

opplæringen og i mentorutdanningen. Vi vil i dette kapitlet vektlegge mate-

matikklæreres kunnskaper, eller det vi kaller læreres undervisningskunnskap

i matematikk.

4 Undervisningsarbeidet er noe annet enn lærerarbeidet, som også involverer mye annet enn

det fagrelaterte (se for eksempel Aili, Persson, & Persson, 2003; Hanssen & Østrem, 2007).

Vi har tidligere diskutert hvilke implikasjoner dette får for etterutdanning av lærere (se Faus-

kanger & Mosvold, 2008).

101

Janne Fauskanger, Raymond Bjuland og Reidar Mosvold

Undervisningskunnskap i matematikk

Fra mange hold fokuseres det på at lærerne er den viktigste enkeltfaktoren

som har betydning for kvaliteten i skolen, og følgelig for elevenes presta-

sjoner (Rowan, Correnti &Miller, 2002; Sanders &Horn, 1994). I en analyse

av 700 første- og tredjeklasselærere (og nesten 3000 elever) fant forskere

(Hill, Rowan & Ball, 2005) at lærernes kunnskaper gir signifikante utslag

på elevers kunnskaper. Stortingsmelding nr. 16 (2001−2002) om ny lærer-

utdanning fremhever også at de dyktige lærerne kan oppnå gode resultater

uavhengig av elevenes forutsetninger, pedagogiske opplegg og metoder. Et

viktig spørsmål i denne sammenheng er hvilke kunnskaper disse dyktige

lærerne damå ha. Selv om flere studier viser at lærernes kunnskaper i mate-

matikk har en positiv innflytelse på elevenes læringsutbytte, foreligger det

mindre informasjon om hva som er innholdet i denne kunnskapen. Dreier

det seg om basisferdigheter på det nivået en underviser, eller dreier det seg

ommer sammensattmatematisk kunnskap (Ball,Hill&Bass, 2005;Hill, Ball

& Shilling, 2008)? Uansett blir det i all lærerutdanning viktig å bruke tiden

på det lærere trenger (Ball & Bass, 2003), så bedre kunnskap om undervis-

ningskunnskap i matematikk blir viktig (Faulkner mfl., 2008; Reutzel mfl.,

under utgivelse).

Hva må lærere kunne?

Tidligere trodde en at dersom lærerne bare kunne nok matematikk, så ville

undervisningen bli god, og følgelig ville elevene få et godt læringsutbytte av

undervisningen. Både lærerutdanningen og etter- og videreutdanningen av

lærere ble da rene matematikkurs. I Norge trodde en lenge at en kunne bli

en god matematikklærer også uten at matematikk var en del av lærerutdan-

ningen. Ved lærerutdanningen i Stavanger hadde eksempelvis studentene på

1970-tallet matematikk én time i uken, og dette hadde de kun det første året

av sin 2-årige lærerutdanning (Haaland & Reikerås, 2005). Først i 1992 ble

matematikk i norsk lærerutdanning obligatorisk med 5 vekttall (15 studie-

poeng), og i 1998 ble matematikkdelen i lærerutdanningen utvidet til 10

vekttall (30 studiepoeng). I skrivende stund er ny trinndelt lærerutdanning

på trappene. For lærere som skal undervise på trinn 1−7, er det fortsatt

obligatorisk med 30 studiepoeng i matematikk, mens det for kommende

matematikklærere på trinn 5−10 er obligatorisk med 60 studiepoeng. Vårt

hovedfokus er imidlertid ikke på antall studiepoeng. Vi mener det er mye

viktigere å rette fokus mot innholdet i de studiepoengene sommatematikk-

lærere skal ha.

102


Gjennom studier av blant annet Shulman (1986), ble lærerutdannere

gjort oppmerksom på at effektiv undervisning handler om mye mer enn

at læreren som underviser, er faglig kompetent. Shulmans studier viste at

lærere kan sitt fag på en annen måte enn fagfolk som ikke underviser. Han

var opptatt av hvordan lærere omformer sin kunnskap til en form som gjør

det mulig for elevene å gripe fagstoffet, og han påpekte at lærerens kunn-

skap alene ikke automatisk gir bedre undervisning. Shulman understreket

at lærere måtte kunne sitt fag, både fakta og begreper innenfor et område,

men også hvorfor faktaene og begrepene er sanne, og hvordan kunnskap

innenfor området er generert og strukturert. Men utover ren fagkunnskap,

mente Shulman at læreren måtte ha kunnskap om undervisning i et fag og

om hvordan emner er organisert, både innenfor et skoleår og i et lengre

tidsperspektiv. Shulman kalte denne kunnskapen pedagogical content know-

ledge, og vi velger å kalle den fagdidaktisk kunnskap.5 Fagdidaktisk kunnskap

betyr i praksis at læreren må finne frem til eksempler og forklaringer som

kan hjelpe elevene når de skal tilegne seg et fagstoff. Lærere må ha evnen til

å forstå sentrale forhold rundt matematikkundervisning og på den måten

legge til rette for at elever lærer matematikk ut fra sine egne forutsetninger.

I lærerutdanningen har en hatt variasjon fra rene matematiske kurs til

rene didaktiske eller metodiske kurs. Argumentene for at det matematiske

må få plass − og stor plass − er mange. Denne argumentasjonen støttes av

forskere som Ball, Hill og Bass (2005). De bygger på Shulmans teorier og

har forsøkt å identifisere og spesifisere den matematiske kunnskapen de

mener er nødvendig for en lærer, det de kaller mathematical knowledge for

teaching (MKT), som vi kaller undervisningskunnskap i matematikk. En

slik kunnskap består på den ene siden av en typematematisk kunnskap som

alle velutdanna voksne burde ha, og en type kunnskap som er mer spesiali-

sert og rettet mot de som skal undervise i matematikk (Hill, Ball & Shilling,

2008). På den andre siden må lærere ha fagdidaktisk kunnskap. Undervis-

ningskunnskap i matematikk er altså matematisk og fagdidaktisk kunnskap

som er nødvendig for å utføre undervisningsarbeidet. Hill, Rowan og Ball

(2005) har sammen med sitt forskningsteam funnet at elevene til lærere

som har høy undervisningskunnskap i matematikk, lærer mer matematikk

gjennom et år medmatematikkundervisning enn elever hos lærere som har

mindre kompetanse på dette området. De har også funnet at matematisk

kunnskap er av avgjørende betydning for lærere som arbeidermed de yngste

elevene. I studier fant de at lærernes undervisningskunnskap i matematikk

5 Fagrelatert didaktisk kunnskap brukes også på norsk (Slåtten, 1998).

103


hadde sammenheng med elevenes resultater i matematikk helt ned i 1. og

3. årstrinn. Dette indikerer at lærernes undervisningskunnskap i matema-

tikk har betydning også ned i de laveste trinnene.

En amerikansk modell

Undervisningskunnskap i matematikk tar utgangspunkt i en tanke om at

det finnes noen utfordringer i undervisningsarbeidet som er universelle.

Ball, Thames og Phelps (2008) har identifisert følgende utfordringer i

USA:

• Presentere matematiske ideer

• Respondere på elevenes «hvorfor»-spørsmål

• Finne eksempel for å få frem et bestemt matematisk poeng

• Være klar over hva som involveres når en bestemt fremstilling tas i

bruk

• Knytte representasjoner til underliggende ideer og til andre represen-

tasjoner

• Knytte emnet en underviser i, til emner fra tidligere år, eller til

kommende emner

• Forklare matematiske mål og hensikter til foreldre

• Vurdere og tilpasse det matematiske innholdet i lærebøker6

• Endre oppgaver slik at de blir mer eller mindre utfordrende

• Forklare om elevenes påstander er rimelige (ofte raskt)

• Gi, eller evaluere, matematiske forklaringer

• Velge og utvikle gode definisjoner

• Bruke matematisk notasjon og språk, og bedømme bruken

• Stille fruktbare matematiske spørsmål

• Velge ut hensiktsmessige representasjoner

• Undersøke likheter

(Ball, Thames & Phelps, 2008, s. 400, vår oversettelse)

Medmatematikkundervisningensutfordringer somutgangspunkt, har fors-

kerne ved University of Michigan videreutviklet Shulmans opprinnelige

modell7.

6 Vi mener at begrepet «lærebøker» er noe snevert, og vi vil i vårt arbeid videre utvide dette

punktet til å vurdere og tilpasse det matematiske innholdet i læremidler.7 Denne modellen blir brukt i tilknytning til mange flere fag enn matematikk.

104


Der Shulman (1986) skilte mellom fagkunnskap og fagdidaktisk kunnskap

(øverst i figur 1), foreslår forskerne fra University of Michigan å spesifisere

og utdype kategoriene ved å skille mellom allmenn fagkunnskap og spesiali-

sert fagkunnskap på den ene siden, og kunnskap om faglig innhold og elever og

kunnskap om faglig innhold og undervisning på den andre siden (Ball, Thames

& Phelps, 2008). Det kanskje viktigste aspektet her er det de kaller spesiali-

sert fagkunnskap. I likhet med fagdidaktisk kunnskap er denne typen kunn-

skap tett knyttet til praksis, men i motsetning til fagdidaktisk kunnskap så

krever ikke denne noe kunnskap om elevene eller undervisningen. Spesia-

lisert fagkunnskap er en bestemt type matematisk kunnskap, men det er

ikke nødvendigvis en type kunnskap som matematikere eller andre med god

allmenn fagkunnskap i matematikk innehar. Et eksempel er ulike metoder

for å regne ut 35 · 25 (se figur 2 på s. 108). Mens alle med allmenn fagkunn-

skap kan finne en løsning på 35 · 25, vil en med spesialisert fagkunn-

skap i tillegg kunne bruke og vurdere gyldigheten til ulike løsningsmetoder

for den flersifrete multiplikasjonen. Å kunne arbeide med utfordringen

gitt i figur 2 vil altså være et eksempel på spesialisert matematiske kunn-

skap.

Allmenn fagkunnskap i matematikk er altså kunnskap som blir brukt i

undervisningsarbeidet på samme måte som kunnskapen blir brukt i andre

Fagkunnskap (FK) Fagdidaktisk kunnskap (FDK)

Allmennfagkunnskap(AFK)

Matematiskhorisont-kunnskap

Spesialisertfagkunnskap(SFK)

Læreplan-kunnskap

Kunnskapom fagliginnhold ogelever

Kunnskapom fagliginnhold ogundervisning

Figur 1. Områder undervisningskunnskap i matematikk består av (Ball, Thames &

Phelps, 2008, s. 403, vår oversettelse).

105


yrker hvor en også har bruk for matematikk. Et eksempel er å finne

svaret på 35 · 25 på et eller annet vis. Spesialisert matematisk kunn-

skap er den matematiske kunnskapen som gir lærere mulighet til å gjen-

nomføre spesifikke undervisningsoppgaver «inkludert presis representasjon

av matematiske ideer, sørge for å gi matematiske forklaringer for vanlige

regler og prosedyrer og undersøke og forstå uvanlige løsningsmetoder for

problemer» (Hill, Ball & Shilling, 2008, s. 378, vår oversettelse). I tillegg

inkluderer fagkunnskapen det vi har valgt å kalle matematisk horisontkunn-

skap, som er «en bevissthet om hvordan spennvidden av matematiske emner

inkludert i læreplanen er relatert til hverandre» (Ball, Thames & Phelps,

2008, s. 42, vår oversettelse). Matematisk horisontkunnskap handler om

hvordan matematiske emner i læreplaner bygger på hverandre og henger

sammen.

På den høyre siden av figur 1 beskrives den fagdidaktiske kunnskapen,

hvor videreformidling av kunnskap er i fokus. Her er kunnskap om elever

og undervisning det viktigste, men hele tiden med den matematikkfaglige

kunnskapen som utgangspunkt. Tar vi opp igjen eksemplet 35 · 25, vil

det å kunne analysere elevenes matematiske feil og misoppfatninger tilknyttet

flersifret multiplikasjon, stille spørsmål, svare på spørsmål relatert til utreg-

ningen, og evaluere læremidler til bruk i multiplikasjon være eksempler på

kunnskap om elever og undervisning. Vi kommer nærmere inn på disse

under.

Videre i kapitlet vil vi konkretisere og eksemplifisere de ulike delene av

undervisningskunnskap i matematikk presentert i figur 1 ved å bruke noen

aspekter ved de fire regneartene, spesielt multiplikasjon.

Undervisningskunnskap − de fire regneartene

Matematikk i grunnskolen inneholder mange emner, og hvert emne er

sammensatt av mange ulike temaer (KD, 2006). For å kunne gå litt i

dybden har vi her valgt å fokusere på undervisningskunnskap i mate-

matikk kun tilknyttet noen aspekter ved de fire regneartene, heltallig

og skriftlig regning. Utsagnet «eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eg

gjørr» vil være vårt utgangspunkt videre. Selv om dette spørsmålet ble

stilt med utgangspunkt i ensifret multiplikasjon, har vi valgt å bruke fler-

sifret multiplikasjon som eksempel, da flersifret multiplikasjon gjør det

mulig å trekke frem flere sider ved undervisningskunnskap i matema-

tikk. Vi vil avslutningsvis trekke inn flere regnearter enn multiplikasjon.

Vi vil se på fire viktige aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk

106


i denne sammenheng. Det første er å kunne løse selve oppgaven (allmenn

fagkunnskap), det andre er å forstå de ulike metodene som elever bruker,

både vanlige og uvanlige (spesialisert fagkunnskap). Det tredje handler

om å analysere feilmønstre og misoppfatninger og til sist kunne legge

til rette for en undervisning der elever overvinner sine misoppfatninger

og videreutvikler sin forståelse for heltallig regning (fagdidaktisk kunn-

skap).

Hva innebærer så undervisningskunnskap tilknyttet flersifret multipli-

kasjon? Først av alt må en som lærer ha allmenn matematikkfaglig kunn-

skap og kunne regne og få riktig svar.

Regn ut 35 · 25 både i hodet og på papir og tenk på hva som gjør deg overbevist om

at svaret du har fått, er riktig.

Som lærer må en altså kunne regne, men det å finne riktig svar på 35 · 25

kan de fleste lenge før de begynner på sin lærerutdanning. Hva skal en

da i lærerutdanningen fokusere på for at nyutdanna lærere «vett ka de ska

gjørr»?

I tillegg til å kunne regne inneholder undervisningskunnskap i matema-

tikk komponenten spesialisert fagkunnskap. Sentralt her er å forstå ulike

metoder for å løse problemer, og ulike algoritmer for å komme frem til

riktig svar. Flere forskere argumenterer for hvor viktig det er at elever under

kyndig veiledning får utvikle og bruke algoritmer de forstår (for eksempel

Johansson, 2006; Kjøsnes, 1997). 35 · 25 kan skriftlig regnes ut med mange

ulike algoritmer. Noen vil alltid gi feil svar, andre alltid riktig svar. Til sist

har vi algoritmer som av og til gir riktige og andre ganger gale svar.

107


Studer oppgaven i figur 2.8

Skal lærere utvikle undervisningskunnskap tilknyttet multiplikasjon, blir

arbeidmed oppgaver av denne typen viktig. Forskningenviser at læreremed

høy undervisningskunnskap i matematikk, lærere som har riktig svar på

oppgaver som den vi har presentert ovenfor, har bedre resultater blant sine

elever (Hill, Rowan & Ball, 2005). Derfor kan vi argumentere for at under-

visningskunnskap i matematikk er et viktig område å jobbe videre med,

også tilknyttet den norske konteksten. Undersøkelser knyttet til oppgaver

av denne typen er fulgt opp med case-studier som viser at kvaliteten

på undervisningen til lærere med høy undervisningskunnskap i matema-

tikk er bedre enn undervisningen til lærere med lav undervisningskunn-

8 Denne oppgaven er vår oversettelse av en frigitt oppgave utviklet av forskere ved University

ofMichigan. Vi har oversatt flere slike oppgaver og blant annet arbeidet med oversettelsespro-

blematikk i denne sammenheng (Mosvold, Fauskanger, Jakobsen&Melhus, 2009; Fauskanger

& Mosvold, 2010).

1. Tenk deg at elevene dine arbeider med multiplikasjon av store tall. Blant elevarbeidene ser du

at noen bruker følgende metoder:

Elev A Elev B Elev C

35

· 25

125

+ 75

875

35

· 25

175

+ 700

875

35

· 25

25

150

100

+ 600

875

Hvilke av elevene bruker en metode

som kan benyttes til å multiplisere to

vilkårlige hele tall?

Metoden vil

fungere for alle

hele tall

Metoden vil IKKE

fungere for alle

hele tall

Jeg er ikke sikker

Figur 2: Oppgave som inkluderer ulike metoder for utregning av flersifret multiplika-

sjon

108


skap i matematikk (Hill, Blunk, Charalambous mfl., 2008). Ikke bare gjør

lærere med høy undervisningskunnskap i matematikk færre matematiske

feil, men de klarer også å utnytte kunnskapen sin til å gi elevene bedre

og mer nøyaktige forklaringer og begrunnelser. I tillegg analyserer de elev-

enes matematiske ideer på en bedre måte, bruker et matematisk presist

språk og velger og planlegger oppgaver og aktiviteter ut fra et matema-

tisk perspektiv. Lærere med høy undervisningskunnskap i matematikk har

rett og slett en større vektlegging av matematikk i sin matematikkundervis-

ning.

Et annet sentralt aspekt av undervisningskunnskap i matematikk er å

se multiplikasjon i relasjon til de andre regneartene og til andre matema-

tiske emner, for på den måten å bli kjent med ulike oppgavestrukturer som

ligger til grunn for multiplikasjon. 35 · 25 kan regnes ut som 25 + 25 +

25 + ..., så en kobling til andre regnearter er den multiplikative strukturen

like grupper eller multiplikasjon som gjentatt addisjon (Alseth, 1998; Solem,

Alseth & Nordberg, 2010). Dette knytter multiplikasjon til addisjon. En

ulempe med å arbeide kun med like grupper er at det kan bli en ensidig

vektlegging av additiv tenkning. Andre multiplikative strukturer blir derfor

viktige. 35 · 25 kan være en nødvendig utregning å foreta om en skal finne

arealet av et rektangulært gulv som er 25 meter bredt og 35 meter langt.

Da kan en se for seg et rutenett med 35 · 25 ruter, og denne multiplikative

strukturen blir derfor kalt rutenett. En tredje struktur som er nært knyttet

til kombinatorikk kalles antall kombinasjoner (Solem mfl., 2010). 35 · 25

kan, tilknyttet kombinasjoner, da være en nødvendig utregning å foreta om

en skal løse følgende oppgave: To elever skal trekkes ut for å representere

skolen i et radioprogram. En fra 6. trinn (som består av 35 elever) og en fra

7. trinn (25 elever) skal være med. Hvor mange mulige utvalg på to elever

har en?

Undervisningskunnskap i matematikk inneholder også komponenter

knyttet til relasjonene innhold−elever og innhold−undervisning.Nårmulti-

plikasjon er i fokus, blir oversikt over elevenes utvikling av multiplikativ

tenkning et viktig grunnlag. Den multiplikative utviklingen beskrives ofte

i fire trinn (Solem mfl., 2010), hvor det er snakk om en gradvis utvikling

mot de høyere trinnene. Utviklingen går fra at elevene har behov for direkte

modellering i arbeidet med multiplikasjon til at de er fortrolige med tall-

symbolene og deler av gangetabellen. Ved flersifret multiplikasjon er selv-

følgelig ensifret multiplikasjon et viktig grunnlag, det samme er forståelse

for posisjonssystemet.

Videre vil vi bruke følgende regnestykker som eksempel:

109


344 + 66

72 – 56

164 : 4

27 · 7

Før du leser videre vil vi derfor anbefale deg å finne frem papir og blyant og

regne (både i hodet og på papir). Hva får du som svar? Tenk også gjennom

hva du gjør i hvert trinn i din utregning, og hvorfor du gjør det.

Forhåpentligvis har du fått andre svar enn elevene som har regnet her:

Disse elevene går på mellomtrinnet. Hvordan tror du elevene har tenkt?

For disse elevene er ikke utregningen over kun regnefeil, de hadde tilsva-

rende feilmønster i mange av sine skriftlige utregninger. Eleven som fikk

svaret 1004 i addisjonsoppgaven over, hadde tilsvarende feilmønster når

antall siffer i tallene som skulle adderes, var ulike. Var antall siffer likt, fikk

han riktig svar. Eleven har et feilmønster som ifølge Brekke (1995) kan bygge

på ufullstendig(e) tanke(r) tilknyttet addisjon, også kaltmisoppfatning. Her

berører vi en sentral utfordring i matematikkundervisningen, og dermed

av læreres undervisningskunnskap i matematikk, nemlig hvordan en som

lærer kan legge til rette for at eleven skal innse at de ideer, begreper og regler

de har dannet, ikke alltid gjelder i nye situasjoner. Læreres første utfordring

blir å kartlegge og analysere elevens misoppfatning. Denne eleven får altså

riktig svar når antall siffer i tallene som skal adderes, er likt. Brekke frem-

hever at det er viktig å forstå at det er forskjell på feil og misoppfatninger.

Feil kan forekomme mer eller mindre tilfeldig, mens misoppfatninger ikke

er tilfeldige. Bak misoppfatningene ligger det en bestemt tenkning som

elevene bruker konsekvent. Hos denne eleven var det regelen «tallene skal

settes under hverandre og inntil veggen til venstre» som gjorde at eleven

satte tallene under hverandre på denne måten. Kanskje regelen skulle være

110


«tallene skal settes under hverandre og inntil veggen til høyre»? Eksemplet

viser hvor vanskelig det er å huske regler en ikke forstår, for denne eleven

tenker ikke over at tierne i 66 kommer rett under hundrerne i 344, og

dermed legges sammen med dem. En kartlegging av eleven viste også at

dette ikke var tilfeldig, for eleven hadde liten forståelse for posisjonssys-

temet9.

Eleven som fikk 549 som svar på utregningen av 27 · 7, tenkte også på

sammemåte i alle sine utregninger. Elevenmultipliserte enerne først og fikk

ganske riktig 49. De 4 tierne i 49 ble satt opp som 4 i mente på tierplassen,

mens de 9 enerne ble satt i svarets enerplass. I neste steg ble de 2 tierne i 27

multiplisert med 7, men her tenkte eleven i enere og fikk at 2 · 7 er 14 enere.

Disse 14 ble så lagt til de 4 tierne i mente, slik at 54 ble satt opp i svaret.

Brekke (1995) sier at en må tilrettelegge undervisningen slik at eventuelle

misoppfatninger blir fremhevet, og kaller dette å skape en kognitiv konflikt.

Her blir det da viktig å la elever presentere sine løsningsstrategier for hver-

andre, slik at de får mulighet til å se at andre har løst oppgaven på andre

måter og eventuelt fått andre svar (Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema &

Empson, 1998; Carpenter, Fennema, Franke & Levi, 1999). Diskusjon av

ulike løsninger og strategier som er brukt for å finne løsningene samt reflek-

sjoner omkring strategiene, blir viktig her.

Ostad (2008) hevder at elever har behov for en systematisk strategi-

opplæring tilknyttet alle fire regneartene, og forskere hevder at ineffektiv

strategibruk blant elevene primært er forankret i at lærerne mangler stra-

tegikunnskaper (Reid & Lienemann, 2006). Går vi videre med multiplika-

sjon som eksempel, presenterer Ostad (2008) en norsk oversettelse av et

system for klassifikasjon av multiplikasjonsstrategier utviklet av Mabbot og

Bisanz (1992). Strategiene deles grovt inn i to, backup- og retrievalstrate-

gier, to uttrykk som har vokst frem fra teorier der en tenker seg at elev-

enes matematikkunnskaper er lagret som kunnskapsenheter (Ostad, 1999).

Når eleven benytter retrievalstrategier, kjennetegnes oppgaveløsningen ved

at eleven henter frem kunnskapsenheter fra dette lageret. Eleven som får

oppgaven 2 · 7 vet da svaret direkte (direkte retrieval), eller tar utgangs-

punkt i en kjent kombinasjon som vedkommende henter frem fra minnet,

for eksempel at 2 · 5 er 10 og at 2 · 7 blir 4 mer enn 10 (dekomposisjon).

Uttrykket backupstrategier rommer strategier som ikke er retrieval, og 2 · 7

kan da løses ved å tenke 7 + 7 (gjentatt addisjon), ved å telle 7 om gangen:

sju – fjorten (tellestrategier) eller ved å bruke ulike regler (regelstrategier).

9 For mer om utvikling av forståelse for posisjonssystemet, se for eksempel Lindland (2007)

eller Ross (1989).

111


Utgangspunktet for å legge til rette for at elevene utvikler effektive strategier,

er ifølge Ostad (2008) systematisk strategiobservasjon som vil gi læreren

en oversikt over hvilke strategier elevene bruker i oppgaveløsningen. Når

læreren har denne oversikten, kan han/hun legge til rette for systematisk

strategiopplæring som kan bidra til mer effektiv strategibruk hos elevene

(Reid & Lienemann, 2006) og i litteraturen presenteres ulike modeller for

dette (for eksempel i Ostad, 2008). Strategiobservasjon og -opplæring er

derfor en utfordring for lærere, noe som også vektlegges i den nye grunn-

skolelærerutdanningen. I påbyggingen for 1.−7. trinn står det at studenten

etter studiet skal kunne «arbeide teoriforankret og systematisk med kart-

legging av matematikkvansker og opplæring tilpasset elever som har mate-

matikkvansker, for eksempel gjennom strategiopplæring» (KD, 2010, s. 36,

vår utheving).

Innenfor rammen av dette kapitlet er det ikkemulig å belyse alle aspekter

av undervisningskunnskap i matematikk tilknyttet de fire regneartene. Vårt

fokus har vært påmultiplikasjonmed enkelte eksempler fra de andre regne-

artene for å synliggjøre noenviktige sider av undervisningskunnskap imate-

matikk. Vi vil imidlertid understreke at å utvikle undervisningskunnskap i

matematikk er en prosess som omfatter mange aspekter og krever tid, og at

tiden i grunnutdanningen ikke er nok.Utvikling av undervisningskunnskap

i matematikk må være en prosess som blir en viktig del av lærernes profe-

sjonelle verden etter endt lærerutdanning. Det betyr at ulike sider knyttet til

undervisningskunnskap i matematikk også bør vektlegges i mentorutdan-

ningen.

Avrunding

Vi har i dette kapitlet forsøkt å gi et lite innblikk i det komplekse under-

visningsarbeidet matematikklærere er involvert i, og den sammensatte

undervisningskunnskapen matematikklærere trenger for å gjennomføre

undervisningsarbeidet i matematikk. En modell med oversikt over viktige

sider av læreres undervisningskunnskap i matematikk kan være en hjelp

når lærer- og mentorutdanning skal planlegges og videreutvikles. En vekt-

legging av fagkunnskap, ikke bare allmenn fagkunnskap, men også spesia-

lisert fagkunnskap og hvordan matematiske emner i læreplaner bygger på

hverandre og henger sammen (matematisk horisontkunnskap), blir viktig.

Like viktig blir det at lærere kan bruke fagkunnskapen sin i undervisnings-

arbeidet, at de «vett ka de ska gjørr». Noen viktige stikkord tilknyttet under-

visningsarbeidet imultiplikasjon er oppgavestrukturer, utvikling avmultip-

112


likativ tenkning, misoppfatninger og strategiutvikling. I fremtidig lærer- og

mentorutdanning utfordres en derfor til å legge til rette for utvikling av

undervisningskunnskap i matematikk, og figur 1 kan da fungere som en

modell å tenke i. Utfordringen er at utvikling av undervisningskunnskap i

matematikk krever at mange (alle) aspekter av emner belyses både faglig og

fagdidaktisk, og innenfor forholdsvis få studiepoeng må en ta et valg. Vi vil

argumentere for å gi lærere mulighet til å gå i dybden på få emner heller

enn å få litt om alt, men da må lærerutdanningene få muligheten til å tørre

å ta valg.

LitteraturAili, C., Persson, H. & Persson, K. (2003).Mentorskap. Lund: Studentlitteratur.Alseth, B. (1998).Matematikk på småskoletrinnet. Oslo: Nasjonalt læremiddelsenter.Ball, D.L. &Bass, H. (2003). Toward a practice-based theoryofmathematical knowledge

for teaching. IB.Davis&E. Simmt(red.),Proceedings of the 2002AnnualMeetingof the Canadian Mathematics Education Study Group (s. 3–14). Edmonton, AB:CMESG/GCEDM.

Ball,D.L.,Hill,H.C.&Bass,H. (2005).KnowingMathematics for Teaching.WhoKnowsMathematics Well Enough To Teach third Grade, and How Can We Decide?American Educator (Fall 2005), s. 14–17; 20–22; 43–46.

Ball, D.L., Thames, M.H. & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: Whatmakes it special? Journal of Teacher Education, 59 (5), s. 389–407.

Brekke,G. (1995). Introduksjon til diagnostisk undervisning imatematikk. Oslo: Lærings-senteret.

Carpenter, T.P., Fennema, E., Franke, M.L. & Levi, S.B. (1999). Children’s Mathematics.Cognitively Guided Instructions. Portsmouth, NH: Heinemann.

Carpenter, T.P., Franke, M.L., Jacobs, V.R., Fennema, E. & Empson, S.B. (1998). ALongitudinal Study of Invention and Understanding in Children’s MultidigitAddition and Subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), s. 3–20.

Faulkner, L.R., Benbow, C.P., Ball, D.L., Boykin, A.W., Clements, D.H., Embretson, S.mfl. (2008). The final report of the National Mathematics Advisory Panel: U.S.Department of Education. Lastet ned 26. mars 2008 fra http://www.ed.gov/about/bdscomm/list/mathpanel/report/final-report.pdf

Fauskanger, J. & Mosvold, R. (2008). Kunnskaper og oppfatninger – implikasjoner foretterutdanning. Norsk Pedagogisk Tidsskrift, 92 (3), s. 187–197.

Fauskanger, J. & Mosvold, R. (2010). Undervisningskunnskap i matematikk: Tilpas-ning av en amerikansk undersøkelse til norsk, og læreres opplevelse av under-søkelsen. Norsk Pedagogisk Tidsskrift, 94 (2), s. 112–123.

Hanssen, B. &Østrem, S. (2007). Det levende lærerarbeidet.Norsk Pedagogisk Tidsskrift,91 (3), s. 207–219.

Hill, H., Ball, D.L. & Schilling, S. (2008). Unpacking «pedagogical content knowledge»:Conceptualizing andmeasuring teachers’ topic-specific knowledge of students.Journal for Research in Mathematics Education, 39 (4), s. 372–400.

113


Hill, H.C., Blunk, M.L., Charalambous, C.Y., Lewis, J.M., Phelps, G.C., Sleep, L. mfl.(2008).Mathematical Knowledge for Teaching and theMathematical Quality ofInstruction: AnExploratory Study.Cognition and Instruction, 26 (4), s. 430–511.

Hill, H.C., Rowan, B. & Ball, D.L. (2005). Effects of teachers' Mathematical Knowledgefor Teaching on Student Achievement. American Educational Research Journal,42 (2), s. 371–406.

Haaland, I. & Reikerås, E. (2005). Matematikkfaget ved lærerutdanningen i Stavanger. IM. Lea (red.), Vekst og utvikling. Lærarutdanninga i Stavanger 50 år (s. 55–65).Stavanger: Universitetet i Stavanger.

Johansson, B. (2006). Elever har rätt att få lära sig räkna. Nämnaren, 33 (1), s. 28–56.KD(2006).Læreplanverket forKunnskapsløftet.Midlertidig utgave juni 2006.Oslo:Kunn-

skapsdepartementet.KD (2010). Nasjonale retningslinjer for grunnskolelærerutdanningen 1.–7. trinn. Oslo:

Kunnskapsdepartementet.Kjøsnes, N.J. (1997). Divisjonsalgoritmen – gudeskapt eller skapt av mennesker?

Tangenten, 9 (4), s. 1–6.Lindland, E. (2007).Kunnskapomposisjonssystemet – sammenhengmed leseferdighet?

Tangenten, 19 (1), s. 20–25.Mabbot D.J. & Bisanz, J. (1992). Developmental change and individual differences in

children's multiplication. Child Development, 74 (4), s. 1091–1107.Mosvold, R., Fauskanger, J., Jakobsen, A. & Melhus, K. (2009). Translating test items

into Norwegian – without getting lost in translation? Nordic Studies in Mathe-matics Education, 14 (4), s. 101–123.

Ostad, S. (1999). Elever med matematikkvansker. Studier av kunnskapsutviklingen i stra-tegisk perspektiv. Oslo: Unipub.

Ostad, S. (2008). Strategier, strategiobservasjon og strategiopplæring –Med fokus på elevermed matematikkvansker. Trondheim: Læreboka Forlag.

Reid, R.C. & Lienemann, T.O. (2006). Strategy instruction for students with learningdisabilities. London: The Guilford Press.

Reutzel, R., Dole, J.A., Read, S., Fawson, P., Herman, K. mfl. (in press). Conceptuallyand methodologically vexing issues in teacher knowledge assessment. Readingand Writing Quarterly.

Ross, S.H. (1989). Parts, wholes, and place value: A developmental view. ArithmeticTeacher, 36 (6), s. 47–51.

Rowan, B., Correnti, R. & Miller, R.J. (2002). What large-scale, survey research tells usabout teacher effects on student achievement: Insights from the Prospects studyof elementary schools. Teachers College Record, 104 (8), s. 1525–1567.

Sanders, W. & Horn, S.P. (1994). The Tennessee value-added assessment system(TVAAS): Mixed-model methodology in educational assessment. Journal ofPersonnel Evaluation in Education, 8 (3), s. 299–311.

Shulman, L.S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educa-tional Researcher, 15 (2), s. 4–14.

Slåtten, K. (1998). Fagrelatert didaktisk kunnskap. Perspektiver på begrepet «pedago-gical content knowledge». Nordisk Pedagogik, 18 (3), s. 163–173.

Solem, I.H., Alseth, B. & Nordberg, G. (2010). Tall og tanke. Matematikkundervisningpå 1. til 4. trinn. Oslo: Gyldendal Akademisk.

St.meld. nr. 16 (2001–2002). Kvalitetsreformen. Om ny lærerutdanning. Mangfoldig– krevende – relevant.

114


fauskanger, bjuland, & mosvold (2010). det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk

Documents