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１　調査問題の趣旨（１）調査問題作成の基本理念（２）問題作成の枠組み（３）「記述式」の詳細

２　「４年間のまとめ」で示された課題（１）各領域における課題（２）各領域を通しての課題

３　平成25年度調査から明らかになったこと全体的な状況　数と式　図形　関数　資料の活用

４　「４年間のまとめ」で示された課題と　　　　　　　　　　　平成25年度の問題との対応５　授業アイディア例の紹介と活用

Ａ１ ，Ｂ４ ，Ｂ５ ，Ｂ６

説明の全体像

主として「知識」に関する問題

身に付けておかなければ後の学年等の学習内容に影響を及ぼす内容や，実生活において不可欠であり常に活用できるようになっていることが望ましい知識・技能など

主として「活用」に関する問題

知識・技能等を実生活の様々な場面に活用する力や，様々な問題解決のための構想を立て実践し評価・改善する力などに関わる内容

調査問題の趣旨　基本理念

主として「知識」に関する問題

・評価の観点　「数学的な技能」　「数量や図形などについての知識・理解」・出題範囲 … 小学校６学年～中学校２学年

主として「活用」に関する問題

・評価の観点　「数学的な技能」　「数量や図形などについての知識・理解」　「数学的な見方や考え方」・「数学的なプロセス」をα，β，γと整理

「知識」と「活用」の枠組み

α 知識・技能などを実生活の様々な場面で活用する力α１：日常的な事象を数学化することα２：情報を活用することα３：数学的に解釈することや表現すること

様々な課題解決のための構想を立てて実践し評価・改善する力β１：問題解決のための構想を立て実践することβ２：結果を評価し改善すること

上記α，βの両方に関わる力γ１：他事象との関係を捉えることγ２：複数の事象を統合することγ３：事象を多面的に見ること

β

γ

「活用」の問題作成の枠組み

解説資料P.7参照

数学的なプロセス����α �� ��数学を用いて問題を解決しようとするときの

数学的モデル化の過程が念頭にある数学的問題解決過程

日常事象自然現象　　・文章化文章題

数学的モデル

例　方程式 不等式

数学的結論（解）

単純化・理想化近似・仮定の設定記号化・形式化

形式的処理解釈評価比較

三輪辰郎(1983)「数学教育におけるモデル化についての一考察」

検証改善サイクル����β �� ��✦様々な課題解決のための構想を立て実践し，評価・改善する力

ＰＬＡＮ （構想を立て）ＤＯ （実践し）ＣＨＥＣＫ （評価）ＡＣＴＩＯＮ（改善）

✦与えられた情報を分類整理したり，必要なものを適切に選択したりすること

✦ＰＤＣＡサイクル

✦事柄や事実を説明する前提あるいは根拠となる事実の指摘と，それによって説明される結論

記述式問題のタイプ「～は，…である。」

「～を用いて，…する。」

「～であるから，…である。」

✦方法を説明する✴「～を用いて，」 何を用いるのか

（直線のグラフ，長方形の性質 など）✴「…する。」　　 それをどのように用いるのか（例）x と y の関係式に，ある値を代入して求める。

✦理由を説明する✴「～であるから，」根拠✴「…である。」　　説明すべき事柄

1. 数と式ア. 方程式における移項の意味を理解することイ. 方程式をつくって問題を解決するために数量の関係を捉えて２通りに表せる数量に着目すること

2. 図形ア. 証明の必要性と意味を理解することイ. 円柱と円錐の体積の関係を理解すること

3. 数量関係（現「関数」「資料の活用」）ア. ２つの数量の関係が比例・反比例・一次関数の関係になることを理解すること

イ. 二元一次方程式の解を座標とする点の集合は直線として表されることを理解すること

「４年間のまとめ」で示された領域における課題

1. 記述式問題ア. 予想した事柄を数学的な表現を用いて説明すること

（事実・事柄の説明）イ. 問題解決の方法を数学的な表現を用いて説明すること

（方法の説明）ウ. 事柄が成り立つ理由を説明すること （理由の説明）

2. 数学的に表現したり，数学的に表現されたものの 意味を読み取ったりすることア. 関係や法則などを式に表現したり，式の意味を読み取ったりすること

「４年間のまとめ」で示された各領域を通しての課題

◆数量の関係を文字で表すことや多角形の外角の意味を理解することなど，身に付けておかなければ後の学習に影響を及ぼす内容の習得。

◆数学的に表現したり，数学的に表現された事柄を読み取ったりすること。

◆数量の関係を一次関数とみなして問題を解決する方法や，資料の傾向からわかった事柄などを，他の事象に適用してもとの事象との関係を捉えること。

平成25年度調査で明らかになったこと　全体的な状況◇成果　◆課題

◇（Ａ）具体的な事象における数量の関係を捉え，連立二元一次方程式をつくること。

◆（Ａ）実生活の場面において，ある基準に対して反対のの方向や性質をもつ数量が正の数と負の数で表されることを理解すること。

◆（Ｂ）事象を数学的に表現したり数学的に表現された結果を事象に即して解釈したりすることを通して，事柄が成り立つ理由を筋道立てて説明すること。

平成25年度調査で明らかになったこと　数と式◇成果　◆課題

◇（Ａ）見取図，投影図から空間図形を読み取ること。

◆（Ａ） 角の二等分線の作図の根拠となる対象な図形を見いだすこと。

◆（Ｂ）示された方針に基づいて証明することや，与えられた条件を整理したり，着目すべき性質を見いだしたりするなどして，証明の新たな方針を立てること。

平成25年度調査で明らかになったこと　図形◇成果　◆課題

◇（Ａ）与えられた一次関数の式について，x の値に対応する y の値を求めること。◆（Ａ） 関数の意味を理解すること。◆（Ｂ）事象を数学的に解釈し，問題解決の方法を数学的に説明することや，言葉で表現された事柄の数学的な意味を的確に捉え，他の事象との関係を捉えること。

◇（Ａ）与えられたヒストグラムについて，ある階級の　相対度数を求めること。◆ （Ｂ）資料の傾向を的確に捉え，事柄の特徴を数学的に説明すること。

平成25年度調査で明らかになったこと　関数

平成25年度調査で明らかになったこと　資料の活用

◇成果　◆課題

課題番号課題番号課題番号 H25問題番号

正答率（％） 備考（※…問う内容が過去の問題と異なるもの）

各領域における課題

１ア Ａ２(4) 74.6 等式の性質の理解※各

領域における課題

１イ Ａ３(3) 83.1 連立二元一次方程式の立式※

各領域における課題

２ア Ａ８ 64.7 証明の必要性と意味の理解

各領域における課題

２イ Ａ５(3) 47.5 球と円柱の体積の関係※

各領域における課題 ３

ア Ａ９ 13.8 関数の意味の理解

各領域における課題 ３ イ ̶ ̶ （H24Ａ３にて出題）

領域を通した課題

１

アＢ２(2) 39.3 発展的に考え，予想すること（位を入れかえた数）

領域を通した課題

１

アＢ５(2) 25.5 事柄の特徴の数学的な説明（黄金比）

領域を通した課題

１イ Ｂ３(2) 32.6 事象の数学的な解釈と問題解決の方法（水温・気温の変化）領

域を通した課題

１

ウ

Ｂ１(3) 24.7 事象の解釈と数学的な表現による説明（ウォーキング）

領域を通した課題

１

ウ Ｂ２(1) 38.4 事柄が成り立つ理由の説明（位を入れかえた数）

領域を通した課題

１

ウＢ４(1) 33.1 方針に基づいた図形の証明（平行四辺形の対角線）

領域を通した課題

１

ウ

Ｂ６(3) 25.3 事柄が成り立つ理由の説明（碁石の総数）

領域を通した課題

２ ア Ａ２(2) 67.9 問題場面に即した 2�a＋b� の意味の解釈

「４年間のまとめ」で示された課題と平成25年度の問題との対応

Ａ１(4)　時差Ａ２(2)　長方形周の長さＡ５(3)　球と円柱の体積Ａ８　　 証明の必要性と意味Ａ９　　 関数の意味Ａ14(1) 平均値の意味Ａ14(2) 相対度数

Ｂ１　ウォーキングＢ２　位を入れかえた数Ｂ３　水温・気温の変化Ｂ４　平行四辺形の対角線Ｂ５　黄金比Ｂ６　碁石の総数

平成25年度の調査問題から…

これらからさらに絞り，下線を付けた問題を取り上げて…

赤字 … 平成25年度授業アイディア例として提供青字 …「４年間のまとめ」から授業アイディア例を紹介

Ａ１(4)　時差

ウェリントンの時刻 ＝ 東京の時刻 ＋（＋３）　 カイロの時刻　 ＝ 東京の時刻 ＋（ー７）

時差を「-７（時間）」と表すことによって，同じ計算で時刻を求めることができる。

Ａ１(4)正答率(％)65.6

A1(4)の場面を用いて

授業を行うとしたら…　

「東京との時差を数で表そう」～実生活に結び付けて正の数と負の数の必要性を理解する～

選択肢

Ａ５(3)反応率(％)Ａ５(3)反応率(％)

ア 17.7イ 47.5ウ 24.2エ 8.2オ 1.6

Ａ５(3)球と円柱の体積

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【出題の趣旨】証明の必要性と意味を理解しているかどうかをみる。

Ａ８　証明の必要性と意味

選択肢

Ａ８反応率(％)

ア 64.7イ 24.2

問題番号 問題の概要 正答率 典型的な誤答 反応率

H20A8証明で用いられている図が考察対象の図形の代表であることについて正しい記述を選ぶ

58.3%「図２の場合は，ＡＦ＝ＣＥであることを，改めて証明する必要がある。」

29.2%

H24A8証明で用いられている図が考察対象の図形の代表であることについて正しい記述を選ぶ

65.6%「図２の場合は，ＯＰ＝OＱであることを，改めて証明する必要がある。」

24.4%

【出題の趣旨】関数の意味を理解しているかどうかをみる。

選択肢

Ａ９反応率(％)Ａ９

反応率(％)ア 5.3イ 34.1ウ 9.9エ 35.3オ 13.8

Ａ９　関数の意味

［正答］3÷30＝0.1

◎

解答類型

Ａ14(2)反応率(％)Ａ14(2)反応率(％)

0.1 23.73 23.72 2.030 0.2

上記以外 26.1無解答 24.5

Ａ14(2) 相対度数

理由の説明

証明の新たな方針を立てる

Ｂ４　平行四辺形の対角線

問題番号 問題の概要 正答率H21B4(1)

２つの線分が平行になることを，三角形の合同を利用して証明する 41.8%

Ｂ４(1)正答率(％)33.1

問題番号H21B4(3)問題の概要

２つの線分が平行になることを証明する際に，平行四辺形に着目し，平行四辺形になる条件を選ぶ

正答率56.2%

Ｂ４(2)正答率(％)57.6

Ｂ４(1)の「無解答の理由」「無解答だった生徒（無解答の生徒）」の割合とは，本問題の解答状況に関する質問紙調査で「解答を書かなかった」と回答した生徒の割合である。そのため，調査問題の「解答類型０」で示した無解答率（22.7％）と若干異なっている。

質問紙調査から　無解答の理由を探る

無解答の生徒の割合23.4％のうち，解答しようと思わなかった生徒の割合が25.2％。つまり，約17人に１人の割合で，そもそも最初から手を付けていないことになる。

（母集団：無解答の生徒）

質問紙調査から　無解答の理由を探る

無解答の生徒の割合23.4％のうち， 解答しようとしたが解答できなかった生徒の割合が66.2％。さらにそのうち，問題文の意味がわからなかった生徒の割合が50.5％。つまり，約13人に１人の割合で，問題文の意味が捉えられなかったことになる。

問題文は難解？

（母集団：解答しようと努力したが，難しくて解答できなかったと回答した生徒）

B[4](1)(2)の場面を用い

て

授業を行うとしたら…　

「方針を立てて証明しよう」～与えられた条件を整理し，着目すべき性質を見いだす～

Ⅰ　結論を示すために何がわかればよいか。Ⅱ　仮定からいえることは何か。Ⅲ　ⅠとⅡを結び付けるには，あと何がいえればよいか。

証明の方針を立てることができるようにする

Ⅰ　AP＝CQを証明するためには，「△ABPと△CDQ が　合同であること」がわかればよい。Ⅱ　仮定からいえることは，「BP＝DQ」，「AB＝CD」　である。Ⅲ　ⅠとⅡを結び付けるには，あと「∠ABP＝∠CDQ」が　いえればよい（三角形の合同条件「２組の辺とその間の　角がそれぞれ等しい」を根拠にできる）。

事実・事柄の説明

Ｂ５　黄金比

正答例

誤答例

図２のヒストグラムでは，1.5倍以上1.7倍未満の階級の度数がすべての階級の中で最も大きく，しかもその度数が飛び抜けているため，学級の多くの生徒が美しいと思う長方形は，長い辺の長さが短い辺の長さの1.5倍以上1.7倍未満のものであることがわかる。生徒が美しいと思う長方形は，1.5倍以上1.7倍未満である。

Ｂ５(2)正答率(％)25.5

B[5](2)(3)の場面を用い

て

授業を行うとしたら…　

「みんなが美しいと思う長方形に特徴があるか考えよう」

～目的に応じて資料の整理の仕方を工夫して傾向を捉え直す～

双峰型になる理由を考える。

視点を変えて資料の傾向を捉え直す

理由の説明

Ｂ６(1)正答率(％)53.4

Ｂ６碁石の総数

式の意味を読み取る

Ｂ６(2)正答率(％)57.5

3n-3 という式と，図２の囲み方を結び付ける説明が示されている。理由の説明の第一歩として，記述された説明を読み，具体に即して理解することが大切。

先の説明を参考にすれば，「１つのまとまり」と「各頂点の碁石」に着目するとよさそうだという見通しが立てられる。

Ｂ６(3)正答率(％)25.3

B[6](1)(2)の場面を用い

て

授業を行うとしたら…　

「碁石の個数をいろいろ工夫して求めよう」～事象を多面的に見て説明する～

✴証明のために取り上げる囲み方と式については，学級の実態に応じて様々なものが考えられる。

✴正三角形を正方形や正五角形などに変え，発展的に考察する場面を設定することも考えられる。

数学の問題

問題を解く

数学のステージにのせて…

数学的な結果を得て…

データの収集理想化・モデル化

解決したい対象（問題・目的）

目的を果たす

妥当性の検討

数学的結論の検証自分の考えの集約

問題解決的な学習

アプローチ

問題の設定

視野を広げましょう！（授業改善の視点の一例）