februari 2010 · eksponen (pangkat) dan bentuk akar 1. bentuk eksponen misalkan a adalah bilangan...
TRANSCRIPT
Februari 2010
Muhammad Hajarul Aswad A, S.Pd.,M.Si
Februari 2010
Kendari - Sulawesi Tenggara
MATEMATIKA Untuk SMA / MA Jilid I
ww
w.a
swhat
82
.blo
gspo
t.co
m
www.aswhat82.blogspot.com
2 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Kata Pengantar
Bismillahirrahmanirrahim
Ide dari tulisan ini yakni menampilkan secara sederhana materi matematika yang
ditemukan di jenjang Sekolah Menengah Atas. Hal ini dilakukan tentu saja tanpa
bermaksud mengurangi hirarki penurunan rumus dari setiap bentuk rumus yang ada. Pokok
bahasan yang dimuat dalam Matematika Untuk SMA/MA Jilid I ini adalah: Eksponen
(pangkat) dan Bentuk Akar, Logaritma, Persamaan dan Fungsi Kuadrat, Logika
Matematika, Trigonometri, Dimensi Tiga, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers, Limit
Fungsi, Diferensial (Turunan), dan Lingkaran.
Dalam tulisan ini, penyusun hanya menampilkan bagian terpenting saja dari setiap
pokok bahasan, mengingat sasaran yang ingin dituju penyusun adalah pembaca bisa
mengetahui garis-garis besar dari setiap pokok bahasan yang ingin dipelajari terlebih
dahulu, baru kemudian mengembangkannya untuk kasus-kasus terntentu. Dengan alasan
itu pula, tulisan ini tidak dapat berdiri sendiri tanpa adanya buku matematika lainnya.
Disamping itu pula, penyusun berasumsi bahwa paling tidak pembaca telah memiliki dasar
berhitung dalam matematika.
Tentu saja hal tersebut menjadi kekurangan dari tulisan ini dan akan segera
diperbaiki untuk penyempurnaan tulisan-tulisan selanjutnya. Untuk itu, dengan senang hati
penyusun bersedia menerima segala bentuk kritik dan saran yang dianggap perlu untuk
menyempurnakan tulisan ini dikemudian hari. Kritik dan saran bisa dialamatkan ke
[email protected] atau bisa melalui website penyusun di
www.aswhat82.blogspot.com atau www.aswhat.multiply.com.
Akhir kata, selamat membaca semoga tulisan ini bisa memberikan masukan dan inspirasi
dalam ber-matematika.
Penyusun
Muhammad Hajarul Aswad A, S.Pd.,M.Si
www.aswhat82.blogspot.com
3 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Daftar Isi
Halaman
Halaman Sampul ........................................................................................... 1
Kata Pengantar ............................................................................................... 2
Daftar Pustaka ............................................................................................... 3
Eksponen (pangkat) dan Bentuk Akar ........................................................... 4
Logaritma ...................................................................................................... 9
Persamaan dan Fungsi Kuadrat ..................................................................... 12
Logika Matematika ........................................................................................ 17
Trigonometri .................................................................................................. 22
Dimensi Tiga ................................................................................................. 32
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers ............................................................ 36
Limit Fungsi .................................................................................................. 39
Diferensial (Turunan) .................................................................................... 44
Lingkaran ....................................................................................................... 50
Daftar Pustaka ............................................................................................... 54
Biografi Penyusun ......................................................................................... 55
www.aswhat82.blogspot.com
4 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Eksponen (Pangkat) dan Bentuk Akar
1. Bentuk Eksponen
Misalkan a adalah bilangan real dan n merupakan bilangan bulat positif, maka
bentuk an (a pangkat n) menyatakan perkalian n faktor yang setiap faktornya adalah a.
Secara umum dapat ditulis:
...n
sebanyak n faktor
a a x a x a x a x x a
Dalam mengoperasikan bilangan berpangkat, perlu diperhatikan sifat-sifat bilangan
berpangkat berikut:
Pangkat Bulat Positif
Misalkan a, b, ∈ ℝ dan m, n adalah bilangan bulat positif
1) am
x an = a
m+n
2) am
: an = a
m-n
3) (am
)n = a
mn
4) (a x b)n = a
n x b
n
5) , 0
n n
n
a ab
b b
Pangkat Nol dan Bulat Negatif
Perhatikan kembali sifat bilangan berpangkat yang ke (b), (am
: an = a
m-n).
Jika diambil m = n maka diperoleh
am
: an = a
m-n
⟺ an : a
n = a
n-n
⟺ 1 = a0
Jadi a0 = 1, untuk a ≠ 0
www.aswhat82.blogspot.com
5 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Selanjutnya, jika diambil m = 0 maka diperoleh
am
: an = a
0-n
⟺ a0 : a
n = a
-n
⟺ 1 : an = a
-n
⟺ 1
na = a
-n
Jadi 1 n
na
a
atau 1 n
na
a , untuk a ≠ 0
Pangkat Rasional
Bilangan pangkat rasional (disebut juga pecahan) adalah bilangan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk m/n dengan ketentuan m,n adalah bilangan bulat, n ≠ 0.
Dengan kata lain, bilangan berpangkat rasional adalah bilangan yang berpangkat
bilangan pecahan.
m
n mna a
2. Bentuk Akar
Bilangan irrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat, dan q ≠ 0. Bilangan-bilangan
32, 5, 4 termasuk dalam bentuk bilangan irrasional karena hasil akar dari bilangan-
bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional. Sedangkan 34, 2,25, 27 bukan
merupakan bilangan irrasional.
Ada beberapa sifat yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan /
menyederhanakan bentuk akar.
Untuk a, b ∈ ℝ, dan c, d ∈ bilangan rasional non negatif.
1) n n naxb a x b
2) a c b c a b c
3) a c b c a b c
4) a x b a xb
www.aswhat82.blogspot.com
6 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
5) a a
bb , dengan b ≠ 0
Satu hal yang juga menarik adalah ketika kita menjumpai permasalahan yang berkaitan
dengan merasionalkan bentuk akar. Perhatikan contoh berikut
4
5 3
2
5 24
Mudah bagi kita untuk menyederhanakan bentuk yang terdapat pada contoh yang pertama
yaitu dengan mengalikan bentuk sekawan dari 5 3 , sehingga diperoleh 2 5 3 .
Tetapi, cara tersebut kurang tepat jika diterapkan untuk contoh yang kedua. Sebelum kita
menjawab itu, terlebih dahulu perhatikan hal berikut,
Untuk bentuk 2 .a b a b , dapat diubah menjadi bentuk a b dengan syarat a,b ∈
ℝ dan a > b.
Bukti:
2
2 . 2a b a a b b a b ab
2a b a b ab
Jadi 2a b ab a b
Dengan demikian, untuk menyelesaikan contoh yang kedua, terlebih dahulu kita mengkonversi
bentuknya ke dalam bentuk 2 .a b a b , sehingga diperoleh
2 2 2 2
3 25 24 5 2 6 3 2 2 3 2x
Selanjutnya, tinggal diselesaikan dengan mengalikan bentuk sekawan dari 3 2 sehingga
diperoleh 2 3 2 .
www.aswhat82.blogspot.com
7 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
3. Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen dalam varibel x merupakan suatu persamaan yang
eksponennya paling sedikit memuat suatu fungsi. Berikut beberapa hal yang perlu
diperhatikan dalam menyelesaiakn soal dalam bentuk persamaan eksponen.
1) Jika af(x)
= ap (a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p
2) Jika af(x)
= ag(x)
(a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = g(x)
3) Jika af(x)
= bf(x)
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 0, dan a ≠ b), maka f(x) = 0.
4) Jika h(x)f(x)
= h(x)g(x)
, maka kemumngkinannya adalah
a. f(x) = g(x)
b. h(x) = 1
c. h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.
d. h(x) = -1, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau f(x) dan g(x) keduanya genap.
5) Jika f(x)h(x)
= g(x)h(x)
, maka kemumngkinannya adalah
a. f(x) = g(x)
b. h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya ≠ 0.
4. Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan Real x menjadi
ax. Bentuk umum fungsi eksponen adalah sebagai berikut:
f(x) = ax, dengan a > 0, a ≠ 0, dan x ∈ ℝ
Bilangan a disebut bilangan pokok atau basis. Karena a > 0, maka nilai fungsi f(x) = ax
selalu positif atau dengan kata lain bentuk letak grafik fungsinya selalu berada di atas
sumbu X.
www.aswhat82.blogspot.com
8 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Berikut grafik fungsi eksponen untuk y = ax dan y = (1/a)
x.
Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa kurva y = ax dan y = (1/a)
x simetri terhadap
sumbu Y dan berpotongan di titik (0,1).
5. Pertidaksamaan Eksponen
Secara umum, dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan, terlebih dahulu tanda
ketaksamaan (<, >, ≤, ≥, dan ≠) dirubah menjadi kesamaan (=). Selanjutnya ditemukan
variabelnya. Dan yang terakhir adalah yang paling penting, yaitu menguji varibel yang
ditemukan dengan menggunakan garis bilangan, apakah sudah menyebabkan
pertidaksamaan yang dimaksud menjadi suatu kalimat matematika yang bernilai benar.
Untuk pertidaksamaan eksponen, jika af(x)
> ag(x)
maka
1. f(x) > g(x), untuk a > 1
2. f(x) < g(x), untuk 0 < a < 1.
y =1
x
a
y = a
x
www.aswhat82.blogspot.com
9 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Logaritma
Logaritma merupakan invers dari bilangan berpangkat atau eksponen, sehingga
antara eksponen dan logaritma mempunyai hubungan seperti berikut
ax = b ⟺
alog b, untuk b > 0, a > 0, dan a ≠ 1
dengan a disebut bilangan pokok
b disebut numerus
x disebut hasil logaritma
Untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan logaritma, tidak ada acara lain selain
menguasai terlebih dahulu sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.
1. log a.b = log a + log b
2. log log loga
a bb
3. alog b .
blog c =
alog c
4. log an = n. log a
5.
11
log log logn a ana b b bn
6. log logn k aka b b
n
7. loga ba b
8. log 1
loglog log
a
b
bb
a a
9. log1 0a sebab a0 = 1
10. log 1a a sebab a1 = a.
Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma dalam x adalah persamaan yang mengandung fungsi x
dibawah tanda logaritma atau fungsi x sebagai bilangan pokok suatu logaritma.
www.aswhat82.blogspot.com
10 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Sifat-sifat yang berlaku pada persamaan logaritma
1. Jika alog f(x) =
alog p, maka f(x) = p, untuk f(x) > 0.
2. Jika alog f(x) =
blog f(x), dengan (a ≠ b), maka f(x) = 1.
3. Jika alog f(x) =
alog g(x), maka f(x) = g(x), untuk f(x) dan g(x) keduanya bernilai
positif.
4. Jika h(x)
log f(x) = h(x)
log g(x), maka f(x) = g(x), untuk f(x) dan g(x) keduanya
bernilai positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1.
5. Jika f(x)
log h(x) = g(x)
log h(x), maka kemungkinannya adalah:
a. f(x) = g(x) untuk h(x) = 1, f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0 dan g(x) ≠ 1.
b. f(x) = g(x) untuk h(x) ≠ 1, dan h(x) > 0.
Grafik Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen.
Jika x > 0, a > 0, dan a ≠ 1, maka
y = alog x ⟺ x = a
y
fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dapat ditulis dalam bentuk
f : x ⟶ alog x atau y = f(x) =
alog x
Grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok a > 1
Fungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik,
sebab untuk x2 > x1 maka alog x2 >
alog x1.
www.aswhat82.blogspot.com
11 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok 0 < a < 1.
Fungsi logaritma y = f(x) = alog x dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton
turun, sebab untuk x2 > x1 maka alog x2 <
alog x1.
Cara Smart
Ada beberapa cara cepat yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan soal dalam
bentuk bilangan berpangkat. Tetapi, perlu berhati-hati dalam penggunaannya karena cara
ini tidak berlaku untuk semua kasus. Melainkan untuk kasus-kasus tertentu yang memiliki
bentuk/model yang sama dengan cara cepat yang akan diterapkan.
Berikut beberapa bentuk cara cepat yang bisa diterapkan
Jika a. (px)2 – b.p
x + c = 0, maka 1 2 logp c
x xa
Jika a. plog
2x + b.
plog x + c = 0, maka
1 2.
b
ax x p
Jika a.Q + x
+ a.P - x
= K maka x1 + x2 = P – Q
Jika a.Q + nx
+ a.P - nx
= K maka 1 2
P Qx x
n
Jika a.x – a
-x = p maka (a
x)2 – (a
-x)2 = p
2 + 2
Selain itu pula, hafalkan nilai logaritma berikut
Log 1 = 0
Log 2 = 0,3010
Log 3 = 0,4771
Log 5 = 0,6989
Log 7 = 0.8451
Untuk menentukan nilai logaritma yang lain, gunakan sifat-sifat logaritma.
www.aswhat82.blogspot.com
12 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan yang pangkat tertinggi
variabelnya bernilai 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
ax2 + bx + c = 0, untuk a ≠ 0, dan a, b, c ∈ ℝ.
Dengan x merupakan variabel dari persamaan kuadrat
a merupakan koefisien x2
b merupakan koefisien x
c merupakan konstanta
1. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Memfaktorkan
Bentuk ax2 + bx + c = 0 diuraikan menjadi (x – x1) (x – x2) = 0, dengan x1 dan x2
merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang dimaksud.
Pemfaktoran persamaan kuadrat untuk a = 1 dapat dilakukan dengan cara mencari dua
buah angka yang jika dikalikan hasilnya adalah c, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah
b. Sementara untuk nilai a yang lain, dapat dilakukan coba-coba.
Menggunakan Rumus ABC
Cara ini umumnya digunakan jika mengalami kesulitan dalam menerapkan
pemfaktoran. Adapun rumus ABC yang dimaksud adalah
2
1,2
4
2
b b acx
a
, dengan a ≠ 0.
Nilai b2 – 4ac disebut dengan diskriminan, ditulis D.
Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berlainan (x1 ≠ x1)
Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama (x1 = x1).
Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (imajiner).
www.aswhat82.blogspot.com
13 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Cara lain dalam menyelesaikan bentuk persamaan kuadrat adalah dengan
melengkapkan kuadrat sempurna. Cara ini umumnya kurang populer dibandingkan
dengan pemfaktoran dan menggunakan rumus ABC, karena hanya dapat digunakan
pada bentuk kuadrat dengan nilai a tertentu. Bentuk umum dari persamaan kuadrat
yang berbentuk kuadrat sempurna adalah
(x + p)2 = q, dengan q > 0
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0
dengan a ≠ 0, dapat dicari tanpa terlebih dahulu menemukan akar-akarnya.
1 2
bx x
a
1 2.
cx x
a
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat variabel tertingginya adalah dua.
Bentuk umumnya adalah
y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, dan a, b, c ∈ ℝ.
1. Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas.
Sedangkan jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.
Misalnya grafik fungsi kuadrat tampak seperti pada gambar berikut
www.aswhat82.blogspot.com
14 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
A adalah titik potong kurva terhadap sumbu-y
B dan C adalah titik potong kurva terhadap
sumbu-x.
P adalah titik puncak.
L adalah sumbu sinetri.
Berikut dibarikan ciri-ciri fungsi kuadrat dan grafiknya.
Sumbu simetri 2
bx
a
Puncak , ,2 4 2 2
b D b bf
a a a a
a > 0, grafik terbuka ke atas
a < 0, grafik terbuka ke bawah
Tanda b dikaitkan dengan tanda a.
Jika tanda b sama dengan tanda a, puncak di sebelah kiri sumbu y.
Jika tanda b berbeda dengan tanda a, puncak di sebelah kanan sumbu y.
c > 0 jika grafik memotong sumbu y positif
c < 0 jika grafik memotong sumbu y negatif
c = 0 jika grafik melalui titik (0,0)
D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
D = 0, grafik menyinggung sumbu x.
D < 0, grafik tidak memotong sumbu x.
2. Titik-Titik Potong terhadap Sumbu-Sumbu Koordinat
Titik potong terhadapa sumbu-x; Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x jika y
= 0. Sehingga koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) dan (x2, 0). Titik potong terhadap
sumbu-y; Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-y jika x = 0. Sehingga koordinat titik
potongnya adalah (0, c).
www.aswhat82.blogspot.com
15 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
3. Titik Puncak / Titik Balik dan Sumbu Simetri
Bentuk y = ax2 + bx + c dapat ditulis menjadi
2 2 4
2 4
b b acy a x
a a
.
x disebut sumbu simetri (penyebab ekstrim), sedangkan y disebut nilai ekstrim.
Jika a > 0, maka yeks = ymin
Jika a < 0, maka yeks = ymax
Titik puncak parabola adalah
2 4,
2 4
b b ac
a a
Jika a > 0, maka titik puncak adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas.
Jika a < 0, maka titik puncak adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.
4. Kegunaan Diskriminan pada Fungsi Kuadrat
Letak grafik terhadap sumbu-x dapat dilihat dari nilai diskriminannya. Perhatikan
grafik berikut
Berdasarkan grafik tersebut dapat dikatakan bahwa, nilai a menentukan arah kurva,
sementara nilai D menentukan letak kurva terhadap sumbu-x.
www.aswhat82.blogspot.com
16 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
5. Menentukan Persamaan Kurva dari Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan persamaan (rumus) fungsi kuadrat dapat menggunakan rumus
berikut:
f(x) = ax2 + bx + c bila minimal tiga titik yang dilalui diketahui.
f(x) = a(x – x1)(x – x2) bila x1 dan x2 absis titik potong dengan sumbu x dan satu titik
lain diketahui.
f(x) = a(x – p)2 + q bila (p, q) titik puncak dan satu titik lain diketahui.
www.aswhat82.blogspot.com
17 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Logika Matematika
1. Pernyataan (Kalimat Tertutup) dan Kalimat Terbuka
Pernyataan atau kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinilai dan bernilai
benar saja atau salah saja. Suatu pernyataan biasanya disimbolkan dengan sebuah huruf
kecil, misalnya p, q, r, dan sebagainya.
Misalnya:
p : hari ini matahari bersinar terang
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya
karena mengandung variabel. Suatu alimat terbuka dengan variabel x dilambangkan
dengan p(x), q(x), atau yang lainnya.
Misalnya:
p(x) : 2x + 1 = 5, untuk x ∈ ℝ.
Apabila x diganti dengan 2, maka kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan
yangbernilai benar. Sedangkan jika diganti dengan tidak selain 2, maka kalimatterbuka
tersebut menjadi pernyataan yang bernilai salah.
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari
pernyataan semula sedemikian sehingga jika pernyataan semula bernilai benar, maka
ingkarannya bernilai salah, demikian sebaliknya. Ingkaran dari pernyataan p
diseimbolkan dengan “~p”.
2. Pernyataan Berkuantor
Kuantor artinya pengukur kuantitas atau jumlah. Sehingga pernyataan berkuantor
adalah pernyataan yang memuat ukuran kuantitas atau jumlah seperti kata semua, seluruh,
setiap, terdapat, beberapa, dan sebagainya. Pernyataan berkuantor dibagi menjadi dua
yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
www.aswhat82.blogspot.com
18 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Kuantor universal disimbolkan dengan “∀” yang artinya untuk setiap atau semua.
Sedangka kuantor eksistensial disimbolkan dengan “∃”, yang artinya ada, beberapa,
terdapat, atau sekurang-kurangnya satu.
Ingkaran pernyataan berkuantor adalah sebagai berikut
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal
Ingkaran dari pernyataan berkuantor semua p adalah ada / terdapat / beberapa ~p.
Misalkan
p : Semua orang asing berkulit putih
~p : tidak benar bahwa semua orang asing berkulit putih. atau
~p : ada orang asing tidak berkulit putih. atau
~p : beberapa orang asing tidak berkulit putih
Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial
Ingkaran dari pernyataan berkuantor ada / terdapat / beberapa p adalah semua ~p.
Misalkan
p : Ada laki-laki yang tidak berkumis
~p : tidak benar bahwa ada laki-laki yang tidak berkumis. atau
~p : semua laki-laki berkumis
3. Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen, dan Ingkarannya
Peryataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan
tunggal dengan menggunakan kata penghubung dan, atau, jika...maka..., jika dan hanya
jika.
Kata Hubung Logika Lambang Istilah
... dan ... ∧ Konjungsi
... atau ... ∨ Disjungsi
Jika ... maka ... ⇒ Implikasi
... jika dan hanya jika ... ⟺ Biimplikasi
Misalkan pernyataan majemuk terdiri dari dua pernyataan tunggal p dan q. Maka tabel
kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi, adalah sebagaimana yang
terlihat dalam tabel berikut:
www.aswhat82.blogspot.com
19 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
p q p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⟺ q
B B B B B B
B S S B S S
S B S B B S
S S S S B B
4. Tautologi, Kontradiksi, dan Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponen pernyataannya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran dari komponen-komponen pernyataannya.
Dua pernytaan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan majemuk itu
mempunyai nilai kebenaran yang sama. Ekuivalen dua pernyataan majemuk dinotasikan
dengan “≡”.
Perhatikan tabel berikut
p q ~p ~q ~p ∧ q ~p ∨ q p ⟹ q p ∨ (~p ∨ q) p ∧ (~p ∧ q)
B B S S S B B B S
B S S B S S S B S
S B B S B B B B S
S S B B S B B B S
Ekuivalen
↓
tautologi
↓
Kontradiksi
5. Ingkaran Suatu Pernyataan Majemuk
~( p ∧ q ) ≡ ~p ∨ ~q
~( p ∨ q ) ≡ ~p ∧ ~q
~( p ⟹ q ) ≡ p ∧ ~q
~( p ⟺ q ) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
www.aswhat82.blogspot.com
20 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Dari suatu implikasi, dapat dibentuk suatu implikasi lain yaitu konvers, invers,dan
kontraposisi.
Misalkan, Implikasi : p ⟹ q
Maka Konvers : q ⟹ q
Invers : ~p ⟹ ~q
Kontraposisi : ~q ⟹ ~p
7. Penarikan Kesimpulan
Dalam penarikan suatu kesimpulan / konklusi, diperlukan beberapa pernyataan
(premis). Apabila premis-premisnya bernilai benar, maka kesimpulan / konklusinya juga
bernilai benar (sah). Atau dengan kata lain, penarikan kesimpulan dari beberapa
pernyataan dikatakan sah atau valid jika pernyataan yang dimaksud bersifat tautologi.
P1 : (B) Premis 1
P2 : (B) Premis 2
...
Pk : (B) Premis-k
∴ Kesimpulan (B) Kesimpulan / konklusi
Ada tiga pola penarikan kesimpulan yang selalu digunakan.
1. Modus Ponens
P1 : p ⟹ q (B) Premis 1
P2 : p (B) Premis 2
∴ q (B) Kesimpulan / konklusi
2. Modus Tollens
P1 : p ⟹ q (B) Premis 1
P2 : ~q (B) Premis 2
∴ ~p (B) Kesimpulan / konklusi
www.aswhat82.blogspot.com
21 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
3. Silogisme
P1 : p ⟹ q (B) Premis 1
P2 : q ⟹ r (B) Premis 2
∴ p ⟹ r (B) Kesimpulan / konklusi
www.aswhat82.blogspot.com
22 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Trigonometri
Trigonometri berasal dari dua kata Yunani yaitu Trigonos yang berarti segitiga
dan Metron yang berarti ukuran.
1. Perbandingan Trigonometri
Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC berikut
Berdasarkan segitiga ABC tersebut, maka diperoleh perbandingan trigonometri sudut A
= α0 sebagai berikut:
0 0
0 0
0 0
sin cos
cos sec
tan cot
a cec
c a
b c
c b
a ban
b a
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa adalah sebagai berikut
Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Sumubu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian yang sama
yang disebut kuadran. Perhatikan gambar berikut
www.aswhat82.blogspot.com
23 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Pertama (90 – α)0
sin (90 – α)0 = cos α
0 cotan (90 – α)
0 = tan α
0
cos (90 – α)0 = sin α
0 sec (90 – α)
0 = cosec α
0
tan (90 – α)0 = cotan α
0 cosec (90 – α)
0 = sec α
0
Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Kedua (180 – α)0
sin (180 – α)0 = sin α
0 cosec (180 – α)
0 = cosec α
0
cos (180 – α)0 = - cos α
0 sec (180 – α)
0 = - sec α
0
tan (180 – α)0 = - tan α
0 cotan (180 – α)
0 = - cotan α
0
Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Ketiga (180 + α)0
sin (180 + α)0 = - sin α
0 cosec (180 + α)
0 = - cosec α
0
cos (180 + α)0 = - cos α
0 sec (180 + α)
0 = - sec α
0
tan (180 + α)0 = tan α
0 cotan (180 + α)
0 = cotan α
0
Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Keempat (360 – α)0 atau (- α)
0
sin (360 – α)0 = - sin α
0 cosec (360 – α)
0 = - cosec α
0
cos (360 – α)0 = cos α
0 sec (360 – α)
0 = sec α
0
tan (360 – α)0 = - tan α
0 cotan (360 – α)
0 = - cotan α
0
atau
sin (- α)0 = - sin α
0 cosec (- α)
0 = - cosec α
0
cos (- α)0 = cos α
0 sec (- α)
0 = sec α
0
tan (- α)0 = - tan α
0 cotan (- α)
0 = - cotan α
0
Perbandingan Trigonometri untuk Sudut yang Lebih dari 3600.
sin (α + n.360)0 = sin α
0 cosec (α + n.360)
0 = cosec α
0
cos (α + n.360)0 = cos α
0 sec (α + n.360)
0 = sec α
0
tan (α + n.360)0 = tan α
0 cotan (α + n.360)
0 = cotan α
0
www.aswhat82.blogspot.com
24 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Cara smart
Sudut relasi
Hafalkan nilai dari sudut-sudut istimewa berikut
0 30 45 60 90
Sin ∝ 0 1
2
12
2
13
2
1
Cos ∝ 1 13
2
12
2
1
2
0
Tan ∝ 0 1
3
1 3 Tak
terdefinisi
Untuk menentukan sudut yang lain, gunakan aturan sudut relasi.
Hubungan Perbandingan Trigonometri
Hubungan Antara Perbandingan-Perbandingan Trigonometri
00 0
0 0
00 0
0 0
0
0
1 sinsin tan
cos cos
1 coscos cot
sec sin
1tan
cot
ec
an
an
f(n.90 ± ∝)
n genap
Fungsi tetap: sin → sin, cos → cos, tan → tan
tanda (+) atau (-) sesuai dengan kuadran fungsi awal
n ganjil
Fungsi berubah: sin → cos, cos → sin, tan → cotan
tanda (+) atau (-) sesuai dengan kuadran fungsi awal
www.aswhat82.blogspot.com
25 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Identitas Trigonometri
cos2α + sin
2α = 1
1 + tan2α = sec
2α
1 + cotan2α = cosec
2α
2. Satuan Ukuran Sudut
Terdapat beberapa istilah yang digunakan dalam satuan sudut. Namun yang biasa
digunakan adalah derajat dan radian.
Sudut 1 putaran = 3600 = 2π radian
Sudut 1/2 putaran = 1800 = π radian
3. Koordinat Kutub (Polar)
Letak suatu titik pada bidang X-Y dapat disajikan dalam koordinat cartesius, yaitu
(x,y), atau dalam koordinat kutub yaitu (r, α0). Perhatikan gambar berikut:
Letak suatu titik P dalam koordinat Cartesius dapat diubah ke dalam koordinat kutub atau
sebaliknya sebagaimana penjelasan berikut:
Dari titik P(x,y) menjadi P(r, α0)
2 2r x y
2 y
x
Dari titik P(r, α0) menjadi P(x,y)
x = r cos α0
y = r sin α0
www.aswhat82.blogspot.com
26 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
4. Rumus-Rumus Segitiga Dalam Trigonometri
Aturan Sinus dan Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC sebarang berlaku aturan sinus dan cosinus sebagai berikut
Aturan Sinus
sin sin sin
a b c
A B C
Aturan Cosinus
a2 = b
2 + c
2 – 2bc cos A
b2 = a
2 + c
2 – 2ac cos B
c2 = a
2 + b
2 – 2ab cos C
Luas Segitiga
Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit (sisi-sudut-sisi)
1sin
2L ab C
1sin
2L ac B
1sin
2L bc A
Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi
2 sin sin
2sin
a B CL
A
2 sin sin
2sin
b A CL
B
2 sin sin
2sin
c A BL
C
Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya
L s s a s b s c
dengan 1
2s a b c
www.aswhat82.blogspot.com
27 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Luas segi banyak (segi-n) beraturan
Segi empat beraturan Segi lima beraturan Segi enam beraturan
21 360sin
2
o
segi nL n Rn
dengan : n = banyaknya sisi pada segi banyak beraturan
R = panjang kaki segitiga sama kaki pembentuk segi-n beraturan
Lingkaran Dalam, Lingkaran Luar, dan Lingkaran Singgung Segitiga
Lingkaran Dalam Segitiga
Jari-jari lingkaran dalam (rd) ∆ ABC yang
sisi-sisinya a, b, c dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus
d
s a s b s cLr
s s
atau
1
tan2
dr s a A
1
tan2
dr s b B
1
tan2
dr s c C
www.aswhat82.blogspot.com
28 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Lingkaran Luar Segitiga
Jari-jari lingkaran luar (rl) ∆ ABC yang sisi-
sisinya a, b, c dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus
2sin 2sin 2sin
l
a b cr
A B C
atau
4 4
l
abc abcr
L s s a s b s c
Lingkaran Singgung Segitiga
Jari-jari lingkaran singgung ∆ ABC yang panjang sisi-sisinya a, b, c dapat
ditentukan dengan menggunakan rumus
1
tan2
ar s A
a
s s a s b s cLr
s a s a
1
tan2
br s B
b
s s a s b s cLr
s b s b
1
tan2
cr s C
c
s s a s b s cLr
s c s c
www.aswhat82.blogspot.com
29 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
dengan 1
2s a b c
5. Rumus-Rumus Trignometri
Rumus Trgigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
tan tan
tan1 tan tan
tan tan
tan1 tan tan
Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2α – sin
2α
= 2 cos2α – 1
= 1 - 2 sin2α
2
2 tantan 2
1 tan
sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
cos 3α = 4 cos3α – 3 cos α
Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
1
sin cos sin sin2
1
cos sin sin sin2
1
cos cos cos cos2
1
sin sin cos cos2
www.aswhat82.blogspot.com
30 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
1 1
sin sin 2sin cos2 2
1 1
sin sin 2cos sin2 2
1 1
cos cos 2cos cos2 2
1 1
cos cos 2sin sin2 2
6. Fungsi Trignometri
Grafik Fungsi Sinus
Ciri-ciri grafik fungsi y = sin x
Nilai maksimum = 1, dan minimum =-
1
Amplitudo = ½ (nilai maks-nilai min)
= 1
Periode sebesar 2π radian
Periodisitas fungsi sin (x + k.2π) = sin
x, dengan k ∈ bil. bulat
Grafik Fungsi Cosinus
Ciri-ciri grafik fungsi y = cos x
Nilai maksimum = 1, dan minimum =-
1
Amplitudo = ½ (nilai maks-nilai min) =
1
Periode sebesar 2π radian
Periodisitas fungsi cos (x + k.2π) = cos
x, dengan k ∈ bil. bulat
www.aswhat82.blogspot.com
31 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Grafik Fungsi Tangens
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x
Nilai maksimum = +~, dan minimum =
-~
Periode sebesar π radian
Periodisitas fungsi tan (x + k. π) = tan
x, dengan k ∈ bil. bulat
7. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
Rumus-rumus dasar persamaan trigonometri adalah sebagai berikut
sin x = sin α
x1 = α + k . 360o atau x2 = (180
o – α) + k . 360
o
cos x = cos α
x = ±α + k . 360o
tan x = tan α
x = α + k . 180o
dengan k ∈ bilangan bulat
www.aswhat82.blogspot.com
32 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Dimensi Tiga
1. Bangun Ruang
Bangun dimensi tiga yang akan dibahas dalam bab ini adalah bangun dimensi tiga
berbentuk Kubus, Balok, Limas, Kerucut, dan Bola. Untuk selanjutnya, bangun dimensi
tiga disebut bangun ruang.
Kubus
Misalkan kubus ABCD.EFGH di samping memiliki
panjang rusuk a. maka
Panjang diagonal bidang = 2a
Panjang diagonal ruang = 3a
Volume kubus = a3
Luas permukaan kubus = 6 x luas ABCD = 6a2
Balok
Balok ABCD.EFGH di samping memiliki panjang
p, lebar l, dan tinggi t. Maka
Volume balok = p x l x t
Luas permukaan balok = 2 (p.l + l.t + p.t)
www.aswhat82.blogspot.com
33 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Limas
Limas segi-3 Limas segi-4 Limas segi-5
Volume limas = 1
3 x Luas alas x tinggi
Luas permukaan limas = Luas alas + luas bidang/sisi tegak
Kerucut
Kerucut di samping mempunyai jari-jari r, tinggi t, dan
panjang garis pelukis s.
s2 = r
2 + t
2
Volume kerucut = 21
3r t
Luas permukaan kerucut = π r2 + π rs
www.aswhat82.blogspot.com
34 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Bola
Bola di samping mempunyai jari-jari r.
Volume bola = 34
3r
Luas permukaan bola = 4π r2
2. Jarak pada Bangun Ruang
Jarak Antara Dua Titik
Jarak titik A ke titik B sama dengan panjang ruas garis AB yang ditentukan
dengan menggunakan teorema Pythagoras
2 2AB x y
Jarak Titik ke Garis
Jarak titik A terhadap garis g pada bidang ∝ adalah
sebanding dengan garis lurus AB yang memotong tegak
lurus di g.
www.aswhat82.blogspot.com
35 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Titik A terletak di luar bidang ∝.
Jarak titik A terhadap garis g yang tidak terletak pada
satu bidang adalah sama dengan jarak garis AC, dimana
AB tegak lurus terhadap bidang ∝, dan BC tegak lurus
terhadap garis g.
Jarak Antara Dua Titik
Titik A terletak di luar bidang ∝. Jarak titik A
terhadap bidang ∝ adalah sama dengan jarak garis AB
yang tegak lurus terhadap bidang ∝.
www.aswhat82.blogspot.com
36 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi atau pemetaan dari himpuan A ke himpunan B merupakan relasi khusus
yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Misalkan f adalah suatu
fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dinotasikan dengan :
f : A → B
pada fungsi f : A → B, himpuan A disebut daerah asal (domain) fungsi f yang dinotasikan
dengan Df, himpuan B disebut daerah kawan (kodomain) fungsi f yang dinotasikan dengan
Kf, dan himpuan semua pemetaan A pada B disebut daerah hasil (range) fungsi f yang
dinotasikan dengan Rf.
1. Fungsi Komposisi
Apabila f suatu fungsi dari A ke B (f : A → B) dan g suatu fungsi dari C ke D (g :
C → D), maka terdapat h yang merupakan fungsi dari A ke C (h : A → C) yang disebut
fungsi komposisi yang iasa dinyatakn dengan h = g o f (dibaca g bundaran f). Perhatikan
gambar berikut
Berdasarkan gambar di atas, diperoleh urutan fungsi komposisi h yaitu
h = g o f atau h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))
www.aswhat82.blogspot.com
37 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
2. Fungsi Invers
Apabila f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers
fungsi f adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Hal ini berarti invers suatu
fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka
invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula. Fungsi f mempunyai fungsi
invers f-1
jika dan hanya jika f merupakan fungsi korespondensi satu-satu.
Beberapa cara cepat yang bisa diterapkan untuk memperoleh invers dari suatu fungsi
adalah sebagai berikut
Jika ( )f x ax b maka 1 x bf x
a
Jika 2( )f x ax bx c maka 1 1
4 2
D bf x x
a a a
Jika ( )ax b
f xcx d
maka 1 dx b
f xcx a
Jika ( ) bxf x a maka 1
1 loga bf x x
3. Tinjauan Grafik
Fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah fungsi bijektif (korespondensi satu-
satu). Dalam bentuk kurva, fungsi bijektif dapat diketahui dengan cara menarik garis-garis
yang sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y. Apabila kedua garis itu hanya memotong
kurva di satu titik, maka fungsi dari kurva tersebut mempunyai invers. Apabila kedua garis
itu memotong kurva di dua titik atau lebih, maka fungsi kurva tersebut tidak mempunyai
invers. Perhatikan gambar berikut
Memotong kurva di tiga titik Memotong kurva di satu titik
www.aswhat82.blogspot.com
38 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
4. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
Rumus fungsi invers dari fungsi komposisi yang lain adalah
(g o f)-1
= f-1
o g-1
(f o g o h)-1
= h-1
o g-1
o f-1
www.aswhat82.blogspot.com
39 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Limit Fungsi
Secara intuisi, limx a
f x L
berarti bahwa jika x mendekati a dengan x ≠ a, maka
f(x) mendekati L.
1. Limit fungsi f(x) untuk x → a, (a ≠ 0)
Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x → a, (a ≠ 0) dapat dilakukan melalui tiga
cara yaitu subtitusi langsung, pemfaktoran, dan rasionalisasi bentuk akar.
Jika dengan subtitusi langsung dihasilkan bentuk tak tentu 0
0
maka perhitungan limit
dilakukan dengan cara pemfaktoran atau rasionalisasi bentuk akar.
2. Limit fungsi f(x) untuk x → 0
Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x → 0 sama halnya dengan perhitungan limit
fungsi f(x) untuk x → a, (a ≠ 0).
3. Limit fungsi f(x) untuk x → ~
Cara subtitusi langsung tidak dapat diterapkan pada perhitungan limit fungsi f(x)
untuk x → ~ yang berbentuk
~limx
f x
g x Karena jika disubtitusi langsung, akan
menghasilkan bentuk tak tentu
. Untuk itu, perhitungannya dilakukan dengan cara
membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan xn dimana n adalah pangkat tertinggi
dari g(x).
Sementara untuk limit fungsi yang berbentuk ~
limx
f x g x
jika
dilakukan subtitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu (~ - ~). Untuk itu,
www.aswhat82.blogspot.com
40 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
perhitungannya dilakukan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu
f x g x
f x g x
.
4. Teorema Limit
Terdapat beberapa teorema limit yang harus diperhatikan diantaranya :
Jika f(x) = k maka limx a
f x k
, (untuk setiap k konstan, dan a bilangan real)
Jika f(x) = x maka limx a
f x a
, untuk f(x) = k. (untuk setiap a bilangan real)
lim lim limx a x a x a
f x g x f x g x
.
lim . .limx a x a
k f x k f x
, untuk k konstan.
lim . lim . limx a x a x a
f x g x f x g x
limlim
lim
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
, dengan lim 0x a
g x
lim limn
n
x a x af x f x
lim limn nx a x a
f x f x
, dengan lim 0x a
f x
atau
1
1
lim limn
n
x a x af x f x
5. Limit Fungsi Trigonometri
Secara umum, rumus-rumus limit fungsi trigonometri yang sering digunakan
adalah
0 0 0
sin sinlim lim lim
sin sinx x x
ax ax ax a
bx bx bx b
0 0 0
tan tanlim lim lim
tan tanx x x
ax ax ax a
bx bx bx b
www.aswhat82.blogspot.com
41 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
0 0
sin tanlim lim
tan sinx x
ax ax a
bx bx b
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi pada limit fungsi
trigonometri adalah
cos x = sin (900 – x)
cos2ax + sin
2ax = 1
1 1
sin 2sin cos2 2
ax ax ax
2 1cos 1 2sin
2ax ax
2
2 2
12cos 1
2
1 1cos sin
2 2
ax
ax ax
6. Teorema L’Hospital
Dalam menentukan nilai
limx a
f x
g x yang menghasilkan bentuk tak tentu
0
0
,
dapat digunakan teorema L’Hospital yaitu
'lim lim
'x a x a
f x f x
g x g x
Apabila
'lim
'x a
f x
g x juga menghasilkan bentuk tak tentu
0
0
, maka nilai
limx a
f x
g x dapat
ditentukan dari turunan kedua, yaitu
"lim lim
"x a x a
f x f x
g x g x
www.aswhat82.blogspot.com
42 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Cara Smart
Beberapa cara smart yang bisa diterapkan untuk bentuk-bentuk limit tertentu diantaranya:
Misalkan 1
1~
...lim
...
m m
n nx
ax bxL
px qx
Jika m < n, maka L = 0
Jika m = n, maka a
Lp
Jika m > n, maka ~ untuk 0
~ untuk 0
aL
a
Misalkan 2 2
~limx
ax bx c px qx r L
Jika a < p, maka L = - ~
Jika a = p, maka 2
b qL
a
Jika a > p, maka L = ~
Untuk menyelesaikan soal dalam bentuk limit, gunakan aturan L’Hospital.
Perhatikan contoh berikut
i.
2
0
1.2
1 2cos 2 22lim5 tan 5.1 5x
x
x x
ii.
2
2 20
15. .6sin 5 1 cos6 102lim
77 tan 3 7.3x
x x
x x
Yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan bentuk limit dengan cara ini adalah
bahwa setiap bentuk f(x) dan g(x) dari
0limx
f x
f x harus dalam bentuk operasi perkalian
atau dalam bentuk f(x) pada contoh i. Jika tidak maka bentuk yang ada, terlebih dahulu
dikonversi ke dalam bentuk perkalian atau sebagaimana yang terlihat pada contoh i dan
ii. Rumus trigonometri yang biasa digunakan adalah
2 2sin cos 1x x
21 cos2 2sinx x
1 1
cos cos 2cos cos2 2
x y x y x y
www.aswhat82.blogspot.com
43 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
1 1cos cos 2sin sin
2 2
1 1sin sin 2sin cos
2 2
1 1sin sin 2cos sin
2 2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
www.aswhat82.blogspot.com
44 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Diferensial (Turunan)
1. Pendahuluan
Suatu f(x) dikatakan diferensiable pada x = a jika
0' lim
h
f a h f af a
h
Perhatikan gambar berikut
2. Turunan Fungsi Aljabar
Rumus-rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut
Jika f(x) = k maka f '(x) = 0
Jika f(x) = k.u(x) maka f '(x) = k . u'(x), untuk k konstan
Jika f(x) = xn maka f '(x) = n x
n-1
Jika f(x) = u(x) ± v(x) maka f '(x) = u'(x) ± v'(x)
Jika f(x) = u(x) . v(x) maka f '(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
Jika f(x) = {u(x)}n maka f '(x) = n [u(x)]
n-1 . u'(x)
Jika
, 0
u xf x v x
v x maka
2
' . . ''
u x v x u x v xf x
v x
www.aswhat82.blogspot.com
45 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
3. Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut
Jika f(x) = sin x maka f '(x) = cos x
Jika f(x) = cos x maka f '(x) = - sin x
Jika f(x) = tan x maka f '(x) = sec2x =
2
1
cos x
4. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial
Rumus-rumus turunan fungsi logaritma dan eksponensial adalah sebagai berikut
Jika f(x) = ln x maka f '(x) = 1
. 'xx
Jika f(x) = alog x maka f '(x) =
1. '
lnx
x a
Jika f(x) = ex maka f '(x) = e
x . x'
Jika f(x) = ax maka f '(x) = a
x ln a. x'
5. Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Perhatikan gambar berikut
suatu titik P(x1, y1) terletak pada kurva y = f(x), maka persamaan garis yang melalui titik
tersebut adalah
y – y1 = m1 (x – x1)
www.aswhat82.blogspot.com
46 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
dengan gradien garis singgung m1 = f '(x1) atau 1
1
dym
x xdx
. Garis yang tegak lurus
garis singgung dan melalui titik P(x1, y1) disebut garis normal. Garis normal juga tegak
lurus terhadap kurva y = f(x).
Karena garis normal tegak lurus terhadap garis singgung (sarat dua garis yang tegak lurus
adalah: m1 . m2 = -1, sedagkan sarat dua garis sejajar adalah: m1 = m2), maka persamaan
garis normal yang melalui titik P(x1, y1) dengan gradien m2 adalah
y – y1 = m2 (x – x1)
= 1
1
1x x
m
6. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Perhatikan gambar berikut
Misalkan grafik suatu fungsi y = f(x) seperti terlihat pada gambar tersebut di atas. Maka
dapat dikatakan bahwa:
Fungsi y = f(x) merupakan fungsi naik untuk nilai-nilai x dalam interval x > a, sebab
dalam interval x > a,untuk nilai x yang semakin besar maka fungsi f(x) juga semakin
besar.
Fungsi y = f(x) merupakan fungsi turun untuk nilai-nilai x dalam interval x < a, sebab
dalam interval x < a,untuk nilai x yang semakin besar maka fungsi f(x) semakin kecil.
Berdasarkan hal tersebut, maka dapat didefinisikan sebagai berikut
Misalkan fungsi f(x) tersefinisi dalam interval I.
Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2
dalam interval I dengan x1 < x2, berlaku hubungan f(x1) < f(x2), atau ditulis
x1 < x2 ⟹ f(x1) < f(x2)
www.aswhat82.blogspot.com
47 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2
dalam interval I dengan x1 < x2, berlaku hubungan f(x1) > f(x2), atau ditulis
x1 < x2 ⟹ f(x1) > f(x2)
misalkan fungsi f kontinu dalam interval I dan diferensiabel di setiap titik dalam interval
tersebut, maka
Jika f '(x) > 0 untuk x ∈ I, maka fungsi f(x) naik pada I.
Jika f '(x) < 0 untuk x ∈ I, maka fungsi f(x) turun pada I.
Jika f '(x) = 0 untuk x ∈ I, maka fungsi f(x) stasioner pada I.
7. Titik Stasioner dan Jenis-Jenis Nilai Stasioner
Perhatikan gambar berikut
Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = a dengan f '(a) = 0, maka f(a) adalah titik stasioner
dari fungsi f(x) di x = a.
Berdasarkan gambar tersebut di atas, dapat dikatakan bahwa
Nilai x yang menyebabkan f(x) mempunyai nilai stasioner, dapat ditentukan dari syarat
f '(x) = 0
Titik (a, f(a)) yang terletak pada grafik y = f(x) disebut sebagai titik stasioner.
Niali stasioner sering disebut nilai kritis dan titik stasioner sering disebut sebagai titik
kritis.
www.aswhat82.blogspot.com
48 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Terdapat 3 jenis nilai stasioner yaitu
a. Nilai balik masksimum
Fungsi y = f(x) mencapai nilai balik maksimum pada x = a atau f(a) merupakan nilai
balik maksimum jika f '(a -) > 0; f '(a) = 0; dan f '(a
+) < 0. Atau jika f '(a) = 0 dan f ''(a)
< 0.
b. Nilai balik masksimum
Fungsi y = f(x) mencapai nilai balik minimum pada x = a atau f(a) merupakan nilai
balik minimum jika f '(a -) < 0; f '(a) = 0; dan f '(a
+) > 0. Atau jika f '(a) = 0 dan f ''(a)
> 0.
c. Titik belok
Fungsi y = f(x) mempunyai titik belok pada x = a atau f(a) merupakan titik belok jika f
'(a -) < 0; f '(a) = 0; dan f '(a
+) < 0, atau f '(a
-) > 0; f '(a) = 0; dan f '(a
+) > 0, atau jika f
'(a) = 0 dan f ''(a) = 0.
Perhatikan grafik dari ketiga jenis nilai stasioner tersebut
Grafik fungsi dengan nilai maksimum
x a-
a a+
f '(x) + 0 -
Grafik fungsi dengan nilai minimum
x a-
a a+
f '(x) - 0 +
www.aswhat82.blogspot.com
49 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Grafik fungsi dengan titik belok
x a-
a a+
f '(x) - 0 -
x a-
a a+
f '(x) + 0 +
www.aswhat82.blogspot.com
50 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
LINGKARAN
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap
sebuah titik tertentu. Jarak yang sama itu disebut jari-jari (r) dan titik tertentu itu disebut
pusat lingkaran.
1. Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran ynag Berpusat di titik (0,0)
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r dengan titik
P(x,y) terletak pada lingkaran adalah
OP = r
2 2
0 0x y = r
x2 + y
2 = r
2
Persamaan Lingkaran ynag Berpusat di titik (a,b)
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r dengan titik
P(x,y) terletak pada lingkaran adalah
OP = r
2 2
x a y b = r
(x – a)2 + (y – b)
2 = r
2
www.aswhat82.blogspot.com
51 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Jika kita menjabarkan kembali persamaan
(x – a)2 + (y – b)
2 = r
2
Maka akan diperoleh
x2 + y
2 + Ax + By + C = 0
dengan A = -2a → 1
2a A
B = -2b → 1
2b B
C = a2 + b
2 – r
2 → 2 21 1
4 4r A B C
Sehingga, secara umum dapat dikatakan bahwa persamaan lingkaran x2 + y
2 + Ax + By
+ C = 0 merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di 1 1
,2 2
A B
, dengan jari-
jari 2 21 1
4 4r A B C .
2. Perpotongan Garis dan Lingkaran
Pandang lingkaran dengan persamaan x2 + y
2 + Ax + By + C = 0 dan sebuah garis
h dengan persamaan y = mx + n. Jika y = mx + n disubtitusikan ke persamaan lingkaran
tersebut, maka diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat baru sebagai berikut
(1 + m2)x
2 + (2mn + A + Bm)x + (n
2 + Bn + C) = 0
Diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut adalah
D = (2mn + A + Bm)2 – 4(1 + m
2) (n
2 + Bn + C)
Sehingga, terdapat tiga kemungkinan hubungan antara garis dengan lingkaran, yaitu
Garis h tidak memotong dan tidak
menyinggung lingakaran jika D < 0
Garis h menyinggung
lingakaran jika D = 0
Garis h memotong
lingakaran jika D > 0
www.aswhat82.blogspot.com
52 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
3. Persamaan garis Singgung Lingkaran
Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik pada Lingkaran
Persamaan garis singgung melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran x2 + y
2 = r
2
ditentukan dengan menggunakan rumus berikut
x1 . x + y1 . y = r2
Persamaan garis singgung melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)
2 = r
2
ditentukan dengan menggunakan rumus berikut
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
Persamaan garis singgung melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran x2 + y
2 + Ax + By + C
= 0 ditentukan dengan menggunakan rumus berikut
1 1 1 1
1 10
2 2x x y y A x x B y y C
Garis Singgung dengan Gradien yang Diketahui
Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x2 + y
2 = r
2 maka persamaan garis
singgungnya adalah
2 1y mx r m
Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran (x – a)2 + (y – b)
2 = r
2 maka
persamaan garis singgungnya adalah
2 1y b m x a r m
Garis Singgung Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran
Dari suatu titik P(x1, y1)di luar lingkaran dapat dibentuk dua garis singgung.
www.aswhat82.blogspot.com
53 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik P(x1, y1) yang terletak
di luar lingkaran adalah
y – y1 = m(x – x1)
Nilai m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
Subtitusikan persamaan y – y1 = m(x – x1) ke persamaan lingkaran sehingga
diperoleh suatu persamaan kuadrat.
Dengan mengambil nilai D = 0, maka akan diperoleh nilai m.
www.aswhat82.blogspot.com
54 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
Daftar Pustaka
Boediono dan Koster, wayan., 2004. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. PT
Remaja Rosdakarya, Bandung.
Cunayah, Cucun, dkk., 2006. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika: untuk
SMA/MA, Penerbit Yrama Widya, Bandung.
Gunawan T.,2000. Matematika SMU Jilid I, II, dan III. Delta Teknik Jakarta, Jakarta.
Juliartawan, I Wayan., 2005. Matematika; Contoh Soal dan Penyelesaiannya. Penerbit
Andi Yogyakarta, Yogyakarta.
Purcell, J. Edwin, dan Varberg, Dale., 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I.
Penerbit Erlangga, Jakarta.
www.aswhat82.blogspot.com
55 | Matematika_untuk_SMA/MA_Jilid I
PROFIL PENYUSUN
Muhammad Hajarul Aswad A, S.Pd., M.Si, lahir di
Bau-Bau pada 3 November 1982. Merupakan anak kedua dari enam
bersaudara dari pasangan Drs. Achmad Mustari dan Andi Hasirah.
Jejak pendidikan formal penyusun dimulai dari TK
Bhayangkara Bau-Bau pada tahun 1986. Kemudian melanjutkan
pendidikan ke SD Negeri 2 Bataraguru dan lulus pada tahun 1994.
Pada tahun yang sama, penyusun melanjutkan studi ke SLTP
Negeri 2 Bau-Bau dan lulus pada tahun 1997. Setelah melanjutkan studi ke SMU Negeri 1
Bau-Bau pada tahun yang sama dan lulus pada tahun 2000, penyusun melanjutkan studi ke
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Haluoleo Kendari melalui jalur SPMB
dan lulus pada tahun 2005. Pada tahun 2007, penyusun kembali melanjutkan studi Program
Magister Matematika di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya (ITS) melalui
program Beasiswa dari Departemen Agama, dan pada bulan Oktober 2009 memperoleh
gelar Magister Sains (M.Si). Saat ini penyusun aktif sebagai pengajar di MAN 1 Kendari
dan bimbingan belajar Primagama Kendari.