fehlerkorrekturinderdatenu¨bertragung - universität …werner/geonext/error... · alfred...
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Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
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Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
oder
Was machen Irving Reed und Gustave
Solomon auf dem Ochsenkopf?
Alfred Wassermann
Universitat Bayreuth
28. November 2008
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Der Wunsch
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Wir leben in einer Informationsgesellschaft
� Fehlerfreie Nachrichtenubertragung ist von grosser
Bedeutung
� Kann dies verwirklicht werden?
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Beispiele fur Nachrichten
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Internet-Downloads: Die Ubertragung von Information
erfolgt mit dem TCP/IP-Protokoll. Werden Datenpakete
fehlerhaft ubertragen, werden sie erneut vom
Empfanger-Computer angefordert
� Supermarkt-Kasse: Die Nachricht ist im EAN-Code
gespeichert.
Kann der Strichcode nicht vom Laser-Scanner gelesen
werden, ertont kein Signal → erneut durchziehen
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Beispiele fur Nachrichten
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Telefongesprache enthalten Rauschen: Dies sollte so gering
sein, dass wir den Gesprachspartner noch verstehen.
Bei Nichtverstehen → Nachfragen
� Fernsehen: Antennen-/Satellitenempfang ist manchmal
verrauscht, erneute Anforderung nicht moglich
� Weltraumsonden – Reisen zum Mars:
Mariner 4 (1965) Mars Exploration Rover (2004)
Erneute Anforderung nicht moglich
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Beispiele fur Nachrichten
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Bildvergleich:
1965:
2004:
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Beispiele fur Nachrichten
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Speicherung von Daten auf Festplatte, CDROM:
� Schreiben ↔ Nachricht senden
Aufbewahrung ↔ Nachricht ubertragen
Lesen ↔ Nachricht empfangen
� Erneute Anforderung nicht moglich (→ Neukauf)
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Abstrakte Nachrichtenubertragung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Unser Kommunikationsmodell:
� Sender verschickt Nachricht
� uber einen Kanal
� an den Empfanger
Annahme:
� Der Kanal ist ublicherweise gestort:
� Eine Nachricht wird verfalscht oder
� Teile einer Nachricht gehen verloren
Unsere Einschrankung:
� Eine Nachricht besteht aus Bits
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Abstrakte Nachrichtenubertragung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
FALSCH
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Abstrakte Nachrichtenubertragung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
RICHTIG
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Abstrakte Nachrichtenubertragung – Kanale
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Bitfehlerwahrscheinlichkeit f :
Rauschen:
1
0
1
0
1− f
f
f
1− f
Ausloschung:
1
0
1
0
?
1− f
f
f
1− f
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Realisierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Um mit Fehlern in der Nachrichtenubertragung umgehen zu
konnen, haben wir folgende Moglichkeiten:
� Bessere Hardware, starkere Signale: Teuer
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Realisierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Um mit Fehlern in der Nachrichtenubertragung umgehen zu
konnen, haben wir folgende Moglichkeiten:
� Bessere Hardware, starkere Signale: Teuer
� Bessere Software:
� Fehlererkennung – falls erneute Ubertragung moglich
� Fehlerkorrektur
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Realisierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Um mit Fehlern in der Nachrichtenubertragung umgehen zu
konnen, haben wir folgende Moglichkeiten:
� Bessere Hardware, starkere Signale: Teuer
� Bessere Software:
� Fehlererkennung – falls erneute Ubertragung moglich
� Fehlerkorrektur
Fehlererkennung:
� Prufzeichen: EAN, Geldschein, Kreditkarte, . . .
� CRC32: TCP/IP
� Ubersicht: http://www.pruefziffernberechnung.de
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Fehlerkorrektur
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Restliches Programm:
� Ein erster Versuch
� Hamming-Codes
� Reed-Solomon-Codes
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Wiederholungs-Code
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
1. Versuch
� Wir versenden einfach jedes Bit dreimal:
� Nachricht: 0 1
� Code: 000 111
� Storung: 010 001
� Decodierte Nachricht: 0 0
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Wiederholungs-Code
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
1. Versuch
� Wir versenden einfach jedes Bit dreimal:
� Nachricht: 0 1
� Code: 000 111
� Storung: 010 001
� Decodierte Nachricht: 0 0
� Wir konnen einen Fehler korrigieren
� Verbesserungsmoglichkeiten: Sende jedes Bit funfmal,
siebenmal,. . .
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Wiederholungs-Code: Analyse
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Erhalten: Gesendet:
000 111
000 ok Fehler
001 ok Fehler
010 ok Fehler
011 Fehler ok
100 ok Fehler
101 Fehler ok
110 Fehler ok
111 Fehler ok
� f : Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit bei der Ubertragung
verandert wird
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Wiederholungs-Code: Analyse
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Erhalten: Gesendet:
000 111
000 ok Fehler
001 ok Fehler
010 ok Fehler
011 Fehler ok
100 ok Fehler
101 Fehler ok
110 Fehler ok
111 Fehler ok
� f : Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit bei der Ubertragung
verandert wird
� Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
1 · f 3 · (1− f )0 +3
7f 2(1− f )1
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Wiederholungs-Code: Analyse
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� f : Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit bei der Ubertragung
verandert wird
� Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
1 · f 3 · (1− f )0 +3
7f 2(1− f )1
� Zum Beispiel: f = 0.1
� Bitfehlerwahrscheinlichkeit: ≈ 0.028
� ca. 100 000 Pixel → ca. 2 800 Fehler
� Durch dreifachen Aufwand konnten wir die Fehlerrate um den
Faktor0.1
0.028≈ 3.514
senken
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Wiederholungs-Code: Analyse
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Bitfehlerwahrscheinlichkeit fur den 61-fachen
Wiederholungs-Code:
≈ 10−15
� Frage: Folgt aus Fehler → 0 automatisch
Nachrichtenlange
Codelange→ 0 ?
� Antwort: NEIN !
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Hamming-Codes
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Richard Hamming – 1950
Idee: Codiere statt einzelner Bits Blocke von Bits, z.B. 0110.
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Hamming-Codes
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
1 2
3
4
5
67
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Hamming-Codes
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
1 2
3
4
5
67
Wir konnen einen Fehler korrigieren:
Die Bit-Summe ist in einem, zwei oder drei Kreisen ungerade.
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Hamming-Codes
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Codierung der Nachricht (m1,m2,m3,m4):
c1c2c3c4c5c6c7
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 0 1
0 1 1 1
1 0 1 1
·
m1m2m3m4
� Rechne modulo 2.
� Das Codewort ist (c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7).
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Reed-Solomon-Codes
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Irving Reed (links), Gustave Solomon (rechts) – 1960
� Nachrichtenblocke der Lange k werden zu einem Codewort
der Lange n verwandelt.
� Ublich: n = 2m − 1.
� Damit konnen bis zu
� n − k Ausloschungen
� ⌊(n − k)/2⌋ Fehler
korrigiert werden.
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Reed-Solomon-Codes – Idee
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Wahle n Zahlen u1, u2, . . . , un und berechne einmalig fur all
diese Zahlen:
uk−11 uk−21 · · · u21 u1uk−12 uk−22 · · · u22 u2
...
uk−1n uk−2n · · · u2n un
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Reed-Solomon-Codes – Idee
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Wahle n Zahlen u1, u2, . . . , un und berechne einmalig fur all
diese Zahlen:
uk−11 uk−21 · · · u21 u1uk−12 uk−22 · · · u22 u2
...
uk−1n uk−2n · · · u2n un
� Nimm’ die Nachricht (m0,m1, . . . ,mk−1) und verwende sie
als Koeffizienten eines Polynoms:
p(x) = mk−1xk−1 +mk−2x
k−2 + . . .+m2x2 +m1x +m0
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Reed-Solomon-Codes – Idee
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Wahle n Zahlen u1, u2, . . . , un und berechne einmalig fur all
diese Zahlen:
uk−11 uk−21 · · · u21 u1uk−12 uk−22 · · · u22 u2
...
uk−1n uk−2n · · · u2n un
� Nimm’ die Nachricht (m0,m1, . . . ,mk−1) und verwende sie
als Koeffizienten eines Polynoms:
p(x) = mk−1xk−1 +mk−2x
k−2 + . . .+m2x2 +m1x +m0
� Setze die n Zahlen u1, u2, . . . , un in das Polynom ein.
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Reed-Solomon-Codes – Idee
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Setze die n Zahlen u1, u2, . . . , un in das Polynom ein.
c1 = mk−1uk−11 +mk−2u
k−21 + · · · +m2u
21 +m1u1 +m0
c2 = mk−1uk−12 +mk−2u
k−22 + · · · +m2u
22 +m1u2 +m0
...
cn = mk−1uk−1n +mk−2u
k−2n + · · · +m2u
2n +m1un +m0
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Reed-Solomon-Codes – Idee
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Setze die n Zahlen u1, u2, . . . , un in das Polynom ein.
c1 = mk−1uk−11 +mk−2u
k−21 + · · · +m2u
21 +m1u1 +m0
c2 = mk−1uk−12 +mk−2u
k−22 + · · · +m2u
22 +m1u2 +m0
...
cn = mk−1uk−1n +mk−2u
k−2n + · · · +m2u
2n +m1un +m0
� Als Matrix-Vektorprodukt geschrieben:
c1c2...
cn
=
uk−11 uk−21 · · · u21 u11 1
uk−12 uk−22 · · · u22 u12 1
...
uk−1n uk−2n · · · u2n u1n 1
·
mk−1...
m1m0
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Reed-Solomon-Codes – Decodierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
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Reed-Solomon-Codes – Decodierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Interpolationsverfahren von Joseph Louis de Lagrange,
eigentlich Giuseppe Ludovico Lagrangia, (1736-1813)
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Reed-Solomon-Codes – Decodierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Interpolationsverfahren von Joseph Louis de Lagrange,
eigentlich Giuseppe Ludovico Lagrangia, (1736-1813)
� Zu k paarweise verschiedenen Punkten
(u0, c0), (u1, c1), . . . , (uk−1, ck−1)
gibt es genau ein Interpolationspolynom (k − 1)-ten Grades:
c0 ·(x − u1)(x − u2) · · · (x − uk−1)
(u0 − u1)(u0 − u2) · · · (u0 − uk−1)
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Reed-Solomon-Codes – Decodierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Zu k paarweise verschiedenen Punkten
(u0, c0), (u1, c1), . . . , (uk−1, ck−1)
gibt es genau ein Interpolationspolynom (k − 1)-ten Grades:
c0 ·∏
i 6=0
x − uiu0 − ui
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Reed-Solomon-Codes – Decodierung
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Zu k paarweise verschiedenen Punkten
(u0, c0), (u1, c1), . . . , (uk−1, ck−1)
gibt es genau ein Interpolationspolynom (k − 1)-ten Grades:
c0 ·∏
i 6=0
x − uiu0 − ui
+ c1 ·∏
i 6=1
x − uiu1 − ui
+ . . .+ ck−1 ·∏
i 6=k−1
x − uiuk−1 − ui
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Reed-Solomon-Codes
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Folgerung:
� Wenn uns n − k Ausloschungen vorliegen, bleiben noch
n − (n − k) = k richtige Stellen ubrig
� Es gibt ein eindeutiges Interpolationspolynom (k − 1)-ten
Grades
� Berechne dieses Polynom
� Die Koeffizenten sind unsere Nachricht (m0,m1, . . . ,mk−1)
� → Korrektur der Ausloschungen gelungen!
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Reed-Solomon-Codes
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� Man schatzt, dass in 75% aller Produkte, die Fehlerkorrektur
einsetzen, Reed-Solomon-Codes verwendet werden.
� Beispiele:
� Mars Rover
� CDROM
� DSL
� QR-Codes:
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Reed-Solomon-Codes auf dem Ochsenkopf
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
� DVB-T: Digitales Fernsehen mit Antennen-Empfang
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Ausblick
Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Aktuelle Forschung: Anwender wunschen sich Codes mit
� riesigen Blockgroßen: > 10 000 Bits
� wenig Redundanz: nkklein
� hervorragenden Korrekturfahigkeiten
� geringem Rechenaufwand bei der Decodierung
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Der Wunsch
Realisierung
Fehlerkorrektur
Hamming-Codes
Reed-Solomon-
Codes
Realschullehrerwochenende 2008 Fehlerkorrektur in der Datenubertragung
Herzlichen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!