fem lagrangian multipliers

8/8/2019 FEM Lagrangian Multipliers

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Nu m er . Math . 20, t 79 - - - t92 ( t973 )9 b y Sp r i n g e r -V e r l a g t 9 7 3

T h e F i n it e E l e m e n t M e t h o d w i t h L a g r a n g i a n M u l t i p l i e r s *I v o B a b u ~ k a

I n s t i t u t f o r F l u id D y n a m i c a n d A p p li ed M a t h e m a t i c s,U n i v e r s i t y o f M a ry l a n d , C o lle ge P a rk / U . S . A .R e c e i v e d J a n u a ry 2 6 , t 9 7 2

Summary. T h e D i r i c h le t p ro b l e m fo r s e co n d o rd e r d i f f e re n t i a l e q u a ti o n s i s c h o s e na s a m o d e l p r o b le m t o s h o w h o w t h e f i ni te e l e m e n t m e t h o d m a y b e im p l e m e n t e d toavo id d i f f i cu l ty i n fu lf i ll ing e ssen t i a l ( s t ab le ) bou ndary ' cond i t ions . T he im p le m en ta t ioni s b a s e d o n t h e a p p l i c a t i o n o f L a g ra n g i a n mu l t i p li e r. T h e r a t e o f c o n v e rg e n c e i s p ro v e d .

1 . I n t r o d u c t i o nT h e f i n it e e le m e n t m e t h o d h a s b e c o m e th e m o s t s u c ce s sf ul l a p p r o x i m a t i o n

m e t h o d i n e n gi n ee r in g . T h e r e i s a v a r i e t y o f d e t a i l e d a p p r o a c h e s b a s e d o n t h ef i n it e e l e m e n t m e t h o d . S e e e .g . [2 2 a n d 1 7] m a n y o t h e r s . T h e c e n t r a l i d e a o f t h ef i n i t e e l e m e n t m e t h o d i s t o u s e d i f f e r e n t v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s t o g e t h e r w i t h aG a l e r k i n p r o c e d u r e a p p l i e d t o p i c e w i s e s m o o t h f u n c t i o n s .

T h e n o t i o n o f a v a r i a t i o n a l m e t h o d i s u s e d t o d a y i n e n g in e e r in g m o s t l y in t h en a r r o w s e n s e t h a t t h e s o l u ti o n is a s t a t i o n a r y p o i n t . I n o t h e r w o r d s , t h e b i l in e a rf o r m w h i c h d e t e r m i n e s t h e s t a t i o n a r i t y i s o f t e n n o t p o s i t i v e d e f in i te . F o r v a r i a -t i o n a l p r i n c i p l e s u s e d i n t h e t h e o r y o f e l a s t i c i ty , s e e e .g . [ 2 5] .

T h e f in i te e l e m e n t m e t h o d h a s b e e n s t u d i ed r e c e n t l y f r o m a t h e o r e ti c a l p o i n to f v i e w a ls o . M a n y t h e o r e m s a b o u t c o n v e r g e n c e , e r r o r e s t i m a t e s , e t c. , h a v e b e e npr ov ed . See e .g . [5 , 6 , 8 , 9 , t 2 , t 4 , 16, 26] .

I t h a s b e e n s h o w n t h a t i t is n o t c o m p u t a t i o n a l l y e a s y t o h a n d le t h e D i r ic h le t( e ss e n ti a l) b o u n d a r y c o n d i t i o n i f t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e r e q u i r e s f u U f i ll m e n to f t h e s e c o n d i t io n s . D i f f e r e n t m e t h o d s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o a v o i d t h i s d i f f ic u l ty .Se e e . g . [ 3, t 0 , 1 4, 1 8] a n d o t h e r s . T h e re i s a n o b v i o u s a n d c l a s s i ca l t e c h n i q u e t od e a l w i t h r e s t r ic t i o n s in t h e v a r i a t i o n a l p r in c ip l es . I t i s t h e t h e o r y o f L a g r a n g i a nm u l ti p l ie r s , a p p l i e d t o t h e f i n it e e l e m e n t m e t h o d . N e v e r t h e l e s s a p p l i c a t io n o f t h i si d e a t o t h e f in i te e l e m e n t m e t h o d h a s n o t b e e n s o f a r t h e o r e t i c a l l y s tu d i e d .

W e s h a ll a n a l y z e h e r e a m o d e l p r o b l e m , b u t t h e a p p r o a c h is q u i t e g e n e r a l a n dm a y b e a p p l i e d in o t h e r c a s e s t o o . S o m e i n t e r e s t in g c a s es w ill b e b r o u g h t o u t i ns u b s e q u e n t p a p e r s . L e t o u r p r o b l e m b e t o s o lv e t h e d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n

- - / l u + u = / o n 9 ( t . t )w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s

u=g on ~9". (1.2)* T h i s p a p e r w a s s u p p o r t e d b y t h e A t o m i c E n e r g y C o m m i s s i o n u n d e r C o n t r a c t N o .AE C A T (40 -1 ) 3443 /4 .t3 Numer. Math., Bd. 20


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t 8 0 I . B a b u ~ k a :

W e s h al l a s s u m e t h a t / 2 i s a b o u n d e d d o m a i n a n d t h a t i t s b o u n d a r y / 2 " i s s u ff i-c i e n t ly s m o o t h .

T h e c l a ss ic a l t e c h n i q u e is t o m i n i m i z e t h e q u a d r a t i c f u n c t i o n a l: o o , - 2 f i v a x ( t . 3 )

o v e r a ll f u n c t i o n s s a t is f y i n g t h e p r e s c r i b e d b o u n d a r y c o n d i t i o n o n / 2 " . B y t h et h e o r y o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r ( se e e .g . [ t 9 ] ) t h e s o l u ti o n c r e a t e s t h e s t a t i o n a r yp o i n t f o r t h e ( n o t p o s i t iv e d e f in i te ) f u n c t i o n a l

= / [ 2 ( 0 . ) ,] /( v, ,~ ) ~ + v d x - - 2 , ~ ( v - - g ) d s - - 2 v ] d x . (1.4)~" T2

I n t h e n e x t c h a p t e r s w e w i l l u s e t h i s p r i n c i p l e a n d s h o w h o w t o u s e i t i n t h et h e o r y o f t h e f i n i te e l e m e n t m e t h o d . W e s h a ll al so s h o w t h a t t h e r a t e o f c o n v e r -g e n c e o f t h i s m e t h o d i s t h e o p t i m a l o n e.

2 . T h e P r i n c ip l e N o t i o n sT h r o u g h o u t t h e e n t i r e p a p e r R , b e t h e n - d i m e n s i o n a l E u c l i d i a n s p a c e ,

9 - - . . . . . ~ ,) , I I * l ] ' - ~,~ an d d x = d x x d x ,. L e t / 2 ( R , b e a b o u n d e d r eg io n/= 1a n d / 2 " i t s b o u n d a r y . W e w i ll a s s u m e t h a t / 2 " i s i n f i n it e l y m a n y t i m e s d if f e re n t / a b le .L e t L , (/2) b e t h e s p a c e o f s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s u o n / 2 s u c h t h a t

l[ul~.,(a)---- f [u ]~ dx < o o .S o m e t i m e s w e s h a l l w r i t e L 2 ( /2 ) = H ~ (g'2). L e t g ( D ) b e t h e s p a c e o f a l l i n f i n i t e l ym a n y t i m e s d if f e re n t / a b le f u n c t i o n s o n / 2 a n d s u c h t h a t a ll d e r i v a t i v e s a rec o n t i n u o u s l y e x t e n a b l e o n / 2" , a n a l o g o u s l y d~ (s ") i s t h e s p a c e o f a l l i n f i n i t e l ym a n y t i m e s d i f fe r e n t /a b l e f u n c t i o n s o n / 2 " . F u r t h e r m o r e l e t ~ (I]) < g (/2) b e t h es u b s p a c e o f a l l f u n c t i o n s w i t h c o m p a c t s u p p o r t i n g 2 .

L e t l ~ t , l i n t e g r a l 9 T h e S o b o l e v sp a c e H Z(/2 ) ( r e sp . H ~ ( / 2 ) ) w i l l b e t h ec l o s u r e o f g ( / 2 ) ( r e s p . ~ ( ~ ) ) i n t h e n o r m l[" {~*(a) w h e r e

o ~ l ~ l _ ~ Za n dc ~ + " '" + o ~

. . . . .9 " 9 i = 1

N o w l e t ~ oi(x > 0 , i = t , 2 . . . . v , x E R n b e f u n c t i o n s i n f i n i t e l y t i m e s d i f fe r -e n t i a b l e a n d s u c h t h a t

~ , ~ p ~ ( x ) = t f o r x E / 2 ".i = 1

F u r t h e r l e t t h e r e b e a s y s t e m o f lo c a l c o o r d i n a t e s x ! ], i - - t . . . . . n s = t . . . . .a n d n - - 1 d i m e n s i o n a l d o m a i n s J , ( R = _ 1, a n d a s y s t e m o f f u n c t i o n s ~ , , s = t . . . . .


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T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d w i t h L a g r a n g i ~ n M u l ti p li er s t 8 td e f i n e d o n J , w h i c h a r e in f i n i t e l y t i m e s d i f f e r e n t ia b l e , a n d w h i c h c r e a t e o n e t oo n e m a p p i n g s Z , o f J ~ o n t o Z , ( J , ) - - - ~ ; w h e r e

a n d s u c h t h a t

p o l a t e d s p a c e sn o r m . S e e e . g .d e f i n e

E [ x e Q ' ] ~ , ( x ) > o ] c E [ ( x [~ . . . . . x f _ . ~ ( x [~3 . . . . x ~ , ) [ (xtz . . . . . x ~ l_ l) E ( J , ) . ]w h e r e H > 0 a n d

( J,) ~, = E [ x E J ~ l d ( x , J ',) > H ]w i t h d ( x, J ; ) a s t h e d i s t a n c e o f x t o J ; . i t i s e a s y t o s e e t h a t s u c h a s y s t e m o ff u n c t i o n s ~ i, 9 , a n d d o m a i n s J , a c t u a l l y e x i s t . L e t / b e d e f i n e d o n ~ 2" . T h e n t h ef u n c t i o n Is = ~ J = 0 e v e r y w h e r e o u t s i d e o f ~ ; a n d ] ~(Z ~ ( x )) i s d e f i n e d o n J , a n dh a s c o m p a c t s u p p o r t .

L e t u s in t r o d u c e t h e S o b o l e v s p a c e s o n / 2 " . L e t l >-- 0 a n i n te g e r . T h e S o b o I e vs p a c e H ' ( / 2 " ) w i t h n o r m [[" Jim (a ) i s t h e s p a c e o f a ll f u n c t i o n s / d e f i n e d o n Q " a n ds u c h t h a t

W e h a v e i n t r o d u c e d t h e S o b o l e v s p a c e s w i t h i n t e g r a l d e r i v a t i v e s . F o r ~ w i t h~2" E C ~176 e m a y c o n s t r u c t H i l b e r t s c a l e s a n d o b t a i n s p a c e s w i t h f r a c t i o n a l d e r i v -a t i v e s . S e e e .g . [ 20 a n d 2 t ] . O u r n o t a t i o n i s i n a g r e e m e n t w i t h [ 2 t ] . T h e s e i n t e r -

( re s p . , t h e i r n o r m s ) a r e e q u i v a l e n t w i t h A r o n s z a j n - S l o b o d e c k i i[2 3] . F o r 0 < 0 ~ = [ ~ ] + a , 0 < a < t a n d [~ ] i n te g r a l w e m a y

w h e r e= l b l lL ( ) + Y I I D t la c ) ( 2 . t )

I k l = [ ~ ]

A n a l o g o u s l y w e d e f i n e t h e n o r m 11. I[n-ca') w h i c h i s e q u i v a l e n t w i t h t h e i n t e r p o l a t e dn o r m . F o r ~ n e g a t i v e w e s h a l l d e f i n e t h e s p a c e H ~ ( Q ") a s a d u a l s p a c e , n a m e l yH ~ ( Q -) = ( H - ~ ( Q ' ) ) 1. F o r a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n s e e [ 2 t ] p . 3 5 .

L e t u s m e n t i o n s o m e t h e o r e m s w h i c h w i l l b e u se f u l l a te r .T h e o r e m 2 .1 . L e t / E H k ( [ 2 ) , k > { ; . T h e n t h e r e e x i s t s a t r a c e o f t h e f u n c t i o n

t o n Q " a n dI I1 - < - c I l t lb ( ) ( 2 . 3 )

w h e r e C d o e s n o t d e p e n d o n 1. -T h e o r e m 2 .2 . L e t t e H k ( / 2 ) , k > ] . T h e n t h e r e e x i s ts a t r a c e 0 f / a m a n Q " a n d

< C l l l l b , ( , , , ( 2 . 4 )w h e r e C d o e s n o t d e p e n d o n / . F o r t h e p r o o f s ee [ 2 i ] p . 4 7 .t C w i ll b e a g e n e r ic c o n s t a n t w i t h d i f f e r e n t v a l u e s o n d i ff e r e n t p l a c e s .13"


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t 82 I . Ba buwT h e t h e o r e m s h o l d o n l y f o r k > ~ ( re s p. k > ~ ) a n d i t i s p os s ib l e t o s h o w t h a t

t h e t h e o r e m i s n o t v a l i d f o r k ~ ~ ( r es p . k ~ ~ ) . S e e e .g . [ 2 t ] p . 4 9 . N e v e r t h e l e s sl e t u s s h o w t h a t t h e t h e o r e m i s t r u e i f w e r e s t r i c t t h e s p a c e H a (Q ) t o a s m a l l e r on e .

L e t ~ ( ~ 2 ) C H a (~2) b e t h e s p a c e o f M1 f u n c t i o n s w h i c h s a t i s f y t h e e q u a t i o n- - A u + u = O

i n t h e w e a k s e n s e ; i .e ., 5 p ( f2 ) b e s u c h a s u b s p a c e o f f u n c t i o n s u t h a t

i = 1 0 x ~ O x + u v d x = Of o r e v e r y vCH~(Q). N o w w e m a y p r o v e t h e n e x t t h e o r e m .

T h e o r e m 2 . 3 . L e t u E S t ' ( g 2 ) . T h e n w e h a v e Ou]OncH-~(Q' ) and- -~c~ , ~C llul~,c~ (2.5)

w h e r e C d oe s n o t d e p e n d o n u.Proof. B e c a u s e 5 ~ ( ~ ) ~ 8 ( ~ ) is d e n s e i n S P (Q ) ( se e e .g . [ t ]) w e h a v e t o p r o v e

t h e f o r a n y vEH89 a n d u e 6 a ( Q ) ~ ( O ) w e h a v e~ ~d~ z cC .)l l' l~'c~- , (2.6)O " i t *

w i t hc (u ) z c I Iu I ~ c o ~ .

B y a n i n v e r s e i m b e d d i n g t h e o r e m ( se e e .g . [ 2 t ] ) t h e r e e x i s t s a l i n e a r m a p p i n go f n ~ ( I 2 " ) i n t o H a (O ) s u ch t h a t # ( u ) = u o n O " a n d I I ~ ( - ) t ~ , ~ - - - C l l - l ~ * c ~ . ~w h e r e C d o es n o t d e p e n d on u. F o r u E 6 P ( O ) ~ ' ( O ) a n d v E# (~ 2" ) w e c o m p u t e

I n t e g r a t i n g b y p a r t s w e o b t a i n(u, v) = ~ ouB v d s

I ' I "a n d w e h a v e o b v i o u s l y

I B ( u , v ) I _ _ I 1 " t 1 . , c , ~ I 1 ~ , (,,) I1 .,


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T h e F i n i te E l e m e n t M e t h o d w i t h L a g r a n g i a n M u l ti pl ie r s t 8 3w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n u = g o n Q ' . F u r t h e r m o r e u E H s ($2) w h e r e s = m i n (k + 2 ,l + ~ ) a n d

II u I I - , c ~ - - < c E l l ! l ~ + I I g I ~ , , ~ . ~ ] ( 2 . 8 )w h e r e C d o e s n o t d e p e n d o n / o r g .

T h e o r e m 2 .5 . L e t ! ~ H ~ ($ 2 ), k > 0 , g E H t ($ 2 " ), l ~ - - ~ - . T h e n t h e r e e x i s t s i nH 1($2 ) e x a c t l y f u n c t i o n u s u c h t h a t u is a w e a k s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n- - A u + u = ! w i t h b o u n d a r y c o n d it io n O u / a n = g . F u r t h e r m o r e u EH~($2) w h e r e

s = ra in (k + 2 , l + ~)a n d

I I - I I , , c ~ = < c E I I I I I - , : ~ + I l g l l - , ~ ' ~ ] ( 2 . 9 )w h e r e C d o e s n o t d e p e n d o n ! o r g .F o r t h e p r o o f o f t h e s e t h e o r e m s s e e [ 2 1 ] , p . 2 0 3.W e p r o v e d T h e o r e m 2 .3 f o r u E 6 ~ ($ 2) b u t i t i s p o s s ib l e t o g e n e r a l i z e i t .N o w l e t /E L ~ ( $ 2 ) a n d l e t 5 : ($ 2 , !) b e t h e s p a c e o f a ll f u n c t i o n s w h i c h s a t i s f y

t h e e q u a t i o n - - A u + u = !i n t h e w e a k s e n s e i .e . l e t S : ($ 2 ) b e s u c h a s u b s p a c e o f f u n c t i o n u E H I ( J 2 ) t h a t

t= l a xi a xi + u v d x = ! v d xf o r e v e r y v E H o ($ 2). N o w t h e f o l l o w i n g t h e o r e m is v a l i d .

T h e o r e m 2 .6 . L e t u E S t ' ( $ 2 ,/ ) . T h e n w e h a v e Ou/anEH-t($2) a n d

[ ~ - - h ~ ' , - - < c [11'~I n , ~ , I I ! l l ~ . - ~ ] ( 2 . 1 o )where C does no t depend on u o r 1 .

Proo]. L e t u E S P ( $ 2, 1). T h e n t h e r e e x i s t s a l i n e a r m a p p i n g Z o f L a ( I2 ) i n t oH ~ ($ 2) s u c h t h a t u = v + w w h e r e

a n d v ~ . ~ ( $ 2 ) , I I " l ! , - , , c , ~ - - < c E I lu l l . ,~ , ~ + 1 1 / 1 1 ~ , ,~ 3 .I n f a c t w is a p a r t i c u l a r s o l u t io n o f t h e e q u a t i o n - - A w + w = / s u c h t h a tll~ lG , c ~ - < - C l l ! l L c ~ a n d we may-obviously u se f o r o u r p u r p o s e T h e o r e m 2 .4 .C o m b i n i n g n o w T h e o r e m 2 .3 w i t h T h e o r e m 2 .2 , w e g e t o u r r e su l t .

T h e o r e m 2 .7 . L e t g E H - i ( Q ") a n d u b e t h e w e a k s o l u ti o n o f t h e N e u m a n np r o b l e m f o r t h e e q u a t i o n - - A u + u = O o n $2, O u/O n= g o n $2" in / -an(Q) [seeT h e o r e m 2 .5 ] . T h e r e e x i s t s c o n s t a n t s 0 < C 1 < C ~ < o o s u c h t h a t

C1 # g u d s < I l g l l ~ - h , ~ < G ~ g ud s ( 2 A Q.Q. ~-


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1 84 I . B a b u ~ k a :a n d

P r o o ] . T h e s t a t e m e n t (2.12) f o ll ow s i m m e d i a t e l y f r o m t h e d e f i n it io n o f a w e a ks o l u t i o n . F o r g E H ~ " ) w e h a v e

[ I g l ~ - h ~ . ) = s u p ~ g v d s ( 2 . t 3 )L e t w b e t h e s o lu t io n o f th e e q u a t i o n - - A w + w : - 0 w i t h w = v o n s U s i n gT h e o r e m 2 .4 a n d 2 .5 a n d t h e d e f i n i ti o n o f t h e w e a k s o l u t io n , w e h a v e

[~ gvds < C I I w l ~ - I ~ ) l l u l ~ , c ~ lI l v l l u o . ) - I I w I I n , . c . ~ ( 2 . t 4 )< c I 1 , ' 1 1 ~ , , ~ ,= c [ ~ g , d s ] ' .

T h e r e f o re , w e h a v eI lg l l ~ , - ~ c ~ < c ~ g , a s .~,

B e c a u s e o f t h e d e n s i t y o f H ~ " ) in H - ~ ( Q ' ) , o n e s i d e o f ( 2 . 4 t ) i s p ro v e d .L e t u s p r o v e n o w t h e o t h e r s id e o f t h e e n e q u a l i t y ( 2 . t l) . W e h a v eg , a s < I l g l l ~ - J c ~ ' , l l" l ~ o ' ~

b y d e f i n i t i o n o f t h e n o r m [[g I~ -tr U s i n g T h e o r e m 2.5 w e g e t12 g,,ds ~ - C l lg l l~ - ~ , ~ . ,

W e in f a c t s h ow t h a t c1 ~ g, ,ds _ _ _ _ l l g l l ~ , - ~ r ~ g ~ a s ( 2 . t 5 )i n s t e a d o f (2 . 1 t) . B u t u s i n g (2 .1 2) w e s ee t h a t ~ g u d s ~ O a n d t h e r e f o r e ( 2 . t 5 ) i si d e n t i c a l t o ( 2.1 t ) . a "

L e t u s i n t r o d u c e n o w t w o t h e o r e m s w h i c h w i ll p l a y a f u n d a m e n t a l r ol e i n t h en e x t s e c t i o n .

T h e o r e m 2 .8 . L e t H 1 a n d H , b e t w o H i l b e r t s p a c e s w i t h s c a la r p r o d u c t s( . , 9 ) h a n d ( . , 9 ) n, r e s p . F u r t h e r l e t B ( u , v ) b e a b i l i n e a r f o r m o n H I H , , u E H 1,v E H ~ s u c h t h a t

[ B (u , v ) [ ~ Cl[]u[~,[[v[In , (2 . t 6 )su p ]B (u , v ) i ~ C , ][v i~,, (2 .t 7)u~HtII-l[Ht< ls u p I a ( ~ , v ) l _ > - G I l ~ l ~ , , ( 2 . t 8 )vcHsI lV l IH < x


7/14

Th e F in i te E le m ent M ethod w i th Lagrangia~ l M ul tip lie rs 185w i t h C~ > 0 , C a > 0 , C ~ < ~ . F u r t h e r l e t / ~ H ~ i .e ., l e t / b e a l i n e a r f u n c t i o n a l o n H ~.T h e n t h e r e e x i st s e x a c t l y o n e e le m e n t u o ~ H x s u c h t h a tf o r a l l v ~ H ~ a n d

F o r t h e p r o o f s e e ~ 9].

B (%, v ) = [ ( v ) ( 2 A 9 )I 1 % 1 1 - , ~ I l l l l ~ ; ( 2 . 2 0 )- - C ~ "

T h e o r e m 2 .9 . L e t t h e a s s u m p t i o n s o f t h e T h e o r e m 2 .8 b e f ul fi ll ed . F u r t h e rl e t t h e r e b e g i v e n t w o l i n e a r s u b s p a c e s ( cl os ed ) M 1( H 1 a n d M 2 ( H ~ a n d f o re v e r y v E M g, l e t

s u p [ B ( u , v)] >=d~(Mx,M ~ ) II v IG , (2 . 2 t )u E M tIlulln ---x

w i t h d ~ ( M 1 , M ~ ) > 0 , a n d f o r e v e r y u E M 1s u p I B ( u , v ) l _ - - > d ~ ( ~ , M.)II-II . , (2 .22)

v E M tIMIn, O . L e t / E H ~ b e g i v e n , a n d l e t u o d e n o t e t h e e l e m e n t o f H 1,s u c h t h a t

B ( % , ~ ) = t (~ ) ( 2 . 2 3 )h o l d s f o r a ll v 6 H ~ [ su c h a n e l e m e n t e x i s t s a n d i s u n i q u e b y T h e o r e m 2 .8 ].

L e t t h e r e e x i s t a o ~6 M ~ s u c h t h a t

F u r t h e r , l e t * /0 E M 1 b e s u c h t h a t

fo r a l l v E M 2 . T h e n ,F o r t h e p r o o f s e e [ 9 ].

I 1 % - o & ~ ~ o . ( 2 .2 4 )

B ( G , v ) = 1 ( v )C1

(2.25)

(2 .26)

3 . T h e F i n i te E l e m e n t M e t ho d - - R a t e o f C o n v e r g e n c e i n / x n ( fJ )B e f o r e w e d i sc u ss t h e f i n it e e l e m e n t m e t h o d , w e s h a ll i n t r o d u c e s o m e n e c e s s a r y

m a c h i n e r y . L e t u s i n t r o d u c e 5r a n d 5 P~ ,~ (Q ) a s o n e p a r a m e t e r f a m i l ie s o ff u n c t i o n s f o r a l l 0 < h < t . T h e l i n e a r, f i n i te d i m e n s i o n a l s y s t e m o f f u n c t i o n sS~ ,k(Q) [ resp . 6~ ;~ (sQ') ] wi l l be ca l le d a ( t, k ) - reg u la r sy s t em fo r t ~ k >--0 ( resp .t ~ k > - - ~ ) i f :

(1) ,9~h,*(Q)CHI' (g2) resp. 5a~,*(~2")CHk(Q')] ,(2) i f / E H z ( O ) E r e s p . / E H ' ( O ' ) ]

th en th er e ex is t s g E SP~ ~ (~ ) [ resp . g E Sp~,k ~ . ) ] suc h th a t fo r a n y 0 < s < k < l[ r e sp . - - 8 9 ~ k < l ]


8/14

t 8 6 I . B ab u ~ k a :w h e r e

# = m i n ( l - - s , t - - s )

a n d C d o e s n o t d e p e n d o n s , h o r / .T h e s ys te m 5#~ ,k /2 ") wi l l be ca l led s t ro ng ly ( t, k ) regu la r i f i t i s ( t, k ) - re gu la ran d i f f o r ev e r y g E 5#~,~, - - ~ ~ q ~ s --< k

I l g I I - , c ~ ' , ~ Ch-C,-,, L I g ] - , c ~ ' ~a n d C d o e s n o t d e p e n d o n s , h o r ] .

W e h a v e s t u d i e d t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s y s t e m s 5#~,k Q ) , i n [4 ] a n d [ t t ]a n d 5#~,* / 2. ) i n [ 1 t ] . S i m i l a r i l y , s i nc e w e h a v e i n t r o d u c e d t h e n o r m s H S(/2 ") b yt r a n s f o r m a t i o n t o t h e c as e o f n - - t d i m e n s io n a l d o m a i n s, w e m a y c o n s t r u c ts t ro n g ly (t, k ) - r eg u la r s y s t em 5 :~ ,* (/2 ") u s in g p r in c ip a l ly th e r e su l t s o f [4 ]. L e tu s r e m a r k t h a t w e d o n o t i n t r o d u c e t h e s t r o n g l y r e g u la r s y s t e m s ~ , k (Q ). T h e s es y s t e m s a r e m u c h m o r e d i f f i c u lt t o c o n s t r u c t (s ee [ 7] ). L e t u s m e n t i o n t h a t t h e s es p a c e s a r e f i n i t e d i m e n s i o n a l .

N o w w e m a y e x p l ai n t h e f in i te e l e m e n t m e t h o d f o r s ol vi ng t h e D i r ic h l etp r o b l e m- - A u + u = [ on /2 , (3.2)

u = g on Q " (3-3)w i th ] ELz ( /2 ) a nd g EH89 /2 "). B a s e d o n t h e f o r m ( t .4 ) w e m a y i n t r o d u c e a b i l i n e a rf o r m~=1 e x~ e x i + u v d x - - ( 4 v + u # ) d s ( 3 . 4 )

D"a n d t w o f u n c t i o n a lsF ( u , 4) = f / u d x , (3.5)

.O

G (u , 4) = - - ~ g 4 d s . (3.6)T h e n t h e s t a t io n a r y p o i n t (%, 40) o f (1 .4 ) is o b v i o u s l y s u c h t h a t f o r e v e r y (v, la),w e h a v e

B ( u o , ~ o ; v , ~ ) = F ( v , ~ , ) + G ( v , ~ ) . ( 3 . 7 )L e t u s d e f i n e p r e ci s e l y t h e d o m a i n o f d e f in i t i o n o f t h e b i l in e a r f o r m ( 3.4 ).

L e t u s h a v e H = H t = H , = H I ( / 2 ) 1 8 9 w i t h t h e n o r m [[u ,+ ll2 1~ n-i{a.) a n d l e t u s sh o w th a t t h e b f l in e a r fo rm (3 -4 ) i s d e f in ed o n g H an df u lf il ls t h e c o n d i t i o n s ( 2 . t 5 ), ( 2A 7 ) a n d ( 2 .t 8 ) in T h e o r e m 2 . 8 . L e t u s s t u d y f i r s tt h e c o n d i t i o n ( 2 .t 6 ). U s i n g t h e i m b e d d i n g T h e o r e m 2 . t , w e h a v e

] S ( u , . t . ; V , l U ) ] < I i U i ~ , , , O , i i O i i H , , o , W C [ n ~ i ~ , - ~ < o . , i i V i ~ , , O , + i I , , i ~ , - , < O . ) i i U I ~ , O , ]a n d t h e r e fo r e w e g e t

I B ( u , ~ . ; v , ~ , ) 1 < c I 1 , , , , ~ ) I I . 1 1 , , , ~ I I . ( 3 . 8 )a n d t h e r e f o r e ( 2 . t6 ) i s p r o v e d . B e c a u s e o f s y m m e t r y b y p r o v i n g ( 2 .t 8 ) w e w il lp r o v e ( 2 . t7 ) t o o .


9/14

T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d w i t h L a g r a n g i a n M u l ti p li e rs t 87S o l e t ( u , 3 ~)6 H b e g i v e n . D e n o t e b y w e H I ( ~ Q ) t h e s o l u t io n o f t h e N e u m a n n

p r o b l e m f o r t h e d i f f e re n t i a l e q u a t i o n - - A w + w = 0 w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n~ w / ~ n = 2 . U s i n g T h e o r e m 2 .5 , th e f u n c t i o n w E / - P (Q ) e x i s t s a n d f o r a ll v 6 / P (~Q)w e h a v e

i=1 ax i ax i + vw d x = 2yds . (3 .9 )D "

F u r t h e r m o r e w e k n o w t h a t

U s i n g T h e o r e m 2 .7 , w e h a v ec d l2 1 1 , t - ~ , ~ . ~ < ~ ~ 2 d ~ 0 . t l )

a n d 0 < C 1. L e t u s t a k e v = u - w a n d / z = - 2 ~ . T h e n o b v i o u s l y ,I I ( , , , , , , ) I I , - ,< C l l ( u , 2 ) I ~ . c ~ . ~ 2 )L e t u s s h o w n o w t h a t B ( , , , 2 ; , , , i f ) - > _ c I J ( , . , , 2 ) I 1 ~ - . ( 3 . ~ 3 )

I f (3 .1 3) h o l d s t h e m u s i n g ( 3 .t 2 ) , w e g e t ( 2 . t8 ) . S o w e h a v e

\ axi ]. i f 1- i = ~ O x Ox + ~ w d x ( 3 . t 4 )

- - ~ ( ~ u + u t z ) d s + ~ 2 w d s .y j . ~ "

U s i n g ( 3- 9) , w e g e ta ( , , , 2 ; , , , , ) = I l u I I ~ , < , , , - . * u ( 2 2 + , = ) a s + ,~ 2 w d ~ . ( 3 . ~ s )l ' a " ag "

B e c a u s e 2 ~ + f f = 0 , w e o b t a i n (3 . t 3 ) f r o m (3 . t ! ) . T h e r e f o r e w e p r o v e d t h e f o l lo w i n gt h e o r e m .

T h e o r e m 3 .1 . L e t H = H x = H 2 = H ~ ( ~ ) x H - 8 9 T h e n t h e b i l i n e a r f o r m(3 .4 ) s a t is f ie s t h e a s s u m p t i o n s o f T h e o r e m 2 .8 .

N o w l e t ] E L , (s a n d g E H i (Q . ) . T h e n o b v i o u s l y t h e f u n c t i o n a l s (3 .5 ) a n d (3 -6 )a r e c o n t i n u o u s . U s i n g T h e o r e m 2 .8 , w e m a y f i n d (U o, A0) E H s u c h t h a t (3 .7 ) h o l d sf o r e v e r y (v, i f )E H . L e t u s i n v e s t i g a t e t h e c o n n e c t io n b e t w e e n t h e s e f u n c t io n sa n d o u r o r i g in a l p r o b l e m ( 3 . 2 ) -( 3 . 3 ) . L e t u s s t a t e i t a s a t h e o r e m .

T h e o r e m 3 .2 . L e t IEL~ ([2), gEH89 a n d l e t ( u 0, 2 0 ) E H b e s u c h t h a t (3 .7 )h o l d s f o r a ll ( v, i f ) E H . F u r t h e r l e t w E / P ( Q ) b e t h e w e a k s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e tp r o b l e m (3 .2 ), (3 .3 ). T h e n u o - - w a n d 20 = 8 w / S n .

Proo/. F i r s t l e t u s s ta t e t h a t t h e r e e x i s t s a s o l u t i o n o f t h e D i r ie h l e t p r o b l e m(3 .2 ) a n d (3 .3 ) b y T h e o r e m 2 .4 . F u r t h e r , i t i s o b v i o u s t h a t w E ~ g a (O , t ) a n d


10/14

t 8 8 I . B a b u ~ k a :

t h e r e f o r e a w / a n e l l - 8 9 f2") b y T h e o r e m 2 .6 . L e t u s s h o w n o w t h a t( W , ~ w ~B

B e c a u s e o f T h e o r e m 2 .5 , t h e f u n c t i o n w is t h e s o l u t io n o f t h e N e u m a n np r o b le m f o r th e d i ff e re n ti a l e q u a t io n - - A u + u = ] a n d b o u n d a r y c o n d it io nOulan = awlan. T h e r e f o r e

] s=l exi axi +w v d x= v ~ d s + lvdx.T h u s w e h a v e

- ~ , v , l ~ ) = d s - - # aw~ - T~ v d s.s F~

f f /vd.w h i c h is w h a t w e w a n t e d t o b e p r o v e d .

T o u s e o u t b i l i n e a r f o r t h e f i n i t e d e m e n t a p p r o a c h , l e t u s i n t r o d u c e a s u b s p a c eM ( H so t h a tx @ , " , ( o . )

w he re S~h;'k ,(~2) i s ( t , ka ) - regu la r sy s t em an d S~ : ,* , , (O ' ) i s a s t r on g l y ( t, , k , ) -r e g u l a r s y s t e m . I n a d d i t i o n , l e t M - - -- 3/ 1 = M z. F u r t h e r l e t u s a s s u m e t h a tk I & t , k 2 & {- a n d f u r t h e r m o r e t h a t

h~>Kha K > o (3.16)w h e r e K i s i n d e p e n d e n t o f ha a n d ~ 1 1 b e d e t e r m i n e d la t e r . N o w w e m a y u s eT h e o r e m 2 . 9 w h i c h y i e l d s t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d w i t h L a n g r a g e m u l t i p l i e r s .W e s h a l l s e e k (u o, ~ 0 ) E M s u c h t h a t (3 .7 ) i s fu l f il l e d f o r e v e r y (v , # ) E M . T h i sc o n d i t i o n g i v e s a f i n i t e n u m b e r o f li n e a r c o n d i t i o n s f o r t h e e l e m e n t ( 5o , ~0) w h i c his d e t e r m i n e d b y a f in i t e n u m b e r o f p a r a m e t e r s . W e s ha ll sh o w t h a t t h e s y s t e mo f l in e a r a l g e b r a ic e q u a t i o n s w h i c h w e h a v e t o s o lv e h a s , u n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s ,e x a c t l y o n e s o l u ti o n . T h u s w i l l d e t e r m i n e t h e a p p r o x i m a t e s o l u ti o n .

L e t u s p r o v eT h e o r e m 3 . 3. F o r K s u f f i c i e n t l y l a r g e ( s ee (3 A 6 )) w e h a v e i n t h e T h e o r e m 2 . 9

dz (21//1, M2) = d8 (3/1 , M z) > C > 0 an d C do es n o t d ep en d on h .Proo/ . T h e p r o o f w i ll b e s i m i l a r t o t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . t . L e t (u , 2 ) E M

b e g i v e n . D e n o t e b y we[-la(O) t h e s o l u t io n o f t h e N e u m a n n p r o b l e m f o r t h ed i ff e re n t i a l e q u a t io n - - A w + w = 0 a n d t h e b o u n d a r y c o n d it io n O w / O n = 2 .B e cau se 2 ed ~ h ; , k ,(O ") an d b ec au se th e su b sp ac e S ~h ;,k ,(O) i s s t ro n g ly r eg u la r ,w e h a v e

C< ( 3 . 1 7 )


11/14

T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d w i t h L a g r a n g i a n M u l t ip l i er s ~8 9U s i n g T h e o r e m 2 .5 , w e h a v e C C ~w h e r e C 1 i s t h e c o n s t a n t i n ( 2 .9 ) . U s i n g t h e f a c t t h a t S ~h~,~ ,(12) i s ( ta , k a ) - r e g u l a rw e m a y f i n d ZE6ah~,k~(~2) s u c h t h a t

( 3 . t 9 )_ c c , c~ ~ , I1~11~-~.~.W e k n o w t h a t

w a d s > =c ~ I I a U ~ , - ~ r ~ . ( 3 , 2 0 )D "T h e r e f o r e

w h e r e

~ z Z d s = ~ w Z d s + ~,~(z - -u~)dst 2 " . , q " . f 2"

o < ~ < i n a n ~ - ~ , ~ , l l z - w l ~ , , ~ . ,T h e r e f o r e w e h a v e

D "T a k i n g K s u f f i c i e n t ly l a rg e w e m a y o b t a i n

C ~ - - C C ~ C , C , > C s > C o > 0K -~- 2a n d h e n c eO"L e t u s t a k e n o w

( 3 . 2 1 )

(3 .22 )(3.23)

w i t h h = m a x ( h , h 2).

/ ~ ----- a in I t1 - - t , k + t , tn W ~-]i f , = m in [t~ - - T , 1 - - ~-, t , + ~-]

0 . 2 5 )( 3 . 2 6 )

w h e r e

v = u - - z a n d / * = - - 2 2 .O b v i o u s l y (v , i f ) E M a n d t h e r e s t o f t h e p r o o f i s s i m p l e r e p e t i t i o n o f t h e r e m a i n d e ro f t h e p r o o f o f t h e T h e o r e m 3 . t .T h e c o n v e r g e n c e o f t h e p r o p o s e d m e t h o d f o l l ow s n o w a l m o s t i m m e d i a t e l yf r o m T h e o r e m 2 .9 a n d t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f (t , k ) - r e g u la r s y s t e m s

T h e o r e m 3 . 4 . L e t [ E H k ( 12 ), k >=O, g E H t (12") , 1 ~ -~ - a n d l e t u o b e t h e s o l u t i o no f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m d u e t o T h e o r e m 2 .4 . F u r t h e r , l e t ~7 (h a, h 2) a n d ~ o (h a, h 2)b e t h e a p p r o x i m a t e s o lu t io n o f t h e f in i te e l e m e n t m e t h o d w i t h L a g r a n g e m u l t i p l ie r( w i t h k 1 >__ , k s ~ - ) a n d K i n ( 3.1 6 ) b e s u f f i c i e n t l y l a r g e t h a t T h e o r e m 3 .3 h o l d s .T h e n a g o ]I I , ~ o ( m , h , ~ ) - , , o 1 1 , , . ( , ~ , + L ( n , , n , ) - - ~ - , m , ( o . ~ ( 3 . 2 4 )

_ c [ h . . II1 ~ . c o ) + n . . l lg I1 ~ , o . ~ ]


12/14

1 90 I . B a b u ~ k a :

P r o o / . U s i n g T h e o r e m 2 .9 w e h a v e t o s h o w t h e e x i s t e n c e o f ~ = (~, 2 ) E M as u c h t h a t

I l u o - ~ I ~ , ( , ~ ) < c oa n dc~uo~ - 2 n-~r =


13/14

T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d w i t h L a g r a n g i a n M u l t i p l i e rs t 91B e c a u s e o f ( 4 . 4 ) , w e h a v e u s i n g ( 4 . 3 )

I l e I ~ , I ~ ) = B ( V _ _ O V ,~ VB u t u s i n g ( 4 . t) a n d ( 4.2 ) a n d ( 4 .5 ), w e o b t a i n

11 U*L,(., < C h u [Ie[[a, O . (4 .7 )T h e r e f o r e [[e ] ]~ , (~ ) ~ C [ h ' , + u [ [1 [ [ . . ( ~ ) + h ~ . + " [ tg l t~ , ( a ] ( 4 . 8 )w h e r e / t l i s g i v e n b y ( 3 .2 5 ) ,/ z s b y (3 .2 6) a n d / z b y (4 .6 ). W e h a v e p r o v e d t h ef o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 4 .1 . U n d e r t h e a s s u m p t i o n s o f t h e T h e o r e m 3 .4 , (4 .8 ) h o l d s w i t h-: - (~/~ - r ( h a , h i ) ) .

R e f e r e n c e s1. B a b u ~ k a , I . : T h e s t a b i l i t y o f t h e d o m a i n o f d e f i n i t io n w i t h r e s p e c t t o b a s i cp r o b l e m s o f t h e t h e o r y o f p a r t i a l d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n s , e s p e c i a l l y w i t h r e s p e c tt o t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y I , I I . C z e c h o s l o v a k M a t h , J . 7 6 -1 0 5 , t 6 5 - 2 0 3 ( 1 9 6 t) .2. B a b u g k a , I . : N u m e r i c a l s o lu t i o n of b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s b y p e r t u r b e d

v a r i a t i o n a l p r i n c ip l e . T e c h n i c a l N o t e B N - 6 2 7 (1969), I n s t i t u t e f o r F l u i d D y n a m i c sa n d A p p l i e d M a t h e m a t i cs , U n i v e r s i t y o f M a r y l an d .3. B a b u ~ k a , I . : T h e f i n i te e l e m e n t m e t h o d f o r e l l ip t i c e q u a t i o n s w i t h d i s c o n t i n u o u sc o e f fi c ie n t s . C o m p u t i n g 5, 2 0 7 - 2 t 3 ( t9 7 0 ).4 . B a b u ~ k a, I . : A p p r o x i m a t i o n b y H i l l fu n c ti o n s. C o m m e n t a t io n s M a t h . U n i v .C a r o l i n a e , 1 1 , 3 8 7 - 8 1 t ( t 9 7 0 ) .5. B a b u ~ k a , I . : F i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r d o m a i n s w i t h c o rn e r s. C o m p u t i n g 6,2 6 4 - 2 7 3 ( t 9 7 0 ) .6 . B a b u g k a , I . : T h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r e l l i p t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . N u -m e r i c a l s o l u t i o n o f p a r t i a l d i f f e re n t i a l e q u a t i o n s n . S Y N S P A D E 1970, e d i t e d b yB . H u b b a r d . N e w Y o r k , L o n d o n : A c a d e m i c P r e s s t 9 7 t ( 69 -1 0 7) .7. B a b u ~ k a , I . : A r e m a r k t o t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . C o m m e n t a t i o n s M a t h . U n i v .C a r o l i n a e 1 2 , 3 6 7 - 3 7 6 ( t 9 7 1 ) .8. B a b u ~ k a , I . : T h e r a t e o f c o n v e r g en c e f o r t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . S I A M J .N u m . A n a l . $ , 3 0 4 - 3 t 5 ( 1 9 7 1 ) .9 . B a b u ~ k a , I . : E r r o r b o u n d f o r fi l fi t e e l e m e n t m e t h o d . N u m . M a t h . 1 6, 3 2 2 - 3 33(1971) .t 0 . B a b u ~ k a , I . : F i n i t e e l e m e n t m e t h o d w i t h p e n a l t y . T e c h n i c a l N o t e B N - 7 1 0 (1 97 1),I n s t i t u t e f or F l u i d D y n a m i c s a n d A p p l i e d M a t h e m a t ic s , U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d .t i . B a b u ~ k a , I . : A p p r o x i m a t i o n b y H i l l f u n c t i o n s 11. T e c h n i c a l N o t e B N - 7 0 8 ( t 9 7 t ) ,I n s t i t u t e f or F l u i d D y n a m i c s a n d A p p l i e d M a t h e m a t ic s , U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d .t 2 . B a b u ~ k a , I . : T h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r i n f i n i te d o m a i n s I . T e c h n i c a l N o t eB N - 6 7 0 ( t 9 70 ), I n s t i t u t e f or F l u i d D y n a m i c s a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t yo f M a r y l a n d . T o a p p e a r i n M a ~ h o f C o m p .13. B a b u g k a , I . , R o s e n zw e i g , M . B . : A f i n i t e e l e m e n t s c h e m e f o r d o m a i n s w i t hc o r n e rs . T e c h n i c a l N o t e B N - 7 2 0 (1971), I n s t i t u t e f o r F l u i d D y n a m i c s a n d A p p l i e dM a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f M a r y l a n d .t 4 . B r a m b l e , J . H . , S c h a tz , A . H . : O n t h e n u m e r i ca l s o l u ti o n o f e l li p t ic b o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s b y l e a s t s q u a re a p p r o x i m a t i o n o f th e d a t a . N u m e r i c a l s o lu t io n o fp a r t i a l d i f f e re n t ia l e q u a t i o n s I I . S Y N S P A D E t 97 0 , e d i t e d b y B . H u b b a r d .N e w Y o r k , L o n d o n : A c a d e m i c P r e s s 1 9 7 1 (t 0 7 -1 3 3 ) .15. B r a m b l e , J . H . , Z l ~ m a l , M . : T r i a n g u l a r e l e m e n t s i n t h e f i n it e e l e m e n t m e t h o d .M a t h . o f C o m p . 8 0 9 - 8 2 1 (1 97 0).


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fem lagrangian multipliers

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