fenômenos de transporte i - equações básicas na forma integral para um volume de controle
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Universidade Federal do Pará
Faculdade de Engenharia Química
Mecânica dos Fluidos
Titular - Professor João Nazareno
Assistentes – Clauderino Batista
Edilson Magalhães
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Capítulo 2
Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle
Tópicos
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle.
Conservação da Massa.
Conservação da Quantidade de Movimento Linear.
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Técnicas Básicas de Análise de Escoamento
Há três modos básicos de atacar um problema de escoamento de um fluido:1 – VOLUME DE CONTROLE ou ANÁLISE INTEGRAL2 – SISTEMA INFINITESIMAL ou ANÁLISE DIFERENCIAL3 – ESTUDO EXPERIMENTAL ou ANÁLISE DIMENSIONAL
Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
A Segunda Lei de Newton
Sistema
dPF
dt
Q W dE
dQ dW dE
dt dt dt
A 1 ° Lei da Termodinâmica
O Princípio da Quantidade de Movimento Angular
Sistema
d HT
dt
A 2 ° Lei da Termodinâmica
.1ds Q
T
.
Sistema
dS Q
dt T
0Sistema
dm
dt
Conservação da Massa
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Leis Físicas Básicas da Mecânica dos Fluidos.
Em cada ponto
Análise do Movimento:
Região finita (Volume de Controle)
Importância de se fazer uma análise de Volume de Controle:
Falta de ferramentas matemáticas e a incapacidade dos computadores(Análise
Diferencial)
Falta de tempo, dinheiro, e generalidades fazem da experimentação também
limitada.
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Na análise integral e diferencial, essas cinco relações são modeladasmatematicamente e solucionadas por métodos computacionais. Em um estudoexperimental, o próprio fluido desempenha essa tarefa sem uso de qualquermatemática. Em outras palavras, acredita-se que essas leis sejam fundamentais paraa Física e não se conhece escoamento de fluido que as infrinja.
SISTEMA: é uma quantidade fixa e identificável.
VOLUME DE CONTROLE: é uma região finita, cuidadosamente escolhida porum analista, com contornos abertos pelos quais se permite que massa, quantidade demovimento e energia se cruzem. O analista faz um balanço ou equilíbrio entre ofluido.
SISTEMA INFINITESIMAL: Quando as leis de conservação são escritas para umsistema infinitesimal de um fluido em movimento, elas se tornam as equaçõesdiferenciais básicas do escoamento do fluido. Para aplicá-las a um problemaespecífico, deve-se ‘integrar’ essas equações matematicamente sujeitas às condiçõesde contorno do problema particular.
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Exemplos de Volumes de Controles
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Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
Vetor unitário nornal
Vazão mássica
Fluxo de saída (Vetor positivo)
V. n
Fluxo de entrada (Vetor negativo)
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Extensiva
Propriedades Extensiva : são as propriedades de um sistema que dependem de seu
tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Podem ser divididas. Ex:
massa, volume, entropia, energia, resistência elétrica, textura, calor.
Propriedades Intensiva: são as propriedades de um sistema que não dependem de
seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Ex: pressão, temperatura,
viscosidade, densidade, resistividade elétrica, ponto de fusão, ponto de ebulição, cor
(em solução),
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Quantidade total de B
no volume de controle Grandeza intensiva
correpondente
Elemento de massa
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Objetivo: Relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva
arbitrária, B, do sistema com quantidade associadas com o volume de controle
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Unidimensional
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sist
dB
dt
.d V
AVdt
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
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.d V
AVdt
Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Taxa de
variação de
B dentro do
V.C
Fluxo de B
para fora,
através da
superfície de
controle
Fluxo de B
para dentro,
através da
superfície de
controle
sist
dB
dt
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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Arbitrário:
- Em cada elemento de
área haverá uma
velocidade diferente,
formando um ângulo
diferente com a normal
local a dA.
- Haverá fluxo de
volume de entrada e
saída.
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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo Arbitrário:
Em termos de fluxo (1): V.Cos θ = Vn e dm/dt = ρ Vn.dA
Em termos de fluxo (2): n→ vetor normal para fora
Vn = V . n e V . n = -V.n
Forma compacta do
Teorema de Transporte de
Reynolds
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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle movendo-se a velocidade constante:
Velocidade relativa Vr = V - Vs velocidade do V.C observado
Velocidade do fluido com relação ao mesmo referencial no qual o movimento Vs
Volume de Controle de forma constante mas movendo-se a velocidade variavél:
Vr = V (r , t) - Vs ( t )
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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Volume de Controle com movimento e deformação arbitrários
Vr (r , t) = V (r , t) - Vs (r , t)
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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de
Controle
Teorema do Transporte de Reynolds
Aproximações Unidimensionais para termos de fluxo:
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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle
Exemplo 1
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Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para um Volume de Controle
Exemplo 1
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Conservação da Massa
Para a conservação da massa: B = m e β = dm/dm = 1
V.C deformável
V.C fixo
Para um certo número de entradas
Escoamento permanente
Fluxos de saída = Fluxos de entrada
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Conservação da Massa
Escoamento Incompressível.
Todos os líquidos são praticamente incompressíveis, e escoamentos de gases podem se
comportar como se fossem incompressíveis, em particular se a velocidade do gás for menor
que 30% da velocidade do som no gás.
Se V.C for fixo,entrada e saídas são unidimensionais :
V.C fixo
Se não são unidimensionais : velocidade média baseada no volume
0
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Conservação da Massa
Escoamento Incompressível.
Se a densidade varia através da seção:
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Conservação da Massa
Exemplo 3
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Conservação da Massa
Exemplo 4
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Exemplo 5
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Exemplo 5
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A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Para a Quantidade de Movimento Linear: B = mV e β = dB/dm = V
V.C deformavél
V→ é a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial (não-alterado).
∑ → é a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de controle material,
considerando com um corpo livre; ou seja, ele inclui as forças de superfície sobre todos os
fluidos e sólidos cortados pela superfície de controle,mais todas as forças de
campo(gravitacional e eletromagnética) atuando sobre as massas no interior do volume de
controle.
A equação como um todo é uma relação vetorial;
V.C fixo
É interessante observar que a equação acima é uma relação vetorial e que V deve ser
uma velocidade em relação a um referencial inercial.
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A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Fluxo de quantidade de movimento unidimensional.
Por analogia com a expressão do fluxo de massa, a equação abaixo é chamado de Fluxo de
Quantidade de Movimento:
Negativo → fluxo de quantidade de movimento é para dentro.
Positivo → fluxo de quantidade de movimento é para fora.
Se seção transversal é unidimensional,V e ρ são uniformes sobre a área;
Se o V.C possui apenas entradas e saídas unidimensionais;
O vetor da força resultante sobre um volume de fixo é igual à a taxa de variação da
quantidade de movimento dentro do volume de controle mais a soma vetorial dos fluxos de
quantidade de movimento de saída menos a soma vetorial dos fluxo de entrada.
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A Equação da Quantidade de Movimento Linear
Força de Pressão resultante sobre uma superfície de controle fechada.
As forças de superfície sobre um volume de controle devem-se a (1): forças expostas pelos
cortes através dos corpos sólidos que se prolongam pela superfície e (2): forças devidas às
pressões e tensões viscosas do fluido circundante.
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A Equação da Quantidade de Movimento Linear Fator de correção do fluxo de quantidade de movimento.
Para um duto, geralmente a velocidade axial não é uniforme.O calculo simplificado do
fluxo da quantidade de movimento:
É relativamente impreciso e precisa ser corrigido por onde β é um fator adimensional
de correção de fluxo de quantidade de movimento, β 1.