ferroresonancia entre cables de 230kv y transformadores

390 391

IV JORNADAS NACIONALES DE POTENCIA

FERRORESONANCIA A NIVEL DE 230 KV ENTRE TRANSFORMADORES DE

POTENCIA Y CABLES SUBMARINOS

Gaston Pesse Jose H. Aller H. Paloma de Arizon

Departamento de Conversión y Transporte de Energía.

Universidad Simón Bolivar

[,ESUrlEN

En los an'lisis de la futura operaci6n del sistema

occidental se realizaron simulaciones de apertura total de la

carga en subestaciones energizadas a través de cables submarinos.

~n condiciones extremas se producen grandes sobrevoltajes en el

"istema debido a la ferroresonancia entre la capacitancia de los

cables y las impedancias de magnetización de los transformadores.

En este trabajo se analizan las causas del fen6meno y su

,J"pendencia con 'el tipo de hierro utilizado y los criterios de

d ¡seno de los transformadores en base a las especificaciones.

Se utilizó el método de análisis modal desequilibrado para

IlIcluir la no linealidad del circuito magnético de los

I ransformadores, variandose los parámetros y fuentes del circuito

I",ra simular las diversas condiciones de operación.

Mediante un programa de computación se determinaron los

voltajes instantáneos máximos y sus valores efectivos asi como

1.1:; corrientes de circulación. La parte correspondiente del

:.¡,;tema de potencia se simulo en el Analizador Transitorio de

I~ l' ti e s el e 1 il lJ n i ver s ida d S j m o nllo 1 i v a r o b ten i e n d o s e los

I .. [respondientes oscilogramas.

392

.. IV _NAOAS NACIONALES DE POTENCIA

Introducción

En los estudios que se realizan para conocer la magnitud de

los sobrevoltajes de maniobra en los sistemas électricos de

potencia se trata de simular en detalle las caracterlsticas

eléctricas en regimen transitorio de los diversos equipos que lo

componen. En los ultimos anos se ha dado especial importancia a

la simulación lo mas aproximada posible de las caracterlsticas

de magnetizacirin de los transformadores de potencia. Esto es

debido a que se utilizan para la fabricación del núcleo

hierros con cada vez menores perdidas y con niveles de saturación

altos logrados mediante la orientaci6n del grano.

En el caso particular de la interconexión de los sistemas a

través del Lago de Maracaibo mediante cable submarinos, la

capacitancia de estos cables introduce la posibilidad de que

exista ferroresonancia en algunas condiciones especiales de

operación.

Aun cuando el fenómeno de la ferroresonancia es ampliamente

conocido, existiendo en la literatura numerosos métodos para

poder determinar las amplitudes de las oscilaciones que este

fenómeno puede ocasionar, estas herramientas no se emplean

normalmente en el análisis de sistemas de potencia y su estudio y

control se basa fundamentalmente en la simulación con modelos a

escala en el analizador transitorio de redes (TNA).

En este trabajo presentamos dos métodos para el estudio de

la ferroresonancia. El primero, basado en el concepto de funcion

descriptora y ciclo limite, sirve para conocer la posibilidad y

condiciones en que se puede presentar el fenómeno El segundo,

basado en el análisis armónico de las relaciones instantáneas

entre variables, conduce a un algoritmo de ccilculo que se ha

programado para obtener las corrientes y voltajes instantáneos en

todas las barras de un sistema.

393


El desarrollo y la aplicación de estos métodos estan

motivados por la posible aparición del fenómeno de

ferroresonancia a nivel de 230 kV en el sistema interconectado en

la zona de la interconexión de las dos riveras del Lago de

Maracaibo a traves de cables submarinos.

Con el fin de tener una visión mas completa del fenómeno y

su relacion con el diseño y especificaciones de los

transformadores se revisa previamente las relaciones entre

voltajes aplicados y corrientes de excitación en transformadores

y su mejor modelación.

Análisis de las Caracterlsticas de Excitación de los

Transformadores

Los transformadores modernos utilizan en sus núcleos

hierros de alta calidad en los cuales se han disminuido muy

significativamente las perdidas magnéticas y las intensidades de

campo magnét~co necesarias para hacerlos trabajar a las

densidades óptimas de flujo que indica el diseño. Esto se logra

mediante la laminación de la plancha de hierro de-manera que los

dominios magnéticos esten con sus cristales orientados

preponderantemente en la dirección del esfuerzo de laminado de

manera que

corregir

bastan intensidades de campo del orden de 2

densidades de flujo de 1 Wb/m

permeabilidades relativas del -4

orden de 10

10 A/m para

e s d e c i r

Ademas se

consiguen densidades de flujo de saturación del orden de 1.8 2

Wb/m considerando que el valor máximo teórico para el hierro 2

corresponde a 2.18 Wb/m

valor.

y que las aleaciones rebajan este

Debido a estas razones la caracterlstica B-H es muy

definida y puede supon0rse, con bastanLe aproximacion,

q u e e s t B e o n s t j t 11 ( d a por ti () s r {~ (' t a s. 11 n él q U l' r e p r e s (~ 11 L 1.1 e 1

p e q u e ñ' () 11 \J ni I! 11 t f) d Il 1 11 I 11 I l' 11 " I d 11 el d" (" /J lO P () ti e en 11 lo! 11 .. t. i z 11 <: i "" ti I

R 11 h I r I 11 el .. n " t el t1 ,1 cI.. f 1 11 I C) h f\ .. I 1\ r' 1 l' 11 11 t" l' 11 q 11 l' I C) cI C) '1 C) t1

394

• tV JORNADAS NACtONALES DE POTENCIA

dominios magnéticos estan orientados, o punto de saturación y

otra que representa las grandes intensidades de campo de

magnetización necesario para seguir aumentando la densidad de

flujo. Una vez que todos los dominios magnéticos tienen sus

momentos alineados segun el campo. Si llamamos W la razon entre B

y H en la primera regi6n y U la razon de la segunda es decir es

la permeabilidad

figura 1, donde

saturación

magnético.

y íI s

s incremental tendremos

B corresponde a la s

es la correspondiente

el grafico

densidad de

intensidad

La expresion anal{tica para esta curva teórica es:

lB I ;¡; lB I s

B = ]..1 H

IBI ;¡; lB I s

B = sig (H) B + U H s s

E-ll de la

flujo de

del campo

Si se tiene un núcleo de hierro de grano orientado excitado

mediante una'fuente de voltaje sinusoidal la relacion entre

fuerza electromotriz inducida y flujo esta dada por la conocida

expresión

E

4.44 N f

La f.e.m. E se puede deducir del circuito equivalente del

transformador y el flujo total de magnetización sera proporcional

a ella. Ademas si el voltaje varía en forma sinusoidal el flujo

tambien lo hara aunque desfasado en 90°. Sin embargo la expresión

anterior nos da el valor del flujo total y no impone condjcjones

sobre la forma en que la densidad de flujo se distribuye so~re la

secci6n del n~cleo.

395


Supongamos que tenemos un núcleo magn6tico y con el fin de

facilitar el análisis, supongamos que es de sección rectangular

(a,d)~ Si la característica B-H corresponde a un material ideal

de grano orientado la podemos suponer constituída por las dos

rectas antes señaladas. (figura 2).

La fuerza magnetomotriz N es común a todas las i

trayectorias magnéticas por 10 que las intensidades de campo en

los difere~tes puntos del n6cleo seran inversamente

, 1 la longl'tud del camino de las correspondientes proporclona es a

líneas de fuerza.

Como existe uniformidad en el espeso~ la posición y por lo

tanto la longitud de la línea de fuerza del campo queda

determinada por su distancia del borde exterior que llamaremos x.

Asi la longitud de la línea vale:

1 2 ( c + b) - 4 x

Como la longitud de las líneas es mas corta al interior,

ningun punto estara saturado si se tiene:

N ;:¡ 11 ( 2(c+b) - 4 d) s

En este caso el flujo vale:

d

a N iJ __ ...J!l"--____ d x

02 (c+b)-4x

~ In c+b N

4 c+b-2d

Q N II

Donde GG es la permeancia equivalente del circuito magnético

y tiende a ser igual a la permeancia convencional si el

transformador es muy esbelto es d~cir si c+b es mucho mayor que

d.

Cuando (!! vlI!nr de 11') SlIpl!rll 11

11 Ú e ! (' () q 11 (' "!l I 1\ r 1\ H 11 t 11 r n 11 () Y 11' ,- ji 11 () •

H habra lino parte del

Sr d(!IIomlnnmoll por X 111 PI

396

.. IV JORNADAS NACIONALES DE POTENCIA

distancia a la cual comienza la saturaci~n se tendra que para el

largo correspondiente, H vale Ni entre H • Luego:

x e + b s

2

N i

4 H s

s

En estas condiciones el flujo total valdrá:

I Xs

1jJ = a lJ N i dx

2 (c+b)-4x

+ a r (H s (lJ - lJ s) +_.........:lJS"----N_l_· _) d x

2(c+b)-4x o X

s

Integrando y reemplazando el valor de X se tiene: s

- lJ s (4d - 2(c+b»+ a« lJ

4

+lJ ln(2(c+b»-lJ ln(2(c+b)-4d» N i - a (lJ -lJ s ) N s

4

In (N i)

Se ve que en este caso el flujo no es proporcional a Ni sino

que la dependencia tiene la forma

k + (k + k ln(N i» N 1 2 3

Donde la función logarítmica aparece debido a que la

frontera entre la parte saturada y la no saturada se mueve

dependiendo de N i

Cuando valor de H supera a H se tiene que todo el 1 s ,

flujo se puede calcular como un termino

el

núcleo esta saturadó y el

constante y una permeáncia incremental multiplicada por N i Es

es decir para:

a d H (lJ s

N

+

> H s

Ln

4

397


2 (c+b)

c+b

c+b-2!i

N k + s N 4

(a)

Si se traza la curva de flujo total en función de la

corriente resulta que el cambio brusco de la curva B-H es

suavizado por el desplazamiento de las zonas saturadas y se tiene

una curva de la forma mostrada en la figura 3.

La forma y longitud del codo de saturación depende de las

magnitudes de jJ y lJ s y de las dimensiones relativas del núcleo, es

decir de la relación entre el ancho d y el perfmetro c+b. ~l uso

de hierro de grano orientado, al permitir mayores densidades de

flujo, aumenta la esbeltez y por lo tanto el quiebre.de la curva

es mas abrupto.

Las relaciones anteriores nos dan el flujo instantáneo en

función de la corriente instantánea. Si se calculan a partir de

ellas la curva que nos da el valor efectivo de la corriente es

m u y i m por tan"t e d e fin i r 1 a f o r m a d e a m b a s va r i a b 1 e s. L a s

especificaciones y datos de los fabricantes normalmente suponen

que el flujo es sinusoidal y por lo tanto la corriente tiene

aumentos bruscos en los máximos de flujo.

Si se impone la condición de flujo sinusoidal y el núcleo

esta parcialmente saturado la corriente esta dada por la ecuación

trascedental deducida anteriormente (a) por lo que solo es

posible evaluar numericamente en valor efectivo. Si se desprecia

,>1 efecto de la zona del codo de saturación y se simula la

(" a r a c ter i s tic a 'i' - i por d o s r e c t a s, s e p u e d e e n con t r a r con

racilidad una expresion analitica entre el flujo efectivo y la

corriente efectiva.

Si suponemos que

\ji. M + G') N J

398


2 le

sen w t e

En la figura 4:

Para

2 i

Ct arsen (w ) \ w:

W t ;5 Ct Wt )TI;;;Ct

w 6{ N

2 i 2 IV

w t ) Ct

i w - H

2 W

e

2 2 sen w t

e

G.2 2

N ]

2 sen w t - 2 fiNlj; sen

m 2

w t + ~1 )

La corriente efectiva en caso de saturaci6n valdra:

Ct r' 2 J osen2

( Wt)d( 2 2

Wt) d( wt) 2 2 Ij.i, w t) + ~ sen ( ; Z.e 2 Ct

TI G1 2

1'" M rn -' 2 ./2 M ~e sen( w t) d( wt) +7· d (w t)

G~ Ct G2 Ct

Te I 1..2..(k + k Ct + k Ren(2 Ct) + k cosll - TI 1 2 3 4 N

399


donde

2 2 k TI (

1 Gz2 lj; e + ~1

2 2 k we (~ -~ -~ 2 G\ (]2 G2

2 k We ( 1 -_1_)

3 Gi G~ k - 2 /2 ~1 we

4 G~

La correspondiente curva de We- le es redondeada en el

codo de saturación a pesar de la suposición de queW- i esta

compuesta por dos rectas. Si se utiliza la curva real W-i con

zona de saturación creciente en el núcleo, la curva es aun más

redondeada.

Este análisis muestra que es preferible no utilizar la

relación de valores efectivos de flujo y de la corriente que

entregan normalmente los fabricantes cuando se realizan estudios

de variación instantánea de las corrientes y voltajes y que es

mas exacto trabajar con aproximaciones lineales y con cambios

abruptos de esta relación.

Análisis no lineal del sistema

Las oscilaciones que se producen en el sistema entre los

elementos capacitivos y los inductivos son provocados

fundamentalmente por las relaciones no lineales entre flujo y

corriente. Por lo tanto el análisis de estos fenómenos debe

u l i 1 i 7. f1 r t~ e n I (" ¡-l S 11 o ¡neales que permitan describir el

comport.lIlnI011t.1J ele ll1s vnrlllhles en funcJ6n de los modcl.oll

1 i 11,';1 i "" 110 1111('lIi"1I '111" 111' !'.'Illlbl'!ZCIlIl pnrll los oqlllp(l/I elvl

H 111! 1'11111.

/JOO

.. IV JORNADAS NACIONALES OE P01>NClA

Los modelos nodaies de la parte lineal del sistema, son

,álidos para este tipo de análisis debido a que se establecen

Jara las variables instantáneas. Asi se tiene que las l{neas de

:ransmisión pueden ser modeladas por sus inductancias y

:apacitancias frente a componentes cero positivas y negativas

:omo es usual en el análisis transitorio.

Los cables submarinos pueden ser modelados por sus

inductancias y fundamentalmente por sus grandes capacitancias de

componentes cero, positiva y negativa. Los transformadores a

estas grandes potencias estan constituidos por bancos monofásicos

o son del tipo acorazado por lo que sus circuitos magnéticos son

independientes. Por esta razon los modelos no lineales que se

deben hacer de ellos son similares para componentes cero y para

componentes positiva y negativa y solo debe tenerse en cuenta sus

conexiones con el fin de representar las posibilidades de

circulacion de las componentes nodales de las corrientes.

Debe tenerse en cuenta que por tener elementos no lineales

en el sistema no puede aplicarse, sin consideraciones especiales,

el principio de superposición es decir, la respuesta total de

corrientes y voltajes se puede obtener por la transformación

lineal de las componentes simétricas instantáneas siempre que

estas últimas hayan sido calculadas tomando en consideración que

las ligazones no lineales entre flujos y corrientes son entre

variables reales y no puede trasladarse directamente a ligazones

entre las componentes simétricas instantáneas de estas variables

sin c0nsideraciones especiales.

Como los elementos no lineales del transformador no tiene

ligazón entre fsses las relaciones entre flujos y corrientes

instantáneas son de la forma

c!J

f (

401,


donde f( es un operador funcional que actua sobre los valores que estan a su derecha.

Si se tránsforman las variables a componentes simétricas

instantáneas utilizando la transformaci6n T se tjene 0,+,-

[, J 1 [i o -

1jJ = 3

1jJ:

r- 1 ríO, i+ :1; f ( io + i+

f ( io + i+

1

a

a 2

+

+

f

c!J

f(

io +

c!J

c!J

f (

i+ + i :,] [ f io + 2 a i+ + a i_)

f i + a i + &21)

i_) + f (io +a 2 i + + a i_) + f (io + 2 2

i )+ a f (i +a i + ... ai )+a [(10+ - 2 o ')

+ ]_)+a f(jo+a-i++ a i )+11 f (i o +

1 a i+ + ""] ? -

a 1+ + a - i_ ) ,)

a 1+ + a~ j _ )

Se ve que la no linealidad acopla las componentes simétricas

instantáneas ya que los flujos dependen no solo de la forma dI'

variación de las corrientes sino qll(~ fundamentl.llfnente dn 1/1

magnitud de ellas.

~; 111 (!mba rilo I!I j 1\ I ¡¡un/! el" 1/1" r: fllnIJO!I''Il tll. ti f'ntl IIlId m1t1P11 t ut!

402

.. IV JO.NAOAS NACIONALES DE POTENCIA

mucho mayor que las otras se puede apreciar que de los flujos

resultantes es el de la misma componente el que resulta mayor. En

efecto si

y y q u e

funciones

f (í ). \j¡ o +

suponemos por ejemplo

pOr consiguiente las

dependen de solo

y\)J son cero

función f(í ) o

por 1 , a

ya 2q u e

y a su

que i o

podemos

por

es mucho mayor que i +

despreciar, todas las

lo que\j¡ es igual o

a o al estar multi plicadas la

suma es cero. En el caso de

que sea la +

Rredominante las funciones 2

+ resultantes f(i ),

fCa i ), fCa ) es decir función de una variable + +

instantinea compleja. Como la función depende solamente de la

magnitud instantánea se puede poner.

f ( a +

a f (i ) +

Por lo tanto en caso de ser i la componente predominante +

se tiene que solo el flujo\)! resulta apreciable ya que las +

otras componentes se anulan en la sumatoria.

Es por lo tanto conveniente modelar el sistema trifásico

~ediante sus sistemas de componentes cero, positivo y negativo

con el fin de analizar la posibilidad de que alguna de estas

componentes sea apreciablemente mayor que las otras. Debe tenerse

presente que en el caso de que t~das las componentes sean del

mismo orden de magnitudes va a existir acoplamiento a través de

la nolinealidad.

La posi bilidad de grandes oscilaciones sostenidas en el

sistema se puede analizar por lo tanto para cada componente

modal. Un método práctico para hacerlo es mediante el uso de la

función descriptora de la nolinearidad [5].

Para facilitar el análisis supongamos queljJ, »u por 1 s

lo que la característica instant~nea de la nolinearidad se puede

suponer como (ver figura 5):

ljJ e t) = M + N~

403


la función descriptora se define como la raz6n o cociente entre

la componente fundamental de la se~al de salida entre la

componente fundamental de la seSal de entrada. Este conocimiento

es en general complejo y función de la frecuencia. Como no hemos

considerado hist~resis. en nuestro modelo la fundamental del

flujo es ti en fase con la fundamental de la corriente y ademas su

relacjón no es función de la fr0cuencia.

Suponiendo i(t) si~usoidal y aplicando análisis de Fourier

a la función ¡-lJet)resultante, se tiene 'lue la función descriptora

como razón entre la fundamental del

1, vale: 1

f 1 u j o 1') y del a c o r r i en t e 1

\j;

1 1

sen(W t)

1T

2 f \)Jet) sen ( Wt) d( Wt) 1T o

~ J~ : .. eo ,) deo,)

1 11 + N ~

Fej w) = '1'1 (j w)

11 (j w)

1 1

+ 1. J NG 1 sen ( Wt) d(wt) 2 1 1T o

1\ G + 4 H 2

1T 1 1

La interacción de la parte lineal del sistema con la parte

no lineal, representada por la función descriptora, se pllede

modelar mediante la función de transferencia entre ~jw) e

I 1 ( j (.J) In ira d a h a e i a 1 a par t e 1 i ¡¡ e [1 1. Sic o n s i d e r a !TI o s q u e 1 il

cnpacitnncia de la lInea es pequeffa frente a la de los cables el

1110" e 1 () !; (' p u e d e s i !TI P 1 i f i ca r C o rn () s e m u e s t r a en 1 a f i g u r a (,.

L iJ r (' 1 a ció n e n t r e V e j W ) y 1 ( j (j) a 1 a e n t r a d a e s t;1 ,,¡¡ el a

por' I;¡ ad'rn ita n c i a Y (.i (o) q u e val e :

1 - i [' ( (' (¡J ,- l' w) V ( lid )

, -fwr-=--r.::-¡ -l¡.----. ,~

404

.. IV JOR" ...... ".clONA"" D' POTENCIA

como

v ( j w ) j w'l'(jw)

I(jW ) Y(jw) j tu (jw) w ( j w )

1 (jW ) G(jw ) '1' (jw )

Con estas funciones se ha reducido el sistema al siguiente

esquema donde se destaca la dependencia de la función descriptora

F con la amplitud de la corriente l. (figura 7).

En el diagrama de bloques de la figura 7 el inversor de

signo e~ necesario ya que ambas corrientes se han supuesto

entrando al respectivo elemento. Con esa realimentación tendremos

que la ganancia a lo largo del lazo cerrado s~ra uno cuando

G(j W)

F(jlO, l)

Los valores de ~ e 1 que satisfagan esta relación daran

origen a una oscilación autosostenida en el sistema ya que no se

requiere de función forzante para conseguirla. Logicamente esto

es solo aproximado ya que no se ha considerado las pirdidas y la

función descriptora F(jw, l) y la funcion de transferencia G(jw)

se basan en una serie de simplificaciones Si se escribe la

condición de autooscilaci6n en forma explicita podemos encontrar

los valores de lO y de l que la satisfagan:

-1

40&


como todos los parámetros son positivos debemos analizar dos

casos

Si

Como f 2 > O esta condición no es posible si

c w 2 < f

l + f2 ~ 2

c él) > f l

Luego

f1.L < c lo< f 1 ~ + f 2..l. w w w

B ( w ) < B ( w ) < B w) + B ( w) 1 c 1 2

Es decir a la frecuencia que ocurra la oscilacl6n

autosostenida la susceptancia capacitiva del cable debe spr

intermedia entre la de la fuente equivalente y la inductiva total

del sistema.

Las condiciones anteriores permiten

frecuencia en que es posible la oscilación

amplitud de la corriente para cada frecuencia.

En el límite de la primera"deéiguéldad:

Wc

Reemplazando

- 1 -_.- -----,---N ("J I 1, M

v'2 TI

f ~ 1 w

(] [ 1

()

defi ni r la zona

automantenida y

d ('

1 a

406


En el límite de la segunda desigualdad

w e 1 + r 2

Pero esta condici6n implicaría un m6dulo de la corriente

negativo por lo que determinaremos la frecuencia para la cual la

corriente se hace infinita

2 r ) 1 00 ==9 - 1 r c w -

1 2 1 'N G 2 . 2

c w - r1

- r 2

w l N 82 r r + r +r

3 2 1 1 2

+r 82

r e N 2

En el plano complejo de G(jw) se ha trazado la funci~n

G(jw) y se ha se~alado el rango en el cual es posible tener una

oscilaci6n autosostenida (fiRura 8).

Para cualquier frecuencia que produzca oscilaciones

autosostenidas en el sistema se tiene que la amplitud

calculada a partir de la ecuaci6n de equilibrio vale.

1 !! t:l 4 l'! 1 2

r N(2) N G' ) (c w r - TI( R(jw -

1 2 2 r

2 r - c w2-)

1

2 V j (e el - r r ) '-'ol 1

1 l ') 1 C

2 (cw'2. r 1 )

de 1 1

401'


Donde:

R(jw )

G (jW

es la resistencia de entrada del sistema vista desde la

nolinearidad.

En la figura 9 seve la forma en que varia R(jw) en

funcion dewy por lo tanto la forma que varia 1 1

El programa se aplico al analisis del problema de

ferroresonancia que aparece en la interconexion entre Csdafe y

Enelven a 230 kV, (Cable Peonias - Punta Palma) [6].

Con el fin de tener una estimacion de la posibilidad de

OScilaciones en el sistema en estudio calcularemos los valores de

w 1 y d e w3

q u e d e fin e n los 1 i mi t e s del a z o na. L o s valor e s d e

los parametros del sistema en una base de 100 MVA 230 kV son para

la secuencia posi~iva:

9.862 r 13 p. u. 1

B 23.0 p. u. r 2

13 1. 61 p. u. c C

'1 1, 22 0.2 p. u. N

c~n estos valores se tienen

W 1+ V 7. 02S -6

8.106 10

-1 7.028 [B _1] 1 32.78 [ H ]

2 -6 = 8.106 10 [ F]

2 = 0.04213 [H]

931. [rad/seg] 2.469 f n

W 3+

0.04213 ", F.73 ,;< 7.028+ 32,78 + 7.028- 1601.{¡d Irad/segl - , 8.106 lU (1 + 0.04213 * 32.73)

W 1, • ;'1, ,;< f '\ t n

408


Para secuencia cero se tiene:

13 1

B 2

B c

5.827 p.u.

15.1I~ p.u.

1.57 p.u.

con estos valores se tiene

r 2

c

-1 1,.153 [B 1

-1 10.58 [JI )

-6 7.87 10 [F)

w = r 4.153 - 726 [rad/seg] l.92 * f lo -6

7.87 10 n

w 30

0.04213 * 10.58 * 4.153 + 10.58 + 4.153 1207 [rad/seg)

7.87 10 6 * (1+10.96*0.2806)

w 30

De estos resultados se

armónica que tiene

encuentra dentro

un moelo (le

del rango

provocar oscilación permanente.

n

puede observar que 1 a tercera

propagación de secuencia cero se

de frecuencia en que se puede

En cuanto a la quinta armónica que tiene modo de propagación

de secuencia negativa equivalente a la positiva esta cercana al

l{mit~ superior de frecuencia que puede excitar dicho modo.

De todo esto se deduce que existe un claro riesgo de excitar

la tercera armónica.

409


Análisis Arm6nico de la Ferroresonancia

El método del ciclo límite automantenido permite conocer

solamente la posibilidad de que el sistema entre en una

oscilación nolineal excitada por las funciones forzantes y la

amplitud de la oscilación que se produciria en ese caso. Con el

fin de conocer en detalle la forma de los voltajes y

corrientes que circulan dentro del sistema, se adaptó el

de las

método

de análisis armónico generalizado para incluir la relación

no1ineal entre el flujo y la corriente.

Este método ha sido descrito. en detalle en otras

publicaciones [4] por lo que solo daremos una idea resumida de

sus fundamentos.

Los elementos no lineales del sistema se pueden considerar

como fuentes de corriente o ele voltaje peri6dicas que dependen a

su vez ele otros valores de voltajes o corrientes. Si se conoce el

contenido

elemento

armónico de,

no lineal se

por ejemplo, el voltaje aplicado sobre

puede reconstruir muy facilmente

un

su

variación en función del tiempo. Como se conoce la dependencia

noli neal entre voltajes y corrientes a través de la

caracteristicas del elemento se puede calcular en el caso elel

ejemplo la corriente j nstantánca y a partir de ella sus

componentes armónicas. Es decir dadas las componentes armónicas

de la varjab1e que se considera [orzanle al elemento no lineal se

puede calcular las componentes armónicas de la variable que se

considera independiente.

Si se tiene un modelo del sistema que pueda entregar los

voltajes y corrientes armónicos en las diversas barras en función

de I"s fuentes de voltaje o de corrientes armónica aplicados, se

se pueden inyeclar como fuentes arm6nicos los valor(?!.> de salida

de la no linculldud o!>lenicndose a traves de la red las func:.ionell

f () ,. ;' .. ¡ I 11 l (~~ ¡

'1 J'

410


En la figura 10 se puede ver esquematicamente esta

interelación que se debe calcular interactivamente hasta que

converja, es decir, hasta que el contenido armónico que se tiene

e n u na i ter a c i· ó n par a 1 a fu n ció n fa r z a n t e s e a i g u a 1 al q u e 11 e g a

a través de la no li neali dad y del si stema.

Para poder manejar este tipo de problemas es necesario

disponer de un modelo de la parte lineal del sistema que permita

calcular para cada armónica la relación entre voltajes

corrientes. Ademas es necesario que puedan coexistir fuentes

voltaje y fuentes de corriente actuando sobre el modelo.

y

de

Para el caso de que se tenga fuentes de voltaje aplicadas a

las barras se utiliza normalmente la representación del sistema

a trave's de su matriz de admitancias de barra. En el caso de que

las funciones forzantes sean las corrientes de barra es mas

conveniente utilizar la matriz de impedancia de barras. Como en

nuetro caso se' dan ambas situaciones simultaneamente es necesario

utilizar una matriz hibrida en representacion del sistema que

permita ambos tipos de funciones forzantes.

Esta matriz se puede deducir segun se ve en el anexo A y en

función de ella las ecuaciones de equjlibrio quedan del a

siguiente forma:

La matriz híbrida debe ser realidad para cada una de las

armónicas. Es decir debe elaborarse a partir de los datos del

sistema una matriz híbrida de tres dimensiones en la cual una de

las dimensiones s~a el orden de la armónica. Los elementos de

esta matriz deben elaborarse para cada armónica a partir de los

correspondientes elementos de la matriz de admitancia de

segun el algorItmo del anexo A. Como la

aumenta con la frecuencia mientras 1 a

susceptancia

susceptancln

Cnp(1cifivn

in ellle I iv li

411


la conductancia permanece constante, es necesario disminuye

disponer

inversas

y

de las matrices de capacitancias, de inductancias

y de conductancias de barras para poder armar a partir

de ellas

arm6nica.

queda

los elementos de la matriz de admitancias para

La matriz de admitancias de barra para cada

y (k) bus

G 1 + j Bus

+ [e 1 k w BusJ

Estas ma~rices se establecen con las mismas t~cnjcas

utilizan en la elaboraci6n de la matriz de admitancias de

es decir agrupando en los elementos de la diagonal

componentes que estan conectadas a una barra y en los

mutuos las componentes conectados entre barra con signQ

En la estructuración de la matriz híbrida

debe considerarse ademas si es posible que las

armónicas mdltiplos de tres puedan circular por las

por variar estas componentes simultaneamente en las tr

del sistema lag condiciones para

las correspondientes al modo comun o sea la secuencia

ejemplo, deben dejarse abiertos y no considerarse los e

unidos a un arrollados de transformador conectado

Una vez elaborada la matriz híbrida armónica del

puede utilizar para la simulación de las

saturación en el transformador. Dado que la

flujo y corriente de excitación el algorítmo de simula

nolincalidad debe integrar el voltaje instantáneo ap

bobina deducido de sus componentes armónicas y calc

forma del flujo instantáneo que permite a su vez

corriente instantánea a través del modelo

saturnción

allúl ¡si:;.

en el anexo B se puede ver el algoritmo

En In fjBurll I1 ~e puede ver un cSCJuema del si st," .e" "tI P 11 r'l\ nll' t r () H 11 t i 1 I Z 11 d () 11 011 el t'lIlcul(). El IIrar.lco 1 ro'f"'"'' ,.

q.12


corriente y el flujo instant~neo en el transformador.

En este caso a pesar de que no se trae resonancia completa

se puede ver- el alto contenido de tercera armonica de los

voltajes y

referencia

corrientes con un sobrevoltaje en la barra de

de solo 1.05 p. u. Este contenido armónico

distorsionara completamente la onda

se puede apreciar en los gr~ficos.

de voltaje y corriente como

Modelación del Sistema en el Analizador Transitorio de Redes

En los estudios de rechazo de carga efectuados para la

interconexión mediante el cable submarino a nivel de 230 kV se

modeló la totalidad del sistema a ese nivel y parte del sistema

de nivel de 138 kV correspondiente a la costa occidental del

Lago.

Los autotransformadores se madeJaron mediante circuitos que

simulan su comportamiento frente componentes positivas,

negativas y cero de las corrientes) teniendo en consideración sus

conexiones. Esta respuesta se consiguió mediante transformadores

cuasi ideales conectados como filtros de secuencia. Ademas se

consideró la saturación ¡;¡ediante rc'actancias con ntícleos de

caracterlsticas magnéticas similares al hierro de

orientado. En la fig. 12 se ve el esquema emp 1 e,nl0

modelación de los autotransfor¡;¡adores.

El ensayo mas exigente desde el punto de vista

ferroresonancia ocurre cuando hay rechazo completo de la

;',rano

eOl la

de la

carga

através del transformador y queda por lo tanto 1;1 fuente de

alimentación a un nivel mas alto que el nominal ya que

sobre

estaba

todo de forzando

potencia

este caso

la transmisión

reactiva. Segun

se distorsiona

conU gua al transformador tercera arm6nic!l que

de potencia activa y

se puede ver en

totalmente el

rlebido a la ¡¡rrle t i ClllI\ent C'

la fotogrnf[a en

barra voltaje de la

fuerte componente en faN(~ COII

cJ(,

111

a

4'1

IV JORNADAS NACIONALES DE IIOt'bIcIA

fundamental. Esto concuerda con el análisis arm6nico que da para la tercera armónica un ángulo de

distorsión de la simetría provocada

armónica del voltaje.

Conclusi~

fase de cero. Hay ademas una

por la componente de quinta

Dada la gran importancia econ6mica del sjstema en estudio y

a las graves c?nsecuencias que pueden tener sobre los equipos voltajes r •

maXlmos superiores al mantenidos del orden del 50 %

nominal m~ximo es necesario utilizar vari<1s herramientas ·de

anilisjs en forma simultdnea para

en que se presenta este problema.

verificar las causas y rangos

La causa principal la establece el análisis mediante métodos

de ciclo l{mite que permite establecer que con los parámetros

proporcionados por las lineas y cables existe un rango de

frecuencias para la oscilaciÓn automantenida tal que la tercera

arm6nica cae dentro de el y puede por lo tanto ser excitada por

las fuentes del sistema. La amplitud de esta oscilación depende

de los parámetros y es bastante sensible a la variación de ellos

lo que la oscilación puede desaparecer al descon~ctarse una

I fnea o cable o al cambiar el equivalente del s~stema. Adamas la

posibilidad de excitar la oscilación aumenta con el voltaje de la

luente que es tanto mayor mientras mas potencia reactiva se este

lransmitiendo por el sistema detectandose solamente el problema

en el ;:lOdelo cuando hay un rechazo

Ilominal de los transformadores.

superior al 75 % de la carga

414

.. IV JORNADAS NACIONALES DE poTENCIA

Bibliograf{a

[IJ DO:Il'1EL H., "Electromagnetic Transients" USB 1982.

[2J GREENHOOD A., "Electric Transients in Power System", \!iley

Interscience 1971.

[3J PESSE G., ALLER J.rr., "Efectos de la Distorsio'¡¡ Armónica

introducida por los Controladores de Potencia en Sistemas de

Distribuci6n", IV Congreso de Distribucion. Porlamar Octubre

1983.

[4) DO>íl'iEL H •• "Transformer l'-1odels in the Sinlllation of

Electromagnetic Transients", 5 th Power System Computation

Couference Cambridge England Sept. 1975.

[5J TAKAHASHI Y., RABINS H. AUSLANDERD, "Control and Dynamics

Systems", Addison Hesley, 1972

[6J ALLER J.H., DE ARIZON N.P., PESSE G., PELAYO E •• ilEl<:JANDEZ A ••

"Estudio de la Segunda Interconexi6n entre CadJfc y Enclven"

Universidad Simón Solivar 1985.

Agradecinientos

Los autores desean agradecer el apoyo del CONICIT a trav~s de su programa de refuerzo al Departamento de Conversidn y

Transporte de Energja de la Universidad Simon Bolivar.


Anexo A

[: :: :] [::: ::~ [::::] [, V

D y

FD

-1 y

FF V J + y

F DF

[I ) Y - Y Y Y Y Y

-1

-1

1 F

[ J -1

D DF DD FD FF DD FD [ If ) ~--_--y~-~'I~~y--~--+---~y~~--I~

FD FF FD

Anexo B

r SI

~--_ .... -'] CiI 1 e u I () ,'"

(' o r r I I~!l t ('~....:.:..~~ •. .!-!!!~ C.ílculo ,le lIo1t<1jes

Cálculo de la (or~

!>,¡rrd:; lit I II :'.\_"_<1_" ____ • ____ =rinstantÁnea-=--.-.~ lTl¡¡l r J l. 11 r h r Ida.

------T-, -

\ r'Jr¡ 1, 111 ,. ":1 \,,:,

1

"'/

~~NADAS NACIONALES DE PoTENCIA

Ir-! B

FIGURA 1 b

.~r------'~---_____ _

;- --------,1

I,~

I

I I I 1

: I

,--____ ~' I I I I

r---------ir }'

I I r.-d--...l

FIGURA 2

I I r-----------------.

'f' It I

e

FIGURA 7

i(t

='1 _________ _

FIGURA j

Gúw)

,.MIIMIon .. ~.ntenl·

417

IV JORNADAS NACIONALES DE pQ:,iNclA

FIGURA 6

OSCI LACION AUTOMANTENID

+-1 1

11- -

'"

l' ,

Im(Gt¡~

- O _... --..JIII

8

cw~r fl'2 --__________ ~~--__ N

2 l-cW

, "-

418 419

• IV JORNADAS NACIONALES DE POTENCIA

'11' t¡J

Vk \ valor T )

v(t) J dt ~<!l ---V " instantanec ,

MODELACION O

ARMONICA ~ ..

DEL

~ L

SISTEMA calculo ~L

de i Ct) ~

FI~;lll,A tI

" armonico

B+= 23.00 o/ln

%= 15.14 /1

MODELO DE SATORACION

R

s

T

BOBI NAS

') B= 7.12 o/L +

1\,= 'i.il27 o 1

B= 1.01 0/1 +

1. 57 0/1

Jo' 1 GlJ I~ ¡\ 12

~1.0 5

,0


FOTOGRAFIA 1

- - .................. .. - ~ ..................... ..

CHAf'ICO 1

ferroresonancia entre cables de 230kv y transformadores

Documents