数学パズルで考えよう！

2015年 6月 22日滝沢　清

はじめに

当初は数学パズルの難問を出してみんなを悩ませようと思っていた

しかし2時間かかっても解けない問題だったらあまり意味がない

というわけで軌道修正 ......

ここでは•ちょっと数学がらみ（？）で

•楽しく（楽しそうで）

•取り組む意欲が湧く（湧くかもしれない）

•わりとよく知られた問題

を紹介することにする

図形

五芒星

問題 五芒星（ごぼうせい、 Pentagram）に直線を2本引いて三角形を 10個作れ

五芒星

答え 試行錯誤？

五芒星以下の図に直線を 2本引いて三角形を 7個作れだったらチョー簡単

五芒星以下の図に直線を 2本引いて三角形を 7個作れだったらチョー簡単

裁ち合わせ

問題 正三角形を 4つに分割し、並べ替えて正方形を作れデュードニー（H.E.Dudeney, 1857–1930）の有名な問題

裁ち合わせ

答え 　　 P, Qは中点　　 QR＝ 4√

3　　 RS＝ 1

0.50901523343　　 1.50901523343

0 2↑ ↑

・・・・

P Q

R S

裁ち合わせ作図による Rの求め方△ ABCは一辺 2の正三角形Qは ACの中点QD＝ 1Eは BDの中点Fは、 Eを中心とする半径 EBの円と ACの延長との交点Rは、 Qを中心とする半径 QFの円と BCとの交点→ QR＝ 4

√3がいえる

A

B C

D

E

F

Q

R

裁ち合わせ

四角形WXYZができ、かつそれが長方形であることは明らかWX＋ ZY＝ TR＋ YR＋QT＋QY＝QT＋ TR＋QY＋ YR＝ QR＋ QR＝ 2 4√

3よってWX＝ 4

√3

W

X

Y

Z

Q

R

T

裁ち合わせ

正三角形の面積は12· 2 ·√

3 =√

3だから

それと同じ面積の正方形の一辺は 4√

3したがって前図で四角形WXYZは正方形

辺上にある 4 つの点 P, Q, R, S のうち 3 つをテープで留めるなどしてつなげておくと、つながったまま正方形に変形できる

裁ち合わせどうやって見つけたか

裁ち合わせ

問題 正方形 2つを並べた以下の図形を切って並べ替え、 1つの大きな正方形を作れ

裁ち合わせ

答え ピタゴラスの定理！

ab

a

裁ち合わせ

問題 正 5角形を 4つに分割し、並べ替えて、（同じ分割片で）長方形、平行四辺形、等脚台形をそれぞれ作れピースの裏返し使用を許す

裁ち合わせ

答え

裁ち合わせ裁ち合わせの例（取りつかれた人がいる）

くみがみ

問題 1×√

2の厚紙 6枚で右図を作り、点線で 90度折るこれで立方八面体を組め

　　（考案：浜野明千宏）

立方八面体　立方体または正八面体の　各頂点を辺の中心まで切り落とした立体

図形消失関連

数が変わる

問題 消える妖精（レプラコーン、アイルランドの妖精、靴職人）の原理は？（上の 2枚の位置を入れかえる）

（Pat Lyons, 1968年）

数が変わる色は違うがデザインは同じ

↑

数が変わる以下は消える妖精もどき（理由がよくわかる）

↓

数が変わる以下はサムロイド（Sam Loyd, 1841–1911）のGet off the Earth（地球追い出しパズル）内側の円板を回す左が 12人、右が 13人

←

面積が変わる

問題 並べかえるとなぜ穴が開くのか

↓

5

3

8 8

13

面積が変わる

答え フィボナッチ数列を使っている

フィボナッチ数列　 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, · · ·

3つの三角形の斜辺以外の辺は、それぞれ(8,3), (13,5), (21,8) で、フィボナッチ数列のひとつ飛ばした 2数になっている斜辺の傾きは微妙に異なる（0.375,0.385,0.381）中央の斜め線が直線になっていない

面積が変わる

フィボナッチ数列　 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, · · ·

以下の関係がある（赤は前の図の長方形部分）1 · 5 = 2 · 3 − 1 1 · 3 = 22 − 12 · 8 = 3 · 5 + 1 2 · 5 = 32 + 13 · 13 = 5 · 8 − 1 3 · 8 = 52 − 15 · 21 = 8 · 13 + 1 5 · 13 = 82 + 1　 · · · · · · · · · 　 · · · · · · · · ·

面積が変わるひとつ前の数値を使ってみる

↓

2

23

8 5

面積が変わる5 · 13 = 82 + 1関連

64 = 65 ?

5

3

5 3

5

5 8

5

面積が変わるなお以下のように並べると、面積 63になる

5

5

8

5

3 3

面積が変わる

問題 表向きにして揃えると、なぜ小片が余るのか

→

パリティ関連

ドミノ

問題 カドが 2つ欠けたチェッカー盤をドミノで覆うことができない理由は？ドミノはマス目に沿って置くものとする

ドミノ

答え チェッカー盤を市松模様に塗り分ける

ドミノを置くたびに、白と黒が 1つずつ使われるところが盤上の白の数＝ 32、黒の数＝ 30で異なるよってドミノで覆うことは不可能

Lテトロミノ

問題 Lテトロミノで 10×10の正方形を覆えない理由は？　回転、裏返しを許す

注　ポリオミノ　モノミノ、ドミノ、トロミノ、テトロミノ、　ペントミノ、ヘクソミノ ･･････

Lテトロミノ

答え 10 × 10の盤を縦縞模様に塗り分ける

白と黒の数は、どちらも 50で同数L テトロミノの置き方は回転 4 種とその折り返しで4 × 2 = 8通りある（一部を書いた）

Lテトロミノそれを盤上に置くと、白の数－黒の数＝ ±2になるLテトロミノは全部で 100 ÷ 4 = 25個必要±2を 25個たしても 0にはならない（25が奇数だから）よって Lテトロミノで 10 × 10は覆えない

ヘクソミノ

問題 ヘクソミノは全部で 35個あるこのすべてで長方形が作れない理由は？

注　多くの人は「ヘキソミノ」という

ヘクソミノ

答え 面積が 6 × 35 = 210 の長方形はどちらかの辺

が必ず偶数になるので、市松模様に塗り分けると白黒同数になる

ヘクソミノ前の図の赤で囲った 11個のピースは置いたとき、白の数－黒の数＝ ±2となるそれ以外は白の数と黒の数は同数±2を 11個たしても 0にはならない（11が奇数だから）よってヘクソミノで長方形は作れない

ヘクソミノ蛇足立方体の展開図になるのは以下の 11個

逆転

帯の裏返し

問題 牛乳パックを切って以下の帯を作り、対角線に沿って折り目をつけておくこの帯の内側と外側を逆転させよ無理やりひっくり返してはいけない

カードの裏表逆転

問題 四つ折りにしたカードを一瞬でひっくり返せるか

紐の位置交換

問題 輪になった赤と黄色の紐を図のように持つ一瞬で位置を入れかえられるか

外箱と内箱

問題 外箱と内箱では外箱のほうが大きいか（外箱と内箱を逆転できるか）

確率

モンティ・ホール

問題 あるアメリカのテレビ番組*でのゲーム3 つのドアのうち 1 つに車があり、当てるともらえる参加者はドアを 1つ選ぶ司会者はハズレのドアを 1つ開けて言う「残ったドアは 2つ　選んだドアを変えてもいいですよ」変えた方がよいか、変えない方がよいか

*司会は Monty Hall→モンティ・ホール問題

モンティ・ホール

答え 最初に Aを選んだとするA（車） B（　） C（　）→ A（車） B/C（　）A（　） B（車） C（　）→ A（　） B（車）A（　） B（　） C（車）→ A（　） C（車）

変えない場合、車を当てる確率は13

変えた場合、　車を当てる確率は23

したがって変えたほうがよい

男の子

問題 2 人きょうだいで、ひとりが男の子であることがわかっているとき、もうひとりも男である確率は？

問題 2 人きょうだいで、ひとりが日曜日生まれの男の子であることがわかっているとき、もうひとりも男である確率は？

問題 2 人きょうだいで、ひとりが日曜日生まれの男の子であることがわかっているとき、もうひとりも日曜日生まれである確率は？

男の子

答え 条件付き確率

（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）→13

（男日，男？） 7とおり *（男日，女？） 7とおり（男？，男日） 7とおり *（女？，男日） 7とおり

*（男日，男日）がダブている→1327

男の子（男日，男？） 7とおり *（男日，女？） 7とおり（男？，男日） 7とおり *（女？，男日） 7とおり*（男日，男日）がダブている27とおりのうち（男日，男日）（男日，女日）（女日，男日）が 3とおり

→3

27=

19

同じ誕生日

問題 45人のグループに同じ誕生日の人はいるか

同じ誕生日

答え 同じ誕生日の人がいる確率は

23人→約 50.7%30人→約 70.6%35人→約 81.4%40人→約 89.1%45人→約 94.1%（すごく高い！）50人→約 97.0%

計算は

　 1 −(1 × 364

365× 363

365× 362

365× · · ·· · ·

)

同じ誕生日n人が 1～m のどれかを選ぶとき、同じ数字が選ばれる確率が 50%を超える例

n = 4 m = 9 （確率約 53.9%）n = 6 m = 20 （確率約 56.4%）n = 13 m = 100 （確率約 55.7%）n = 38 m = 1000 （確率約 50.9%）

同じ誕生日ところで、同じ誕生日の人が多い日ランキングを作った人がいる（「出生届」の数で調べた）同じ誕生日の人が多い日順

12/22、 04/02、 09/25、 12/25、 09/26、 09/18、05/02、 05/01、 09/21、 09/22、 07/07、 09/17、05/08、 09/19、 09/28（9月が多いなあ）

逆に少ない順02/29、 01/01、 01/02、 12/31、 04/01、 11/23、01/03、 11/03、 04/27、 02/11、 12/30、 05/05、05/03、 03/21、 05/04

不可能？

カード 1枚で

問題 紙で次の形を作れ

———-

カード 1枚で

答え