függvények ábrázolása, jellemzése i. · brósch zoltán (debreceni egyetem kossuth lajos...
TRANSCRIPT
![Page 1: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/1.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
1
Függvények ábrázolása, jellemzése I.
DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)
Két nem üres 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a
két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak egy nem üres részhalmaza.
DEFINÍCIÓ: (Alaphalmaz, képhalmaz)
Azt az 𝐴 halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük egy 𝐵 halmaz elemeit,
alaphalmaznak, a 𝐵 halmazt képhalmaznak nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Képelem, őselem)
Ha az 𝑓 hozzárendelés az 𝐴 alaphalmaz egy 𝑥 eleméhez a 𝐵 képhalmaz egy 𝑦 elemét rendeli,
akkor az 𝑦 - t az 𝑥 képének, 𝑥 - et az 𝑦 ősének nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Egyértelmű hozzárendelés)
Egyértelmű a hozzárendelés, ha az alaphalmaz elemeinek legfeljebb egy képük van a
képhalmazban. Ellenkező esetben többértelmű a hozzárendelés.
DEFINÍCIÓ: (Függvény)
Legyen az 𝑈 alaphalmaznak 𝐴 egy nem üres részhalmaza. Az 𝐴 halmazon értelmezett
függvénynek nevezzük a hozzárendelést, ha az 𝐴 halmaz minden elemének pontosan egy képe
van a 𝐵 képhalmazban.
Megjegyzés:
Azt is mondhatjuk, hogy az 𝐴 halmazt leképeztük a 𝐵 halmazba. Amennyiben 𝐵 minden eleme
hozzá van rendelve 𝐴 valamely eleméhez, akkor az 𝐴 halmazt a 𝐵 halmazra képeztük le.
Egy függvény akkor adott, ha megadtuk az értelmezési tartományát, értékkészletét és
hozzárendelési szabályát. Jelölés: 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥).
A függvények hozzárendelési szabályát megadhatjuk táblázattal, grafikonnal, képlettel,
utasítással, nyíldiagrammal, stb..
Descartes – féle derékszögű – koordinátarendszer: Két egymásra merőleges valós
számegyenes, amelyek zéruspontja (origó) közös. A vízszintes 𝑥 - tengely az értelmezési
tartomány, a függőleges 𝑦 - tengely az értékkészlet elemeit tartalmazza. Lényege, hogy a sík
pontjai és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést adunk meg.
Az összetartozó értékpároknak egy pont felel meg: első koordinátája az értelmezési
tartománynak, a második az értékkészletnek az eleme, s ezek a koordináták a pontnak a
tengelyektől mért előjeles távolságát adják meg.
![Page 2: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/2.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
2
DEFINÍCIÓ: (Helyettesítési érték)
Az 𝐴 - ból 𝐵 - be képező 𝑓 függvény esetén, ha 𝑥 ∈ 𝐴, akkor az 𝑦 = 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵 jelöli a függvény
𝑥 helyen felvett értékét (helyettesítési értékét).
DEFINÍCIÓ: (Szám – szám függvény)
Egy függvényt szám – szám függvénynek nevezünk, ha az alaphalmaz és a képhalmaz is
számhalmaz.
Megjegyzés:
Az olyan függvényt, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok
részhalmaza, valós függvénynek nevezzük.
Egy pont első koordinátáját abszcisszának, a második koordinátáját ordinátának nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Injektív függvény)
Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha az értelmezési tartomány különböző elemeihez az
értékkészlet különböző elemeit rendeli.
DEFINÍCIÓ: (Szürjektív függvény)
Egy függvényt szürjektívnek nevezünk, ha minden értékkészletbeli elemnek létezik őse.
Injektív, de nem szürjektív Szürjektív, de nem injektív
DEFINÍCIÓ: (Bijektív függvény)
Egy függvényt bijektívnek (kölcsönösen egyértelműnek) nevezünk, ha injektív és szürjektív.
Megjegyzés:
A kölcsönösen egyértelmű függvény értékkészlete egyenlő a képhalmazzal és különböző elemek
képe különböző.
![Page 3: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/3.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
3
Elemi függvények
DFINÍCIÓ: (Egyenes arányosság függvény)
A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥
függvényt egyenes arányosságnak nevezzük.
Megjegyzés:
Ha egyenes arányosság van az 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok
aránya egy (0 – tól különböző) állandó: 𝑚 =𝑦
𝑥 (𝑥 ≠ 0).
Szemléletesen: Egyenes arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára
változtatva a másik mennyiséget is ugyanennyiszeresére kell változni.
Az egyenes arányosság grafikonja az origón átmenő egyenes.
Az egyenes állása az 𝑚 aránytól függ, így az 𝑚 – t meredekségnek (vagy iránytényezőnek)
nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Lineáris függvény)
A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 + 𝑏
függvényt lineáris függvénynek nevezzük. Jelölés: 𝑓 (𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, vagy 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.
Megjegyzés:
Szemléletesen: Az 𝑚 meredekség megmutatja, hogy egy egységet mozdulva az
𝑥 – tengely mentén jobbra, mennyi egységet kell mozdulni az 𝑦 – tengely mentén, míg a
𝑏 szám megmutatja, hogy az egyenes hol metszi az 𝑦 – tengelyt.
Ha az egyenes két pontja 𝑃 (𝑥1; 𝑦1) és 𝑄 (𝑥2; 𝑦2), akkor a meredeksége: 𝑚 =𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2.
A lineáris függvény grafikonja párhuzamos az 𝑒 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 fügvénnyel.
Ha 𝑚 ≠ 0, akkor elsőfokú függvénynek nevezzük.
Ha 𝑚 = 0, akkor nulladfokú (konstans) függvénynek nevezzük.
Ha 𝑚 > 0, akkor növekvő 𝑥 értékhez növekvő 𝑦 érték tarozik, vagyis a függvény növekvő.
Ha 𝑚 < 0, akkor növekvő 𝑥 értékhez csökkenő 𝑦 érték tartozik, vagyis a függvény csökkenő.
Az egyenes arányosság olyan lineáris függvény, amelyben 𝑏 = 0.
![Page 4: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/4.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
4
Lineáris függvények: egyenes arányosság függvény (piros)
DEFINÍCIÓ: (Fordított arányosság függvény)
Ha az 𝑓 függvény értelmezési tartománya a 0 – tól különböző valós számok halmaza (vagy
annak valamely részhalmaza) és 𝑓 (𝑥) =𝑚
𝑥 (ahol 𝑚 egy 0 – tól különböző valós szám), akkor
az 𝑓 függvényt fordított arányosságnak nevezzük.
Megjegyzés:
Ha fordított arányosság van az 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok
szorzata egy (0 – tól különböző) állandó: 𝑚 = 𝑥𝑦 (𝑥 ≠ 0).
Szemléletesen: Fordított arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára
változtatva a másik mennyiséget ugyanennyied részére kell változtatni.
A fordított arányosság képét hiperbolának nevezzük, s az 𝑥 = 0 helyen szakadása van.
Az 𝑥 ↦𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑 hozzárendelési szabályú függvényt lineáris törtfüggvénynek nevezzük, ha
ekvivalens algebrai átalakításokkal nem hozható konstans alakra (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ; 𝑐 ≠ 0).
Fordított arányosság függvény
![Page 5: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/5.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
5
DEFINÍCIÓ: (Másodfokú függvény)
A valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 függvényt másodfokú
függvénynek nevezzük, ahol 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ és 𝑎 ≠ 0.
Megjegyzés:
Ha 𝑎 > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló, ha 𝑎 < 0, akkor egy lefelé nyíló parabola.
A teljes négyzetté alakítást elvégezve megkapjuk a parabola 𝑇 (𝑢; 𝑣) tengelypontjának
koordinátáit: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑢)2 + 𝑣.
Az 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑛 függvényt hatványfüggvénynek nevezzük, ahol 𝑛 ∈ ℕ és 𝑛 > 1.
Másodfokú függvény
DEFINÍCIÓ: (Abszolútérték függvény)
A valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = |𝑥| függvényt abszolútérték függvénynek
nevezzük.
Abszolútérték függvény
![Page 6: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/6.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
6
DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyök függvény)
A nem negatív valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = √𝑥 függvényt négyzetgyök
függvénynek nevezzük.
Megjegyzés:
A négyzetgyök függvény képe egy ,,félparabola”.
Az 𝑓 (𝑥) = √𝑥3
köbgyök függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza.
Négyzetgyök függvény
DEFINÍCIÓ: (Egészrész függvény)
Azt a függvényt, amely minden 𝑥 valós számhoz hozzá rendeli az 𝑥 egész részét, azaz azt a
legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb 𝑥 – nél, egészrész függvénynek nevezzük.
Jelölés: 𝑓 (𝑥) = [𝑥].
Megjegyzés:
Példa: [2; 3] = 2; [5,2] = 5; [−2] = −2; [3] = 3; [−1,7] = −2; [−3,4] = −4;…
Egészrész függvény
![Page 7: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/7.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
7
DEFINÍCIÓ: (Törtrész függvény)
Ha egy számból elvesszük az egész részét, akkor meg kapjuk a szám tört részét. Azt a
függvényt, amely minden 𝑥 valós számhoz hozzárendeli a törtrészét, törtrész függvénynek
nevezzük. Jelölés: 𝑓 (𝑥) = {𝑥} = 𝑥 − [𝑥].
Megjegyzés:
Példa: {1,3} = 0,3; {6,7} = 0,7; {−3} = 0; {2} = 0; {−2,1} = 0,9; {−4,8} = 0,8;…
Törtrész függvény
DEFINÍCIÓ: (Előjelfüggvény)
Előjelfüggvénynek (vagy szignum függvénynek) nevezzük a következő eljárással
meghatározott függvényt:
𝑓 ∶ ℝ → ℝ; 𝑥 ⟼
{
1, ℎ𝑎 𝑥 > 0
0, ℎ𝑎 𝑥 = 0
−1, ℎ𝑎 𝑥 < 0
.
Jelölés: 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥).
Előjel (szignum) függvény
![Page 8: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/8.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
8
Függvények jellemzői
DEFINÍCIÓ: (Értelmezési tartomány)
Az 𝐴 halmaz a függvény értelmezési tartománya, vagyis az a halmaz, amelynek az elemeihez
a másik halmaz egy – egy elemét rendeljük. Jelölés: 𝐷𝑓.
Megjegyzés:
Az értelmezési tartomány elemei a független változó értékek.
Szemléletesen: Egy függvény értelmezési tartománya azon 𝑥 értékek halmaza az 𝑥 tengelyen,
melyeken a függvény értelmezve van.
DEFINÍCIÓ: (Értékkészlet)
A képelemek (függvényértékek) a képhalmaznak azok az elemei, amelyeket a független változó
értékeihez rendelünk. A függvényértékek halmaza a függvény értékkészlete. Jelölés: 𝑅𝑓.
Megjegyzés:
Az 𝑅𝑓 részhalmaza 𝐵 – nek.
Az értékkészlet elemeit függő változóknak is nevezzük.
Szemléletesen: Egy függvény értékkészlete azon 𝑦 értékek halmaza az 𝑦 tengelyen, melyeket
a függvény felvesz.
![Page 9: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/9.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
9
DEFINÍCIÓ: (Zérushely)
Egy függvény zérushelyének (nullhelyének) nevezzük az értelmezési tartomány minden olyan
𝑥 értékét, amelyhez a 0 függvényérték tartozik.
Megjegyzés:
Ha a zérushelyet nem tudjuk egyértelműen leolvasni az ábráról, akkor azt megkaphatjuk az
𝑓 (𝑥) = 0 egyenlet megoldásával is.
Szemléletesen: A függvény zérushelye az a pont, ahol a függvény grafikonja metszi az
𝑥 tengelyt.
DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton növekvő függvény)
Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton növekvőnek
nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a
függvényérték növekvő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely 𝑥1 < 𝑥2 esetén 𝑓 (𝑥1) < 𝑓 (𝑥2).
DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton csökkenő függvény)
Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton csökkenőnek
nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a
függvényérték csökkenő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely 𝑥1 < 𝑥2 esetén 𝑓 (𝑥1) > 𝑓 (𝑥2).
Megjegyzés:
Amennyiben megengedjük az egyenlőséget, akkor monoton növekvő (illetve csökkenő)
függvényről beszélünk.
DEFINÍCIÓ: (Páros függvény)
Egy függvényt párosnak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli 𝑥 elemére (−𝑥) is
eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (−𝑥) teljesül.
Megjegyzés:
Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ugyanazt az értéket veszi fel, s ilyenkor a függvény
képe az 𝑦 tengelyre szimmetrikus.
DEFINÍCIÓ: (Páratlan függvény)
Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli 𝑥 elemére (−𝑥) is
eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (−𝑥) = − 𝑓 (𝑥) teljesül.
![Page 10: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/10.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
10
Megjegyzés:
Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ellentett értéket vesz fel, s ilyenkor a függvény képe
az origóra szimmetrikus.
DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: maximum)
Egy függvénynek globális (abszolút) maximuma van az értelmezési tartomány egy
𝑥0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥0) teljesül.
Megjegyzés:
Az 𝑥0 - t a maximum helyének, az 𝑦 = 𝑓 (𝑥0) - t a maximum értékének nevezzük.
Személetesen: Maximuma van a függvénynek, ha van olyan legnagyobb pontja, ami fölé nem
halad a függvény képe.
DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: minimum)
Egy függvénynek globális (abszolút) minimuma van az értelmezési tartomány egy 𝑥0 értékénél,
ha az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑓 (𝑥0) teljesül.
Megjegyzés:
Az 𝑥0 - t a minimum helyének, az 𝑓 (𝑥0) - t a minimum értékének nevezzük.
Személetesen: Minimuma van a függvénynek, ha van olyan legkisebb pontja, ami alá nem
halad a függvény képe.
DEFINÍCIÓ: (Lokális szélsőérték)
Egy függvénynek lokális (helyi) maximuma, illetve minimuma van az értelmezési tartomány
𝑥0 értékénél, ha az 𝑥0 - nak van olyan ]𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿[ környezete, ahol az ebbe eső 𝑥 – ekre a
függvény értelmezve van és 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥0), illetve 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓 (𝑥0).
DEFINÍCIÓ: (Alsó korlát)
Egy függvényt alulról korlátosnak nevezünk, ha van olyan 𝑘 valós szám, hogy bármely
értelmezési tartománybeli 𝑥 elem esetén 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑘 teljesül.
Megjegyzés:
A legnagyobb alsó korlátot pontos alsó korlátnak nevezzük.
Szemléletesen: A függvény pontos alsó korlátja az a legnagyobb szám, amelynél kisebb
értéket nem vesz fel a függvény.
![Page 11: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/11.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
11
DEFINÍCIÓ: (Felső korlát)
Egy függvény felülről korlátos, ha van olyan 𝐾 valós szám, hogy bármely értelmezési
tartománybeli 𝑥 elem esetén 𝑓 (𝑥) ≤ 𝐾 teljesül.
Megjegyzés:
A legkisebb felső korlátot pontos felső korlátnak nevezzük.
Szemléletesen: A függvény pontos felső korlátja az a legkisebb szám, amelynél nagyobb
értéket nem vesz fel a függvény.
DEFINÍCIÓ: (Korlátos függvény)
Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha alulról és felülről is korlátos.
Megjegyzés:
Alsó (felső) korlátból végtelen sok lehetséges, de pontos alsó (felső) korlátból csak egy.
A függvény szélsőértéke része a függvény képének, de az alsó (felső) korlátja nem feltétlen.
DEFINÍCIÓ: (Periodicitás)
Ha van olyan 𝑝 > 0 valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére (𝑥 ± 𝑝) is
eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 ± 𝑝) teljesül, akkor az 𝑓 függvényt
periodikusnak nevezzük. Ezen lehetséges 𝑝 értékek közül a legkisebbet (amennyiben létezik) a
függvény periódusának nevezzük.
Megjegyzés:
Mivel a 𝑝 értékek között nem mindig létezik legkisebb, így lehetséges, hogy egy periodikus
függvénynek nincs periódusa (pl.: konstans függvény).
Szemléletesen: Periodikus a függvény, ha van olyan távolság, mellyel bármelyik irányba,
bármennyiszer elmozdítva a grafikont önmagába megy át.
DEFINÍCIÓ: (Konvex függvény)
Egy 𝑓 függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konvexnek nevezzük, ha az adott
intervallum bármely 𝑥1; 𝑥2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: 𝑓 (𝑥1+𝑥2
2) ≤
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
2.
Megjegyzés:
Szemléletesen: Egy függvény konvex, ha a görbe feletti síktartomány konvex halmaz; érintője
mindenütt a görbe alatt halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe felett halad.
![Page 12: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/12.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
12
DEFINÍCIÓ: (Konkáv függvény)
Egy 𝑓 függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konkávnak nevezzük, ha az adott
intervallum bármely 𝑥1; 𝑥2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: 𝑓 (𝑥1+𝑥2
2) ≥
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
2.
Megjegyzés:
Szemléletesen: Egy függvény konkáv, ha a görbe feletti síktartomány konkáv halmaz; érintője
mindenütt a görbe felett halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe alatt halad.
DEFINÍCIÓ: (Inflexiós pont)
Egy függvénynek egy pontját inflexiós pontnak nevezzük, ha az adott pontban a görbe
konvexitást vált (konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe megy át).
DEFINÍCIÓ: (Aszimptota)
Egy függvény aszimptotája egy olyan görbe (többnyire egyenes), ami a függvény grafikonját
tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el.
Megjegyzés:
A fordított arányosság grafikonjának aszimptotái az 𝑥 -, illetve 𝑦 – tengelyek.
![Page 13: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/13.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
13
Alapfüggvények jellemzői
Másodfokú függvény:
𝑓 (𝑥) = 𝑥2
𝒇 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ [0;+∞[
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás
𝑥 ∈ ]−∞; 0] szigorúan monoton csökkenő
𝑥 ∈ [0; +∞[ szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 = 0
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Paritás Páros
Periodicitás Nem periodikus
![Page 14: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/14.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
14
Abszolútérték függvény:
𝑔 (𝑥) = |𝑥|
𝒈 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑔: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑔: 𝑦 ∈ [0;+∞[
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás
𝑥 ∈ ]−∞; 0] szigorúan monoton csökkenő
𝑥 ∈ [0; +∞[ szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 = 0
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Paritás Páros
Periodicitás Nem periodikus
![Page 15: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/15.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
15
Fordított arányosság függvény:
ℎ (𝑥) =1
𝑥
𝒉 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷ℎ: 𝑥 ∈ ℝ \ {0}
Érték készlet 𝑅ℎ: 𝑦 ∈ ℝ \ {0}
Zérushely Nincs zérushelye
Monotonitás
𝑥 ∈ ]−∞; 0[ szigorúan monoton csökkenő
𝑥 ∈ ]0; +∞[ szigorúan monoton csökkenő
Szélsőérték Nincs szélsőértéke
Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja sem
Paritás Páratlan
Periodicitás Nem periodikus
![Page 16: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/16.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
16
Négyzetgyök függvény:
𝑘 (𝑥) = √𝑥
𝒌 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑘: 𝑥 ∈ [0;+∞[
Érték készlet 𝑅𝑘: 𝑦 ∈ [0;+∞[
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás Szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 = 0
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Paritás Nem páros, nem páratlan
Periodicitás Nem periodikus
![Page 17: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/17.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
17
Egészrész függvény:
𝑚 (𝑥) = [𝑥]
𝒎 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑚: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑚: 𝑦 ∈ ℤ
Zérushely 𝑥 = [0;+1[
Monotonitás Monoton növekvő
Szélsőérték Nincs szélsőértéke
Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja sem
Paritás Nem páros, nem páratlan
Periodicitás Nem periodikus
![Page 18: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/18.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
18
Törtrész függvény:
𝑛 (𝑥) = {𝑥}
𝒏 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑛: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑛: 𝑦 ∈ [0; 1[
Zérushely 𝑥 = ℤ
Monotonitás
𝑥 ∈ [0; 1[ szigorúan monoton növekvő
𝑥 ∈ [1; 2[ szigorúan monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 ∈ ℤ
Minimum értéke: 𝑦 = 0
Korlátosság
Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0
Pontos felső korlát: 𝐾 = 1
Korlátos függvény
Paritás Nem páros, nem páratlan
Periodicitás Periodikus: 𝑝 = 1
![Page 19: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/19.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
19
Előjel (szignum) függvény:
𝑠 (𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥)
𝒔 (𝒙)
Értelmezési tartomány 𝐷𝑠: 𝑥 ∈ ℝ
Érték készlet 𝑅𝑠: 𝑦 ∈ {−1; 0; 1}
Zérushely 𝑥 = 0
Monotonitás Monoton növekvő
Szélsőérték
Minimum helye: 𝑥 ∈ ]−∞;0[
Minimum értéke: 𝑦 = −1
Maximum helye: 𝑥 ∈ ]0; +∞[
Maximum érétke: 𝑦 = 1
Korlátosság
Pontos alsó korlát: 𝑘 = −1
Pontos felső korlát: 𝐾 = 1
Korlátos függvény
Paritás Páratlan
Periodicitás Nem periodikus
![Page 20: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/20.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
20
Függvénytranszformációk
Az egyes függvénytípusokhoz tartozó függvényeken bizonyos fajta átalakításokat végezve a
típus nem változik meg. Ha egy koordináta – rendszerben ábrázolt függvény grafikonját
valamelyik tengely irányában eltoljuk, megnyújtjuk vagy összenyomjuk, akkor azt mondjuk,
hogy függvénytranszformációt hajtottunk végre.
Változó transzformációk (𝒙 koordináták változtatása):
𝑓 (−𝑥): az 𝑦 tengelyre való tükrözés
𝑓 (𝑥 + 𝑐): az 𝑥 tengely mentén (−𝑐) – vel való eltolás
𝑓 (𝑏 ∙ 𝑥): az 𝑦 tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás
(az 𝑥 koordinátákat 1
𝑏 - szeresére változtatjuk, az 𝑦 koordinátákat nem változtatjuk)
𝑓 (|𝑥|): az 𝑥 ≥ 0 értékekhez tartozó görbét tükrözzük az 𝑦 tengelyre
Érték transzformációk (𝒚 koordináták változtatása):
− 𝑓 (𝑥): az 𝑥 tengelyre való tükrözés
𝑓 (𝑥) + 𝑑: az 𝑦 tengely mentén (+𝑑) – vel való eltolás
𝑎 ∙ 𝑓 (𝑥): az 𝑥 tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás
(az 𝑦 koordinátákat 𝑎 – szorosára változtatjuk, az 𝑥 koordinátákat nem változtatjuk)
|𝑓(𝑥)|: az 𝑦 < 0 értékeket tükrözzük az 𝑥 tengelyre
Transzformációk sorrendje:
Először a változó transzformációkat, majd az érték transzformációkat végezzük el.
1. 𝑓 (𝑥)
2. 𝑓 (𝑥 + 𝑐)
3. 𝑓 (𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
4. 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
5. 𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
6. −𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)
7. −𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐) + 𝑑
![Page 21: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/21.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
21
Gyakorló feladatok
K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat
1. (K) Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét.
B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét.
C: Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit.
D: Minden bolygóhoz hozzárendeljük a Nap körüli keringésének idejét.
2. (K) Az alábbi függvények közül, melyik kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés?
A: A testekhez rendeljük a felszínüket.
B: A négyzetekhez rendeljük a kerületüket.
C: A kémiai elemekhez rendeljük a rendszámukat.
D: A könyvekhez rendeljük a kiadójukat.
3. (K) Az alábbi függvényeket fogalmazzuk meg geometriai függvényként!
𝒇 (𝒙) = ℝ+ → ℝ+; 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝝅 𝒈 (𝒙) = ℝ+ ⨯ ℝ+ → ℝ+; 𝒉(𝒙; 𝒚) =𝒙𝒚
𝟐
4. (K) Az alábbi grafikonok közül melyik lehet egy függvény grafikonja?
![Page 22: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/22.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
22
5. (E) Döntsd el az alábbi függvényekről, hogy melyik injektív / szürjektív / bijektív!
a) 𝒆 ∶ ℝ → ℝ; 𝒙 ⟼ −𝟏𝟗
b) 𝐟 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝟓𝐱 − 𝟏
c) 𝐠 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝐱𝟐
d) 𝐡 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ |𝐱|
e) 𝒌 ∶ ℝ → [𝟎; 𝟏[; 𝒙 ⟼ {𝒙}
f) 𝐬 ∶ [𝟐; 𝟕] → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝐱𝟐
g) 𝐭 ∶ [−𝟑; 𝟓] → [𝟎; 𝟓]; 𝐱 ⟼ |𝐱|
h) 𝒛 ∶ ℝ+ → ℝ+; 𝒙 ⟼𝟏
𝒙
![Page 23: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/23.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
23
6. (K) Határozd meg a következő függvények 𝒇 (−𝟐) helyettesítési értékét!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙 + 𝟏
b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟕
c) 𝒇 (𝒙) = |𝒙 + 𝟖| − 𝟓
d) 𝒇 (𝒙) = √𝟏𝟏 + 𝒙
e) 𝒇 (𝒙) =𝟏
𝒙 − 𝟐+ 𝟔
7. (K) Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a 𝟑 értéket!
a) 𝒇 (𝒙) = −𝒙 − 𝟓
b) 𝒈 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏
c) 𝒉 (𝒙) = |𝒙 − 𝟑|
d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 − 𝟒
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟏
𝒙 + 𝟏𝟎
8. (K) Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik - e a 𝑷 (𝟏;−𝟑) pont a következő
függvények grafikonjára!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟖
b) 𝒈 (𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓
c) 𝒉 (𝒙) = |𝒙 + 𝟐| + 𝟏
d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 + 𝟑
e) 𝒕 (𝒙) =𝟖
𝒙 − 𝟓− 𝟏
9. (K) Határozd meg, hogy a 𝑷 (𝟐𝟎; 𝟏𝟓𝟎) és a 𝑸 (𝟏𝟎𝟎; 𝟗𝟎𝟎) pontok hogyan helyezkednek
el az 𝒇 (𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝟕 függvény grafikonjához képest!
![Page 24: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/24.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
24
10. (K) Határozd mag a 𝑷 (𝒙; 𝟐) és 𝑸 (−𝟓; 𝒚) pontok koordinátáit úgy, hogy
illeszkedjenek a következő függvényekre!
a) 𝒇 (𝒙) = −𝟏
𝟐𝒙 + 𝟑
b) 𝒈 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟕
c) 𝒉 (𝒙) = 𝟐 ∙ |𝒙 − 𝟏|
d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 + 𝟑𝟎
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟒
𝒙 + 𝟏
11. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül, hogy hol metszik a következő függvények a
koordináta – tengelyeket!
a) 𝒇 (𝒙) = −𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟏
b) 𝒈 (𝒙) = 𝟕 ∙ (𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟐𝟖
c) 𝒉 (𝒙) = 𝟑 · |𝟐𝒙 + 𝟖|
d) 𝒌 (𝒙) = √𝟓𝒙 − 𝟏𝟎
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟐
𝒙+𝟔
12. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit!
a) 𝒇 (𝒙) =𝟐
𝟓𝒙 − 𝟏
b) 𝒈 (𝒙) = (𝒙 + 𝟕)𝟐
c) 𝒉 (𝒙) = |𝟖𝒙 − 𝟏𝟔|
d) 𝒌 (𝒙) = −𝟔 ∙ √𝒙 + 𝟏
e) 𝒕 (𝒙) =𝟕
𝟐𝒙 + 𝟑− 𝟒
13. (K) Írd fel annak a 𝒈 (𝒙) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy
kapunk, hogy az adott 𝒇 (𝒙) függvényt eltoljuk az adott �⃗⃗� vektorral!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 és �⃗⃗� (𝟓; 𝟖)
b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑 ∙ |𝒙| és �⃗⃗� (−𝟐;−𝟕)
![Page 25: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/25.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
25
14. (K) Határozd meg a következő pontokra illeszkedő egyenes egyenletét!
a) 𝑨 (𝟏; 𝟏) és 𝑩 (−𝟐;−𝟐)
b) 𝑪 (−𝟓; 𝟒) és 𝑫 (𝟖;−𝟏𝟎)
c) 𝑷 (𝟐; 𝟓) és 𝑸 (−𝟏; 𝟖)
d) 𝑹 (−𝟑; 𝟕) és 𝑺 (𝟒; 𝟏𝟏)
15. (K) Határozd meg az elsőfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha tudjuk, hogy
𝒇 (−𝟑) = 𝟐 és 𝒇 (𝟕) = 𝟒!
16. (K) Ábrázold a következő lineáris függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏
b) 𝒈 (𝒙) = 𝟓
c) 𝒉 (𝒙) = −𝒙 + 𝟑
d) 𝒌 (𝒙) = 𝟒𝒙
e) 𝒕 (𝒙) = −𝟐
𝟑𝒙 − 𝟐
17. (K) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: 𝒇(𝒙) = −𝟏
𝟐 ∙ (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐!
18. (E) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: 𝒇 (𝒙) = (𝟐𝒙 + 𝟒)𝟐 − 𝟑!
19. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟒|!
20. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =(𝟑 − 𝒙)𝟐
𝟑!
21. (K) Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑!
![Page 26: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/26.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
26
22. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟑!
23. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő másodfokú függvény szélsőértékének
(tengelypontjának) koordinátáit!
a) 𝒇 (𝒙) = (𝒙 + 𝟖)𝟐 − 𝟓
b) 𝒈 (𝒙) = −𝟑 ∙ (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟕
c) 𝒉 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔
d) 𝒌 (𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟏𝟏
24. (E) Határozd meg az 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒄 függvényben szerpelő 𝒄 paraméter értékét
úgy, hogy minimuma az 𝒚 = −𝟑 legyen!
25. (K) Ábrázolás nélkül add meg az 𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 függvény szélsőértékeit, ha
a) 𝒙 ∈ ℝ,
b) 𝒙 ∈ [−𝟑; −𝟐],
c) 𝒙 ∈ ]𝟎; 𝟏]!
26. (K) Ábrázolás nélkül add meg az 𝒇 (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 függvény szélsőértékeit, ha
a) 𝒙 ∈ ℝ,
b) 𝒙 ∈ [−𝟐; 𝟎],
c) 𝒙 ∈ ]𝟐; 𝟑]!
27. (K) Adj meg olyan 𝒇 (𝒙) másodfokú függvényt, amelynek maximuma a (𝟒; −𝟑) pont,
illetve olyan 𝒈 (𝒙) másodfokú függvényt, melynek minimuma van az (𝟏; 𝟔) pontban!
28. (E) Az 𝒇 (𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 függvény két zérushelye 𝒙𝟏 = −𝟐 és 𝒙𝟐 = 𝟒. Add meg
az 𝒂, 𝒃 és 𝒄 értékét úgy, hogy a függvény grafikonja az 𝒚 – tengelyt −𝟔 – nál metsze!
29. (E) Add meg az 𝒂, 𝒃, 𝒄 értékeket úgy, hogy az 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 függvény
tengelypontja a 𝑻 (𝟑;−𝟐) legyen és illeszkedjen rá a 𝑷 (𝟏; 𝟔) pont!
![Page 27: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/27.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
27
30. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = 𝟑 ∙ |𝒙 + 𝟐| − 𝟒!
31. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = − |𝟏
𝟐𝒙 − 𝟑| + 𝟏!
32. (E) Ábrázold és jellemezd szélsőérték szempontjából az 𝒇 (𝒙) = ||𝒙| − 𝟐|−𝟑||
függvényt!
33. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙| − |𝒙 − 𝟑|!
34. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙| + |𝒙 + 𝟐|!
35. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 ∙ |𝒙|!
36. (K) Ábrázol és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = −|𝒙 − 𝟏| + 𝟔!
37. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ √𝒙 + 𝟑!
38. (E) Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 𝟏 + √−𝒙!
39. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |√𝒙𝟑|!
40. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟑 − √𝒙 − 𝟒!
41. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟏
𝒙 − 𝟏+ 𝟐!
42. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = −𝟏
𝟐𝒙!
43. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟐!
44. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =|𝒙| − 𝟏
|𝒙| − 𝟐!
![Page 28: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/28.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
28
45. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟏
− 𝒙!
46. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝟐
𝒙 + 𝟑− 𝟒|!
47. (E) Hány rácsponton megy át az 𝒇 (𝒙) =𝟐𝒙 + 𝟑
𝟐 − 𝒙 függvény grafikonja!
48. (E) Egy lineáris törtfüggvény értelmezési tartománya ℝ \ {𝟑} és a grafikonja
illeszkedik a 𝑷 (𝟎; 𝟒) és 𝑸 (−𝟐; 𝟐) pontokra. Add meg a függvény hozzárendelési
szabályát!
49. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = {𝟐𝒙}!
50. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ [𝒙]!
51. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒔𝒈𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)!
52. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = [𝒙]𝟐!
53. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = 𝒙 ∙ [𝒙]!
54. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = [𝒙 − 𝟑]!
55. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = {𝒙} + 𝟒!
56. (K) Ábrázold a következő függvényeket az adott intervallumokon!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟑, ha 𝒙 ∈ ]−𝟏; 𝟐]
b) 𝒇 (𝒙) = √𝒙 + 𝟐, 𝒉𝒂 𝒙 ∈ [𝟏; 𝟔]
c) 𝒇: [−𝟒; 𝟓[ → ℝ; 𝒙 ⟼ ||𝒙| − 𝟑|
![Page 29: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/29.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
29
57. (K) Ábrázold a következő függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) =
{
𝟏
𝟐𝒙 + 𝟔, 𝒉𝒂 𝒙 < −𝟒
|𝒙|, 𝒉𝒂 − 𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟑
𝟑, 𝒉𝒂 𝒙 ≥ 𝟑
b) 𝒇 (𝒙) =
{
(𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟑, 𝒉𝒂 𝒙 ≤ −𝟑
−|𝒙| + 𝟒, 𝒉𝒂 − 𝟑 < 𝒙 < 𝟐
−𝟐 ∙ √𝒙 − 𝟐 + 𝟐, 𝒉𝒂 𝒙 ≥ 𝟐
58. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖
𝒙 + 𝟐!
59. (E) Állapítsd meg a következő függvények paritását!
𝒇:ℝ → ℝ; 𝒙 ↦𝟓𝒙𝟑
𝟔 + 𝒙𝟏𝟎 𝒈 (𝒙) = √|𝒙 − 𝟕| 𝒉 (𝒙) = |𝒙| − 𝟐 + 𝒙𝟖
60. (E) Igazold, hogy az 𝒇 (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 függvény az egész értelmezési
tartományán szigorúan monoton növekvő!
61. (E) Mennyi a periódusa az 𝒇 (𝒙) = −𝟓 · {𝒙} + 𝟐, illetve a 𝒈 (𝒙) = {𝒙
𝟕− 𝟖}
függvénynek?
62. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!
a) 𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝒙 + 𝟔
b) 𝒙𝟐 = 𝟒
c) |𝒙| = −𝟑𝒙
d) 𝒙𝟐 − 𝟒 = |𝒙 + 𝟐|
e) 𝒙𝟐 + 𝟑 = −|𝒙| + 𝟐
![Page 30: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/30.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
30
63. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
a) 𝟑
𝟒𝒙 − 𝟓 < −𝒙 + 𝟐
b) 𝒙 + 𝟒 > −𝟏
c) 𝒙𝟐 ≤ √𝒙
d) 𝟐 ≥ −|𝒙 + 𝟏|
e) |𝒙| − 𝟐 ≥ (𝟐𝒙)𝟐
64. (K) Add meg az ábrázolt függvények hozzárendelési szabályát!
![Page 31: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/31.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
31
65. (K) Milyen függvénytípusokkal lehet szemléltetni az alábbi szituációkat?
A: Egy telefontársaság perc alapú számlázása esetén fizetendő összeg, ahol az első
megkezdett perc ingyenes, majd minden további megkezdett percért (a perc nulladik
másodpercétől kezdve) 𝟐𝟎 𝑭𝒕 – ot kell fizetni.
B: Egy kerékpáros egyenletes sebességgel haladva adott idő alatt megtett útja.
C: Egy ferdén feldobott kő legmagasabb emelkedési pontjának meghatározása.
D: A nagymutató által mutatott perc 𝟔 és 𝟏𝟎 óra között.
E: Feszültség jelzése egy vezető két vége között (a két állapot megkülönböztetése).
F: A munkások és az elkészített alkatrészek száma közötti kapcsolat ábrázolása.
66. (E) Ábrázold derékszögű koordináta – rendszerben a következő halmazokat!
a) 𝑨 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝟏 < 𝒙 < 𝟒 é𝒔 − 𝟏 ≤ 𝒚 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ}
b) 𝑩 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒙 ≥ 𝟐 𝒗𝒂𝒈𝒚 𝒚 > 𝟏 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+}
c) 𝑪 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒚 < 𝒙 + 𝟏 é𝒔 𝒚 ≥ 𝒙𝟐 − 𝟏 é𝒔 𝒙 ∈ ℝ−, 𝒚 ∈ ℝ}
d) 𝑫 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟐𝟓 é𝒔 |𝒚| < 𝟑 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ}
67. (E) Adott az 𝒇 (𝒙 − 𝟐) = |𝒙|, 𝒙 ∈ ℝ függvény. Add meg az 𝒇 (𝒙 + 𝟏), 𝒙 ∈ ℝ függvényt!
68. (E) Add meg a valós számok megfelelő részhalmazán értelmezett 𝒇 függvényt, ha
tudjuk, hogy 𝒇 (𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑!
![Page 32: Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022011909/5f660a11498c6c339720e96a/html5/thumbnails/32.jpg)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
32
Felhasznált irodalom
(1) Hajdu Sándor; 2002.; Matematika 9.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest
(2) Urbán János; 2001.; Sokszínű matematika 9; Mozaik Kiadó; Szeged
(3) Ábrahám Gábor; 2012.; Matematika 9; Maxim Könyvkiadó; Szeged
(4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9; Mozaik Kiadó; Szeged
(5) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából;
Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest
(6) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.;
Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba
(7) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 − 10. évfolyam;
Maxim Kiadó; Szeged
(8) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából – emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged
(9) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html
(10) Saját anyagok