FibonacciFibonacci( ( Leonardo of Pisa. Leonardo of Pisa.

1175~1250 1175~1250 ))

수학과 4 년 최 흥 수

☞ 피보나치의 생애 !!

☞ 피보나치 수열의 정의 및 성질… ???

☞ 자연현상 속의 피보나치 수열…

☞ 예술속의 피보나치 수열…

Index Fibonacci

피보나치 (1175~1250) 의 생애

피보나치는 중세시대 유럽의 대수학자이다 . 그는 이탈리아 피사의 상업 중심지에서 태어났 으며 , Leonardo of Pisa 라 불리었다 . 피보나치 는 소년시절부터 일찍이 산술에 흥미를 느끼기 시작했으며 이후 이집트 , 시칠리아 , 그리스 , 시리아 등을 여행하면서 동부와 아라비아의 수학을 접하였다 . 그의 유명한 저서『산반서 , Liber abaci 』를 출간하였다 . 초판은 현존하지 않고 있으며 , 그 책은 1228 년에 제 2판을 통하여 우리에게 알려지게 되었다 . 이 책은 산술과 대수학을 다루며 . 새로운 숫자을 읽고 쓰는 법 , 정수와 분수의 계산법등 많은 내용을 설명하고 있다 .

피보나치 수열의 정의 및 성질… ???

“ 한 쌍의 새끼 토끼가 한 달이 되면 어미가 되고 매월 한 쌍의

새끼를 낳는다고 하자 . 토끼들은 결코 죽지 않으면 처음 한 쌍의 새끼로부터 1

년간에 는 모두 몇 쌍의 토끼를 갖게 될 것인가 ?” 를 생각한 것이 피보나치 수열 연구의

시초이다 .

< 월별 번식하는 토끼 >

< 월별 토끼 집단의 가계도 >1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 을 피보나치 수열이라 한다 .

피보나치 수열의 성질피보나치 수열의 성질1. 연속하는 두 수의 합은 그 다음 수가 된다 .

2. n 번째 숫자는 (n-2) 번째 수로 나누면 그 몫은 2 가 되고

나머지는 (n-3) 번째 수가 된다 .3. n 번째 수를 (n-2) 번째 수로 나누면 2.618 에 가까워지고

(n-2) 번째 수를 n 번째 수로 나누면 0.382 에 가까워진다 .4. 연속하는 두 수에서 큰 수에 대한 작은 수의 비율 , 작은

수에 대한 큰 수의 비율은 각각 0.618, 1.618 에 가까워 지

는데 , 0.618 또는 1.618 이 바로 황금비이다 .5. 이웃하는 두 수의 차이들도 같은 규칙의 수열을 이룬다 .

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

자연현상 속의 피보나치 수열…가 . 잎의 배열

위쪽 나뭇잎 나는 모양을

살펴보면 , 1 번 잎에서 시작하여

2,3 번으로 나는 모양을

연결하면 하나의 나선이 생기고 ,

6 번 잎에서 나선모양 2 주기가

완성 .

아래쪽 나뭇잎은 3` 회 만에

같은 위치에 나뭇잎이 생기는데

그동안 그려진 나선은 3 주기

이다 .

나 . 꽃씨의 배열

해바라기꽃과 데이지 꽃의 나선의 수를 세면

가장자리에서 오른쪽 , 왼쪽으로 향하는 나선의 수가

연속하는 피보나치 수로 나타난다 . 식물의 종류에 따라

다르지만 나선의 수가 21 과 34, 34 와 55, 55 와 89 등의

연속하는 피보나치 수의 형태로 나타난다 .

해바라기 꽃 데이지 꽃

해바라기

꽃씨

데이지 꽃씨

다 . 솔방울솔방울 또한 피보나치 나선형을 잘 표현하고 있다 .

시계방향으로 8 개의 나선이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 대각선 방향으로 천천히 가고 , 시계반대방향으로 13 개의 나선이 오른쪽 아래에서 왼쪽 위로 대각선 방향으로 보다 급하게 가로질러 가고있다 .

라 . 식물의 가지

어떤 식물은 생장점의 수에서 피보나치 수가 나타난다 . 식물이 새로운 가지를 뻗을 때 , 그 가지는 두 달을 자라야 분지를 지탱할 만큼 충분히 가해진다고 가정하자 . 그 후로는 매달 생장점에서 가지를 뻗는다고 하면 , 다음에서 보여지는 것과 같은 그림을 얻게 된다 .

예술속의 피보나치 수열가 . 황금나선 구조

< 황금사각형 속의 황금사각형 >

< 황금 나선 구조 >

이 특유한 나선을 이루는 정사각형의 변의 길이가 피보나치 수열을 이룬다 . 이것이 등각 나선 이라고 불리는 이유는 그 선의 중심으로부터 나온 반지름은 이 나선을 똑같은 각도로 자르기 때문이다 .

등각 나선의 가장 선명하고 가장 아름다운 예는 앵무조개의 껍질이다 .

나 . 황금분할된 황금사각형 넓이 구하기

황금분할된 황금사각형의 넓이는 정사각형에서 사용된 가장 큰 피보나치 수와 그 다음 피보나치 수의 곱이 된다 .

황금분할된 황금사각형 황금사각형의 넓이

참 고 문 헌 자 료

• 김상숙 , 『피보나치 수열에 대하여』 , 경북대학교

교육대학원 석사학위 논문 , 1999

• 김용운 , 김용국 『수학사대전』우성 ,1996

• 오승재 , 『수학의 천재들 』

이것으로 이것으로 FibonacciFibonacci 에 대해서에 대해서발표를 마치겠습니다발표를 마치겠습니다 ..

감 사 합 니 다감 사 합 니 다 . *^,~*. *^,~*