Prof. dr Esad Jakupović

1. Matematička srazmjernost (razmjere i proporcije)

Upoređivanje veličina je često osnovna i nužna prijetpostavka uspješne mrimjene metodakvantitativne analize. Upoređivati se mogu: neimenovani brojevi, istoimene veličine, raznoimene veličine i uopšte osobine koje se mogu izraziti brojem. Imenovane veličine se upoređuju tako što se stave u odnos neimenovani brojevi (brojni izrazi) koji prijedstavljaju količine upoređivanih veličina.

a)Odnos neimenovanih veličina 

Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 za 80 veći od broja 20, a da je 20 za 80 manji od broja 100.Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 za 80 veći od broja 20, a da je 20 za 80 manji od broja 100.

1. 100 20 80 20 100 80

2. 100 : 20 5 20 :100 1/ 5

Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 pet puta veći od broja 20, odnosno da je broj 20 petina broja 100.

b) Odnosi istoimenih veličina

Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km za 80 km veća od razdaljine koja iznosi 20 km.

Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km 5 puta veća od razdaljine koja iznosi 20 km.U geometrijskoj razmjeri a:b=q, a i b su članovi razmjere, q je oznaka za količnik ili vrijednost razmjera. Ako je |q| > 1 onda je |a| |q| puta veća od |b|;Ako je |q| < 1 i q 0 onda je |a| 1/|q|-ti dio od |b|;Ako je q =1 onda je a=b.

Ovi odnosi pokazuju da je broj 6 tri puta veći od broja dva, a broj 2 je trećina broja 6 (2 puta 1/(1/3) = 3-ći dio broja 6 ).

 

1. 100 km - 20 km = 80 km

2. 100 km : 20 km = 5

6 : 2 3 2 : 6 1/ 3

Pošto su ekonomske veličine uglavnom pozitivne, može se zaključiti da geometrijski odnos (razmjera) dva pozitivna broja, izražen njihovim količnikom q, pokazuje koliko puta je prvi veći od drugog je (q>l), odnosno koji dio drugog je prvi (q<l) ili koliko jedinica prvog se odnosi na jeKMicu drugog člana broja.

Ako su članovi geometrijske razmjere brojevi ,onda se ona naziva produžna razmjera.Pošto u produžnim razmjerama nije (zagradama) definisan redosled deljenja, to one nemaju jednoznačno određenu vrijednost, već se vrijednost određuje po parovima, za bilo koja dva člana. Tako se može pisati:

Ako je ,onda brojevi , čine geometrijski niz.

Osobine geometrijske razmjere a:b=q:

ova osobina poznata je pod nazivom proširivanje razmjere odnosno skraćivanje razmjere

 

 

2 1 1 3 2 2 1 1: , : ,..., : n n na a q a a q a a q

1) (m a):b=m q;

2) a:(n b)=1/n q , n 0;

3) (m a):(n b)=m/n q , n 0

4) (k a):(k b)=q ,

Ova osobina se može prijeneti i na produžne razmjere, na sledeći način:Neka je data razmjera

Tvrdimo da je datoj razmjeri ekvivalentna razmjera:

Tvrdimo da je odnos članova ove razmjere isti kao odnos odgovarajućih članova date razmjere.Dokaz:

Prijema tome, ako u datoj razmjeri svaki član pomnožimo ili podelimo istim brojem, odnos bilo koja dva člana novodobijene razmjere će biti isti kao odnos odgovarajućih članova date razmjere.5) a : b = q <=> b : a = 1/q, pri čemu su q i 1/q međusobno recipročni brojevi.Složena razmjera je rezultat umnoška odgovarajućih članova više prostih ili više produžnih razmjera.

 

 

1 2 1: : ... : :n na a a a

2 1 1 3 2 2 1 1: , a : ,..., : . n n na a q a q a a q

1 2 1( ) : ( ) : ... : ( ) : ( ),n nka ka ka ka

2 1 1: , ka ka q2 1 2 1 1/ : ; ka ka a a q

3 2 2: ,ka ka q 1 1: . n n nka ka q

Neka su date proste razmjere:

Tada se od ovih razmjera dobije sledeća "složena" razmjera:

Istinitost ove tvrdnje možemo prikazati na sledeći način:

što je trebalo i pokazati.

Neka su sada date produžne razmjere

tada se od ovih razmjera dobije sledeća "složena" razmjera:

 

 

1 1 1 2 2 2: , : ,..., : , n n na b q a b q a b q

1 2 1 2 1 2( ... ) : ( ,... ) ... n n na a a b b b q q q 11 1 1

:

n n n

j jj j j

a b q

1 2 n1 2

1 2

a a , ,..., . n

n

aq q q

b b b1 2

1 21 2

......

...

n

nn

a a aq q q

b b b

1 2 1 2 1 2( ... ) : ( ... ) ... , n n na a a b b b q q q

1 1 1 2 2 2 n( : : ) , (a : : ),...,(a : : ),n na b c b c b c

1 2 1 2 1 2( ... ) : ( ... ) : ( ... ), n n na a a b b b c c c

odnosno

Za dokaz ove tvrdnje odredimo redosljed dijeljnja, a time i vrijednost svake razmjere.

Dakle, neka je:

Ove razmjere se mogu pisati i ovako:

Međusobnim množenjem ovih jednačina dobija se:

Razmjera na lijevoj strani ove jednakosti bez određivanja redosljeda djeljenja glasi:

 

1 1 1

: ; n n n

j j jj j j

a b c

1 1 1 1 2 2 2 2( : ) : , (a : ) : ,...,( : ) : . n n n na b c q b c q a b c q

1 2

1 21 2

1 2

a

, ,...,

n

nn

n

a a

b b bq q q

c c c

1 2

1 21 2

1 2

...

......

n

nn

n

a a a

b b bq q q

c c c

1 2

1 21 2

1 2

...

......

...

n

nn

n

a a a

b b bq q q

c c c

1 2 1 2 1 2(( ... ) : ( ... )) : ( ... ), n n na a a b b b c c c

što se željelo pokazati.

Slično se od produžnih razmjera:

1.2. Proporcije (srazmjere)

Proporcija je jednakost dvaju razmjera jednakih vrijednosti, tj.

Proporcija (1) je jednakost prostih razmjera pa se zato naziva prosta proporcija, koja se može prikazati i ovako a/x = b/y ~a/b = x/y~a∙y=b∙x

(2)

Ova transformacija ukazuje na egzistenciju značajne osobine prostih proporcija, koja glasi: "Proizvod spoljašnjih jednak je proizvodu unutrašnjih članova".

11 12 1

21 22 2

1 2

: : ... : ;

: : ... : ;

...

: : ... :

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

1 21 1 1

: : ... : m m m

i i jni i i

a a a

( : : ) : : (1) a x q b y q a x b y

 Ova činjenica omogućuje da se proporcija (1) po potrebi prikaže u sledećim oblicima

Osobina proporcija prikazana u (2) omogućuje da se jedan od članova proporcije izrazi u funkciji ostalih,npr.

Koristeći se osobinama razmjera i skupom mogućih oblika proporcije (3) zaključujemo da se proporcija ne mjenja (ne narušava kao jednakost) ako se jedan spoljašnji i jedan unutrašnji član ili svi članovi pomnože ili podjele istim brojem različitim od nule.Proporcija se ne mijenja ni onda kad se svi njeni članovi stepenuju ili korenuju istim brojem(eksponentom), tj.

 

Ako je data proporcija a : x = x: b onda se iz nje slijedi: x2 = a • b, odnosno

: : , x:a=y:b;

a:b=x:y , b:a=y:x;

x:y=a:b , y:x=b:a;

b:y=a:x , y:b=x:a.

a x b y

/ y b x a

: : / / / / : : n n n n n n n na b x y a b x y a b x y a b x y

: : : : nn n na b x y a b x y

x a b

što znači da je x geometrijska sreKMa brojeva a i b.

Prosta proporcija nastaje kao jednakost dve proste razmjere, dok produžna proporcija nastaje od tri i više prostih razmjera jednakih vrijednosti.

Neka su date sledeće razmjere: a:x = q; b:y = q; c:z = q

Iz ovih razmjera možemo dobiti redom: a=xq; b=yq; c=zq, a dalje dobijamo proporciju: a : b:c=(xq): (yq): (zq) odnosno, poslije skraćivanja razmjere na desnoj strani: a: b : c = x: y : z

Primjetimo da se prvi članovi datih razmjera odnose međusobno kao i drugi članovi međusobno. Iz proporcije (5) se, u svrhu rješavanja praktičnih problema, lako mogu formirati sledeće proste proporcije:

međusobno ekvivalentne, to možemo zaključiti da je proširivanje i skraćivanje proporcije moguće izvršiti i tako što se odgovarajući članovi na lijevoj i desnoj strani pomnože odnosno podjele istim brojem. Npr. u proporciji: 6:16: 18 = 15:40:45.

podijelimo prve članove razmjera sa 3, a druge sa 4, pa ćemo dobiti: 2:4:18 = 5:10:45

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

: : ... : : : ... : , i

: ;...; : : ... :

n n

n n n n

a a a x x x

k a k a k a k x k x k x

Naprijed smo rekli da se iz jedne produžne lako formira više prostih proporcija. Međutim, javlja se i potreba da se od više prostih formira jedna produžna proporcija. Ovaj postupak ćemo pokazati na konkretnom primjeru.

Date su proste proporcije: a:b = 1:3; b:c = 4:7; c:d = 9:14. Od datih proporcija formirati jednu produžnu.

(a:b) = 1:3 (1')(b:c) = 4:7 (2')(c:d) = 9:14 (3')

 Iz (1') slijedi: b = 3a (4')Zamjenom (4') u (2') dobije se:c = 21a/4 (5')Zamjenom (5') u (3') dobije se:d = 49a/6 (6')Sad se može pisati:

 a:b:c:d = a:3a:21a/4:49a/6.

 Ako svaki član razmjere na desnoj strani ove proporcije pomnožimo sa 12/a dobijemo traženu proporciju: a:b:c:d = 12:36:63:98 

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

Problem se može riješiti na isti način, s tim da se u startu uzme da je npr. a = x ili a = 1. Problem se može riješiti i ovako:Date proporcije transformišemo u oblik u kome će prvi član svake razmjere nove proporcije biti jednak drugom prijedhodne, tj. biće:

a:b = 1:3b:c = 3:21/4c:d = 21/4:49/6

 Nije teško dokazati da sada važi:

a:b:c:d = 1:3:21/4:49/6 Množenjem svakog člana razmjere na desnoj strani ove proporcije sa 12 dobije se:

a:b:c:d = 12:36:63:98 Na kraju pokažimo još jedan mogući način rješavanja ovakvih problema, svođenjem razmjena jedne strane proporcije na istu „ vrijednost „ Iz (1') slijedi:

a:2 = b:3 (1'') Formiranjem složene proporcije od (1') i (2') dobijamo:

a:c = 4:2 ~ a:1 = c:21/4 (2'')

 

Formiranjem složene proporcije od (2'') i (3') dobijamo:a:d = 36:294 ~ a:1 = d:49/6 (3'')

 Na osnovu (1''), (2'') i (3'') zaključujemo da važi:

a:1 = b:3 = c:21/4 = d:49/6 ,  odnosno

a:b:c:d = 1:3:21/4:49/6 odnosno

a:b:c:d = 12:36:63:98Za rješavanje problema praktične prirode, posebno problema privredne prakse, od izuzetnog značaja je vrsta transformacija prostih i produžnih proporcija koja rezultira u tzv. izvedenim proporcijama. Neka je data proporcija:

a:b = x:y ~ a/b = x/y. Ako se u ovoj jednakosti lijevoj i desnoj strani doda broj 1, dobije se: 

Pošto je a/b = x/y ~ b/a = y/x prikazanim postupkom se može dobiti: 

 

/

1 1/

(1 / ) 1

(1 / ) 1

k s

k s

p mO B

p m

(b+a):(x+y) = a:x (**) Upoređivanjem proporcija (*) i (**) zaključujemo da, ako je data prosta proporcija:  a:b = x:y,onda važi i sledeće:

 Neka je sada data produžna proporcija: 

a:b:c = x:y:z Iz ove proporcije se dobiju proporcije  Upoređivanjem ove dvije poslednje proporcije zaključujemo da važi:  (a+b):(x+y) = c:z,odnosno:

(a+b):c = (x+z):z. Dalje slijedi:

(a+b+c):(x+y+z) = c:z, A pošto je c:z = b:y = a:x to će važiti:

 

:( ) : ( )

:

a xa b x y

b y

:

( ) : :

:

a x

a b c x y z b y

c z

1 2 1 2: : ... : : : ... : ,n na a a x x x

1 1

: : ; 1,2,...,

n n

j j j jj j

a x a x j n

1 2: : ... : ,nx x x

1 2 1 2: : ... : : : ... .n na a a x x x

Ovoj proporciji odgovaraju izvedene proporcije oblika:

 

Pošto je prijema prijetpostavci to će biti:

Odnosno

je relativni broj i pokazuje koji dio cjeline C se odnosi na , pri čemu je

Za proporciju: a:b:c:d = 12:36:63:98 možemo formirati izvedene proporcije

 

1 1

: : ; 1,2,...,

n n

j j j jj j

a x a x j n

1

,

n

jj

a C1

: : ,

n

j j jj

C x a x

1

: : ,

n

j j jj

C x a x

1

; 1,2,...,

j

j jn

jj

xa C k C j n

x

1

1 100%

n

jj

k

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

  Ako je a+b+c+d = C, onda je

1.3. Proporcionalnost promenljivih veličina

Kaže se da su dve veličine proporcionalne ako povećanje jedne ima za poslijedicu povećanje ili smanjenje druge u istom odnosu (istim intenzitetom). Ako povećanje jedne ima za poslijedicu povećanje druge veličine, onda je rječ o direktnoj srazmjeri (upravo proporcionalnom odnesu) posmatranih veličina Posmatrajmo npr. odnos proizvodnje i produktivnosti rada:Neka je x oznaka za produktivnost za 1 sat (promenljiva veličina), zatim neka je k oznaka za broj sati rada (konstantna veličina) i neka je y oznaka za ukupno proizvedenu količinu za vreme od k sati, uz produktivnost x (promjenljiva veličina). Odnos proizvedene kokličine i produktivnosti se može prikazati ovako:

: 12

: 36( ) : 209

: 63

: 98

a

ba b c d

c

d

125,74% ;

20936

17,23% ;20963

30,14% ;20998

46,89%209

a C C

b C C

c C C

d C C

y = kx~y/x = k~y:k = x:1 Ako je npr. k=5, onda: za x=2 bude y=10; za x=3 bude y=15; za x=4 bude y=20; itd.Primjetimo da je odnos proizvedene količine u vremenu k i produktivnosti za 1 sat konstanta i iznosi k (10/2=15/3=20/4=5). Dakle, veća produktivnost ima za posljedicu veću proizvodnju u posmatranom konstantnom vremenskom intervalu. Sličan je odnos prijeđenog puta od y km u vremenu od k sati brzinom od x km/h, tj.

y:kx~y/x=k. Dakle, sto je veća brzina x, to se za isto vrjeme k može prijeći put veće duzine y. Sličan je i odnos vrjednosti kupljene robe (u KM.) i kupljene količine robe (u kg ) , uz konstantnu cijenu od

k KM/kg, jer važi:y = kx-y/k = k.

 Inače, jednačina y=kx se obično naziva funkcija direktne proporcionalnosti (specijalni slučaj linearne funkcije). Ako povećanje jedne ima za poslijedicu smanjenje druge veličine, onda je rječ o indirektnoj srazmjeri (obrnuto proporcionalnom odnosu) posmatranih veličina. Posmatrajmo npr. odnos vremena y (promjenljiva veličina) potrebnog da se proizvede konstantna količina robe od k jedinica uz produktivnost od x jedinica proizvoda za jeKMicu vremena. Ovaj odnos možemo prikazati ovako: y = k/x~yx = k~y:k=1 :x

Ovo je slučaj tzv. funkcije indirektne proporcionalnosti (tačka 3.5.6.)Ako je npr. k=120 (kom.), onda:

za x = 2 (kom./sat) dobijemo y = 60 (sati); za x = 3 (komVsat) dobijemo y = 40 (sati); za x = 8 (kom./sat) dobijemo y = 15 (sati); itd.

 Primjetimo da je proizvod produktivnosti rada i vremena rada konstantan i jednak ukupno proizvedenoj količini robe, tj. 2 • 60 = 3 • 40 = 8 • 15 = 120. Dakle, većom produktivnošću će se količina robe k proizvesti za manje vremena. Sličan je odnos vremena y potrebnog da bi se priješao određeni put k (konst.) brzinom x, jer što je veća brzina to će se put određene (konstantne) dužine k prijeći za manje vremena.Sličan je i odnos kupljene količine robe "y" u okviru određene ukupno plaćene vrjednosti robe k (konst.) po cjeni x, jer što je veća cjena to će se za određeni (konstantan) iznos novca dobiti manja količina iste robe.Ako su x1,x2,... xn, veličine koje se mogu mjenjati nezavisno jedna od druge i ako veličina z zavisi od njih tako da je količnik veličine z i proizvoda veličine xi,xz,...,xn, konstantan i iznosi k, onda se kaže da je z direktno srazmjerna (upravo proporcionalna) za x1,x2,...,xn, tj. važi:

Ako je z indirektno srazmjeran veličinama , onda važi:

1 21 2

, ,...,...

n

n

zk z k x x x

x x x

1 21 2

, ,...,...

m

n

kz y y y k z

y y y

Ako je z upravo proporcionalna veličina sa , a obrnuto proporcionalna sa veličinama,, onda se taj odnos može prikazati ovako:

1.4. Pravilo trojno i verižni račun, kao tehnike primjene proporcionalnosti i jednakosti

Ako smo suočeni sa problemima za čije rješavanje je potrebno i moguće postaviti jednu ili više proporcija onda se postavka problema može šemarizovati u svrhu lakšeg i jednostavnijeg rada. Pravilo trojno i verižni račun su odavno poznate tehnike takve vrste. Iako relativno stare tehnika smatramo da ih, zbog moguće upotrebljivosti, ne treba zanemariti.Pravilo trojno (ili trojno pravilo) ima takav naziv zbog činjenice da u proporciji možemo izračunati vrjednost jedne nepoznate, ako su prijeostale tri poznate. Ako se upoređuju dve veličine, tj. ako je za rješavanje problema potrebno postaviti jednu prostu proporciju, onda je riječ o prostom trojnom pravilu, a ako se upoređuje više veličina sa više proporcija onda je riječ o složenom trojnom pravilu.

.Ako smo za 15 kg robe platili 3000 KM koliko kg možemo dobiti za 13200 KM ?

 

1 2 1 2

1 2 1 2

... ...

... ...

m n

n m

y y y x x xk z k

x x x y y y

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

Rješenje:  x:15=13200:3000x=15(13200/3000=13200/200=66

 Odgovor: Za 13200 KM se može dobiti 66 kg iste robeStrelice su istog smjera , jer je riječ o direktnoj proporcionalnosti.Naime, bez obzira na konkretne veličine, rezonujemo ovako:više kg treba više platiti. Može se postaviti i ova proporcija: x: 13.200 = 15 : 3.000 => x = 66Ova proporcija se može napisati i ovako:

3.000 : 15 = 13.200 : x, pri čemu je 3.000 : 15 = 200 cjena po kg, a toliko mora biti i desna strana, tj. mora biti 13.200 :x = 200. 2.Kojom brzinom se neki put može prijeći za 3 sata ako se isti put prijeđe za 2 sata brzinom od 60 km/sat?Rješenje:

x: 60 = 2 : 3 => x = (60 • 2)/3 = 40 Odgovor: Pomenuti put se za 3 sata može prijeći brzinom od 40 km/sat.Strelice su suprotnog smjera, jer je riječ o indirektnoj proporcionalnosti. Naime, bez obzira na konkretne veličine, rezonujemo ovako: većm brzinom se isti put može prijeći za manje vremena. S obzirom na prirodu problema može se postaviti i ovakva proporcija:

x: 1/3 = 60 :1/2 ~ 3x = 60 ∙ 2 ~ x = 40

 

10 r 210 d. 8 s 8 mil. KM

15 r 200 d. 7 s mil. KM

x

8 7 200 1510

8 210 10

x

10 r 210 d. 8 s 8 mil. KM

x r 200 d. 7 s 10 mil. KM

10 210 8 1015

200 7 8

x

Verižni račun je šematski oblik prikazivanja i rješavanja nepoznate u linearnoj jednačini koja je rezultanta (proizvod) više uslovno vezanih jednakosti.Koristi se u slučajevima direktne srazmjernosti , a uz poštovanje sledećih pravila:Prvi red verižnog računa počinje pitanjem (nepoznatom);Svaki novi red počinje istoimenom veličinom kojom je prijethodni završen;Verižni račun se zaključuje istoimenom veličinom kojom je započet.Rezultat (vrijednost nepoznate) se izračunava kao količnik proizvoda svih neimenovanih brojeva na desnoj strani i proizvoda poznatih neimenovanih brojeva na levoj strani.Ako raspolažemo sa dve jednakosti (dva para podataka) onda koristimo tzv. prost verižni račun, a ako raspolažemo sa tri i više parova podataka, onda koristimo tzv. složeni verižni račun.

Ako nabavljamo robu A po cijeni od 80 c. za 1 alb (1 američka libra = 453,6 grama). Prodajući Evre (EUR) po kursu 1 USD (američki dolar) = 1,1 EUR izračunati koliko KM će nas koštati 50 kg robe A Primjer ako smo Evre kupovali po kursu 1 EUR = 60 KM.

x KM 50 kg1kg 1000 g453,6 g 1 alb1 alb 80 c (centi)100 c 1 USD1 USD 1,1 EUR

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

1 EUR 60 KMXkm 50 kg0,4536 0,8 USD1 1,1 EUR100 60 KM

Jasno je da se prije izračunavanja konačne vrjednosti za x mogu izvršiti skraćivanja i da se jedinice ne moraju pisati.

50 1000 1 80 1,1 605820,11

1 453,6 1 100 1 1

x