npernperrate)rate)(1(1npernperraterateII +=

npernperraterateII

11npernperraterateIIII =

∑

=

npernper

11iiiiraterateIIII

npernper

raterate

nperrate)(1nperrateI +=

01 =+−+⋅⋅+⋅++⋅ fvrate

nperrate1typerate1pmtnperrate)(1pv )()(

PREDGOVOR ..................................................................................................................... 6 FINANSIJSKE FUNKCIJE-osnovno značenje ............................................................... 7 FV ......................................................................................................................................... 8 PV ......................................................................................................................................... 12 NPV ...................................................................................................................................... 17 NPER .................................................................................................................................... 18 RATE ................................................................................................................................... 21 EFFECT ............................................................................................................................... 24 NOMINAL ........................................................................................................................... 26 PMT ...................................................................................................................................... 28 IPMT .................................................................................................................................... 31 PPMT ................................................................................................................................... 33 CUMIPMT............................................................................................................................ 36 CUMPRINC ......................................................................................................................... 38 1. PROSTA I SLOŽENA KAMATA .............................................................................. 40 DEKURZIVNI OBRAČUN KAMATA ........................................................................... 42 2. RAČUN JEDNOG ULOGA ........................................................................................ 42

2.1. Konačna vrijednost kapitala ili jednog uloga ................................................ 42 2.2. Izračunavanje sadašnje vrijednosti uloga ..................................................... 52 2.3. Izračunavanje vremena ukamaćenja ............................................................. 58 2.4. Izračunavanje kamatne stope ......................................................................... 62 2.5. Izračunavanje složenih kamata ...................................................................... 66 2.6. Relativna i konformna stopa ........................................................................... 70 2.7. Srednji rok ........................................................................................................ 75 2.8. Srednja kamatna stopa .................................................................................... 78 2.9. Primjena dekurzivnog i diskontnog faktora u procentnom i

prostom kamatnom računu ............................................................................. 79 3. RAČUN VIŠE ULOGA ............................................................................................... 81

3.1. Konačna vrijednost uloga ................................................................................ 81 3.1.1. Jednaki ulozi - periodi ulaganja i obračuna kamate isti ................... 81

3.1.1.1. Ulaganje anticipativno ............................................................. 81 3.1.1.2. Ulaganje dekurzivno ................................................................ 84 3.1.1.3. Odloženi ulog ........................................................................... 86

3.1.2. Jednaki ulozi - ulaganje češće od obračunavanja kamate ................ 82 3.1.3. Jednaki ulozi - ulaganje rjeđe od obračunavanja kamate ................ 92 3.1.4. Iznosi uloga predstavljaju aritmetičku progresiju ............................ 95 3.1.5. Iznosi uloga predstavljaju geometrijsku progresiju .......................... 97

3.1.5.1. Stopa rasta uloga i kamatna stopa jednake ........................... 99 3.2. Izračunavanje uloga ..........................................................................................100

3.2.1. Izračunavanje visine anticipativnog uloga koji se polaže kroz nper termina .................................................................................100

3.2.2. Izračunavanje visine dekurzivnog uloga koji se polaže kroz nper termina .................................................................................101

3.3. Izračunavanje vremena ulaganja ....................................................................105 3.3.1 Izračunavanje broja ulaganja kada se ulaganje vrši

početkom perioda - anticipativni ulog ................................................105 3.3.2 Izračunavanje broja ulaganja kada se ulaganje vrši

krajem perioda - dekurzivni ulog .......................................................106 3.4. Izračunavanje kamatne stope ..........................................................................109

3.4.1. Izračunavanje kamatne stope kada se ulaganje vrši početkom perioda - anticipativno ulaganje ........................................109

3.4.2. Izračunavanje kamatne stope kada se ulaganje vrši krajem perioda - dekurzivno ulaganje ...............................................112

3.5. Izračunavanje složenih kamata .......................................................................115 3.5.1. Izračunavanje složenih kamata anticipativnog uloga .......................115 3.5.2. Izračunavanje složenih kamata dekurzivnog uloga ..........................116 3.5.3. Izračunavanje složenih kamata odloženog uloga ...............................117

4. RAČUN RENTE ...........................................................................................................119 4.1. Iznos uplate (mize) za periodične isplate (rente) ............................................119

4.1.1. Jednake rente - periodi isplata i obračuna kamata isti .....................119 4.1.1.1 . Miza za dekurzivnu rentu .......................................................119 4.1.1.2 . Miza za anticipativnu rentu ...................................................122 4.1.1.3 . Miza za odloženu rentu ..........................................................123

4.1.2. Jednake rente - primanje češće od obračunavanja kamate ..............126 4.1.3. Jednake rente - primanje rjeđe od obračunavanja kamate...............127 4.1.4. Isplate predstavljaju aritmetičku progresiju .....................................128 4.1.5. Isplate predstavljaju geometrijsku progresiju....................................131

4.1.5.1. Stopa rasta isplata i kamatna stopa jednake .........................134 4.2. Izračunavanje iznosa rente ..............................................................................135 4.3. Izračunavanje broja renti i kamatne stope ....................................................140

4.3.1. Izračunavanje broja renti kada se primanje rente vrši krajem perioda - dekurzivna renta ....................................................140

4.3.2. Izračunavanje broja renti kada se primanje rente vrši početkom perioda - anticipativna renta .............................................141

4.3.3. Izračunavanje kamatne stope kada se primanje rente vrši krajem perioda - dekurzivna renta ....................................................144

4.3.4. Izračunavanje kamatne stope kada se primanje rente vrši početkom perioda - anticipativna renta .............................................146

4.4. Iznos kamata ......................................................................................................148 4.5. Vječita renta ......................................................................................................150

5. KOMBINOVANI ZADACI .........................................................................................151 6. AMOTIZACIJA ZAJMA ...........................................................................................154

6.1. Amortizacija zajma sa primarno datim otplatama .......................................154 6.1.1. Jednake otplate, anuitetski i obračunski periodi jednaki ..................154 6.1.2. Jednake otplate, kamata se obračunava češće a efektivno

plaća sa otplatama ................................................................................155 6.1.3. Otplate rastu (opadaju) po aritmetičkoj progresiji ............................156 6.1.4. Otplate rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji .........................157 6.1.5. Kamatna stopa promjenljiva, otplate jednake ...................................159

6.2. Amortizacija zajma sa primarno datim anuitetima ......................................160 6.2.1. Jednaki anuiteti, anuiteti se plaćaju dekurzivno ................................160

6.2.1.1 . Izračunavanje otplata..............................................................166 6.2.1.2 . Izračunavanje otplaćenog duga..............................................169 6.2.1.3 . Izračunavanje ostatka duga....................................................171 6.2.1.4 . Otplaćeni dug pomoću anuiteta..............................................171

6.2.2. Jednaki anuiteti, anuiteti se plaćaju anticipativno .............................174 6.2.3. Zajmovi sa zaokruženim anuitetima ...................................................176

6.2.3.1. Izrada otplatnog plana .............................................................176 6.2.3.2. Izračunavanje ostatka duga ....................................................178

6.2.4. Anuiteti konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj progresiji ......183 6.2.5. Anuiteti konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji .....185

6.2.5.1. Dekurzivni kamatni faktor i količnik nisu jednaki ...............185 6.2.6. Polugodišnji naizmenično jednaki anuiteti sa polugodišnjim

obračunavanjem kamate ........................................................................188 6.2.6.1. Zajam se amortizuje sa 2n polugodišnjih

naizmenično jednakih anuiteta............................................188 6.2.6.2. Zajam se amortizuje sa 2n+1 polugodišnjih

naizmenično jednakih anuiteta...........................................190 6.2.6.3. Ostatak duga kada se zajam amortizuje sa 2n i 2n+1

naizmenično jednakih polugodišnjih anuiteta ...................191 6.2.7. Jednaki anuiteti, anuitetski period kraći od perioda efektivnog

plaćanja kamate ......................................................................................192 6.2.8. Jednaki anuiteti, obračunski period kraći od otplatnog.....................194 6.2.9. Jednaki anuiteti, kamatna stopa promjenljiva ...................................196

7. KONVERZIJA ZAJMA................................................................................................197 8. ZAJMOVI PODIJELJENI NA OBVEZNICE ...........................................................201

8.1. Izračunavanje broja obveznica i izrada otplatnog plana...............................201 ANTICIPATIVNI OBRAČUN KAMATA.......................................................................206 9. OPŠTI POJAM ANTICIPATIVNOG RAČUNANJA KAMATA............................206 10. ELEMENTI RAČUNA VEZANOG ZA JEDAN ULOG..........................................209

10.1. Konačna vrijednost............................................................................................209 10.2. Početna vrijednost .............................................................................................212 10.3. Izračunavanje vremena ukamaćenja i kamatne stope ...................................215

11. RAČUN ULOGA ..........................................................................................................217 12. PERIODIČNE ISPLATE (račun rente) ......................................................................219 13. ZAJMOVI UZ ANTICIPATIVNO UKAMAĆENJE.................................................222

13.1. Konstantno jednaki anuiteti...............................................................................222 13.1.1. Anuitetu se plaćaju na kraju perioda................................................222

13.1.1.1. Izrada otplatnog plana .........................................................223 13.1.1.2. Otplaćeni iznos duga ............................................................225 13.1.1.3. Izračunavanje ostatka duga.................................................226

13.1.2. Izračunavanje anuiteta koji se plaćaju na početku perioda ............228 13.2. Zaokruženi anuiteti .............................................................................................229

14. MJEŠOVITI ZADACI ..................................................................................................231 15. TABLICE SLOŽENOG INTERESA...........................................................................245 16. LITERATURA...............................................................................................................264

Ideja o pisanju knjige Finansijska matematika kroz prizmu finansijskih funkcija u Excel-u nastala je u toku pisanja knjige Finansijske funkcije u Excelu kroz primjere. Posredstvom 12 funkcija iz seta od 53 finansijske funkcije koje su sadržane u funkcijskoj kategoriji Financial, u proračunskoj tablici Excel, obrađena su sva bitna poglavlja finansijske matematike. Obrađena su iz ugla funkcija buduće i sadašnje vrijednosti, neto sadašnje vrijednosti, broja perioda, kamatne stope, efektivne stope, konformne stope, anuiteta, otplate, kamate, zbirne kamate i zbirne otplate. Kod pojedinačnih opisa korištenih funkcija navedena su pravila kojih se treba pridržavati, te odgovarajuće relacije između pojedinih sintaksi i algebarskih izraza. Naravno, sve funkcije imaju istu osnovnu strukturu: FUNCTION(argument1; argument2; …); započinju imenom funkcije, iza koje slijedi lista

argumenata razdvojenih separatorom tačka-zarez (;) koji su obuhvaćeni zagradom. Argumenti predstavljaju ulazne vrijednosti funkcije koje se koriste kod izračunavanja i njihovo značenje je dato kod konkretnog opisa svake od 12 korištenih funkcija. Tip saparatora (;) ili (,) za razdvajanje argumenata funkcije zavisi od podešenosti operativnog sistema. U ovoj knjizi kod opisa svih funkcija, korišten je separator tačka-zarez (;). U toku rada jednostavne funkcije brzo se zapamte i direktno koriste, a za one koje se rjeđe koriste poželjno je koristiti Paste Function, odnosno Savjetnik za funkcije (Function Wizard) u verziji Excel 5.0 uz čiju pomoć je moguće iz popisa raspoloživih funkcija odabrati odgovarajuću funkciju. U popisu Function Category potrebno je odabrati funkcijsku kategoriju Financial. U popisu Function name, potrebno je odabrati željenu funkciju. Nakon upisanih odgovarajućih vrijednosti, Excel će dobijeni rezultat dodijeliti aktivnoj ćeliji. U ovoj knjizi, prilikom izbora primjera i zadataka želja je bila da se kroz rješavanje karakterističnih problema prikažu jednostavnost korištenja i snaga izračunavanja ugrađenih funkcija. Knjiga može poslužiti učenicima srednjih ekonomskih škola, studentima ekonomskih fakulteta, te svima onima koji se na bilo koji način bave raznim finansijskim računanjima, koji su radeći u proračunskoj tablici već savladali neka osnovna znanja te ih žele upotpuniti i proširiti. Svjestan da su pri izradi ovakvog praktikuma neizbježni i izvjesni nedostaci unaprijed se zahvaljujem svima onima koji će dati svoj doprinos u njihovom otklanjanju. Harun Kuč

6

7

Izračunava konačnu ili buduću vrijednost kapitala, koja predstavlja vrijednost jednog uloga zajedno sa složenim kamatama poslije izvjesnog broja termina; izračunava konačnu vrijednost više jednakih uloga koji se polažu početkom ili krajem perioda i koji se baziraju na konstantnoj kamatnoj stopi kroz izvjestan broj termina. Koristi se i kod izračunavanja: • faktora akumulacije, odnosno I tablice pri dekurzivnom i anticipativnom ukamaćenju • faktora dodatnih uloga pri dekurzivnom i anticipativnom računanju složenog interesa gdje

se uplate ili isplate pojavljuju na početku ili na kraju perioda- III tablice • odloženih uloga • u kombinovanim zadacima • otplata kod otplatnih zajmova sa jednakim anuitetima • ostatka duga • zajmova podijeljenih na obveznice i tako dalje Sintaksa FV(rate; nper; pmt; pv; type)

Rate je kamatna stopa po periodu ukamaćenja. Nper je ukupni broj perioda. Pmt je vrijednost uloga ili otplatne rate u svakom periodu. Pv je sadašnja vrijednost, ili sadašnja ukupna vrijednost niza budućih novčanih iznosa. Ako je pv ispušten, pretpostavlja se da je 0. Type je broj 0 ili 1 koji pokazuje kada je dospijeće plaćanja. Ako je ispušten, pretpostavlja se da je 0.

Napomene • Pri korištenju jedinica, kojima se navode vrijednosti za rate i nper treba biti dosljedan.

Ako se radi o mjesečnim anuitetima za četverogodišnji zajam, s godišnjom kamatnom stopom od 12 %, za kamatnu stopu treba koristiti 12%/12, a za nper 4*12. Ako se radi o godišnjim anuitetima za isti zajam, argument rate je 12 %, a nper 4.

• Za sve argumente, novčani iznos koji se uplaćuje, predstavlja se negativnim brojem; novčani iznos koji se prima, predstavlja se pozitivnim brojem.

• Funkcija FV(rate;nper;pmt;pv;type) izračunava vrijednost argumenta fv prema izrazu:

8

Mogućnosti funkcije FV ćemo predstaviti kroz primjere, počev od računanja prostih kamata pa do računanja vrijednosti koje pripadaju prvoj tablici, računanja konačne vrijednosti jednog uloga, složenih kamata, vrijednosti koje predstavljaju elemente treće tablice, sume kanačnih vrijednosti svih uloga u računu više uloga i tako dalje. Izračunavanje prostih ili jednostavnih kamata uz posredstvo funkcije FV pokazat ćemo na sljedećem primjeru. Na koju će vrijednost narasti 5.000 NJ uz 10 % godišnju kamatnu stopu, nakon: a) 89 dana, b) 7 mjeseci, c) 5 godina, d) 5 godina, 9 mjeseci i 29 dana?

Do ovih rezultata smo došli uz pomoć funkcije FV prema nešto drugačijoj sintaksi u odnosu na standardne forme ove funkcije, odnosno prema izrazima:

)grate1(pv)pv;;1;grate(

)12mrate1(pv)pv;;1;

12mrate(

360drate1(pv)pv;;1;

360drate(

⋅+⋅−=⋅

⋅+⋅−=⋅

⋅+⋅−=⋅FV )

FV

FV

Izračunavanje dekurzivnog kamatnog faktora r, funkcija FV vrši prema formi:

Izračunavanje konačne vrijednosti jednog uloga, funkcija FV računa prema sljedećoj sintaksi, odnosno izrazu:

Pretpostavimo da treba izračunati konačnu vrijednost uloga od 5.000 NJ, uz kamatnu stopu 10 % godišnje i period od 5 godina. Do rezultata dolazimo posredstvom funkcije FV prema sintaksi:

9

Izraz za izračunavanje konačne vrijednosti jednog uloga, za specijalan slučaj kada je argument pv = -1, odgovara prvoj tablici, odnosno:

U računu više uloga funkcija FV se koristi za iznalaženje sume konačnih vrijednosti svih uloga prema sintaksi, odnosno algebarskom izrazu:

Izraz za dekuzivni ulog je određen vrijednošću argumenta type=0:

Izraz za anticipativni ulog je određen vrijednošću argumenta type=1:

Specijalan slučaj anticipativnog uloga, kada je ulog jednak jedinici, odgovara trećoj tablici:

Kada dekurzivni ulog ima vrijednost jedan, tada imamo sljedeću relaciju između sintakse i tablične vrijednosti:

Opšta formula za izračunavanje buduće vrijednosti, koja povezuje prosti kamatni račun, račun jednog i račun više uloga, glasi:

Kako radi ova formula, vidimo na sljedećem primjeru. U nekoj šumi u kojoj se krajem svake godine posijekla ista količina drva od 569,30 m3 bilo je prije 16 godina 25.000 m3. Koliko ima danas drva ako je godišnji prirast šume 3,25 %? Rezultat: FV(3,25%;16;569,3;-25000) = 30.000 m3. Kako je buduća vrijednost veća od sadašnje vrijednosti, to nam govori da je godišnji prirast šume od 3,25 % veći od posječene količine drva u toku jedne godine u iznosu od 569,30 m3. Takođe treba naglasiti da se funkcija FV koristi i kod izračunavanja anticipativnog ukamaćenja. Način na koji to radi funkcija FV, sastoji se u tome da se poznata anticipativna stopa q (izražena u procentima) pretvori u odgovarajuću dekurzivnu kamatnu stopu prema relaciji koja povezuje ove dvije stope, odnosno:

10

Primjer 2. Po koliko NJ treba ulagati kroz 8 godina početkom svako pola godine uz 8 % godišnje dekurzivno ako želimo da na kraju osme godine imamo 56.743,78 NJ i ako se vrši polugodišnje kapitaliziranje? Rješenje Potrebno je ulagati iznos od 2.500 NJ (slika 2.).

Slika 2. 3.2.2.Izračunavanje visine dekurzivnog uloga koji se polaže kroz nper termina Za slučaj konačne vrijednosti dekurzivnog uloga, type je jednako 0, pa izraz postaje:

Ovaj izraz se koristi za traženje vrijednosti uloga pmt koji se polaže krajem perioda ili početkom perioda a konačna vrijednost predstavlja stanje u trenutku posljednjeg uloga. Pogledajmo to kroz primjere. Primjer 1. Koliko bi trebalo ulagati krajem svake godine uz 5,5 % kamata da bismo na kraju 10-te godine primili 77.252,12 NJ pri godišnjem kapitaliziranju? Rješenje: 6.000 NJ (slika 3.).

Slika 3. Primjer 2. Po koliko treba ulagati početkom svako pola godine u toku 15 godina u banku koja plaća 9 % kamata godišnje dekurzivno,ako u momentu posljednjeg uloga raspolažemo sa 120.000 NJ a kapitaliziranje je semestralno?

101

Rješenje Početkom svako pola godine u toku 15 godina treba ulagati po 1.966,99 NJ pa da u momentu posljednjeg uloga raspolažemo sa 120.000 NJ (slika 4.).

Slika 4. ZADACI ZA VJEŽBU Zadatak 1. Koliko treba ulagati početkom svake godine kroz 15 godina uz 6 % godišnje dekurzivno, pa da jednu godinu iza posljednjeg uloga imamo 74.017,58 NJ pri godišnjem kapitaliziranju? Odgovor

Zadatak 2. Neko želi da ima na štednoj knjižici poslije 15 godina 20.000 NJ. Koliko bi morao ulagati početkom, a koliko krajem svake godine, ako je kamatna stopa 6 % i godišnje kapitaliziranje? Odgovor

Zadatak 3.

102

Koliko treba ulagati početkom svako pola godine kroz 5 godina uz 8 % kamata godišnje dekurzivno i polugodišnje kapitaliziranje, ako želimo da u momentu posljednjeg uloga imamo 7.203,66 NJ? Odgovor

Zadatak 4. Koliko bi NJ trebalo ulagati na početku svake godine, kroz 8 godina ako želimo da na kraju osme godine imamo 50.000 NJ. Kamatna stopa 7 % godišnje dekurzivno, pri godišnjem kapitaliziranju. Odgovor

Zadatak 5. Neko je ulagao u banku početkom svake godine kroz 10 godina, i to prvih 9 godina po 6.000 NJ. Konačna vrijednost svih uloga je 92.446,60 NJ. Kamatna stopa 7 % godišnje dekurzivno pri godišnjem kapitaliziranju. Koliko NJ je uloženo desete godine? Odgovor

Zadatak 6.

103

Slika 1. Na slici 1. prikazan je dio pete tablice. Primjer 1. .

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

262

Primjer 1.

Primjer 2.

263

1. Husref Šarić, Nedžib Žerić: Finansijska matematika za IV razred Ekonomske škole

Sarajevo 1998.godine 2. James C. Van Horne: Financial management and policy (9 ed.), PRENTICE-HALL

INTERNATIONAL EDITIONS Copyright 1992, 1989, 1986, 1983, 1980, 1977, 1974, 1971, 1968 by Prentice-Hall Inc., Simon&Schuster Company

3. Dr Branko Trklja: Finansijska matematika, Sarajevo 1985.godine 4. Dr Vidoje Veselinović: Finansijska matematika, Beograd, 1960 5. Dr Milivoj Krčmar: Zbirka zadataka iz finansijske matematike, Sarajevo 1985. 6. Help programa Excel 5/ 95/ 97/ 2000 7. Help programa Matlab 5.1. 8. Help programa Matcad 7.0. 9. Help programa Corel Ventura 7. 10. Milorad Đorđević: Tablice složenog interesa i mortalitetne tablice, Beograd, 1987. 11. Dr S. Filipović, prof. V. Jirasek: Finansijska i aktuarska matematika, Sarajevo, 1972 12. User's Guide: Microsoft Money 13. Mr Ila Dorotić, dr Dragan Munitlak, mr Milan Vukasović: Matematika za ekonomiste

kroz primjere, Beograd, 1989.

264