Harun Kuč: Zbirka zadataka iz statistike u Excelu Izdavač: Weling SD Zenica Za izdavača: Damir Bajramović Recenzenti: Dr. Hasan Zolić Dr. Dževad Zečić Lektor: Lejla Kuč Naslovna strana: Mustafa Ganović Štamparija: Weling SD Zenica Za štampariju: Damir Bajramović Tiraž: 1000 primjeraka

CIP-Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo 311 : 004.42] (076. 1/ .2) 004.42 : 311] (076. 1/ .2) KUČ, Harun Zbirka zadataka iz statistike u Excelu / Harun Kuč. - Zenica : Weling, 2001. - 162 str. : ilustr. ; 30cm Bibliografija: str. 162. ISBN 9958 - 9670 - 1 - 4 COBISS/BiH-ID 9954310

Mišljenjem Federalnog ministarstva obrazovanja, nauke, kulture i sporta, broj: 03-15-6053/01 od 04.10.2001. godine na osnovu člana 19. tačka 10. Zakona o porezu na promet proizvoda i usluga ("Službene novine Federacije BiH", br. 6/95 , 25/97, 13/00, 36/00, 54/00 i 22/01) ovaj proizvod je oslobođen plaćanja poreza na promet proizvoda.

Strana o Predgovor ................................................................................................................... 4 o Pokazatelji centralne tendencije i varijacije ................................................................. 5 o Teorijski i empirijski raspored .........................................................................................12 o Trend................................................................................................................................40 o Korelacija i regresija.........................................................................................................52 o Teorija uzoraka, testovi,... .............................................................................................63 o Momenti, mjere asimetrije i spljoštenosti ...................................................................106 o Statistička kontrola kvaliteta ..........................................................................................111 o Kratak opis korištenih funkcija u zbirci .........................................................................121 o Tablice ..............................................................................................................................144 o Literatura ....................................................................................................................... 162

4

"Zbirka zadataka iz statistike u Excelu" obrađena je kroz prizmu 44 gotove Excelove funkcije iz kategorije statističkih, i sedam funkcija iz kategorije matematičkih funkcija. Korištene funkcije su već ugrađene formule koje su u stanju da izvršavaju složene matematičke operacije i za njihovo ispravno računanje potrebno je unijeti naziv funkcije i argumente, što ujedno predstavlja osnovni postupak za njihovo ispravno korištenje. Kratak opis funkcija sa pripadajućim sintaksama i napomenama koje nas upućuju na određena pravila kojih se moramo pridržavati, dat je kao posebno poglavlje. "Zbirka zadataka iz statistike u Excelu" predstavlja nastavak izražavanja tematike sa statističkom pozadinom i čini cjelinu sa knjigama Statističke funkcije u Excelu kroz primjere, i Statistika u Excelu; akcenat je u njoj na zadacima obrađenim kroz poglavlja pokazatelji centralne tendencije i varijacije, teorijski i empirijski raspored, trend, korelacija i regresija, teorija uzoraka i testovi, oblik rasporeda, i statistička kontrola kvaliteta. Ova zbirka sadrži i primjere izrade često korištenih tablica za potrebe raznih statističkih izračunavanja. Podrazumijeva se da korisnici ove zbirke imaju osnovna znanja o proračunskoj tablici Excel, dakle, da posjeduju određena računarska znanja i da imaju izraženu potrebu za proračunima vezanim uz područje statistike; manje-više može se primijeniti na sve djelatnosti i namijenjena je fakultetima koji u svom planu imaju potrebu da edukaciju studenata prilagode aktuelnim trendovima u savremenim edukativnim procesima, te svima onima koji se na bilo koji način bave raznim obradama statističkih podataka. Kako ova zbirka predstavlja samo jedan pokušaj u nizu od mnogo mogućih rješenja prikaza tematike sa statistikom u pozadini uz kompjutersku podršku, svjestan sam mogućnosti njenog daljneg poboljšanja i za svaku dobronamjernu sugestiju bit ću veoma zahvalan. Autor

5

6

Zadatak 1. Prinos jedne sorte pšenice po ha na 10 parcela jednog poljoprivrednog dobra, iznosio je u metričkim centima (mc):

Izračunati interval varijacije, aritmetičku sredinu, prosječno apsolutno odstupanje, varijansu, standardnu devijaciju, i koeficijent varijacije. Rješenje Pretpostavimo da se dati podaci o prinosu nalaze u polju A2:A11, kao na slici 1. Na istoj slici prikazane su i sintakse za izračunavanja koja se traže postavkom zadatka.

Slika 1. Zadatak 2. Prinos jedne sorte pšenice (u mc) po ha na 10 parcela jednog poljoprivrednog dobra, dat je u polju ćelija A2:A11, kao na slici 2. Izračunati interval varijacije, aritmetičku sredinu, prosječno apsolutno odstupanje, varijansu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije. Rješenje je dato na slici 2.

Slika 2. Zadatak 3. 100 kandidata na prijemnom ispitu sakupili su sljedeći broj bodova (slika 3.):

7

Slika 3. Zadatak 4. Dat je raspored 1000 domaćinstava (slika 4.), prema godišnjoj potrošnji krompira:

Slika 4. Zadatak 5. Dat je raspored radnika po ličnim primanjima:

Ispitati u kojoj kompaniji su odstupanja u odnosu na prosječni lični dohodak veća. Rješenje U ovom zadatku potrebno je pronaći koeficijent varijacije za kompaniju A i kompaniju B. Kako je koeficijent varijacije jednak količniku standardne devijacije i aritmetičke sredine, to je potrebno aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju izračunati za obje kompanije. Na slici 5. date su njihove vrijednosti i odgovarajuće sintakse korištenih funkcija; kako se radi o formulama polja za njihovo pokretanje potrebno je pritisnuti tipke Ctrl, Shift i Enter.

8

Slika 5. Dakle, koeficijent varijacije u kompaniji A veći je od koeficijenta varijacije u kompaniji B. Zadatak 6. Dat je raspored frekvencija:

Naći aritmetičku, harmonijsku, i geometrijsku sredinu, te medijanu i modus. Rješenje Potrebna izračunavanja su izvršena prema sintaksama na slici 6.

Slika 6. Zadatak 7. Dat je raspored frekvencija kao na slici 7. Naći aritmetičku, harmonijsku, i geometrijsku sredinu. Rješenje

Slika 7.

9

Zadatak 8. Izračunati prosječno vrijeme izrade jedinice proizvoda prema podacima na slici 8.

Slika 8. Zadatak 9. Izračunati prosječno vrijeme izrade jedinice proizvoda prema podacima na slici 9.

Slika 9. Zadatak 10. Raspolažemo sa podacima o prosječnim cijenama nekog materijala i nabavljenim količinama toga materijala u različitom vremenskom periodu:

Izračunati prosječnu cijenu toga materijala.

10

Zadatak 11. Izračunati koeficijent varijacije na podacima:

Zadatak 12. Izračunati prosječnu starost i standardnu devijaciju zaposlenih u jednoj kompaniji iz podataka na slici 10.

Slika 10. Harmonijska sredina iznosi:

Geometrijska sredina iznosi:

101

Zadatak 35. Izračunati varijansu i standardnu devijaciju za sljedeću statističku seriju

Rješenje Posredstvom funkcija SUM i SQRT izračunali smo varijansu i standardnu devijaciju za datu statističku seriju, kao na slici 55.

Slika 55. Zadatak 36. Težine 100 studenata su normalno raspoređene i date su tabelom

Izračinati varijansu i standardnu devijaciju. Rješenje Posredstvom funkcija SUM i SQRT izračunali smo varijansu i standardnu devijaciju za datu statističku seriju, kao na slici 56.

Slika 56.

}G2/100):B2*G3:SUM(B3{xf100

1x i

6

1i

i =⋅⋅= ∑=

} 30,161600)68,28)^2/1-G2:(B2*G3:SUM(B3{)x(xf100

1 2i

6

1i

i2 ==−⋅⋅= ∑

=

σ

} 5,4919600))68,28)^2/1-G2:(B2*G3:3SQRT(SUM(B{)x(xf100

1 2i

6

1i

i ==−⋅⋅= ∑=

σ

102

Zadatak 37. Ispitati da li postoje značajne razlike u varijansama na datim uzorcima za prag značajnosti α = 0,1. Ispitati hipotezu Ho (σ12 = σ22) prema alternativnoj hipotezi H1 (σ12 ≠ σ22).

Rješenje Aktiviranjem opcije F - Test : Two - Sample for Variances i popunom ulaznih podataka za jedan i drugi uzorak, kao na slikama 57 i 58. te odabirom početnih adresa ćelija gdje će biti smješteni izlazni podaci, dobijamo rezultate ovog testa, kao na slici 59.

Slika 57. Slika 58.

Slika 59. U našem primjeru za prag značajnosti treba računati sa rizikom α = 10%. Treba primijetiti da smo kod popune ulaznih podataka (slike 57 i 58.), uzeli za α, vrijednost 5% zato što za alternativu imamo hipotezu H1 (σ12 ≠ σ22). Značenje retultata na slici 59. je sljedeće: Mean - predstavlja aritmetičku sredinu uzorka i može se izračunati posredstvom funkcije AVERAGE, to jest: Variance - predstavlja varijansu uzorka i može se izračunati posredstvom funkcije VAR, odnosno:

103

Observation - predstavlja broj elemenata uzorka, prvi uzorak ima 8, a drugi uzorak 6 elemenata. df - predstavlja broj stepeni slobode, prvi uzorak ima df1 = 8 - 1 = 7, a drugi uzorak ima df2 = 6-1 = 5 stepeni slobode, prema unesenim podacima na slici 1, odnosno df1 = 5 i df2 = 7, prema unesenim podacima prema redoslijedu na slici 58. F - predstavlja F - odnos, i jednak je količniku jedne i druge varijanse, odnosno:

P(F<=f) one - tail odgovara pripadajućoj vjerovatnoći za broj F = 0,7546, odnosno: F = 1,325205.

F Critical one - tail odgovaraju vrijednosti funkcije FINV, prema sljedećim sintaksama:

Kako je izračunata vrijednost za F - odnos, u prvom slučaju jednaka 0,7546 veća od kritične vrijednosti za rizik α = 5%, odnosno: F = 7546 > F Critiacal one - tail = 0,25179 , to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu o jednakosti varijansi. U slučaju vrijednost F odnosa veće i manje varijanse F = 1,325205 < F Critical one - tail = 3,97152 to nemamo razloga da hipotezu o jednakosti varijansi dvaju osnovnih skupova odbacimo kao netačnu. Lako je uočiti da vrijedi odnos: FINV(95%;7;5) = 1/FINV(5%;5;7). Zadatak 38. Dati su podaci o uzetim uzorcima. Ispitati hipotezu da nema razlike u varijansama, odnosno: Ho( σ12=σ22) posredstvom funkcije FTEST , i alata za analizu podataka F - Test: Two - Sample for Variance u Data Analysis-u.

Rješenje Pretpostavimo da se dati podaci nalaze u polju ćelija, kao na slici 60. Posredstvom funkcije FTEST dolazimo do rezultata FTEST(A2:A10;B2:B8) = 83,8228%.

Slika 60. Aktiviranjem opcije F - Test : Two - Sample for Variance u Data Analysis-u otvara se okvir

104

F - Test: Two - Sample for Variance kao na slici 61.

Slika 61. Potrebno je popuniti ulazne podatke za jednu i drugu varijablu, odnosno podatke o prvom i drugom uzorku. Za prag značajnosti odabrali smo α=Alpha=0,05. Takođe smo uključili i nazive (Labels) uzoraka. U izlaznoj opciji Output Range, odabrali smo za početnu ćeliju ćeliju $C$1, što znači da će naši rezultati biti smješteni počev od ove ćelije. Pritiskom na tipku OK, dobijamo rezultat kao na slici 62.

Slika 62. Komentar dobijenih rezultata: Mean - predstavlja aritmetičku sredinu uzorka i može se izračunati posredstvom funkcije AVERAGE, to jest:

Variance - predstavlja varijansu uzorka i može se izračunati posredstvom funkcije VAR, odnosno:

Observation - predstavlja broj elemenata uzorka, prvi uzorak ima 9, a drugi uzorak 7 elemenata.

105

df - predstavlja broj stepeni slobode, prvi uzorak ima 9-1 a drugi uzorak 7-1 = 6 stepeni slobode. F - predstavlja F - odnos, i jednak je količniku jedne i druge varijanse, odnosno: F = 1,0686 /1,2193= 0,8763692. P(F<=f) one - tail odgovara pripadajućoj vjerovatnoći za broj F=0,8763692 , odnosno:

Ovaj iznos predstavlja 50% od iznosa koji nam daje funkcija FTEST. P Critical one - tail odgovara vrijednosti funkcije FINV, prema sljedećoj sintaksi:

Kako je izračunata vrijednost za F - odnos veća od kritične vrijednosti za rizik α = 5%, odnosno: F = 0,8763692 > F Critiacal one - tail = 0,2792842 , to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu o jednakosti varijansi. Pretpostavimo da smo uzorcima promijenili mjesta kod unošenja ulaznih podataka tada bismo imali rezultate kao na slici 63.

Slika 63. Vidimo da vrijednosti za Mean, Variance, Observation i df odgovaraju vrijednostima na slici 6. Vrijednost F se dobija kao količnik veće i manje varijanse i iznosi 1,14107161. P(F<=f) one - tail odgovara vjerovatnoći za broj F = 1,14107161, odnosno:

Ovaj iznos takođe predstavlja 50% od iznosa, koji nam daje funkcija FTEST.

Kako je u ovom slučaju vrijednost F = 1,14107161 < F Critical one - tail = 3,580581165 to nemamo razloga da hipotezu o jednakosti varijansi odbacimo kao netačnu. Lako je uočiti da vrijedi odnos: FINV(95%;8;6) = 1/FINV(5%;6;8). Do rezultata, u programu Statistica 5.0, dolazimo kao na slici 64.

Slika 64.

159

Tablica 7. hi-kvadrat raspodjela

Vrijednosti u tablici za hi-kvadrat raspodjelu izračunavamo posredstvom funkcije CHIINV. Ova funkcija izračunava inverznu vrijednost od funkcije hi-kvadrat raspodjele. Ako je probability = CHIDIST(χ2; deg_freedom), tada je CHIINV(probability;deg_freedom) =χ2 .

Sintaksa funkcije je: CHIINV (probability; deg_freedom) Probability je vjerovatnoća povezana s χ2 - raspodjelom. Deg_freedom je broj stepeni slobode.

Primjer 1.

dx2x

e2

12mdeg_freedo

x

2mdeg_freedo2

mdeg_freedo2

1m)deg_freedo;2CHIDIST(

−∫∞ −

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ χχ

Γ

160

Slika 1.

Primjer 2. CHIINV(40%;28)=29,24861356 (slika 1.).

161

Primjer 3.

162

LITERATURA 1. S. Elazar: Matematička statistika, Sarajevo 1972. 2. Brase Brase: Understandable statistics 3. K. J. Hastings: Probability and Statistics 4. B. Lučić: Statistika, Sarajevo, 1996. 5. V. Serdar: Uđžbenik Statistika, Zagreb, 1977. 6. B. Ivanović: Teorijska statistika, Beograd, 1966. 7. S. Vukadinović: Zbirka riješenih zadataka iz teorije vjerovatnoće, Beograd, 1987. 8. S. Račić: Statistika, Novi Sad 1979. 9. G. Jovanović-Določek:

Slučajne varijable i procesi u telekomunikacijama, Sarajevo, 1987.godine. 10. B. Petz: Osnovne statističke metode, Zagreb 1970. 11. S. Račić: Osnovi statistike, zbirka riješenih zadataka, Novi Sad 1979. 12. J. Mališić, Vesna Jevremović: Statistička analiza i slučajni procesi, elementi teorije sa zbirkom riješenih zadataka, Beograd 1991. 13. Help programa Excel 2000. 14. Blattner & Ulrich: Vodič kroz Microsoft Excel 2000 15. Help programa Statistica 5.0. 16. Help programa Mathematica 4.0. 17. Help programa Matlab 5.3. 18. Help programa Matcad 7.0. 19. Help programa Corel Ventura 7. 20. Help programa Scientific Work Place 3.0. 21. S.Ekinović: Metode statističke analize u Microsoft Excel-u, Zenica, 1997. godine 22. Ž. Pauše: Uvod u matematičku statistiku, Zagreb, 1993.godine 23. M.Blažić, V. Dragović: Opšta statistika, osnovi i analiza, Beograd, 1988. 24. Korais-Hekš: Statistika, Zagreb, 1990. godine 25. H. Kuč: Statističke funkcije u Excel-u kroz primjere, Zenica, 1999. 26. R. Todić-A. Radić: Poslovna statistika, Beograd, 1972. godine 27. Z. Ivković: Matematička statistika, Beograd, 1980. godine 28. Ž. Pantić: Uvod u teoriju vjerovatnoće i statistiku, Niš, 1980. 29. M. Merkle, P. Vasić: Vjerovatnoća i statistika, Beograd, 1998. 30. V. Milošević: Teorijska statistika, teorija statističkog zaključivanja, Beograd 1990. 31. S. Hadživuković: Statistika, Beograd, 1989. 32. G. Grđić, R. Njegić, S. Obradović: Statistika za ekonomiste, Beograd, 1977. 33. S. Vukadinović, J. Popović:

Zbirka riješenih zadataka iz matematičke statistike, Beograd, 1988.