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Finite Differenzen Verfahren zur numerischen Lawinensimulation
Michael Szell, Sept. 2007, Siena
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Probleme mit ELBA+
Oszillationen Abhängigkeit von Gitterauflösung Numerisches Verfahren von ELBA+?
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Annahmen & Vereinfachungen
Berechnungsschema 2-dimensional Flachheit Größenabhängigkeit: Großlawinen Material: newtonsches Fluid, Trockenlawinen Inkompressibilität Isothermalität Beliebige Topographien, Rotationsinvarianz DHM äquidistant gerastert Kontinuität
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Substantielle Ableitung:
Lagrangesche Sichtweise Eulersche Sichtweise
Fluidbeschreibung
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2-Dim kartesisch, äquidistant Global und Lokal:
Koordinatensystem
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Steigung und Exposition:
Hangneigung
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Gradienten durch Hornschen Schätzer:
Geländeradius:
Gradienten, Geländeradius
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Fg Gravitationskraft
Fph Hydrostatischer Druck
Fe Turbulente Reibung
Fd Trockene Reibung
Modellkräfte
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Gravitationskraft und hydrostatischer Druck
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Nach Voellmy (1955), erweitert mit Keulegan-Relation
Turbulente Reibung
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Mohr-Coulomb + Zentrifugalbeschleunigung
Trockene Reibung
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Massenerhaltung:
Für ELBA:
Kontinuitätsgleichung
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Für ELBA:
(kein Spannungstensor – vereinfacht)
Impulsgleichungen
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Courant-Friedrichs-Lewy Bedingung:
„the numerical scheme defining the approximation [...] must be able to include all the physical information which influences the behaviour of the system in this point.“
(Hirsch, Charles: Numerical Computation of Internal and External Flows, Vol. 1)
CFL-Bedingung
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Berechnungsschema ELBA+
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Schnell Überschätzte Geschwindigkeit Oszillationen Abhängigkeit von Gitterauflösung Verfahren „sehr diskret“
Neuimplementierung!
Berechnungsschema ELBA+
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Explizites Finite Differenzen Verfahren
Explizit vs. Implizit Gitterauflösung, Stabilität FDM vs. FEM/FVM Literatur
Motivation der Verfahrensart
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Fall Ψ=0hyperbolisch, reine Konvektion
Fall Ψ>0parabolisch, Konvektion-Diffusion
0<Ψ«1: konvektionsdominant
Klassifizierung der DGL
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Konservativ: ……. ……
Nicht-konservativ:
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Lineare Wellengleichung
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Lösung: Charakteristiken:
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Nach Informationsfluss gerichtet
1. Ordnung: Diffusion
Upwind Verfahren
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Zentral
2. Ordnung: Oszillation
Lax-Wendroff Verfahren
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Bereinigung eines instabilen Schemas
Sehr diffusiv
Lax-Friedrichs Verfahren
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Prädiktor-Korrektor, Update
Mit künstlichem Diffusionskoeffizienten
2-Dimensional
MacCormack Verfahren
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Total Variation Diminishing (Harten 1983)
Sichtweise: Zellen
Numerischer Fluss
Idee: adaptiver Fluss, mit Flux-Limiter
TVD Methoden
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Maß für „Glattheit“: Sweby: TVD Gebiet 2. Ordnung durch
und: Konvexkombination aus LW und BW Minmod-, Superbee-Limiter
Limiter
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Rekonstruktion und Slope-Limiter
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Verallgemeinerter Lax-Friedrichs-Fluss
TVD Lax-Friedrichs Methoden
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2 Dim
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Non-Oscillatory Central (Nessyahu, Tadmor 1990)
DGL-System:
NOC Schema
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Staggered Grid, 2-Schritt Verfahren
Update
Halbschritte durch Taylor; TVD-Steigung
NOC Schema (1-dim)
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Test-Topographien:
MacCormack: Wellen, Massenzunahme, erhöhte Geschwindigkeit
MTVDLF: Verformung NOC: Fast fehlerfrei Superbee: Oft instabil, daher Minmod
1-Dim numerische Experimente
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MacCormack instabil NOC diffusiver als im 1-Dim:
2-Dim numerische Experimente
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(konstant geneigter Hang, nur Gravitationskraft)
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Auslaufender Hang, Fg, Fph, Fdfgfphfd.wpl
Auslaufender Hang, Fg, Fph, Fd, Fefgfphfdfe.wpl
Probleme: „Pudding+Himbeersaft“
he = h-Grenze für:
2-Dim num. Experimente NOC
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Auf nat. Topographie (Lech), he=0,08m
Alt (ELBA+) vs. Neu (NOC)
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Oszillationen Simulationsdauer Auflösung Zusatzfunktionen Geometrische Fehler (?)
Alt (ELBA+) vs. Neu (NOC)
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Fragen, Anregungen, etc?
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Danke für die Aufmerksamkeit!
J. M. W. Turner, The Fall of an Avalanche in the Grissons.
1810. Oil on Canvas. 90.2 x 120 cm. Tate Gallery, London.
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