UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU-FILIAL AREQUIPAFACULTAD INGENIERIA INDUSTRIAL

TEMAS: SOLUCIONES CON PROGRAMACION LINEALCURSO: TEORA DE DESICIONES.PROFESOR: ING. LARRY PALMACICLO: VIITURNO: NOCHEINTEGRANTES: LEN DURAN, GILMAR MAMANI GUIA, ALEX IVAN MAMANI QUISPE, KARINA QUISPE MAMANI, RUTH LEIDY

2015[Escriba texto]Pgina 9

NDICE

1.OBJETIVOS41.1.OBJETIVO GENERAL41.2.OBJETIVO ESPECIFICO42.PROGRAMACIN LINEAL52.1.TRMINOS CLAVE63.EJEMPLOS MAXIMIZACION Y MINIMIZACION.73.1.EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN MTODO GRFICO Y ALGEBRAICO73.1.1.MTODO GRFICO93.1.2.MTODO ALGEBRAICO133.2.MTODO SIMPLEX153.2.1.EJEMPLO DE MAXIMIZACIN UTILIZANDO EL MTODO SIMPLEX153.3.EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIN183.3.1.MTODO GRFICO203.3.2.METODO ALGEBRAICO243.4.MTODO SIMPLEX264.PROGRAMACION LINEAL EN WIN QSB29INGRESANDO A LINEAR AND INTEGER PROGRAMMING (WINQSB)305.CONCLUSIONES386.REFERENCIAS39

INTRODUCCIONLa presente monografa trata de informar algunos conceptos de programacin lineal as como ejemplos, la importancia a lo que es el clculo cientfico y aplicado a la sociedad.La toma de decisiones en nuestros tiempos es muy importante ya que si no se toma una buena decisin o se opta por la equivocada puede incurrir en un desastre para la empresa.El mtodo eficiente para determinar una decisin ptima muchas empresas utiliza el modelo de programacin lineal.En los problemas de la presente monografa de programacin lineal el objetivo es la maximizacin o minimizacin de las cantidades a manejar dentro de una empresa u organizacin.

1. OBJETIVOS

1.1. OBJETIVO GENERAL

Dar a conocer la aplicacin de los mtodos para solucionar ejercicios con programacin lineal

1.2. OBJETIVO ESPECIFICO

Informar sobre los mtodos para solucionar ejercicios con programacin lineal Diferenciar entre los distintos mtodos: mtodo grfico, mtodo algebraico y mtodo simplex Resolver diferentes problemas con programacin lineal

2. PROGRAMACIN LINEALEs un enfoque de solucin de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemtico con una funcin objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones.La funcin objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de programacin lineal.Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo.Las variables son las entradas controlables en el problema

Para resolver un problema de programacin lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son: Entender el problema a fondo. Describir el objetivo. Describir cada restriccin. Definir las variables de decisin. Escribir el objetivo en funcin de lasvariables de decisin. Escribir las restricciones en funcin de las variables de decisin. Agregar las restricciones de no negatividad.

2.1. TRMINOS CLAVEModelo MatemticoRepresentacin de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restriccin se describen con expresiones matemticas.

Restricciones de no negatividadConjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas.

Solucin FactibleSolucin que satisface simultneamente todas las restricciones.

Regin FactibleConjunto de todas las soluciones factibles.

Variable de holguraVariable agregada al lado izquierdo de una restriccin de "menos o igual que" para convertir la restriccin en una igualdad. El valor de esta variable comnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

Forma EstndarProgramacin lineal en el que todas las restricciones estn escritas como igualdades. La solucin ptima de la forma estndar de un programa lineal es la misma que la solucin ptima de la formulacin original del programa lineal.Punto ExtremoDesde el punto de vista grfico, los puntos extremos son los puntos de solucin factible que ocurren en los vrtices o "esquinas" de la regin factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos estn determinados por la interseccin de las lneas de restriccin.

Variable de ExcedenteVariable restada del lado izquierdo de una restriccin de "mayor o igual que" para convertir dicha restriccin en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algn nivel mnimo requerido.

3. EJEMPLOS MAXIMIZACION Y MINIMIZACION.3.1. EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN MTODO GRFICO Y ALGEBRAICORMC es una pequea empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias qumicas. En un proceso de produccin particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo para combustible se vende a compaas petroleras y se usa en la produccin de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de empresas qumicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como se muestra a continuacin:

sta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 0.4 toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la base para solvente es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del material 3.La produccin de RMC est restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo de produccin actual, RMC tiene disponibles las siguientes cantidades de materia prima:

Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de produccin, los materiales que no se lleguen a usar en una corrida de produccin no se pueden almacenar para las subsiguientes, son intiles y deben desecharse.El departamento de contabilidad analiz las cifras de produccin, asign todos los costos relevantes y lleg a precios que, para ambos productos, produciran una contribucin a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y $ 30 para cada tonelada producida de base para solvente. Ahora usaremos la programacin lineal para determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente para producir a fin de maximizar la contribucin a la ganancia total.3.1.1. MTODO GRFICOPASOS1) Trasladar la informacin relevante del problema a una tabla

2) Describir el objetivo del problema, formular las restricciones y nombrar las variablesObjetivo: Maximizar la contribucin total a la ganancia.Restricciones:

F = Cantidad de toneladas para aditivo para combustible por producir.S = Cantidad de toneladas para aditivo para solvente por producir3) Formular la funcin objetivo

4) Realizar el modelo matemtico

Sujeto a: Ecuacin 1 Ecuacin 2 Ecuacin 3

5) Reemplazar por 0 los valores de F y S en cada una de las ecuacionesEn ecuacin 1Si entonces:

Si entonces

En ecuacin 2

En ecuacin 3Si entonces

Si entonces

6) Graficar los puntos encontrados Para realizar la grfica es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones: Preparar una grfica para cada restriccin que muestre las soluciones que satisfagan la restriccin. Determinar la regin factible identificando las soluciones que satisfacen simultneamente todas las restricciones. Trazar lneas de funcin objetivo que muestren los valores de las variables de decisin que producen valores especificados para la misma. Mover lneas de funcin objetivo paralelas hacia valores mayores de la funcin objetivo hasta que un mayor movimiento sacara a la lnea por completo de la regin factible. Cualquier solucin factible en la lnea de funcin objetivo con el valor mximo encontrado por el procedimiento anterior es una solucin ptima.

Del anterior grfico podemos deducir que las lneas celestes representan cada una de las restricciones del problema, la lnea roja es la funcin objetivo, la parte de la grfica sombreada con puntos rojos representa el rea factible y el punto blanco la solucin ptima, a continuacin veremos cmo llegamos a cada una de dichas conclusiones. (Vitutor, 2012)

3.1.2. MTODO ALGEBRAICOObtener la solucin ptima1) Se usan las ecuaciones 1 y 3 del problema: Ecuacin 4 Ecuacin 52) Se despeja F de la ecuacin 4

Ecuacin 63) Se sustituye F en la ecuacin 5

4) Se sustituye S en la ecuacin 6

Se puede observar en la grfica que estos dos valores estn representados por el punto blanco, lo cual quiere decir que esta es la solucin ptima del problema.5) Sustituir los valores en la funcin objetivo

En conclusin se deben producir 25 toneladas de combustible y 20 toneladas de base para aditivo para obtener una utilidad mxima de $ 1,600Para encontrar la lnea que atraviesa la solucin factible (punto blanco) se iguala a 0 F y S en la funcin objetivo y se encuentran los valores:

Si F es 0 entonces:

SI S es 0 entonces:

Como se puede observar estos puntos estn representados por la lnea celeste C3 y es la que atraviesa la solucin ptima. (Vitutor, 2012)3.2. MTODO SIMPLEXEl algoritmo simplex est diseado para localizar la solucin ptima concentrndose en un nmero seleccionado de las soluciones bsicas factibles del problema. Siempre empieza en una solucin bsica factible y despus trata de encontrar otra solucin bsica factible que mejorar el valor del objetivo. Los clculos para producir la nueva solucin bsica incluyen dos tipos:Rengln pivote:

Todos los dems renglones, incluyendo z:

3.2.1. EJEMPLO DE MAXIMIZACIN UTILIZANDO EL MTODO SIMPLEXContinuando con el problema anterior los pasos para resolver el problema por el mtodo simplex son:1) Expresar el problema en forma estndar

2) Obtener el rengln z que consiste en convertir al funcin objetivo en valores negativos

3) Resumir la forma estndar en una tabla simplex

4) Se encuentran las intersecciones de la primera variable (la ms negativa) para determinar el rengln pivote.En este caso se toma la columna donde se encuentra el -40 y cada uno de los valores de la solucin se divide dentro de los valores de dicha columna, escogiendo el menor valor y toda esa fila se convertir en la fila pivote como se puede observar en la siguiente tabla:

5) Se hacen los clculos correspondientes La nueva fila pivote es la S3 el objetivo es convertir el valor de 0.6 en 1 para lo cual se divide toda la fila dentro de 0.6 y se coloca en la nueva tabla.El resto de valores que se encuentran arriba o abajo de 0.6 deben convertirse en 0. Para este caso se desea convertir el 0.4 en 0 por lo cual se convierte el 0.4 en negativo se multiplica por el valor correspondiente en la nueva fila pivote que es 1 y se le suma el valor de esa posicin en la tabla antigua que en este caso es 0.4 en resumen y asi sucesivamente con cada una de las filas:

6) Como no se tienen todava las variables de z en positivo, entonces hay que repetir los pasos 4 y 5 hasta que todos los valores de z sean positivos:

Como se puede observar en la tabla anterior todos los valores de z son positivos, lo cual quiere decir se ha llegado a encontrar la solucin ptima del problema que es producir 20 toneladas de aditivo para combustible y 25 toneladas de base para solvente para obtener una ganancia mxima de $ 1600.Si observa se obtuvieron los mismos resultados que el mtodo grfico y algebraico anteriormente descritos (Vitutor A. , 2012)3.3. EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACINM & D Chemicals produce dos productos que se venden como materias primas a compaas que fabrican jabones para bao y detergentes para ropa. Basado en un anlisis de los niveles de inventario actuales y la demanda potencial para el mes siguiente, la gerencia de M & D ha especificado que la produccin combinada para los productos A y B debe ser en total al menos 350 galones. Por separado, tambin debe satisfacerse un pedido de un cliente importante de 125 galones del producto A. El producto A requiere dos horas de procesamiento por galn, mientras el producto B requiere una hora de procesamiento por galn, y para el siguiente mes se dispone de 600 horas de tiempo de procesamiento. El objetivo de M & D es satisfacer estos requerimientos con un costo total de produccin mnimo. Los costos de produccin son $2 por galn para el producto A y $3 por galn para el producto B.Para encontrar el calendario de produccin de costo mnimo, formularemos el problema de M & D Chemicals como un programa lineal. Siguiendo un procedimiento parecido al usado para el problema RMC, primero definimos las variables de decisin y la funcin objetivo para el problema. Sea

A = Cantidad de galones del producto AB = Cantidad de galones del producto BDebido a que los costos de produccin son $ 2 por galn para el producto A y $ 3 por galn para el producto B, la funcin objetivo que corresponde a la minimizacin del costo total de produccin puede escribirse como:Min A continuacin consideramos las restricciones impuestas al problema de M & D Chemicals. Para satisfacer la demanda del cliente importante de 125 galones del producto A, sabemos que A debe ser al menos 125, Por tanto, escribimos la restriccin Debido a que la produccin combinada para ambos productos debe ser el total al menos 350 galones, podemos escribir la restriccin Por ltimo, la limitacin en el tiempo de procesamiento disponible de 600 horas significa que necesitamos agregar la restriccin: Despus de agregar las restricciones de no negatividad, tenemos el siguiente programa lineal para el problema de M & D Chemicals:Min Sujeto a:

Debido a que el modelo de programacin lineal slo tiene dos variables de decisin puede usarse el procedimiento de solucin grfica para encontrar las cantidades de produccin ptimas. El mtodo grfico para este problema, como en el problema de RMC, requiere que primero tracemos la grfica de las lneas de restriccin para encontrar la regin factible. Al trazar cada lnea de restriccin por separado y luego verificar los puntos en cada lado de la lnea, pueden identificarse las soluciones que satisfacen cada restriccin. Al combinar las soluciones que satisfacen cada restriccin en la misma grfica obtenemos la regin factible. (Romero, 2003)3.3.1. MTODO GRFICOPASOS1) Trasladar la informacin relevante del problema a una tabla.

2) Describir el objetivo del problema, formular las restricciones y nombrar las variablesObjetivo: Satisfacer los requerimientos con un costo mnimo.Restricciones:1. Producir para el cliente 125 gal. de A2. Produccin combinada 350 gal.3. 2 horas para producir A por cada B contando en total con 600 horasA = Cantidad de galones del producto A.B = Cantidad de galones del producto B.3) Formular la funcin objetivo

4) Realizar el modelo matemtico

Sujeto a:Ecuacin 1 Ecuacin 2Ecuacin 3

5) Reemplazar por 0 los valores de A y B en cada una de las ecuacionesEn ecuacin 1Si entonces:En ecuacin 2Si A es 0

Si B es 0

En ecuacin 3Si entonces

Si entonces

6) Graficar los puntos encontradosPara realizar la grfica es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones: Preparar una grfica para cada restriccin que muestre las soluciones que satisfagan la restriccin. Determinar la regin factible identificando las soluciones que satisfacen simultneamente todas las restricciones. Trazar lneas de funcin objetivo que muestren los valores de las variables de decisin que producen valores especificados para la misma. Mover lneas de funcin objetivo paralelas hacia valores ms pequeos de la funcin objetivo hasta que un movimiento mayor a la lnea por completo de la regin factible. Cualquier solucin factible en la lnea de funcin objetivo con el valor ms pequeo es una solucin ptima.

Del anterior grfico podemos deducir que las lneas celestes representan cada una de las restricciones del problema, la lnea roja es la funcin objetivo, la parte de la grfica sombreada con puntos rojos representa el rea factible y el punto blanco la solucin ptima, a continuacin veremos cmo llegamos a cada una de dichas conclusiones. (UDEA, 2007)3.3.2. METODO ALGEBRAICO

Obtener la solucin ptima1) Se usan las ecuaciones 2 y 3 del problema: Ecuacin 4 Ecuacin 52) Se despeja A de la ecuacin 4 Ecuacin 63) Se sustituye A en la ecuacin 5

4) Se sustituye B en la ecuacin 6Se puede observar en la grfica que estos dos valores estn representados por el punto blanco, lo cual quiere decir que esta es la solucin ptima del problema.5) Sustituir los valores en la funcin objetivo

En conclusin Se deben producir 250 galones del producto A y 100 galones del producto B para obtener un costo mnimo de $ 800Para encontrar la lnea que atraviesa la solucin factible (punto blanco) se iguala a 0 A y B en la funcin objetivo y se encuentran los valores:

Si A es 0 entonces:SI B es 0 entonces:Como se puede observar estos puntos estn representados por la lnea celeste C3 y es la que atraviesa la solucin ptima.

3.4. MTODO SIMPLEX

Se puede dividir el procedimiento del mtodo simplex en dos fases:FASE I: Se expresa el problema en forma estndar y se aaden las variables artificiales necesarias a las restricciones. En seguida se encuentra una solucin bsica de las ecuaciones resultantes, por medio del mtodo simplex, que minimice la suma de las variables artificialesFASE II: Se utiliza la solucin factible obtenida en la fase I como una solucin factible inicial para el problema original, por medio del mtodo simplex.

PASOS1) Escribir el problema en forma estndar.Si la restriccin es mayor o igual los valores de S sern negativos por el contrario si la restriccin es menor o igual sern positivos y por cada variable S se agrega una variable R positiva excepto en la tercera ecuacin para este caso.

2) Escribir el problema en una tabla simplex, usando el rengln r y no el z

3) Obtener el nuevo rengln r

4) Continuar con el simplex hasta obtener nuevamente el primer rengln r

5) Quitar las columnas R1 y R2 y agregar la funcin objetivo

6) Obtener el nuevo rengln z

7) Continuar con el simplex hasta que todos sean negativos

En conclusin se deben producir 250 galones del producto A y 100 galones del producto B para obtener un costo mnimo de $ 800*.Ntese que se llegaron a los mismos resultados que el mtodo algebraico.4. PROGRAMACION LINEAL EN WIN QSBEJERCICIOUn herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaa 2 Kg. de ambos metales. Cuntas bicicletas de paseo y de montaa deber fabricar para maximizar las utilidades?AceroAluminioPrecio de Venta

Bicicleta de paseo (x)1 kg3 kg$ 20.000

Bicicleta de montaa (y)2 kg2 kg$ 15.000

Disponibilidad80 kg120 kg

Declaracin de variables

Restricciones de capacidadAluminio:

Acero:

Funcin Objetivo

INGRESANDO A LINEAR AND INTEGER PROGRAMMING (WINQSB)Una vez se haya ingresado al mdulo Linear and Integer Programming, se abrir una ventana de inicio del mdulo, tal como se muestra a continuacin:

En esta ventana podremos entonces crear un nuevo problema, o cargar uno que ya hayamos desarrollado. Una vez demos clic en "Nuevo Problema (New Problem)" se abrir un men emergente que nos permitir ingresar los parmetros bsicos del problema:

El programa requiere que se definan las especificaciones del problema, que incluye el nombre de problema, el nmero de variables, el nmero de restricciones, el criterio de la funcin objetivo, los tipos de variable por defecto,y el formato de entrada de datos, ya sea en forma de matriz o en forma de modelo normal . El nombre de problema, los nombres de variables, nombres de restriccin, el nmero de variables, nmero de restricciones , el criterio de la funcin objetivo, tipos de variables, y la entrada de datos formato se pueden modificarmediante el men Formato y men Editar una vez se haya abierto el modelo.Para el problema que estamos abordando es necesario que ingresemos los siguientes parmetros:Nmero de variables: Nmero de restricciones: 2 (Disponibilidad de Aluminio y Acero)Funcin Objetivo: Maximizar (Utilidades)Tipos de variables por defecto: Enteras no negativas (Sern bicicletas, unidades enteras)Formato de entrada: Matriz (Recomendado)Una vez se registren los parmetros y al dar clic en el botn OK, se mostrar lasiguiente ventana, en aras de utilizar las mismas variables que en el modelo, mostraremos el mtodo de renombrar las variables:

Desde el men EDIT, tambin podremos modificar el nombre de las restricciones, tal como se aprecia en la siguiente imagen:

En ella hemos registrado los datos que controlan nuestro problema de estudio. El siguiente paso, consiste en resolver el problema, para ello damos clic en el botn "Solve and Analize":Este comando resuelve el problema. Si se especifica alguna variable como un entero o binario, el programa utilizar automticamente el mtodo de Branch and Bound (Rama y Cotas)para resolver el problema. Elmtodo simplexmodificadoes utilizado pararesolverproblemas de programacin lineal continua.Esta opcin mostrar automticamente un tabulado resumen de la solucin si el problema tiene una solucin ptima, mostrar la inviabilidad de anlisis si el problema no es factible, o mostrar si el anlisis no acotacin si el problema no est acotado en funcin objetivo o valores de las variables.

Este mensaje nos indica que el problema ha sido resuelto, y que existe una solucin ptima que ha sido encontrada. Al dar clic en Aceptar, nos llevar al cuadro resumen de la solucin:

Interpretar cada uno de los valores del cuadro solucin, es cuan o ms importante que obtener la solucin ptima, dado que de dicha interpretacin podremos extraer un buen anlisis de sensibilidad: (industriales)Solution value:Valor solucin, es el valor que toman las variables de decisin en nuestra solucin ptima, en este caso nos indica que se debern producir 20 bicicletas tipo paseo y 30 bicicletas tipo montaa.Unit Cost or Profit:El costo unitario o contribucin es el valor que les fue asignado a las variables por nosotros en la funcin objetivo.Total Contribution:Es la contribucin total a la solucin objetivo, es el producto del valor solucin * costo unitario o contribucin.Basic Status:Despus de que el problema se resuelve , esto representa si la variable es una variable de base, en el lmite inferior, o en el lmite superior en latabla simplex final.Allowable MIN, MAX C(j):Para un coeficiente de la funcin objetivo en particular. Este es el rango en que la base actual de la solucin sigue siendo la misma.Objective Function:Nos muestra el resultado de nuestra funcin objetivo, en este caso la solucin ptima tiene una funcin objetivo (utilidad) de $ 850.000Left Hand Side:Del lado izquierdo, es el valor que toma la ecuacin de cada restriccin luego de reemplazar las variables que la componen por los valores solucin. Por ejemplo, la ecuacin de la restriccin de Acero que es x + 2y