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Fisica Generale III con Laboratorio

Campi elettrici e magnetici nella materia

Lezione 7

Cenni a ferromagnetismo

Equazioni di Maxwell nella materia

2 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 2010

Ferromagnetismo - I

Comportamento ferromagnetico, ferrimagnetico, antiferromagnetico: derivano dall’accoppiamento fra i dipoli magnetici intrinseci, che provoca l’allineamento dei dipoli stessi.

Stessi effetti osservati nei ferroelettrici, cause completamente diverse

Allineamento: nel caso dei ferromagneti deriva dall’energia di scambioChe cos’e’?

Non deriva da una forza (es. forza magnetica) fra i dipoli; e’ una proprieta’ della funzione d’onda di coppie di elettroni, che nel caso di un solido ferromagnetico porta ad avere energia minima quando gli spin degli elettroni (e quindi i momenti di dipolo magnetico) sono allineati, anche in assenza di campo magnetizzante.

3 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 2010

Interazione fra i dipoli: importanza fondamentale dell’interazione di scambio, conseguenza del Principio di Esclusione.

Due elettroni con spin opposto: possono occupare lo stesso orbitalePiù vicini → maggiore repulsione Coulombiana

Due elettroni con spin uguale: devono occupare orbitali diversiPiu’ lontani → repulsione Coulombiana inferiore

→ Energia minima

→ Tendenza ad allineare gli spin per minimizzare l’energia totale→ Magnetizzazione spontanea

Ferromagnetismo - II

4 E.Menichetti - 2010

Energia coulombiana(repulsiva) elevata

Energia coulombiana(repulsiva) ridotta

Ferromagnetismo - III

Ossia:

5 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 2010

Antiferromagnetismo: dipoli antiparalleli. I momenti magnetici adiacenti hanno la stessa intensità e verso opposto, perciò la magnetizzazione risultante è nulla pur in presenza di ordinamento dei dipoli

Ferrimagnetismo: dipoli antiparalleli con differente momento magnetico (sono presenti almeno due tipi di ioni magnetici). Si ha magnetizzazione risultante non nulla.

Ferromagnetismo - IV

Altri fenomeni collegati:


Comportamento magnetico degli elementi a T ambiente

Ferromagnetismo - V


Domini magnetici

Come nel caso dei ferroelettrici: struttura a domini minimizza l’en. totale


Ciclo di isteresi - I


Ciclo di isteresi - II

10 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 2010

Ciclo di isteresi - III

µM


Magnetizzazione spontanea - I

Modello fenomenologico di Weiss (inizio ‘900)Campo efficace (non di origine magnetica) che agisce sui dipoli[Idea analoga a quella del campo elettromotore nelle batterieVera origine: interazione di scambio]Ipotesi: campo molecolare

( )

( )

( )

0

0

1 ( )

01

1 ( )

1

cos cos

cos

proporzionale alla magnetizzazione

campo interno totale

Magnetizzazione, usando funzione di Langevin:

dev

w

tot

H wM

kT

H wM

kT

H wM

H H wM

e dH wM

M n n LkT

e d

M

µµ

µµ

θ θµµ

µ µ

θ

− +

+− +

+

=

→ = +

+ = =

→

∫

∫e soddisfare l'equazione precedente


Magnetizzazione spontanea - II

( )

( )

0 0

0

0

0

0

0 0

Definiamo:

Magnetizzazione spontanea:

anche se

Eq. trascend

te

en

H wMx

kT

M H

wM xkTx M

kT w

kTM x

w

M n L x

µµ

µµ

µµ

µµ

µ

+=

≠ =

→ = → =

=→ =


Magnetizzazione spontanea - III

Soluzione numerica/grafica:

0

kTM x

wµ µ=

( )M n L xµ=

θf: temperatura minima per avere magnetizzazione spontanea


Magnetizzazione spontanea - IV

( )

( )

( )�

( )

( )�

( )( )

0

20

2

0

0

0

, 13

3

3

3

, 0 :

f

f

M

M

xL x x

kT n

w

nw

k

M T kT xTx

n n w

MM T

L xn

µ

µ µ

µθ µ

µ µ µ θ

µ

≈

→ ≤

→ =

= = =

�

per avere intersezione

temperatura di Curie

Riscrivendo:

Magnetizzazione di saturaz

ione


( )( )0

funzione universale di f

M T T

M θ→

Magnetizzazione spontanea - V

Curve calcolate con funzioni di Brillouin in buon accordo con i dati

Fe, Co, Ni:

Evidenza per J=1/2

→ Effetto di spin


Materiale Permeabilita’ Relativa µr

Mu Metal 20,000

Permalloy 8000

Acciaio laminato 4000

Ferrite (nickel zinco) 16-640

Ferrite (manganese zinco) >640

Acciaio 100

Nickel 100-600

Materiali ferromagnetici - I

Permeabilita’ ferromagnetiche


Materiale TCurie °C

Iron (Fe) 770

Cobalt (Co) 1130

Nickel (Ni) 358

Iron Oxide (Fe2O3) 622

Materiali ferromagnetici - II

Come visto, i materiali ferromagnetici perdono la magnetizzazione spontanea al di sopra di una temperatura caratteristica (TCurie), diventando

paramagnetici

Anche in questo caso: si tratta di una transizione di fase


Materiali ferromagnetici - III

Esempio: Sfera ferromagnetica con magnetizzazione uniformeSituazione simile (superficialmente) a quella delle sfera paramagnetica uniformemente magnetizzataDifferenza essenziale: il mezzo non e’ lineare (v. Ciclo di isteresi)

( )

( )

0 0

0

0

( , )

( , )r

B H M B H

B H

B H H B H

µ µ

µ

µ µ

= + → − =

− =

→ =

→

magnetizzazione uniforme

Approssimando a un campo uniforme:

retta nel piano

non e' proporzionale ad

curva di isteresi nel piano

Int

ersezione: valore

!

M

B H M B H M

( , )B Hdi nella s fera


Materiali ferromagnetici - IV

H

B


Materiali ferromagnetici - V

Campo totale B di una sfera ferromagnetica immersa in un campo

esterno originariamente uniforme

Qualitativamente: simile alla sfera paramagnetica in un campo esternoQuantitativamente: campo interno o vicino alla sfera molto piu’ elevato

Esempio: Cilindro uniformemente magnetizzatoB ed H non sono uniformi nel cilindro (← non e’ un ellissoide)

Materiali ferromagnetici - VI

B H



Equazioni di Maxwell nella materia - I

( )

0

0

0 0 0

0

1

0

Relazioni fra i vettori elettrici:

r

ε

ε χ

ε ε χ ε ε

ε

χ

= +

=

= + =

= −

>

D E P

P E

D E E E

E D P

( )

( )( )( )

0

10 0

0 0

0

1

1 1

1

1 1

1

0

0

dia sempre molto piccolo

para

(esclusi ferromagn

Relazioni fra i vettori magnetic

e

i:

ti)

m

mm

m

m

m r

m

χ

µ

χχ

µ χ µ

χ

µ χ µ µ

µ

χ

= −

=+

= − = +

= +

<>

H B M

M B B

H B B B

B H M

�

�

Relazionicostitutive

(~ empiriche)


Equazioni di Maxwell nella materia - II

0

0

0

con

r

r

t

t

ρ

ε ε

µ µ

∇⋅ =

∇⋅ =

∂∇× =−

∂∂

∇× = +∂

=

=

D

B

BE

DH j

D E

B H

Nel caso piu’ semplice (e non realistico):

εr,µr scalari, indipendenti da E,H, indipendenti da T, indipendenti da ω

Equazioni di Maxwell e relazioni costitutive:


Equazioni di Maxwell nella materia - III

D,H campi ausiliari, la cui proprieta’ fondamentale e’ molto semplice:

Sono originati dalle sole cariche e correnti vere

Tuttavia, occorre non ingannarsi:

Non sono definiti completamente dalla loro proprieta’ semplice(divergenza di D, rotore di H)

In particolare:

Carica o corrente vera nulla non corrisponde, in generale, a D o H nullo!

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