fisika matematika 1
DESCRIPTION
DERET PANGKATTRANSCRIPT
Bab I Deret Pangkat
I.1 Pendahuluan (Deret Geometri)
Banyak kasus solusi masih fisis sangat sulit
Masih berharap ada solusi alternatif
Solusi pendekatan (proklamasi)
Solusi ini muncul dalam bentuk deret
Perhatikan deret bilangan :
(i) 1, , , , (ii) a, ar, ar2, ar3, ar4
Bilangan di atas membentuk barisan geometri
If (i) dijumlahkan
1 + + + + + ………….(1)
Disebut deret
Penjumlahan dilakukan tanpa henti dinyatakan tiga titik dibelakang disebut tak
hingga (infinite series)
(1) Ditulis dalam bentuk
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …………(2)
(a = 1 dan r = 2/3 )
Deret geometri
Sn = a + ar + ar2 + ….. + ar n-1 ……..(3)
(4)Sn = a
Jika n , maka
S = Sn . (5)
Deret hanya mempunyai jumlah berhingga jika hanya │r│< 1
I.2 definisi dan Notasi
Banyak deret tak hingga bukan deret geometri cs:
(i) 1 + 4 + 9 + 16 + ……
(ii) + + + + ……….
(iii) + - + ………
Secara umum deret- deret tersebut ditulis
a1 + a2 + a3 + …… + an + ……..
atau dalam bentuk notasi
Sebagaimana deret geometri didefinisikan Sn
Sn =
Or disebut jumlah parsial
S = Sn disebut jumlah dari deret
Konvergen dan divergen.
- Jika s berupa satu nilai tertentu = disebut konvergen
- Jika s tidak berupa satu nilai tertentu = disebut divergen
Cs
Teliti (selidiki) jumlah s dari pers
1 + 4 + 9 + 16 + …… =
Jwb
Untuk n S maka n2
Dmk
S = dikatakan jumlah s tidak ada (karena bukan bilangan ttt, ingan s bukanlah bilangan
Deret divergen
Cs
Tentukan an dan selidiki jumlah deret S dari deret :
1 – 1 + 1 – 1 +1 – 1 + ….
Jwb
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ….. =
Dmk
S dapat nol atau satu karena itu S tidak tertentu dan deret dikatakan divergen.
Uji konvergensi
o Uji pendahuluan dinyatakan
Suatu deret =
Adalah
Divergen jika suku tak hingga deret tersebut tidak menuju nol. Dengan kata lain:
Jika maka deret divergen
Contoh 3:
Tentukan konvergensi deret 1 + 4 + 16 +... (menggunakan uji pendahuluan)
Jawab: dari contoh 1 kita dapatkan ɑn = n2 mx
ɑn = n2 =
Demikian deret divergen (seperti contoh 1 )
Contoh 4: tentukan deret konvergen
1 + +
Jawab : suku ke- n deret tersebut adalah ɑn = sehingga
ɑn =
Maka deret apa...?
Ingat, uji pendahuluan hingga dapat menyimpulkan
Jika ɑn dan tidak mengatakan apa-apa
Jika ɑn = 0karena itu diperlukan cara pengujian yang lain
uji integral:
menyatakan
deret konvergen jika berhingga berhingga dan divergen jika tak
hingga =
CS 5. Tentukan konvergensi deret
Jawab : suku ke n deret
,u=
=
Disimpulkan diret divergen
CS 6 Tentukan konvergen deret pada contoh 4 menggunakan uji integral
Jawab: Suku an=
= ln
=
Divegen
CS 7 : Tentukan konvergen deret
Jawab :
Uji integral tidak bisa menentukan konvergensi deret tersebut kita selidiki
dengan uji pendahuluan
Kedua uji tersebut tidak dapat menetukan konvergensi
Sehingga perlu uji yang lain
Uji banding (the comparison test)
Dalam uji banding terdapar dua deret yaitu :
1.Deret yang akan di tentukan konvergensinya :
2.Deret yang diketahui konvergensinya:
Uji banding menyatakan :
Jika konvergen dan
Jika divergen dan
Jika yang tersebut adalah kebalikan dari keduanya maka uji banding tidak dapat
memberikan kesimpulan apa – apa.
CS 8 Selidiki konvergensi deret pada contoh 7 dengan uji banding
..............................................
Dari soal contoh 7:
...............................
Untuk n berlaku ln n < n atau
Karena divergen maka divergen
CS 9 : tentukan konvergen deret persamaan (6 (ii))
Jawab: uji banding: kesulitan mencari pembandingya
Uji integral: tidak sederhana (integral no simple)
Uji pendahuluan : memberikan dn = 0 tidak dapat ditentukan penentukan
konvergennya.
Misalkan adalah perbandingan atau rasio antara suku ke (n+1) dan suku ke-
n
dan untuk n besar 5 elkah
Jika :
deret konvergen
konvergen tidak diketahui
deret divergen
CS 10: tentukan konvergensi deret (contoh 9)
Jawab: suku ke (n+1) dan ke n deret diatas:
Sehingga
Demikian deret
CS.11: tentukan konvergensi deret:
Jawab:
Karena deret tersebut konvergen
Contoh-contoh diatas di bahas deret dengan suku positif
Now
Deret bolak-balik (alternating series)
(8)
(9)
Uji konvergensi bolak-balik dilakukan sebagai berikkut:
Deret bolak-balik konvergen jika < dan
Tentukan konvergen deret
Jelas bahwa
Jadi deret konvergen tetapi deret positifnya divergen, deret seperti ini disebut deret konvergen
bersyarat. Jika keduanya (+,-) konvergen maka disebut konvergen mutlak.
Deret Pangkat
Dua deret pertama pada persamaan (6)
i.
ii.
iii.
Ditulis
(10)
Perhatikan contoh dereet berikut:
a.
b.
c.
Seperti masalah sebelumnya tentang konvergen deret. Karena deret pangkat
diekspansi dlam variabel x, persoalannya penentuan selang konvergensi (dengan uji
rasio)
Tentukan selang konvergensi deret:
Jawab: suku ke n deret bersangkutan adalah:
Maka
Dan
Deret akan konvergen jika
Selang konvergen:
Telah selidiki
Konvergen
X=-1 deret menjadi
PR
Tentukan daerah konvergen deret:
Deret Fungsi
Bahas fungsi
Misal
F (x)= cos x ...................................................(I)
Punya ekspansi
Cos x=
Langkah ke dua tentukan koefisien .........................(II)
(if x=0, ruas kiri ke kanan
Kedua suku di differensialkan, diperoleh
Pada x=0 kedua suku terdeferensiasi
Didefferensialkan lagi
f”
Diperoleh
Pada x=0 -1=
Differensial lebih lanjut x=0
Diperoleh
0=5.4.3.2
Secara umum
Demikian
X=0
......................(12)
Prosedur diatas digeneralisasi sebagai berikut
fungsi f(x) diekspansi sekitar x=0
F (x)=f (0)+ f’(x)
disebut deret Maclaurin, mirip bentuk khusus dari deret
Taylor
......................................(13)
Nyatakan funsi ex dalam deret
Jawab: pada x=0 , e0=1
Karena ......................................(x)
Maka
............................................(xx)
Substitusi (x) => (xx) ke dalam persamaan 12
Karena itu cos x konvergen untuk semua x
Beberapa fungsi dasar dalam bentuk cuspansi deret
untuk semua
untuk semua
untuk semua
untuk -1
untuk -1 <x
Deret binomial, q mirip bilangan real (+,-)
CS 16.
Benda bermassa m diikat tali sepanjang l dan ditahan gaya F untuk. Tentukan gaya
perbandingan untuk dalam ekspansi
Jawab:
F=T sin
W= T cos
Dengan q=
Demikian:
Pemakaian kompensasi numerik
Solusi aproksmasi, semakin dekat aproksmasi dan sesungguhnya
makin absah solusi tersebut
tapi
solusi eksak tidak diketahui keabsahannya
maka
solusi aproksmasi bersifat terkaan
untuk itu perlu
konsep “nilai sisa” Rn(x) sebagai selisih antara nilai sesungguhnya fungsi dan jumlah
dari n+1 suku dari deret tayllor fungsi :
.........................(15)
Untuk deret konvergen
Nilai sisa Rn(x) diatas diberikan oleh:
Misal suku dalam kurung kanan persamaan (15)adalah Pn (x) maka
................(17a)
.
...............(17b)
Jika Pn (x) dipakai untuk menaksir f(x) dengan kesalahan atas taksiran tersebut adalah
CS. 17
Hitung cos 33,60 dalam deret seperti suku ke-4 dan taksir pula kesalahannya.
Jawab: uraian deret Taylor cos x sampai suku ke-4
Ambil b=300 maka x-b=
Cos 33,60=cos 300
Kesalahan taksiran R1 (33,60) R2 (22,60)=