UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCURETI CATEDRA DE FIZIC LABORATORUL DE OPTIC BN - 120 B

DIFRACIA FRESNEL

2004 - 2005

1

DIFRACIA FRESNEL1. Scopul lucrrii Lucrarea prezint o metod de determinare a lungimii de und pe baza difraciei de tip Fresnel produs pe un orificiu circular. 2. Teoria lucrrii Fenomenul de difracie este un fenomen tipic ce apare la propagarea undei, atunci cnd suprafaa de und este limitat de obstacolele ntlnite. n esen ea reprezint ansamblul fenomenelor datorate naturii ondulatorii a luminii, fenomene care apar la propagarea sa ntrun mediu cu caracteristici eterogene foarte pronunate. n sens restrns, difracia const n fenomenul de ocolire aparent a obstacolelor de mici dimensiuni de ctre lumin, sau altfel spus, n devierile de la legile opticii geometrice. Difracia Fresnel se realizeaz atunci cnd sursa se afl la o distan destul de apropiat de obstacol, astfel nct curbura fronturilor de und nu mai poate fi neglijat. Considerm o surs de unde monocromatice S, plasat n faa unui ecran opac prevzut cu un orificiu circular. Conform celor discutate anterior se produce fenomenul de difracie, consecin a faptului c suprafaa de und sferic este parial obturat. (fig. 1)

Fig. 1.

Datorit simetriei problemei fa de axa SP, evaluarea intensitii ntr-un punct P situat pe axa SP, poate fi fcut simplu prin metoda zonelor Fresnel. Frontul de und sferic ce ajunge n faa acestui orificiu se mparte n zone Fresnel, prin aplicarea metodei zonelor lui Fresnel. Construcia zonelor Fresnel se realizeaz n modul urmtor: se duce din punctul P o perpendicular pe suprafaa de und, A0 P = r0 . Apoi din P se construiete, A1 P = r1 = r0 + / 2 . Exist o familie de drepte cu lungimea r1 , iar locul geometric al interseciei lor cu suprafaa de und este un cerc. Cercul delimiteaz prima zon Fresnel, de forma unei calote sferice. Se construiete apoi dreapta A2 P = r2 = r0 + 2 / 2 . A doua zon Fresnel este o zon sferic delimitat de dou cercuri, interseciile familiilor de drepte r1 i r2 cu suprafaa de und. Analog se construiesc toate zonele Fresnel. Construcia s-a fcut respectndu-se condiia geometric:2

A1 P A0 P = A2 P A1 P = ............ =

. 2 Fiecare zon Fresnel constituie o surs secundar de unde. Fiecare und secundar determin n punctul de observaie P, cte o oscilaie reprezentat printr-un vector numit fazor, a crui mrime i faz este determinat de drumul optic parcurs de la sursa secundar (zona Fresnel) pn n punctul de observaie. Prima zon emite o und secundar de amplitudine a1 , a doua zon emite o und secundar de amplitudine a 2 ,...... .a.m.d. Din relaia (1) rezult c oscilatiile care reprezint undele n P, de la dou zone vecine sunt n opoziie de faz. Undele vecine fiind n opoziie de faz, amplitudinea rezultant n P se scrie: A = a1 a 2 + a 3 a 4 + ...... (2) n cazul discutat, zonele Fresnel avnd arii egale, amplitudinile sunt influenate numai de drumurile parcurse de unde i de unghiul de nclinare. Acestea crescnd amndou, amplitudinile undelor secundare descresc odat cu mrimea rangului zonei Fresnel, adic: a1 > a 2 > a3 .........> a n (3) Variaia monoton permite, cel puin ntr-o prim aproximaie, s se considere amplitudinea undei provenit de la o zon ca media aritmetic a amplitudinii undelor provenite de la zonele vecine: a +a an = n 1 n +1 (4) 2 Scriind formula (2) n conformitate cu relaia (4): a a a a a A = 1 + 1 a 2 + 3 + 3 a 4 + 5 + ........ 2 2 2 2 2 se observ c fiecare parantez din relaia anterioar este nul, ceea ce reduce expresia amplitudinii rezultante la: a a A= 1 n (5) 2 2 cu semnul (+) dac n este impar i ( ) dac n este par. Deci amplitudinea rezultant prezint o valoare maxim pentru numr impar de zone i o valoare minim pentru numr par de zone. a Cnd n devine foarte mare, a n devine practic nul i relaia (5) se reduce la A 1 , 2 ceea ce arat c efectele de difracie trebuie luate n consideraie numai n cazul unui numr mic de zone Fresnel. Dac numrul acestora este mare, abaterea de la propagarea rectilinie este neglijabil, obstacolul nefcnd altceva dect s delimiteze fasciculul de unde. Deoarece intensitatea este proporional cu ptratul amplitudinii, intensitatea n centrul figurii de difracie este maxim pentru un numr impar de zone Fresnel i minim pentru un numr par de zone Fresnel. n cazul difraciei Fresnel, figura de difracie const din cercuri alternative luminoase i ntunecate. Stabilim acum legtura ntre numrul de zone Fresnel i distana r (poziia observatorului). Notaiile sunt exemplificate n figura (2). Din relaia (1) rezult c: k = Ak P A0 P = k 2 Se observ c distanele de la cele dou frontiere ale unei zone la punctul P, difer cu

2

(1)

3

n triunghiul OPAk :

(OA0 + r )2 = (r + k )2 rk 22 Suprafaa de und avnd o curbur mic, neglijnd OA0 i neglijnd 2 ( mic) rezult:

2OA0 r = 2r k rk2 . Din triunghiul SOAk :

rk2 = R 2 (R OA0 )2 = 2ROA0

Din ultimele dou relaii rezult c: r 2r k = 1 . R r2k

Rr n consecin se obine rk2 = 2 k ; unde k = k ; R+r Rr rk2 = k . R+r Suprafaa de und avnd o curbur mic, rezult aria calotei sferice rk2 . Ca urmare aria zonei Fresnel cu Fig. 2. frontierele rk +1 i rk va fi: Rr S = rk2+1 rk2 = R+r Se observ c ariile zonelor sunt aceleai (pentru R i r0 constante) i nu depind de ordinul k al zonei. Numrul total de zone Fresnel cuprinse n orificiul circular de raz va fi:n= 2 2 R + r = S Rr 2r + 2 R nrR 1 2 2 + r R

De unde obinem:=

(6)

Aceast ecuaie poate fi pus sub forma:n=

(7)

1 Ecuaia (7) arat c dependena n = f are o form liniar, de pant: r2 (8) Aceast observaie st la baza celei de-a doua metode de determinare a lungimii de und. m=

3. Dispozitivul experimental

Dispozitivul experimental (fig. 3) cuprinde un bec B, dispus la captul unui banc optic pe care se afl: o lentil L1 ce focalizeaz lumina becului pe o deschidere mic S practicat ntr-o foi metalic subire, realizndu-se astfel o surs ct mai punctiform; un filtru F care4

selecteaz lumina monocromatic ce cade pe ecran; ecranul E prevzut cu orificiul circular de raz pe care se produce difracia (sistemul permite alegerea a trei valori pentru ); un sistem de vizare alctuit dintr-o lentil L 2 .

Fig. 3.

4. Modul de lucru

Se alimenteaz becul de la reeaua de 220Vc.a. Se regleaz distana ntre lentila L1 i deschiderea S astfel nct aceasta din urm s se afle n focarul lentilei. Se deplaseaz ecranul E pn cnd distana R este de aproximativ 50 cm pn la 70 cm. Se are grij ca E s fie perpendicular pe axa optic a bancului optic. Se ndeprteaz L 2 ncepnd din apropierea ecranului, punndu-se la punct figura de difracie. Numrul total n al zonelor Fresnel se constat experimental c este egal cu suma dintre numrul total al zonelor luminoase (inclusiv zona luminoas marginal ce apare totdeauna) i numrul inelelor ntunecoase (inclusiv punctul central ntunecat ce apare la unele distane). Spre exemplificare, n figura (4), sunt prezentate cteva cazuri.

Fig. 4.

ndeprtnd L 2 fa de E, aspectul figurii de difracie variaz, numrul inelelor scznd pe msur ce ne ndeprtm. Pentru distana R fix (mrimea sa este aleas pentru a avea o imagine clar a figurii de difracie), se variaz distana r, astfel nct s se obin una din figurile de difracie din figura (4). Se determin r la cel puin cinci figuri de difracie, corespunztoare la numere n de zone Fresnel diferite (uzual n cuprins ntre 4 i 9). Valoarea distanei r se determin ca medie a cinci msurtori. Se repet msurtorile pentru nc dou valori ale distanei R. Rezultatele msurtorilor se trec ntr-un tabel (vezi pag. 4). Tabelul este ntocmit pentru o distan R fix i un fix. Se vor ntocmi trei astfel de tabele (pentru fiecare R fix cte un tabel).

5

5. Prelucrarea datelor experimentale METODA 1. Relaia (6) permite calculul lungimii de und dac cunoatem valorile parametrilor R, r i n. O dat calculate aceste valori, vom determina valoarea medie a lungimii de und i abaterea sa standard cu ajutorul relaiilor de definiie:

N N (N 1) unde N reprezint numrul de determinri al lungimilor de und. Rezultatul final va fi prezentat sub forma standard: = R

= i =1

i; =

N

(i )i =1

N

2

(9)

Tabel Rezultatele msurtorilor poziiilor diverselor figuri de interferen difracie Fresnel nr n ri r r 2 (r + R )

(mm)

(mm)

(mm)

=

nr R (mm)

(mm)

METODA 2. Prezentm acum metoda grafic de determinare a lungimii de und: se traseaz pe hrtie milimetric, pentru fiecare distan R, graficul n = f (1 / r ) n funcie de numrul n al zonelor Fresnel, care, conform ecuaiei (7), trebuie s reprezinte o dreapt.

6

Comparnd panta teoretic (8) cu panta experimental a dreptei (7) se obine lungimea de und. Se face media valorilor lungimilor de und obinute pentru diversele distane R. O alternativ a acestei metode, mai corect din punct de vedere statistic, prevede efectuarea de 10 ori a tabelului (n, rmediu ) pentru n (4, ,6,7,8,9 ) , la distan R fix. Pentru fiecare tabel se obine pe calea grafic expus mai sus, lungimea de und. Repetnd procedura expus pentru 3 distane R diferite, obinem 30 de lungimi de und pentru care putem media i abaterea standard cu relaiile (9). Tabelul anterior este ntocmit pentru o distan R fix i un fix. Se vor ntocmi trei astfel de tabele pentru fiecare distan R fix. Se d: = 0.4 mm .

ntrebri 1. Ce este difracia luminii? Ce este difracia Fresnel? 2. Desenai schema simplificat a dispozitivului experimental utilizat pentru studiul difraciei Fresnel. 3. Unde se produce difracia n dispozitivul experimental de mai sus? 4. Ce este o und monocromatic? Cum se obine lumina monocromatic a crei lungime de und se determin prin studiul difraciei Fresnel? 5. Ce reprezint lungimea de und? Dar frecvena undei? n ce relaie se gsesc ele? 6. Ce reprezint zonele Fresnel? Unde i cum se construiesc ele? Care este semnificaia lor?7. 8. 2 (r + R ) ? nrR Desenai figura de difracie pe care ai vzut-o pentru n=5.

Care este semnificaia mrimilor din ecuaia =

7

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCURESTI DEPARTAMENTUL DE FIZICLABORATORUL DE FIZICA ATOMICA I FIZICA CORPULUI SOLID

BN-031 B

STUDIUL EFECTULUI HALL N SEMICONDUCTORI

2004 - 2005

STUDIUL EFECTULUI HALL N SEMICONDUCTORIEfectul Hall este unul dintre efectele importante n determinarea parametrilor ce caracterizez electric materialele semiconductoare. 1. Scopul lucrrii - Determinarea concentraiei purttorilor de sarcin ( n sau p ) ntr-o prob din semiconductori extrinseci**; - Determinarea mobilitii Hall a purttorilor de sarcin n semiconductorul respectiv. 2. Teoria lucrrii Efectul Hall este un efect galvanomagnetic** observat pentru prima dat de E. H. Hall n 1880. Acest efect const n aparitia unui camp electric transversal (denumit cmp electric Hall E H ) si a unei diferente de potential intr-un metal sau semiconductor parcurse de un curent electric, atunci cand ele sunt introduse intr-un camp magnetic, perpendicular pe directia curentului. Sa consideram cazul unei proba semiconductoare paralelipipedice de dimensiuni a, b, c (fig.1). Cmpul electric Hall apare atunci cnd proba semiconductoare este plasat ntrun cmp de inducie magnetic B i ntr-un cmp electric exterior de intensitate E B . Vectorii E , B , i E H formeaz un triedru drept (fig. 1), adic E = E (E ,0,0); B = B (0, B,0 ); E H = E H (0,0, E H ) (1) Sub aciunea cmpului electric extern E = E (E ,0,0) prin proba semiconductoare trece un curent electric de intensitate I. Prin aplicarea pe proba respectiv a cmpului magnetic de inducie B = B (0, B,0 ) ntre feele laterale ale probei, pe direcie normal pe E i B (fig. 1), apare o diferen de potenial U H = V A VB (2) numit tensiune Hall.

Fig. 1.

Tensiunea Hall este determinat de devierea purttorilor de sarcin electric ce formeaz curentul prin prob, sub aciunea forei Lorenz: FL = e(v B ) (3) unde v este viteza medie de micare prin prob a purttorilor de sarcin electric (sau vitez de drift) sub aciunea cmpului E , iar e este sarcina electric elementar**

Semiconductorii extrinseci sunt semiconductorii cu impuriti n care conducia electric se face fie prin electroni (semiconductori cu impuriti donoare) numii semiconductori de tip n, fie prin goluri (semiconductori cu impuriti acceptoare) numii semiconductori de tip p. Efectele galvanometrice sunt fenomene fizice care apar n substane n urma interaciei dintre inducia magnetic B aplicat din exterior i sarcinile electrice n micare prin substana considerat. 2

e 1,6 10 19 C Intensitatea cmpului electric Hall (E H ) este U EH = H . aCmpul Hall determin apariia forei electrice Fel

(4)

Fel = eE HFora total ce acioneaz asupra purttorilor de sarcin este

(5) (6) (7) (8) (9) (10) prin prob sub aciunea cmpului electric

Fl = Fel + FLLa echilibru

Fel = FLTinnd seama de relaiile (3) i (5), rezult

E H e = evB sin (v , B )

dar

sin (v , B ) = sindeci

2

= 1 (fig. 1)

E H e = evBDensitatea curentului electric

E = E (E ,0,0 ) este j = nev (11) unde n este concentraia purttorilor de sarcin electric din prob. Relaia dintre densitatea curentului electric ( j ) i intensitatea I a curentului electriceste

( j)

j=

unde n este versorul direciei normale la suprafaa transversal a probei pe direcia curentului electric (fig. 1), S este aria acestei seciuni transversale, S = ab . Din relaiile (10) i (11) se obine modulul vitezei de drift

I n S

(12)

v=

j I = neS nej B ne

(13)

Se nlocuiete relaia (13) n relaia (10) i se obine

EH = de unde

(14)

EH = Se noteazRH =

1 jB ne

(15)

Marimea RH

1 ne poart numele de constant Hall; fizic, ea are dimensiunea:

(16)

[RH ]SI = [n]SI1 [e]SI1 = cm3C-1

(17)

3

Tinnd seama de tensiunea Hall din relaia (4) i de relaiile (15) i (16) se obine U H = RH j B a = RH jBa (18) Din aceast relaie constatm c, tensiunea Hall este cu att mai mare cu ct inducia magnetic (B ) i densitatea curentului electric prin prob ( j ) sunt mai mari. Pentru ca electrozii de curent ai probei s nu scurtcircuiteze tensiunea Hall, distana a dintre electrozii Hall A i B trebuie s fie fa de lungimea c a probei n raportul

a 1 = c 4Din relaia (18) rezult

(19)

RH =

UH jBa

(20)

Identificnd relaiile (16) i (20) se obine concentraia purttorilor de sarcin electric din prob

n=

orientai n cmpul Hall pe unitatea de cmp Hall (E H ) v H = H EH avnd dimensiunile [vH ]SI m2 2 1 1 = =m s V [ H ]SI = [ EH ]SI sV

Mobilitatea Hall ( H ) este viteza medie (v H ) a purttorilor de sarcin electric(22)

jBa eU H

(21)

(23)

Pentru a determina mobilitatea Hall se scrie densitatea de curent n cmpul Hall jH = nevH = ne H EH (24) Se obine jH (25) H = ne EH

IH unde I H este intensitatea curentului electric dup direcia cmpului Hall S (direcia Oz din fig. 1) i S ' ' este aria seciunii transversale pe aceast direcie. S ' = cb (27) I H se poate scrie U IH = H (28) r r fiind rezistena probei dup direcia Oz, decidar jH =a a = cb S' innd seama de relaiile (28) i (29) se obine U U 1 jH = H = H = EH = EH rS ' a unde este conductivitatea electric a probei. Se introduce relaia (30) n (25) i se obine mobilitatea Hall r =

(29)

(30)

4

H =

EH = RH neEH

(31)

3. Dispozitivul experimental Se folosete dispozitivul experimental din figura 2 format din: - un electromagnet confecionat din oel cu slab remanen magnetic, ceea ce permite o mai bun concentrare a liniilor de cmp; - o caset coninnd proba p semiconductoare ce se studiaz.

Fig. 2.

n figura 3 este dat schema electric a circuitelor de msurare. n fig. 3a este dat schema pentru msurarea intensitii curentului electric prin prob pentru diverse valori ale tensiunii electrice continue aplicat pe prob i a tensiunii Hall. n fig. 3b este dat schema circuitului de alimentare a electromagnetului. Fig. 3a cuprinde: - circuitul de alimentare a probei format din: - proba P - un miliampermetru mA, ce permite msurarea curentului i prin prob - sursa S1 - poteniometrul R1 - ntreruptorul K1

Fig. 3.

- circuitul de msurare a tensiunii Hall cuprinde un mV pentru msurarea U H . O msurare mai precis a U H se face folosind metoda de msurare prin compensare. Figura 3b cuprinde: - bobina B a electromagnetului - ampermetrul A pentru msurarea curentului I prin electromagnet - poteniometrul R2 - sursa de alimentare a electromagnetului S2 - ntreruptorul K

5

4. Modul de lucru Se conecteaz sursele S1 i S2 prin nchiderea ntreruptorului K1 i K2. Cu ajutorul poteniometrului R1 se stabilete un curent i prin prob, care se menine constant. Valorile curentului i , pentru care se efectueaz msurtorile, sunt indicate la masa de lucru. Cu ajutorul poteniometrului R2 se variaz curentul I prin bobina electromagnetului din 0,2 A pn la valoarea maxim de 3A. Pentru fiecare valoare I se citete U H cu ajutorul milivoltmetrului mV (trebuie remarcat c poate fi utilizat i msurarea curentului determinat de U H prin prob, cu ajutorul unui galvanometru; indicat la masa de lucru, se calculeaz U H ). Se repet msurtorile pentru diferite valori ale curentului i prin prob. Valorile numerice se trec n urmtorul tabel:i mA j /m B (T) UH (V) I B (T) UH (V) I 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

0,016

0,040

0,068

0,098

0,128

0,156

0,170

0,180

i mA

j /m

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

30,225

0,190

0,195

0,202

0,208

0,212

0,215

0,223

Dimensiunile a , b, c ale probei sunt date la masa de lucru. Densitatea j a curentului prin prob se obine conform relaiei (26), seciunea S a probei fiind S = ab (fig. 1).Valorile induciei magnetice B a cmpului magnetic, corespunztoare diferitelor valori ale curentului I prin bobin sunt date n tabel. Se traseaz curba de etalonare a electromagnetului B = f ( I ) . Valorile lui B pentru diferite valori ale curentului prin bobin se citesc de pe curba de etalonare. Atenie! ntruct la trecerea curentului electric att prin prob ct i prin bobin acestea se pot degrada, este necesar ca ntreruptoarele K1 i K2 s fie nchise numai att ct dureaz citirile. 5. Prelucrarea datelor experimentale 1. Cu ajutorul datelor din tabel se reprezint grafic, pe hrtie milimetric, dependena U H = f ( B ) pentru j = constant. Se obine o familie de drepte, pentru diversele valori ale j . Din relaia (18) panta, n valoare absolut, a acestor drepte este: mk = aRH jk k = 1, 2,..., N

Din grafice se obin pantele m1 , m2 ,..., m N i se calculeaz valorile constantelor Hall corespunztoare: m (!) m (2) m (k RH = 1 RH = 2 ,..., RH ) = k ... aj1 aj2 ajk

6

Se calculeaz constanta Hall medie: RH =

k =1

( RHk )

N

va exprima sub forma RH = RH R H unde R H reprezint dispersia valorilor constantei Hall n jurul valorii medii RH care se calculeaz cu ajutorul relaiei:( [RhK ) N

N

iar valoarea constantei Hall se

RH =

k =1

RH

]

2

N (N 1) )

.

2. Cunoscndu-se valoarea constantei Hall, se determin concentraia medie a 1 unde purttorilor de sarcin electric din prob folosind relaia (16): n = RH e

e = 1,6 10 19 C , iar [n]SI = m 3 . innd seama de relaia (31) se determin mobilitatea Hall H : H = RH , [ H ] = m2 . VS

1 este conductivitatea probei (a nu se confunda cu RH ) iar rezistivitatea probei rcb . dat de relaia = a

Aici =

n prelucrarea datelor experimentale toate mrimile fizice se vor exprima n uniti S.I. Referatul pe care studentul l va alctui dup efectuarea acestei lucrri va conine i rspunsurile la urmtoarele

ntrebri: 1. n ce const efectul Hall? 2. Ce este constanta Hall? 3. Ce este mobilitatea Hall?

7

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCURESTI CATEDRA DE FIZICA

LABORATORUL DE OPTIC BN 121

DETERMINAREA LUNGIMII DE UNDA A LUMINII MONOCROMATICE CU AJUTORUL DISPOZITIVULUI YOUNG

1996

DETERMINAREA LUNGIMII DE UND A LUMINII MONOCROMATICE CU AJUTORUL DISPOZITIVULUI YOUNG

1. Scopul lucrrii1.1. Obinerea unor unde luminoase coerente. 1.2. Punerea n eviden a fenomenului de interferen a undelor luminoase. 1.3. Determinarea experimental a lungimii de und a unei radiaii luminoase monocromatice.

2. Teoria lucrrii2.1. Interferena Fenomenul de interferen const n suprapunerea a dou sau mai multe unde coerente. In optic fenomenul este materializat prin apariia de franje luminoase ce alterneaz cu franje ntunecoase. Dou unde monocromatice plane cu frecvena unghiular , cu vectorul de und k, cu amplitudinile a1 i a2 i cu fazele iniiale 1 i 2

1 = a1ei (t kr1 + 1 )

2 = a2ei (t kr2 + 2 )sunt coerente dac diferena de faz = 2 1 = k (r1 r2 ) + 2 1 = kr +

(1)

(2)

se menine constant n timp. ntr-un punct P funcia de und rezultant prin suprapunerea undelor descrise de (1) este ( P) = 1( P) + 2 ( P) (3) Intensitatea undei rezultante are forma 2 2 I ( P) = ( P) ( P ) = a1 + a2 + 2a1a2 cos( ) (4)

Termenul 2a1a2cos() se numete termen de interferen. Trasnd graficul I = f() se contat c intensitatea variaz ntre valoarea maxim Imax = (a1 + a2)2 i valoarea minim Imin = (a1 - a2)2 corespunztoare franjelor de maxim, respectiv de minim. Ca msur a contrastului franjelor se introduce o mrime numit vizibilitate

I I min V = max I max + I min

(5)

1

2.2. Coerena temporal Conceptul de coeren este legat de posibilitatea de a obine efecte de interferen. Dac radiaia emis la un moment dat de o surs de lumin poate interfera cu radiaia emis la un moment ulterior, atunci cele dou radiaii sunt coerente in timp. Intervalul maxim de timp pentru care mai are loc interferena se numete timp de coeren. Interferena ca rezultat al timpului de coeren se poate ilustra cu ajutorul interferometrului Michelson (Fig. 1). Acesta, prin intermediul unei oglinzi semitransparente, separ o raz de lumin n dou. Dup ce strbat drumuri individuale de lungimi diferite, cele dou unde interfer.

Fig. 1

Vizibilitatea franjelor de interferen scade cu creterea diferenei de drum. Diferena maxim de drum pentru care franjele mai sunt nc vizibile se numete lungime de coeren l la care corespunde timpul de coeren t conform cu relaia l = ct (6) Pentru o radiaie cu lrgimea de band , relaia de incertitudine dintre timp i frecven conduce la t = 1 (7) care arat c monocromaticitate mare ( mic) nseamn timp de coeren mare. Sursele de lumin obinuite au coeren temporal mic, adic timp i lungime de coeren mici.

2.3. Coerena spaial Dac dou raze care provin din puncte diferite ale unei surse interfer, atunci sursa are coeren spaial. Intinderea spaial a coerenei corespunde la distana maxim ntre dou puncte ale sursei pentru care se mai obine interferen. Pentru a

2

msura coerena spaial se folosete un dispozitiv Young ce const dintr-un paravan cu dou fante, care se pune n dreptul sursei, i un ecran pe care se proiecteaz franjele de interferen. Mrind distana dintre fante pn la o valoare maxim pentru care mai sunt vizibile franjele de interferen, se determin ntinderea de coeren spaial (suprafaa pe care faza undei nu se modific). Sursele de lumin obinuite au coeren spaial slab, lucru dovedit de faptul c la o experien de tip Young distana dintre fante este limitat la o valoare mic.

2.4. Dispozitivul Young Pentru a obine dou unde luminoase coerente, adic cu diferena de faz constant n timp, este necesar ca cele dou unde s provin dintr-o und unic prin intermediul unui anume dispozitiv. In caz contrar, cnd undele provin de la surse diferite, nu se obine interferen staionar deoarece, n timpul de observare, cele dou surse emit independent un numr foarte mare de trenuri de und, astfel nct diferena de faz ia toate valorile posibile anulnd n medie termenul de interferen. Unul din dispozitivele cu care se obin unde coerente este dispozitivul Young. Schema de principiu a dispozitivului Young este reprezentat n figura 2. S este o surs de lumin care ilumineaz un ecran cu dou deschideri nguste (fante) pe rol de surse secundare coerente S1 i S2. Coerena celor dou surse secundare se menine atta timp ct distana dintre fante d nu este prea mare (depinde de coerena spaial a sursei S). Pe ecranul E se obin franje de interferen sub form de benzi luminoase ce alterneaz cu benzi ntunecoase. Deoarece sursele secundare S1 i S2 provin din acelai front de und (care vine de la S), fazele iniale sunt egale 1 = 2 i termenul de interferen 2a1a2cos(kr) este determinat, n fiecare punct P al planului E, de diferena de drum r.

Fig. 2

3

Coerena temporal este asigurat deoarece diferena de drum, corespunztoare franjelor de interferen, este mai mic dect lungimea de coeren chiar pentru surse cu lrgime de band mare. Distana i dintre centrele a dou franje luminoase sau ntunecoase consecutive se numete interfranj. Franjele se numeroteaz ncepnd cu franja de ordinul 0 situat n centrul O al ecranului. Considerm c n punctul P este realizat franja luminoas (de maxim de interferen) de ordinul n. Se pune condiia de maxim, prin care diferena de drum optic s fie un numr ntreg de lungimi de und.r = n

(8)

Pentru ordine nu prea mari unghiurile S2S1Q i PCO sunt mici i se pot considera aproximativ egale (S2S1Q PCO = ), iar unghiul S1QS2 90. Din triunghiurile S1QS2 i POC rezult S Q r n sin = 2 = = (9) S1S2 d d OP xn sin tg = = (10) OC l unde xn este poziia franjei de ordin n, iar l distana de la dispozitivul cu fante pn la ecran. Din (9) i (10) obinem pentru poziia franjei de maxim de ordin n l xn = n (11) d In mod analog, pentru poziia franjei de maxim de ordin n + 1, avem l xn+1 = (n + 1) (12) d Scznd (11) din (12) rezult pentru interfranj l i = xn +1 xn = (13) d Dac se msoar experimental interfranja atunci se poate calcula lungimea de und din di = (14) l

3. Descrierea instalaiei experimentaleDispozitivul experimental (Fig. 3) cuprinde un bec electric C i urmtoarele subansamble prinse de supori care pot culisa pe un banc optic BO: - fanta F vertical i reglabil n rolul sursei S;

4

- fantele F1 i F2 verticale i paralele (n rolul surselor S1 i S2), realizate sub forma a dou trsturi pe o plac de sticl nnegrit, avnd notat alturat distana d; - subansamblul pentru msurarea interfranjei alctuit dintr-o lup L, un urub micrometric M (la care sunt ataate o riglet R i un tambur gradat T) i un fir reticular vertical. Becul emite lumin alb. La diferitele componente monocromatice ale luminii corespund diferite sisteme de franje ce nu coincid ntre ele. Pentru a selecta o singur radiaie monocromatic cu care se obine un singur sistem de franje, pe care se pot face msurtori, lupa a fost prevzut cu un filtru optic constnd ntr-o sticl colorat.

Fig. 3

4. Modul de lucruSe ilumineaz fanta F care este relativ deschis (limea sa fiind 1 mm). Se regleaz poziiile fantelor F1 i F2 i a lupei astfel nct s fie pe aceiai direcie i la aceiai nlime cu fanta F. In acest scop se poate folosi eventual o foaie alb drept ecran. Privind prin lup se micoreaz deschiderea fantei F, astfel nct franjele de inteferen s fie clare. Se msoar distana l. In una din extremitile tabloului de franje, prin rotirea tamburului T, se potrivete firul reticular pe centrul unei franje luminoase i se noteaz poziia a1 a indicatorului rigletei R i poziia b1 a indicatorului tamburului T. Se rotete tamburul trecnd firul reticular peste un numr N de franje ct mai mare posibil (> 5) dup care se noteaz N i noile poziii a2 i b2 ale indicatoarelor. Pentru evitarea pasului mort al

5

urubului micrometric se recomand ca aducerea firului reticular la poziia iniial s se fac n acelai sens n care urmeaz a se face ulterior parcurgerea franjelor. Lsnd neschimbat l se repet de 10 ori determinarea de mai sus notnd de fiecare dat a1 , b1 , a2 , b2 i N. Se deplaseaz lupa n alte poziii i se fac pentru fiecare din acestea mai multe determinri. Datele se trec ntr-un tabel de forma: Nr. crt. l (mm) a1 (div) b1 (div) a2 (div) b2 (div) x1 (mm) x2 (mm) N I (mm) i (mm)

(nm)

5. Indicaii pentru prelucrarea datelor experimentale5.1. Determinarea interfranjei O diviziune de pe rigleta R are 0,5 mm. Deoarece pasul urubului micrometric este de 0,5 mm, iar pe tamburul T sunt 50 diviziuni rezult c o diviziune a tamburului are 0,01 mm. Cunoscnd poziiile a i b ale indicatorilor de pe riglet i tambur, se determin poziia x a franjei cu formula x = ( 0, 5 a + 0, 01 b ) mm (15) I este distana corespunztoare la N franje i se calculeaz cu I = x2 x1 (16) Pentru calculul interfranjei se folosete formula I i= (17 ) N 5.2. Calculul lungimii de und Se utilizeaz relaia (14). Se calculeaz lungimea de und pentru toate determinrile i valorile obinute se trec n tabel. 5.3. Calculul erorilor Pentru cele 10 determinri cu l fixat, se consider valorile lungimii de und i se calculeaz eroarea ptratic medie (eroarea standard) cu formula

=

i =1

(i )2n(n 1)(18)

n

unde n =10 determinri. Rezultatul determinrii lungimii de und se va da sub forma intervalului de ncredere

= ( )nm

(19)

6

6. ntrebri6.1. Explicai de ce micorarea fantei F duce la mbuntirea contrastului franjelor? 6.2. De ce este nevoie de filtru? Nu se pot face msurtori n lumin alb? 6.3. Explicai de ce este justificat repetarea msurtorilor? 6.4. De ce, la calculul erorilor, nu se ia n consideraie eroarea aparatului de msur (urubul micrometric)? Incercai s determinai eroarea lungimii de und provenit din eroarea introdus de aparatul de msur.

7

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCURETI DEPARTAMENTUL DE FIZIC LABORATORUL DE OPTIC BN - 120 B

STUDIUL DISPERSIEI LUMINII. SPECTROSCOPUL CU PRISM

2004 - 2005

STUDIUL DISPERSIEI LUMINII. SPECTROSCOPUL CU PRISM1. Scopul lucrrii Prin efectuarea lucrrii se urmrete, n primul rnd, observarea i studiul fenomenului de dispersie a luminii. De asemenea, se va realiza cunoaterea temeinic a aparatului spectral fundamental - spectroscopul cu prism i a modului de obinere a spectrelor de emisie i absorbie. 2. Teoria lucrrii 2.1. Dispersia luminii Dispersia luminii const n dependena indicelui de refracie n al unei substane de pulsaia sau de lungimea de und a luminii. Funcia n = n( ) = n() se numete relaie de dispersie. Stabilirea formei explicite a relaiei de dispersie se poate face n baza modelului clasic al interaciei radiaiei electromagnetice cu substana. Lmurirea tuturor aspectelor privind dispersia i absorbia luminii n medii dielectrice este posibil numai cu ajutorul modelelor cuantice de interaciune. Considerm lumina ca und electromagnetic de pulsaie i molecula substanei ca un ansamblu de k oscilatori de mas m k i sarcin q k . Cmpul electric al undei electromagnetice determin oscilaii forate ale oscilatorilor, de elongaie rk . La nivelul moleculei acest fenomen implic apariia unui moment electric dipolar de mrime:

pe =

qk k

k rk

,

iar la nivelul ntregului corp, considerat omogen i izotrop, o polarizaie P:

P=N

q

k rk ,

(1)

unde N reprezint numrul moleculelor din unitatea de volum. Elongaiile rk se obin din ecuaia de micare a oscilatorului: q 2 rk + 2 k rk + 0 k rk = k E rk i sunt q E 1 rk = k , 2 2 mk + i 2 k 0k

(2)

unde 0k este frecvena proprie de oscilaie a oscilatorului k iar k este constanta de amortizare. Indicele de refracie n depinde de permitivitatea relativ a mediului r , iar aceasta de polarizaia P, prin relaiile:

n 2 = (n + i )2 = r , respectiv, r = 1 + P . 0 E (3)

2

Din relaiile (2) i (1) rezult c polarizaia P este o mrime complex, deci i

permitivitatea r i indicele de refracie n vor fi mrimi complexe, notate cu P, r ,n. n relaia (3) mrimea caracterizeaz mediul din punctul de vedere al atenurii undei prin absorbie. Relaiile (3), (2) i (1) permit scrierea expresiilor explicite ale indicelui de refracie n i a indicelui de absorbie . Pentru simplificarea interpretrii acestora le scriem pentru cazul unui singur oscilator (k = 1). Acestea sunt: 2 0 2 Ne2 n() = 1 + (4) 2 2m0 0 2 2 2 0 +

(

)

respectiv:() =

Ne2 2m 0

(

2 2

2 0

)

+

2 2

.

(5)

Fig. 1.

Din graficul celor dou relaii rezult c n jurul frecvenei de rezonan, ( 0 ) , indicele de refracie sufer o variaie brusc, iar indicele de absorbie prezint un maxim dn > 0 . n zonele n care pronunat. Spunem despre dispersie c este normal dac d dn < 0 , dispersia este anomal. d Frecvenele de rezonan sunt caracteristice fiecrui atom sau molecul n parte. Determinarea lor permite identificarea atomului sau a moleculei. Pe baza fenomenului de dispersie, o prism optic separ componentele monocromatice ale radiaiei incidente, obinndu-se astfel spectrul optic. Cum spectrul radiaiilor emise de substan este o caracteristic absolut a acesteia, spectrul devine un mijloc foarte sigur de identificare a substanei. Intensitatea unei anumite radiaii n spectru depinde de doi factori: probabilitatea cu care are loc o tranziie care duce la emisia radiaiei respective i numrul sistemelor atomice care emit. Deci, o linie spectral ne poate furniza informaii att asupra naturii atomului sau moleculei care a emis radiaia ct i asupra concentraiei acestora n sursa de radiaii.3

Sistemele atomice absorb radiaiile a cror frecven este egal cu frecvena radiaiilor pe care pot s le emit. Totalitatea radiaiilor absorbite de ctre un sistem atomic constituie spectrul de absorbie al acestuia. Datorit dispersiei, undele luminoase care alctuiesc o radiaie complex sunt deviate cu unghiuri diferite la ptrunderea ntr-un mediu dispersiv i astfel pot fi observate separat. Un dispozitiv simplu prin care se obine separarea luminii prin dispersie este prisma optic (Fig. 2).

Fig. 2.

Unghiul de deviaie (ntre raza incident i raza emergent) la trecerea luminii prin prism este = i1 r1 + i2 r2 = i1 + i2 A (6) Acest unghi este minim pentru i1 = i2 = i i r1 = r2 = r = A/2 (raza este, n prism, paralel cu baza). Ca urmare min = 2i A . (7) Deoarece sin i = n sin r (8) i innd cont de r = A/2, relaia (2) devine A min = 2 arcsin n sin A (9) 2 care arat c deviaia minim depinde de indicele de refracie. Se poate arta c i deviaia este funcie de . Dependena indicelui de refracie de lungimea de und implic dependena unghiurilor i min de aceeai mrime.2.2. Spectre de emisie i spectre de absorbie Un sistem microscopic (atom, molecul, nucleu etc.) se caracterizeaz prin faptul c poate exista numai n anumite stri, numite stri staionare, corespunztoare unei mulimi discrete de valori ale energiei (niveluri de enegie). Orice variaie a energiei sistemului microscopic se face printr-o tranziie dintr-o stare staionar n alta. Ne intereseaz tranziiile radiative, cnd sistemul emite sau absoarbe un foton. Astfel, la trecerea sistemului din starea cu energia En n starea cu energia Em ( En > Em) se emite un foton cu energia h = E n E m (10) La absorbia unui foton, cu energia h egal cu membrul drept din (10), sistemul trece din starea cu energie mai mic Em n starea cu energie mai mare En. Totalitatea radiaiilor emise de un sistem microscopic constituie spectrul de emisie al sistemului. Pentru atomi sunt caracteristice spectrele discrete care sunt formate din linii (radiaii monocromatice) izolate. Denumirea de linie spectral vine de la faptul c4

metodele experimentale duc la observarea radiaiilor monocromatice ca imagini ale unei fante nguste. O linie spectral corespunde teoretic unei radiaii monocromatice cu frecvena (lungimea de und ). n realitate liniile spectrale nu sunt riguros monocromatice ci prezint o anumit lrgime, . Exist o lrgime natural a liniei spectrale care este un efect cuantic. Lrgimea liniei se datorete i altor fenomene (efect Doppler, interacia dintre particule etc.). Intensitile liniilor spectrale depind de probabilitile cu care au loc tranziiile corespunztoare i de numrul sistemelor microscopice din diferite stri. Pentru molecule sunt caracteristice spectrele formate din benzi deoarece tranziiile au loc ntre grupuri de niveluri de energie alctuite din niveluri foarte apropiate. Dac o radiaie care are un spectru continuu trece printr-o substan absorbant, spectrul continuu va aparea brzdat de linii sau benzi ntunecate. Acesta constituie un spectru de absorbie. Specificitatea spectrelor optice permite identificarea atomilor i moleculelor (analiza calitativ). Dac se msoar intensitile ale liniilor sau benzilor spectrale se poate determina concentraia atomilor i moleculelor (analiz cantitativ).2.3. Culorile i vederea Dac o und luminoas de o frecven dat este incident pe un material ai crui atomi au electroni ce vibreaz cu aceeai frecven, atunci acetia vor absorbi energia undei incidente i o vor transforma n micare de vibraie. n timpul vibraiei, electronii interacioneaz cu atomii vecini transformnd energia sa vibraional n energie termic. Astfel, putem spune c unda luminoas incident a fost absorbit de material. Aceast absorbie este selectiv i depinde de frecvenele de rezonan ale materialului respectiv (vezi ecuaiile (4,5)). Deoarece atomii i moleculele ce alctuiesc diversele materiale au frecvene de vibraie diferite, ele vor absorbi frecvene diferite din lumina vizibil incident. n cazul n care frecvenele de rezonan ale atomilor i molelculelor ce alctuiesc materialul nu corespund frecvenelor undelor de lumin incidente, apar fenomenele de reflexie i transmisie. Cnd o astfel de und, avnd frecvena diferit de cea de rezonan a atomului, este incident pe un material, electronii din atom ncep s vibreze. Fenomenul de rezonan neproducndu-se, electronii vor vibra pe perioade scurte, cu amplitudini mic, n final energia fiind reemis sub form de und luminoas. Dac materialul este transparent, vibraia electronilor este trecut atomilor vecini prin volumul de material pn cnd ajunge pe faa opus a acestuia i este reemis sub form de lumin. n acest caz, spunem c unda incident a fost transmis. Dac materialul este opac, vibraia electronilor nu se transmite la atomii vecini, ea fiind reemis sub form de und luminoas dup o scurt perioad de timp. n acest caz, spunem c unda luminoas a fost reflectat. Culoarea obiectelor pe care le vedem se datoreaz modului n care lumina interacioneaz cu acestea, fiind reflectat sau transmis ochilor notri. Deci culoarea unui obiect nu este o proprietate intrinsec a acestuia, ci mai degrab a luminii reflectate sau transmise de acel obiect ochilor nostri. Lumina vizibil are un spectru continuu format dintr-un domeniu de frecvene, fiecare corespunznd unei anumite culori. Cnd aceasta este incident pe un obiect, anumite frecvene specifice acestuia vor fi absorbite i nu vor mai ajunge niciodat la ochiul nostru. Numai radiaia transmis sau reflectat care ajunge la ochi va determina culoarea atribuit obiectului. Astfel, un obiect care este capabil s absoarb toate frecvenele luminii incidente se va vedea negru, iar unul care nu absoarbe nimic, va avea aceeai culoare cu lumina incident.

5

Lumina natural conine toate frecvenele i este cunoscut sub numele de lumin alb. innd cont de notaia culorilor fundamentale, lumina alb este descris de urmtoarele componente: R (rou), O (portocaliu), G (galben), V (verde), A (albastru), I (indigo), V (violet).3. Descrierea instalaiei experimentale Instalaia experimental este format dintr-un spectroscop, dou becuri cu incandescen i surse spectrale (cu alimentatoare adecvate).

Fig. 3.

Spectroscopul este format din urmtoarele elemente (Fig. 3): prisma optic P, colimatorul C1 care const dintr-o fant dreptunghiular reglabil F, plasat n focarul unei lentile L1, luneta L cu ajutorul creia se face observarea spectrului i colimatorul C2 format dintr-o scar micrometric i o lentil L4 care proiecteaz imaginea scrii micrometrice pe o fa a prismei P iar aceasta o reflect n cmpul vizual al lunetei. Din colimatorul C1 iese un fascicul de lumin avnd seciunea transversal identic la modul ideal cu seciunea fantei. Acest fascicul, la trecerea prin prisma P, datorit fenomenului de dispersie, este desfcut n attea componente cte radiaii monocromatice conine lumina care intr n colimator prin fanta F. Fiecare component apare ca o imagine monocromatic a fantei de intrare. Determinarea poziiei unei linii spectrale se face pe scara micrometric, a crei imagine se suprapune peste spectrul optic. Sursele spectrale conin elementele, n stare atomic, ale cror spectre de emisie se vor studia (Hg n becul cu vapori de mercur; He i Ne n cele dou tuburi de descrcare). Excitarea atomilor pe niveluri superioare de energie se face prin ciocniri cu electroni accelerai n cmp electric. Dezexcitarea atomilor duce la emisia unor spectre de radiaii caracteristice. Pentru observarea spectrului de absorbie al moleculei de permanganat de potasiu se folosete o soluie de permanganat de potasiu (aflat ntr-o sticlu) i un bec cu incandescen.

6

4. Modul de lucru 4.1. Se alimenteaz circuitul becului cu vapori de mercur. Se aeaz spectroscopul cu colimatorul C1 n dreptul becului cu mercur. Se regleaz deschiderea fantei F la o valoare mic (sub 1 mm). 4.2. Privind prin luneta L se deplaseaz tubul ocularului L3 i se ngusteaz deschiderea fantei F pn cnd liniile spectrale devin subiri i nete. Se rotete luneta L pentru observarea ntregului spectru. 4.3. Se ilumineaz scala micrometric M cu un bec cu incandescen i se regleaz poziia colimatorului C2 astfel nct diviziunile scalei s se vad clar i s acopere ntregul spectru. 4.4. Deplasnd luneta L se observ i se noteaz poziia x (exprimat n diviziuni) a fiecrei linii din spectrul Hg. Rezultatele se trec n urmtorul tabel:

Culoare violet Intensi- foarte tate intens (nA) 404,7 galben galben

violet

Spectrul mercurului albastru albastru- albastru- verde verde verde intens foarte slab foarte slab intens slab 407,8 435,8 491,6 496,0 535,4

verde slab 538,5 rosu foarte slab

verde foarte intens 546,1 rosu foarte slab

foarte foarte intens intens 577,0 579,0

portoca portoca- rosu -liu liu foarte slab intens slab 585,9 589,0 607,3

rosu intens 612,3

rosu intens 623,4

4.5. Se deconecteaz circuitul becului cu vapori de mercur. Se conecteaz i apoi se alimenteaz tubul de descrcare cu He (heliu). Se aeaz spectroscopul cu colimatorul C1 spre tubul cu He astfel nct fanta F s fie la 1-2 cm de tub. Deplasnd luneta L se observ i se noteaz culoarea, intensitatea i poziia x (exprimat n diviziuni) a fiecrei linii din spectrul He. Rezultatele se trec ntr-un tabel de forma: Spectrul heliului Intensitatea

Culoarea

x(div)

(nm)

Lungimea de und se obine i se completeaz dup prelucrarea datelor experimentale 4.6. Se ntrerupe alimentarea tubului cu He. Se fac conexiunile la tubul de descrcare cu Ne (neon), apoi se nchide circuitul de alimentare. Se repet operaiunile fcute pentru He, iar rezultatele se trec ntr-un tabel asemntor celui de la spectrul heliului.4.7. Pentru observarea spectrului de absorbie al permanganatului de potasiu se se aeaz sticlua cu soluie pe un stativ i se ilumineaz cu un bec cu incandescen. Se aeaz spectroscopul cu colimatorul C1 n dreptul sticluei. Prin luneta L se vor observa benzile de absorbie sub forma unor dungi ntunecoase. Se citesc diviziunile x' i x" care mrginesc benzile, iar rezultatele se trec ntr-un tabel de forma:

7

Banda

x x"

'"

Ultima coloan se completeaz dup prelucrarea datelor experimentale.5. Indicaii pentru prelucrarea datelor experimentale 5.1. Cu datele din primul tabel (referitor la spectrul mercurului) se traseaz curba de etalonare a spectroscopului = f(x). 5.2. Se determin din curba de etalonare, considernd poziiile msurate, lungimile de und corespunztoare liniilor spectrale ale heliului i neoului i marginilor benzilor de absorbie ale permanganatului de potasiu. Valorile gsite se trec n tabele prezentate mai sus. 5.3. Se calculeaz dispersia liniar a spectroscopului dx D= (11) d ca inversul pantei tangentei la curba de etalonare n punctele corespunztoare lungimilor de und = 420 nm, = 500 nm i = 580 nm.

ntrebri 1. O prism de sticl cu unghiul la vrf de 60 are, pentru o anumit radiaie, indicele de refracie n = 1,60. Ce unghi de inciden este necesar ca raza s treac prin prism n mod simetric? 2. Care este unghiul de deviaie minim, pentru o anumit radiaie, al unei prisme cu indicele de refracie de 1,41 a crei seciune este un triunghi echilateral? 3. Se poate determina experimental indicele de refracie al sticlei din care este construit prisma spectroscopului? Dac da, artai cum. 4. Presupunem c n diferite pri ale unui spectru, observat cu spectroscopul, avem cte dou linii spectrale pentru care diferena ntre lungimile de und este aceeai. n care parte a spectrului separarea spaial a acestor linii este mai mare? Justificai rspunsul. 5. S se specifice n ce culori se vd materialele de mai jos:

8

a)

b)

c)

d)

Dorii s tii mai mult? Accesai: http://www.mpcfaculty.net/ron_rinehart/spectral.htm

9

EXPERIENA DEBYE-SCHERRER DE DIFRACIE DE ELECTRONI PE O REEA POLICRISTALIN

Obiectivele experimentului: Determinarea lungimii de und a electronilor Verificarea ecuaiei de Broglie Determinarea constantei de reea a grafitului 1. Principiul lucrrii n anul 1924 Louis de Broglie a sugerat c n afara proprietilor specifice de particele, acestea pot avea i caracter ondulator i a presupus c lungimea de und a unei particule libere este dat de relaia

=unde:

h p

(1)

este lungimea de und asociat particuleih este constanta lui Palnck p este impulsul particulei

Aceast ipotez, confirmat de experienele de difracie de electroni pe o reea cristalin de nichel fcute de Clinton Davisson i Lester Germer n anul 1927, a fost extins de la particulele libere la orice tip de particule. n experimentul de fa este demonstrat caracterul ondulator al electronilor printr-o experien de difracie de electroni pe o reea policristalin de grafit, experiment cunoscut sub numele de difractie Debye-Scherrer. Un fascicol de electroni monocromatici emii de catodul unui tub electronic sunt focalizai de un sistem de lentile electromagnetice i cad pe o folie policristalin de grafit. Atomii grafitului sunt aranjai ntr-o reea cristalin care acioneaz ca o reea de difracie pentru electroni, pe un ecran fluorescent aprnd figura de difracie sub forma a dou inele concentrice (Fig. 1) corespunztoare celor dou constante de reea d1 i d2 (Fig. 3). Diametrul inelelor concentrice se modific n funcie de lungimea de und a electronilor i, deci, in funcie de tensiunea de accelerare, conform consideraiilor de mai jos.

1

Fig. 1 Reprezentarea schematic a inelelor de difracie. Cele dou inele cu diametrele D1 i D2 corespund constantelor de reea d1 i d2 (conform Fig. 3) Energia unui electron accelerat n cmpul de energie potenial U este:

p2 eU = 2munde: U este tensiunea de accelerare e - sarcina electric a electronului p - impulsul electronului Substituind impulsul p din ecuaia (2)

(2)

p = 2meUn ecuaia (1), se obine lungimea de und asociat electronului:

=

h 2meU

(3)

expresie care arat c lungimea de und asociat electronului este determinat de tensiunea de accelerare U. n anul 1913 sir H. W. Bragg i fiul su W. L. Bragg au nteles c aranjarea periodic a atomilor n reeaua cristalin a unui monocristal este format din plane cristaline paralele. Dac pe un set de astfel de plane cristaline cade un fascicol monocromatic de raze X sau electroni monoenergetici care se presupune c au caracter ondulatoriu, fiecare element al planului cristalin acioneaz ca un centru de mprtiere genernd o und sferic elementar reflectat, suprapunerea acestor unde sferice elementare genernd un front de und reflectat. Conform legilor reflexiei, lungimea de und a undei reflectate este aceeai cu a undei incidente si unghiul de reflexiei este egal cu unghiul de inciden. Din suprapunerea undelor reflectate pe plane succesive se obin

2

maxime

= 1 + 2 = 2d sin

de

interferen

(interferna constructiv) dac diferena de (Fig. 2) este un multiplu ntreg de lungimi de und:

drum

2d sin = n ;unde:

n = 1,2,3,...

(4)

d este distana dintre dou plane succesive 2 - unghiul dintre fascicolul incident si cel reflectat ( unghiul msurat de la plan) Condiia (4) este cunoscut ca relaia Bragg.

Fig.2 Reprezentarea schematic a Condiiei de difracie Bragg

Fig.3 Constantele de reea n grafit:

d1 = 2.13 10 10 m

d 2 = 1.23 10 10 m

n experimentul din aceast lucrare se folosete un material policristalin care este format dintr-un numr foarte mare de monocristale (cristalite) aranjate neregulat in spaiu. Vor exista totdeauna cteva monocristale a cror orientare satisface condiia Bragg pentru o lungime de und i direcie a fascicolului incident date. Totalitatea reflexiilor produse de aceste cristalite se afl ntr-un con a crui ax este dat de direcia fascicolului incident, astfel c pe ecranul aflat perpendicular pe aceast axa vor aprea cercuri concentrice. Planele cristaline importante pentru figura de difracie din acest experiment sunt, conform Fig. 3, cele pentru care constantele de reea sunt:

d1 = 2.13 10 10 m ; d 2 = 1.23 10 10 m

3

Fig .4 Reprezentarea schematic a unghiului de difracie . L=13.5cm (distan dintre folia de grafit i ecran) D este diametrul inelului de difracie observat pe ecran

Din Fig. 4 se obine relaia:

tg 2 =unde:

D 2L

(5)

D este diametrul unui inel L distana de la prob la ecran Pentru unghiuri mici

tg 2 sin 2 2 sin

(6)

Substituind (6) n (4) se obine, pentru primul ordin de difracie, n=1, expresia pentru lungimea de und asociat electronilor:

=d

D 2L

(7)

innd cont de expresia (3) pentru lungimea de und a electronilor se obine pentru diametrul inelelor de difracie expresia:

D = k( d )unde

1 U

(8)

d 2me 1 ) , pant care depinde de constanta de reea d. este panta dreptei D = D( U

k( d ) =

2 Lh

(9)

4

2. Montajul experimental. Aparatura:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Tubul de difracie de electroni Surs de nalt tensiune de 10kV Vernier Cablu de conexiune rou de 25 cm Cablu de conexiune rou de 50 cm Cablu de conexiune rou de 100 cm Cablu de conexiune albastru de 100 cm Cablu de conexiune negru de 100 cm Montajul experimental este prezentat n Fig. 5.

Fig.5 Schema conecxiunilor pentru observarea difraciei electronilor pe grafit Se conecteaz conexiunile de nclzire a catodului tubului, F1 i F2, la ieirea sursei de nalt tensiune de 10kV Se conecteaz catodul C i focalizarea electronilor X ale tubului de electroni la polul negativ al sursei al sursei de nalt tensiune Se conecteaz anodul A la polul pozitiv al ieirii de 5kV/2mA a sursei de nalt tensiune Se conecteaz sursa de nalt tensiune Msurtori experimentale: Se aplic o tensiune de accelerare U 5kV i se observ figura de difracie Se variaz tensiunea de accelerare ntre 3kV i 5kV n trepte de 0,5kV i se msoar diametrele D1 i D2 ale inelelor de difracie observate pe ecran Se msoar distana L dintre folia de grafit i ecran 5

Rezultatele experimentale se trec n urmtorul tabel:

Tabelul 1 U(kV) 3 3.5 4 4.5 5 D1(cm) D2(cm)

Prelucrarea rezultatelor experimentale: a. Determinarea lungimii de und a electronilor Din valorile msurate ale diametrelor inelelor de difracie D1 i D2 i valorile constantei de reea d1 i d2 presupuse cunoscute (Fig.3) folosind ecuaia (7) se poate obine lungimea de und experimental a electronilor. Rezultatele msurtorilor pentru D1 i D2 corespunztoare diferitelor tensiuni se trec n urmtoarele tabele: U(kV) 3 3.5 4 4.5 5 D1(cm)

1 exp erimental (pm)(conform ecuaiei (7))

U(kV) 3 3.5 4 4.5 5

D2(cm)

2 exp erimental (pm)(conform ecuaiei (7))

6

b. Verificarea relaiei de Broglie Relaia de Broglie (1) se verific folosind ecuaia (3) unde:

e = 1.6021 10 19 C m = 9.1091 10 31 kg h = 6.6256 10 34 Js

Rezultatele obinute pentru lungimea de und tensiuni aplicate sunt trecute n urmtorul tabel: U(kV)

corespunztoare diferitelorteoretic ( pm )

1 U

( kV

1 2

)

3 3.5 4 4.5 5

Se observ c valorile experimentale ale lungimii de und a electronilor obinute din figura de difracie i cele teoretice sunt ntr-o bun concordan. c. Determinarea constantei de reea a grafitului Conform ecuaiei (8), diametrul inelelor de difracie D depinde de tensiunea de accelerare U, panta dreptei

D = D(

1 U

)

fiind determinat de valoarea constantei de reea d conform relaiei (9). Experimental, pantele k1(d1) i k2(d2) se determin din reprezentarea grafic a diametrelor msurate D1 i D2 ca funcie de

1 U

.

Avnd aceste pante determinate din graficele de mai sus, constantele de reea se obin din ecuaia (9):

d=

2 Lh k 2me

7

Atenie! Dac se lucreaz cu tensiuni de accelerare mai mari de 5kV se genereaz raze X. Nu aplicai pe tub tensiuni mai mari de 5kV. Folosii o surs de tensiune de 10kV. Tubul de difracie de electroni este un tub cu vid nalt, construit dintr-o sticla subire. Nu expunei tubul efectelor mecanice (loviri) si conectai-l doar dac este montat pe stativ. Manervai cu grij contactele tubului. Tubul de difracie de electroni poate fi distrus de tensiuni sau cureni prea mari. Lucrai doar n limita parametrilor specifai n seciunea referitoare la datele tehnice.

8

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCURETI DEPARTAMENTUL DE FIZIC

LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-030

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

2004 - 2005

1

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG1. Scopul lucrrii Determinarea constantei implicate n seriile spectrale ale atomilor hidrogenoizi. 2. Teoria lucrrii Atomii fiecrui element chimic emit, atunci cnd sunt excitai (de exemplu ntr-o descrcare n gaz), un spectru optic caracteristic de radiaii, astfel c fiecare element poate fi identificat dup spectrul su. Aceasta este esena analizei spectrale calitative. De asemenea, atomii pot fi excitai prin absorbie de radiaie, spectrul de absorbie fiind identic cu cel de emisie. Spectrele elementelor chimice sunt cu att mai complicate, cu ct numrul lor de ordine Z este mai mare. Spectrele optice ale atomilor sunt datorate electronilor optici, adic electronilor ce se gsesc pe orbita periferic. Spectroscopitii experimentatori au stabilit c toate liniile din diferitele serii spectrale ale atomului de hidrogen pot fi descrise printr-o relaie general care d lungimea de und a liniilor spectrale /1-4/: 1 1 R R 1 mn = = T ( m ) T ( n ) = H H = RH (1) 2 2 2 mn m n n2 m unde n i m sunt numere ntregi, T(m) i T(n) sunt termeni spectrali, iar RH este constanta Rydberg. mn este numrul de und (cunoscut i ca frecven spaial), definit ca inversul lungimii de und mn . Relaia (1) este formularea matematic a principiului de combinare Rydberg-Ritz : toate frecvenele (sau numerele de und) ale atomului de hidrogen pot fi scrise ca diferena a doi termeni spectrali iar dac exist n spectru frecvenele (spaiale) mk i nk , atunci exist de asemenea diferena lor mn . Explicarea liniilor spectrale ale atomului de hidrogen a constituit o verificare de succes a teoriei atomului de hidrogen, dat de Niels Bohr n 1913 (i pentru care a primit premiul Nobel pentru fizic n 1922). Bohr afirm c nu exist dect anumite orbite permise pentru electron, corespunztoare unor stri staionare. Astfel, el emite urmtoarele postulate: I. Atomul se poate afla ntr-un ir discret de stri staionare, determinate de irul discret E1 , E2 , , En de valori ale energiei totale. n aceste stri atomul nici nu emite, nici nu absoarbe energie. II. Energia atomului poate varia discontinuu, prin trecerea de la o stare staionar de energie total Em0 la alt stare staionar de energie total Em . Frecvena fotonului absorbit

sau emis este dat de relaia:Em0 Em , (2) h procesul de absorbie avnd loc n cazul n care electronul trece de pe o orbit mai apropiat de nucleu pe una mai deprtat, iar emisia atunci cnd parcurge drumul invers. III. Mrimea momentului cinetic al electronului pe orbitele circulare permise n jurul nucleului trebuie s fie egal cu un numr ntreg de : M = mvr = n (3) h este constanta lui Planck redus, h este constanta lui Planck iar n se numete unde = 2 numr cuantic principal i poate lua valorile n = 1, 2, 3,.... mn =

2

Astfel, considernd modelul planetar al atomului cu nucleul (protonul) imobil, se obine c energia total En (compus din energia cinetic a electronului n micarea sa n jurul nucleului i energia electrostatic de interacie coulombian nucleu-electron) pe orbita n este cuantificat:En = 1 2 8 0 h 2 n 2 e4m

(4)

unde m este masa electronului, e este sarcina electronului i 0 este permitivitatea electric a vidului. Cea mai sczut energie a atomului de hidrogen (numit i stare fundamental) corespunde numrului numrului cuantic n = 1 i are valoare de 13,6 eV. Ionizarea atomului de hidrogen, adic spargerea lui ntr-un nucleu i un electron corespunde unei deprtri practic infinite dintre aceste particule, energia minim a acestui sistem fiind zero. Energia minim necesar pentru a ioniza atomul de hidrogen aflat n starea fundamental se numete energie de ionizare i are valoarea de 13,6 eV. n mecanica cuantic energia atomului de hidrogen, expresia (4), se afl prin integrarea ecuaiei Schrdinger, fr a se mai introduce condiia (3). Energia total a atomului de hidrogen este negativ (ecuaia (4)), ceea ce exprim faptul c electronul se afl legat n cmpul electromagnetic al nucleului. Folosind relaiile (2) i (4) se obine:

1 mn

=

2 80 h3c m 2 n 2 RH = me4

me4

1

1

(5)

care comparat cu (1), conduce la relaia: , (6) 2 80 h3c expresie obinut n cazul modelului n care s-a considerat protonul imobil. Din relaia (2) pot fi gsite toate lungimile de und ale liniilor diferitelor serii spectrale ale hidrogenului. O serie spectral reprezint totalitatea liniilor spectrale care au un nivel energetic de baz comun (fig.1). Astfel exist seria Lyman la care nivelul energetic comun este corespunztor lui m=1 (n relaia (5)), iar m 2, i are liniile n domeniul ultraviolet (adic seria Lyman conine toate tranziiile n care este prezent nivelul fundamental de energie); seria Balmer (vizibil) la care m = 2 i n = 3, 4, 5, 6, 7, (adic seria Balmer conine toate tranziiile n care este prezent primul nivel excitat de energie); seria Paschen la care m = 3 i n = 4, 5, iar liniile spectrale au lungimile de und corespunztoare radiaiilor din infrarou etc.3. Principiul experimentului n aceast lucrare se va studia seria spectral Balmer, determinndu-se lungimile de und pentru liniile H , H , H , H , H i H (limita seriei Balmer). Astfel, liniile spectrale

de mai sus ale hidrogenului nregistrate pe o plac fotografic (spectrogram ) plasat n planul focal al unui spectroscop cu prism sunt prezentate n partea de sus a figurii 2. Pentru determinarea lungimilor de und ale liniilor hidrogenului, se folosete un spectru cunoscut, nregistrat la acelai spectroscop i n condiii identice, al mercurului. Lungimile de und ale liniilor mercurului, de la stnga la dreapta n spectrograma din figura 2, sunt 623.4, 612.3, 579.0, 577.0, 546.1, 535.4, 435.8, 434.7, 433.9, 407.8 i 404.7 nm. Astfel, spectrul mercurului este folosit pentru etalonarea n lungimi de und a spectrogramei. n cazul seriei Balmer, relaia (1) devine:

3

1 1 1 = RH n 22 n 2 de unde rezult constanta Rydberg: n =RH = n n2 4

unde n = 3,4,5,6,

(7)

(

4n 2

)n= (limita de ionizare) n=4 n=3

(8)

0

E (eV)

Seria Paschen-2

Seria Balmer-4

n=2

-6

-8

-1 0

-1 2

Seria Lyman-1 4

n=1 (starea fundamental)

0Fig. 1

1

H

Fig. 2

4

4. Dispozitivul experimental Studierea spectrogramei se face cu un microscop. Msua microscopului poate fi deplasat n plan orizontal, pe dou direcii perpendiculare, cu ajutorul a dou uruburi. Deplasarea n lungul spectrului permite msurarea poziiei unei linii spectrale pe o rigl gradat n mm folosind un vernier cu precizia de 0,1 mm. Pentru fixarea poziiei liniei dorite, ocularul microscopului este prevzut cu un fir reticular. Pentru efectuarea lucrrii sunt necesare: spectrograma cu spectrul hidrogenului atomic vizibil (seria Balmer), cu spectrul mercurului i un microscop. 5. Modul de lucru i prelucrarea datelor experimentale Se identific spectrul mercurului i al hidrogenului privind nti spectrograma cu ochiul liber i apoi la microscop. Privind prin ocular, se potrivete oglinda microscopului pentru a avea o bun iluminare a spectrogramei. Se deplaseaz msua microscopilui n plan orizontal astfel nct zona de pe spectrogram nconjurat cu un cerc din figura 2 s fie pe axa obiectivului microscopului. Pentru a nu se sparge spectrograma, poziia vertical iniial a microscopului trebuie s fie cu obiectivul lipit de spectrogram. Se ridic treptat tubul microscopului, pn cnd liniile spectrale apar clare. Se verific paralelismul ntre liniile spectrale i firul reticular, aezarea paralel a firului reticular fcndu-se prin rotirea ocularului. Se citesc pe rigla gradat (prin suprapunerea firului reticular cu fiecare linie) poziiile xi ale celor 11 linii ale mercurului i se completeaz tabelul de mai jos. Atenie : tabelul poate fi completat att de la dreapta la stnga ct i de la stnga la dreapta. Privii cu ochiul liber spectrograma aflat pe msua microscopului (fr a o atinge) i figura 2 pentru a ti din care parte ncepei completarea tabelului. (nm) x (mm) 1 2 m 2

Tabelul 1 : Etalonarea spectrogramei cu ajutorul spectrului mercurului 623.4 612.3 579.0 577.0 546.1 535.4 435.8 434.7 433.9 407.8 404.7

(

Se citesc, de asemenea, pe rigla gradat poziiile x j ale celor 6 linii din seria hidrogenului ( H , H , H , H , H i H ) i se trec n tabelul 2.

Tabelul 2 : Determinarea spectrului hidrogelului (seria Balmer) i a constantei RydbergLiniaHHH

x (mm)

(nm)

n

RH

RH

R H

H

HH

5

Se traseaz pe hrtie milimetric curba de etalonare = f ( xi ) pentru mercur. De fapt, curba de etalonare o constituie dependena x() dar pentru motive ce vor fi explicate n continuare, preferm reprezentarea x). Am amintit c spectrograma a fost nregistrat cu un spectroscop cu prism. Elementul dispersiv al spectroscopului prisma are un indice de 1 refracie a crui dependen ntr-o form simplificat este liniar n (formula lui Cauchy 2 /5/). Poziia unei linii spectrale pe spectrogram este aproximativ proporional cu indicele de 1 1 (sau, echivalent, funcia 2 refracie al prismei adic, n cele din urm, este liniar n 2 este liniar n x). Astfel, pe acelai grafic, pe axa vertical din dreapta, se reprezint graficul 1 = f ( xi ) . Astfel, aceast ultim reprezentare permite o mai bun determinare a lungimilor 2 de und ale liniilor spectrale ale hidrogenului care se gsesc n afara domeniului acoperit de 1 1 spectrul mercurului. i dependena x sau ( x ) poate fi considerat n sens extins 2 2 curb de etalonare. Avnd poziiile x j ale celor 6 linii ale hidrogenului se scot din curba de etalonare

lungimile de und ale liniilor H , H , H necesare pentru calcularea constantei lui Rydberg. Se calculeaz constanta Rydberg conform relaiei (8); valorile obinute se trec n tabelul 2.RH = i =1

RHi6 i deviaia standard a valorii medii

6

Se calculeaz valoarea medie

( RHi R = Hi =1

6

RH

)

2

65

i rezultatul final se scrie sub forma RH = RH R . H

6. ntrebri (ntrebrile 12-16 sunt facultative) 1. Ce sunt liniile spectrale ?2. Ce este lungimea de und ? Dar numrul de und ? n ce relaii se gsesc acestea cu frecvena radiaiei ? Dar cu energia radiaiei ? 3. Ce este o serie spectral a hidrogenului? Cte linii spectrale conine o serie spectral ? Ce este limita unei serii spectrale ? 4. Ce este un termen spectral? 5. Ce reprezint principiul de combinare Rydberg-Ritz n studiul liniilor spectrale emise de atomi ? Care este utilitatea lui ? Ce este mai simplu de cunoscut : liniile spectrale sau termenii spectrali ? Justificai rspunsul. 6. Ce sunt atomii hidrogenoizi ?

6

7. Care au fost postulatele enunate de Bohr pentru explicarea spectrului atomilor de hidrogen ? 8. S se aranjeze n ordinea cresctoare a lungimilor de und liniile spectrale : H , H , H , H , H i H . (echivalent, aezarea n ordinea cresctoare a frecvenelor, n ordinea cresctoare a numrului cuantic principal, n ordinea crsctoare a energiilor nivelurilor superioare etc) 9. Ce este o spectrogram ? Ce este curba de etalonare a spectrogramei ? La ce folosete curba de etalonare a spectrogramei ? 10. tiind c linia H a seriei Balmer a hidrogenului are lungimea de und de 486 nm, s se determine constanta lui Rydberg. (Se d formula n = unde n = 3, 4,5, 6, ) 11. tiind c limita seriei Balmer a hidrogenului are lungimea de und de 364,6 nm, s se 1 1 1 determine constanta lui Rydberg. (Se d formula n = = RH unde n 22 n 2

1 1 1 = RH n 22 n 2

n = 3, 4,5, 6, ) 12. tiind c linia H a seriei Balmer a hidrogenului are lungimea de und de 656 nm, sdetermine limita seriei Balmer a hidrogenului. (Se d formula 1 1 1 nm = = RH .) nm m2 n2 13. tiind c linia H a seriei Balmer a hidrogenului are lungimea de und de 656 nm, s determine limita seriei Lyman a hidrogenului. (Se d formula 1 1 1 nm = = RH .) nm m2 n2 14. tiind c linia H a seriei Balmer a hidrogenului are lungimea de und de 656 nm, s se determine lungimea de und a liniei a a seriei Lyman a hidrogenului. n ce domeniu spectral se gsete aceasta ? 1 1 1 (Se d formula nm = = RH .) 2 nm n2 m 15. tiind c linia H a hidrogenului are lungimea de und de 434 nm, s se calculeze energia de ionizare a H2 aflat n starea fundamental de energie. (Se d formula 1 1 1 n = = RH unde n = 3, 4,5, 6, ) 2 n n2 2 16. tiind c linia H a seriei Balmer a hidrogenului are lungimea de und de 656 nm, s se determine lungimea de und a liniei a seriei Lyman a C5+. (Se d formula se se

nm =

1 1 = RH 2 nm n2 m1

.)

7