fiziČko tehniČka merenja: merna...

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: MERNA NESIGURNOST

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA 2012, Marko Barjaktarović

UVOD

• Rezultat svakog merenja sadrži određenu nesigurnost.

• Tačnu vrednost merne veličine nije moguće odrediti.


UVOD

• Pre uvođenja pojma merne nesigurnosti, obrada i izražavanje rezultata merenje

bazirano na teoriji grešaka.

• Greška – razlika izmerene veličine i "tačne vrednost".

• Teorija grešaka – dva tipa greški:

– slučajne – ako se merenje ponovi ne dobija se isti rezultat i unapred nije moguće

predvideti vrednost ponovljenog merenja, npr. termički šum u otporniku utiče

na izlazni napon. Matematičko očekivanje slučajnih greški je 0.

– sistemske – ponovljenim merenje i upoređivanjem sa etalonom utvrđeno je da

instrument uvek unosi grešku u istom smeru i moguće je predvideti vrednost te

greške. Matematičko očekivanje sistemskih greški je različito od 0.

• Neodređenost greški:

– ista fizička veličina može izazvati oba tipa greški – npr. temperature (Džonsonov

šum i drift nule usled zagrevanja mernog instrumenta).

– vrednost sistemske greške se takođe procenjuju, najčešće pomoću merila više

tačnosti, odnosno i sistemskoj greški se pridružuje određena nesigurnost.


UVOD

• U cilju uvođenja standardizacije u oblast izražavanja mernih rezultata, uveden je pojam merne nesigurnosti – Uncertainty in Measurement.

• Osnova uputstva za izražavanje merne nesigurnosti – ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, skraćeno GUM.

• Postoji nekoliko revizija GUM-a, prva verzija izdata 1993. godine.

• Trenutna verzija: http://www.bipm.org/en/publications/guides/

• Merna nesigurnost je parametar koji se pridružuje rezultatu merenja i koji odražava rasipanje izmerenih vrednosti.

• Svi faktori koji utiču na rezultat merenja potencijalni su uzročnici merne nesigurnosti.

• Identifikacijom tih faktora i procenom njihovih vrednosti moguće je unaprediti proceduru merenja, a time i smanjiti mernu nesigurnost.

• Cilj – ne samo smanjenje vrednosti merne nesigurnosti, već otkrivanje svih faktora koji mogu uticati na mernu nesigurnost.

http://www.bipm.org/en/publications/guides/


STATISTIČKA OBRADA MERNIH REZULTATA

• Ponovljenim merenjem posmatrane fizičke veličine dobijen skup rezultata (uzorak):

1 2 3

1

...1n

ns i

i

x x x xx x

n n

1 2 3, , ,..., nx x x x

• Srednja vrednost uzorka:

• Standardno odstupanje uzorka:

2

11

ni s

i

x xs

n

• Standardno odstupanje srednje vrednosti (dobija se od n merenja i tih n merenje je takođe

slučajno određeno):

2

11s

ni s

x

i

x xs

n n

• Srednja vrednost je pouzdanija od pojedinačnih merenja.

• Relativno standardno odstupanje (što ima manju vrednost ponovljivost je

bolja):

rs

ss

x


STATISTIČKA OBRADA MERNIH REZULTATA

• Često se merna veličina y određuje indirektno, na osnovu izmerenih uticajnih fizičkih veličina

xi: 1 2 3( , , ,..., )ky f x x x x

• Standardno odstupanje veličine y iznosi:

2

2

1i

k

y xii

ys s

x

• gde predstavlja standardno odstupanje uticajne veličine xi.

• Koeficijent korelacije predstavlja vezu između uticajnih veličina xp i xq: ixs

, , , ,

1

1p q

p q

n

p i p s q i q s

ix x

x x

x x x x

rn s s

• Što je bliže 1, to je njihova međuzavisnost linearnija. p qx xr


HISTOGRAM

• Histogram – grafička predstava rezultata merenja.

• Histogram prikazuje grupisanje oko srednje vrednosti – omogućuje brzu procenu funkciju

raspodele koja opisuju posmtaranu mernu veličinu.

• Posmatra se uzoraka: x1, x2, x3,..., xn.

• Svi rezultati merenje nalaze se u intervalu [xmin, xmax].

• Određuje se broj intervala histograma m, najčešće je:

• Širina histograma Δx iznosi:

• U svakom intervalu nalazi se rezultata merenja (učestanost intervala).

• Svakom intervalu odgovara relativna učestanost:

ixn

max minx xx

m

2 ili log 1m n m n

ix

i

nP

n


HISTOGRAM

• Gustina relativne učestanosti definiše se sledećom formulom:

• Kumulativni histogram:

ixii

nPp

x n x

,

1 1

1j

i i

cum i j x

j j

p p nn x


FUNKCIJA RASPODELE

• Za histogram posmatranog uzorka, kada n → ∞, m → ∞, Δx → dx, ΔPi → P(x) i pi postaje:

• funkcija raspodele koja se pridružuje datom merenju, i opisuje raspodelu rezultata merenja.

• Verovatnoća nalaženja rezultata merenja u intervalu (x,x+dx) iznosi:

dP x

p xdx

2

1

1 2 1,2, a u intervalu [ , ]

x

x

dP p x dx x x P p x dx

• Funkcija raspodele mora biti normirana: 1p x dx

• Srednja vrednost:

• Standardno odstupanje:

xp x dx

2

x p x dx


RAVNOMERNA RASPODELA

• Vrednosti merne veličine pripadaju ograničenom skupu (μ–a, μ+a).

• Sve vrednosti iz datog opsega su jednako verovatne.

2 1

1

2

standardno odstupanje: 3

u intervalu oko 57.7 % rezultata

a

a

p x dx p x dx p x a

p xa

as

s

• Primenjuje se kada se raspolaže sa nedovoljno informacija o nekom instrumentu:

– npr. proizvođač je naveo da dati instrument ima garantovanu grešku manju od 1.5 % maksimalne vrednost Um:

0.015 0.00873

m m

aa U s U


TROUGAONA RASPODELA

• Vrednosti merne veličine pripadaju ograničenom skupu (μ–a, μ+a).

• Postoji određeno grupisanje oko srednje vrednosti.

2

2

1, ,

1, ,

standardno odstupanje: 6

u intervalu oko 65 % rezultata

x a x aa

p x

x a x aa

as

s

• Može se primeniti kada se u radu sa određenim instrumentom utvrdilo da postoji grupisanje rezultata oko srednje vrednosti, ali raspodela ne odgovara Gausovoj.


GAUSOVA (NORMALNA) FUNKCIJA RASPODELE

• Poseban značaj u mernoj tehnici.

• Primenjuje se kada su ispunjeni uslovi centralne granične teoreme, što je slučaj kada se merna

vrednost određuje na osnovu srednje vrednosti uzorka (za n > 30).

• Slučajno je generisan uzorak od 500 brojeva u

određenom intervalu.

• N = 1 – određen je histogram.

• N = 4 – izračunata je srednja vrednost 4 slučajno

izabrana broja iz uzorka i određen histogram

dobijenih srednjih vrednost.

• Ponovljena je procedura za N = 7 i N = 10.

• Gasova raspodela je data sledećim izrazom:

21

21

2

x

p x e

• gde je μ srednja vrednost, a σ standardno odstupanje.


GAUSOVA (NORMALNA) RASPODELA

• Maksimum se postiže za x = μ:

• npr. P(μ±σ) = 2I1(z = 1) ≈ 68%

• Takođe: P(μ±2σ) ≈ 95%, P(μ±2.56σ) ≈ 99%, P(μ±3σ) ≈ 99.7%.

1

2Gp

• Smenom: x

z

• dobija se uopštena Gausova raspodela:

21

21

2

z

p x e

• što omogućava izračunavanje verovatnoće

nalaženja merne veličine u zadatom intervalu

na osnovu integrala I1(z) koji se daje tabelarno:

1

0

z

GUI z p x dx


STUDENTOVA RASPODELA

• Ispunjeni uslovi Gausove raspodele, ali je broj merenja relativno mali (n < 30).

• ns = n – 1 je broj stepeni slobode.

• nmin za koje se može primeniti Gausova raspodela zavisi od širine intervala za koji se

verovatnoća P(μ ± kσ) određuje, npr. za k = 1 nmin ≈ 20, za k = 2.56 nmin ≈ 40.

• ν – broj stepeni slobode i odgovarajući koeficijent za koje je P(μ ± t95σ) ≈ 95 %.


MERNA NESIGURNOST

• Standardna merna nesigurnost u (uncertainty) = standardno odstupanju s.

• Statistička sigurnost koja odgovara intervalu (xs ± u) zavisi od pridružene raspodele, za

ravnomernu 57.7%, za trougaonu 65%, za normalnu 68%.

• Standardna kombinovana merna nesigurnost uC određuje se kada se rezultat dobija na

osnovu više podataka.

• Svakom podatku koji utiče na nesigurnost pridružuje se odgovarajuća funkcija raspodele,

srednja vrednost i standardno odstupanje.

• Proširena merna nesigurnost U, predstavlja proizvod standardne merne nesigurnosti i

koeficijenta proširenja k, koji može imati vrednosti u intervalu od do 3.

• Koeficijent proširenja zavisi od pridružene raspodele i zahtevane statističke sigurnosti, npr

statističkoj sigurnosti od 99% i pridruženoj Gausovoj raspodeli odgovara koeficijent

proširenja od 2.56.

3


MERNA NESIGURNOST TIP A

• Merna nesigurnost (MN) tipa A određuje se metodom statističke obrade rezultata.

• MN tipa A postoji samo kada je merenje ponovljeno nekoliko puta (n).

• Standardna MN tipa A pojedinih rezultata merenja:

2

11

ni s

i

x xu

n

• Standardna MN tipa A srednje vrednosti:

2

11

ni s

s

i

x xuu

n nn

• Statističkoj sigurnosti koja odgovara standardnoj mernoj nesigurnosti tipa A zavisi od

pridružene raspodele.

• U slučaju većeg broja merenja, srednjoj vrednosti se može pridružiti Gausova raspodela,

odnosno Studentova za manji broj merenja.

• U praksi se često srednjoj vrednosti pridružuje Gausova raspodela, za n ≥ 10.


MERNA NESIGURNOST TIP B

• Merna nesigurnost (MN) tipa B određuje se svim ostalim metodama osim

statističkom analizom ponovljenih rezultata merenja:

• MN tipa B postoji i kada je merenje izvršeno samo jedanput.

• Standardna MN tipa B pojedinih rezultata merenja:

– podaci o mernoj opremi – katalozi proizvođača sadrže mernu nesigurnost

koja zavisi od opsega merenja, a važi u navedenim uslovim korišćenja – opseg

temperature okoline, vlažnost vazduha, itd;

– saznanje o uticaju okoline, pre svega temperature na proces merenja,

– saznanje o uticaju smetnji, posebno elektromagnetnih, ali i mehaničkih

(vibracije),

– i drugo.

• U najvećem broju slučajeva MN tipa B se pridružuje ravnomerna raspodela jer ne

postoje drugi podaci, a ravnomerna raspodela predstavlja najnepovoljniji slučaj.


KOMBINOVANA MERNA NESIGURNOST

• Pojedina merenja se dobijaju kao rezultat drugih mernih veličina, npr. snaga potrošača se

određuje kao proizvod struje kroz potrošač I i napona na njemu U. U oba merenja određuje se

merna nesigurnost uI i uU. Na osnovu tih mernih nesigurnosti određuje se kombinovana merna

nesigurnosti snage potrošača uP.

• Kombinovana merna nesigurnost izračunava se osnovu postupka određivanja standardnog

odstupanja za indirektno merenu veličinu y, na osnovu izmerenih uticajnih fizičkih veličina xi:

2

2

1i

k

C xii

yu u

x

• gde predstavlja standardnu mernu nesigurnost uticajne veličine xi, pri čemu se u

izračunavanju veličine y učestvuje k mernih veličina xi.

• Prethodna formula se koristi u slučaju kada su uticajne veličine xi nekorelisane, dok se u opštem

slučaju koristi sledeći izraz:

ixu

2

2

1 1 , 1i i j i j

k k k

C x x x x xii i j i j

yu u r u u

x

• gde predstavlja koeficijent korelacije veličina xi i xj. i jx xr


PROŠIRENA MERNA NESIGURNOST

• Za prethodno određenu kombinovanoj mernoj nesigurnost potrebno je utvrditi

koeficijent proširenja k, na osnovu pridružene funkcije raspodele.

• Neophodno je utvrditi broj stepeni slobode ns za veličinu y, a zatim na osnovu

studentove raspodele odrediti koeficijent t95 kome odgovara statistička sigurnost od

95%.

• Aproksimativna vrednost broja stepena slobode dobija se pomoću Welch-Satterthwaite

formule:

4

, 4 4

1

i

i

s effk

i x

si

un

y x u

n

• gde predstavlja standardnu mernu nesigurnost, a broj stepeni slobode uticajne

veličine xi, dok je u prethodno određena kombinovana merna nesigurnost veličine y.

• Za MN tipa A ns = n – 1, gde je n broj ponovljenih merenja.

• Za MN tipa B ns → ∞, jer se MN tipa B najčešće pridružuje ravnomerna, eventualno

trougaona raspodela, pa verovatnoća nalaženja rezultata van intervala (μ±a) jednaka 0.

ixuis

n


PROŠIRENA MERNA NESIGURNOST

• Za brzo pridruživanja funkcije raspodele kombinovanoj MN često se

primenjuju sledeće aproksimacije:

– ukoliko je merna nesigurno jedne uticajne veličine dominanta, njoj

pridružena funkcija raspodele se pridružuje i kombinovanoj MN,

– ukoliko se rezultat određuje kao suma nekoliko uticajnih veličina (n≥4),

opravdano je pridružiti Gausova raspodela na osnovu centralne granične

teoreme.

– ukoliko se rezultat određuje kao suma dve ili tri uticajne veličine koje

imaju pravougaonu raspodelu, može se pridružiti trougaona raspodela.

– čest slučaj je određivanje kominovane merne nesigurnosti na osnovu

merne nesigurnosti tipa A za srednju vrednost nekoliko ponovljenih

merenja i tipa B koja potiče od nesigurnosti uređaja korišćenog u tim

merenjima. Ukoliko su te dve merne nesigurnosti istog reda veličina,

opravdano je kombinovanoj mernoj nesigurnosti pridružiti trougaonu

raspodelu.


IZRAČUNAVANJE MERNE NESIGURNOSTI – PRIMER 1

R. broj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ti [ºC] 98.18 98.61 99.03 99.56 99.89 100.33 100.42 100.68 101.11 101.54

• Ponovljenim merenjem temperature u jednom termostatu dobijene su vrednosti

prikazane u sledećoj tabeli:

• Odrediti temperaturu u termostatu, kao i proširenu mernu nesigurnost tipa A,

proširenu mernu nesigurnost tipa B i kombinovanu mernu nesigurnost

temperature u datom termostatu. U prospektu proizvođača termometra kojim je

merena temperatura u termostatu dat je podatak da je najveća nesigurnost

termometra na tom opsegu 0.3 ºC. Obrazložiti učinjene pretpostavke.

• Rešenje:

• Temperatura u termostatu određuje se kao srednja vrednost izmerenih vrednosti: Ts

= 99.94 ˚C.

• MN tipa A određuje se kao standardno odstupanje srednje vrednosti: ua = 0.34 ˚C, a

proširena merna nesigurnost tipa A iznosi: UA = 3uA = 1.03 ˚C (Gausova raspodela).

• Proširena MN tipa B određuje se kao najveća nesigurnost termometra: UB = 0.3 ˚C,

odnosno MN tipa B iznosi: uB = 0.173 ˚C (ravnomerna raspodela).



2 2 0.39 °CC A Bu u u

• Rešenje:

• MN tipa A i MN tipa B su uvek nekorelisane veličine (r = 0), jer se određuju

različitim metodama.

• Uticaj fluktuacije temperature u termostatu i nesigurnosti koje unosi termometar

su aditivne pa se kombinovana merna nesigurnost se određuje po sledećoj

formuli (parcijalni izvodi su jednaki 1):

• Kako su standardne MN tipa A i B približnog istog reda veličine kombinovanoj

mernoj nesigurnosti možemo pridružiti trougaonu raspodelu, odnosno merna

nesigurnost određivanja temperature termostata iznosi:

6 0.96 °CCU u


• Određivanje otpornosti potrošača realizovano je merenjem jačina struje kroz

potrošač i napona na potrošaču i određivanjem otpornosti na osnovu srednjih

vrednosti. Rezultati su dati u tabeli 1. U prospektima proizvođača ampermetra i

voltmetra navedeno je da su najveće nesigurnosti ampermetra i voltmetra na

korišćenim opsezima 0.01 mA i 0.05 V. Koliko iznosi standardna merna

nesigurnost merenja otpornosti potrošača?

R. broj 1 2 3 4 5 6

Ii [mA] 0.51 0.49 0.52 0.53 0.47 0.48

Ui[V] 5.15 5.05 4.95 5.10 4.85 4.90




, ,

0.1 0.5 mA, V

3 3I B U Bu u

6 6

2 2

1 1, ,,

( 1) ( 1)

n n

i sred i sred

i iI A U A

I I U U

u un n n n

2 2 2 2

, , , , ,, I I A I B U A U A U Bu u u u u u

2 2 2 2

2 2 2 2

2

1R I U I U

R R Uu u u u u

I U I I

• Kako nema drugih podataka, nesigurnosti merenja struje i napona koje navodi proizvođač su

tipa B to su proširene merne nesigurnosti. Njima se mora pridružiti ravnomerna raspodela, pa

standardne nesigurnosti merenja struje i napona iznose:

• Otpornost predstavlja indirektno merenu veličinu, i standardna merna nesigurnost merenja

otpornosti određuje se na osnovu sledećeg izraza:

• gde su Isred i Usred, srednje vrednosti napona i struje.

• Kombinovane merne nesigurnosti određivanja srednje vrednosti struje i napona iznose::

• Standardne merne nesigurnosti merenja struje i napona tipa A, određuju se kao standardna

odstupanja srednje vrednosti dobijenih rezultata merenja struje i napona:

• Gde vrednosti napona i struje predstavljaju odgovarajuće srednje vrednosti ponovljenih

merenja. Zamenom brojnih vrednosti dobijaju se: uR = 79.58 Ω


IZRAČUNAVANJE MERNE NESIGURNOSTI – NOVI PRISTUP

• Funkcionalna zavisnost indirektno merene veličine i uticajnih mernih veličine je poznata:

y = f(x1, x2, x3,..., xk).

• Za svaku od uticajnih veličina moguće je proceniti srednju vrednosti, standardno odstupanje

i pridružiti joj funkciju raspodele.

• Savremeni računari imaju dovoljnu procesorsku moć, tako da je moguće izvršiti Monte-

Karlo simulacija (106 – 109 izbora):

• Odredi se kumulativna funkcija raspodele na osnovu dobijene numeričke simulacije.

• Na osnovu kumulativne funkcije raspodele izračunava se proširena MN kojoj odgovara

tražena statistička sigurnosti, najčešće 95%.



• Kod termičkih merenja uobičajeno je da se svi ometajući uticaji tretiraju kao aditivni,

odnosno matematički model za proračun kombinovane merne nesigurnosti može se

prikazati jednostavnim izrazom:

• gde su:

– tx temperatura termometra koji se kalibriše,

– te temperatura etalonskog platinskog termometra,

– tR nesigurnost merenja otpornosti platinskog termometra,

– td vremenske promene (drift) etalonskog termometra nakon poslednje kalibracije,

– tri rezolucija indikatora,

– tot nesigurnost usled razlike temperatura među otvorima bloka,

– tH efekti histerezisa,

– ta nesigurnost usled podužne (aksijalne) nehomogenosti temperature otvora,

– tL usled uticaja provođenja toplote,

– tvr nesigurnost usled temperaturskih promena tokom vremena kalibracije.

x e R d ri ot H a L vrt t t t t t t t t t



Uticajnaveličina

Opis Očekivana

vrednost [°C]

Proširena

MN [mK]

Funkcija

raspodele i

koef. k

Standardna MN

[mK]

te temp. etalonskog termometra 180.10 30 Gausova 2

15

tR Nesigurnost merenja otpornosti 0 20 Gausova 2

10

td drift otpornog termometra 0 40 Ravno. 23

tri Rezolucija indikatora 0 50 Ravno. 29

tot Razlike temperatura između otvora 0 70 Ravno. 40

tH Efekti histerezisa 0 50 Ravno. 29

ta Aksijalna nehomogenost temperaturnog polja

0 250 Ravno. 144

tL Efekti provođenja toplote 0 50 Ravno. 29

tvr Vremenska stabilnost 0 30 Ravno. 17

Očekivana vrednost 180.10 (merni rezultat)

Kombinovana MN 2 161c iu u

3

3

3

3

3

3

3



179.6 179.7 179.8 179.9 180 180.1 180.2 180.3 180.4 180.5 180.60

0.5

1

1.5

2

2.5

179.6 179.7 179.8 179.9 180 180.1 180.2 180.3 180.4 180.5 180.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• Iz podataka u budžetu dobijena je vrednost standardne kombinovane nesigurnosti uC = 161 mK.

• Primenom Monte Karlo metode, numerički se dobija funkcija raspodele. Sa kumulativne funkcije raspodele određuje se tačke na x osi kojima odgovaraju vrednosti na y osi od 0.025 i 0.975, i dobija se interval poverenja (180.100 ± 0.293) kome odgovara statistička sigurnost od 95%.

• Ekvivalentni koeficijent proširenja iznosi k = 293/161 = 1.82.

fiziČko tehniČka merenja: merna...

Documents