1

Forelesninger i Reservoarteknikk 2

Tor Austad

2

Innhold Side 1. PVT-analyse ............................................................. 3 1.1 Innledning .................................................... 3 1.2 Enkomponent-/flerkomponentsystemer ........................3 1.3 Reservoar fluid systemer, PT-diagrammer ............5 1.4 Materialbalanse, Tørr gass/Våt gass/Gass kondensat 6 1.5 Likevektsberegninger ........................................... 8 1.6 Separatorberegninger ........................................... 11 2. Flerbrønnsystemer .................................................... 14 2.1 Definisjoner .................................................... 14 2.2 Flere brønner i et sirkulært horisontalt reservoar 14 3. Trykkpotensialer .................................................... 18 3.1 Definisjoner .................................................... 18 4. Koning ..................................................................... 20 4.1 Gass-koning .................................................... 20 4.2 Vann-koning .................................................... 22 4.3 Samtidig gass- og vann-koning .................................. 25 5. Brønntester, Gassbrønn. ........................................... 28 5.1 Innledning .................................................... 28 5.2 Mottrykk test .................................................... 29 5.3 Isokron test .................................................... 31 6. Fraksjonstrøm .................................................... 33 6.1 Introduksjon .................................................... 33 6.2 Horisontalt reservoar ........................................... 33 6.3 Hellende reservoar ........................................... 35 7. Ikke blandbar fortrengning ........................................... 38 7.1 Introduksjon .................................................... 38 7.2 Stempelfortrengning ........................................... 38 7.3 Buckley-Leverett´s teori ........................................... 39 8. Lagdelte reservoarer .................................................... 51 8.1 Stiles metode .................................................... 51 9. Naturlig vanninnfluks ........................................... 54 9.1 Gassreservoarer .................................................... 54 9.2 Oljereservoarer .................................................... 57 10. Symboler ............................................................. 61 11. Øvinger ...................................................................... 63 11.1PVT-analyse .................................................... 63 11.2 Flerbrønnsystemer ........................................... 71 11.3 Koning ............................................................. 73 11.4 Brønntesting .................................................... 74 11.5 Ikke blandbar fortrengning ................................... 76 11.6 Lagdelte reservoarer ............................................ 78 11.7 Naturlig vanninnfluks ............................................ 80 12. Appendiks ............................................................. 82 12.1 Omgjøringsfaktorer i PVT-analyse...............................82 12.2 Diagram til Øving 7. ............................................ 83

3

1. PVT-Analyse 1.1. Innledning Relevant litteratur: “Petroleum Reservoir Engineering” Amyx, Bass and Whiting, Mc. Graw-Hill. “Volumetric and Phase Behavior of Oil Field Hydrocarbon Systems” M. B. Standing, Soc. Petr. Eng. of AIME. “Properties of Oils and Natural Gases” Pedersen, Fredenslund and Thomassen, Gulf Pulishing Comp., 1989. 1.2. Enkomponent-/flerkomponentsystemer Enkomponent system Definisjon av kritisk punkt: De intensive egenskapene (parametre uavhengig av massen) til gass- og vækefasen er like, (eks. ρo=ρg, xi=yi). Kokepunkt- og duggpunkt-kurven faller sammen. Superkritisk område: T>Tc og P>Pc

Fig. 1.2.1. PT-diagrammet for et en-komponent system.

4

Flerkomponentsystem To-fase område: Kokepunkt- og duggpunktkurve møtes i et kritisk punkt. Isovolum line: Kurver i to-fase området med konstant volum% væke. Krikondenterm,Tkri,: Makimal temperatur hvor en kan ha to faser. Krikondenterm, Pkri,: Maksimalt trykk hvor en kan ha to faser.

Fig. 1.2.2. PT-diagram for et flerkomponent system. Gibb´s faseregel, utledet fra kjemisk potentialer, angir systemets frihetsgrader, dvs. antall intensive variable som kan endres uten at en fase forsvinner eller oppstår. F = c + 2 - p (1.2.1) (F: frihetsgrader; c: antall komponenter; p: antall faser) For å spesifisere systemets tilstand, trenger en å angi systemets totale sammensetning. I pertoleum sammenheng brukes vanligvis molfraksjon og vektsfraksjon.

Molfraksjon: zi = ni

Σnj , Σ zi = 1 (1.2.2)

Vektfraksjon: wi = Wi

ΣWj , Σwi = 1 (1.2.3)

5

Betegnelse ved komponentanalyse av fluider: Nitrogen N2 Carbondioxid CO2 Hydrogensulfid H2S Metan C1 Etan C2 Propan C3 iso-Butan i-C4 n-Butan n-C4 iso-Pentan i-C5 n-Pentan n-C5 Hexaner C6 Heptaner C7 Octaner C8 Nonaner C9 Deacan-pluss C10+ Pseudokomponentene C6 til C9 betegnes som karbontall. Vanlivis splittes pseudokomponenten C10+ i flere fraksjoner med lik masse når en foretar PVT-simuleringer. 1.3. Reservoar fluid systemer, PT-diagrammer Karakterisering av fluid type skjer i relasjon til fluidets oppførsel ved reservoar- og standard betingelser.

Fig. 1.3.1. PT-diagram for karrakterisering av reservoarfluider.

6

Tørr gass: Tres > Tkri, sc utefor to-fase området Våt gass: Tres>Tkri, sc innenfor to-faseområdet, GOR>30000 SCF/SBL, (°API)STO>45. Gasskondensat: Tc<Tres<Tkri, sc innenfor to-faseområdet, 3000<GOR<30000 SCF/SBL, (°API)STO mellom 45 og 55. Flyktig olje: Tres<Tc, sc innenfor to-faseområdet, 600<GOR<3500 SCF/SBL, (°API)STO mellom 35-55. “Black oil”: Tres<Tc, sc innenfor to-faseområdet, 200<GOR<600 SCF/SBL, (°API)STO mellom 15 og 35. For oljereservoarer med “gascap” har en at reservoartrykket er ved Pb for oljen og Pd for gassen. Pres = (Pb)olje = (Pd)gass Tabell 1.3.1. Generelle egenskaper ved noen fluidtyper.

"Black oil" Flyktig olje Rikt gasskond.

Vanlig gasskond

Våt gass

Farge STO Brun/mørk grønn

Grønn/orange Orange/gul Gul/hvit Hvit

γSTO ˚API

15-35 45-55 45-55 45-55 45+

GOR SCF/SBL

200-600 1200-3500 3500-8000 8000-30000 30000+

OIP SBL/bblHCPV

0.9-0.75 0.6-0.35 0.35-0.15 0.15-0.05 0.05-0

Tres ˚F

100-220 150-300 150-300 150-300 150-300

Psat Psia

300-4000 3500-5500 3000-6000 2500-9000 1500-2500

1.4. Materialbalanse, Tørr gass/Våt gass/Gass kondensat Tørr gass Systemet er i gass-fase i reservoaret og ved sc. Vi antar lukket reservoar med konstant temperatur under produksjonen. For trykkintervallet Pi til P har en:

7

(mol produsert) = (mol initielt i reservoaret) - (moltilbake i reservoaret) Tilstandsligningen PV = nRT anvendes:

( PVzRT )p = ( PV

zRT )i - ( PVzRT )r (1.4.1)

Indeksene p, i og r står for produsert, initielt og tilbake. Herav får en: Psc GpzscRTsc

= Pi Vi

ziRTres -

P VizRTres

(1.4.2)

(zsc = 1, Vi er initielt HCPV som antas konstant, lukket reservoar) Løser mhp P/z of får: Pz =

Pizi

- Psc TresVi Tsc

Gp (1.4.3)

Ved å plotte Pz mot Gp kan en finne IGIP når den rette linjen skjærer x-aksen. Dersom vi ikke

får linearitet, vil Vi variere, dvs. vi har ikke et lukket reservoar.

Fig. 1.4.1. Pz som funksjon av Gp.

Gass-formasjonsfaktor, Bg, beregnes ved å bruke tilstandsligningen ved reservoar- og standard betingelser:

Bg = (Vg)res(Vg)sc

= Psc z Tres

Tsc P = 0.028728 z Tres

P (1.4.4)

8

dersom en anvender petroleumsenheter. Tabell 1.4.1. Enheter ved bruk av tilstandsligningen PV = znRT: System P V n R

T

SI kPa m3 kgmol 8.3145 °K Petroleum psia ft3 lbmol 10.732 °R Våt gass Materialbalansen gjøres som for tørr gass ved at en omgjør produsert STO og fersk vann til gassekvivalenter, GE. GE tilsvarende 1SBL STO er gitt ved:

GESTO = n R Tsc

Psc = n

10.73 52014.7 =

γSTO 350.54MSTO

10.73 520

14.7

GESTO ≈ 133000 γSTOMSTO

SCFSBL (1.4.5)

dersom spesifikk tetthet og molekylvekt av STO er gitt. Dersom bare spesifikk tetthet er gitt, kan en bestemme MSTO fra Cragoe´s formel:

MSTO = 6084

°API - 5.9

For fersk vann blir formelen:

GEw ≈ 133000 118 = 7388.9

SCFSBL (1.4.6)

Dersom det produseres salt vann, må en inkludere vannleddet Wp i materialbalansen. Gasskondensat Gasskondensat fluider beskrives også som retrograde gasser. Grunnen er at det skjer en retrograd væskeutfelling (retrograd kondensering) ved trykkavlastning i et bestemt trykkintervall i to-faseområdet. Ved videre trykkavlastning vil det skje en normal fordampning av utfelt væske. Materialbalense: Pres > Pd : Som for våt gass, dvs. produsert STO og fersk vann omgjøres til GE. Pres<Pd: PVT-analyse må utføres, og gjennvinningen beregnes ut fra en konstant volumavlastning analyse (CVD-analyse: constant volume depletion analysis).

9

CVD-analyse: Rekombinert olje og gass samplet fra testseparator haes i en PVT-celle ved Tres og Pd. Cellevolumet noteres, Vcelle.Første trykkavlastninger, P1, skjer ved at cellevolumet økes, ∆V1. Etter at likevekt er oppnådd mellom gass- og væskefase, produseres gassvolumet ∆V1 ved at trykket holdes ved P1. Retrograd væskeutfelling, komposisjon og z-verdien til den produserte gassen bestemmes. Avlastningsprosessen gjentas i ca. 10 steg inntil avslutningstrykket er nådd. Det henvises til Øving 5 og 6 som angir tabeller over observerte og beregnede data. Øving: 1.4.1 Skisser forløpet dersom en plotter: a. molfraksjon C1 og C10+ mot P b. retrograd væskevolum mot P c. GOR mot P. Anta: Pa < P < Pi, Pi >Pd og Pa < Pd. Produksjon fra gasskondensat felter foregår vanligvis ved at en reinjiserer tørr gass slik at en holder Pres>Pd, hvorfor? For PVT-analyse av gass kondensat systemer velger en å bruke rekombinert olje og gass prøve fra testseparator framfor bunnhullsprøve, hvorfor? 1.5. Likevektsberegninger K-verdier K-verdier defineres ved hjelp av Daltons (ideelle gasser) og Raoults (ideelle væsker) lov. Anta at systemet er i to-faseområdet ved gitt T og P. For ideelle gasser:

P = Σ Pi, yi = PiP eller Pi = yi P

For ideelle væsker: Pi = xi Pvi (Pi: partialtrykk av komponent j i blandingen; Pvi: partialtrykk av ren komponent i) Betingelse for likevekt mellom gass og væskefasen er gitt ved: yi P = xi Pvi

10

yixi

= PviP = Ki (1.5.1)

Ki er en fysisk likevekts konstant og angir forholdet mellom molfraksjonen av komponent i i gass og væske fasen. Den sier ikke noe om mengdeforholdet mellom gass og væskefasen. I reelle petroleumsituasjoner kan vi ikke bestemme Ki fra forholdet mellom Pvi og P. Ki er en funksjon av T, P og komposisjonen, Ki = f(T, P, komp.). Håndbøker inneholder diagrammer som Ki-verdier for de enkelte komponentene som funksjon av T, P og et konvergenstrykk som relasjonene er beregnet ut fra. Disse verdiene er fremkommet ved å tilpasse en simulator til eksperimentelle data. PVT-simulatorer, som inneholder kubiske tilstandslikninger of flash-beregninger, vil beregne Ki-verdier i to-faseområdet. Input data er zi, Pci, Tci of ωi (acentrisk faktor). Flash beregninger En flash prosess beskrives som en konstant masse ekspansjon, dvs. en bestemt mengde av en fluid ekspanderer og danner to faser, gass og olje. For gitt P og T i to-faseområdet kan en sette opp følgende ligninger med basis i 1 mol føde (initiell fluid): V + L = 1 (1.5.2) zi = xiL + yiV (1.5.3)

Ki = yixi (1.5.4)

Σxi = Σyi = Σzi = 1 (1.5.5) (V og L er molfraksjon av hhv. gass og væske) (1.5.3) og (1.5.4) gir:

xi = zi

L+KiV

yi = zi

LKi

+V

(1.5.5) gir flash ligningene:

Σxi = Σ zi

L+KiV = 1 (1.5.6)

11

Σyi = Σ zi

LKi

+V (1.5.7)

Den ene av flash ligningene løses ved itterasjon, dvs. en velger L og V=1-L slik at summen kovergerer mot 1. Newton-Raphson´s metode er enkel å programmere og anvendes ofte i denne type problemer. Ligning (3) gir:

F = Σ zi

L+KiV - 1 = 0 (1.5.8)

eller:

F = Σ zi

L + (1-L)Ki - 1 (1.5.9)

dFdL = Σ

(Ki-1)zi[L + (1-L)Ki]2

(1.5.10)

Løsningen foregår etter følgende prosedyre: - Finn riktige verdier for Ki ved gitt T of P. - Anta en verdi for L.

- Beregn F og dFdL .

- Gå langs tangenten til skjæring med L -aksen. - Ta skjæringspunktet som nytt estimat for L. - Fortsett til kovergens, dvs. når summasjonsleddet blir lik 1. Flashligningene gjelder også ved Pb og Pd. Ved Pb har en: zi ≈ xi, L ≈ 1, V ≈ 0. Ligning (1.5.7) gir da: Σ yi = Σ zi Ki = 1 (1.5.11) Ligningen løses ved itterasjon. En antar vedi for Pb og finner Ki verdier for komponentene ved antatt Pb og gitt T. Regner ut summen, og fortsetter til kovergens. Dersom: Σ zi Ki >1 er en i to-faseområdet Σ zi Ki < 1 er en i en-faseområdet (væske) Ved Pd har en: zi ≈ yi, L ≈ 0 og V ≈ 1. Ligning (1.5.6) gir:

Σ xi = Σ ziKi

=1 (1.5.12)

12

Ligningen løses på tilsvarende måte ved å anta verdi for Pd, finner Ki verdier og summere inntil kovergens er oppnådd.

Dersom: Σ ziKi

> 1 er en to-faseområdet

Σ ziKi

< 1 er en i en-faseområdet (gass)

1.6. Separatorberegninger Gitt et multisteg separator system med totalt k separatorer (tanken er inkludert)

Fig. 1.6.1. Multisteg separator system. Separatorberegninger kan gi svar på følgende problemstillinger: Bestemme Psep slik at væslemengden i tanken blir størst mulig under gitte temperatur betingelser. Separatorene oppererer da under optrimale betingelser. Hva blir sammensetningen av produsert gass fra hver av separatorene? Hva blir sammensetningen av STO? GOR for hver separator og total GOR. Formasjonsfaktor, Bo. IOIP og IGIP fra gitt reservoar volumenhet.

13

Basis for alle beregningene nedenfor er 1 mol initiell fluid. Utledning av formler Molfraksjon gass fra separatorer og molfraksjon STO. Gitt: komposisjon av reservoar fluidet, zi. Antar 1 mol føde til hver separator, andvender flash ligningen og beregner molfraksjon gass og væske (Vi og Li for separator i). Molfraksjon væske som kommer til separator i er da gitt ved: i (no)i = L1 L2 L3 ......Lj = Π Li (1.6.1) i=1 Molfraksjon STO er gitt ved: k nSTO = Π Li (1.6.2) i=1 Molfraksjon gass fra separatorene er gitt ved: ng = V1 + V2L1 + V3L1L2 + V4L1L2L3+ ....ViL1L2...Li-1+ .....VkL1L2---Lk-1 k i-1 ng = Σ Vi Π Lj , hvor L0 = 1, (1.6.3) i=1 j=0 Eller ut fra massebalanse (basis i 1 mol føde): ng = 1- nSTO = 1- Π Li (1.6.4) Volum separator gass og STO Totalt volum av separator gass bestemmes fra: Vg = ng Vm = (1- nSTO) Vm = (1- ΠLi)Vm (1.6.5) Volum STO er gitt ved:

VSTO = m

ρSTO =

nSTO MSTOρSTO

= (ΠLi) MSTO

ρSTO (1.6.6)

14

Totale GOR

(GOR)t = Vg

VSTO =

(1-ΠLi)Vm ρSTO(ΠLi)MSTO

(1.6.7)

GOR for separator i:

(GOR)i = (Vg)iVSTO

= ViVmρSTO

(LiLi+1.....Lk)MSTO (1.6.8)

Olje formasjonsfaktor Anttar Pres > Pb.

Bo = Vores VSTO

= Mores ρSTO

ρores MSTO ΠLi (1.6.9)

15

2. Flerbrønnsystemer 2.1. Definisjoner Darcy´s lov for strømning i x-retningen blir:

qx = - k Ax

µ dPdx (2.1.1)

ux er Darcy hastigheten i x-retningen:

ux = qxAx

(2.1.2)

I porøst medium er vx effektiv hastighet i x-retningen, definert ved:

vx = uxφ (2.1.3)

Mobilitet av vann og olje defineres som:

λw = kwµw

= krw kµw

(2.1.4)

λo = koµo

= kro kµo

(2.1.5)

Når vann fortrenger olje definers mobilitetsforholdet som:

M = λwλo

(2.1.6)

Ser en bort fra kappilarkrefter, Po = Pw, er M i følge Darcy´s lov gitt ved:

M = uwuo

= λwλo

(2.1.7)

For M = 1 strømmer vann- og oljefasen like fort. For M < 1 har vi stabil fortrengning , vannfase går seinere enn oljefasen. For M >1 har vi ustabil fortrengning, vannfasen går går fortere enn oljefasen. 2.2 Flere brønner i et sirkulært horisontalt reservoar Darcy´s lov for en brønn i midten av et horisontalt sirkulært reservoar er gitt ved:

16

∆Pw = Pe -Pw = µ q

2Π h k lnrerw

(2.2.1)

Fig. 2.2.1. Sirkulært reservoar med trykkflate ved ri. For trykkflaten med trykk Pi har en på tilsvarende måte:

∆Pi = Pe -Pi = µ q

2Π h k lnreri

(2.2.2)

Herav: Pi = Pe - ∆Pi Dersom en har brønner i sentrum av et tilsvarende reservoar, og avstanden mellom brønnene er liten i forhold til reservoarets radius, vil trykket i et punkt (brønn) være definert ved: n P = Pe + Σ ∆Pi (2.2.3) 1 hvor : q < 0 for produksjonsbrønner q > 0 for injeksjonsbrønner Generelt har en: n

P(x,y) = Pe + Σ µ qi

2Π h k ln reri

(2.2.4) i=1

17

Fig. 2.2.2. Koordinatsystem i midten av et sirkulært reservoar

P(x,y) = Pe + µ

2Π h k Σ qi lnre

(x-xi)2 + (y-yi)2 (2.2.5)

P(x,y) = Pe + µ

4Π h k Σ qi ln re2

(x-xi)2+(y-yi)2 (2.2.6)

Ved anvendelse av formelen må en sette µo≈µw. En kan med andre ord bruke formelen til å bestemme trykket i punktet (x,y) ved starten av en vanninjeksjon. Trykkgradienten i x-retningen bestemmes ved: δP(x,y)

δx = µ

4Π hk Σ qi (x-xi)2+(y-yi)2 (-2)re2(x-xi)

re2 [(x-xi)2+(y-yi)2]2 (2.2.7)

når (lnx)´ = 1x x´

Forkorter, setter inn i Darcy´s lov og finner effectiv hastighet:

vx = - 1

φ µ δP(x,y)

δx (2.2.8)

18

vx = 1

φ2Π h Σ qi x-xi

(x-xi)2+(y-yi)2 (2.2.9)

Eksempel 2.2.1. Finn strømningshastigheten vx som funksjon av x mellomm brønnene 1 og 2 når brønn 2 er injektor og qinj = qprod =q. Avstanden mellom brønnene er x2. (0<x<x2).

Fig. 2.2.3. To-brønn system.

vx = 1

2Π φh (-qx-0

(x-0)2 + q x-x2

(x-x2)2) (2.2.10)

vx = 1

2Π φh (-qx +

qx-x2

) (2.2.11)

Tiden kan bestemmes fra uttrykket:

dt = dxvx

tBT = ⌡⌠0

tBT dt =

⌡⌠

rw1

x-rw2

dxvx

(2.2.12)

19

20

3. Trykkpotensialer 3.1. Definisjoner Analogi: Trykk og elektriske potensialer- væskestrøm og elektron strøm. Generelt gjelder det at i et homogent reservoar (samme mineralegenskaper og isotropisk mht. permeabilitet) er strømningslinjene alltid vinkelrett på konstante trykkflater.

Fig.3.1.1. Strømningslinjer-trykkflater Trykkpotensialer, Ψ, defineres i forhold til et referanse plan, ofte kalt datum plan: Ψ = P + ρgz (3.1.1) (ρ: tetthet, g: grvitasjonsakselerasjon, z: høyden over et referanse plan, datum plan) Denne definisjonen blir brukt i senere utledninger. En ser også ofte at fluid potensial, Φ, er definert som arbeidet ved å transportere en masseenhet fra “base” betingelser, Pb og zb, til aktuell vedi for P og z.

Φ = Ψρ =

Pρ + gh (3.1.2)

Φ = ⌡⌠

Pb

P

dPρ + g(z -zb) (3.1.3)

21

Eksempel 3.1.1.

Fig.3.1.2. Et kar med vann. Antar et kar med vann. Bunnen på karet representerer datum planet. Trykket i punktene A og B er i følge figuren gitt ved: P1 = gρa P2 = gρb Trykkpotensialene er: Ψ1 = P1 + gρ(d-a) = gρa + gρd - gρa = gρd (3.1.4) Ψ2 = P2 + gρ(d-b) = gρb + gρd - gρb = gρd (3.1.5) Trykkpotensialet er altså det samme for alle punktene over referanse planet. Det er ingen verikal væske strøm, og derfor er trykkpotensialet konstant.

22

4. Koning 4.1. Gass-koning Problemstilling: Gitt et horisontalt sirkulært reservoar med “gascap”. Finn størst mulig verdi for qomax uten at en får gass-produksjon ved “steady state”.

Fig. 4.1.1. Skisse av gass-koning Antar gass-konen er etablert, og at den når frem til perforeringsintervallet ved qomax.Perforeringsintervallet er gitt, og må plasseres i bunnen av oljesonen. Følgende data er gitt: re, rw, h, ρo, ρg, D (avstanden fra GOC til perforeringsintervallet), åpen brønn dvs. S=0. Variable: r (radius) og z (avstanden fra datum planet til konen). Trykkpotensialene ved gass-olje kontakten ved høyden z over datumplanet (bunnen av oljesonen) er: Ψo = Po + gρoz (4.1.1) Ψw = Pw + gρwz (4.1.2) Neglisjerer kapillartrykket dvs. Pc=Pg-Po=0 eller Po = Pg.

23

Herav: Ψo = Pg + gρoz = Ψg - gρgz + gρoz (4.1.3) Ψo = Ψg + g(ρo - ρg)z (4.1.4)

Ψg er konstant da det ikke er noen gass-strøm i noen retninger, dvs. δΨgδz = 0.

Dette gir: δΨoδz = g(ρo - ρg) (4.1.5)

Antar Darcy´s lov gjelder for oljestrømmen inn mot brønnen. Dette gir:

qo = - ko Aµo

δΨoδr = -

ko 2Πrzµo

δΨo δz

δzδr (4.1.6)

Setter inn for δΨoδz og får følgende differential likning:

qomax drr = -2Π

koµo

g(ρo - ρg) zdz (4.1.7)

Integrerer med følgende grenser:

qomax ⌡⌠

rw

re

drr = -2Π

koµo

g(ρo - ρg) ⌡⌠h-D

h zdz (4.1.8)

Dette gir:

qomax lnrerw

= -Π koµo

g(ρo - ρg) [h2 -(h - D)2] (4.1.9)

qomax = - Π ko g(ρo-ρg)

µo lnrerw

[h2 (h-D)2] (4.1.10)

I feltenhetene: resbbl/d, g/cm3, mD, cP og ft får en:

24

qomax = - 1.535x10-3 ko g(ρo-ρg)

µo lnrerw

[h2 (h-D)2] (4.1.11)

Begrensninger: Beregningen av qomax er noe unøyaktig da vi antar: 1. Ren radiell strøm av olje. Strømningslinjene bøyer av nedover etter som en nærmer seg brønnen. Dette betyr at strømningspotensialet i oljen varierer noe i vertikal retning. Vi har antatt uendelig permeabilitet i vertikal retning, dvs. ingen strømningsmotstand. Vanligvis er kv<kh og dette gir redusert strømningsrate i forhold til beregnet verdi. 2. Pc = 0. Vi har da ingen diffus overgang mellom gass og oljesonen over konen. Dette er ikke tilfellet. Metningen av oljen avtar nær konen pga. en viss gass-metning. Dette gir redusert vedi for ko nær konen og totalraten nedsettes. Løsningen gjelder bare for en “steady state” situasjon. Den forteller ikke noe om hvordan konen bygges opp og hvor land tid det tar. Dette problemet er mye vanskeligere da det inkluderer forandringer i effektiv permeabiliter etter som gass fortrenger olje nedover i konen. Nummerisk simulering er nødvendig. En må da ta hensyn til vertikale permeabiliter, og disse er ofte mindre enn horisontale permeabiliteter. 4.2. Vann-koning

25

Fig. 4.2.1. Skisse for vannkoning. Problemstilling: Finn qomax uten at en får vannproduksjon i en “steady state” situasjon. Gitt: re, rw, h, ρo, ρw, D (perforeringsintervallet), sikulært horisontalt reservoar. Variable: z og r Antar vannkonen er etablert og når akkurat fram til perforeringen. Datumplanent velges ved OWC. Da er trykkpotensialene for olje og vann langs konen gitt ved: Ψo = Po + gρoz (4.2.1) Ψw = Pw + gρwz (4.2.2) Neglisjerer kapillartrykket (Po = Pw) og får: Ψo = Ψw + g(ρo-ρw)z (4.2.3) Ψw er konstant da vannet ikke strømmer. Dette gir: δΨoδz = g(ρo-ρw) (4.2.4)

Antar radiell oljestrøm ved å anvende Darcy´s lov:

26

qo = - ko Aµo

δΨoδr = -

ko 2Πr(h-r)µo

δΨoδz

δzδr (4.2.4)

Setter inn for δΨoδz , ordner og får følgende differential likning:

qo drr = -2Π

koµo

g(ρo-ρw)(h-z)dz (4.2.5)

Integrerer:

qomax ⌡⌠

rw

re

drr = -2Π

koµo

g(ρo-ρw) ⌡⌠h-D

0(h-z)dz (4.2.6)

Herav får en:

qomax = -Π g(ρw - ρo) ko

µo lnrerw

(h2 - D2) (4.2.7)

I feltenheter som angitt tidligere:

qomax = - 1.535x10-3 g(ρw - ρo) ko

µo lnrerw

(h2 - D2) (4.2.8)

Vannkonens form bestemmes ved å finne et uttrykk som gir z=f(r). Setter uttrykket for qomax inn i differential likningen over og får:

-Π g(ρw - ρo) ko

µo lnrerw

(h2 - D2) drr = -2Π

koµo

g(ρo-ρw)(h-z)dz (4.2.9)

Forkorter og integrerer mellom grensene:

h2 - D2

lnrerw

⌡⌠

r

redrr = -2 ⌡⌠

z

0(h-z)dz (4.2.10)

Dette gir:

27

z2 - 2hz + (h2 -D2) ln

rer

lnrerw

= 0 (4.2.11)

z må ligge mellom: (0<z<h). Herav:

z = h - h2 - (h2 - D2)ln

rer

lnrerw

(4.2.12)

Øving 4.2.1. Utled på tilsvarende måte et uttrykk for gass-konens form, z=f(r). 4.3. Samtidig gass- og vann-koning Problemstilling: Finn største verdi for qo uten at en får gass- eller vannproduksjon ved en “steady state” situasjon som angitt i figuren.

28

Fig.4.3.1. Skisse for samtidig gas og vann koning. Gitt: re, rw, h, ρo,ρg,rw og hc (perforeringsintervallet) Penetreringsdybden D må velges slik at både gass- og vann-konen når akkurat fram til perforeringsintervallet. Oppgaven løses ved at en først bestemmer D. Deretter bestemmer en høyden zo over referanseplanet (ved OWC) hvor oljen har en ren horisontal strømning. Oljereservoaret deles da i 2 deler. Den øvre delen av reservoaret med høyde (h-zo) kan da behandles som en gasskoning og den nedre delen av oljereservoaret med høyde zo kan behandles som en vannkoning. I følge figuren er perforeringsintervallet for vann-, hcw, og gass-koningen, hcg, da gitt ved: hcw = zo -(h-D) (4.3.1) hcg = hc - hco = hc - [zo - (h-D)] = hc - zo + h - D (4.3.2) Bestemmelse av D. Trykkpotensialer ved GOC ved brønnen er gitt evd: Ψo = Po + gρo(h-D+hc) (4.3.3) Ψg = Pg + gρg(h-D+hc) (4.3.4) Setter Pc = 0, dvs. Po=Pg og får: Ψo = Ψg + g(ρo-ρg)(h-D+hc) (4.3.5)

29

Trykkpotensialer ved OWC ved brønnen er gitt ved: Ψo = Po + gρo(h-D) (4.3.6) Ψw = Pw + gρw(h-D) (4.3.7) Pc=0, dvs. Po=Pw gir: Ψo = Ψw + g(ρo-ρw)(h-d) (4.3.8) Uttrykkene for Ψo må være like da det ikke er noe oljestrøm vertikalt langs innløpet på brønnen. Ψg + g(ρo-ρg)(h-D+hc) = Ψw + g(ρo-ρw)(h-d) (4.3.9) Da hverken vann eller gass strømmer er Ψg og Ψw konstanter. Verdiene kan bestemmes ved re hvor GOC ligger i høyde h over referanseplanet, og WOC ligger i referanse planet. Ved GOC har en: Ψo = Po + gρoh (4.3.10) Ψg = Pg + gρgh (4.3.11) Herav får en dersom Po=Pg, dvs Pc=0: Ψo = Ψg + g(ρo-ρg)h (4.3.12) Ved OWC har en: Ψo = Po Ψw = Pw Pc = 0 gir: Ψo = Ψg Dette gir: Ψw = Ψg + g(ρo-ρg)h (4.3.13) Innsatt i (4.3.9) får en: Ψg + g(ρo-ρg)(h-D+hc) = Ψg + g(ρo-ρg)h + g(ρo-ρw)(h-d) (4.3.14) Forkorter og løser mhp. D:

30

D = ρo-ρwρg-ρw

h - ρo-ρgρg-ρw

hc (4.3.15)

For å finne zo,bruker en symetriberegninger. Siden det ikke er noe oljestrøm gjennom planet som ligger i høyde zo, må strømningsraten, uo, over og under planet være like store for en gitt r. Ved å anta at en har inkompressibel strøm, er volumraten, qog, over zo den samme for alle r, og tilsvarende for oljestrømmen under zo, qow, se figuren. Bestemmer ratene ved re og rw. qog = 2Πre(h-zo)uore = 2Pre(h-D+hc-zo)uorw (4.3.16) qow = 2Πrezouore = 2Πre[zo - (h-D)] uorw (4.3.17) Dividerer ligningene på hverandre, forkorter og får: qog

qow = h-zozo

= h-D+hc-zo

zo-h+D (4.3 18)

Løser mhp. zo, setter inn for D, og får:

zo = (h-D)h

h-hc = h

ρo-ρgρw-ρg

(4.3.19)

qog og qow bestemmes som tidligere utledet for gass- og vann-koning. For simultan gass- og vannkonig er da: qomax = qog + qow (4.3.20)

31

5. Brønntester/ Gassbrønner. 5.1. Innledning Brønntesting utføres for blant annet for å bestemme reservoar parametre. Under brønntester registrer en følgende data: Stabilisert statisk trykk i brønnen som antas å være lik Pres. En produserer med forskjellige rater og måler strømningsraten, Q, og stabilisert strømførende trykk i brønnen, Pw. En plotter så Q mot ∆P = Pres - Pw.

Produktivitetsindeks defineres som: PI = Q∆P , dvs. Q = (PI) ∆P

Fig. 5.1.1. Pw og Q som funksjon av t.

32

Fig. 5.1.2. Q vs.∆P Darcy´s lov for et horisontalt sirkulært reservoar:

Qo = - 2Π ko h

µo Bo lnrerw

(Pe -Pw) (5.1.1)

herav:

PI = 2Π ko h

µo Bo lnrerw

(5.2.2)

Avviket fra en rett linje, dvs. at PI avtar med økende ∆P, kan skyldes: - Turbulens (mest aktuelt for gass-brønner) - ko avtar nær brønnen pga. at Sg øker når ∆P øker (gass koker ut av oljen) - µo øker når gass koker ut av oljen - kg kan avta nær brønnen ved at So øker når ∆P øker (gasskondensat fluider, retrograd vækeutfelling) - Reduksjon i permeabilitet pga. avtagende porøsitet når ∆P øker. Produktivitetstesting av gass-brønner kan utføres på to måter: Mottrykkstest eller Isokrontest (også kalt lik tid test). 5.2. Mottrykk test Mottrykkstesten utføres ved at en stegvis øker produksjonsraten, Qg, og måler samhørende vedi for Pw når trykket og raten har stabilisert seg. Antar sikulært horisontalt reaservoar og Darcy´s lov gir:

Qg = qgBg

= 2Π kg h (Pe-Pw)

µg Bg lnrerw

(5.2.1)

Antar at all produsert gass også er gass ved sc. Da er:

Bg = VresVsc

= z T PscTsc P (5.2.2)

33

(zsc = 1, dvs. antar ideell gass) Spørsmålet er da hvilken verdi en skal bruke for Pres? Det har vist seg hensiktsmessig å bruke middelverdien mellom Pe og Pw.

Pres = Pe + Pw

2 (5.2.3)

(obs. z = f(T, P,komp.) og må bestemmes ved beregnet Pres) Uttrykket for Bg blir da:

Bg = 2zTPsc

Tsc(Pe+Pw) (5.2.4)

Innsatt i Darcy´s lov får en:

Qg = Π kg h Tsc

µg z T Psc lnrerw

(Pe2 - Pw2) (5.2.5)

I felt-enheter (petroleumsenheter: psia, °R, SCF/D, mD,ft, cP) blir formelen:

Qg = 0.01988 kg h Tsc

µg z T Psc lnrerw

(Pe2 - Pw2) (5.2.6)

Dersom vi har laminær strøm, kan dette skrives som: Qg = C (Pe2 - Pw2) (5.2.7) En empirsisk turbulensindeks, n, inkluderes på følgende måte: Qg = C (Pe2 - Pw2)n (5.2.8) (0.5 < n < 1 , n =1 dvs. ingen turbulens, n=0.5 dvs. full turbulens) C og n bestemmes grafisk fra et log-log plott: lgQg = lgC + n lg(Pe2 - Pw2) (5.2.9)

34

Fig. 5.2.1. Plott for bestemmelse av C og n. Vurderinger: n kan variere dersom det er store forskjelder i Qg (forskjellige grader av turbulens) Da C=f(re, .....), ser en at C avtar med økende re. re vil vanligvis være ukjent i en brønntest, og reservoaret vil “føle” forskjellige vedier for re i testperioden da re vil øke med tiden, re=f(test-tid). Dette gjelder særlig en kompressible fuid som gass. Det er svært viktig at en kan bestemme riktig verdi for C da dette uttrykket innehilder viktige reservoarparamerte som da kan estimeres. Disse feilkildene kan delvis elimineres ved å utføre en Isokron test. 5.3. Isokron test/Lik tid test Denne testen utføres ved at brønnen stenges etter hver testperiode inntil Pw=Pe. Det utføres forskjellige testserier med økende testtid, ∆ti, og hver testserie vil da få forskjellig Ci verdier. Innenfor hver testserie holdes tiden konstant som gjør at reservoaret “føler” stort sett samme verdi for re. Prinsippet er vist skjematisk i figuen under.

35

Fig. 5.3.1. Skjematisk skisse av prinsippet for isokron testen. Dataene plottes etter ligningen: lgQg = lgC(t) + nlg(Pe2 - Pw2) (5.3.1) Dette gir tilnærmet paralle linjer hvor C avtar med økende testtid.Det viser seg i prasis at slopen på kurvene er tilnærmet den samme da graden av turbulent blir tilnærmet lik for hver serie. Absolutt åpen flow (AOF) er definert som volumraten ved Pw=1atm=14.7 psia.

Fig. 5.3.2. Plott for bestemmelse av Ci og n.

36

Trykkreduksjon i yttergrensen av reservoaret vil ikke “føles” for små tidsintervaller, ∆t, under testen. C vil konvergere mot riktig verdi når ∆t går mot uendelige.

Fig. 5.3.3. Bestemmelse av riktig verdi for C.

Fig. 5.3.4. Reservoaret føler større verdi for re etter som ∆t øker.

37

6. Fraksjonsstrøm 6.1 Introduksjon Dette avsnittet behandler fraksjonstrøm kurver a. Horisontalt reservoar b. Hellende reservoar

Fig. 6.1.1 Relative permeabiliteter. En tar utgangspunkt i data for relative permeabiliteter.

kor = kok (6.1.1)

krw = kwk (6.1.2)

Anta at en har 2 faser, olje og vann. Fraksjonstrømmen av vann er da:

fw = qw

qw + qo =

qwqt

(6.1.3)

fo = (1-fw) (6.1.4) 6.2. Horisontalt lineært reservoar. Antar Pc = 0, dvs. Po = Pw. Darcy´s lov for strøm i x-retningen gir:

38

qw = - A kwµw

dPdx (6.2.1)

qo = -A koµo

dPdx (6.2.2)

fw = - A

kwµw

dPdx

- A kwµw

dPdx - A

koµo

dPdx

(6.2.3)

Forkorter og setter, ko=krok og kw=krwk, og får:

fw = 1

1 + kro µwkrw µo

(6.2.4)

Vi har altså at fw = f(kro,krw, µo,µw) Uttrykket gir fraksjonstrømmen av vann på et bestemt sted med gitt kro og krw. For et gitt reservoar med olje og vann vil mo og mw vanligvis være konstanter, og bare de realative parametrene vil variere med vannmetningen, Sw. Eksempel for ren stempelfortrengning er vist i Fig. 6.2.1.

Fig.6.2.1. Stempelfortrengning. Fraksjonstrømkurven fremkommer ved å plotte fw mot Sw som illustrert nedenfor. For et gitt

reservoar (µo og µw er konstaner) vil forholdet krokrw

bestemme formen på kurven.

39

Fig. 6.2.2. Fraksjonstrøm kurven. Av formelen ser en at: når µo øker, vil fw øke med gitt Sw når µo avtar, vil fw avta med gitt Sw. 6.3. Hellende reservoar Anta et hellende lineært reservoar hvor Pc ikke er 0.

Fig. 6.3.1. Hellende reaservoar.

40

Ser at: sin α = zx eller at z = x sin α.

Definerer et datum plan (referanse plan) hvor Sw = 1-Sor, dvs. hvor fw = 1. Trykkpotensialet for olje og vann i avstand z over datum planet er gitt ved: Ψo = Po + ρogz = Po + ρogxsinα (6.3.1) Ψw = Pw + ρwgz = Pw + ρwgxsinα (6.3.2) Innsatt i Darcy´s lov med strøm i x-retningen:

qw = - A kwµw

dΨwdx = - A

kwµw

(dPwdx + ρwgsinα) (6.3.3)

qo = - A koµo

dΨodx = - A

koµo

(dPodx + ρogsinα) (6.3.4)

Pc = Po + Pw (6.3.5) dvs.: dPcdx =

dPodx +

dPwdx (6.3.6)

qt = qo + qw (6.3.7) ∆ρ = ρw - ρo (6.3.8) (6.3.4) - (6.3.3) gir: qw µw

kw -

qo µoko

= A (dPodx -

dPwdx - ∆ρgsinα) (6.3.9)

qw µw

kw -

(qt-qw)µoko

= A (dPcdx - ∆ρgsinα) (6.3.10)

fw = qwqt

=

µoko

+ Aqt

(dPcdx - ∆ρgsinα)

µwkw

+ µoko

(6.3.11)

Setter ko=krok, kw=krwk, ut=qtA og får:

41

fw = 1 +

kro kµout

(dPcdx - ∆ρgsinα)

1 + kro µw krwµo

(6.3.12)

Antar en at høyden på reservoaret er mye mindre enn lengden, h<<L, kan en sette Pc≈0. Dette gir:

fw = 1 -

kro kµout

∆ρgsinα

1 + kro µw krwµo

(6.3.13)

For α=0, er sinα=0, og vi får formelen som er utledet for et horisontalt lineært reservoar for Pc=0, ligning (6.2.4). For et hellende reservoar er fw=f(ut, ....). For et horisontalt reservoar hvor Pc=0 er fw uavhengig av ut.

Fig. 6.3.2. Fraksjonstrømkurven for et hellende reservoar. Dersom α>0, øker fw når ut øker. Dersom α<0, minker fw når ut øker. For et hellende reservoar kan en også ha fw<0 og fw>1. Dersom α<0 og avtagende, vil fw øke. fw>1 medfører at vann og olje strømme hver sin vei hvor vannet strømmer med strømningsretningen.

42

Dersom α>0 og økende, vil fw avta. fw<0 medfører at vann og olje strømmer hver sin vei hvor vannet strømmer mot strømningsretningen.

43

7. Ikke blandbar fortrengning 7.1. Introduksjon Problemstillinger i dette avsnittet omhandler fortrengning av olje med vann. Vi har altså samtidig strømning av 2 ikkeblandbare faser, olje og vann. Det er viktig å vite hvordan metningene forandrer seg i strømningsretningen. Følgende mekanismer belyses: a. Stempel fortrengning b. Buckly-Leverett metoden 7.2. Stempelfortrengning

Dersom mobilitetesforholdet M = λwλo

<1, har en stabil fortrengning. I et homogent reservoar

vil en da ha tilnærmet stempelfortrengning av olje med vann.

Fig. 7.2.1. Stempelfortrengning. Fronten på injeksjonsvannet vil helle pga. gravitasjonseffekter. Bredden på fronten vil være tilnærmet lik høyden på reservoaret. Fronten vil ha en metningsprofil, og Sw vil være gjennomsnittlig metning over tverrsnittet av fronten. Da en ofte har at h<<L, neglisjerer en utstrekningen på fronten. Massebalanse for et lineært reservoar med tverrsnitt A og lengde L, og hvor en antar at qinj=qprod og qt=qo+qw, er gitt ved: φ A L (1- Sor - Swr) = qt t (7.2.1) Effekticv hastighet på vannfronten er da:

44

v = Lt =

qtφ A (1-Sor-Swr)

(7.2.2)

7.3. Buckley-Leverett´s teori For å estimere vanngjennombrudd i en vannflømning, utviklet B-L den velkjente “front advanced equation” i 1947. Det er en ligning som beskriver vannfrontens hastighet ved ikkeblandbar fortrengning i en dimmensjon, gitt ved:

vSwf = qt

φ A dfwfdSwf

(7.3.1)

vSwf: effektiv hastighet til vannets sjokkfronten fwf: fraksjonstrømmen av vann i sjokkfronten Swf: vannmetningen i sjokkfronten Ligningen tilsier at hastigheten til sjokkfronten er proporsjonal med slopen for tangenten til fraksjonstrømkurven ved Sw=Swf. Denne ligningen skal vi utlede, men først skal vi se at B-L ligningen kovergerer mot hastighetsligningen for stempelfortrengning under slike betingelser. Ren stempelfortrengning har en detsom µo er liten, og som vist på figuren forskyver fraksjonstrømkurvene seg mot høgre når µo avtar.

Fig. 7.3.1. Når µo avtar vil fw avta og kurven forskyves mot høgre. Av figuren ser en da at:

45

dfwfdSwf

= 1

1-Sor-Swr (7.3.2)

Innsatt i B-L ligningen gir dette:

v = Lt =

qtφ A (1-Sor-Swr)

(7.3.3)

Forutsetninger ved utledning av B-L ligningen: Antar jevntykt lineært reservoar (dvs. A=konstant, dersom A varierer må en skjøte sammen B-L løsninger for forskjellige områder). Antar inkompressible faser (qt = qo + qw og qinj=qprod). Ingen masseutveksling mellom fasene Samme fysiske egenskaper over en tverrsnittflate (Sw, P, ρ, etc.) Gravitasjonseffekter gjør at fysiske målinger over et tverrsnitt ikke er konstante. Dette kan også forårsakes av “viscous fingering”, dvs. uten gravitasjon. Ved å anta strømning i bare en dimmensjon dvs. bare i x-retningen er dette oppfylt Generelt kan en si at B-L ligningen tilsier at i en endimmensjonal strømning vil et tverrsnitt (plan) med en gitt metning Sw bevege seg med en hastighet proporsjonal med slopen til tangenten til fraksjonstrømkurven ved metningen Sw.

Fig.7.3.2. Enhver vannmetning beveger seg med konstant hastighet.

46

Fig.7.3.3. Massekonservering i volumelementet dV. Anvender massebalanse mht. vann i volumelementet i figuren over. I tidsintervallet dt har en: masse inn - masse ut = masse økning

ρw(qw)xdt - ρw(qw)x+dxdt = ρw φ A dx δSwδt dt (7.3.4)

(qw)x og (qw)x+dx er volumrater av vann ved avstanden hhv. x og x+dx. Forkorter og får:

(qw)x - (qw)x+dx = φ A dx δSwδt (7.3.5)

Ved å gå langs tangenten og la dx gå mot 0 har en at:

(qw)x+dx - (qw)x ≈ δqwδx dx (Tailor rekke) (7.3.6)

Setter dette inn i likningen over, og når en i tillegg ved t at qw=qw(x,t) og Sw=Sw(x,t), får en:

- (δqwδx )t = φ A (δSw

δt )x (7.3.7)

Da Sw=Sw(x,t) og en vet at Sw er konstant i planet ved gitt t og x har en fra kjerneregelen:

dSw = ( δSwδt )x dt + (

δSwδx )t dx = 0 (7.3.8)

Denne relasjonen gjelder for små verdier av dx og dt. Ligning (7.3.8) gir:

47

vSw = dxdt = -

(δSwδt )x

(δSwδx )t

eller: (δSwδt )x = -vSw (

δSwδx )t. (7.3.9)

Ligning (7.3.9) innsatt i (7.3.7) gir:

vSw = 1

φ A (δqwδx )t

(δSwδx )t

(7.3.10)

Ved gitt t har en at: (qw)t = fw qt

(δqwδx )t = (

δfwδx )t + fw (

δqtδx )t (7.3.11)

(δqtδx )t = 0 da qt =konst.

Innsatt i (7.3.10) gir dette:

vSw = 1

φ A (δfwδx )t

(δSwδx )t

(7.3.12)

Da fw=fw(Sw) har en for gitt t i følge kjerneregelen:

vSw = 1

φ A (δfwδSw

)t (δSwδx )t

(δSwδx )t

(7.3.13)

Dersom en ikke har diskontinuiteter, kan en forkorte og få B-L ligningen ved et gitt tidspunkt:

vSw = qt

φ A dfwdSw

(7.3.14)

48

For å beregne vSw, må vi bestemme den deriverte av relasjonen fw=fw(Sw), dvs. fraksjonstrømkurven. Følgende figurer illustrerer dette problemet:

Fig. 7.3.4. Illustrasjon av B-L utledningen..

49

Sjokkfronten defineres slik at A1=A2 i figuren over.

PS! ved utledningen av B-L ligningen dividerte vi med (δSwδx )t . Dette gir ufysikalske data

(diskontinuiteter) ved δSwδx = uendelig.

Når vi skal beregne hastigheten på sjokkfronten, må vi vite verdien for slopen til frasjonstrømkurven ved Swf. Denne bestemmes entydig grafisk basert på følgende utledning:

Fig. 7.3.5. Massekonservering ved i sjokkfronten. Antar at sjokkfronten beveger seg ∆x i løpet av tiden ∆t. Følgende ligninger kan settes opp: qwf = fwf qt (7.3.15) qwf ∆t = (Swf - Swr) φ A ∆x (7.3.16) Dette gir: fwf qt ∆t = (Swf - Swr) φ A ∆x (7.3.17) Eller:

vf = ∆x∆t =

fwf qt(Swf-Swr) φ A (7.3.18)

50

Dette uttrykket må være lik uttrykket gitt ved B-L, altså: qt

φ A (dfwdSw

) Swf = fwf qt

(Swf-Swr) φ A (7.3.19)

(dfwdSw

)Swf = fwf

Swf-Swr (7.3.20)

Dette beviser at løsningen er entydig ved at en trekker tangenten til fraksjonstrømkurven gjennom Swr, som vist på figuren under. Tangeringspunktet angir verdien for fwf og Swf.

Fig. 7.3.6. Grafisk løsning for sjokkfronten. Bestemmelse av gjennomsnittlig vannmetning, Swav i reservoaret bak sjokkfronten. Swav bestemmes grafisk ut fra utledningen nedenfor. φ A xf (Swav-Swr) = qt t (7.3.21) xf: lengden fronten har gått (xf<L) t: injeksjonstiden

vSwf = qt

φ A ( dfwdSw ) Swf (7.3.22)

51

xf = vSwf t (7.3.23) (7.3.21), (7.3.22), og (7.3.23) gir etter forkortning:

(dfwdSw

)Swf = 1

Swav-Swr (7.3.24)

Som en ser av figuren, finnes Swav ved skjæringen mellom tangenten for fronten og parallelen til x-aksen gjennom fw=1.

Fig. 7.3.7. Grafisk bestemmelse av Swav bak sjokkfronten. Før vanngjemmombrudd i produsenten, dvs. t<tBT. Antar qt=konst Volumrate vann i produsenten: qwp= 0 qinj=qprod qt=qop

Np = qoptBo

= qinjtBo

(7.3.25)

Dersom qt ikke er konstant må en løse integralet:

52

Np = ⌡⌠

0

tqopdt

Bo (7.3.26)

Ved vanngjennombrudd, dvs. t=tBT. Sjokkfronten har akkurat kommet fram til produsenten og B-L ligningen gir:

tBT = L

vSwf =

φ A L(Swf-Swr)qt fwf

= φ A L(Swav-Swr)

qt (7.3.27)

Verdier for fwf, Swf, og Swav finnes grafisk som vist tidligere.

Np = qoptBT

Bo =

qttBTBo

= φ A L(Swav-Swr)

Bo (7.3.28)

Vannmetningen i brønnen, Swp=Swf, finnes grafisk. Etter vanngjennombrudd, dvs. t>tBT. En kan tenke seg at reservoaret fortsetter etter produksjonsbrønnen. Det strømmer nå både olje og vann inn i produsenten, dvs. qop<qt.

Fig. 7.3.8. Illustarsjon for bestemmelse av Swav for t>tBT.

53

For å beregne produsert olje, må vi bestemme gjennomsnittlig vannmetning i reservoaret ved gitt tid, t. Dette kan også gjøres grafisk, og vi skal utlede uttrykket som beviser dette. Gjennomsnittlig vannmetning i reservoaret er gitt ved uttrykket:

Swav = Swp + 1L ⌡⌠

Swp

1-Sor lSw dSw (7.3.29)

lSw: lengden metningen Sw har gått i tiden t. Da lSw = vSw t, har en fra B-L:

Swav = Swp + qtt

φAL ⌡⌠

Swp

1-Sor

dfwdSw

dSw (7.3.30)

Forkortning gjør at vi må skifte grensene in relasjon til fw. fw ved Sw=Swp er fwp, og fw ved Sw=1-Sor er 1. Dette gir:

Swav = Swp + qtt

φAL ⌡⌠fwp

1 dfw (7.3.31)

Integrerer og får:

Swav = Swp + qtt

φAL (1-fwp) (7.3.32)

Vannmetningen i brønnen, Swp, har gått lengden L i løpet av tiden t. Altså er:

vSw t = L = qttφA (

dfwdSw

) Swp (7.3.33)

Eller: qttφA =

L

(dfwdSw

)Swp

(7.3.34)

Dette uttrykket settes inn i (7.3.32) og løser deretter mhp. (dfwdSw

)Swp og vi får:

54

(dfwdSw

)Swp = 1-fwp

Swav-Swp (7.3.35)

Fra grafen ser en at Swav kan entydig leses av grafisk som skjæringspunktet mellom tangenten i punktet (Swp,fwp) og parallelen til x-aksen gjennom fw=1.

Fig. 7.3.9. Grafisk bestemmelse av Swav når t>tBT. Vi skal se på forskjellige problemstillinger hvor vi kan anvende B-L teorien. I disse eksemplene har en gitt qt=qinj og fraksjonstrømkurven, fw=f(Sw). Dessuten antar en at det injiseres like mye som det produseres, dvs. qinj=qprod. Reservoarene er lineære, A=konstant. Eksempel 7.3.1. Et reservoar kan produseres til en gitt fraksjonstrøm av vann i produsenten, eller en gitt WOR. Beregn Np og produksjonstiden t. Gitt: fwp eller WOR. Dersom WOR er gitt må en beregne fwp fra følgende relasjoner:

WOR = QwQo

=

qwBwqoBo

(7.3.36)

fwp = qw

qw+qo (7.3.37)

qt = qw + qo (7.3.38)

55

Når fwp er beregnet er videre fremgangsmåte gitt ved: - merk av fwp på frasjonstrømkurven - Swp finnes grafisk - tangenten trekkes i punktet (Swp,fwp) - Swav finnes grafisk Da er:

Np = φAL(Swav-Swr)

Bo (7.3.39)

t = L

vSwp =

φAL(Swav-Swp)qt(1-fwp) (7.3.40)

Eksempel 7.3.2. Reservoaret skal produseres inntil en har produsert en gitt oljemengde Np. Hvor lang tid tar dette og hva blir WOR? Gitt: Np. Fremgangsmåte: - Swav beregnes fra uttrykket (7.3.39) i Eksempel 1. - tangent til fraksjonstrømkurven trekkes gjennom punktet (Swav,1) - fwp og Swp finnes grafisk t finnes fra formel (7.3.40) i Eksempel 1. WOR finnes fra fwp og volumfaktorene Bw og Bo. Eksempel 7.3.3. Reservoaret produseres i tiden t, og en antar at t>tBT. Finn: Swp, fwp, WOR,Swav og Np. I følge B-L har metningen Swp gått lengden L i tiden t. Dette gir:

vSwp = Lt (7.3.41)

qt

φA (dfwdSw

) Swp = Lt (7.3.42)

(dfwdSw

)Swp = φALqtt (7.3.43)

56

- Slopen til tangenten beregnes fra dette uttrykket - tegner en linje med denne slopen - parallelforskyver til tangering - leser av Swp, fwp,Swav grafisk - WOR beregnes fra fwp og volumfaktorer - Np beregnes deretter som vist tidligere.

57

8. Lagdelte reservoarer 8.1 Stiles metode I dette avsnittet skal vi utlede en enkel formel for beregning av Np=f(t) og Qo=f(t) fra lagdelte reservoarer med vanninjeksjon. Vi antar fløgende: Horisontalt lineære reservoarer (lengde L og bredde b). Reservoarene er adskilt med ikke-permeabel bergart, dvs. det er bare i injektor og produsent at det er trykk-kommunikasjon mellom lagene (ingen kryss-strøm). Det er konstant ∆P mellom injektor og produsent. Antar mobilitetsforhold M=1 for hvert av lagene, dvs. stempelfortrengning. I prinsippet kan alle typer reservoar parametre (initielle og residuelle metninger, mobilitetsforhol etc.) variere i hvert av lagene, men formlene blir noe mer kompliserte. I denne enkle metoden til Stiles [Trans. AIME 186(1949) 9] antar en M=1 for alle lagene, og at høyden, hi, permeabiliteten, ki, og porositeten, φi, varierer for hvert av lagene. Lagene nummereres etter tiden for vanngjennombrudd, (tBT)1<(tBT)2<(tBT)3<....<(tBT)i<.., og en setter opp følgende tabell: Tabell 8.1.1. Lagene er renummerert med økende verdi for tBT. Lag nr. (tBT)i ki φi hi

1 (tBT)1 k1 φ1 h1 2 (tBT)2 k2 φ2 h2 i (tBT)i ki φi hi Da M=1 har vi fra Darcy´s lov:

(tBT)i = Lvi

= L

kikrwi∆PφiµwL

= φiµwL2

kikrwi∆P (8.1.1)

eller:

(tBT)i = φiµoL2

kikroi∆P (8.1.2)

58

Fig. 8.1.1. Produksjonsraten av olje som funksjon av tBT for lagene.(Antar n=4). Anta (tBT)i<t<(tBT)i+1, dvs. det produseres bare olje fra lagene (i+1) til n, (n=antall lag). n n n

Qo(t) = Σ ujAjBo

= Σ kjkroj∆Phjb

BoµoL = kro∆PbBoµoL Σ kjhj (8.1.3)

j=i+1 j=i+1 j=i+1 Det forutsettes at: kor ved Swc og µo er konstant for alle lagene.

Fig. 8.1.2. Kumulativ oljeproduksjon, Np, som funksjon av tiden. (Antar n=4).

59

Kumulativ oljeprodulsjonen ved gjennonbrudd av vann i lag nr. i, Npi, dvs. t=(tBT)i,er gitt ved: i n

Npi = ( Σ φjAjL

Bo + Σ

φjAjxjBo

)(1-Swc - Sor) (8.1.4) j=1 j=i+1 i n

Npi = bLBo

( Σ φjhj + Σ φjhjxjL )(1-Swc - Sor) (8.1.5)

j=1 j=i+1 xj er avstanden vannfronten har gått i lagene som ikke har hatt gjennombrudd av vann, dvs. lagene (i+1) til n. Fra (8.1.2) har en at:

xj = vj (tBT)i = kjkro∆PφjµoL (tBT) i =

kjkro∆PφjµoL

φiµoL2

kikroi∆P (8.1.6)

Setter dette uttrykket inn i (8.1.5), forkorter, ordner og får: i n

Npi = bLBo

( Σ φjhj + φiki

Σ hjkj )(1-Swc-Sor) (8.1.7) j=1 j=i+1

60

9. Naturlig vanninnfluks 9.1 Gass reservoarer med vanninnfluks Volumbalanse ved sc gir: gass produsert = IGIP - gass tilbake

Gp = Gi - (GEi

- We)E (9.1.1)

Gi: IGIP Ei: initiell gass volum faktor, Vsc/Vi We: vanninnfluks, reservoar volum E: volum faktor ved trykket P, Vsc/Vres Vi antar at Bw≈1, dvs vi neglisjerer ekspansjon av “connate water” og reduksjon i porevolumet ved trykkreduksjonen. Dersom vann fra vanninnfluksen blir produsert, Wp, må dette volumet trekkes fra We. På tilsvarende måte som en utledet uttrykket: Pz =

Pizi

- PscTiViTsc

Gp = Pizi

(1 - GpGi

) (9.1.2)

for et lukket tørr gass reservoar, kan en også komme fram til følgende uttrykk basert på ligning (9.1.1) (utledning kreves ikke):

Pz =

Pizi

1-

GpGi

1 - WeEi

Gi

(9.1.3)

Uttrykket WeEi

Gi angir fraksjonen av opprinnelig HCPV hvor en har hatt vanninnfluks.

Under stasjonære betingelser kan We beregnes fra den totale vann + formasjon) kompressibilitetsfaktor, trykkreduksjon og vannvolum: We = ctVw∆P (9.1.4)

61

Fig.9.1.1. Pz vs. produsert gass for et reservoar med vanninnfluks.

Beregning av We for gassreservoarer fra produksjonsdata. I dete tilfellet tar en utgangspunkt i opprinnelig reservoarvolum av gass. Produksjon i trykkintervallet Pi til P gir: initielt HCPV = gjenværende gass + vanninnfluks - produsert vann GiBgi = (Gi + Gp)Bg + We - WpBw (9.1.5) Gp: volum gass produsert, sc Ordner og får: GpBg + WpBw

Bg-Bgi =

1Bg-Bgi

We + Gi (9.1.6)

Produksjonsledd: F = GpBg + WpBw Volumutvidelese ledd: Ex=Bg-Bgi Får da: FEx

= WeEx

+ Gi (9.1.7)

I denne formelen er We og Gi ukjent under en produksjosprosess. Dersom en plotter FEx

mot WeEx

skal riktige data gi en rett line med slope lik 1. Som vist i figuren 9.1.2. kan en

estimere We ved itterasjon når F og Ex er kjent.

62

Fig. 9.1.2. Bestemmelse av Gi i gassreservoar med vanninnfluks. Tabell 9.1.1. Dat for bestemmelse av We. P Bg Gp Wp We

Pi Bgi 0 0 0 P1 Bg1 Gp1 Wp1 We1 P2 Bg2 Gp2 Wp2 We2 Pn Bgn Gpn Wpn Wen Vanninnfluks i et gassreservoar vil vanlivis senke gjenvinningsfaktoren ved at vannet “trapper” gassen ved forholdsvis høyt trykk bak vannfronten. Mengden er avhengig av raten på vannet. Litteraturdata indikerer en gassmetning på opptil 40% av porevolumet i det vannflømmede området. Gjennvinningsfaktorer uten og med vanninnfluks er gitt vedhhv.: GpGi

= 1 - PaziPiza

(9.1.8)

GpGi

= (1-Sgr -Swi)Bg

(1-Swi)Bgi (9.1.9)

Pa: avsluttningstrykk Sgr: gjennomsnittlig residuell gassmetning i reservoaret za: komprssibilitetsfaktor for gassen ved Pa

63

9.2 Oljereservoarer Materialbalanseligningen tilsier: (produsert fluid, res. volum) = (ekspansjon av olje + opprinnelig oppløst gass) + (ekspansjon av “gas cap”) + (ekspansjon av “connate water” + formasjon) + (netto vanninnfluks)

Np[Bo+(Rp-Rs)Bg] = NBoi[ (Bo-Boi) + (Rsi-Rs)Bg

Boi

+ m(BgBgi

-1)

+ (1+m)cwSwc+cf

1-Swc ∆P]

+ (We-Wp)Bw (9.2.1) Np: volum olje produsert i trykkintervallet ∆P, sc. N: IOIP, sc m: initielt HCPV-forhold mellom “gas-cap” og oljesonen. Rp: kumulativt gass-olje forhold (kumulativ GOR) Rs: oppløst gass-olje forhold, (GOR) cf: formasjonens kompressibilitetsfaktor Den totale vanninnfluks ved produksjon av reservoaret i trykkintervallet ∆P er gitt ved: We = (cw+cf)Vw∆P = ctVw∆P (9.2.2) Vw: volum av opprinnelig vannsone, res. volum. Eksempel 9.2.1. Anta en vinkelsektor, θ, av et sirkulært reservoar med høyde h og oljesone tilsvarende radius ro. Radius som inkluderer olje- og vannsonen, er re. Utled er uttrykk for den totale vanninnfluks ved produksjon i trykkintervallet ∆P. Gitt cf, cw og φ. Volum bergart i vannsonen:

Vf = θ

360 (1-φ) Π(re2-ro2)h (9.2.3)

64

Reduksjonen i formasjonsvolumer pga. trykkavlastningen er: ∆Vf = -cfVf∆P (9.2.4) Tilsvarende får for vannet i vannsonen:

Vw = θ

360 φΠ(re2-ro2)h (9.2.5)

∆Vw = -cwVw∆P (9.2.6) Vi har da: We = ∆Vw + ∆Vf (9.2.7) We = -(cwVw∆P + cfVf∆P) (9.2.8)

We = - (cw + cfVfVw

) Vw∆P (9.2.9)

We = - (cw + 1-φφ cf)Vw∆P

We = - (cw + 1-φφ cf)

θ360 φΠ(re2-ro2)h ∆P (9.2.10)

Da: We = - ctVw∆P og: 0.15<φ<0.4 er 6>1-φφ >1.5 gir dette: ct≈10-5psi-1.

Volumet av vannsonen må være svært stor dersom vanninnfluksen skal gi vesentil bidrag siden cf er liten, ct≈10-5 psi-1. Ved å beregne den totale vanninnfluks på denne måten antar en at trykkdroppet ved OWC transformeres øyeblikkelig ut til vannsonens yttergrense. I virkeligheten er ∆P=f(t). En approximativ stasjonær løsning (Fetkovitch´s metode) for et endelig sirkulært reservoar med vinkelfraksjon θ/360, og hvor en anvender Darcy´s lov er utledet nedenfor. Antar at: We(t) = qwt

We = ⌡⌠0

tqwdt =

θ2Πkwh

360µwlnrero

⌡⌠0

t(Pe-Po)dt (9.2.11)

We = C ⌡⌠0

t(Pe-Po)dt (9.2.12)

65

Po: reservoartrykket ved ro. Integralet må løses nummerisk ved å måle trykket ved Po da Po(t) ikke er kjent.

Fig. 9.2.1. Numerisk integrering for å estimere We. Tabell 9.2.1. Nummerisk integrasjon ved bestemmelse av We=f(t).

ti Poi Pe-Poi ⌡⌠0

t(Pe-Poi)dt =Iti

Wei=CIti

to=0

Pe 0 0 0

t1 Po1 Pe-Po1 (Pe-Po1)t12

We1

t2 Po2 Pe-Po2 It1+

(Pe-Po1)+(Pe-Po2)2 (t2-t1)

We2

66

t3 Po3 Pe-Po3 It2+

(Pe-Po2)+(Pe-Po3)2 (t3-t2)

We3

ti

Poi Pe-Poi It(i-1)+(Pe-Po(i-1))+(Pe-Poi)

2 (ti-ti-1) Wei

Denne forenklede metoden til å estimere vanninnfluks i et oljereservoar har sine begrensninger. I startfasen av vanninnfluksen vil vi beregne for små verdier for We da en neglisjerer transienter. Trykkgradienten i vannsonen vil ikke føles i yttergrensen av vannsonen. re i Darcy´s lov blir derfor for stor, og følgelig blir We for liten. Senere vil den beregnede verdien for We bli for stor da vi antar at Pe er konstant. Pe vil avta etter som reservoaret føler trykkgradienten i yttergrensen av vannsonen.

Fig. 9.2.2. Begrensninger i Fetkovitch´s metode.

67

10. Symboler A areal vinkelrett på strømningsretningen Bg gass formasjonsfaktor Bo olje formasjons faktor c antall komponenter cf formasjonens kompressibilitetsfaktor ct totale kompressibilitetsfaktor, vann + formasjon E volum faktor ved trykket P, Vsc/Vres Ei initiell gass volum faktor, Vsc/Vi fo fraksjonstrøm av olje fw fraksjonstrøm av vann fwf fraksjonstrømmen av vann i sjokkfronten GOC gass-olje kontakt Gp volum gass produsert (sc) GE gass ekvivalenter GESTOgassekvilaenter av STO GEw gassekvilenter av fersk vann HCPV “hydrocarbon pore volume” IGIP initielle gass reserver, sc, (initial gas in place) IOIP initielle olje reserver, sc, (initial oil in place) k effektiv permeabilitet ko olje permeabilitet kw vann permeabilitet kro relativ perm. av olje krw pelativ perm. av vann L molfraksjon væske m initielt HCPV-forhold mellom “gas-cap” og oljesonen, masse balanse. N IOIP, sc Np produksjon av olje, standard volum n antall mol ni mol av komp. i OWC olje-vann kontakt p antall faser Pa avsluttnings trykk Pc kritisk trykk Pd duggpunkts trykk Po trykket i oljesonen, trykkpotensialer Po trykket ved ro, vanninnfluks Pi initielt trykk PI produktivitetsindeks Pkri krikondenterm Pres reservoar trykk Psat metningstrykk Pw bunnhullstrykket i brønnen Q volumrate, sc. q volumrate ved reservoar betingelse

68

qo volum rate av olje, res. volum qw volum rate av vann, res. volum qop volumrate av olje i produsenten, res. volum qwp volumrate av vann i produsenten, res. volum qt totale volum rate av olje og vann, res. volum Rp kumulativt gass-olje forhold (kum. GOR) Rs oppløst gass-olje forhold, (GOR) R gasskontanten re reservoar radius rw brønn radius sc standard betingelse STO lager tank olje (sc) Sgr gjennomsnittlig residuell gassmetning i reservoaret Swav gjennomsnittlig vannmetning i reservoaret Swf vannmetningen i sjokkfronten Swi initiell vannmetning Swr irredusibel vannmetning Sor irredusibel oljemetning Sorw residuell oljemetming etter vannflømming Swp vannmetningen i brønnen T temperatur t tid ∆t tidsintervall Tc kritisk temperatur Tkri krikondenterm Tres reservoar temperatur u Darcy hastighet v effektiv hastighet V molfraksjon gass Vg volum gass, sc Vm molart volum av gass, sc. vSwf effektiv hastighet til vannets sjokkfronten WOR vann-olje forhold, standard betingelser WOC vann-olje kontakt We vanninnfluks, reservoar volum wi vektfraksjon av komp. i Wi masse av komp. i Wp vann produsert, sc. z kompressibilitetsfaktor for reelle gasser xf avstanden slokkfronten har gått xi molfraksjon av vækefasekomponenter yi molfraksjon av gassfasekomponenter zi molfraksjon av komponenter i total fluid α helningsvinkelen av et reservoar φ porøsitet γ spesifikk tetthet

69

ρo tetthet av olje ρg tetthet av gass ωi acentrisk faktor for komp. i Ψo trykkpotensialet for oljen Ψw trykkpotensialet for vann θ vinkelsektor av et sikulært reservoar

70

11. Øvinger 11.1. PVT-analyse Øving 1. a. Skisser et typisk trykk-temperatur diagram av et flerkomponent hydrocarbon system. Bruk diagrammet til å skille mellom følgende tre hovedtyper gassreservoarer: 1. Tørr gass 2. Våt gass 3. Gass-kondensat (retrograd gass) b. Utled følgende materialbalanseligning for et lukket tørr gass reservoar: PZ =

PiZi

- Psc TiVi Tsc

Gp

c. Følgende produksjonshistorie er kjent fra et gassreservoar:

P (psia)

Z Kum. sep. gass (MSCF)

Kum. STO (SBL)

Kum. vann (SBL)

5392 1.0530 0 0 0 5368 1.0516 661272 12314 3 5301 1.0470 2883114 47674 762 5245 1.0442 5073370 83132 2054 5182 1.0404 6957608 112902 3300 5147 1.0383 8070262 144035 4644

Neglisjer først den produserte væsken og estimer volum gass (SC) opprinnelig tilstede i reservoaret . d. Anta all produsert væske eksisterer som gass i reservoaret og gjør et nytt estimat på volum gass (hydrocarboner + vanndamp) opprinnelig tilstede i reservoaret. Gitt: γSTO=0.72, MSTO=72 Standard betingelser: 15 psia, 60 °F.

71

Øving 2. Estimer Pb for følgende hydrocarbon system ved 180 °F.

Komponent zi

C1 0.3396 C2 0.0646 C3 0.0987

n-C4 0.0434 n-C5 0.0320 C6 0.0300

C7+ 0.3917 Karter med konvergenstrykk 5000 psia brukes ved bestemmelse av K-verdier. Decan´s K-verdi brukes for C7+ fraksjonen. Tabell for K-verdier er gitt nedenfor (K-verdier fra i GPSA´s håndboken):

Komponent 2500 psia

2000 psia 1900 psia 1800 psia

C1 1.8 2.4 2.5 2.6 C2 1.0 1.05 1.07 1.1 C3 0.66 0.61 0.61 0.60

n-C4 0.44 0.38 0.36 0.35 n-C5 0.26 0.21 0,20 0.19 C6 0.16 0.12 0.11 0.11

C7+ 0.015 0.009 0.008 0.0075

72

Øving 3. En hydrocarbonstrøm med kjent sammensetning passerer et to-trinns separatorsystem: 1. steg: T = 40°F, P = 35 psia 2. steg: T =4 0°F, P = 15 psia Komponent zi Ki

1. steg Ki

2. steg Mi

C1 0.3396 61.0 145 16.04 C2 0.0646 9.0 20.5 30.06 C3 0.0987 2.2 5.1 44.09 C4 0.0434 0.61 1.4 58.12 C5 0.0320 0.151 0.375 72.14 C6 0.0300 0.035 0.075 86.17

C7+ 0.3917 0.0032 0.003 263.0 Videre er det gitt at: ρC7+ = 55.28 lb/ft3 (ved sc betingelser) (ρo)res = 46.6 lb/ft3 (Mo)res = 122.17 Vm = 380.69 SCF/lb-mol (molart volum av gass ved sc.) a. Beregn molfraksjon væske og gass fra 1. steg, samt væskens sammensetning. (Anta først L=0.5) b. Beregn molfraksjon væske og gass fra 2. steg, samt væskens sammensetning. (Anta først L=0.95). c. Beregn: GORsep, GORtank, GORtot. Gitt: ρSTO = 53.5 lb/ft3 d. Anta: Pres>Pb. Beregn Bo.

73

Øving 4. a. Beregn daglig gass produksjon (sc) ved å innkludere gassekvivalenter av STO og vann fra følgende produksjonsdata: (Qg)sep = 3.25 MMSCF/D (Qg)ST = 10 MSCF/D QSTO = 53.2 SBL/D Qw = 3.25 SBL/D γSTO = 55 °API b. Beregn initiell gass og olje (IGIP and IOIP) basert på 1 ac-ft = 43560 ft3 og komposisjonen av gass og væske fra 1. steg separator. Følgende data er gitt: Pres = 4350 psia Tres = 217 °F Psep = 880 psia Tsep = 60 °F φ = 0.17 (Qg)sep = 842600 SCF/D QSTO = 31.1 SBL/D MC7+ = 185 (for separator væsken) ρC7+ = 0.8343 g/cm3 (for separator væsken) (ρo)sep = 0.7675 g/cm3 Bo = 1.235 (cm3 sep. bet. / Scm3) Zg = 0.963 (for brønnstømmen ved res. betingelser) SC: 15.025 psia, 60 °F. Vm = 371.2 ft3/lb-mol.

Komposisjon yi xi Mi

CO2 0.012 0 C1 0.9404 0.2024 16.04 C2 0.0305 0.0487 30.07 C3 0.0095 0.0312 44.09

i-C4 0.0024 0.0113 58.12 n-C4 0.0023 0.0196 58.12 i-C5 0.0006 0.0159 72.15 n-C5 0.0003 0.0170 72.15 C6 0.0013 0.0384 86.17

C7+ 0.0007 0.6158 185.0

74

75

Øving 5. Beregn volumetrisk avlastning (data i Tabel c) av et retrograd gas kondensat reservoar basert på 1 acft = 43560 ft3. Følgende data er gitt: Pi = Pd = 2960 psia Pa = 500 psia Pres = 195°F Swc = 0.30 φ = 0.25 Vcelle = 947.5 cm3 ved (Pd og Tres) MC7+ = 114 g/gmol (initiell res. fluid) γC7+ = 0.755 (initiell res. fluid) SC: 14.7 psia og 60 °F. Komposisjoner, volumer og Z-verdier er gitt i tabellen. Antar følgende: Væskegjenvinning fra brønnstrømen: 25% av C4 50% av C5 75% av C6 100 % av C7+ Verdier for overføring av gass volum til væskevolum: C4: 32.04 Gal/MSCF C5: 36.32 “ C6: 41.03 “ C7+: 47.71 “ Tabel: a. Komposisjon av brønnstrøm, molfraksjon.

1 2 3 4 5 6 7 8 P

(psia) C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7+

2960 0.752 0.077 0.044 0.031 0.022 0.022 0.052 2500 0.783 0.077 0.043 0.028 0.019 0.016 0.034 2000 0.795 0.078 0.042 0.027 0.017 0.014 0.027 1500 0.796 0.079 0.042 0.027 0.016 0.013 0.025 1000 0.793 0.080 0.043 0.028 0.017 0.013 0.025 500 0.768 0.082 0.048 0.033 0.021 0.015 0.033

b. Volumer og Z-verdier

9 10 11 12 P

(psia) ∆V

(cm3) Vl

(cm3) Vl (%)

Z

76

2960 0.0 0.0 0.0 0.771 2500 175.3 62.5 6.6 0.794 2000 227.0 77.7 8.2 0.805 1500 340.4 75.0 7.9 0.835 1000 544.7 67.2 7.1 0.875 500 1080.7 56.9 6.0 0.945

∆V: produsert gassvolum ved trykket P og Tres. Vl: retrograd væskevolum (cm3 og %) ved gitt P og Tres. Z: kompr. faktor for produsert gass ved P og Tres. c. Beregnede verdier.

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

P (psia)

(∆Gp)i MSCF

Σ∆Gpi MSCF

∆(Vg)i MSCF

Σ∆Vgi MSCF

∆Voi SBL

Σ∆Voi SBL

GOR SCF/SBL

%∆Gp (kum)

%∆Vg (kum)

%∆Vo (kum)

2690 0 0 0 0 0 0 10600 0 0 0 2500 240.1 240.1 225.1 225.1 15.3 15.3 14700 15.2 15.6 10.7 2000 245.2 485.3 232.3 457.4 13.1 28.4 17730 30.7 31.7 19.8 1500 266.0 751.3 252.8 710.2 13.3 41.7 19010 47.6 49.3 29.1 1000 270.8 1022.1 256.9 967.1 14.0 55.7 18350 64.7 67.1 38.9 500 248.7 1270.8 233.0 1200.1 15.9 71.6 14650 80.4 83.3 50.0

∆Gpi: volum brønnstrøm Σ∆Gpi: kum. volum brønnstrøm ∆Vgi: volum separator gass Σ∆Vgi: kum. volum separator gass GOR: gjennomsnittlig GOR %∆Gp: % av kum. brønnstrøm volum %∆Vg: % av kum. separator gass volum %∆Vo: % av kum. STO volum

77

Øving 6. Data fra en konstant volum avlastnings (CVD) analyse er gitt: Tres = 186 °F, Pres = Pd = 4000 psia Psep = 300 psia. Tsep = 70 °F. Vcelle = 3958.14 cm3 Table a. Komposisjon (mol%) av komponentene i brønnstrømmen.

Komp. 4000 psia 3500 psia 2900 psia 2100 psia 1300 psia 605 psia

CO2 0.18 0.18 0.18 0.18 0.19 0.21 N2 0.13 0.13 0.14 0.15 0.15 0.14 C1 67.72 63.10 65.21 69.79 70.77 66.59 C2 14.10 14.27 14.10 14.12 14.63 16.06 C3 8.37 8.25 8.10 7.57 7.73 9.11

i-C4 0.98 0.91 0.95 0.81 0.79 1.01 n-C4 3.45 3.40 3.16 2.71 2.59 3.31 i-C5 0.91 0.86 0.84 0.67 0.55 0.68 n-C5 1.52 1.40 1.39 0.97 0.81 1.02 C6 1.79 1.60 1.52 1.03 0.73 0.80

C7+ 6.85 5.90 4.41 2.00 1.06 1.07 b. Andre data: MC7+ 143 138 128 116 111 110 Zg 0.867 0.799 0.748 0.762 0.819 0.902 ∆Vg (cm3) 0 224.0 474.0 1303 2600 5198 (GPM)well 5.254 4.578 3.347 1.553 0.835 0.895 GOR(SCF/SBL) 7127 8283 11621 26051 49312 45872 (Vl)cell (%) 0 3.32 19.36 23.91 22.46 18.07 __________________________________________________________________________________________ ∆Vg: volum gass som tas ut av cellen i hvert steg ved gitt P og Tres. GPM: Gal (væskevolum) pr. 1000 SCF gass (brønnstrømmen) (Vl)celle: retrograd væskevolum i cellen ved gitt P og Tres. a. Med basis i et initielt volum av reservoar fluid på 1.0 MM SCF (106 SCF) skal en beregne volum av brønnstrøm (MSCF), separator gass (SCF), STO (SBL) ved trykkavlastning for hvert intervall. (Svar for 4000-3500 psia: 53.71 MSCF, 48.46 SCF, og 5.85 SBL). b. Beregn volum separator gass (MSCF) og STO (SBL) initielt til stedet i 106 SCF brønnstrøm. (Svar: 891.6 MSCF og 125.1 SBL).

78

c. Beregn kummulativ gjenvinning og % gjenvinning an brønnstrøm, separator gass og STO. (Svar ved 605 psia: 767.5 MSCF, 739.2 MSCF, 29.7 SBL og respektiv: 76.74%, 82.90% og 23.74%) d. Beregn gjenvinningen (brønnstrøm, sep. gass og STO) basert på et avslyttningstrykk Pa=605 psia, 1 acft=43560ft3 reservoar volum, porositet φ=0.10 og Swc=0.20. (Svar: 675 MSCF, 650 MSCF, og 26.14 SBL). e. Vurder relevansen i beregningene i d. dersom den retrograde vøsken blir mobil ved en metning på 15%. e. Beregn tillegget i gjennvinningen av (brønnstrøm, sep. gass og STO) i d. dersom Pi = 5713 psia og Pd = 4000 psia.Gitt at Zg = 1.107 ved Pi of Tres.

79

11.2. Flerbrønnsystemer Øving 7. I midten av et sirkulært reservoar er det 4 produksjonsbrønner og 1 injeksjonsbrønn i et “five spot” mønster, hvor injeksjonsbrønnen er i midten. Avstanden mellom nærmeste produksjonsbrønn er 200 ft. Denne avstanden kan regnes som ubetydelig i forhold til reservoarradien re. Reservoar data: µo= 3.0 cp µw = 0.53 cp ko = 160 mD (ved Swi) φ = 0.18 re = 8500 ft h = 24 ft Pe = 6000 psi rw = 0.25 ft Swi = 0.23 Sorw = 0.21 (residuell oljemetning etter vannflømning) kw = 90 mD (ved Sorw) Bo = 1.2 bbl/SBL Bw = 1.0 bbl/SBL 1 bbl = 5.6148 ft3 a. Bruk Darcy´s lov for et sirkulært reservoar og vis at bidraget fra brønn i til det gennerelle trykkpotensialet P er:

∆Pi = 141.2 µo

ko h qi lnri - C

hvor ri er avstanden til brønn i, qi er produksjonsraten (negativ for prod. brønn og positiv for inj. brønn) og C er en konstant. (P måles i psig, qi bbl/D og andre størrelser som angitt over.) Darcy´s lov er gitt i samme enheter:

q = - 7.082x10-3 ko h (Pe-P)

µo lnre/r

b. Beregn trykket i alle brønnene, også injeksjonsbrønnen, når produksjonsbrønnene produserer med 1000 resbbl/D og injeksjonsbrønnen er avstengt. c.

80

Beregn trykket i alle brønnene ved starten av vanninjeksjonen når det i tillegg injiseres 3000 SBL/d, i injeksjonsbrønnen. Antar da at injecsjonsvæsken har samme viscositet som oljen. Flere brønner bores i et utvidet “fivespot” mønster med like mange injeksjonsbrønner som produksjonsbrønner og en vanlig vannflømning foretas med injeksjonsrate qi=120 SBL/D. Bruk vedlagte diagrammer i Appendix de følgende beregninger. d. Beregn mobilitetsforholdet M og tilgjengelig porevolum VD for injisert vann e en enhet (en injeksjonsbrønnen i midten og 4 produksjonsbrønner i hver sitt hjørne). e. Finn tiden til vanngjennombrudd, tBT, i produksjonsbrønnene og mengde olje (SBL) produsert til da. f. Produksjonen må avsluttes når fraksjonsstrømmen av vann, fw, blir større enn 0.8. I hvor lang tid (D) kan feltet produseres, hvor mye olje (SBL) er produsert og hvor mye vann (SBL) er injisert ved produksjonsstans.

81

11.3. Koning Øving 8. Et 30 ft tykt horisontalt sirkulært oljereservoar er begrenset på topp av en gass sone og på bunn av et impermeabelt skiferlag. Reservoar data: re = 1820 ft rw = 0.5 ft hc = 5 ft (perforeringsintervall) ρo = 0.8 g/cm3 ko = 78 mD (ved Swc) µo = 2.6 cP Pe = 3480 psia a. Hvor bør en plassere perforeringsintervallet ved oljeproduksjon . Begrunn svaret. b. Vis at den maksimale gassfri produksjonsraten er gitt ved:

qo = C ko(ρo-ρg)

µo ln(re/rw) [h2 -(h-D)2]

hvor: C = 1.535 er en omregningskonstant og skal ikke utledes, ko (darcy), µo (cP), ρ (g/cm3), h (ft), qo (resbbl/D) og D (ft) er avstanden mellom GOC og toppen på perforeringen. Lag en skisse over problemstillingen. c. For å utlede dette uttrykket må en gjøre visse forenklinger. Hva er disse forenklingene? Diskuter kort hvordan disse forenklingene vil påvirke beregnet veri for qo i forhold til virkelig veri for qo. Hvilken effekt vil det ha om den vertikale permeabiliteten kv er mye mindre enn den horisontale permeabiliteten kh ? d. Restriksjoner i strømningen nær perforeringen i brønnen kan beskrives som en “skin-effekt”. Forklar hvordan, og utled et uttrykket:

s = ( koks

- 1) ln rsrw

ved hjelp av Darcy´s lov. Lag en skisse og forklar symbolene.

82

e. Beregn den maksimale gassfrie produksjonsraten for dette reservoaret. Finn trykket i brønnen, Pw, når en begrenset perforering gir en “skinn-faktor” s = 0.8. (Svar: 3.342 resbbl/D, 3475.3 psia)

83

11.4. Brønntesting, (Gass brønner). Øving 9. Anta et horisontalt sirkulært gassreservoar hvor følgende data er gitt: µg = 0.024 cP h = 14 ft T = 650 °R Zg = 0.82 Pe = 4200 psig re = 4500 ft rw = 0.5 ft SC: 60 °F, 14.7 psia Tabell over data for en isokrontest: Tid (timer)

Pw (psig)

Qg (SCF/D)

1 4082 370000 1 4006 52800 1 3873 757000 2 4071 285000 2 3935 473000 2 3817 611000 3 4074 237000 3 3951 382000 3 3812 523000 a. Vis at i en gassbrønn vil produksjonen av gass, målt ved overflateforhold, være tilnærmet gitt ved:

Qg = 0.01988 Tsc k h (Pe2 - Pw2)

Psc µg T Zg ln (re/rw)

hvor Qg (SCF/D), og de andre størrelsene er gitt i feltenhetene ft, mD, cP, psia, °R.µg og Z er bestemt ved midlere reservoar trykk. Konstanten 0.01988 skal også utledes. Darcy´s lov for et sylindrisk reservoar er gitt (feltenheter):

Pe - Pw = 141.2 Qo µo Bo

k h ( ln rerw

+ s)

b. Generelt har en at:

84

Qg = C(Pe2 - Pw2)n. Bruk dobbeltlogaritmisk papir til å bestemme n. Beregn C og og finn “absolute open flow” , AOF, (produksjon ved Pw = Psc). c. Er det laminær eller turbulent strøm i reservoaret? Bestem effektiv permeabilitet, kg, i reservoaret. (anta “skin factor” = 0). d. Brønnen blir stimulert for å øke produktiviteten. Etter behandling gir en forenklet isokrontest på 2.5 timer følgende data: Pw (psig) Qg (SCF/D) -------------------------------------- 4023 467000 3845 758000 -------------------------------------- Har brønnbehandlingen vært vellykket? Bestem “skin factor” for brønnen.

85

11.5. Ikke blandbar fortrengning Øving 10. En lineær vannflømning fortas i et horisintalt oljereservoar med følgende data: qt = 2200 resbbl/D A = 18000 ft2 L = 2200 ft f = 0.21 k = 180 mD µw = 0.5 cP µo = 2.4 cP Swr = 0.15 Sorw = 0.20 Bo = 1.2 resbbl/SBL Bw = 1.0 resbbl/SBL Tabell over relative permeabiliteter

Sw

krw kro fw

0.15 0 0.920 0.25 0.020 0.725 0.35 0.050 0.470 0.45 0.095 0.290 0.55 0.150 0.150 0.65 0.225 0.060 0.75 0.335 0.015 0.80 0.410 0

Bruk Buckley-Leverett metoden i oppgaven, hvor en kostant metning beveger seg med en konstant hastighet:

vSw = qt

f A (dfwdSw

) Sw

a. Beregn tiden til vanngjennombrudd, tBT, og finn midlere vannmetning i reservoaret, produsert olje og fraksjonsstrømmen av vann på dette tidspunktet. b. Tegn metningsprofilen i reservoaret i det en har vanngjennombrudd. Det er nok å beregne to punkter mellom injeksjons og produksjonsbrønn. c. Produksjonen må avsluttes ved WOR=20, målt ved sc. Hva blir fraksjonsstrømmen av vann? Hvor mye olje er da produsert? Hvor stor del er dette av produserbar olje?

86

d. Hva er trykkfallet mellom injeksjons- og produksjonsbrønn ved produksjonsstart? Forklar kort hvordan en kan finne en øvre og nedre grense for dette trykkfallet ved produksjonsstans, og beregn disse verdiene. Gitt Darcy´s lov for et lineært reservoar med feltenheter:

qo = 7.081x10-3 ko A

2Π µo

∆PL

87

11.6. Lagdelte reservoarer Øving 11. Et horisontalt, lineært reservoar kan deles i 3 lag med forskjellig permeabilitet og porositet. De 3 lagene er adskilt med impermeable skiferlag. Følgende data gjelder:

Lag h (ft)

k (mD)

φ (%)

1 40 100 15 2 25 230 21 3 20 60 18

Videre er det gitt at: B = 900 ft (bredden på reservoaret) F = 2000 ft krw = 0.26 (ved Sorw) kro = 0.78 (ved Swc) Sorw = 0.27 Swc = 0.21 µw = 0.5 cP µo = 1.5 cP (Pw)inj = 3800 psia (trykket i injeksjonsbrønnene) (Pw)pro = 3050 psia (trykket i produksjonsbrønnene) Bo = 1.2 resbbl/SBL Bw = 1.0 resbbl/SBL a. Hva blis mobilitetsforholdet M? Hvilken metode kan en her bruke til beregninger? b. Tiden til vanngjennombrudd i Lag i, ti,kan finnes av formelen:

ti = - φi µo L2

kro ki ∆P

(definere DP = (Pprod - Pinj) < 0 herav ti >0) Utled formelen.

88

c. Hvordan må en nummererlagene dersom en skal beregne oljegjennvinningen etter den angitte metoden? Vis at ved denne nommereringen så er WOR (ved sc) i tiden mellom vanngjennombrudd i lag i og lag (i+1) gitt ved: i Bo Σ kj hj j=1 (WOR)i = ----------------- n Bw Σ kj hj j=i+1 (n er antall lag) d. Vis også at ved vanngjennombrudd i lag i, dvs t = ti, så er olje produsert gitt ved: i n

Npi = B LBo

( Σφj hj + φiki

Σ hj kj ) ( 1 - Swc - Sorw )

j=1 j=i+1 e. Sett opp en tabell som viser Npi, kumulativt produsert vann (Wp)i og kumulativt injisert vann (Wi)inj, når lag 1, 2 og 3 får vanngjennombrudd. f. Lag grafer som viser: Np, Wp, Wi, Qo, Qw og WOR som funksjon av tiden.

89

11.7 Naturlig vanninnfluks Øving 12. Et sirkulært og tilnæmet horisontalt reservoar med tilhørende vannsone dekker en vinkelsektor på θ=115 °. Reservoaret er jevnt tykt, og i sentrum har en produksjonsbrønnene. Følgende reservoardata er gitt: ro = 2600 ft (radien på initiell oljesone) re = 14000 ft (radus som inkluderer olje- og vannsone) Ct = 7.4x10-6 psi-1 (total kompressibilitet av vannsonen) Co = 2.3x10-5 psi-1 (oljekompressibiblitet i trykkintervallet 3200-4200 psia) kw = 33 mD (i vannsonen) µw = 0.6 cP Swi = 0.18 (i oljesonen) φ = 0.22 h = 26 ft Pob = 3100 psia Bo = 1.18 resbbl/SBL Bw = 0.99 resbbl/SBL Tabel over trykket ved ro ved forskjellige tider: Po (psia)

t (år)

4200 0 3900 1 3440 3 Etter 10 år er produksjonen avsluttet, og trykket i reservoaret har stabilisert seg på 3200 psia. a. Hvor stor er samlet kumulativ vanninnfluks i oljesonen etter 10 år, (SBL)? b. Hva blir den totale oljeproduksjon, Np (SBL)? (en ser bort fra kompressibiliteten til bergarten og vlumøkningen av initielt vann i oljesonen). --------------------- En vil nå se på tidsforløpet av vanninnfluksen i de første årene. Den stasjonære løsningsmetoden anvendes. c. Vis at vanninnfluxen We (volum målt ved sc) er gitt ved:

90

We = C kw h f

Bw µw lnrero

⌡⌠0

t (Pi - Po) dt

der C er en systemkonstant (C = 7.081x10-3 med feltenheter, mD, cp. ft, psi, bbl, dag) og f = θ

360 . C skal ikke utledes.

d. Beregn vanninnfluksen We etter 1, 2 og 3 år. e. Diskuter kort hvilke unøyaktigheter vi får med denne metoden. f. Tegn en graf som viser We som funksjon av tiden over 10 år. (fra 3 til 10 år må en delvis skissere forløpet.) g. Reservoaret produseres en tid med konstant rate. Anta 2 brønner i sentrum av reservoaret med avstand 200 ft. Når den ene brønnen er stengt er trykket i den 3000 psia og i den produserende brønnen (rate q) er trykket 2000 psia. Hva blir trykket i brønnene når de produserer med hhv (1/3)q og (2/3)q?

91

12.Appendiks 12.1. Omgjøringsfaktorer i PVT-analyse Temperatur: K=273.15+°C °F=1.8°C+32 R=°F+459.69 ................................................................................................................. Trykk: 1atm=1013.250mbar=1.013250bar=101.3250kPa=14.69595psia psia=14.69595+psig 1atm=760.002mmHg ved 0°C ................................................................................................................. Tetthet: 1g/cm3=62.43lb/ft3=350.54lb/bbl 1lb/ft3=16.0185kg/m3 ρw=0.999015g/cm3 ved 60°F og 1atm. ρw=0.9991 g/cm3 ved 15°C og 1atm. ................................................................................................................. Spesifikk tetthet: Bestemmes relativt til vann for væsker ved sc:

γo= ρoρw

= 141.5

131.5+°API

°API=141.5

γo -131.5

Cragoe´s formel (gjelder for hydrokarbonsystemer)

Mo=6084

°API-5.9

Bestemmes relativt til luft for gasser ved sc:

γg = MgMair

= Mg

28.96

................................................................................................................. Volum: 1bbl=5.615ft3=0.15898m3 1ft3=0.0283m3 1USGallon=3.785liter 1Imp.Gallon=4.546liter Vm=379.51SCF/lbmol ved 60°F og 1atm. Vm=23644cm3/gmol ved 15°C og 1atm. ................................................................................................................. Luft: zair=0.9959 (60°F og 1atm), Mair=28.96 ................................................................................................................. Gasskonstanten: R=10.732 (psia,ft3,°R,lbmol) R=0.082054 (atm,liter,°K,gmol) R=8.3145 (kPa,m3,°K,kgmol) .............................................................................................................

92

12.2. Diagrammer til Øving 7.