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Formalismus der QuantenmechanikMesspostulat, Quantenkryptographie
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 10. Vorlesung
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HilbertraumDer Hilbertraum ist der Raum aller möglicher Zustände
H
beliebiger Zustand (Wellenfunktion) Y
Ein Vektor a kann in einem Koordinatensystem dargestellt werden, (a1,a2,a3).Analog dazu kann ein Zustand in einer Basis dargestellt werden, z.B. Orts- oder Impulsbasis
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Zustände und BasisGegeben sei eine vollständige Basis, in der jeder Zustand entwickelt werden kann
Jeder Zustand des Hilbertraums kann in dieser Basis entwickelt werden
Beispiel: Impulsbasis
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Operatoren im HilbertraumEin Operator A verschiebt einen Zustand im Hilbertraum
H
Beispiel: Zeitentwicklung der Schrödingergleichung
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Finite DifferenzenBetrachten wir eine Wellenfunktion, die nur an bestimmten Orten gegeben ist
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OperatorenImpuls- und Hamiltonoperatoren können als Matrizen angeschrieben werden
0
0
Anwenden der Operatoren auf Wellenfunktion entspricht Matrix-Vektorprodukt
Messoperatoren in der Quantenmechanik sind hermitesche Matrizen
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Eigenvektoren und EigenwerteEinige Eigenschaften für hermitesche Matrizen
Alle Eigenwerte sind reell
Die Eigenvektoren bilden eine vollständige Basis, das heißt, dass jederbeliebige Vektor als Linearkombination der Eigenvektoren dargestelltwerden kann
Alle Eigenvektoren sind normiert
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John von Neumann, Messvorschrift 1932
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von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :
(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig
Ortsmessungen werden durch den Operator x beschrieben, Impulsmessungen durch den Impulsoperator p
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Jeder Zustand kann nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden
von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :
(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig
Beispiel: Impulsbasis
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Jeder Zustand kann nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden
von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :
(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig
Das Betragsquadrat | cl |2 gibt die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert l zu messen
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Nach der Messung von l, befindet sich das System im Zustand Yl
von – Neumannsches Messpostulat … Reduktion der Wellenfunktion
Jeder Zustand kann nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden
von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :
(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig
Das Betragsquadrat | cl |2 gibt die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert l zu messen
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… Eigenzustände des Messoperators
… Zustand vor Messung
Messprozess in der QuantenmechanikZusammenfassung des Messprozesses
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Kryptographie … Kann man Quantenmechanik benutzen, um Daten sicher zu übertragen ?
Bennett-Brassard-Protokoll BB84Anfang der 80er Jahre erkannte man, dass man mit der Quantenmechanik eineabsolut abhörsichere Datenübertragung erzielen kann
Im BB84 Protokoll wird ein zufälliger Schlüssel zwischen Alice und Bob aus-getauscht, der zur Verschlüsselung von Daten verwendet werden kann
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Alice Bob
Informationskanal
0110100... 0110100...Ä
Eve ... eavesdropper
BB84-Protokoll : ZielZiel des BB84 Protokoll ist es, einen zufälligen Schlüssel zwischen Alice und Bob auszutauschen
Es soll verhindert werden, dass Eve den Schlüssel erhält, indem sie die Datenleitungabhört – dazu werden die Eigenheiten der Quantenmechanik ausgenutzt
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0
BobAlice 1
0
11
0
1
0
Quantenkanal
Einphotonenquelle Photodetektor
BB84-Protokoll : HardwareBenötigt wird eine Quelle, die einzelne Photonen aussendet, und ein
Detektor für einzelne Photonen
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0
Bob
Öffentlicher Kanal
Alice 1
0
11
0
1
0
Å Ä Ä Å Ä ...0 1 1 0 1 ...
Ä Ä Å Å Ä ...1 1 1 0 1 Übereinstimmung in 50%
“ Å Ä Ä Å Ä ... “
Quantenkanal
BB84-Protokoll
Alice sendet die Photonen mit einer zufällig gewählten Polarisation
Bob empfängt die Photonen, indem er die Basis für seinen Detektor zufällig wählt
Am Ende teilen sich Alice und Bob über einen „öffentlichen Kanal“ (z.B. Internet, Telefon)mit, welche der Polarisationsbasen übereingestimmt haben
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0
1
0
11
0
1
0
Ä Ä
Eve ... muss Basis raten !
Å Ä Ä Å Ä ...0 1 1 0 1 ...
Ä Ä Å Å Ä ...1 1 1 0 1 Übereinstimmung in 50%
BobAliceQuantenkanal
Öffentlicher Kanal
BB84-Protokoll
Wenn Eve den Kanal abhört, zerstört sie den Quantenzustand – Alice und Bob könnenfeststellen, dass sie abgehört werden
„... einige entschlüsselte Bits““ Å Ä Ä Å Ä ... “
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C. Kurtsiefer, P. Zarda, M. Halder, H. Weinfurter, P. M. Gorman, P. R. Tapster & J. G. Garity, Nature 419, 450 (2002).
BB84-Protokoll : ExperimentDas so eine „Quantenkryptographie“ tatsächlich funktioniert, wurde in einer
Reihe von Experimenten gezeigt
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Zeilinger-Gruppe Nature 489, 269 (2012).
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Experimentieren mit einzelnen Photonen
Nobelpreis 2012
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Cavity-QED
Atome, die durch eine Kavität fallen, wechselwirken mit den Lichtmoden.Durch die Wechselwirkung kommt es zu einem Energieaustausch, ähnlich wie bei zwei gekoppelten Pendeln
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Gekoppelte Pendel
Eigenmoden
Schwebung
Damit es zu einer Schwebung (Überlagerung von Eigenmoden) kommt, muss die Kopplung stärker als die Dämpfung sein
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Lebensdauer von AtomenLebensdauer von Atomen ist durch spontane Emission von Photonen limitiertWigner – Weisskopf – Zerfallsrate
- Lebensdauer von einigen ms- extrem große Dipolmomente
Rydbergzustände : n ~ 50 – 200, semiklassische Zustände
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Lebensdauer von KavitätLebensdauer von Kavität ist durch „leaky modes“ und Verluste im Metall limitiert
Durch supraleitende Spiegel (Nb) kann die Photon-Verweildauer (51 GHz) in der Kavität auf ca. 100 ms angehoben werden
0.1 x 300 000 km / s = 30 000 km !!!
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Quantum non-demolition measurement (QND)Die Energien von Atomübergang und Photon sind sehr verschieden, dadurchkommt es nur zu einer Phasenverschiebung aber keiner Absorption
Überlagerungszustand
Atom fällt durch Kavität
Rücksetzen des Überlagerunszustandes
Photoionisation
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Quantum non-demolition measurement (QND)Die Energien von Atomübergang und Photon sind sehr verschieden, dadurchkommt es nur zu einer Phasenverschiebung aber keiner Absorption
Überlagerungszustand
Atom fällt durch Kavität
Rücksetzen des Überlagerunszustandes
Photoionisation
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QND – Messung einzelner PhotonenQuantum jumps of light recording the birth and death of a photon in a cavity
„majority vote“
Gleyzes et. al, Nature 446, 297 (2007).
![Page 31: Formalismus der Quantenmechanik Messpostulat, Quantenkryptographie WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 10. Vorlesung](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062818/570491cc1a28ab14218de6ba/html5/thumbnails/31.jpg)
QND – Messung einzelner PhotonenQuantum jumps of light recording the birth and death of a photon in a cavity
Gleyzes et. al, Nature 446, 297 (2007).
Ensemble Mittelung über (b) 5, (c) 15 und (d) 904 Ereignisse man erkennt, dass der Photonenzerfall exponentiell ist