schrödingergleichung freies teilchen, dispersion ws 2015 / 16 – ulrich hohenester 4. vorlesung
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SchrödingergleichungFreies Teilchen, Dispersion
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 4. Vorlesung
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Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger aufgestellt.Für seine Arbeiten zur Quantenmechanik erhielt er 1933 den Nobelpreis.
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SchrödingergleichungDie Schrödingergleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion
zeitliche Änderung Hamiltonoperator oder „Energieoperator“
Die Schrödingergleichung kann nicht hergeleitet werden(genauso wie Newtonsche Bewegungsgleichung, Maxwellgleichungen, …)
Zur Lösung der Schrödingergleichung benötigt man den Anfangswert Y(x,0) Die Wellenfunktion ist eine reine Hilfsgröße Die Wellenfunktion muss interpretiert werden (Wahrscheinlichkeitsinterpretation) Die Wellenfunktion ist normiert Das Betragsquadrat der Wellenfunktion liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte
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Was ist ein „Potential“ V(x) ?Arbeit, die man verrichten muss, um eine Masse mim Schwerefeld der Erde verschieben
Potentielle Energie, die bzgl. eines Referenzpunktesr0 (meist im Undendlichen) gemessen wird
Kraft, die auf Teilchen wirkt, erhält man aus derÄnderung von V
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Bemerkung :Potential versus potentielle Energie
Potential = potentielle Energie pro Einheitsmasse … GravitationPotential = potentielle Energie pro Einheitsladung … Elektrostatik
i.F. werden wir den Begriff Potential oft an Stelle von potentieller Energie verwenden !!!
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Bestimmen Sie die Potentiale für V( x, t )
Freies Teilchen Teilchen im Schwerefeld Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 , das mit
periodischer Kraft F0 cos( w t ) angetrieben wird
Potentiale
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Freies TeilchenFür das freie Teilchen gilt V=0, die Wellenfunktion ist gegeben durch
de-Broglie Impuls
Beweis (Einsetzen in Schrödingergleichung)
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Freies TeilchenAllgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegunggewinnen
Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit
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Dispersionsrelation beschreibt Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge
Zeitentwicklung einer Welle
Monochromatische Welle
Wellenpaket
Zeitentwicklung wird durch Phasenentwicklung bestimmt !
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Zeitentwicklung einer Lichtwelle
Dispersion einer Lichtwelle in Vakuum
Zeitentwicklung einer Lichtwelle in Vakuum
Welle bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit c entlang der x-Richtung,ändert aber nicht ihre Form
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Lichtpropagation mit v = c
Zeit : 0
Ort
Wel
lenz
ahl
-5 0 5 10 15-1
0
1
2
3
Lichtpuls in Vakuum
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Lichtpropagation mit v = c
Zeit : 2
Ort
Wel
lenz
ahl
-5 0 5 10 15-1
0
1
2
3
Lichtpuls in Vakuum
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Lichtpropagation mit v = c
Zeit : 10
Ort
Wel
lenz
ahl
-5 0 5 10 15-1
0
1
2
3
Lichtpuls in Vakuum
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Unterschiedliche Phasengeschwindigkeit … Brechung
Reflexions- und Brechungswinkel hängen nur von Phasengeschwindigkeit ab
Snelliussches Brechungsgesetz
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Lichtdispersion v = c / n(w)
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Zeit : 0
Ort
Wel
lenz
ahl
-5 0 5 10 15-1
0
1
2
3
Lichtpropagation mit v = c / n( w )
Lichtpuls in dispersivem Medium
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Lichtpropagation mit v = c / n( w )
Zeit : 2
Ort
Wel
lenz
ahl
-5 0 5 10 15-1
0
1
2
3
Lichtpuls in dispersivem Medium
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Zeit : 5
Ort
Wel
lenz
ahl
-5 0 5 10 15-1
0
1
2
3
Lichtpropagation mit v = c / n( w )
Lichtpuls in dispersivem Medium
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Lichtpropagation mit v = c / n( w )
Zeit : 10
Ort
Wel
lenz
ahl
-5 0 5 10 15-1
0
1
2
3
Wellenpaket „läuft auseinander“
Lichtpuls in dispersivem Medium
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LäuferInnenfeld„läuft auseinander“
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Freies TeilchenAllgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegunggewinnen
Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit
Propagation ähnlich wie elektromagnetische Welle in dispersivem Medium
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Materiewelle
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
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Materiewelle
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
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Materiewelle
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
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Materiewelle
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
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Materiewelle
Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen
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Materiewelle
Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen
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Bose-Einstein-Kondensat
Rubidium-87 Atome bei Temperaturen unterhalb von ~170 nK
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Bose-Einstein-Kondensat : Interferenz
Atomchip : Schmiedmayer TU Wien
Atomwellenfunktion wird räumlich getrennt, danach fallen Atome im Schwerefeld nach unten