matrizen, eigenschwingungen zeitunabhängige schrödingergleichung ws 2015 / 16 – ulrich...
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Matrizen, Eigenschwingungenzeitunabhängige Schrödingergleichung
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 7. Vorlesung
Gekoppelte PendelWie löst man die Newtonschen Bewegungsgleichungen ?
Auslenkung aus Ruhelage ui
Gekoppelte PendelGesamtheit der Bewegungsgleichungen kann in Matrixform dargestellt werden
Wir können das in kompakter Form schreiben
MatrizenEine allgemeine Matrix dreht …
… und skaliert einen Vektor
Wird ein Vektor nur skaliert aber nicht gedreht, so nennt man ihn einenEigenvektor und den Skalierungsfaktor den zugehörigen Eigenwert
Gekoppelte PendelBewegungsgleichung für Pendel
Was passiert für Eigenvektor ? (wir nehmen an, dass EW positiv ist)
Ein Eigenvektor schwingt periodisch mit einer konstanten Frequenz
Eigenvektoren und EigenwerteWie bestimmt man Eigenvektoren und Eigenwerte ?
Raten Man fragt die Mathematikerin / den Mathematiker seines Vertrauens Ausrechnen (siehe Mathematische Methoden) Numerisch
% dimension of matrixn = 8;% tridiagonal matrixM = full( gallery( 'tridiag', n, 1, -2, 1 ) );% compute eigenvectors and values[ u, lambda ] = eig( M );
Eigenvektoren und EigenwerteEinige Eigenvektoren („Eigenmoden“)
k=3 k=4
k=1 k=2 k=3 k=4
Schwingungsmuster einer „Wellenmaschine“
Eigenvektoren und EigenwerteEinige Eigenschaften für eine relle, symmetrische Matrix
Alle Eigenwerte sind reell
Die Eigenvektoren bilden eine vollständige Basis, das heißt, dass jederbeliebige Vektor als Linearkombination der Eigenvektoren dargestelltwerden kann
Alle Eigenvektoren sind normiert
Schwingung elastischer KörperDas Prinzip der Eigenschwingungen lässt sich auch auf kontinuierliche Körperübertragen (Grenzwert vieler Punkte, die über Federkräfte miteinander wechselwirken)
Eigenschwingungen von Instrumenten
Bei Eigenschwingungen ändert sich die Amplitude zeitlich periodisch, bei den Schwingungsknoten gilt immer u( r, t ) = 0
Chladnische Klangfiguren
Eigenmoden einer schwingenden Platte
Grundmode einer schwingenden Saite, die bei x = 0 und x = L eingespannt ist,die Eigenschwingung ist bis auf die Amplitude bestimmt
Schwingende Saite : Grundmode
Zusätzlich zur Grundmode gibt es noch Anregungsmoden, die mit einer anderen Frequenz schwingen können
Schwingende Saite : Eigenmoden
Jede beliebige Anregung kann durch die Eigenmoden dargestellt werden,das zeitliche Verhalten ist allerdings komplizierter
Schwingende Saite : beliebige Anregung
Eigenschwingungen der Wellenfunktion ?
Was schwingt da ? … Nicht viel ;-) – Wellenfunktion ist nur Hilfsgröße
„Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung
Hamiltonoperator
Eigenwertgleichung
Schrödingergleichung
Zeitliche Entwicklung eines Eigenzustandes
„Eigenschwingungen“ der Schrödingergleichung
zeitabhängige Schrödingergleichung
zeitunabhängige Schrödingergleichung
Erwin Schrödinger, 1926
Zeitunabhängige SchrödingergleichungDie zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt es, die Eigenzuständeder Schrödingergleichung zu bestimmen
Raten Lösen der Differentialgleichung mit Randbedingungen Numerisch
Wie bestimmt man die Eigenzustände ?
Freies TeilchenEbene Wellen besitzen eine wohldefinierten Impuls (de Broglie-Wellenlänge)und sind Eigenzustände des freien Hamiltonoperators !!!
i.W. haben wir das bereits bei der Propagation von freien Teilchen inVorlesung 4 benutzt
innerhalb der Schachtel …
Teilchen in der SchachtelTeilchen in der Schachtel (particle in a box) kann sich innerhalb des Bereiches0 < x < L frei bewegen
Randbedingung …
Wie sehen die Eigenzustände und Eigenfunktionen aus ?
Teilchen in der Schachtel : Eigenzustände
Vergleiche mit Abschätzung aus Heisenbergscher Unschärferelation